Física Geral (2014/1)
Aula 5: Compatibilidade e combinação de
resultados
1
Estimativa do valor esperado
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x̄
x̄
v
uN
uX (xi x̄)2
=t
N
(N
1)
i=1
v
uN
uX (xi
sx = t
N
i=1
Estimativa do erro de cada
medida
Estimativa do erro da
média
x̄
2
2
x̄)
1
sx
=p
N
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Exemplo: Suponha que estamos medindo a densidade do
ferro, com valor de referência ρref = 7,86 g/cm3
3
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Exemplo: Suponha que estamos medindo a densidade do
ferro, com valor de referência ρref = 7,86 g/cm3
comparação entre resultados
e a densidade
do ferro
(Fe),
Resultado
Exp.
1:
cujo valor de referência é ⇢ref =
enha sido estimada, com nível de
3 confiança de 68 %, como ⇢1 =
ρ
=
8,1
±
0,2
g/cm
1
m3 .
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,2
8,2
68% (CL)
8,0
7,8
ref
7,6
Figura 10: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 com3nível
de confiança (CL) de 68 %.
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Exemplo: Suponha que estamos medindo a densidade do
ferro, com valor de referência ρref = 7,86 g/cm3
comparação entre resultados
e, portanto, a estimativa é compatível com esse valor de referênci
3 é a estimativa de um segundo experime
Se
⇢
=
(8,4±0,1)g/cm
e a densidade
do
ferro
(Fe),
cujo
valor
de
referência
é ⇢ref = Exp. 2:
2
Resultado Exp. 1:
Resultado
nível de confiança
de 60⇢%,
com o valor d
enha sido estimada, com nívelcom
de
confiança
de 68 %, como
1 = ao se comparar
3
3
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm
ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm
3
constata-se que esse resultado não é compatível ao nível de 95 % (
m .
ρ (g/cm 3)
3
ρ (g/cm )
8,6
8,6
8,4
8,4
0,2
68% (CL)
8,0
7,6
68% (CL)
8,2
8,2
7,8
0,1
ref
8,0
7,8
ref
7,6
3
11: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1) g/cm3 com níve
Figura 10: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢1 = (8,1±0,2) g/cmFigura
com3nível
de confiança (CL) de 68 %.
de confiança (CL) de 68 %.
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
comparação entre resultados
e a densidade
do ferro
(Fe),
Resultado
Exp.
1:
cujo valor de referência é ⇢ref =
enha sido estimada, com nível de
3 confiança de 68 %, como ⇢1 =
ρ
=
8,1
±
0,2
g/cm
1
m3 .
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,2
8,2
68% (CL)
8,0
7,8
ref
7,6
Figura 10: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 com4nível
de confiança (CL) de 68 %.
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
comparação entre resultados
e a densidade
do ferro
(Fe),
Resultado
Exp.
1:
cujo valor de referência é ⇢ref =
enha sido estimada, com nível de
%, como ⇢1 =
3 confiança de 68
Discrepância
ρ
=
8,1
±
0,2
g/cm
1
m3 .
|ρ -ρ |=|
1
ref
8,1 - 7,86 | = 0,24 ~ 1σ
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,2
8,2
68% (CL)
8,0
7,8
ref
7,6
Figura 10: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 com4nível
de confiança (CL) de 68 %.
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
comparação entre resultados
e a densidade
do ferro
(Fe),
Resultado
Exp.
1:
cujo valor de referência é ⇢ref =
enha sido estimada, com nível de
%, como ⇢1 =
3 confiança de 68
Discrepância
ρ
=
8,1
±
0,2
g/cm
1
m3 .
|ρ -ρ |=|
1
ρ (g/cm 3)
8,1 - 7,86 | = 0,24 ~ 1σ
Note que, segundo a Lei dos erros,
há uma expectiva de apenas ~68%
de que o intervalo contenha o
valor esperado
8,6
8,4
ref
0,2
8,2
68% (CL)
8,0
7,8
ref
7,6
Figura 10: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 com4nível
de confiança (CL) de 68 %.
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
comparação entre resultados
e a densidade
do ferro
(Fe),
Resultado
Exp.
1:
cujo valor de referência é ⇢ref =
enha sido estimada, com nível de
%, como ⇢1 =
3 confiança de 68
Discrepância
ρ
=
8,1
±
0,2
g/cm
1
m3 .
|ρ -ρ |=|
1
ρ (g/cm 3)
8,1 - 7,86 | = 0,24 ~ 1σ
Note que, segundo a Lei dos erros,
há uma expectiva de apenas ~68%
de que o intervalo contenha o
valor esperado
8,6
8,4
ref
0,2
8,2
68% (CL)
8,0
7,8
ref
A discrepância não é
estatisticamente significativa
7,6
Figura 10: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 com4nível
de confiança (CL) de 68 %.
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
estimativa é compatível com esse valor de referência (Fig. 10).
3 é a estimativa de um segundo experimento, também
4±0,1)g/cmResultado
Exp. 2:
confiançaρde=608,4
%, ±ao0,1
se g/cm
comparar
com o valor de referência,
3
2
ue esse resultado não é compatível ao nível de 95 % (Fig. 11).
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,1
68% (CL)
8,2
8,0
7,8
ref
7,6
igura 11: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1) g/cm3 com5 nível
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
estimativa é compatível com esse valor de referência (Fig. 10).
3 é a estimativa de um segundo experimento, também
4±0,1)g/cmResultado
Exp. 2:
confiançaρde=608,4
%, ±ao0,1
se g/cm
comparar
com o valorDiscrepância
de referência,
3
2
ue esse resultado não é compatível ao nível de 95 %
11).
| ρ(Fig.
2 - ρref | = | 8,4 - 7,86 | = 0,54 > 3σ
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,1
68% (CL)
8,2
8,0
7,8
ref
7,6
igura 11: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1) g/cm3 com5 nível
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
estimativa é compatível com esse valor de referência (Fig. 10).
3 é a estimativa de um segundo experimento, também
4±0,1)g/cmResultado
Exp. 2:
confiançaρde=608,4
%, ±ao0,1
se g/cm
comparar
com o valorDiscrepância
de referência,
3
2
ue esse resultado não é compatível ao nível de 95 %
11).
| ρ(Fig.
2 - ρref | = | 8,4 - 7,86 | = 0,54 > 3σ
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,1
68% (CL)
8,2
Uma discrepância de valor maior
que 3 erros padrão é muito pouco
provável (< 1%) e podemos dizer
que o resultado é incompatível
com o valor de referência
8,0
7,8
ref
7,6
igura 11: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1) g/cm3 com5 nível
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref) ?
estimativa é compatível com esse valor de referência (Fig. 10).
3 é a estimativa de um segundo experimento, também
4±0,1)g/cmResultado
Exp. 2:
confiançaρde=608,4
%, ±ao0,1
se g/cm
comparar
com o valorDiscrepância
de referência,
3
2
ue esse resultado não é compatível ao nível de 95 %
11).
| ρ(Fig.
2 - ρref | = | 8,4 - 7,86 | = 0,54 > 3σ
ρ (g/cm 3)
8,6
8,4
0,1
68% (CL)
8,2
Uma discrepância de valor maior
que 3 erros padrão é muito pouco
provável (< 1%) e podemos dizer
que o resultado é incompatível
com o valor de referência
8,0
7,8
ref
A discrepância é significativa
7,6
igura 11: ⇢ref = 7,86 g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1) g/cm3 com5 nível
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
A compatibilidade ou incompatibilidade de um resultado com um
valor de referência depende portanto do nível de confiança
associado. Por exemplo, dizemos que o resultado é incompatível
quando a expectativa de se obter uma determinada discrepância é
menor que 5%, 1% ou 0,1%?
6
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade com um valor de referência
A compatibilidade ou incompatibilidade de um resultado com um
valor de referência depende portanto do nível de confiança
associado. Por exemplo, dizemos que o resultado é incompatível
quando a expectativa de se obter uma determinada discrepância é
menor que 5%, 1% ou 0,1%?
Regra prática: Vamos considerar um resultado compatível com um
valor de referência quando a discrepância for menor que dois erros
padrão. Se a discrepância for maior que três erros padrão ela é
significativa e os resultados incompatíveis:
|x̄
2
|x̄
x̄
< |x̄
xref | < 2
xref | > 3
xref | < 3
x̄
Compatíveis
x̄
Incompatíveis
x̄
Inconclusivo
6
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade de duas estimativas
Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas,
podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em
relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado
entre as estimativas
7
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade de duas estimativas
Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas,
podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em
relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado
entre as estimativas
Estimativa 1:
x̄1 ±
x̄1
Estimativa 2:
x̄2 ±
x̄2
7
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Compatibilidade de duas estimativas
Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas,
podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em
relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado
entre as estimativas
Estimativa 1:
Estimativa 2:
x̄1 ±
x̄2 ±
x̄1
Discrepância:
x̄2
Erro associado:
7
|x̄1
=
x̄2 |
q
2
x̄1
+
2
x̄2
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
ibilidade com o zero é verificada (Fig. 12).
q
pduas estimativas
Compatibilidade
de
2 + 2 = 0,12 + 0,22 ⇡ 0,2
⇢2 | = |8,1 8,4| = 0,3 e
=
2
1
Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas,
o, calculando-se
erros relativos
das duasdaestimativas,
podemosos
considerar
a compatibilidade
diferença entre elas em
relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado
"1 estimativas
= 0,02 e "2 = 0,01
entre as
3):
Exemplo
(ρ
=
7,86
g/cm
ref
ue o resultado do segundo experimento é mais preciso que o do
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
3
ρ − ρ2 (g/cm )
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
1σ
2σ
zero
- 0,2
8
ura 12: ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1)
g/cm3 (com-
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
ibilidade com o zero é verificada (Fig. 12).
q
pduas estimativas
Compatibilidade
de
2 + 2 = 0,12 + 0,22 ⇡ 0,2
⇢2 | = |8,1 8,4| = 0,3 e
=
2
1
Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas,
o, calculando-se
erros relativos
das duasdaestimativas,
podemosos
considerar
a compatibilidade
diferença entre elas em
relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado
"1 estimativas
= 0,02 e "2 = 0,01
entre as
3):
Exemplo
(ρ
=
7,86
g/cm
ref
ue o resultado do segundo experimento é mais preciso que o do
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
Discrepância
|⇢1 ⇢2 | = 0, 3 g/cm3
3
ρ − ρ2 (g/cm )
1
0,8
0,6
Erro associado:
0,4
0,2
0,0
1σ
2σ
zero
p
= (0, 2)2 + (0, 1)2 ⇡ 0, 2 g/cm3
- 0,2
8
ura 12: ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1)
g/cm3 (com-
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
ibilidade com o zero é verificada (Fig. 12).
q
pduas estimativas
Compatibilidade
de
2 + 2 = 0,12 + 0,22 ⇡ 0,2
⇢2 | = |8,1 8,4| = 0,3 e
=
2
1
Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas,
o, calculando-se
erros relativos
das duasdaestimativas,
podemosos
considerar
a compatibilidade
diferença entre elas em
relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado
"1 estimativas
= 0,02 e "2 = 0,01
entre as
3):
Exemplo
(ρ
=
7,86
g/cm
ref
ue o resultado do segundo experimento é mais preciso que o do
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
Discrepância
|⇢1 ⇢2 | = 0, 3 g/cm3
3
ρ − ρ2 (g/cm )
1
0,8
0,6
Erro associado:
0,4
0,2
0,0
- 0,2
1σ
2σ
zero
p
= (0, 2)2 + (0, 1)2 ⇡ 0, 2 g/cm3
As estimativas são compatíveis
entre si (discrepância < 2σ)
8
ura 12: ⇢1 = (8,1±0,2) g/cm3 e ⇢2 = (8,4±0,1)
g/cm3 (com-
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
9
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Estimativa padrão para
o valor esperado:
PN
i=1
x̄ = PN
i=1
xi
2
i
1
2
i
9
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Estimativa padrão para
o valor esperado:
PN
i=1
x̄ = PN
i=1
Erro padrão associado:
1
xi
2
i
2
x̄
1
2
i
=
N
X
1
i=1
2
i
ou
1
x̄
= qP
N
i=1
9
1
2
i
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo:
10
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo:
Estimativa 1:
x̄1 ±
x̄1
Estimativa 2:
x̄2 ±
x̄2
10
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo:
Estimativa 1:
Estimativa 2:
x̄1 ±
x̄1
x̄2 ±
x̄2
x̄
=
10
=q
1
1
2
1
+
1
2
2
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo:
Estimativa 1:
Estimativa 2:
x̄1 ±
x̄1
x̄2 ±
x̄2
x̄
=
x̄ =
=q
N ✓
X
i=1
10
i
◆2
1
1
2
1
+
xi =
1
2
2
✓
1
◆2
x1 +
✓
2
◆2
x2
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo (ρref = 7,86 g/cm3):
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
11
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo (ρref = 7,86 g/cm3):
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
=q
1
1
(0,2)2
+
1
(0,1)2
= 0, 08944
11
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo (ρref = 7,86 g/cm3):
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
=q
⇢¯ =
✓
1
1
(0,2)2
0, 2
◆2
+
1
(0,1)2
· 8, 1 +
✓
= 0, 08944
0, 1
◆2
· 8, 4 = 8, 3400
11
Física Geral - 2014/1 - Aula 5
Combinação de resultados compatíveis
A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado
de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado
combinado pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo (ρref = 7,86 g/cm3):
ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm3
=q
⇢¯ =
✓
1
1
(0,2)2
0, 2
◆2
+
1
(0,1)2
· 8, 1 +
✓
= 0, 08944
0, 1
◆2
· 8, 4 = 8, 3400
) ⇢ = (8, 34 ± 0, 09) g/cm
11
3
Física Geral - 2014/1 - Aula 5