MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
O conjunto verdade (raízes) é:
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
V={ -b/a }
DEFINIÇÃO
Equação do primeiro grau com uma incógnita, é a
equação que pode ser reduzida à forma:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a≠0
ax + b = 0
Em que:
• x é a incógnita
• a e b são constantes reais denominadas
coeficientes.
• b é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores que
satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
Para a equação do 1º grau
01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3
pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio,
a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1
000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era
de:
a) 2 400,00
b) 2 200,00
c) 2 100,00
d) 1 800,00
e) 1 400,00
Resolução
I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três pessoas
P1 1/4 de x
=
1/4.x
=
X/4
P2 1/3 de x
=
1/3.x
=
X/3
1 000
=
1 000
P3 R$ 1 000,00 =
ax + b = 0
Passe o termo independente para o 2º
membro
ax = - b
II) Adicionando as três partes obteremos o todo “x”.
P1 + P2 + P3 = x
x
4
Para isolar x, passe o a operando
inversamente.
x = - b/a
Atualizada Janeiro/2010
+
x
3
+ 1 000 = x ...o mmc (3 , 4) = 12
3x + 4x + 12 000
12
=
12x
12
....simplifique o denominador
comum aos membros
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
1
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
3x + 4x + 12 000 = 12x ....adicione o termos
semelhantes em x e passe para o
TRT-SC
a) 0
b) 5/16
segundo membro
c) 3
d) 16/5
12 000 = 5x ....isole x, passando o multiplicador 5 de
x para a operação inversa, divisão. Execute a
operação de divisão.
05. (F. OBJETIVO-SP) Se
x +3
− 5 = x + 1, então:
4
a) x = 6
Resposta: R$ 2 400
b) x = 8
c) x = -7
TESTES
d) x = -9
01. Resolva a equação: 12x – 4 = 10x + 3
02. (PUC-RJ) A raiz da equação
x − 3 x −1
=
é:
7
4
a) -3/5
06. (FCC) Um automóvel percorre uma certa
distancia na 1ª hora de seu movimento, 3/4 dela na
2ª hora e a metade dela na 3ª hora. Ao final da 3ª
hora, o motorista nota que se percorrer mais 75km
completará o percurso que é o triplo do que
percorreu na 1ª hora. Quantos km percorreu na 2ª
hora?
a)
b)
c)
d)
e)
b) 3/5
c) -5/3
d) 5/3
03. (FIA-SP) Se 3x =
45
50
60
75
80
07. (UFRJ-NCE) Se 2/5 de uma certa quantia
corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma
quantia corresponde a:
x −3
+2
4
a)
b)
c)
d)
e)
a) 0
b) 1/11
c) 5/11
R$ 22,40
R$ 28,80
R$ 56,00
R$ 72,00
R$ 180,00
d) 11
04. (UFU-MG) O valor de x tal que
é:
2 4 x − 1 −2 x + 1
=
2
3
08. (UFRJ-NCE) Uma cooperativa de suco produz
semanalmente 120 garrafas de 3 litros. Se a
capacidade de cada garrafa fosse de 5 litros, o
número de garrafas utilizadas semanalmente seria:
a) 24
b) 72
c) 100
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
d) 192
e) 200
saquinhos também. O peso de um saquinho de
areia é igual ao peso de quantas
09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se
daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade
que tinha há 8 anos atrás?
bolas?
a) 15 anos.
b) 16 anos.
c) 24 anos.
d) 30 anos.
e) 32 anos.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
10. Roberto disse a Valéria: "pense um número,
dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o
novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse
"15", ao Roberto que imediatamente revelou o
número original que Valéria havia pensado. Calcule
esse número.
14. (UPNET) Qual dos números abaixo é solução
11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros
cuja soma seja igual a 57.
a)
b)
c)
d)
e)
12. (OBM) Renata digitou um número em sua
calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o
resultado por 7 e obteve o número 15. O número
digitado foi:
a) 31
b) 7
da equação:
3 − 5x
8
−
x−3
4
= 1−
2+x
8
-5/16
1
-1/2
½
5/16
15. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 de seu salário
com aluguel de casa e 1/5 com transporte. Quanto
resta para outras despesas, se seu salário é de R$
780,00 ?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 343,00
R$ 364,00
R$ 416,00
R$ 468,00
R$ 585,00
16. (OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n
por 17, obtemos o quociente 283 e o resto 6.
podemos afirmar que n é igual a:
c) 39
d) 279
e) 27
a) 4 817
b) 4 917
13. (OB M) A balança da figura está em equilíbrio
com bolas e saquinhos de areia em cada um de
seus pratos. As bolas são todas iguais e os
Atualizada Janeiro/2010
c) 3 815
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
3
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
d) 4 618
a)
b)
c)
d)
e)
e) 4 418
17. Um número decimal x o resultado da divisão de
73 por 8. Quanto vale x?
18. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel
do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra
em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as
demais despesas. Portanto, o salário de João é
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 1 200,00
R$ 1 500,00
R$ 1 800,00
R$ 2 100,00
R$ 2 400,00
19. (FGV) Para uma determinada viagem foi fretado
um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve
pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por
cada lugar que ficar vago.
Qual a receita arrecadada se comparecerem 150
pessoas para a viagem?
TRT-SC
3.600
4.500
5.400
6.300
7.200
22. Numa caminhada, Marcos percorreu um terço
do percurso total até fazer uma primeira parada
para descansar. Depois, percorreu novamente um
terço do percurso restante e fez a sua segunda e
última parada. Na etapa final, percorreu mais 1600
metros, chegando ao término da sua caminhada.
Marcos caminhou um total de
a)
b)
c)
d)
e)
3000 metros
3200 metros
3400 metros
3600 metros
3800 metros
23. (OBM) Toda a produção mensal de latas de
refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três
lojas. Para a loja A, foi vendida metade da
produção; para a loja B, foram vendidos 2/5da
produção e para a loja C, foram vendidas 2500
unidades. Qual foi a produção mensal dessa
fábrica?
a) 4166 latas
20. (FCC) Nos três andares de um prédio de
apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o
número de residentes no segundo andar é o dobro
do número dos que residem no primeiro; os
residentes no terceiro andar excedem em 20
pessoas o número dos que residem no primeiro
andar. Se x, y e z são os números de residentes no
primeiro, segundo e terceiro andares,
respectivamente, então
a) x = 15
b) y = 25
c) z = 36
d) x = 12
e) y = 20
Atualizada Janeiro/2010
c) 20000 latas
d) 25000 latas
e) 30000 latas
24. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi
dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do
valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira
ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio,
em reais, era de:
21. (FCC/2007-PMSP) Dois quintos da verba
mensal de uma escola são reservados para
projetos com os alunos e um terço do que sobra
para gastos de emergência. A escola fica então
com R$ 1.800,00 para os demais gastos. A verba
mensal desta escola, em reais, é
4 b) 10000 latas
a) 2 400,00
b) 2 200,00
c) 2 100,00
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
d) 1 800,00
13
B
e) 1 400,00
14
E
15
B
16
A
17
9,125
18
A
19
90 000
20
D
21
B
22
D
23
D
24
A
25
D
26
18
27
90 000
25. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro
lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma
gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda
pagou R$ 2,00 de estacionamento em cada local.
Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha
Pedro ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
26. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira
fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um
máximo de 100 folhas; o que exceder 100 folhas a
empresa cobra R$ 0,08 por folha. Se um cliente
deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total?
GABARITO
01 7/2
02
C
03
C
04
B
05
C
06
D
07
E
08
B
a) f(x) = 9
09
B
b) f(x) = -2
10
9
11
28 e 29
Nota : o gráfico de uma função constante é uma
reta paralela ao eixo dos x .
12
A
Veja o gráfico a seguir:
FUNÇÕES DO 1º GRAU
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x)
= k , onde k é um número real que não depende de
x.
Exemplos:
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
5
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
• se b ≠ 0, f é dita função afim .
IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da
equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa
x = - b/a .
V) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 ,
b), que é o termo independente b, onde b é
chamado coeficiente linear .
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do
tipo y = ax + b , onde a ≠ 0 .
Exemplos :
VI) O valor a é chamado coeficiente angular e dá
a inclinação da reta.
VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax
, o gráfico é uma reta que sempre passa na
origem, no ponto (0, 0).
01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 )
TESTES
02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5).
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
01. (PUC-MG) A tabela a seguir foi gerada a partir
da função linear y = ax + b.
I) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre
uma reta decrescente quando a<0.
x
y
5,2
23,0
5,3
24,0
5,4
5,5
25,0
26,0
5,6
27,0
O valor de a – b é:
a)
b)
c)
d)
e)
II) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre
uma reta crescente quando a>0.
29
35
39
41
43
02. Assinale a alternativa que corresponde a função
de acordo com o gráfico:
y
2
0
4
x III) Na função f(x) = ax + b ,
• se b = 0 , f é dita função linear e
6 Atualizada Janeiro/2010
a)
b)
c)
d)
f(x)= -x+2
f(x) = -x/2 + 1
f(x)= -x/2 + 2
f(x)=4x
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
e) f(x)= -x
y
03. Obtenha a função do 1º grau na variável x que
passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):
a)
b)
c)
d)
e)
y= x/3
y=-x/3 + 1
y= 2x
y= x/3 +1
y= -x
04. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax +
b . Assinale a alternativa correta:
x 0
a)
b)
c)
d)
e)
a<2
a<0
a=0
a>0
a=2
07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode
representar qual das expressões ?
y y
x
0 3
‐2
a=0;b=0
a)
b)
c)
d)
a>0;b>0
a<0;b>0
a>0;b=0
a>0;b<0
x y = 2x - 3
05. ( UF-MA ) A representação da função y = -3 é
uma reta :
a)
b)
c)
d)
e)
0
paralela aos eixo das ordenadas
perpendicular ao eixo das ordenadas
perpendicular ao eixo das abscissas
que intercepta os dois eixos
nda
06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax
+ b, quando :
a)
b)
c)
d)
y = - 2x + 3
y = 1,5 x + 3
3y = - 2x
y = - 1,5x + 3
08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n
passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor
de m + n é :
a)
b)
c)
d)
e)
13/5
22/5
7/5
13/5
2,4
09. ( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que
f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
7
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
a)
b)
c)
d)
e)
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax
+ b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3
)é:
0
2
3
4
-1
10. ( FUVEST-SP ) A função que representa o valor
a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x
de uma mercadoria é :
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
0
2
-5
-3
-1
13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida
por f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo.
Nestas condições:
f(x)= x-3
f(x)= 0,97x
f(x)=1,3x
f(x)=-3x
f(x)= 1,03x
11. (EXPCEX) O crescimento de um vegetal, sob
certas condições e a partir de uma determinada
altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas
tais condições, pode-se afirmar que a função que
representa o crescimento do vegetal e sua altura no
12° dia são, respectivamente:
y
‐1
0
x ‐2
a)
b)
c)
d)
e)
m = 2t
t = 2m
m=t
m+t=0
m - t=4
14. (UFPR) No interior de uma caverna existe uma
estalagmite cuja altura aumenta de modo constante
à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas
1
a) h( t ) = t − 5
2
e
12
h = cm
15
b) h( t ) =
1 5
t−
3 3
e
h=
12
cm
5
c) h( t ) =
1
t +1
5
e
h=
17
cm
5
d) h( t ) =
1
t +1
4
t −5
e) h( t ) =
5
8 e
e
Atualizada Janeiro/2010
h=
17
cm
5
12
h = cm
15
condições, a função h definida por h(t) =
t
, com t
10
≥ 0, relaciona a altura da estalagmite(em
centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido
desde o inicio da sua formação.
I) Em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola.
II) h(80) = 80
III) São necessários 200 anos para que haja um
aumento de 20 cm na altura da estalagmite.
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
IV) A altura da estalagmite
proporcional ao tempo t.
é
diretamente
17. (EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a
quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve
tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num
tratamento de imunização.
A quantidade total de soro a ser tomada será
dividida em 10 injeções idênticas.
Quantos ml de soro receberá um indivíduo de 65
Kgf em cada aplicação?
Assim é correto afirmar:
a)
b)
c)
d)
e)
b) 5/7
c) 7/8
d) 7/10
FFVV
VVVV
FFFF
VVFF
FVFV
ml 15. (FAE-PR) Dois números inteiros positivos são
tais que a sua soma mais a sua diferença mais o
seu produto é igual a 50. Quantas são as possíveis
soluções para esse problema?
30
10
20
0 a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
16. (UERJ-RJ) Analise o gráfico e a tabela:
Gasolina
Álcool
14
litro
PREÇO POR LITRO
(em Reais)
Gasolina
Álcool
Kgf a) 20
b) 2
c) 40
d) 4
a)
b)
c)
d)
e)
10
COMBUSTÍVEl
80 18. (Acafe-SC) Um táxi começa uma corrida com
o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro
rodado custa R$ 1,50. Se, ao final de uma corrida,
o passageiro pagou R$ 37,00, a quantidade de
quilômetros percorridos foi:
km
1
50
1,50
0,75
22
11
33
26
32
19. (Furg-RS) Seja g uma função do tipo g(x) =
ax + b, com x ∈ R. Se g(-2) = - 4 e 2g(3) = 12, os
valores de a e b são, respectivamente,
a)
−1 e0
2
b) 0 e 1
2
c) 0 e 2
d)
De acordo com esses dados, a razão entre o custo
do consumo, por km, dos carros a álcool e a
gasolina é igual a:
1 e0
2
e) 2 e 0
a) 4/7
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
9
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
20. (ACAFE-SC) Suponha que uma companhia de
água cobre o consumo residencial pela seguinte
tabela:
Faixa de
Valor em reais
consumo por m3
por m3
0 - 10
1,20
11 - 25
2,00
mais de 25
2,50
O proprietário de uma residência, que num
determinado mês consumiu 27m3 de água, pagará,
em reais:
a)
b)
c)
d)
e)
Temperatura (ºC)
d(m)
500
400
300
200
100
0
B
A
10 20 30
x
t(min)
-10
5
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em
20 min.
b) B percorre 1km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5
min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400m em 30 min.
23. (Unificado-RJ) Uma barra de ferro com
temperatura inicial de –10ºC foi aquecida até 30ºC.
O gráfico acima representa a variação da
temperatura da barra em função do tempo gasto
nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após
o início da experiência, a temperatura da barra
atingiu 0ºC.
30
10 22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de
Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com
velocidade constante. A distância (d) que cada um
percorre é mostrada no gráfico abaixo.
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
55,00
67,50
54,00
45,00
47,00
21. (Unificado-RJ) Uma barra de ferro com
temperatura inicial de –10ºC foi aquecida até 30ºC.
O gráfico acima representa a variação da
temperatura da barra em função do tempo gasto
nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após
o início da experiência, a temperatura da barra
atingiu 0ºC.
a)
b)
c)
d)
e) 1 min 20 seg
Tempo (minutos)
1 min
1 min 5 seg
1 min 10 seg
1 min 15 seg
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
Temperatura (ºC)
30
-10
a)
b)
c)
d)
e)
1 min
1 min 5 seg
1 min 10 seg
1 min 15 seg
1 min 20 seg
GABARITO
5
Tempo (minutos)
18
A
19
E
20
E
21
D
22
B
23
D
2º GRAU
DEFINIÇÃO
É toda a equação que pode ser reduzida à forma:
01
C
02
C
03
D
04
E
Em que:
05
B
• x é a incógnita
06
B
07
C
• a, b e c são constantes reais denominadas
coeficientes.
08
B
09
C
10
B
11
C
12
E
13
C
14
A
15
D
16
D
17
D
ax2 + bx + c = 0
a≠0
• c é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores que
satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
Para a equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0
Use a formula de Báskara
x=
Atualizada Janeiro/2010
-b ± b2 - 4ac
2a
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
11
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
O conjunto solução é:
⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪
;
S= ⎨
⎬
2a
2a
⎪⎩
⎪⎭
soma
x 1 + x2 = S
produto
x 1 . x2 = P
TESTES
Considerações
Para a equação do 2º grau, quando o
discriminante da equação, radicando na
fórmula de Báskara:
b2 - 4ac = ∆
I)
Quando ∆ > 0, ∆ maior que zero, a
equação tem duas raízes reais e
diferentes entre si..
⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪
;
S= ⎨
⎬
2a
2a
⎪⎩
⎪⎭
II)
Quando ∆ = 0, ∆ igual a zero, a equação
tem duas raízes reais e iguais.
01. A razão entre a soma e o produto das raízes da
equação 2x2 - 7x + 3 = 0.
a) 7/3
b) 7/2
c) 3/2
d) 3/7
e) 2/7
02. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das
raízes da equação 2x2 – 26x + 80 = 0
pode ser igual a:
a) 0;
b) 2;
⎧ -b -b ⎫
S= ⎨ ;
⎬
⎩ 2a 2a ⎭
c) 3;
III) Quando ∆ < 0, ∆ menor que zero, a
equação tem duas raízes não reais e
diferentes entre si.
S = φ conjunto vazio, as raízes não
são reais.
d) 12;
e) 20.
03. (PUC-MG) Os valores de x que verificam a
2
equação 0,01x + 0,05x = 2,50 − 0,10x pertencem ao
OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA
(RELAÇÕES DE GIRARD)
Seja a equação:
conjunto:
a) {–25, –17, 10, 16}
b) {–23, –14, 11, 12}
c) {–17, –10, 14, 25}
d) {–23, –16, 17, 21}
04. x2 - 8x + 7 = 0
1x2 - Sx + P = 0
a=1
e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos ter:
05. x2 - 6x + 9 = 0
06. x2 - 2x + 5 = 0
12 Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
b)
c)
d)
e)
07. 3x2 + 12x = 0
13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a
divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da
adição de 0,5 com "x"?
08. 9 - 4x2 = 0
09. (Unificado-RJ) A maior raiz da equação - 2x2
+ 3x + 5 = 0 vale:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 2,5
e)
25
–7
–25
13
3+ 19
4
10. O número de soluções inteiras da equação
x-3 4
4
- =
x - 4 x x(x - 4)
a) 0
b)1
c)2
d)3
e) 4
11. (FCC-TRT) Numa reunião, o número de
mulheres presentes excede o número de homens
em 20 unidades. Se o produto do número de
mulheres pelo de homens é 156, o total de pessoas
presentes nessa reunião é
a) 0,5
b) –0,5
c) –1
d) 1
e) 0
14. (ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de
água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse
número x corresponde à raiz positiva da equação x(
x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por
hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml,
é:
a)
b)
c)
d)
e)
504ml
540ml
5040ml
50,4ml
5400ml
a) 24
b) 28
c) 30
d))32
GABARITO
e) 36
01
A
02
C
03
A
04
1e7
05
3
12. Qual o menor número que se deve somar a
cada fator do produto de 5 x 13 , para que este
produto , aumente de 175 unidades ?
a) 7
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
13
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
06
Vazio em R
07
-4 e 0
08
-3/2 e 3/2
09
D
10
B
11
D
12
D
13
C
14
A
PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv )
O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( yv
) da função:
f( x ) = ax2 + bx + c = 0
a>0
Obs.: O coeficiente a de x2 é POSITIVO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
GRAU
xv
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Toda a função do 2° grau tem um ponto de máximo
ou de mínimo.
0
x
yv
V
f( x ) = ax2 + bx + c = 0
Ponto de
a≠0
CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2°
GRAU
CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE
PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv )
O ponto de máximo é ponto de maior ordenada ( yv
) da função:
f( x ) = ax2 + bx + c = 0
2
y
yv
0
Ou também, calculando a média aritmética das
raízes ( x1 e x2 ):
xv =
x1 + x 2
2
Ponto de
V
14 −b
2⋅a
a<0
Obs.: O coeficiente a de x é NEGATIVO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
xv =
x
v
Atualizada Janeiro/2010
CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE
(MÁXIMO OU MÍNIMO)
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
yv =
− (b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c)
4⋅a
Ou também, substituindo xv na função:
f ( x v ) = a ⋅ ( x v )2 + b ⋅ ( x v ) + c
IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
Imagem
1)
Se a > 0
y ≥ yv
2)
Se a < 0
y ≤ yv
TESTES
01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem
mínimo no ponto em que x vale:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
02. (PUC-MG) O valor máximo da função f(x) = - x2
+ 2x + 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
a)
b)
c)
d)
e)
5/6
31 /14
83/12
89/18
93/12
05. (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR) Uma
peça metálica, usada na manutenção dos veículos
da Guarda Municipal, ao passar por certo
tratamento, sofre uma variação de temperatura, que
é descrita pela função T(t), na qual T é a
temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido
em horas. Sabendo que T(t) = - 2t2 + 18t + 25,
sendo o intervalo do tratamento de 0 a 10 horas,
para qual intervalo de tempo a temperatura é maior
ou igual a 25 °C?
a)
b)
c)
d)
e)
0 ≤ t ≤ 10
9 ≤ t ≤ 10
5 ≤ t ≤ 10
0≤t≤9
6 ≤ t ≤ 10
06. (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é
dado por L(x) = –x2 + 60x – 10 onde x é a
quantidade mensal de unidades fabricadas e
vendidas de um certo bem, produzido por esta
empresa e L é expresso em Reais (Obs.: Real →
unidade monetária).
O maior lucro mensal possível que a empresa
poderá ter é dado por:
03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de
assumir na expressão y= - x2 +2x é:
a)
b)
c)
d)
e)
04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do
vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é
igual a:
1
2
3
4
5
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 890,00
R$ 910,00
R$ 980,00
R$ 1.080,00
R$ 1.180,00
07. (EsPCEX) Um curral retangular será construído
aproveitando-se um muro pré-existente no terreno,
por medida de economia. Para cercar os outros
três lados, serão utilizados 600 metros de tela de
arame. Para que a área do curral seja a maior
possível, a razão entre as suas menor e maior
dimensões será:
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
15
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
TRT-SC
igual a 48. O valor máximo que se pode obter para
o produto desses números é:
a) 0,25
a)
b)
c)
d)
e)
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
08 Um artesão produz lembranças que vende a
turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele
sabe, por experiência, que seu lucro mensal é
obtido da expressão L(x) = 400(15 – x)(x – 3).
Determine, em reais, o preço pelo qual ele deverá
vender cada lembrança para obter o maior lucro
mensal possível, está compreendido no intervalo 9
≤ x ≤ 20 .
186
192
224
236
252
13. (FAE-PR) Para se produzir “x” unidades de um
certo produto, uma empresa tem como expressar o
seu custo por C(x) = x2 - 50 x + 2500. Analise as
proposições a seguir:
I. A empresa deve produzir 25 unidades para que o
custo seja mínimo.
II. O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00.
III. O custo de produção de 10 unidades é maior
que o custo de produção de 30 unidades.
Assinale a alternativa correta:
09. (UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um
terreno retangular à plantação de mudas. Para
limitar o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao
longo de três de seus lados, o quarto lado coincidirá
com um muro reto. Nestas condições calcule, em
metros quadrados, a maior área possível de ser
limitada.
10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um
saque em que a bola atingiu uma altura h em
metros, num tempo t, em segundos, de acordo com
a relação h(t) = -t² + 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?
[Nota]: observem o vértice
b) De quantos metros foi a altura máxima
alcançada pela bola?
11. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é
dado por L = - x2 + 30x - 5, onde x é a quantidade
mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo
possível?
12. (Unifor-CE) Considere dois números reais tais
que a soma de um deles com o triplo do outro é
16 Atualizada Janeiro/2010
a) Apenas I está correta.
b) Apenas I e II estão corretas.
c) Apenas I e III estão corretas.
d) Apenas II e III estão corretas.
e) Todas estão corretas.
14. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar
para participar de um congresso. Eles tiveram a
idéia de fretar um ônibus no qual todos viajariam
juntos e cada um pagaria o preço do fretamento
dividido pelo número de pessoas. Ao pesquisar os
preços, descobriram que uma empresa de turismo
só aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para
cada ônibus, e calculava o preço (em reais) do
fretamento do ônibus pela fórmula p(x) = – x2 + 70x
+ 50, onde x representa o número de passageiros.
Considere as seguintes afirmações a respeito dos
preços nessa empresa.
I. Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará
mais de R$ 30,00.
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
II. Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento
será menor do que o preço correspondente a 40
pessoas.
respeita a equação h(t) = 5t2 + 10t. Depois de
quantos segundos, contados a partir do
lançamento, a bola retorna ao solo?
III. Existe um número x de pessoas para o qual o
preço do fretamento é igual a R$ 1.150,00.
a)
b)
c)
d)
e)
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
Assinale a alternativa correta.
GABARITO
a)
b)
c)
d)
e)
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente a afirmativa II é verdadeira.
Somente a afirmativa III é verdadeira.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
01
B
02
B
15. (UEL-PR) Um agricultor precisa cercar um
espaço reservado a uma horta com formato
retangular. A cerca para três lados da horta custa
R$ 40,00 o metro e a cerca para o quarto lado
custa R$ 60,00 o metro. O agricultor dispõe de R$
720,00 para gastar na cerca. Que dimensões ele
deve dar a esse espaço para maximizar a sua
área?
a) 4,5m x 3m
b) 5,4m x 3m
c) 4,5m x 3,6m
d) 5,4m x 3,6m
e) 6,1m x 3,2m
03
A
04
E
05
D
06
A
07
B
08
Correta
09
125 000
10
4 e 16
16. (UFRG) O movimento de um projétil, lançado
para cima verticalmente, é descrito pela equação
y=-40x2+200x. Onde y é a altura, em metros,
atingida pelo projétil x segundos após o
lançamento. A altura máxima atingida e o tempo
que esse projétil permanece no ar corresponde,
respectivamente, a:
11
220
12
B
13
C
14
A
15
C
16
C
17
D
a)
b)
c)
d)
e)
6,25 m, 5s
250 m, 0 s
250 m, 5s
250 m, 200 s
10.000 m, 5s
17. (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR)
Durante um treinamento da guarda municipal, uma
bola foi lançada verticalmente para cima a partir do
solo. A relação entre a altura h da bola em relação
ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos)
Atualizada Janeiro/2010
SUCESSÕES
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
17
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
DEFINIÇÃO:
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de
números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo
termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até
o último termo an, é uma progressão aritmética
(PA), se a diferença entre um termo qualquer a
partir do segundo, pelo seu antecessor imediato,
produzir um resultado (resto) constante real,
denominado razão ( r ) da progressão.
r = a n+1 - a n
r = a2- a1
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO
ARITMÉTICA
r = a3- a2
DE
UMA
PROGRESSÃO
r = a4- a3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA),
temos que:
r = a n - a n-1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 PA estritamente
crescente
r>0
2 PA estritamente
decrescente
r<0
3 PA constante
r=0
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma
progressão aritmética (PA) de razão 2.
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA (PA)
Resolução
r = a2- a1 = 4–2=2
A definição de progressão aritmética (PA), sugere
que:
r = a3- a2 = 6–4=2
r = a4- a3 = 8–6=2
a 2 = a 1 + 1r
r = a 5 - a 4 = 10 – 8 = 2
a 3 = a 1 + 2r
a 4 = a 1 + 3r
A constante 2, obtida pela diferença, conforme
mostra quadro, define a seqüência como uma
progressão aritmética (PA) de razão.
18 Atualizada Janeiro/2010
a 5 = a 1 + 4r
a 6 = a 1 + 5r
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
e assim sucessivamente
( x-r, x , x+r )
Generalizando para termo de ordem n (n = ao
número de termos da progressão), temos a fórmula
geral:
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
a n = a 1 + ( n - 1 ).r
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste
caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+
a3+ a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão aritmética.
a n = a k + ( n - k ).r
n é igual ao número
de termos somados.
Por exemplo:
Sn =
(a1 + an )
⋅n
2
01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo
termos.
Resolução:
an é o último termo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de
progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 10 = a 1 + (10 - 1)r
r=a2-a1=6-10 = -4
Resolução:
a 10 = 10 + 9(-4)
I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20
não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
a 10 = 10 - 36
a 10 = -26
II) Pela fórmula do termo geral,
PROGRESSÃO
TERMOS
ARITMÉTICA
COM
TRÊS
a n = a 1 + ( n-1 )r
Forma simplificada para a representação de uma
progressão aritmética com três termos em duas
variáveis.
Atualizada Janeiro/2010
a 20 = a 1 + ( 20-1 )r
r=a2-a1=5-2=3
a 20 = 2 + 19x3
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
19
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
TRT-SC
a 20 = 2 + 57
Notícia publicada em 07 maio 2008.
a 20 = 59
Disponível em:
http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/
II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.
Sn =
(a1 + an )
⋅n
2
S20 =
(2 + 59)
× 20
2
Se, de 2008 a 2012, a carga processada
diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar,
anualmente, em progressão aritmética, quantos
milhões de barris diários serão produzidos em
2011?
a)
b)
c)
d)
e)
2,100
2,125
2,200
2,250
2,375
S20 = 61×10
3. (PUC-MG) Acompanhando o desenvolvimento
de uma população de vírus, certo biólogo montou a
seguinte tabela, que apresenta o número de vírus
ao final de cada um dos 5 primeiros minutos:
S20 = 610
TESTES
1. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
a) ( 2, 4, 6, 8, a5, a6, a7, a8 )
b) ( 35, 30, 25, 20, a5, a6, a7, a8 )
c) ( 8, 8, 8, 8, a5, a6, a7, a8 )
Supondo-se que o ritmo de crescimento dessa
população tenha continuado a obedecer a essa
mesma lei, então o biólogo concluiu que na etapa
correspondente a 50 minutos a população, era:
a)
b)
c)
d)
87
90
197
200
4. (CESGRANRIO) Quantos números múltiplos de
7 ou de 11 há entre 1 e 1000?
a) 90
2. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) “Modelo
de Gestão do abastecimento está preparado para a
expansão da Petrobras
(...)A carga a ser processada nas refinarias da
Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos
atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 milhões
em 2012 (...).”
20 Atualizada Janeiro/2010
b) 142
c) 220
d) 229
e) 232
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
5. (NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º
termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º
termo é 14, então o 12º é:
TRT-SC
9. (UFF-RJ) Uma certa quantidade de latas de
atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas,
conforme a figura abaixo.
30 camadas
a) 33
b) 34
c) 35
d) 36
e) 37
6. (PUC-RS) As quantias, em reais, de cinco
pessoas estão em progressão aritmética. Se a
segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$
250,00 e R$ 400,00, a primeira possui:
a)
b)
c)
d)
e)
Determine a quantidade de latas da pilha.
10. (Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de
três pratos estão em progressão aritmética de
razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato
custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro
prato custam juntos:
R$ 200,00
R$ 180,00
R$ 150,00
R$ 120,00
R$ 100,00
7. Determine o sexto termo de uma seqüência em
que a1 = 2 e a10 = 47.
a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 66,00
d) R$ 68,00
8. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Uma
empresa de propaganda instalou dois painéis em
uma estrada, o primeiro no km 78 e o segundo no
km 246. A mesma empresa pretende instalar outros
7 painéis entre esses dois, de modo que a
distância entre dois outdoors consecutivos seja
sempre a mesma. Qual será, em km, essa
distância?
a)
b)
c)
d)
e)
21
24
26
28
31
Atualizada Janeiro/2010
e) R$ 70,00
11. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam
três termos de uma progressão aritmética.
12. (UEPI-PI) A seqüência (s – 1, 3s – 1, s – 3),
onde s é um real, é, nesta ordem, uma Progressão
Aritmética de 3 termos. A soma dos termos
extremos de tal PA é igual a:
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 21
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
a)
b)
c)
d)
e)
5
3
0
–3
–5
d) 16
e) 18
13. (UFAM-AM) Durante 13 dias, um automóvel é
submetido a testes de desempenho mecânico. No
primeiro dia ele percorre 30 km; no segundo, 45
km; no terceiro, 60 km; e assim sucessivamente,
até o último dia, quando percorre x km. Então
a)
b)
c)
d)
e)
TRT-SC
x
.
10
35
30
45
60
21
17 Durante uma feira agropecuária foi realizada
uma campanha para arrecadar alimentos para
famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg
de alimentos, no segundo dia o dobro de Kg do que
foi arrecadado no primeiro dia; no terceiro dia o
triplo de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; e
assim sucessivamente. Ao final de 20 dias foi
arrecadado um total de 73 500 Kg. A quantidade de
Kg arrecada no primeiro dia foi de:
a) 150 Kg
b) 200 Kg
14. (Unifor-CE) Em uma progressão aritmética em
que a 2 = 3 e a 3 = 2 , é verdade que
a)
b)
c)
d)
e)
a5 = − 1
a 10 = − 6
a 15 = − 15
d) 300 Kg
e) 350 Kg
a 50 = − 45
a 100 = − 99
15. (Mackenzie-SP) A seqüência de números
reais, com 12 termos, (89, a, b, c, ..., p, 45) é uma
progressão aritmética cujo oitavo termo vale:
a)
b)
c)
d)
e)
c) 250 Kg
57
59
61
63
65
18. (Unifesp-SP) A soma dos termos que são
números primos da seqüência cujo termo geral é
dado por an = 3n + 2 , para n natural, variando de 1
a 5, é:
a)
b)
c)
d)
e)
16. (FCC) Assinale a opção que apresenta
corretamente o oitavo termo de
uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30.
10.
16.
28.
33.
36.
19. (UEPB-PB) Com o intuito de atrair mais
clientes, um estacionamento de veículos adotou a
seguinte regra de pagamento para as primeiras 10
horas:
1ª hora: valor a pagar R$ 3,00
a) 10
2ª hora: valor a pagar R$ 2,50
b) 12
c) 14
22 Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
A partir daí, cada hora terá um desconto de R$
0,20. Quanto pagará um cliente se estacionar o seu
carro por 8 horas?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 10,00
R$ 15,00
R$ 14,50
R$ 16,30
R$ 19,20
Leonardo fez o maior número possível de “L” e,
assim, sobraram n bolinhas. O valor de n foi igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
5
6
7
8
9
23. (CESGRANRIO-EPE-2007) Considere a soma
dos n primeiros termos da progressão
20. (UFAM-AM) A soma dos múltiplos de 4
compreendidos entre 78 e 159 é:
a)
b)
c)
d)
e)
TRT-SC
2835
2630
2360
2941
2036
21. (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4
anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a
seguinte: são anos bissextos aqueles que são
divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa
regra são os anos divisíveis por 400, que também
são bissextos. Assim, o número de anos bissextos
entre 1895 e 2102 é:
a) 50
b) 47
c) 48
Aritmética 1,1 + 1,4 + 1,7 + 2,0 + 2,3 + ... + an =
278. É correto afirmar que n é um número:
a)
b)
c)
d)
e)
primo.
ímpar.
múltiplo de 3.
múltiplo de 5.
múltiplo de 7.
24. Em janeiro depositei R$ 100,00 no banco, em
fevereiro, R$ 200,00, em março, R$ 300,00, e
assim sucessivamente, aumentando R$ 100,00 a
cada mês nos depósitos, sem falhar em nenhum
deles. Terei depositado R$ 66 600,00 ao final do
período de três anos, se mantiver esse mesmo
procedimento.
25. (UEPB-PB) Considerando quadrados de
mesma área, com 4 palitos de fósforos formamos
um quadrado, com 7 palitos de fósforo dois
quadrados, com 10 palitos de fósforos 3 quadrados,
… Então, com 40 palitos formamos:
d) 49
e) 51
22. (CESGRANRIO) Leonardo queria jogar
“bolinhas de gude” mas, como não tinha com quem
brincar, pegou suas 65 bolinhas e resolveu fazer
várias letras “L” de tamanhos diferentes, seguindo o
padrão apresentado abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
15 quadrados
13 quadrados
19 quadrados
11 quadrados
10 quadrados
26. (FAE-PR) Um maratonista inicia um
treinamento para uma prova de 50 km, 40 semanas
antes de sua realização. Na primeira semana de
treinamento ele percorre 30 km. Na segunda
semana ele percorre ½ km a mais que na semana
anterior e assim sucessivamente. O maratonista:
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
23
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana;
b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana;
c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana;
TRT-SC
29. (Unifor-CE) Hoje, as idades de três irmãos,
em anos, são numericamente iguais aos termos de
uma progressão aritmética de razão 3. Se daqui a 5
anos, a soma de sua idades for igual a 57 anos,
atualmente, a idade do mais
d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana;
e) percorrerá 50 km no treino da semana da
maratona.
27. (PUC-PR) Qual a soma dos múltiplos de 7
compreendidos entre 1 e 100?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
velho é 18 anos
jovem é 13 anos
velho é 16 anos
jovem é 11 anos
velho é 14 anos
30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo,
as células pretas foram colocadas obedecendo a
um determinado padrão.
735
742
728
749
746
28. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de
bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de
seu nome), conforme a figura
Mantendo esse padrão, o número de células
brancas na Figura V será :
a) 101
b) 99
c) 97
d) 83
e) 81
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T”
completos pode-se, seguindo o mesmo padrão,
afirmar que ele possuía
31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá:
a) mais de 300 bolitas.
b) pelo menos 230 bolitas.
c) menos de 220 bolitas.
d) exatamente 300 bolitas.
e) exatamente 41 bolitas.
a) 10 quadradinhos pretos.
b) 10 quadradinhos brancos.
c) 22 quadradinhos pretos.
24 Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
d) 86 quadradinhos brancos.
e) 110 quadradinhos brancos.
32. (PUC-MG) A soma de três números naturais
em progressão aritmética é trinta; a diferença entre
o maior e o menor destes números é doze. O
menor termo dessa progressão é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
36. (Unifor-CE) Um casal tem três filhos cujas
idades estão em progressão aritmética. Se a soma
dessas idades é 36 anos e o filho mais velho tem
16 anos, quantos anos tem o filho mais novo?
a)
b)
c)
d)
e)
6
8
10
12
14
37. (UFRJ-NCE) Uma PA crescente de 20 termos
tem razão 3. A diferença entre o último e o terceiro
termo é igual a:
33. (Unifor-CE) Em um triângulo, as medidas dos
ângulos internos estão em progressão aritmética.
Se a menor dessas medidas é 10o, a maior delas é
a)
b)
c)
d)
e)
TRT-SC
90º
100º
110º
120º
130º
a) 17
b) 19
c) 36
d) 51
e) 54
38. (UFOP-MG) O primeiro termo de uma
progressão geométrica vale
1
e o segundo termo
4
vale 2. O vigésimo termo vale:
34. (CESGRANIO-BNDES) Quantos são os
números inteiros, compreendidos entre
100 e 200, que são múltiplos de 3 e,
simultaneamente, não são múltiplos de 5?
a) 258
b) 255
c)
d)
141
4
67
2
a) 13
39. (UFRR-RR) Os índios da aldeia Raposa Serra
do Sol fizeram colares de contas coloridas para
vender. Num período de 8 dias, fizeram 192
colares, sendo que em cada dia fizeram 4 colares a
mais que no dia anterior. O número de colares
fabricados no último dia foi:
b) 16
c) 21
d) 26
e) 27
35. (UTFPR) A progressão aritmética (x, x + 2, x +
4, x + 6,...) tem a soma de seus 20 termos igual a
2780. Então, o valor de seu oitavo termo é:
a)
b)
c)
d)
e)
124
126
134
136
240
Atualizada Janeiro/2010
a)
b)
c)
d)
e)
24
30
36
38
46
40. (Fatec-SP) Um auditório foi construído de
acordo com o esquema abaixo:
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
25
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
01
a) 10, 12, 14, 16
b) 15, 10, 5, 0
c) 8, 8, 8, 8
02
E
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4
lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas
800 pessoas para assistir a um evento e todas
comparecerem,
03
C
04
C
05
C
a)
b)
c)
d)
e)
06
A
07
27
08
A
09
900
10
C
11
4
12
E
13
E
14
D
15
C
16
B
17
E
18
D
19
D
20
C
21
A
22
A
23
D
24
C
25
B
26
E
27
A
ficarão vagos 140 lugares.
ficarão vagos 64 lugares.
faltarão 44 lugares.
faltarão 120 lugares.
não sobrarão nem faltarão lugares.
41. (UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões
objetivas foi elaborada de tal modo que o nível de
dificuldade é crescente; assim, cada
questão vale 2 pontos a mais que a questão
anterior. Se o valor da primeira questão é 1, o
número máximo de pontos que se pode obter nessa
prova é:
a)
b)
c)
d)
e)
1 300;
1 325;
2 475;
2 500;
2 525.
42. (Unifor-CE) Maria tem uma dívida de R$
540,00 e pretende saldá-la pagando R$ 50,00 no 1o
mês, R$ 55,00 no 2o mês, R$ 60,00 no 3o mês e
assim, sucessivamente, aumentando o pagamento
em R$ 5,00 a cada mês. A sua dívida estará
totalmente paga no
a)
b)
c)
d)
e)
14o mês.
12o mês.
10o mês.
8o mês.
6o mês.
GABARITO
26 Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
28
B
29
D
30
A
31
E
32
C
33
C
34
D
35
C
36
B
37
D
38
B
39
D
40
C
41
D
42
D
q=
a3
a2
q=
a4
a3
.
.
.
q=
an
an-1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma
progressão geométrica (PG).
Resolução
q=
a2 4
= =2
a1 2
q=
a 4 16
=
=2
a3
8
q=
a3 8
= =2
a2 4
q=
a5 32
=
=2
a 4 16
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de
números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo
termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até
o último termo an, é uma progressão geométrica
(PG), se a divisão entre um termo qualquer a partir
do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir
um resultado (quociente) constante real,
denominado razão ( q ) da progressão geométrica.
a
q= 2
a1
Atualizada Janeiro/2010
A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
geométrica (PG) de razão 2.
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )
q=
an
an-1
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
27
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
a n = a 1 x q n-1
CLASSIFICAÇÃO
GEOMÉTRICA
DE
UMA
PROGRESSÃO
Seja q a razão de uma progressão geométrica
(PG), temos que:
1 PG
estritamente
crescente
a1 > 0
e q>1
a1 < 0
2 PG
estritamente
decrescente
PG alternante
a n = a k x q n-k
ou
e 0<q<1
a1 > 0 e 0 < q < 1
ou
EXERCÍCIO RESOLVIDO
a1 < 0 e q > 1
3 PG constante
4
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste
caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
q=1
a1
≠0 e q<0
01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo
termos.
Resolução:
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA (PG)
a n = a 1 x q n-1
a 10 = a 1 x(q) 10-1
A definição de progressão geométrica (PG), sugere
que:
r=a2/a1=6/ 3= 2
a 10 = 3 x (2) 9
a 10 = 3 x 512
a 10 = 1536
a 2 = a 1 x q1
a 3 = a 1 x q2
PROGRESSÃO
TERMOS
a 4 = a 1 x q3
GEOMÉTRICA
COM
TRÊS
a 5 = a 1 x q4
a 6 = a 1 x q5
e assim sucessivamente
Generalizando para termo de ordem n (n = ao
número de termos da progressão), temos a fórmula
geral:
28 Atualizada Janeiro/2010
Forma simplificada para a representação de uma
progressão geométrica com três termos em duas
variáveis.
(
x
, x ,
q
x ⋅q )
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA FINITA
a 10 = 512
II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+
a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão geométrica finita.
n é igual ao número
de termos somados.
Sn =
a1 (qn - 1)
q-1
an é o último termo.
Sn =
a1 (qn - 1)
q-1
1× (210 - 1)
2 -1
1× (1024 - 1)
Sn =
2 -1
Sn =
Sn =
1023
1
Sn = 1023
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA INFINITA
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de
progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10
não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica de razão –1<q<1e Sn a soma desses
termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... , temos uma
forma simplificada para o somatório de qualquer
seqüência infinita em PG, dada pela fórmula:
a
S∞ = 1
1- q
∞ = símbolo que
representa o infinito
II) Pela fórmula do termo geral,
EXERCÍCIO RESOLVIDO
a n = a 1 x q n-1
a 10 = a 1 x q 10-1
a 10 = 1 x (2) 9
r=a2/a1=2-1=2
01. Calcular a soma dos termos da progressão
geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...).
a 10 = 1 x 512
Resolução:
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
29
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n= ∞ e a
razão não foi fornecida, deverá ser calculado, veja
item II.
TRT-SC
b) ( 729, 243, 81, 27, a5, a6, a7, a8 )
II) Pela fórmula do termo geral,
q=
1
2
=
1
c) ( 3, 3, 3, 3, a5, a6, a7, a8 )
1
1
x1 =
2
2
II) A soma dos infinitos ( ∞ ) termos, S ∞ , é:
S∞ =
S∞ =
a1
1- q
d) ( 2, -4, 8, -16, a5, a6, a7, a8 )
1
1
12
S∞ =
1
1
2
2. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008)
Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as idades de
Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa
ordem, uma progressão geométrica de razão 2.
Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver
com 5 anos?
S∞ = 2
a)
b)
c)
d)
e)
TESTES
1. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
a) ( 2, 4, 8, 16, a5, a6, a7, a8 )
3. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma
é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo
e terceiro termos dessa progressão aritmética,
obtemos três números em progressão geométrica.
Então, um dos termos da progressão aritmética é
a)
b)
c)
d)
e)
30 Atualizada Janeiro/2010
6
8
10
12
14
9
11
12
13
15
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
4. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
a) 20/3
a) 9/2 e 6
b) 9 e 3
c) 3 e 9
b) 18/7
d) 6 e 9
c) 16/5
e) 9/2 e 3
d) 14/5
e) 12/7
5. (CESGRANRIO-ANP-2008) Quando três
números representam termos consecutivos de uma
progressão geométrica, o termo do meio
corresponde à média geométrica dos outros dois.
Se a seqüência (x-1; x + 2; 2x-4) é uma progressão
geométrica crescente, o maior termo dessa
progressão é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
a) – 3
b) 1
c) 3
d) −
9
10
12
15
16
1
3
d) e)
6. (EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de
uma seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a
seqüência é uma
a)
b)
c)
d)
9. (UDESC-SC) Três números formam uma
progressão aritmética de razão r = 7 . Subtraindo-se
uma unidade do primeiro termo, vinte unidades do
segundo termo e trinta e uma unidades do terceiro
termo, a seqüência resultante é uma progressão
geométrica de razão:
seqüência limitada.
progressão aritmética.
progressão geométrica de razão 8.
progressão geométrica decrescente.
7. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência (
x-1, 6, y) é uma PG. Quais são os valores de x e
y?
1
3
10. (Uniube-MG) O número que deve ser somado
aos termos da seqüência (-2, 2, 14) para que esta
se transforme numa progressão geométrica é:
a)
b)
c)
d)
e)
5
4
2
–2
–4
11. Recreações matemáticas já apareciam no
papiro de Ahmes (1650 a.C.). Aos fragmentos do
problema 79 deste papiro associa-se a posterior
versão da poesia infantil:
“Quando ia a Sto Ives,
encontrei um homem com sete mulheres,
8. (UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem,
termos consecutivos de uma progressão aritmética
cuja razão é positiva. Por sua vez, os números
reais a, b e 8 são, nessa ordem termos de uma
progressão geométrica. Determinando a e b,
obtemos respectivamente:
Atualizada Janeiro/2010
cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos.
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
31
MATEMÁTICA
Prof. Pacher
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a
Sto Ives?”
TRT-SC
b) 7200
c) 4800
d) 3600
(Do livro – História da matemática – Carl Boyer)
A resposta correta a esta questão é:
4 3
2
a) 7 + 7 + 7 +7+1
14. O financiamento de um carro foi feito nos
seguintes moldes. Sem entrada e a primeira
mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00,
no terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um
total de 12 prestações. Qual é o custo final do
carro.
3
2
b) 7 + 7 +7+1
4 3
2
c) ( 7 + 7 + 7 )7
15. (UEPB-PB) Os ângulos internos de um
quadrilátero formam uma P.G. de modo que o
último ângulo é quatro vezes maior que o segundo
ângulo. A medida do menor desses quatro ângulos,
em graus, é:
4 3
2
d) ( 7 + 7 + 7 +7)7
4
3
2
e) 7 + 7 + 7 +7
12. (UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de
janeiro de 2004 para iniciar uma ação de
voluntariado junto a organizações de proteção ao
meio ambiente. Em fevereiro, cada uma daquelas
pessoas tinha conseguido a adesão de um novo
voluntário. Observaram que tinham começado a
aplicar uma boa estratégia para aumentar o grupo
de voluntários e decidiram o seguinte: a cada mês,
cada voluntário traria um novo voluntário para
participar do grupo e, sempre que alguém
desistisse, seria substituído. Assim, o total de
voluntários no mês de janeiro de 2005, já incluídos
os novos participantes do mês, será de:
a) 3x212
b) 3+212
d) 212
e) 311
c) 3x211
13. Uma indústria produziu 74.400 unidades de
certo produto num período de 5 anos. Supondo
que a produção tenha dobrado a cada ano, o
número de unidades produzidas nos dois primeiros
anos, foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
18
26
22
20
24
16. (UFAM-AM) Numa progressão geométrica, o
primeiro termo é igual a 37 500, e o quarto termo é
igual a 20% do terceiro. Então o quinto termo da
progressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
60
12
300
100
20
17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do
terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor
de a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
a) 7400
Atualizada Janeiro/2010
32 e) 12/7
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
TRT-SC
Prof. Pacher
18. (FCC) A seqüência (x, x – 4,
x–4
, ...) é uma
3
progressão geométrica decrescente.
quarto termo dessa progressão é:
O
a)2/3
b)4/9
c)1/3
d)2/9
e)1/9
19. (ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de
água provocou a perda de 2 litros de água no
primeiro dia. Como o orifício responsável pela
perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento
foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi
dobrando a cada dia, o número total de litros de
água perdidos, até o 100 dia, foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
2046
1024
1023
2048
512
20. (UEPB-PB) Durante os sete dias destinados
às inscrições de um concurso, o número de
candidatos cresceu em progressão geométrica do
primeiro ao sétimo dia. Sabendo que no 1º dia se
inscreveram 2 candidatos e no sétimo dia 1.458,
concluímos que o total de candidatos inscritos para
o referido concurso foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
02
B
03
C
04
C
05
A
06
B
07
-1 e -18
08
E
09
E
10
B
11
E
12
A
13
B
14
4 095
15
E
16
A
17
C
18
D
19
A
20
C
2.916
1.460
2.186
1.458
1.944
GABARITO
01
a) 32, 64, 128, 256
b) 9, 3, 1, 1/3
c) 3, 3, 3, 3
d) 32, -64, 128, 256
Atualizada Janeiro/2010
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
33