INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
INTERVALOS DE
CONFIANÇA
ESTATISTICA AVANÇADA
Resumo
Intervalos de Confiança para médias e proporções com aplicações a Engenharia.
Fernando Mori
[email protected]
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
Intervalos de Confiança para Médias e Proporções
Unidade 1 - Interferência Estatística
1.1 Introdução
Usualmente é impraticável observar toda uma população. Examina-se então uma amostra. Se essa
amostra for bastante representativa os resultados obtidos poderão ser generalizados para toda a
população.
O pesquisador pode levantar hipóteses das possibilidades das generalizações dos resultados aos
experimentos semelhantes. Deverá testar essas hipóteses que poderão ser rejeitadas.
Um experimento pode ter por finalidade a determinação da estimativa de um parâmetro de uma
função.
Toda conclusão tirada por uma amostragem quando generalizada para a população virá
acompanhada por um grau de incerteza ou risco.
Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de confiança
nas afirmações que faz para a população baseadas nos resultados das amostras, damos o nome de
Interferência Estatística.
O problema da inferência é medir o grau de incerteza ou risco dessas generalizações.
1
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
Unidade 2 - Estimação de Parâmetros
1. Introdução
Um dos objetivos básicos da experimentação é a estimação de parâmetros. Estuda-se uma
população cuja distribuição é considerada conhecida por meio de sua função de densidade de


probabilidade f x,1,2 , , p onde x é uma variável aleatória e
θi, i =1, 2,..., p são os parâmetros da distribuição.
1.1 Exemplo:

x : N  ,
2
 onde f  x,  ,   
2
2

1 x  

exp 
2
 
 2

1




Portanto a distribuição de x, que é normal depende de dois parâmetros µ e σ2 .
Temos de avaliar um ou mais parâmetros da distribuição populacional tomando por base uma
amostra casual simples x1, x2,..., xn.
O principal problema é procurar funções de observações que forneçam estimativas dos parâmetros.
As distribuições dessas funções devem estar concentradas o mais possível em torno dos
verdadeiros valores dos parâmetros θ. Estas funções são estimadoras:  é o valor numérico deles
calculados usando as observações x1, x2,....., xn são as estimativas dos parâmetros  0 .
n
Logo:
S2 
x
1
n 1
S 2  S02
1
n
 xi é um estimador de µ e x  x
0
i 1
n
  xi  x 
i 1
2
é um estimador de σ2 e
é uma estimativa calculada na amostra.
2
é uma estimativa.
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
2. Tipos de Estimação
Estimação por ponto
2.1
Na estimação por ponto, a partir das observações calcula-se uma estimativa usando o
estimador ou “estatística”. A distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o
estudo das qualidades de um estimador.
As principais qualidades de um bom estimador são:
a) Consistência
b) Ausência de vício
c) Eficiência
d) Suficiência
Quanto maior grau de concentração da distribuição amostral do estimador em torno do
verdadeiro valor do parâmetro populacional, tanto melhor será o estimador.
a) Consistência


Definição: um estimador  é consistente se estimar θ , se lim P       0 .
n
x é um estimador consistente para µ.
2
Se x é uma variável aleatória com E  x    e Var  x   
Então:
P


x   >

P x   > 


2
2
para todo
  0 , temos:
   2
Var x
2
n 2
2
0
2
Quando n  , nlim
 n
Logo, a distribuição de x se concentra em torno de µ quando a amostra é suficientemente
grande.
3
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
b) Ausência de vício ou justeza
Definição: um estimador θ é não viciado, não tendencioso, não viesado ou justo se:
Se n
tendencioso.
Exemplo:

lim E   

E   .
dizemos que o estimador é assintoticamente não


x : N  , 2 . Sabemos que x é um estimador não viciado de µ, pois
 
E x  .
n
  xi  x 
1
S 
Vamos mostrar que
n 1
2
2
é um estimador não viciado de
i 1
n

 1
E S2  E 
xi
n 1

i 1




1


E
n 1 

2
i

2
xi  nx  

i 1

 

x

2

 x
1

E

n

1



2
i
2 
 2 xi x  x 


n
x  2x

n
 n

 xi
2
1


E
xi2  2 x n i1  n x  
n 1 
n

i 1




1


E
n 1 



1


E
n 1 

 
E S2

n
i 1
n

i 1
2
2

xi  2 x n  nx  


 

1 

xi  nx  
 E 
n

1



 
1 


n 1 

2
n
Ex  
2
i
i 1
n

i 1
2


n E
 x 



4


2
xi2   E nx 




 
2.
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
n
Como:
 E  x = E  x   E  x  
2
i
2
1
 
 
i 1
e:
 x    E  x 
    Ex  
VAR  x   E

2
x
 E
2
 
 E xn2  E xn2  E x 2
2
2
2
2
2
2
2

2
De maneira idêntica chega-se a:
2


E
 2
x 
n


2
Reescrevendo temos:

E S2


 E S2
   n E  x 2  
1 
2
n E x
n 1 

1 

n
n 1 





 2 



 n


 2  2  n 


2


1
n  2  n  2   2  n 2
n 1

1
1
n  2  2  E S2 
 2  n  1   2
n 1
n 1


 

 
Assim : E S 2   2
O que demonstra que S2 é um estimador não viciado de
5
2.

INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
c) Eficiência
Dados dois estimadores 1 e 2 definimos eficiência de um parâmetro com relação ao outro
para um mesmo tamanho de amostra como:
Ef 
 
VAR  
VAR  2
1
d) Suficiência
Definição: um estimador  de θ é suficiente se contém o máximo possível de informação com
relação ao parâmetro por ele estimado.
1
Quantidade de informação:  VAR  
2.2
Estimação por intervalo
A estimação por pontos de um parâmetro não possui uma medida do possível erro cometido na
estimação.
Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites que com certa
probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro da população.
Esses limites são chamados limites de confiança: determinam um intervalo de confiança (IC) no
qual deverá estar o verdadeiro valor do parâmetro.
Logo a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores tais que (1-2) seja a
probabilidade de que o intervalo por eles determinado contenha o verdadeiro valor do parâmetro.

: nível de incerteza ou grau de desconfiança.
1   : coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade.
Portanto:  nos dá a medida da incerteza desta inferência (nível de significância).
Logo, a partir de informação de amostra devemos calcular os limites de um intervalo, valores
críticos, que em 1    % dos casos inclua o valor do parâmetro a estimar e em
não inclui o valor do parâmetro.
6
 % dos casos
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
Unidade 3 – Intervalos de Confiança para Médias
1. Introdução
A cada dois anos acostumamo-nos a acompanhar as pesquisas eleitorais. Geralmente elas são
mostradas assim:
Candidato
Intenção de Voto
João
31%
Maria
30%
José
10%
Pedro
22%
E, usualmente essa informação é acompanhada por uma outra, a tão famosa margem de erro da
pesquisa. Supondo que ela seja de dois pontos percentuais para cima ou para baixo, o que vale
dizer que o candidato João tem entre 29% e 34% dos votos.
Construir um intervalo de confiança nada mais é do que estabelecer uma margem de erro para um
estimador e calcular o grau de confiança correspondente a essa margem. Ou como é mais comum,
estabelecido um grau de confiança, calcular a margem de erro que corresponda a essa confiança.
Como se faz isso? É necessário conhecermos a distribuição de probabilidades do estimador.
1.1 Procedimento para a construção do IC para a média com variância conhecida:
a) Retiramos uma amostra casual simples de n elementos;
b) Calculamos a média da amostra x ;
c) Calculamos o desvio padrão da média amostral:

x


2

n
n
d) Fixamos o nível de significância α , e com ele determinamos Zα tal que:
P ( z >z )   ou seja P  z >z
P  z < z
P
z

< z

2

logo devemos ter:
 1
7

2
e
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
α/2
α/2
(1-α)
zα
zα
Precisamos determinar a partir dessa formula o IC.
Como
z 
x
ou
x
 x  
P

x

P
x
 x
x 
z 

x

 z   1  


 z
x
.
  1
  x  z       x  z .   1  
Px  z 
   x  z .   1  
P
 .
 .

x

x
x
x
que é a formula do IC para a média de populações normais com variâncias conhecidas.
1  x  z . x
Os limites já conhecidos são:
2  x  z . x


Usando notação simplificada: IC 1 1    %   1 , 2 
Observe que a fórmula só vale para populações que obedecem a distribuição normal.
8
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
1.2 Exemplos de Aplicação:
1.2.1) De uma população normal x, com σ2=9 tiramos uma amostra de 25 observações obtendo
25
x
i
i 1
 152 . Determine um IC de limites de 90% para
µ.
Queremos conhecer a média populacional com confiança de 90%.
1     90%  
x 
x 
1
n
 10%
n
x
i
i 1
152
 6, 08
25
x 
2
n

9
3

  x  0, 6
25
5
z  z 45%  z0,45  1, 64
5%
90%
-zα
5%
zα
z
P(6,08 – 1,64[0,6] < µ < 6,08 + 1,64[0,6]) = 0,90
P(6,08 – 0,984 < µ < 6,08 + 0,984) = 0,90
9
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
5,096
µ
7,064 x
P (5,096 < µ < 7,064) = 0,90
IC (µ, 90%) = (5,096; 7,064)
Portanto temos 90% de confiança que o verdadeiro valor µ populacional se encontra
entre 5,096 e 7,064 ou então corremos um risco de 10% de que o verdadeiro valor da
média populacional seja menor que 5,096 ou maior que 7,064.
1.2.2) De uma população de 1.000 elementos com distribuição aproximadamente normal
com σ2 = 400 tira-se uma amostra de 25 elementos obtendo-se
Fazer um IC para µ ao nível de 5%.
x = 150.
Como a população é aproximadamente normal, x tem distribuição normal. Usamos para
x
o fator de correção
N n
N  1 para populações finitas e amostragem sem reposição.
Os dados são: N=1000, σ2 = 400, n = 25,
x 

n
x = 130,
N  n 20 1000  25

  x  3,95
N 1
5 1000  1
z  z47,5%  1,96
P (150 – 1,96\[3,95] < µ <150 – 1,96 [3,95] ) = 0,95
P (142,25 < µ < 157,75) = 0,95
ou IC ( µ, 95%) = (142,25 ; 157,75)
10
α = 5%
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
1.2.3) De uma população normal com σ = 5 retiramos uma amostra de 50 elementos e
obtemos
x
= 42.
a) Fazer um IC para a média ao nível de 5% ?
b) Qual o erro de estimação ao nível de 5% ?
c) Para que o erro seja ≤ 1, com probabilidade de acerto de 95%, qual deverá ser o tamanho
da amostra?
a) Dados do problema n = 50; σ = 5 ; x = 42 e α = 5%
z  z 47,5%  1, 96
x 

n
5

50
 0, 71
P (42 – 1,96 [0,71] < µ < 42 + 1,96 [0,71]) = 0,95
P (42 – 1,39 < µ < 42 + 1,39) = 0,95
P (40,61 < µ < 43,39) = 0,95
b) Como:
x
E  x   e z 
x
E  z . x  1,96 (0,71)  1,39
c) Se P (E ≤ 1) = 0,95  n = ?
Como desconhecemos n,
x 

n
z  z 47 ,5%  1, 96
1, 96

n
1
n  1, 96  5 
n  9, 8
n  96, 04
n  96 elementos
Logo se tomarmos uma amostra de no mínimo 96 elementos, teremos 95% de confiança de
que o erro será no máximo 1.
11
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
Unidade 3 – Intervalos de Confiança para Proporções
1. Introdução
Considere uma amostra grande quando n > 30. Precisamos construir IC para parâmetro de
populações não normais, com distribuições binomiais, de Poisson, de freqüências relativas,
logo, de distribuições aproximadamente normais ou então de populações normais com
variâncias desconhecidas. Nessas condições podemos construir aproximadamente o IC para
o parâmetro seguindo o modelo de IC para médias de populações normais com médias
desconhecidas.
Lembrando que p populacional é conhecida
p
x
n tem distribuição
pq 
p p

P  N  p,
: N  0,1
 ou
assintoticamente.
n 
p

Para construirmos o IC para p desconhecida, determinamos p 0 na amostra e
consideramos:  p 
p 0 .q 0
n


Logo ao nível α de significância, P z  z  1  
Sendo:
z
p0  p
p
 p p

 P 0
 z   1  
 p



e desenvolvendo como foi feito para a média chegamos a formula do IC para a

proporção p populacional,

P p 0  z . p  p  p 0  z . p  1  
ou


IC p, 1    %   p1 , p2 
12
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
1.2 Exemplos de Aplicação:
1.2.1) Retiramos de uma população uma amostra de 100 elementos e encontramos 20 sucessos.
Ao nível de 1% construir um IC para a proporção real de sucessos na população.
Dados:
n = 100
x = 20
x = nº. de sucessos na amostra
α = 1%
p0 

p

x
20

 p 0  0, 2 e
n
100
0, 2  0, 8 
100

p
q 0  0, 8
 0, 04
z  z 49,5%  2, 57
0,5%
99%
0,5%
-zα
zα
z
P (0,2 – 2,57 [0,04] ≤ p ≤ 0,2 + 2,57 [0,04]) = 0,99
P (0,2 – 0,1028 ≤ p ≤ 0,2 + 0,1028) =0,99
P (0,0972 ≤ p ≤ 0,3028) = 0,99
P (9,72% ≤ p ≤ 30,28% ) = 0,99
IC (p , 99%) = [9,72% ; 30,28%]
Portanto corremos um risco de 1% de que a verdadeira proporção populacional pertença ao IC
dado anteriormente ou então nossa confiança de que p pertença ao IC determinado é de 99%.
13
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
1.2.2) Para estiar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis a modificação do currículo
escolar tornou-se uma amostra de 100 alunos dos quais 80 foram favoráveis.
a) Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis a modificação
ao nível de 4% ?
b) Qual o valor do erro de estimação cometido no item anterior?
Dados do problema: n = 100
x = 80
x = nº. de alunos favoráveis a modificação
α = 4%
a)
P0 
x
80

 0,80
n
100
p0  q0

n
p 
q 0  0, 20
0,8(0, 2)
 0, 04
100
z  z48%  2, 05
2%
96%
-zα
2%
zα
z
P(0,8 – 2,05 [0,04] ≤ p ≤ 0,80 + 2,05 [0,04] ) = 0,96
P (0,8 – 0,082 ≤ p ≤ 0,80 + 0,082) = 0,96
P (0,7180 ≤ p ≤ 0,882) = 0,96
P (71,80% ≤ p ≤ 88,2%) = 0,96
IC (p, 96%) = [71,8% ; 88,2%]
Temos uma confiança de 96% que de 71,86% a 88,2% dos alunos do curso serão favoráveis a
modificação curricular.
14
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
b)
Z 
p0  p
p
 Z 
e
p
 e  Z .
p
e  2, 50  0, 04   0, 082
e  8, 2%
O erro de estimação cometido no item anterior é de 8,2% para 96% de confiança e uma
amostra de 100 alunos.
1.2.3) Uma votação realizada entre 400 eleitores escolhidos ao acaso, dentre todos os
eleitores de um determinado distrito indicou que 55% deles são a favor do candidato
A. Determinar os limites de confiança de 99% para a proporção de todos os eleitores
do distrito favoráveis ao candidato A.
n = 400
α = 1%
p0  0, 55
p 
q0  0, 45
0, 55  0, 45 
400
 0, 0249
Z  Z 49,5%  2, 57


P 0, 55  2, 57  0, 249   p  0, 55  2, 57  0, 249   0, 99
P  0, 55  0, 064  p  0, 55  0, 064   0, 99
P  0, 48, 6%  p  61, 4%   0, 99 ou
IC  p , 99%   
 48, 6% ; 61,4% 

Se o número de eleitores desse distrito fosse de 230.000 pessoas, qual seria a votação do
candidato A?
15
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
48,58% de 230.000 = 111.734 votos
61,42% de 230.000 = 141.266 votos
O candidato A poderia esperar um mínimo de 111.734 votos a um máximo de 141.266
votos, com 99% de confiabilidade.
1.2.4)Uma organização universitária deseja estimar a porcentagem de estudantes que são
favoráveis a uma nova constituição para o corpo docente. Ela seleciona uma amostra de 200
estudantes, aleatoriamente, e constata que 120 são favoráveis a esta nova constituição.
a) Fazer um IC para p, a verdadeira porcentagem com estudantes favoráveis na população
ao nível de 1%.
b) Qual deverá ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no máximo 5% com
probabilidade de 99% estar certo.
a)
120
 0, 6
200
q0  0,8
z 0,495  2, 57
p0 

p

pq
n

p

0,60,4
 0, 035
200
P
p
0  z

p
p  p0  z 
p
 1
P  0,6  (2,570,035)  p 0,6  (2,570,035)   99%
P  0,6  0,090  p  0,6  0,090   99%
IC 
 p , 99% 
 
51%;
b)
 0,510;
0,69 
69% 
e = 0,05
pq

n
e  z   p  e  z 
0, 05  2,57 
n 
2,5 
0, 4  0, 6
n
0, 4  0, 6
0, 05
n  600
16
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
EXERCICIOS
1) De uma população normal com parâmetros desconhecidos, tiramos uma amostra de
tamanho 100, obtendo x  112 e S  11 .
2) A altura dos homens de uma cidade apresenta distribuição normal. Para estimar a altura
média dessa população levantou-se uma amostra de 150 pessoas.
150
Obtendo-se

i 1
150
xi  25.800cm e
x
2
i
i 1
 4.440.075cm2 .
A nível de 2%, determinar um IC para a altura média dos homens da cidade.
3) De uma população normal com   16 , levantou-se uma amostra obtendo-se as
observações: 10, 5, 10,15. Determinar a nível de 13% um IC para a média da população.
2
17
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
4) Dada uma população normal com VAR(x) = 3, levantou-se uma amostra de elementos
4
tal que
 xi  0,8 . Construir um IC para a verdadeira média populacional µ ao nível
i 1
de 1%.
1) A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que
um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído de maneira
aproximadamente normal com desvio padrão de 12 minutos. Uma amostra de 25
trabalhadores forneceu x  140 min. Determinar os limites de confiança de 95% para a
média µ da população de todos os trabalhadores que fazem aquele serviço.
2) Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma amostra de 100 itens
constatando-se que 4 peças eram defeituosas. Construir o IC para a proporção P das peças
defeituosas ao nível de 10%.
18
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
3) Em uma pesquisa de opinião entre 600 pessoas pesquisadas, 240 responderam sim a
determinada pergunta. Estimar a porcentagem de pessoas com essa mesma opinião na
população, dando um intervalo de 95% de confiabilidade.
4) Uma votação realizada entre 400 eleitores escolhidos ao acaso, dentre todos os eleitores de
um determinado distrito indicou que 55% deles são a favor do candidato A. Determinar os
limites de confiança de 99% para a proporção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao
candidato A.
5) Uma fábrica de peças especifica em suas embalagens que a proporção de defeitos é de 4%.
Um cliente dessa fábrica inspeciona uma amostra de 200 peças e constata que 12 são
defeituosas. Baseado nesses dados em quantas amostras o cliente encontraria uma
proporção de defeitos maior que o especificado pelo fabricante?
6) Uma amostra aleatória de 80 notas de matemática de uma população com distribuição
normal de 5000 notas apresenta média de 5,5 e desvio padrão de 1,25.
a. Quais os limites de confiança de 95% para a média das 5000 notas?
b. Com que grau de confiança diríamos que a média das notas é maior que 5,0 e
menor que 6,0.
19
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
7) Uma loja tem os valores de suas vendas diárias distribuídas normalmente com desvio
padrão $530,00. O gerente da loja, quando inquirido pelo dono afirmou vender em
média $34.720,00. Posteriormente levantou-se uma amostra de 10 valores das vendas
de determinado dia obtendo-se uma média de $34.314,00.
a. Construir um IC para a venda média diária a nível de 5%.
b. Construir um IC para a venda média diária a nível de 1%.
8) Uma fábrica de peças especifica em suas embalagens que a proporção de defeitos é de 4%.
Um cliente dessa fábrica inspeciona uma amostra de 200 peças e constata que 12 são
defeituosas. Baseado nesses dados em quantas amostras o cliente encontraria uma
proporção de defeitos maior que o especificado pelo fabricante?
9) Uma amostra aleatória de 80 notas de matemática de uma população com distribuição
normal de 5000 notas apresenta média de 5,5 e desvio padrão de 1,25.
a. Quais os limites de confiança de 95% para a média das 5000 notas?
b. Com que grau de confiança diríamos que a média das notas é maior que 5,0 e
menor que 6,0.
10) Uma loja tem os valores de suas vendas diárias distribuídas normalmente com desvio
padrão $530,00. O gerente da loja, quando inquirido pelo dono afirmou vender em
média $34.720,00. Posteriormente levantou-se uma amostra de 10 valores das vendas
de determinado dia obtendo-se uma média de $34.314,00.
a. Construir um IC para a venda média diária a nível de 5%.
b. Construir um IC para a venda média diária a nível de 1%.
20
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
11) Que tamanho de amostra seria necessário retirar de uma população normal x com σ = 12, a
fim de estimar a duração média de uma tarefa em minutos, com um erro de no máximo 2
minutos e com probabilidade de 95% de estar correto?
16) Uma organização universitária deseja estimar a porcentagem de estudantes que são
favoráveis a uma nova constituição para o corpo docente. Ela seleciona uma amostra de 200
estudantes, aleatoriamente, e constata que 120 são favoráveis a esta nova constituição.
a) Fazer um IC para p, a verdadeira porcentagem com estudantes favoráveis na população
ao nível de 1%.
b) Qual deverá ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no máximo 5% com
probabilidade de 99% estar certo.
a)
21
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MEDIAS




P x  z x    x  z x   ; P x  t ˆ x    x  t ˆ x   ;
x 
x
n
s
Nn
; ˆ x  x
N 1
n
Nn
N 1
1) Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento , um médico procurou estimar o tempo
médio que gasta com cada paciente . Uma amostra aleatória de 49 pacientes , colhida num período
de três semanas , acusou uma média de 30 min , com desvio padrão de 7 min.
a) Construa um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio de consulta
b) Qual é o erro provável máximo associado à sua estimativa na parte a ?
c) Qual é a probabilidade de a verdadeira média exceder 33 min ?
2) Solicitou-se a 100 estudantes de um colégio que anotassem suas despesas com alimentação e
bebidas no período de uma semana . Há 500 estudantes no colégio . O resultado foi uma despesa
média de $ 40 com um desvio padrão de $ 10 . Construa um intervalo de 95% de confiança para a
verdadeira média .
3) Procurando dimensionar a ajuda de custo para seus 50 vendedores, uma empresa acompanhou
os gastos de 15 vendedores e verificou uma despesa média de 20 u.m. (unidades monetárias). Se a
empresa acredita que o desvio-padrão para o gasto é de 2 u.m., determine um intervalo de
confiança de 93% para o gasto médio dos vendedores.
4) Uma amostra piloto de 10 elementos, que foi retirada de uma população de 106 elementos,
forneceu desvio de 2,4 unidades. Qual deve ser o tamanho de uma amostra para que a estimativa
da média populacional, forneça um erro de estimativa de 1,2 unidades ao nível de confiança de
98%?
5) Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de confiança para a
verdadeira média populacional , com erro de 1,0 em qualquer dos sentidos , se o desvio padrão da
população é de 10,0 ?
6) Uma amostra de 107 indivíduos de determinada profissão mostrou renda média de R$
859,00. Sabe-se que o desvio padrão populacional é de R$ 25,00. Construa um intervalo de
96% de confiança para a renda média dos indivíduos dessa profissão.
7) Uma amostra aleatória de 40 contas não comerciais na filial de um banco acusou saldo médio
diário de $140. Sabe-se que o desvio padrão da população é de $30. Construa um intervalo de
99% de confiança para a verdadeira média.
8) Uma fábrica produz válvulas cuja vida útil tem desvio padrão de 100 horas. Uma amostra de
40 válvulas revelou vida média de 1.000 horas. Construa um intervalo de 94% de confiança
para a vida média de todas as válvulas produzidas pela fábrica.
22
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
9) Tomou-se uma amostra de 5 crianças de 11 anos e verificou-se que a altura média era de
1,50m, com desvio padrão de 5 cm. Construa um intervalo de 98% de confiança para a altura
média de crianças de 11 anos.
10) Uma amostra de 25 famílias de certa região revelou renda familiar mensal média de R$
525,00, com desvio padrão de R$ 25,00. Construa um intervalo de 90% de confiança para a
renda familiar mensal média da região.
11) Um ortodentista procurou estimar o tempo médio que gasta com cada paciente. Uma
amostra aleatória de 19 pacientes acusou uma média de meia hora, com desvio padrão de 7
minutos. Construa um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio de
consulta.
12) Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de serviço de
atendimento a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo deve ser de 0,6 hora
para um nível de confiança de 95%, sabendo-se que o tempo de atendimento tem uma
distribuição normal de desvio padrão 1 hora.
13) Qual o tamanho de amostra necessário para estimar o tempo médio que o vendedor de uma
loja de móveis gasta com cada cliente, a menos de 2 minutos, para obter um nível de confiança
de 99%? Suponha x = 12 minutos.
14) Qual o tamanho de amostra necessário para estimar a média de idade de uma população de
imigrantes com 92% de confiança, sabendo que o desvio padrão populacional é de 1 ano e o
erro máximo é de 0,05?
15) No exercício 9), qual o erro máximo que poderá ser cometido se for usada uma amostra de
620 indivíduos?
16) Uma firma emprega 200 vendedores. Numa amostra de 25, a despesa mensal média com
combustível foi de $ 220,00, com desvio padrão de $ 20,00. Construa um intervalo de 99% de
confiança para a despesa mensal com combustível.
17) De uma população normal com parâmetros desconhecidos, tiramos uma amostra de tamanho
100, obtendo x  112 e S  11 . Fazer um IC para µ ao nível α =10%.
18) A altura dos homens de uma cidade apresenta distribuição normal. Para estimar a altura média
dessa população levantou-se uma amostra de 150 pessoas obtendo-se média 172 cm e variância de
16,61. Ao nível α = 2%, determinar um IC para a altura média dos homens da cidade.
19) De uma população normal com   16 , levantou-se uma amostra obtendo-se as
observações: 10, 5, 10,15. Determinar a um nível α = 13% um IC para a média da população.
2
20) Dada uma população normal com VAR(x) = 3, levantou-se uma amostra de elementos tal que
a média é 0,2. Construir um IC para a verdadeira média populacional µ ao nível de 1%.
23
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
21) A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que um
trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído de maneira
aproximadamente normal com desvio padrão de 12 minutos. Uma amostra de 25 trabalhadores
forneceu x  140 min. Determinar os limites de confiança de 95% para a média µ da população
de todos os trabalhadores que fazem aquele serviço.
22) Que tamanho de amostra seria necessário retirar de uma população normal x com σ = 12, a fim
de estimar a duração média de uma tarefa em minutos, com um erro de no máximo 2 minutos e
com probabilidade de 95% de estar correto?
23) Registraram-se os valores de 0,28; 0,30; 0,27; 0,33; e 0,31 segundos, obtidos em 5 medições
de tempo de reação de um indivíduo a certo estímulo. Sabe-se que os indivíduos com alta
sensibilidade visual o tempo de reação são menores ou iguais a 0,30 segundos. Calcule o intervalo
de confiança com 95% de confiança e verifique se o indivíduo em questão pode ser considerado
como de alta sensibilidade visual?
24) O departamento de pessoal de uma grande empresa gostaria de calcular as despesas
odontológicas familiares de seus empregados, para definir se é possível oferecer-lhes um plano
de seguro odontológico. Uma amostra aleatória de 10 empregados revela as seguintes despesas
odontológicas familiares ( em dólares) correspondentes ao ano anterior: 110, 362, 246, 85, 510,
208, 173, 425, 316, 179 . Obtenha o intervalo de confiança da média com coeficiente de
confiança de 90%.
25) Um gerente de vendas deseja saber qual o valor médio dos pedidos feitos em determinado ano.
a) Extraiu-se uma amostra de 15 pedidos, encontrando-se média de $35,00 e desvio padrão de
$5,00, construa um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira média.
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra de pedidos se: o erro amostral não fosse superior a 0,20
da verdadeira média; o nível de confiança desejado fosse de 99%; e o desvio padrão da população
em que se baseia a experiência fosse estimado em 0,80?
26) De uma distribuição normal com variância 2,25 obteve-se a seguinte amostra: 27,5; 25,6; 28,2;
26,1; 25,0. Determinar o intervalo de confiança para a média populacional com coeficiente de
confiança de 95%.
27) Um conjunto, composto por 12 animais em experiência, foi alimentado com uma dieta especial
durante certo tempo e verificou-se que os aumentos de peso foram: 30, 22, 32, 26, 24, 49, 34, 36,
32, 33, 28, 30. Encontrar os limites de confiança para a média, ao nível de confiança de 90%.
28) Suponhamos que se pretenda estimar a renda média por família numa grande cidade. Com
base em informações passadas, admite-se que o desvio padrão das rendas das famílias é de R$
2.000,00. Qual deve ser o tamanho da amostra, a fim de que o erro de estimativa da renda média
seja no máximo de R$ 100,00, com probabilidade igual a 96%?
24
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA PROPORÇOES
P  p  z p   p  z p   
p 
p. 1  p 
n
Nn
N 1
1) Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma grande cidade , 40 se
mostraram favoráveis a pena de morte . Construa um intervalo de 99 % de confiança para a
verdadeira proporção dos habitantes daquela cidade favoráveis à pena .
2) Uma amostra aleatória de 100 fregueses da parte da manhã de um supermercado revelou que
apenas 10 não incluem leite em suas compras .
a) Qual seria a estimativa pontual da percentagem dos que compram leite ?
b) Construa um intervalo de 90 % de confiança para a verdadeira proporção dos que compram leite
.
3) Um grupo de pesquisa de mercado constatou que 25 % dos 200 fregueses recentemente
entrevistados num grande shopping center residem a mais de 15 milhas do local . a) Construa um
intervalo de 95 % de confiança para a percentagem efetiva de fregueses que moram a mais de 15
milhas do shopping center
4) Qual o tamanho da amostra necessário para obter um intervalo de 95 % de confiança para a
proporção populacional , se o erro tolerável é de 0,08 ?
5) Um instituto de pesquisa pretende avaliar a proporção de eleitores que votarão num
determinado candidato, com 91% de confiança de que não errará por mais que 3%. Para isto,
levantou uma pré-amostra de 100 eleitores selecionados ao acaso na população. A proporção de
eleitores deste candidato foi de 20%. Determine o tamanho da amostra necessário para atingir a
precisão desejada.
6) Uma outra pesquisa eleitoral feita com 200 eleitores mostrou que 38% deles pretendem votar
no candidato de determinado partido. Construa um intervalo de 93% de confiança para a
proporção de eleitores que pretendem votar nesse candidato.
7) Uma amostra aleatória de 500 donas de casa revelou que 375 delas preferem certa marca de
sabão em pó. Construa um intervalo de 96% de confiança para a proporção de donas de casa
que preferem a marca de sabão em pó.
8) Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de certo
produto. Se uma amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o produto,
determine:
25
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
a) o intervalo de 95% de confiança para a proporção de indivíduos que consomem o produto.
b) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não ultrapasse 0,02, com 95% de
confiança.
9) Antes de uma eleição, certo partido está interessado em estimar a proporção de eleitores
favoráveis a seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60% dos eleitores
eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimativa seja de
no máximo 0,01, com 80% de confiança.
b) Se, na amostra final, com o tamanho de amostra obtido em a), observou-se que 55% dos
eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de 94% de confiança para a
proporção.
10) Qual o erro máximo que pode ser cometido para estimar a proporção de indivíduos de certa
população com renda superior a 10 salários mínimos, com 98% de confiança, se numa amostra
de 200 indivíduos 50 têm renda superior a 10 salários mínimos?
11) Qual o tamanho de amostra necessário para estimar a proporção de consumidores que
consomem determinada marca de chocolate, com confiança de 91%, se o erro não pode
ultrapassar 0,01? Imagina-se que a proporção amostral de consumidores desta marca de
chocolate seja de 45%.
12) Um fabricante de flashes deseja estimar a probabilidade de um flash funcionar. Como se
trata de um teste destrutivo, ele deseja manter o tamanho da amostra o menor possível.
Determine o número de observações que devem ser feitas para estimar a probabilidade a menos
de 0,04 com 95% de confiança se ele crê que a porcentagem de defeituosos não supere 6%.
13) Qual o tamanho de amostra que o departamento de trânsito de uma grande cidade deve
tomar para estimar a percentagem de parquímetros defeituosos, se o objetivo é ter 95% de
confiança de não errar por mais de 10%? Com base em experiência passada, a percentagem de
parquímetros defeituosos é estimada em 20%.
14) De um grupo de 20 secretárias de uma grande firma de advocacia, escolhidas
aleatoriamente, 5 não se mostraram satisfeitas com o trabalho que vêm executando. Há 50
secretárias empregadas na firma. Construa um intervalo de 90% de confiança para a proporção
de secretárias insatisfeitas.
15) Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma amostra de 100 itens
constatando-se que 4 peças eram defeituosas. Construir o IC para a proporção P das peças
defeituosas ao nível de 10%.
16) Em uma pesquisa de opinião entre 600 pessoas pesquisadas, 240 responderam sim a
determinada pergunta. Estimar a porcentagem de pessoas com essa mesma opinião na população,
dando um intervalo de 95% de confiabilidade.
17) Uma votação realizada entre 400 eleitores escolhidos ao acaso, dentre todos os eleitores de um
determinado distrito indicou que 55% deles são a favor do candidato A. Determinar os limites de
26
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
confiança de 99% para a proporção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao candidato A. Se
o número de eleitores desse distrito fosse de 230.000 pessoas, qual seria a votação do candidato A?
18) Uma fábrica de peças especifica em suas embalagens que a proporção de defeitos é de 4%. Um
cliente dessa fábrica inspeciona uma amostra de 200 peças e constata que 12 são defeituosas.
Baseado nesses dados em quantas amostras o cliente encontraria uma proporção de defeitos maior
que o especificado pelo fabricante com 99% de confiança?
19) Uma amostra aleatória de 80 notas de matemática de uma população com distribuição normal
de 5000 notas apresenta média de 5,5 e desvio padrão de 1,25.
a) Quais os limites de confiança de 95% para a média das 5000 notas?
b) Com que grau de confiança diríamos que a média das notas é maior que 5,0 e menor que
6,0.
20) Uma loja tem os valores de suas vendas diárias distribuídas normalmente com desvio
padrão $530,00. O gerente da loja, quando inquirido pelo dono afirmou vender em média
$34.720,00. Posteriormente levantou-se uma amostra de 10 valores das vendas de determinado
dia obtendo-se uma média de $34.314,00.
a) Construir um IC para a venda média diária a nível de 5%.
b) Construir um IC para a venda média diária a nível de 1%.
21) Uma fábrica de peças especifica em suas embalagens que a proporção de defeitos é de 4%.
Um cliente dessa fábrica inspeciona uma amostra de 200 peças e constata que 12 são
defeituosas. Baseado nesses dados em quantas amostras o cliente encontraria uma proporção de
defeitos maior que o especificado pelo fabricante com 99% de confiança?
22) Uma organização universitária deseja estimar a porcentagem de estudantes que são
favoráveis a uma nova constituição para o corpo docente. Ela seleciona uma amostra de 200
estudantes, aleatoriamente, e constata que 120 são favoráveis a esta nova constituição.
a) Fazer um IC para p, a verdadeira porcentagem com estudantes favoráveis na população ao
nível de 1%.
b) Qual deverá ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no máximo 5% com
probabilidade de 99% estar certo.
23) Um candidato a deputado estadual afirma que terá 65% dos votos dos eleitores de uma cidade.
Um Instituto de Pesquisa colhe uma amostra de 300 eleitores dessa cidade, encontrando 160 que
votarão no candidato. Obtenha o intervalo de confiança com 98% de confiança e verifique se a
afirmação do candidato é válido?
24) Uma amostra aleatória de 625 donas de casa revela que 70% delas preferem a marca A de
detergente. Construir o intervalo de confiança para proporção de donas de casa que preferem a
marca A? Use coeficiente de confiança de 90%.
27
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
ESTIMAÇÃO DE VARIÂNCIAS
P  e1    e2   
2
e1
n 1 s 2


2
sup
, e2
n 1 s 2


2
inf
1) Determine no nível 99%, o intervalo de confiança para o desvio-padrão da população em que
foi retirada uma amostra de 30 elementos com 477,7 de variância.
2) Qual o intervalo de confiança que conterá com 90% a verdadeira variância de uma população
normal que resultou desvio-padrão de 15,61 de uma amostra de 30 elementos?
3) Suponha que uma amostra de tamanho 25 tenha fornecido um desvio de 6 unidades. Construa
um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira variância populacional.
4) O desvio padrão das durações de uma amostra de 20 lâmpadas elétricas foi de 100 horas.
Construa um intervalo de 90% de confiança para a variância da duração das lâmpadas.
5) O desvio padrão das tensões de ruptura de 10 cabos ensaiados por uma companhia foi de 180
kg. Construa um intervalo de 98% de confiança para a variância da tensão de ruptura dos cabos.
6) Para um produto particular, o desvio padrão das vendas anuais foi de $ 200, com base numa
amostra de 16 estabelecimentos. Construa um intervalo de 95% de confiança para o desvio
padrão das vendas anuais.
28
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
RESPOSTAS
Intervalos de Confiança de Médias
1) a) 28,4    31,96
2) 38,25    41,75
3) 19,21    20,79
4) n ~25
5) n ~273
6) 854,02    863,98
b) e = 1,96
c) 0,0013
7) 127,76    152,24
8) 970,12    1029,88
9) 141,62    158,38
10) 516,44    533,56
11) 26,63    33,37
12) 11
13) 240
14) 1240
15) 0,07
16) 210,16    229,84
17) 110,20    113,80
18) 171,22    172,77
19) 4,98    11,02
20) –2,03    2,43
21) 135,3    144,7
22) 238
23) 0,268    0,328 , nada se pode afirmar quanto a alta sensibilidade visual.
24) 180,9    341,9
25) a) 31,16    38,84
b) 107
26) 25,17    27,79
27) 27,74    34,93
28) 1698
29
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
Intervalos de Confiança de Proporções
1) 0,13    027
2) a) 0,9 b) 0,85    0,95
3) 0,19    031
4) n 148
5) n  533
6) 0,32    0,44
7) 0,71    0,79
8) a) 0,28    0,38 b) 2124
9) a) 3994 b) 0,54    0,56
10) 0,07
11) 7153
12) 136
13) 62
14) 0,12    0,38
15) 0,0079    0,0721
16) 0,3608    0,4392
17) 0,4860    0,6140 111.734 e 141.266 votos
18) 0,0160    0,1040
19) 0,0160    0,1040
a) 5,23    5,77
b) 99,97%
20) a) 33.985,502 e 34.642,49
b) 33.883,26 e 34.744,73
21) 176
22) a) 0,51    0,69
b) 600
23) 0,466    0,600 , a afirmação do candidato não é válida com 98% de confiança.
24) 0,67    0,73
Estimação de variâncias
1)
2)
3)
4)
5)
6)
16,27    32,49
166,05  2  399,05
21,95  2  69,67
6303,92  2  18774,70
13456,39  2  139521,53
147,74    309,59
30
INTERVALOS DE CONFIANÇA | Fernando Mori
31