UM ÍNDICE DE CAPACIDADE BASEADO NA FRAÇÃO NÃO
CONFORME DO PROCESSO E CALIBRADO POR Cpm
Pledson Guedes de Medeiros
Doutorando em Eng. Produção - POLI/USP, [email protected]
Dep. Eng. Produção Av. Prof. Almeida Prado, Travessa 2 no 128 São Paulo – SP CEP 05508-900
Linda Lee Ho
Profa Dra Dep. Eng. de Produção - POLI/USP, [email protected]
Dep. Eng. Produção Av. Prof. Almeida Prado, Travessa 2 no 128 São Paulo – SP CEP 05508-900
ABSTRACT: The traditional process capability indices do not relate directly to nonconforming fraction of the process. This aspect has been pointed out by Borges e Ho
(1998) in their capability index C based on non-conforming fraction but calibrated to the
well known C p index. In this direction, other alternative indices based on non-conforming
fraction have been proposed, for example C1 calibrated to C pk by Barriga et all.(2000).
Here we present the index C2 also based on non-conforming fraction but calibrated to C pm
index. A simulation was conducted to compare the performance of the natural estimators
of C2 and C pm .
KEY WORDS: Process capability indices; fraction non-conforming; non-normal process.
1 Introdução
Um índice de capacidade de processo (ICP) é uma medida adimensional usada para
quantificar o desempenho de um processo de manufatura em relação aos parâmetros do
processo e as especificações do produto.
Esses índices têm sido usados para monitorar a qualidade das unidades produzidas
por um processo de manufatura e, servem como indicadores da capacidade geral de um
sistema de manufatura. Seu propósito é assegurar, retrospectivamente, que o número de
itens não conformes, em um lote, está abaixo de um limite especificado.
Um dos índices de capacidade mais simples, e talvez o mais comumente utilizado, é
o conhecido como “índice seis sigma”, denotado por C p , que exige do usuário apenas o
conhecimento da variância do processo. Muitas variações e refinamentos deste índice têm
sido propostos na literatura, onde cada uma requer conhecimento adicional de algum
aspecto da distribuição da variável aleatória.
É importante observar que os ICP mais comuns não têm uma relação direta com a
fração não conforme. Propostas neste sentido foram feitas por Borges e Ho(1998) e Barriga
et all.(2000) ao apresentarem, respectivamente, o índice C 0 calibrado, para o caso de
modelagem pela distribuição normal, por C p e o índice C1 calibrado, também para o caso
normal, por C pk . Este trabalho traz uma extensão natural, apresentando o índice C 2
calibrado, também para o caso Normal, pelo C pm .
2
Na seção 2 está um breve resumo dos índices mais usuais e dos índices C 0 e C1
baseados na fração não conforme. Na seção 3 está apresentado o índice C 2 e suas
propriedades. Uma simulação foi conduzida para comparar o desempenho dos estimadores
de C 2 e C pm . E, finalmente, na seção 4 estão as discussões e conclusões.
2 Uma revisão sobre índices de capacidade de processos (ICP)
2.1 Considerações iniciais
Seja X alguma característica de interesse de um produto manufaturado como, por
exemplo, o diâmetro de um pino. As especificações para X são geralmente iniciadas em
termos de um valor alvo, digamos T. Isto é, T é um valor de X que satisfará o critério de
especificação para um desempenho ótimo do produto. Além de definir o valor alvo do
processo, T, é necessário definir um limite inferior de especificação (LIE) e um superior
(LSE) e diremos que o produto atende às especificações se LIE < X < LSE . Além disso,
LSE-LIE é o comprimento do intervalo de especificação, M = ( LSE + LIE ) / 2 é o ponto
central do intervalo de especificação e d = ( LSE − LIE ) / 2 é a metade do comprimento do
intervalo de especificação.
O processo físico da manufatura está, geralmente, sujeito a muitas fontes de
variação, começando da qualidade da matéria prima e indo até o equipamento de
fabricação. Consequentemente, X é uma quantidade aleatória (ou variável aleatória) e
frequentemente assumimos que segue uma distribuição normal com média µ e variância
σ2.
É uma prática comum assumir que ambos µ e σ 2 não mudam com o tempo, ou
seja, o processo é estável ou, como é conhecido em controle de qualidade, em controle
estatístico. A suposição de normalidade para X parece razoável pois, frequentemente, X é
uma quantidade que pode ser medida e, tradicionalmente, medidas sujeitas a erro de
simetria são assumidas como sendo normal.
Segundo Kotz e Lovelace(1998), podemos dizer que a idéia geral do ICP é
comparar o que o processo devia fazer, denotado pelos limites(intervalo) de especificação,
com o que o processo está fazendo, denotado pela dispersão do processo. Com isso,
podemos dizer que a forma geral de um índice de capacidade é:
ICP = _Intervalo de Especificação_
Dispersão do processo
Assim, tornou-se padrão, na indústria, dizer que o processo é capaz se a dispersão
dele corresponde, no máximo, a 75% do intervalo de especificação, o que equivale a ter
um ICP igual a 1.33, que corresponde a uma fração não conforme de 0.006336%, ou seja,
63 defeitos por milhão.
Com isso, é comum se desejar um ICP > 1.33, pois proporcionaria uma fração não
conforme ainda menor, ou seja, quanto maior for o ICP menor será a fração não conforme.
2.2 Índices de capacidade tradicionais e seu desenvolvimento cronológico
Entre os índices de capacidade existentes na literatura (ver Singpurwalla, 1998),
vamos descrever , os três mais difundidos.
3
O primeiro índice de capacidade de processo, denominado C p , foi introduzido por
Juran (1974) e definido como,
Cp =
LSE − LIE
d
=
6σ
3σ
Se µ = T , com T = M , então, para C p = 1 teremos,
P ( LIE < X < LSE ) = Φ (3C P ) − Φ (−3C P ) = 0.997
No caso de µ = T = M , o que equivale ao processo estar centrado, podemos ver
que C p = 1 implica que 99.7 % dos itens produzidos estarão dentro dos limites de
especificação. Neste caso, qualquer valor de C p maior que 1 (um) aumentará a
probabilidade acima, tornando o processo de manufatura mais eficiente por passar a ter
uma fração não conforme menor. Como σ 2 é desconhecido e precisa ser estimado dos
dados, para compensar a incerteza desta estimação a prática industrial segue o dito de que
o ideal é ter C p superior a 1.33.
Muitas críticas foram feitas ao índice C p pelo fato dele não envolver a média do
processo. Assim, introduzido por Kane(1986), surgiu um índice que incorpora o efeito da
média do processo, denominado C pk e dado por,
 LSE − µ µ − LIE 
C pk = min 
,
,
3σ 
 3σ
onde µ ∈ ( LIE , LSE )
O processo é dito capaz se C pk ≥ 1 e, visto que ambos µ e σ 2 são estimados dos
dados, a prática industrial segue a regra de que o ideal é C pk > 1.33.
Segundo Singpurwalla(1998), podemos ver que,
C pk = C p −
µ−M
, se µ ≠ M então C pk < C p
3σ
se µ = M , C pk = C p
Com isso, C pk ≥ 1 ⇒ C p ≥ 1 e
C p ≥ 1 ⇒ C pk ≥ 1
Vale ressaltar que ambos, C p e C pk não envolvem o valor alvo T, o que acaba
sendo uma desvantagem pois não temos a idéia do efeito da diferença da média µ para o
valor alvo T. Chan, Cheng e Spring (1988) retificaram esta omissão trocando o
denominador de C p , σ 2 = E ( X − µ ) 2 , por E ( X − T ) 2 e, com isso, introduziram o índice,
Cp
C pm =
1+
(µ − T )
σ2
2
=
LSE − LIE
6 E( X − T )
2
=
d
3 σ + (µ − T ) 2
2
4
É importante observar que o C pm incorpora todos os parâmetros relevantes, d , µ , T
e σ . Quando µ = T , C pm = C p , já quando µ distancia de T, o denominador de C pm fica
2
inflacionado e, com isso, C pm ≤ C p . Isto sugere que um desvio da média do processo µ
para o valor alvo T se manifesta como uma penalidade no C pm , o que não ocorre nos casos
de C p e C pk .
Com isso, C pm seria interpretado como a razão da dispersão admitida e da
dispersão atual, onde esta última é a tolerância natural do processo mais um fator de
inflação que depende do desvio de µ para T.
A intuição por trás de C p é que se trata de uma comparação entre as tolerâncias
admitida e natural. Uma forma de estender esta intuição quando o divisor é E ( X − T ) 2 é
interpretá-lo como uma perda ocorrida quando X desvia de T, de modo que E ( X − T ) 2 é a
perda média ponderada ocorrida, com os pesos determinados pela distribuição normal de X
com média µ e variância σ 2 .
2
Podemos ver que C e C tornam-se arbitrariamente grandes quando σ ↓ 0 ,
p
pk
independente de onde o processo está centrado, ou seja, se µ = T ou µ ≠ T .
d
Diferentemente, C pm
é limitado por
quando σ 2 ↓ 0 e, segundo
3µ −T
Singpurwalla(1998), isto é uma propriedade interessante.
2.3 Índices de Capacidade baseados na fração não conforme
Vamos, agora, apresentar os índices C e C1 que surgiram a partir da abordagem
introduzida por Borges e Ho(1998) que se baseia em criar um ICP baseado na fração não
conforme e calibrado por um dos ICP descritos na seção anterior.
Borges e Ho(1998) introduziram uma nova abordagem para os índices de
capacidade ao proporem um ICP, denominado C, baseado na fração não conforme do
processo e calibrado, para o caso em que a característica X de interesse possui distribuição
Normal, pelo C p . Este índice foi apresentado como:
C=
p
1 −1 
Φ 1 −  , onde p é a fração não conforme e
3
2

p = 1 − P( X ∈ A) , onde A é a região de tolerância.
(2.1)
É importante observar que este índice C possui correspondência um a um com
respeito à fração não conforme p, o que acaba sendo uma grande vantagem pois, na própria
expressão de cálculo do índice, podemos vislumbrar a relação existente entre p e C.
Vale salientar ainda que, Borges e Ho(1998) assumem que o posicionamento ótimo
da média é para µ = M , ou seja, abordam o caso em que as frações não conforme à
esquerda e à direita são iguais.
Dando sequência a esta abordagem Barriga et all(2000) fez uma extensão do índice
C, denominado índice C1 , que também é baseado na fração não conforme porém, é
calibrado pelo índice C pk . Com isso, o índice C1 incorpora a situação em que as frações
não conforme a direita do LSE, γ S , e a esquerda do LIE, γ I , não sejam iguais.
5
Neste caso a fração não conforme p passa a ser escrita como:
p = γ I +γ S ,
 µ − LIE 
γ I = P( X < LIE ) = 1 − Φ

 σ

onde
 LSE − µ 
γ S = P( X > LSE ) = 1 − Φ

 σ

E o índice C1 é representado como,
 Φ −1 (1 − γ S ) Φ −1 (1 − γ I ) 
C1 = min 
,

3
3


(2.2)
3. O índice C2 : Um índice de capacidade baseado na fração não conforme do
processo e calibrado por C pm
A proposta deste trabalho é complementar a abordagem introduzida por Borges e
Ho(1998) e seguida por Barriga et all(2000), fazendo uma extensão através da proposição
de um índice C2 que será calibrado, para o caso em que a característica de interesse X
possui distribuição normal, pelo índice C pm . É importante observar que C pm incorpora o
efeito da diferença entre µ e o valor alvo T, o que torna uma extensão para C, calibrada
por C pm , bastante interessante.
3.1 O índice proposto
Primeiramente, sob a suposição de que T=M, vamos partir da expressão de C pm
escrita em função dos índices C p e C pk (Parlar and Wesolowsky, 1999), ou seja,
Cp
C pm =
1+
(µ − T ) 2
σ2
=
Cp
1 + 9(C p − C pk )
2
(3.1)
Finalmente, utilizando as expressões (2.1) e (2.2) da seção 2.3, para C e C1,
respectivamente, a extensão do índice C, C2 , também será baseada na fração não conforme
porém, calibrada, para o caso Normal, pelo índice C pm sob a suposição de que T = M .
Neste caso, C2 será dado por:
1 −1  (γ I + γ S ) 
Φ 1 −

3
2


C2 =
(3.2)
2
 1 −1  (γ I + γ S ) 
 Φ −1 (1 − γ S ) Φ −1 (1 − γ I )  
,
1 + 9 Φ 1 −
 − min 
 
3
2
3
3





6
3.2 Vantagens e desvantagens no uso de C2
Entre as vantagens associadas ao uso do índice C2 ,aqui proposto, podemos
destacar:
- possui correspondência um a um com respeito à fração não conforme;
- assim como o C1, também incorpora a situação em que as frações não conforme a
direita do LSE, γ S , e a esquerda do LIE, γ I , não sejam iguais;
- é calibrado, para o caso normal, pelo C pm com γ I = γ S e T = M , ou seja, C 2 = C pm ;
- é invariante com relação a distribuição do processo, para frações não conformes a
direita, γ S , iguais e a esquerda, γ I , também iguais;
- pode ser aplicado a processos não normais;
- pode incorporar desvios entre µ e o valor alvo T.
Para exemplificar estas vantagens, consideremos o seguinte exemplo.
Exemplo: Seja X uma característica de interesse de um dado processo.
Consideremos, a título de ilustração, X modelado pelas distribuições Normal, Weibull
e Exponencial, com T = M e γ I = γ S = 0.00003168 e LIE = 6 E LSE = 14. Com isso,
temos que,
Distribuição
da característica
Normal(10,1)
Weibull(5.99,1.68,1.5)
Exponencial(5.99,0.77)
Tabela 1: Índices de
diferentes
Média
Variância C pm
10
1
1.33
7.52
1.06
0.50
6.77
0.6
0.40
capac. com a mesma fração
C2
C pk
C1
Cp
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
0.49
1.33
1,29
1.33
1.33
0.33
1.33
1,73
1.33
não conforme para distribuições
Podemos ver que, para frações não conformes γ I e γ S iguais, C2 assumirá o
mesmo valor 1.33, independentemente da distribuição dos dados, ou seja, C2 é invariante
com relação à distribuição do processo. Já C pm assumirá valores diferentes, apesar de ter
as frações não conformes iguais em distribuições diferentes. Estas observações também são
válidas para C e C p e C1 e C pk .
Entre as desvantagens associadas ao uso do índice C2 podemos destacar:
- é calibrado pelo C pm apenas para o caso normal com γ I = γ S e T = M , ou seja,
C 2 = C pm apenas para este caso;
-
C
é válido somente quando T = M pois, caso contrário, a expressão (3.1) apresentada na
seção 3.1 não será a mesma;
dificuldade em obter a distribuição do estimador natural de C2;
não está implementado nos softwares existentes.
3.3 Um estudo de simulação
Para comparação dos desempenhos dos índices C pm e C2 realizamos uma simulação
com base no estudo feito por Spiring(1991). Neste trabalho ele comparou os índices
C p , C pk e C pm mostrando que os índices C pk e C pm conseguem captar a mudança na
7
capacidade do processo, para desvios entre µ e o valor alvo T, considerando-se casos de
processos com mesma dispersão, ao contrário do C p que permanece invariante. Além
disso, o C pm se mostra mais sensível aos desvios entre µ e o valor alvo T do que o C pk .
Seguindo esta mesma linha, um estudo de simulação foi feito para avaliar a
sensibilidade de C pm e C2 quando há desvios entre µ e o valor alvo T, considerando-se
dois casos onde o valor alvo adotado foi T = 10.
No primeiro caso, denominado Caso 1, os limites de especificação são LIE = 6 e
LSE = 14 com valores de µ = 7,8,9,10. No segundo caso, denominado Caso 2, os limites
de especificação são LIE = 8 e LSE = 14 com valores de µ = 8,9 e 10.
Para cada um dos casos foram geradas 1000 amostras de 100 observações de uma
distribuição Normal com σ = 1 e valores de µ especificados acima. As médias e desvios
padrões amostrais das simulações estão resumidos na Tabela 2.
µ
C2
C2
σC
2
C pm
10
1.33333 1.33629 0.098 1.33333
9
1.04658 1.05623 0.074 0.94281
8
0.73154 0.73960 0.054 0.59628
7
0.43481 0.43675 0.034 0.42164
10
0.66667 0.66481 0.048 0.66667
Caso 2
9
0.43409 0.43731 0.035 0.47140
8
0.18638 0.18572 0.186 0.29814
Tabela 2: Resultado da simulação para os casos 1 e 2 .
Caso 1
C pm
σ Cpm
1.33915
0.94965
0.59807
0.42232
0.66719
0.47369
0.29799
0.098
0.058
0.025
0.013
0.048
0.029
0.012
Vemos, pela simulação, que C2 acompanha o índice C pm com respeito à
sensibilidade aos desvios apresentando, apenas, diferença na magnitude. Para o caso 1, esta
diferença indicaria que o C2 é um pouco menos sensível a desvios de até 3 desvios padrões
de µ para T, do que o C pm . Já para o caso 2, onde os limites de especificação são mais
rígidos, a diferença indicaria que C2 parece apresentar uma sensibilidade maior que o C pm .
4 Discussões e Conclusões
De uma forma geral, podemos dizer que os índices C 2 e C pm apresentam um
comportamento equivalente com relação à sensibilidade aos desvios entre µ e o valor alvo
T, o que é uma vantagem, em relação aos índices C p e C pk , para o caso em que se está
trabalhando com processos onde a sensibilidade a este tipo de desvio é considerada
importante para a determinação da capacidade do processo.
Com isso, o uso do C2 é recomendado por se tratar também de um índice invariante
com relação à distribuição do processo, para frações não conformes a direita, γ S , iguais e a
esquerda, γ I , também iguais. Além disso, C2 possui correspondência direta com respeito à
fração não conforme e pode ser aplicado a processos não normais.
Uma perspectiva futura seria estudar as propriedades desses índices para o caso em
que T não está centrado no ponto médio M do intervalo de especificação. Outra abordagem
seria a comparação do comportamento dos índices de capacidade na presença de outras
distribuições como Weibull e exponencial.
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Referências bibliográficas
Barriga, G. D. C., Ho L. L., Borges, W. S. e Garibay V. (2000). Um índice de capacidade
para especificações bilaterais baseado em fração não conforme do processo. XX
Encontro nacional de engenharia de produção – ENEGEP. São Paulo.
Borges, W and Ho, L. L. (1998). A fraction non-conforming based capability index.
Relatório técnico. RT-MAE 9822, IME-USP, São Paulo.
Chan, L. K., Cheng, S. W. and Spring, F. A. (1988). A new measure of process
capability: C pm . Journal of Quality Technology, 20, 162-175.
Juran, J. M. (1974). Jurans quality control handbook, 3rd edition. McGraw-Hill, New
York.
Kane, V. E. (1986). Process capability indices. Journal of Quality Technology , 18, 41-52.
Kotz, S. and Lovelace, C. R. (1998). Process capability indices in theory and
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Parlar, M. and Wesolowsky, GO (1999). Specification limits, capability indices, and
process centering in manufacturing. Journal of quality Technology, 31, 317-325.
Singpurwalla, N. D. (1998). The stochastic control of process capability
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Spiring, F. A. (1991). The C pm index. Quality progress, 24, no 2, 57-61.