Equações de movimento com aceleração constante
s = s0 + v0t + ½ a t2
v= v0 + a t
a= cte
o problema inverso
até agora, a partir de x(t) calculamos a velocidade média, e a velocidade
instantanea
e o problema inverso: sabemos a velocidade v(t), podemos descobrir a distância
percorrida? Imagine alguém anotando de minuto em minuto a velocidade dada
pelo velocimetro
caso simples: v=constante x=x0 + v t
a distância percorrida pode
ser representada pela área
em baixo da curva!
o veículo anda com velocidade v1 entre t1 e t2
e com velocidade v2 entre t2 e t3
distancia percorrida= v1 (t2-t1) + v2 (t3-t2)
V
=soma das áreas em baixo ada curva
v(t)
v2
v1
t1
t2
t3
e quando a velocidade varia de forma contínua? v1 Δt + v2 Δt + v3 Δt.......
Σ v(t)Δt
=área embaixo da curva
i
t2
∫ v(t)dt
t1
o simbolo Σ se transformou em
∫
t2
∫ v(t)dt
t1
V é o integrando ( a funçãoque está sendo
integrada
t é a variável de integração
t1 e t2 são os limites de integração
Caso simples de integração: v=constante
um motorista se desloca com velocidade constante entre
t1 e t2, qual a distância percorrida?
t2
t2
∫ vdt = v ∫ dt
t1
t1
se v=cte, posso colocá-lo do lado de fora da integral
da mesma forma que numa somatória, se aparece
uma constante que multiplica cada termo, posso por
em evidência
Σ v Δt = vΣ Δt = v (t2-t1)
i
t1
∫ dt
t2
= t2 –t1
significa: somatória de todos os pequenos elementos dt
no intervalo entre t1 e t2, o que á a mesma coisa que o
próprio intervalo t2-t1
escreve-se também assim: o valor
da integral definida é igual à diferença
do valor da função integral
(t, neste exemplo) entre os dois limites
de integração (t2 e t1, neste exemplo)
t2
=
[t ]
t1
Porque costuma-se dizer que derivar e integrar são operações
contrárias? Vamos calcular a integral da derivada da função x(t),
usando a moda antiga, com intervalos grandes
a derivada de x(t) pode ser aproximada por
∆x
∆t
=V
f(t)
A(t)
t0
∆t
t
entenda porque a derivada da função A(t) que representa a área
embaixo da curva é f(t)
A(t) é uma função de t, vamos por curiosidade calcular a derivada
derivada = [A(t+∆t) –A(t)] / ∆t
( definição de derivada)
O incremento de área é a área do pequeno trapézio,
altura f(t) , largura ∆t , = f(t) × ∆t
derivada = (f(t) × ∆t) / ∆t = f(t)
para calcular a distância percorrida, faço a somatória dos pequenos
espaços percorridos, cada um com uma velocidade vi
x(t) =
∑ v ∆t
i
estamos integrando a função v(t)
i
mas
∆xi
vi =
∆t
então x(t) =
v é uma derivada:
∑ ∆x
i
=x
∆xi
∆t
∆t
voltamos à função original
i
não seria difícil ver que fazendo a derivada da função integral,
também voltamos à função original
conclusão: se eu sei que a derivada de uma função x(t) é uma
função x´ (t), a integral de x´ (t) volta para x(t)
problema: vamos examinar o caso de uma velocidade que cresce linearmente
com o tempo (se a velocidade varia, o movimento é acelerado)
v(t)= at +b
esta é a equação de uma reta
como apresentada na figura ao lado
v1= a t1 +b
v2 = a t2 + b
b=valor de v para t=0
descubra qual o erro na figura
área do trapézio:
½ (v1 + v2) (t2-t1) certo?
Vmédio = ½ (v1 + v2) = ½(a t1 +b + a t2 + b) = 1/2a(t1 +t2) + b
x(t2) – x(t1) = distância percorrida= Vmédia x (t2-t1)=
½ a (t2 2 -t1 2 )+ b (t2-t1)
chamando t1=0, t2=t, c= posição no instante zero, conseguimos a equação horária
x(t) = ½ at2 + bt +c
dx
dt
?
Aceleração
aceleração média=
v( t 2 ) − v( t1 ) ∆v
=
t 2 − t1
∆t
um carro é capaz de acelerar de 0 a 120 km/hora em 10 s
v(final)= 120000/3600= 33.3 m/s
aceleração média= 33.3 m/s / 10s =3.33 m/s2
essa é a unidade de aceleração
aceleração é positiva quando v cresce, negativa quando decresce.
quando ∆t tende a zero
∆v
dv
⇒
∆t
dt
dx
d
2
dv
d
x
dt
=
= 2
dt
dt
dt
nova
notação
observe ponto
por ponto a relação
entre variação de
posição e velocidade
!!
freando
Integração da aceleração
v( t ) = v 0 + a ( t − t 0 )
1
2
x(t ) = x 0 + v0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 )
2
das duas acima sai: (eliminando t-t0)
v = v + 2a ( x − x 0 )
2
2
0
uma relação direta entre velocidade e deslocamento, sem passar
pelo tempo, útil em muitos problemas