Universidade Federal de Pelotas
Cálculo com Geometria Analítica I
Profa: Msc. Merhy Heli Rodrigues
Aplicações da Derivada
1) Velocidade e Aceleração
1.1 Velocidade
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que
móvel até o instante . Então, no intervalo de tempo entre e
represente o espaço percorrido pelo
, o corpo sofre um deslocamento.
.
Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente
, isto é, a
velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo.
De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante . Para
obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante , calculamos sua velocidade média em instantes de
tempo
cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade no instante , é o limite das
velocidades médias quando
se aproxima de zero. Isto é,
Esse limite é a derivada da função
em relação a , portanto:
1.2 Aceleração
O conceito de aceleração é introduzido de forma análoga ao de velocidade. A aceleração média no
intervalo de tempo t até
é dada por quociente
Observa-se que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de tempo no intervalo de
tempo
. Para obtermos a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalo de
tempo
cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite
.
Logo,
a
derivada
da
velocidade
nos
dá
a
aceleração.
Como
,
temos
um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante
é dada
.
Exemplo: No instante
por
.
Determinar:
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4];
b) a velocidade do corpo no instante
;
, no instante
, a velocidade é
c) a aceleração média no intervalo [0, 4];
Como
, temos
2) Taxa de variação
Quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equação do movimento
velocidade é dada por
a sua
.
A velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo.
Assim, a derivada
é a taxa de variação da função
por unidade de variação .
O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por
da velocidade
. Ela representa a razão de variação
por unidade de variação do tempo .
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função
quando a variável independente varia de
. O quociente
a
, a correspondente variação de
representa a taxa média de variação de
A derivada
será
em relação a .
, é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de
variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas
ciências.
Exemplo: Sabemos que a área de um quadrado é em função de seu lado. Determinar:
a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m;
Sejam
a área do quadrado e seu lado. Sabe-se que
b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m.
Quando
Portanto, quando
comprimento do lado.
, temos:
, a taxa de variação da área do quadrado será de
por variação de 1 metro no
3) Máximos e Mínimos
A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f (x), onde estão assinalados os pontos de
abscissas
.
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos
relativos (ou local), enquanto que
e
e
são pontos de máximo
e f(x3) são valores máximos relativos. Os pontos
são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que
e
mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para
decrescente para
)e
são os valores
e
e
.
Uma função definida em um dado intervalo pode admitir diversos extremos relativos. O maior valor
da função neste intervalo é chamado máximo absoluto e o menor valor, mínimo absoluto.
Definição: Um ponto k D( f ) tal que f´(k) = 0 ou f´(k) não existe é chamado de ponto crítico de f,
logo os possíveis pontos de máximos e mínimos é dado em
3.1 Procedimento para encontrar extremos absolutos
.
Exemplo: Encontre, caso exista, os extremos absolutos no intervalo (-1, 5) da função:
.
3.2 Procedimento para encontrar Extremos Relativos (O Teste da Primeira Derivada)
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que possui derivada em todo ponto do
intervalo (a,b), exceto possivelmente num ponto k:
1º) Determine os pontos críticos de .
2º) Determine o sinal de
a) Se
à esquerda e à direita de cada ponto crítico.
para todo x < k e
outras palavras, se
crítico
muda o sinal de positivo para negativo quando nos movemos através do ponto
, então
b) Se
para todo x > k, então f tem um máximo relativo em k, em
tem um máximo relativo em k.
para todo x < k e
outras palavras, se
crítico
muda o sinal de negativo para positivo quando nos movemos através do ponto
, então
c) Se
para todo x > k, então f tem um mínimo relativo em k, em
tem um mínimo relativo em k.
não muda de sinal quando nos movemos através do ponto crítico
, então
não é um
extremo relativo.
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos relativos da função
Solução:
A derivada de
de
,
é
e é contínua em toda parte. Os zeros
e
são os únicos pontos críticos da função
. O diagrama de sinais de
é
mostrada na figura abaixo.
Examine os dois pontos críticos
e
para um extremo relativo usando o teste da
Uma vez que a função
muda o sinal de positivo para negativo quando
primeira derivada e o diagrama de sinais para
1º) O ponto crítico
passamos por
:
da esquerda para direita, concluímos que um máximo relativo de
. O valor de
2º) O ponto crítico
esquerda para direita; logo,
quando
:
2é
ocorre em
.
muda de sinal de negativo para positivo quando passamos por
é um mínimo relativo de .
da
3.3 Procedimento para encontrar Extremos Relativos (O Teste da Segunda Derivada)
Seja f uma função derivável num intervalo (a,b) e k um ponto crítico de f neste intervalo, isto é,
. Então:
a)
tem um máximo relativo em k;
b)
tem um mínimo relativo em k.
Exemplo: Determine os extremos da função f (x) =
, usando o teste da segunda derivada.
. Os pontos críticos de f são
, logo
.
é ponto de máximo relativo.
, logo
é ponto de mínimo relativo.
, logo
é ponto de mínimo relativo.
4. Teorema de Rolle
Seja f uma função tal que:
i) contínua num intervalo fechado [a,b];
ii) derivável no intervalo aberto (a,b);
iii)
.
Então existe um número c em (a,b) tal que
Exemplo: Dada
.
, comprove que as condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão
satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos:
.
Solução:
Como
existe para todos os valores de, f é derivável em
. Assim, as condições (i) e (ii) do
Teorema de Rolle são válidas em qualquer intervalo. Para determinar em quais intervalos a condição (iii) se
verifica, encontra-se os valores de x para os quais
. Se
.
Como
e
em
.
o teorema é válido em
. Analogamente, o teorema de Rolle é válido
Para encontrar os valores adequados de c, equacionamos
Portanto no intervalo
, obtendo:
, uma escolha adequada para c é
enquanto no intervalo
. No intervalo
temos duas possibilidades para c:
tomamos
,
.
5. Teorema do Valor Médio
Seja f contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um número c no intervalo (a, b) tal que:
Geometricamente, o teorema estabelece que existe pelo menos um ponto c entre a e b, tal que a reta
tangente
é paralela a reta que passa pelos pontos
Exemplo: Seja
Solução:
definida no intervalo
e
Vamos calcular
e
.
. Calcular o valor de c que o TVM garante existir.
e
, assim:
e
Como
, temos:
é contínua para todo x ,
existe em
e
para
Portanto, o valor de c que o TVM garante existir em
vale 1.
6. Regra de L’Hospital
A Regra de L’Hospital é uma outra aplicação das derivadas, que consiste num modo bastante útil de
calcular limites de formas indeterminadas. Permite-nos levantar indeterminações do tipo e .
Se o
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
ou
então calcule
e
logo
.