Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL IX
1 – TRONCO DE CONE
3 – ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE
CONE
Chamaremos de tronco de cone de bases
paralelas a porção do cone limitada por sua base e por
uma secção transversal qualquer deste cone. A secção
transversal é a interseção entre o cone e um plano
paralelo à sua base. Como o plano é paralelo à sua
base, é obtido um cone menor, que é semelhante ao
cone maior. Isso significa que os raios dos doiss cones
(assim como as suas alturas) são proporcionais entre
si. O tronco de cone é a diferença entre o cone maior e
o cone menor.
3.1 – Área lateral
A área lateral
de um tronco de cone é a
diferença entre a área lateral
do cone maior e a área
lateral
do cone menor
Seja
a geratriz do tronco, que é a diferença
entre a geratriz do cone maior e a geratriz do cone
menor:
De
lateral
e
, é possível mostrar que a área
do tronco de cone é dado pela expressão:
3.2 – Área das bases
As bases de um tronco de cone são a base do
cone maior (que tem área
) e a base do cone
menor (que tem área
)
3.3 – Área total
Figura 1 – tronco de cone
A área total
de um tronco de cone é a
soma da sua área lateral com as áreas duas bases:
2 – SEMELHANÇA ENTRE OS CONES
Sejam , , , , o volume, a área da base,
a altura, o raio e a geratriz do cone maior, e , , , ,
o volume, a área da base, a altura, o raio e a geratriz
do cone menor. Seja a razão de semelhança entre o
cone menor e o maior. Então
é a razão entre
comprimentos
correspondentes
(alturas,
raios,
geratrizes, etc). Logo:
( )
( )
3.4 – Volume
O volume
de um tronco de cone é a
diferença entre o volume do cone maior e o volume
do cone menor, isto é:
Seja
a altura do tronco, conforme a figura 1.
Então, a altura do tronco é a diferença entre a altura
do cone maior e a altura do cone menor:
De
e
, é possível mostrar que o volume
do tronco de cone é dado pela expressão:
( )
[
( )
√
]
[
]
, onde
é a altura do tronco,
base maior, é a área da base menor,
base maior e é o raio da base menor.
1
Geometria
é a área da
é o raio da
CASD Vestibulares
4. (UERJ - 11) Um sólido com a forma de um cone
circular reto, constituído de material homogêneo, flutua
em um líquido, conforme a ilustração abaixo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (ENEM - 13) Uma cozinheira, especialista em fazer
bolos, utiliza uma forma no formato representado na
figura:
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao
meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume
submerso e o volume do sólido será igual a:
Nela identifica-se a representação de duas figuras
geométricas tridimensionais.
Essas figuras são
a) um tronco de cone e um cilindro.
b) um cone e um cilindro.
c) um tronco de pirâmide e um cilindro.
d) dois troncos de cone.
e) dois cilindros.
a)
b)
c)
d)
5. (UFRGS - 08) A areia contida em um cone fechado,
de altura
, ocupa
da capacidade do cone.
2. (UECE - 08) Um cone circular reto, cuja medida da
altura é , é seccionado, por um plano paralelo à base,
em duas partes: um cone cuja medida da altura é
e um tronco de cone, conforme a figura.
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme
indica a figura, a altura do tronco de cone ocupado
pela areia, em centímetros, é
a)
A razão entre as medidas dos volumes do cone maior
e do cone menor é:
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
e)
6. (UFSM - 06). Na hora do recreio, Susanita comprou
um copo de sorvete com a forma de um cone com
altura de
e raio da base de
. Para enchêlo com quantidades iguais de sorvete de creme e de
chocolate, a altura atingida pelo primeiro sabor deve
ser
3. (UFC - 09) Ao seccionarmos um cone circular reto
por um plano paralelo a sua base, cuja distância ao
vértice do cone é igual a um terço da sua altura,
obtemos dois sólidos: um cone circular reto
e um
tronco de cone
a)
b)
. A relação
c)
é igual a:
d)
e)
a) √
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Geometria
b) √
c) √
d) √
e)
2
Nível II
7. (ESPCEX (AMAN) - 13) Um recipiente em forma de
cone circular reto, com raio da base e altura , está
completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a
superfície de contato entre os líquidos está inicialmente
na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de
uma torneira que permite escoar os líquidos de seu
interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira
for aberta, exatamente até o instante em que toda
água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo,
medida a partir do vértice será
10. (UFU - 12) Considere um balde para colocação de
gelo no formato de um tronco de cone circular reto
apresentando as medidas indicadas na figura a seguir.
Considerando que esse balde esteja com
de sua
capacidade ocupada com gelo derretido (água) e,
consequentemente, com um volume de água igual a
litros, qual é o valor (em
) do raio da base
maior ?
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
√
e)
a)
8. (ITA - 12) Um cone circular reto de altura
geratriz
√
e
é interceptado por um plano paralelo à sua
base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para
que este novo cone tenha o mesmo volume de um
cubo de aresta
(
)
cm, é necessário que a
distância do plano à base do cone original seja, em cm,
igual a
a)
b)
c)
d)
e)
9. (UERJ - 10)
A figura abaixo representa um
recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de
sódio a
. O nível desse líquido tem
de
altura.
b)
c)
d)
11. (ENEM PPL - 12) Nas empresas em geral, são
utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis,
ambos com a forma de troncos de cones circulares
retos:
- copos pequenos, para a ingestão de café: raios das
bases iguais a
e
e altura igual a
;
- copos grandes, para a ingestão de água: raios das
bases iguais a
e
e altura igual a
Uma dessas empresas resolve substituir os dois
modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada
um de seus funcionários canecas com a forma de um
cilindro circular reto de altura igual a
e raio da
base de comprimento igual a
centímetros. Tais
canecas serão usadas tanto para beber café como
para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular
reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais
a e e a altura é , é dado pela expressão:
O raio da base dessas canecas deve ser tal que
seja, no mínimo, igual a
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução
inicial com água, até completar o recipiente, obtendose a solução aquosa do hipoclorito de sódio a
.
Esse recipiente tem altura
, em centímetros,
equivalente a
a)
3
b)
c)
a)
b)
c)
d)
e)
d)
Geometria
CASD Vestibulares
12. (UNESP - 08) Numa região muito pobre e com
escassez de água, uma família usa para tomar banho
um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o
formato de um cilindro circular reto de
de altura
e base com
de raio, seguido de um tronco de
cone reto cujas bases sao círculos paralelos, de raios
medindo
e
, respectivamente, e altura
, como mostrado na figura.
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há
uma torneira com um gotejamento que provoca um
desperdício de
litros de água por dia.
Considerando a aproximação
, determine quantos
dias de gotejamento são necessários para que a
quantidade de água desperdiçada seja igual à usada
para banhos, ou seja, encher completamente vezes
aquele chuveiro manual.
Dado:
litro.
13. (UFSCAR - 06) A figura 1 indica a jarra de um
espremedor de frutas, e a figura 2 sua vista superior
(sem a alça).
14. (UNESP - 14) A imagem mostra uma taça e um
copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um
cilindro de altura e raio medindo e de um tronco de
cone de altura e raios das bases medindo e . A
forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de
cone de altura
e raios das bases medindo e .
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura
e raios das bases
e
é
e
dado que √
determine o raio aproximado da
base do copo, em função de , para que a capacidade
da taça seja
da capacidade do copo.
15. (UDESC - 13) Se a geratriz, a altura e o raio menor
de um tronco de cone reto são, respectivamente,
,
e
, então o volume do cone original
√
é:
a)
b)
c)
d)
e)
Sabe-se que a jarra é cilíndrica, com parte central na
forma de um tronco de cone, e que as três
circunferências indicadas na vista superior são
concêntricas.
a) Qual é a área, em
, da superfície lateral da parte
externa da jarra? (Desconsidere a alça.)
b) Qual é o volume máximo de suco, em
jarra pode conter?
CASD Vestibulares
, que a
Geometria
4
16. (UFMG - 12) Um funil é formado por um tronco de
cone e um cilindro circular retos, como representado na
figura abaixo
Sabe-se
√
que
.
,
,
18. (UFG - 13) Em um período de festas, pretende-se
decorar um poste de uma praça com fios de luzes
pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o
formato de tronco de cone circular reto com
de
altura e diâmetros de
na base e
no topo. Os
fios de luzes serão esticados, do aro superior ao
inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e,
para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na
circunferência da base pontos igualmente espaçados,
de modo que o comprimento do arco entre dois pontos
consecutivos seja no máximo
.
De acordo com os dados apresentados, determine o
número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir
a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de
seus comprimentos.
e
Dado:
Considerando essas informações,
a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do
corpo do funil.
b) Calcule o volume total do funil.
c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a
receber água a
. Sabendo que a vazão do
funil é de
, calcule quantos segundos são
necessários para que o funil fique cheio.
17. (UDESC - 12) Um recipiente de uso culinário com
de altura possui o formato de um tronco de cone
reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a
metade da sua altura.
19. (UNICAMP - 06) Um abajur de tecido tem a forma
de um tronco de cone circular reto, com bases
paralelas. As aberturas do abajur têm
e
de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede
. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se
substituí-lo.
a) Determine os raios dos arcos que devem ser
demarcados sobre um novo tecido para que se possa
cortar um revestimento igual àquele que foi danificado.
b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o
tecido que revestirá o abajur.
20. (ITA - 14) Considere o sólido de revolução obtido
pela rotação de um triângulo isósceles
em torno
de uma reta paralela à base ̅̅̅̅ que dista
do
vértice e
da base ̅̅̅̅ . Se o lado ̅̅̅̅ mede
√
a)
, o volume desse sólido, em
b)
c)
, é igual a
d)
e)
Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a
e que o diâmetro de sua base é igual a
,
classifique as proposições abaixo e assinale (V) para
verdadeira ou (F) para falsa.
(
(
(
) O volume de água no recipiente corresponde à
quarta parte da quantidade necessária para
enchê-lo totalmente.
) Se a água do recipiente for retirada à taxa
constante de
por segundo, então o
tempo necessário para esvaziá-lo será superior
a
segundos.
) Para aumentar
do nível de água no
recipiente, é necessário acrescentar mais
de água.
A alternativa correta, de cima para baixo, é:
a) V – F – F
d) F – F – V
5
b) F – V – F
e) V – V – F
c) F – V – V
Geometria
CASD Vestibulares
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Note que cada uma das duas figuras possui duas
bases paralelas, sendo uma base maior circular e uma
base menor circular
5. Com o vértice do cone voltado para cima, sejam ,
o volume e a altura do cone maior, , , o volume e
a altura do cone menor e
o volume do tronco de
cone. Como
é o volume da areia (que ocupa
da
capacidade do cone maior)
2. Sejam o volume do cone maior e o volume do
cone menor. Como a razão entre os volumes é o cubo
da razão entre as alturas:
( )
(
)
( )
Como a razão entre os volumes é o cubo da razão
entre as alturas e como
:
3. Seja
o cone circular reto original,
a altura do
cone maior e a altura do cone menor. Então
.
Como a razão entre os volumes é o cubo da razão
entre as alturas:
(
)
(
)
(
)
√
( )
( )
(
)
( )
A altura
do tronco é a diferença entre a altura do
cone maior e a altura do cone menor:
4. Sejam , o volume e a altura do cone maior, e ,
, o volume e a altura do cone menor. Como todas as
geratrizes desse sólido foram divididas ao meio pelo
nível do líquido, a altura também será dividida ao meio.
Logo,
. Como a razão entre os volumes é o
cubo da razão entre as alturas:
6. Sejam o volume do cone maior e o volume do
cone menor. Para encher o copo com quantidades
iguais de sorvete de creme e de chocolate, o volume
dos dois sorvetes deve ser o mesmo. Como o volume
do sabor de cima é e o volume do sabor de baixo é
,
. Além disso, note que a
altura do cone maior é
e altura do cone
menor é . Como a razão entre os volumes é o cubo
da razão entre as alturas:
( )
( )
( )
(
√
√
( )
( )
( )
√
)
O volume submerso
é a diferença entre o volume do
cone maior e o volume do cone menor
7. Sejam
o volume do cone maior, ,
o volume e
a altura do cone menor inicial formado pela água e ,
o volume e a altura do cone menor final formado
pela óleo . Então
e
.Na situação
inicial, o cone menor é formado pela água:
A razão entre o volume submerso e o volume do cone
maior é:
(
)
( )
(
)
Na situação final, o cone ´menor é formado pelo óleo:
(
CASD Vestibulares
Geometria
)
√
√
√
√
6
8. A figura do problema é a seguinte:
9. Sejam , o volume e a altura do cone maior, e ,
, o volume e a altura do cone menor. Dessse modo,
. Como a razão entre os volumes é o cubo
da razão entre as alturas:
( )
(
)
Seja
o volume do soluto hipoclorito de sódio.
Inicialmente, o volume da solução é e a porcentagem
em volume do soluto é
, logo
Após a diluição, o volume da solução é
e a
porcentagem em volume do soluto é
, logo
Na figura, tem-se que a altura do cone maior é
, a geratriz do cone maior é
raio da base do cone maior é
cone é
.
√
,o
Dividindo
por
, tem-se:
e a altura do novo
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
De
(
√
e
, tem-se:
)
(
√
)
√
O volume
10. Como
litro equivale a
, o
volume
de água é
.
Seja ainda
o volume do balde. Como
da
capacidade do balde está ocupada com água, tem-se:
do cone maior é:
√
( )
.
Note que
e
.
Da fórmula do volume de um tronco de cone, tem-se:
O volume
do cone menor é:
(√
[
)
[
]
[
]
]
Como os dois cones são semelhantes, tem-se:
√
(
)
(
)
√
√
A distância do plano à base do cone original é
7
√
:
Geometria
CASD Vestibulares
11. Sejam
, , , o raio da base maior, o raio da
base menor e a altura do copo grande, e
, , o
volume e a altura da caneca. Então
,
,
e
. Da fórmula do
volume de um tronco de cone, tem-se:
[
]
[
[
14. Sejam
o volume do tronco de cone da taça,
o
volume do cilindro da taça,
o volume da taça e
o volume do copo. Então
. Como o tronco
d cone e o cilindro da taça têm altura igual a :
[
]
]
[
]
]
[
Como a caneca deve substituir o copo grande, o seu
volume deve ser no mínimo o volume do copo grande:
]
Como o copo tem altura igual a
[
[
12. Sejam , , , o volume, o raio da base maior, o
raio da base menor e a altura do tronco de cone,
,
o volume e a altura do cilindro e
o volume do
chuveiro. Então
,
,
,
.
]
[
[
]
[
]
]
]
[
]
[
]
√
]
√
Logo, para encher
vezes o chuveiro manual, são
necessários
litros. Como em cada dia
há um desperdício de
litros, o número de dias de
gotejamento necessários é
]
:
]
[
[
[
√
Lembre-se que o raio da base do copo é
13. a) Sejam
,
, a área da superfície lateral
da parte externa, o raio da parte externa e a altura da
jarra. Então
e
b) Sejam , , , o volume, o raio da base maior, o
raio da base menor e a altura do tronco de cone,
o
volume do cilindro e
o volume máximo de suco.
Então
,
,
[
]
[
[
CASD Vestibulares
]
]
Geometria
8
15. Sejam
a altura do tronco,
o
raio da base maior do tronco,
o raio da
base menor do tronco e
a geratriz do
√
tronco. A figura do problema é a seguinte:
16. a) Sejam
a altura do tronco,
o raio da base maior do tronco,
o raio
da base menor do tronco e
a geratriz
do tronco. A figura do problema é a seguinte:
Seja
Seja
a projeção ortogonal de
,
sobre
. Então
,
a projeção ortogonal de
,
sobre
. Então
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
:
√
√
O volume
do tronco de cone é:
[
√
]
Seja a altura do cone original. Então a altura do cone
menor é
. Então:
√
b) O volume
[
Seja
]
√
]
do cilindro é:
√
O volume
[
√
√
do funil é:
√
o volume do cone original. Então, tem-se:
√
√
√
c) Como o funil começa a receber água a
e
tem uma vazão de
, ele é enchido com uma
taxa de
.
Como
√
,
a
capacidade
do
funil
é
√
Aplicando uma regra de três simples, tem-se que:
9
Geometria
CASD Vestibulares
17. A figura do problema é a seguinte:
Afirmativa III) Na figura abaixo, sejam
. Logo,
Além disso, como
Afirmativa I) Como a altura do recepiente é
ea
sua geratriz é
, tem-se que
e
. Como o diâmetro da base do recepiente é
, tem-se que
. Usando
Pitágoras no triângulo retângulo
:
Após aumentar
água é:
O volume
tais que
é base média do trapézio
:
do nível de água, o volume de
[
]
[
, ,
[
]
]
do recepiente é:
[
Assim, é necessário acrescentar mais
de
água para aumentar
do nível de água. Logo, a
afirmativa III é falsa.
]
[
]
[
]
18. A figura do problema é a seguinte:
Como o recepiente está com água até a metade da
sua altura, tem-se que
Além disso, como
é base média do trapézio
:
O volume
do recepiente é:
[
]
[
[
]
no topo,
no topo.
]
O volume necessário para preencher o recepiente
totalmente é
Como os comprimento do arco entre dois pontos
consecutivos que representam os fios é no máximo
, o número mínimo de fios é
.
Como esse número é inteiro, o número mínimo é
O comprimento de cada fio é o comprimento da
geratriz (que mede
destacada na figura. Note que o
cateto horizontal do triângulo retângulo destacado é
. Usando Pitágoras nesse triângulo:
Logo, a afirmativa I é falsa
Afirmativa II) Se á agua do recepiente for retirada a
uma taxa constante de
por segundo, o tempo
necessário para esvaziá-lo é
segundos. Mas
Logo, a afirmativa II é verdadeira
CASD Vestibulares
Como os diâmetros são
na base e
os raios são
na base e
Logo, o comprimento da base maior é:
Como são
fios de comprimento
total dos seus comprimentos é
Geometria
cada, a soma
10
19. a) Como a planificação da superfície lateral de um
cone é um setor circular, a planificação da superfície
lateral de um tronco de cone (que é a diferença entre
um cone maior e um cone menor) é um setor de uma
coroa circular (que é a diferença entre um setor circular
maior e um setor circular menor), ilustrado abaixo:
20. Seja
o ponto médio de
bidimensional do problema é a seguinte:
. A figura
A figura tridimensional do problema é a seguinte:
Na figura acima,
é o vértice do cone maior (e do
cone menor),
é a geratriz do cone
menor,
é a geratriz do cone maior,
̂ é o perímetro da base do cone menor, ̂ é o
perímetro da base do cone maior e a área do
revestimento (que é a área lateral do tronco de cone) é
a área hachurada. Como a base menor tem
de
diâmetro e a base maior tem
de diâmetro, temse que ̂
e ̂
.
Como os setores circulares
e
são
semelhantes, tem-se:
̂
̂
Note que esse sólido é a diferença entre o cilindro de
raio da base
e altura
e dois troncos de
cone de raio maior
, raio menor
altura
No triângulo retângulo
, tem-se:
( )
Na figura acima, pode-se ver que para cortar um novo
tecido de revestimmento do abajur, deve-se demarcar
um arco com raio
, e um outro arco com raio
maior
√
(
)
b) Seja o ângulo ̂ . Então, como o arco ̂ é
uma parte da circunferência de centro e raio :
̂
O volume
Sejam
a área do setor circular de ângulo e raio
,
a área do setor circular de ângulo e raio
, e a área da região demarcada (área hachurada):
do cilindro é:
( )
O volume
do tronco de cone é:
[( )
O volume
11
Geometria
( ) ]
[
]
do sólido é:
CASD Vestibulares
GABARITO
1. D
2. D
3. C
4. D
5. C
6. C
7. A
8. D
9. B
10. C
11. C
12. São necessários
dias de gotejamento
13. a) A área da superfície lateral da parte externa da
jarra é
b) O volume máximo de suco que a jarra pode conter é
14. O raio aproximado da base do copo é
15. D
16. a) O volume do corpo do funil é
b) O volume total do funil é
√
√
c) Para que o funil fique cheio, são necessários
segundos
17. C
18. O número mínimo de fios necessário é
total de seus comprimentos é
e a soma
19. a) Os raios dos arcos que devem ser demarcados
são
e
b) A área da região a ser demarcada sobre o tecido
que revestirá o abajur é
20. C
CASD Vestibulares
Geometria
12