Modelagem Matemática de Sistemas
1.
+ de modelagem com Circuitos Elétricos
2.
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.1
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Descrição Matemática de Sistemas
Exemplo – Circuito elétrico
v2 (t)
+
−
R
u(t)
+
−
+
v1 (t)
−
i
C2
C1
L
+
y(t)
−
B Um bipolo (dispositivo contendo 2 terminais condutores) se caracteriza pela
relação tensão-corrente
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.2
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Circuito elétrico
B Resistor, Capacitor e Indutor lineares (convenção de receptor):
iR
R
iL
iC
+
+
+
vR
C
vC
L
−
vL
−
−
vR = RiR
c Reinaldo M. Palhares
°
iC = C
pag.3
dvC
dt
vL = L
diL
dt
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Circuito elétrico
Fontes de Tensão e de Corrente (convenção de gerador):
i
i
+
uv (t)
+
−
+
v
−
v = uv (t)
c Reinaldo M. Palhares
°
ui (t)
v
−
i = ui (t)
pag.4
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Circuito elétrico
Convenção – em geral, a convenção de receptor é utilizada para os bipolos passivos e a
de gerador para as fontes
Nó: Um ponto de ligação entre 2 ou mais bipolos
I Lei das Correntes ou 1a Lei de Kirchhoff: a soma algébrica das correntes que saem
de um nó é nula
Laço: Qualquer percurso fechado formado por bipolos que não passe duas vezes pelo
mesmo nó
I Lei das Tensões ou 2a Lei de Kirchhoff: a soma algébrica das tensões nos bipolos
pertencentes a um laço é nula
à Em um circuito com b bipolos e n nós tem-se 2b variáveis (tensões e correntes nos
bipolos)
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.5
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Circuito elétrico
v2
(u − v1 )/R
+
R
−
N
i = C2 v̇2
C1 v̇1
u(t)
v1
C1
−
I Nó N:
R
y = vL = L
L
−
= C1 v̇1 + C2 v̇2 = C1 v̇1 + i
I Laço da direita: v1 = v2 + L
c Reinaldo M. Palhares
°
+
+
+
−
u − v1
C2
di
dt
pag.6
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
di
dt
Circuito elétrico
I Definindo x1 = v1 , x2 = v2 e x3 = i obtêm-se as equações de estado:

1
1
1

x
−
x
+
u
ẋ
=
−
1
3
1

RC1
C1
RC1

ẋ2 = C12 x3



1
(x1 − x2 )
ẋ3 = L
Equação de saı́da: y = Lẋ3 = x1 − x2



−1/RC1
0
−1/C1






ẋ = 

0
0
1/C2



1/L
−1/L
0






h
i


 y =
1 −1 0 x
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.7




x + 


1/RC1
0
0


u

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Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Grafo Conexo: Grafo no qual existe sempre um caminho constituı́do por ramos
entre dois nós quaisquer
1
2
3
2
1
4
1
5
2
1
4
3
4
3
2
5
3
4
5
Grafo Conexo
5
Grafo Não Conexo
Subgrafo: conjunto qualquer de ramos e nós de um grafo
Corte: conjuntos de ramos que, eliminados, deixam dois subgrafos conexos
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.8
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Laço: caminho fechado formado por ramos e não passando mais de uma vez por
nenhum nó
Árvore: subgrafo conexo contendo todos os nós do grafo e nenhum laço.
Escolhida uma árvore para um grafo, os demais ramos (não pertencentes à árvore)
são chamados de ramos de ligação
Corte Fundamental: constituı́do por um único ramo da árvore e ramos de
ligação
Laço Fundamental: constituı́do por um único ramo de ligação e ramos da
árvore
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.9
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Exemplo
R1
1
L
2
+
−
e(t)
3
R2
C
0
1
1
2
Grafo:
2
3
4
3
5
0
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.10
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
2
1
2
3
1
Árvores:
1
2
2
3
4
3
5
0
0
1
1
2
Laços:
2
3
3
4
4
3
5
0
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.11
0
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Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Árvore Própria: é uma árvore com todos os capacitores e fontes de tensão do
circuito, sem indutores e sem fontes de corrente
L
R1
e(t)
+
−
1
i
C
+
v
−
1
2
3
4
R2
5
0
B Cada capacitor define um corte fundamental, constituı́do pelo capacitor e por
ramos de ligação
B Cada indutor define um laço fundamental, constituı́do pelo indutor e ramos da
árvore
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.12
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
I Partindo de cada capacitor e do corte fundamental apropriado (que não inclui
fontes de tensão – pois a idéia é escrever equação de correntes), obtém-se
2
2
3
Corte Fundamental
i = C v̇ +
4
3
v
R2
0
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.13
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
I Partindo de cada indutor e do laço fundamental apropriado (que não inclui
fontes de corrente – pois a idéia é escrever equação de tensões), obtém-se:
1
1
2
Laço Fundamental
2
3
e(t) = R1 i + L
4
di
dt
+v
5
0
B As equações de estado são obtidas a partir das equações de correntes para os
cortes fundamentais e das equações de tensões para os laços fundamentais...
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.14
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
rep
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Exemplo
L
R
+
e(t) −
v1
+
x
C
C
+
v2
2R
−
−
Árvore Própria:
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.15
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Cortes Fundamentais:
e(t) − v1
R
=C
dv1
dt
+x
,
x=C
dv2
dt
+
v2
2R
Laço Fundamental:
v1 = Lẋ + v2
c Reinaldo M. Palhares
°
(não tem fonte de tensão...)
pag.16
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Exemplo
R
L
R
iR
C
+
i
e(t) +
−
−
v
R
R
Árvore Própria:
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.17
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Corte Fundamental:
i+
L di
R dt
c Reinaldo M. Palhares
°
=
|
C
{zv̇
}
corrente iRC em RC
pag.18
v + RC v̇
+
|
R
{z
corrente só em R:
}
RiRC
v
+
R
R
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Laço Fundamental:
e(t) = RiR + L
di
dt
+ v + RC v̇
As equações obtidas dependem da corrente iR (que não é variável de estado).
Uma equação auxiliar é necessária...
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.19
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Equação Auxiliar: Equação de correntes para o corte fundamental definido pelo resistor
(se este estiver na árvore própria) ou equação das tensões para o laço fundamental
definido pelo resistor (se for um ramo de ligação)
Corte Fundamental:
⇒ iR =
L di
+i
R dt
Equações de Estado:
8
di
>
RC
v̇
+
v
+
2L
+ Ri = e(t)
>
>
<
dt
>
>
>
: 2RC v̇ + v − Ri − L di = 0
dt
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.20
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Passando para a forma padrão (isolando os termos com derivada – v̇ e
di
)
dt

3
1
1
dv


=−
v+
i+
e(t)


 dt
5RC
5C
5RC



di
1
3R
2


=−
v−
i+
e(t)
dt
5L
5L
5L

Definindo-se x , 
c Reinaldo M. Palhares
°
v
i

 e a saı́da y(t) , v(t)...
pag.21
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado


1
3




 − 5RC

5C





ẋ(t) = 






1
3R


−
−

5L {z
5L
|

A







h
i



y(t) = 1 0 x(t)




| {z }



1
}
|
5L
{z

 5RC 




 x(t) + 
 e(t)






2
}
B
C
Para R = L = C = 1,

A=
c Reinaldo M. Palhares
°
−0.6
−0.2
0.2
−0.6
pag.22


 , B=
0.2
0.4


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Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
Descrição por Função de Transferência
B T (s) = C (sI − A)
−1


s + 0.6
−0.2
0.2
s + 0.6
T (s) =
h

1
B + D. Calculando (sI − A)
−1

=
1
s2 + 1.2s + 0.4
s + 0.6
2
i
 s + 1.2s + 0.4
0 


−0.2
s2 + 1.2s + 0.4
c Reinaldo M. Palhares
°

pag.23

−1
:
s + 0.6
0.2
−0.2
s + 0.6
0.2
s2






+ 1.2s + 0.4  0.2



 0.4
s + 0.6
s2 + 1.2s + 0.4
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
Sistemática para Obtenção de Equações de Estado
T (s) =
h

1
0.2s + 0.2
2
i
 s + 1.2s + 0.4
0 


0.4s + 0.2
s2 + 1.2s + 0.4



0.2s + 0.2
N (s)
=
,

2 + 1.2s + 0.4
s
D(s)

B Veja que:
0.2s + 0.2
s2
+ 1.2s + 0.4
0.4s + 0.2
s2
+ 1.2s + 0.4
c Reinaldo M. Palhares
°
é a FT de e(t) para a saı́da igual a v(t)
é a FT de e(t) para a saı́da igual a i(t)
pag.24
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
MATLAB
A=[-0.6 0.2; -0.2 -0.6]; B= [0.2;0.4]; C=[1 0];
>> sys=ss(A,B,C,0)
a =
x1
x2
x1 -0.6
0.2
x2 -0.2 -0.6
b =
u1
x1 0.2
x2 0.4
c =
x1 x2
y1
1
0
d =
u1
y1
0
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.25
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
MATLAB
>> FT=tf(sys)
Transfer function:
0.2 s + 0.2
----------------s^2 + 1.2 s + 0.4
I Suponha que v(t) e i(t) sejam medidos... Apenas C se modifica
C=eye(2);
>> sys=ss(A,B,C,[0; 0])
a =
x1
x2
x1 -0.6
0.2
x2 -0.2 -0.6
b =
u1
x1 0.2
x2 0.4
c =
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.26
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4
MATLAB
y1
y2
d =
x1
1
0
x2
0
1
u1
y1
0
y2
0
>> FT=tf(sys)
Transfer function from input to output...
0.2 s + 0.2
#1: ----------------s^2 + 1.2 s + 0.4
#2:
0.4 s + 0.2
----------------s^2 + 1.2 s + 0.4
c Reinaldo M. Palhares
°
pag.27
Teoria de Sistemas Lineares – Aula 4