Lista 0 de Problemas de Fis403
— Fı́sica Geral III —
2o Semestre de 2015
IFQ/UNIFEI
1) Dados os vetores
A = 3 x̂ + 2 ŷ − ẑ,
B = 3 x̂ − 4 ŷ − 5 ẑ,
C = x̂ − ŷ + ẑ,
determine:
a) A ± B, B ± C, A ± C
b) A·B, B·C, A·C
c) A×B, B×C, A×C
d) (A×B)·C, A·(B×C). São iguais?
e) A×(B×C), (A·C)B − (A·B)C. São iguais?
f ) Qual é o ângulo entre os vetores A e B? Entre A e C? B e C? Entre A e B×C?
g) Qual é a área formada por um triângulo que tem como lados os vetores A e B? Idem para A e C e
depois B e C?
2) Expresse as seguintes grandezas no sistema de coordenadas pedido:
1 p·r
a) φ =
, onde p = p ẑ é um vetor constante, em coordenadas cartesianas;
4π0 r3
b) φ = −V0 ln(ρ/a), onde a é uma constante com dimensão de distância, em coordenadas cartesianas;
c) A = y x̂ − x ŷ em coordenadas cilı́ndricas;
d) E = E0 [(x2 − y 2 ) x̂ + 2xy ŷ + (4 − x2 − y 2 ) ẑ] em coordenadas esféricas.
3) Determine a área de um cı́rculo de raio R no plano xy centrado na origem usando
a) Coordenadas retangulares: x2 + y 2 = R2 , z = 0
b) Coordenadas cilı́ndricas: ρ = R, z = 0
Em qual dos dois foi mais fácil? ,
4) Determine o volume de uma esfera de raio R centrada na origem usando
a) Coordenadas retangulares: (x2 + y 2 + z 2 = R2 ).
b) Coordenadas cilı́ndricas: ρ2 + z 2 = R2
c) Coordenadas esféricas: r = R.
Em qual dos três foi mais fácil? ,
5) Usando coordenadas cilı́ndricas ou polares, determine o comprimento do segmento de reta que, no plano
xy, se estende desde o ponto P1 (0, 2, 0) até P2 (5, 2, 0). (Claro que ninguém em sã consciência faria isso dessa
forma!)
6) Calcule o comprimento de uma espiral logarı́tmica, dada por ρ = e2ϕ , entre os pontos ϕ = 0 e ϕ = π/6.
Repita para uma espiral de Arquimedes, cuja equação é ρ = 2ϕ.
7) Considere a parábola definida por y = x2 , no plano z = 0, e a linha definida por esta parábola desde a
origem até o ponto (2, 4, 0). Determine:
a) o comprimento da linha ;
b) o vetor deslocamento
Z entre os mesmos pontos;
c) a integral de linha
A· dr entre esses pontos, sendo A = 2r r̂ em coordenadas esféricas.
`
8) Determine a massa total de:
a) Uma casca esférica de raio R = 2,0 m tem densidade superficial de massa dada por σ = σ0 cos2 θ, onde
σ0 = cte. = 0,50 kg/m2 ;
b) um cilindro reto de raio R e altura h, de densidade de massa ρv = Kρ, onde ρ é a distância (perpendicular)
de um ponto do cilindro ao seu eixo.
9) Determine os vetores unitários perpendiculares ao plano que contem os vetores 2 x̂−6 ŷ−3 ẑ e 4 x̂+3 ŷ− ẑ
10) Os pontos P1 e P2 têm suas posições dadas respectivamente pelos vetores r1 = 3 x̂ + ŷ + 2 ẑ e r2 =
x̂ − 2 ŷ − 4 ẑ. Determine a equação do plano que passa por P2 e é perpendicular ao segmento P1 P2 .
11) Mostre que ∇rn = nrn−2 r = nrn−1 r̂. Determine ∇ ln r e ∇(1/r).
12) Determine o vetor unitário que é perpendicular à superfı́cie 2xz 2 −3xy−4x−7 = 0 no ponto P (1, −1, 2).
13) Numa região do espaço existe um campo elétrico dado por
E=
λ
ρ̂,
2π0 ρ
onde ρ e ρ̂ são elementos de coordenadas cilı́ndricas e λ uma constante. Determine o fluxo desse campo
através:
a) de um cilindro de raio R e comprimento L, com eixo coincidente com o eixo z, extendendo-se de z = −L/2
a z = L/2;
b) de um cubo de aresta 2a, centrado na origem e com faces paralelas aos planos coordenados;
c) de uma esfera de raio R centrada na origem.
14) Mostre que ∇·(r/r3 ) = 0 para r 6= 0.
15) Mostre que, sendo A e B dois vetores conservativos (rotacionais nulos), tem-se ∇·(A×B) = 0.
16) Mostre que o campo vetorial E = α
r̂
, onde α é uma constante, é conservativo.
r2
17) Considere o vetor A = (6xy + z 3 ) x̂ + (3x2 − z) ŷ + (3xz 2 − y) ẑ e a superfı́cie delimitada por x2 + y 2 = 4
e os planos z = 0 e z = 3. a) Determine ∇·A; b) determine os versores normais às superfı́cies S1 (z = 0),
S2 (z = 3) e S3 (x2 + y 2 = 4). c) Verifique o teorema da divergência de Gauss para o fluxo do vetor A sobre
a superfı́cie fechada especificada.
2
2
2
2
2
18) Seja S a superfı́cie superiorZda esfera dada por
I x + y + z = 1 e o vetor A = (2x − y) x̂ − yz ŷ − zy ẑ.
∇×A·n̂ dS =
Verifique o teorema de Stokes,
S
A·dr, onde l é o contorno da superfı́cie S.
`
3(r2 p − p·r)r
. Para p = p ẑ, determine o fluxo
r3
r5
do vetor gradiente acima através a) da semiesfera r = R, z > 0; b) do cı́rculo de raio R situado no plano
z = h, centrado no eixo z.
19) Sendo p um vetor constante, mostre que ∇
p·r =
20) Calcule ∇·A e ∇×A nos seguintes casos:
1
a) A = k(a2 − ρ2 ) ẑ (coordenadas cilı́ndricas);
2
1
b) A = k(a2 − ρ2 ) ρ̂ (coordenadas cilı́ndricas);
2
µ0 i
c) A =
ϕ̂ (coordenadas cilı́ndricas);
2πρ
µ0 iρ
d) A =
ϕ̂ (coordenadas cilı́ndricas);
2πa2
2r
e) A = 2
r̂ (coordenadas esféricas);
a + r2
f ) A = r2 cos θ θ̂ + r sen θ sen ϕ ϕ̂.
21) Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
a) A = 2x2 y x̂ + xz 3 ŷ − 4zy ẑ;
b) A = 3r2 r̂;
R2 + Rρ + ρ2
ρ̂, onde R = cte.
c) A =
ρ2
22) Determine o fluxo através das superfı́cies S1 : x2 + y 2 + z 2 = R12 , S2 : x2 + y 2 + z = R2 , z ≥ 0 e
S3 : x2 + y 2 = R2 , |z| ≤ H, produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
1
a) A = ρ̂
ρ
1
b) A = 2 r̂
r
c) A = ρ ρ̂
d) A = r r̂
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e suas respectivas integrais ao longo do
volume delimitados pelas superfı́cies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
23) Seja o A o campo vetorial dado por

ρ≤R
 ρ ϕ̂,
A=
R2

ϕ̂, ρ > R
ρ
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano xy centrada na origem e
raio: a) ρ < R; b) ρ = R; c) ρ > R.
24) O campo magnético de uma certa região é dado por:
2µ0 J0 a
πz
sen
x̂
π
2a
a) Calcule a integral de linha do vetor B ao longo da trajetória no plano xz mostrada na figura.
b) Use o teorema de Stokes para verificar o resultado.
B=
z
6
(−a, a)
(a, a)
6
-
x
?
(−a, −a)
-
(a, −a)
25) Um campo magnético numa certa região do espaço é dado por
µ0 I
ϕ̂,
2πρ
onde ρ e ϕ̂ são elementos de coordenadas cilı́ndricas. Determine:
a) o fluxo ΦB desse vetor através de uma espira retangular de lados a e b, localizada no plano xz, entre
x = d e x = d + a, z = 0 e z = b.
b) A espira do ı́tem anterior move-se na direção do eixo x com velocidade uniforme ~v = v x̂. Determine
dΦB /dt.
c) a circulação de B ao longo de uma circunferência de raio R localizada no plano z = z0 (paralelo ao plano
xy), com centro no eixo z (isto é, centro em (0, 0, z0 ));
d) a circulação de B ao longo do quadrado circunscrito nesta circunferência.
B=
26) Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
J0 R/ρ, para ρ ≤ R
J = ẑ
0,
para ρ > R.
onde ρ e ϕ̂ são elementos de coordenadas cilı́ndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
a) de um cı́rculo de raio a < R localizado no plano z = z0 (paralelo ao plano xy), com centro no eixo z
(isto é, centro em (0, 0, z0 ));
b) de um cı́rculo de raio a > R localizado no plano z = z0 (paralelo ao plano xy), com centro no eixo z ;
c) da semiesfera r = R, z > 0, (de raio R, centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual
z > 0).