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FACULDADE DE PARÁ DE MINAS
Curso de Matemática
BRUNA GARCIA MONTEIRO
O USO DE MATERIAL CONCRETO PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO
DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Pará de Minas
2013
1
BRUNA GARCIA MONTEIRO
O USO DE MATERIAL CONCRETO PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO
DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Monografia apresentada à Coordenação de
Matemática da Faculdade de Pará de Minas como
requisito parcial para a conclusão do curso de
Matemática.
Orientador: Prof. Msc. Anderson Baptista Leite.
Pará de Minas
2013
2
BRUNA GARCIA MONTEIRO
O USO DE MATERIAL CONCRETO PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO DOS
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Monografia apresentada à Coordenação de
Matemática da Faculdade de Pará de Minas como
requisito parcial para a conclusão do curso de
Matemática.
Aprovada em ______/______/_______
_____________________________________________
Orientador: Msc. Anderson Baptista Leite
_____________________________________________
Examinadora: Andréia Fonseca Aguiar
3
Dedico este trabalho aos meus pais pelo esforço e
amor incondicional, sempre me fazendo acreditar em
meus sonhos; aos meus irmãos e a meu namorado
pelo
apoio;
a
todos
os
meus
amigos
pelo
companheirismo e a todos aqueles que direta ou
indiretamente colaboraram para sua conclusão.
4
AGRADECIMENTO
Agradeço primeiramente a Deus por me dar forças para seguir em frente.
Agradeço também aos meus pais pelo incentivo e por “correrem” comigo
durante todo o curso, me apoiando e acreditando nos meus sonhos, fazendo o
possível para realização de cada um deles.
Aos meus irmãos e ao meu namorado pelo apoio e compreensão nas horas
de estresse.
Ao meu orientador Anderson Baptista Leite pelo incentivo e grande ajuda na
realização deste trabalho.
Agradeço a minha grande amiga Jeane que por muitas vezes me orientou,
obrigada pelas suas dicas tão valiosas. Também aos meus colegas de classe pelo
auxílio e amizade durante todo o curso, e a todos os professores pelos conselhos.
Por fim, agradeço a todos meus familiares, amigos e àqueles que direta ou
indiretamente me ajudaram durante a realização deste trabalho.
5
RESUMO
Diante da defasagem ocorrida no ensino da geometria e consequentemente a
dificuldade apresentada pelos alunos em aprender esta disciplina e passar do
mundo bidimensional para o tridimensional, desenvolveu-se esta pesquisa com o
objetivo de verificar se o uso de material concreto ajudaria os alunos no processo de
uma melhor visualização dos sólidos geométricos. Conseguir visualizar uma figura
tridimensional sem poder tocá-la dificulta a aprendizagem dos alunos, pois é através
da visualização da figura pela lateral e por cima para identificar suas faces, vértices
e arestas que os conceitos da geometria espacial são adquiridos. Para que os
alunos consigam passar para a abstração e, além disso, ter uma aula mais dinâmica
e divertida, aplicou-se uma atividade, na qual os próprios alunos construíram seu
material e através dele identificaram suas propriedades. Com isso, os alunos
puderam associar os sólidos geométricos a objetos de seu dia a dia e possibilitou a
eles assimilarem que a geometria está presente em tudo à nossa volta. Para este
trabalho, desenvolveu-se inicialmente uma pesquisa bibliográfica, contando um
pouco da história da geometria. Utilizou-se também da pesquisa qualitativa com a
realização de uma atividade com material concreto e aplicação de um questionário.
Com a análise dos questionários e a observação feita durante a realização da
atividade, construiu-se gráficos para verificar se o uso do material concreto
favoreceu os alunos no processo de uma melhor visualização dos sólidos
geométricos, possibilitando a eles uma melhor aprendizagem referente à geometria
espacial. Com isso, verificou-se que além de ajudá-los neste processo de
visualização, a aula prática tornou-se uma maneira prazerosa de se aprender e
ensinar, pois os alunos aprendem brincando, se sentem mais motivados, buscando
o conhecimento e consequentemente, o professor se sente entusiasmado ao ver
que os alunos estão realmente aprendendo a disciplina.
Palavras chave: Sólidos geométricos. Material concreto. Aluno. Visualização.
Geometria espacial.
6
LISTA DE ABREVIATURAS
a.C. – Antes de Cristo
CBC – Currículo Básico Comum
EJA – Educação de Jovens e Adultos
FAPAM – Faculdade de Pará de Minas
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Alguns objetos comparados aos sólidos................................................ 47
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – As sete pontes de Königsberg .................................................................18
Figura 2 – Grafo representado por Euler ...................................................................18
Figura 3 – Plano cartesiano .......................................................................................19
Figura 4 – Representação do Teorema de Tales ......................................................21
Figura 5 – Ângulo inscrito no semicírculo é reto .......................................................21
Figura 6 – Teorema de Pitágoras ..............................................................................22
Figura 7 – Reta, semirreta e segmento de reta .........................................................27
Figura 8 – Planos ......................................................................................................28
Figura 9 – Figuras planas ..........................................................................................28
Figura 10 – Figuras espaciais ...................................................................................29
Figura 11 – Infinitas retas ..........................................................................................29
Figura 12 – Dois pontos e uma única reta .................................................................30
Figura 13 – Três pontos determinam um plano .........................................................30
Figura 14 – Reta no plano .........................................................................................30
Figura 15 – Pontos dentro e fora do plano ................................................................31
Figura 16 – Interseção de dois planos ......................................................................31
Figura 17 – Retas concorrentes ................................................................................32
Figura 18 – Retas paralelas ......................................................................................32
Figura 19 – Retas reversas .......................................................................................32
Figura 20 – Retas coincidentes .................................................................................32
Figura 21 – Planos coincidentes ...............................................................................32
Figura 22 – Planos paralelos .....................................................................................32
Figura 23 – Planos secantes .....................................................................................33
Figura 24 – Elementos de um poliedro ......................................................................36
Figura 25 – Prisma triangular oblíquo e reto .............................................................36
Figura 26 – Prismas quadrangulares ........................................................................37
Figura 27 – Prisma pentagonal oblíquo e reto ..........................................................37
Figura 28 – O cubo e suas planificações ..................................................................38
Figura 29 – Pirâmides ...............................................................................................39
Figura 30 – Esfera .....................................................................................................40
Figura 31 – Cilindro oblíquo e cilindro reto ................................................................41
Figura 32 – Cones......................................................................................................42
9
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Foto 1 – Recortando as planificações........................................................................53
Foto 2 – Sólidos montados.........................................................................................54
Gráfico 1 – Dificuldade em aprender geometria.........................................................55
Foto 3 – Brincando com o material.............................................................................56
Gráfico 2 - Benefício da utilização do material concreto............................................57
Gráfico 3 - Benefício da aula prática para geometria espacial...................................58
Gráfico 4 - Comparando os sólidos com materiais do dia a dia.................................58
Gráfico 5 - Objetos do cotidiano e a visualização dos sólidos...................................59
Gráfico 6 - Chegando ao sólido imaginado................................................................59
10
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 11
2 GEOMETRIA.......................................................................................................... 15
2.1 A história da geometria..................................................................................... 15
2.2 Alguns grandes geômetras .............................................................................. 20
2.2.1 Tales de Mileto ................................................................................................. 20
2.2.2 Pitágoras de Samos ......................................................................................... 22
2.2.3 Euclides de Alexandria ..................................................................................... 23
2.3 O ensino da geometria no Brasil ..................................................................... 24
2.4 Geometria espacial de posição ........................................................................ 27
2.5 Geometria espacial ........................................................................................... 33
2.5.1 Alguns sólidos geométricos .............................................................................. 35
2.5.1.1 Prismas ......................................................................................................... 35
2.5.1.2 Cubo .............................................................................................................. 37
2.5.1.3 Pirâmides ...................................................................................................... 38
2.5.1.4 Esfera ............................................................................................................ 40
2.5.1.5 Cilindro .......................................................................................................... 40
2.5.1.6 Cone .............................................................................................................. 41
3 MATERIAIS CONCRETOS UTILIZADOS NO ENSINO DA GEOMETRIA............ 44
3.1 A importância da utilização de materiais concretos ...................................... 44
3.2 Alguns materiais utilizados para a melhor visualização dos sólidos
geométrico ............................................................................................................... 46
3.3 Planificação e construção de sólidos através de dobraduras ...................... 49
3.4 Desenvolvendo a atividade com material concreto ....................................... 50
4 METODOLOGIA .................................................................................................... 51
5 COLETA E ANÁLISE DOS DADOS ...................................................................... 53
CONSIDERAÇOES FINAIS ...................................................................................... 61
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 62
ANEXOS ................................................................................................................... 65
11
1 INTRODUÇÃO
A história nos mostra que a matemática tem sua origem na antiga civilização
grega, enquanto a geometria veio do Egito, surgida da necessidade que esses
povos tiveram de medir as terras. Através de papiros deixados por estas e muitas
outras civilizações, é que a geometria pôde ser estudada e transformada.
Durante a Idade das Trevas (500d.C. – 1000d.C.), período de ausência de
progresso, a geometria foi esquecida e só voltou a ser estudada na Idade Média
(1000d.C. – 1500d.C.) com o período do Renascimento. A partir de então, começa
sua evolução. Descobriram fórmulas para o cálculo de volume e área,
desenvolveram o cálculo integral e diferencial, verificaram que muitos sólidos, ao
serem observados de diferentes ângulos, podem demonstrar diferentes figuras, e
muitas outras descobertas foram feitas.
Mas, mesmo com toda a evolução ocorrida, a geometria era considerada
muito complexa, e era ensinada somente à elite. Esta situação só muda com o
chamado Movimento da Matemática Moderna, quando lançaram propostas para
reformular o ensino de matemática. Mesmo com novas propostas de ensino, alguns
professores, principalmente aqueles que não gostam ou não aprenderam, se negam
a ensinar a geometria e isso reflete negativamente na construção do conhecimento
matemático da maioria dos alunos.
Esta situação pode ser vista até hoje em muitas escolas, principalmente no
ensino da geometria espacial, acrescida ainda da dificuldade que os alunos têm em
visualizar as figuras. Segundo Almouloud, Marinque e Silva (2004a), os professores
indicam a geometria como item importante, mas quando selecionam as matérias a
serem trabalhadas no decorrer do ano letivo, sempre a deixam para o final, e muitas
vezes ela não é ensinada por falta de tempo.
A dificuldade em visualizar as figuras geométricas leva o aluno a se sentir
desmotivado. Buscar novos métodos para atrair a atenção do aluno é de grande
importância dentro das salas de aula. Construir sólidos geométricos com materiais
concretos atrai a atenção dos alunos, desenvolve o raciocínio, leva o aluno a ser
criativo e devolve a ele a motivação.
Durante as observações feitas nas salas de aula das escolas colaboradoras,
no estágio supervisionado, durante o 7º período do curso de Matemática da
12
Faculdade de Pará de Minas (FAPAM), no ano de 2012, nas poucas aulas de
geometria que houve, foi possível observar a grande dificuldade dos alunos em
aprender esta disciplina, principalmente em visualizar os sólidos geométricos sem ter
contato com eles. Esta situação despertou o interesse pelo assunto.
Assim, busca-se verificar com este trabalho, como o uso do material concreto
poderá ajudar a mudar este quadro, fazendo com que os alunos compreendam
melhor a geometria e consigam visualizar os sólidos geométricos. Para que ele
resolva o problema proposto é preciso que ele consiga visualizar a figura e suas
características principais e conceituais em questão. Além disso, o aluno aprenderá
de uma forma diferente, com uma aula mais interativa, despertando seu interesse.
Podemos até fazer com que o próprio aluno construa seu material, e assim ele vai
descobrindo suas regularidades e propriedades. O aprendizado se torna mais
prazeroso, fazendo com que o aluno aprenda a gostar da geometria. Almouloud,
Marinque E Silva (2004b, p. 99) nos relatam que “A resolução de problemas de
geometria e a utilização do tipo de raciocínio que essa resolução exige dependem
da distinção das formas de apreensão da figura.”
A geometria pode ajudar em muitas outras áreas de conhecimento, e é muito
importante para a vida do indivíduo. Por isso a importância em estudá-la, e que seja
bem trabalhada. O ideal seria usar situações do dia a dia do aluno, para que ele se
sinta mais a vontade com os problemas, partir do que o aluno já sabe para que ele
possa associar as figuras ao que ele já conhece, facilitando o aprendizado e a
exploração do conteúdo. Segundo ALMOULOUD, MARINQUE e SILVA (2004c)
[...] a atividade proposta precisa estar coerente com as necessidades dos
participantes e ser propícia para que o conteúdo possa ser explorado em
suas diversas representações, gerando uma aprendizagem significativa.
(ALMOULOUD, MARINQUE, SILVA, 2004, p. 102)
Antes de utilizar o material dentro de sala, o professor precisa planejar bem a
aula, refletir sobre o objetivo daquele material, como será manuseado, para que seja
bem aproveitada dentro do conteúdo trabalhado e não se torne uma brincadeira sem
sentido. Devemos refletir se este tipo de aula promoverá um aprendizado, e não
fazer apenas com que o aluno decore fórmulas e resolva o problema
mecanicamente, sem entender realmente o que está sendo feito, mas o leve a
refletir e compreender a matéria. O professor deve avaliar qual o conhecimento
13
prévio dos alunos, para então planejar as atividades a serem trabalhadas. De acordo
com FIORENTINI E MIORIN (1990):
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um ‘aprender’ mecânico,
repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz. Muito menos um
‘aprender’ que ser esvazie em brincadeiras. Mas um aprender significativo
do qual o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o
saber historicamente produzido e superando, assim, sua visão ingênua,
fragmentada e parcial da realidade. (FIORENTINI, MIORIN, 1990, p. 5)
Visa-se também com essa pesquisa, auxiliar o professor a trabalhar com os
sólidos geométricos de uma forma mais prazerosa, usando o dia a dia do aluno e
partindo do conhecimento implícito que este já tenha do assunto. Usar materiais que
o aluno tenha contato, materiais de sua realidade, assim ele desenvolverá as figuras
e encontrará a “resposta” por conta própria e não através de fórmulas préestabelecidas.
Para direcionar nosso trabalho, levantamos alguns questionamentos:

O uso do material concreto ajudará a efetivar a aprendizagem da geometria
na visualização dos sólidos geométricos?

Utilizando objetos do cotidiano do aluno como material concreto durante as
aulas, poderia amenizar as dificuldades enfrentadas pelos mesmos?
Acredita-se que esta pesquisa poderá contribuir para o ensino e
aprendizagem da geometria, em especial a geometria espacial e ainda, contribuir
para que os alunos consigam “enxergar” os sólidos geométricos e também
proporcionar ao professor a possibilidade de lecionar a disciplina de forma mais
prazerosa, dinâmica e que desperte o interesse do aluno em participar das
atividades. Assim, os professores poderão buscar novos recursos para suas aulas,
não somente de geometria, mas da matemática em geral, ajudando para uma
melhor compreensão e assim melhorar a qualidade do ensino.
Para alcançar o objetivo de verificar como a utilização do material concreto
poderá ajudar o aluno na melhor visualização e compreensão dos sólidos
geométricos, desenvolveu-se esta pesquisa que contém quatro capítulos.
Neste primeiro capítulo, introduziu-se o presente trabalho, fazendo uma
descrição de cada capítulo, além de levantar a problemática, a fim de se alcançar o
objetivo proposto.
14
O capítulo dois mostra um pouco da história da geometria e algumas
descobertas importantes para o seu desenvolvimento. Nele consta também um
breve relato da história dos três principais geômetras. Relata-se sobre o ensino da
geometria no Brasil e a defasagem ocorrida em relação a este ensino. Há também a
descrição sobre a geometria espacial e alguns sólidos geométricos.
No terceiro capítulo, relata-se sobre materiais pedagógicos utilizados no
ensino da geometria, dando ênfase à importância da utilização destes materiais.
Enfatiza alguns exemplos de materiais que podem ser utilizados no ensino da
geometria espacial, relatando mais detalhadamente sobre como será realizada a
atividade proposta na construção de sólidos através da planificação e de dobraduras
que será o material utilizado nesta pesquisa.
O capítulo quatro consta da metodologia, onde é relatado onde e como será
aplicada a atividade proposta e o questionário.
O capítulo cinco expõe como foi feita a coleta e análise dos dados, através da
participação e observação dos alunos durante a realização da atividade e do
questionário aplicado e finaliza com a montagem dos gráficos para uma melhor
visualização dos resultados.
E finalmente, nos anexos, há as planificações usadas para realizar a
atividade, algumas questões que auxiliaram os alunos e o questionário aplicado
durante a atividade.
15
2 GEOMETRIA
2.1 A história da geometria
Conta-se a história que a geometria teve suas origens no Egito com a
necessidade que esse povo teve em medir e marcar as terras, por volta do ano 2000
antes de Cristo (a.C.).
Durante os períodos de chuva, o rio Nilo, localizado no Egito, enchia e suas
águas transbordavam inundando toda a área a sua volta. Ao passar as chuvas e as
águas baixarem, aquelas terras se tornavam muito férteis, mas as águas haviam
destruído as marcações de posses das terras, gerando assim os conflitos entre os
habitantes da região. Os faraós, para cobrar devidamente os impostos dos donos
das terras e evitar os conflitos, nomearam os agrimensores que ficariam por conta
de remarcar as terras e calcular os prejuízos causados pelas enchentes. Esses
agrimensores usavam cordas para fazer as marcações, por isso eram conhecidos
também como esticadores de cordas. Aos poucos os terrenos foram sendo divididos
em retângulos e triângulos, a fim de facilitar as marcações. Usavam as cordas
também para medirem os terrenos e traçar as bases para a construção das
pirâmides.
Com isso os egípcios foram desenvolvendo algumas técnicas para fazer os
cálculos necessários na época, desenvolvendo algumas provas de conceitos
geométricos. Mas por não distinguirem claramente as relações exatas das
aproximações, estes conceitos foram pouco desenvolvidos por eles.
Segundo BOYER (1991a):
(...) vemos o início de uma teoria de congruência e da idéia de prova em
geometria, mas os egípcios não foram além. Uma deficiência séria em sua
geometria era a falta de uma distinção claramente estabelecida entre
relações que são exatas e as que são apenas aproximações.
(BOYER,1991, p. 12)
Todas as informações sobre a matemática e a geometria que os egípcios
conheciam foram registradas em papiros mil anos antes do surgimento da
matemática grega, e também através de desenhos e formas conforme a
necessidade da época. Como enfatiza BARBOSA:
16
Pela necessidade do homem em compreender e descrever o seu meio
ambiente (físico e mental), é que as imagens, representadas através de
desenhos, foram lentamente conceitualizadas até adquirirem um significado
matemático (...). (BARBOSA, p. 3)
Na
Mesopotâmia
também
foram
encontrados
registros
sobre
o
desenvolvimento da matemática, quando os babilônios (povos que habitavam esta
região) usaram símbolos e desenhos para representar letras e números. Muitos dos
registros encontrados datam de 1800-1600 a.C. e haviam dados importantes sobre a
geometria, embora que, para este povo, a geometria fosse apenas números ligados
a figuras. O ponto central da geometria nesta região eram as medidas, mas assim
como os egípcios, eles não diferenciavam medidas exatas de aproximações.
O teorema de Tales já era usado pelos babilônios, apesar de Tales ter vivido
mais de mil anos depois. Isto nos mostra a falta de detalhes nos registros, ou a falta
de interesse deles em compreender melhor suas próprias descobertas.
O desenvolvimento da matemática e consequentemente da geometria,
passou da Mesopotâmia para a Grécia, mas a reconstrução delas pelos gregos foi
um tanto trabalhosa, pois restaram poucos registros vindos dos babilônios. O nome
geometria foi atribuído pelos gregos e significa geo = terra e metria = medidas, ou
seja, medida da terra.
Durante muitos anos não se teve registros sobre o desenvolvimento da
Matemática, esta ficou em atraso se comparada à Literatura. Somente no século VI
a. C., apareceram Tales e Pitágoras, dois grandes geômetras gregos que tiveram
papel importante no desenvolvimento da Matemática e da Geometria. Não sobrou
nenhuma obra dos dois, nem se pode afirmar se algum deles tenha escrito algo.
Tudo que se sabe sobre as contribuições deles, tem base em tradições persistentes.
A Matemática tomou novo impulso para se desenvolver por volta do ano 600
a. C.. Pitágoras e Tales viajavam para os grandes centros de conhecimento para
coletar informações sobre astronomia e matemática. Os gregos sempre buscavam
conhecimento em outras culturas, por isso se desenvolveram muito rápido.
Tales e Pitágoras começaram a sistematizar a geometria conhecida até então
e a desenvolveram usando o raciocínio dedutivo.
Depois de Tales e Pitágoras apareceram várias outras pessoas que
estudaram e desenvolveram a Geometria, mas o grande nome desta história é
17
atribuído a Euclides, que teve o papel de organizar a Matemática conhecida até
então e foi o criador da conhecida geometria euclidiana.
Ao organizar a Geometria, Euclides fez algumas demonstrações e aprimorou
outras já existentes, criando assim os axiomas e postulados, escrevendo sua mais
famosa obra conhecida como Os Elementos que continha 13 volumes.
Como
destaca Mlodinow (2010, p. 15) “A história de Euclides é uma história de revolução.
É a história do axioma, do teorema, da demonstração, a história do nascimento da
própria razão.”
Dos 13 livros, os 6 primeiros tratam da geometria plana elementar, os 7º, 8º e
9º sobre teoria dos números, o 10º sobre incomensuráveis e os 3 últimos sobre a
geometria no espaço.
Estes livros deram início à chamada Geometria Euclidiana, que é
caracterizada pelo espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico. Esta
geometria é a que ensinam hoje nas escolas, definindo pontos, retas, planos,
ângulos e objetos em três dimensões: com comprimento, largura e altura.
Durante muito tempo os povos mantiveram essas descobertas, usando delas
para as atividades do dia a dia. Somente no século XVIII é que um homem chamado
Leonhard Euler estudou e desenvolveu um pouco mais a geometria.
Um grande problema que Euler resolveu, diz respeito aos poliedros. Ele
concluiu que independente dos números de faces de uma figura, o número de
vértices e arestas estão sempre relacionados. Daí temos que:
aresta + 2 = vértices + faces.
Euler desenvolveu também o estudo dos grafos ao resolver o problema das
sete pontes de Königsberg. Este problema diz respeito ao rio Progólia, situado na
cidade de Königsberg, onde havia duas ilhas em que na época continha sete pontes.
Uma das ilhas tinha quatro pontes que a ligavam às margens opostas do rio, duas
outras pontes ligavam a outra ilha às margens opostas do rio, e uma das pontes
ligava as duas ilhas. Os habitantes da cidade discutiam sobre a possibilidade de
atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma delas.
18
Figura 1 – As sete ponte de Königsberg
Fonte: http://users.prof2000.pt/agnelo/grafos/pontesh.htm
Em 1736, Euler resolveu o problema afirmando que era impossível atravessar
as sete pontes sem repetir alguma. Ele fez uma representação das ilhas e suas
pontes como sendo retas e pontos, assim ele criou o primeiro grafo da história.
Figura 2 – Grafo representado por Euler
Fonte: http://www.planetseed.com/pt-br/mathsolution/solucao-enigma-matematico-de-maiode-2002-sete-pontes-de-konig
Na figura, cada um dos pontos A, B, C e D é chamado de vértices, e as linhas
a, b, c, d, e, f e g são chamadas arcos. O grau de cada vértice refere-se ao número
de arcos que se encontra em cada um deles.
Euler então mostrou que o passeio não poderia ser feito passando uma única
vez por cada ponte, porque havia ali mais de dois vértices com grau ímpar. Assim
ele demonstrou que para qualquer grafo, só é possível percorrê-lo sem passar duas
vezes pelo mesmo ponto, se ele possuir todos os vértices pares, ou no máximo dois
vértices ímpares. Se todos os vértices forem pares é possível percorrê-lo e voltar ao
19
mesmo ponto de partida. Se ele possuir um ou dois vértices ímpares ele pode ser
percorrido, mas não é possível voltar ao ponto de partida.
Em 1637, um matemático chamado René Descartes conseguiu unir a álgebra
e a geometria, pois ele descobriu que para toda figura havia uma fórmula
relacionada, com isso ele criou o plano cartesiano para representar graficamente as
expressões algébricas.
O plano cartesiano consiste em duas retas dispostas perpendicularmente uma
a outra. A reta que fica na horizontal é chamada de eixo X ou eixo das abscissas, a
reta disposta na vertical recebe o nome de eixo Y ou eixo das ordenadas. Os dois
eixos possuem tamanho infinito e são representados pelo conjunto dos números
reais. A parte do eixo X localizada à direita do eixo Y recebe sinal positivo para cada
um de seus pontos e a parte localizada à esquerda recebe sinal negativo. Já para o
eixo Y, a parte que fica acima do eixo X recebe sinal positivo para cada ponto e a
parte que fica abaixo do X recebe sinal negativo. O ponto de encontro entre os dois
eixos é chamado de origem.
Os dois eixos do plano cartesiano o dividem em quatro partes para uma
melhor orientação dos pontos. Cada parte deste plano tem um nome como mostra a
figura:
Figura 3 – Plano cartesiano
Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
Descartes criou o plano cartesiano com a intenção de localizar pontos num
certo espaço. A representação dos pontos neste espaço é chamada de par
ordenado e é representado como (X,Y), onde X é o número localizado no eixo das
abscissas e Y o número localizado no eixo das ordenadas. Através da
20
representação dos pontos neste plano conseguimos construir retas, figuras e é
também usado na construção de gráficos, em localizações geográficas, localização
marítima, etc.
Por volta de 1800, foi descoberta a geometria não euclidiana. Carl Friedrich
Gauss, matemático alemão, estudando a geometria proposta por Euclides onde
tinham o espaço em linha reta, descobriu que as linhas, assim como as figuras,
poderiam ser curvas, e que o espaço poderia ter mais dimensões.
Mais tarde, em 1910, o físico Albert Einstein, a partir das ideias de Gauss
sobre as várias dimensões existentes e as figuras curvas, aprimorou a teoria da
gravidade de Newton.
Hoje em dia, podemos ver que este longo processo de desenvolvimento da
matemática e da geometria foi e ainda é muito valioso para o desenvolvimento
humano. A geometria e a matemática são essenciais em nossas vidas, pois estão
presentes em tudo, desde circuitos elétricos, economia, elaboração de mapas, até
computadores e suas redes.
Muitos foram os geômetras que contribuíram para o desenvolvimento da
geometria, não se tem muitos documentos sobre a história de suas vidas, apenas
poucos relatos que nos permitem conhecer um pouco deles.
2.2 Alguns grandes geômetras
2.2.1 Tales de Mileto
Tales de Mileto foi um grande geômetra nascido por volta do ano de 624 a.C.,
na cidade de Mileto e morreu no ano de 547 a. C.
Tales foi considerado o primeiro matemático verdadeiro, e fez a organização
dedutiva da geometria.
Devido à falta de documentos datados da época, pouco se sabe sobre a vida
de Tales, apenas algumas lendas que o relatam como mercador de sal e defensor
do celibato.
O mais famoso teorema de Tales nos fala que em um feixe de paralelas
cortados por duas transversais, as medidas dos segmentos delimitados nas
transversais são proporcionais.
21
Figura 4 – Representação do Teorema de Tales
Fonte: http://www.alunosonline.com.br/matematica/teoremas-de-tales.html
Temos também um teorema desenvolvido por Tales que diz que um ângulo
inscrito num semicírculo é um ângulo reto.
Figura 5 – Ângulo inscrito no semicírculo é reto
Fonte: http://www.mat.ufmg.br/apefm/respostas/geo5/geo5.html
Tales desenvolveu mais quatro teoremas e que BOYER (1991b) relata em
seu livro A História da Matemática, como sendo:
1. Um círculo é bissectado por um diâmetro.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
3. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são
iguais.
4. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais
respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são
congruentes. (BOYER 1991, p. 32)
22
Outro grande geômetra remanescente de Tales e que também contribuiu para
o desenvolvimento da matemática, foi Pitágoras de Samos.
2.2.2 Pitágoras de Samos
Pitágoras de Samos era um profeta e místico. Segundo alguns relatos, ele
nasceu por volta de 580 a. C. e viveu por mais de 80 anos. Foi um grande
matemático e astrônomo, além de conhecer bem sobre várias outras áreas de
conhecimento.
Por não ter deixado nenhuma obra escrita e muitos documentos de sua época
terem sido perdidos, não se sabe realmente a data exata de seu nascimento, alguns
autores afirmam que ele viveu na mesma época de Tales, tendo estudado com ele.
Outros autores relatam que eles viveram em uma diferença de meio século.
Há alguns indícios de que Pitágoras tenha fundado uma sociedade secreta
que se parecia com um culto órfico (nome dado a um conjunto de crenças e práticas
religiosas), mas com bases matemáticas e filosóficas. A esta sociedade deram o
nome de Sociedade Pitagórica e os seus seguidores eram os pitagóricos.
Pitágoras deu muita importância à prova na geometria para que pudessem se
tornar válido qualquer teorema ou fórmula.
O teorema mais famoso desenvolvido por Pitágoras levou o seu nome e nos
diz que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (maior lado) é
igual à soma dos quadrados dos catetos (lados adjacentes ao ângulo reto).
Figura 6 – Teorema de Pitágoras
Fonte: http://infectadopelamatematica.blogspot.com.br/2010/10/representacao-grafica-do-teoremade.html
23
Apesar das muitas contribuições de Tales e Pitágoras para o desenvolvimento
da geometria, o mais importante geômetra da história foi Euclides, que teve o papel
de organizar a geometria até então conhecida.
2.2.3 Euclides de Alexandria
Não há registros sobre o local e data de nascimento de Euclides, mas
rumores nos fazem acreditar que ele tenha vivido entre 360 e 295 a. C.
Conhecido pelo nome de Euclides de Alexandria, por ter sido convidado a ser
professor de matemática em uma escola recém fundada na cidade, Euclides
desenvolveu a geometria a tal ponto de fazer com que a cidade se tornasse o centro
mundial da geometria.
Euclides não fez nenhuma descoberta nova, mas é conhecido por organizar a
geometria já conhecida pelos seus antecessores, e fazer demonstrações e
aperfeiçoamentos nas já existentes, dando a ela uma ordem lógica. A partir de então
ele passou a estudá-la e tomou gosto pelas propriedades das figuras geométricas,
suas áreas e volumes. E toda esta organização da geometria ele relatou em sua
obra Os Elementos. Infelizmente nenhum volume desta obra sobreviveu. Conforme
explica EVES (2002):
(...) é provável que os Elementos de Euclides sejam, na sua maior parte,
uma compilação altamente bem sucedida e um arranjo sistemático de
trabalhos anteriores. Não há duvida de que Euclides teve de dar muitas
demonstrações e aperfeiçoar outras tantas, mas o grande mérito de seu
trabalho reside na seleção feliz de proposições e no seu arranjo numa
sequência lógica, presumivelmente a partir de umas poucas suposições
iniciais. (EVES 2002, p. 168-169)
Esta sua obra se tornou famosa porque além de reunir todo o conhecimento
já existente, ele tinha um método lógico inovador, tornou explícitos os conceitos
apresentando de forma
demonstrações.
clara
os axiomas e postulados e fez algumas
24
2.3 O ensino da geometria no Brasil
A geometria no Brasil era muito pouco ensinada, e este pouco que se
aprendia era nas aulas de artes, ensinadas pelos Jesuítas. Mas em 1759 eles foram
expulsos do país e com isso o ensino passou por um período muito difícil.
O ensino da matemática então ficou centrado apenas nas pessoas ricas, que
tinham condições de pagar caro os professores. Esses professores tinham o papel
de passar para o aluno o conteúdo de forma pronta e acabada para que ele apenas
memorizasse e depois reproduzisse.
Somente no governo de Vargas (1930-1945) é que a situação em relação ao
ensino da matemática mudou, e todos passaram a aprendê-la. Com isso surgiu o
Movimento da Matemática Moderna, com o propósito de aperfeiçoar os cursos para
professores nesta área.
Foram criados grupos de professores em vários estados brasileiros, onde eles
se reuniam para renovar a matemática, e suas propostas de renovação eram
publicadas aos alunos. A cada dia surgiam novos livros didáticos, possibilitando aos
alunos adquirir novos conhecimentos nesta área.
Mas diante de tantas reformas, a geometria era ensinada apenas como
introdução do raciocínio lógico, familiarizando o aluno com as figuras geométricas e
suas noções básicas.
Nos cursos para os professores, a geometria era trabalhada com muita
ênfase nas estruturas e axiomatizações. Os professores tiveram então muita
dificuldade relacionada a este conteúdo, estavam mal preparados e tinham medo de
trabalhar com tal disciplina, e como nesta época eles tinham a liberdade de escolher
quando trabalhar determinada matéria, sempre deixavam a geometria para o final do
ano. O que na maioria das vezes acontecia era que o tempo não era suficiente e a
geometria não era ensinada. Até os livros da época traziam a geometria no final.
Segundo FERREIRA trata em sua obra:
A ênfase, nas estruturas e axiomatizações, (...), fez com que muitos
professores sentissem grande dificuldade de ensinar os conteúdos
geométricos, deixando-os para o final do ano letivo, acabando muitas vezes
por não ensiná-los. (FERREIRA, p. 99)
25
Esta situação começa a mudar nos anos 70, quando iniciaram o resgate do
ensino da geometria. Este resgate visava ensinar ao aluno aspectos espaciais,
desenvolvendo sua intuição e assim ele melhor se adaptava ao meio. Mas este
resgate não teve muito sucesso, pois ainda hoje vemos a geometria abandonada
para o fim do ano.
A geometria está presente em tudo e precisamos enxergá-la, em outras
disciplinas, nas atividades do dia a dia, nas brincadeiras, nas tecnologias. Através
dela o aluno faz associações, interage com o mundo e seus objetos, interpreta
conceitos e imagens. É de grande importância na construção da cidadania. De
acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s) (1997a):
O pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as
crianças conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As
figuras geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência
física, em sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades. (PCN,
1997, p. 82)
Com o desprezo no ensino de tal disciplina, o aluno passou a apresentar
grandes dificuldades. Sem a geometria eles não conseguem desenvolver o
raciocínio visual e dedutivo, e assim não conseguem resolver problemas do dia a dia
que necessita do entendimento de tal disciplina. Sem a geometria a visão da
matemática fica distorcida.
Outra causa atribuída ao abandono da geometria é a importância dada aos
livros didáticos, que além de trazer este conteúdo somente no final, trata dela
apenas como um conjunto de definições, propriedades, regras e fórmulas, desligada
de qualquer aplicação do dia a dia, do mundo externo. O professor fica muito “preso”
ao livro, ou por não ter uma boa formação e achar mais fácil seguir o livro não
inovando a metodologia de ensino, ou mesmo por ter uma grande carga horária e
não ter tempo de elaborar uma aula mais bem estruturada. Como afirma os PCN´s
(1997b):
Decorrente dos problemas da formação de professores, as práticas na sala
de aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são muitas
vezes de qualidade insatisfatórias. A implantação de propostas inovadoras,
por sua vez, esbarra na falta de uma formação profissional qualificada, na
existência de concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas
restrições ligadas às condições de trabalho. (PCN, 1997, p. 22)
26
A grande miscigenação de raças no Brasil faz com que tenhamos uma cultura
diferenciada de região em região. Até no modo de contar, calcular e representar as
figuras a nossa volta muda conforme nossa cultura. O professor tem então um
grande desafio, o de ensinar valorizando as diferenças, mas também ensinar para
que o aluno possa ir além do que ele vivencia, pois com as novas tecnologias, o
meio de produção muda constantemente e as pessoas precisam se adaptar ao
novo. Por isso a importância de o professor conhecer cada aluno e suas histórias de
vida.
O professor de matemática tem papel importante neste processo, trabalhando
para que o aluno elabore novas estratégias na resolução de problemas, elabore
novos argumentos, use a criatividade e valorize o trabalho em grupo. Assim o aluno
cria autonomia e confiança para resolver seus problemas diários. E a geometria
também tem papel fundamental nesta construção da cidadania, ela ajuda o aluno a
interpretar, além de conceitos matemáticos, os de outras disciplinas. Como na
interpretação de gráficos na geografia, focando a interdisciplinaridade, tão
trabalhada nos dias de hoje. O aluno tem melhor absorção do conteúdo quando
consegue relacionar a geometria a outras disciplinas de seu maior gosto, ou às
situações vividas por ele em seu dia a dia. Ensinar um conteúdo isoladamente pode
ser cansativo, mas ao relacioná-lo ao que o aluno gosta é uma forma prazerosa de
ensinar e de aprender. Com isso o professor começa a contextualizar suas
atividades para que ele possa pensar e trabalhar seu raciocínio, que leve o aluno a
querer aprender, saindo um pouco daquelas onde o aluno apenas reproduz a
matéria ensinada pelo professor.
Hoje em dia vemos um grande avanço quanto ao ensino da geometria, mais
ainda é preciso uma reforma. É preciso reformar os currículos, investir em cursos
para melhoria do professor, reformar os livros, tanto para alunos quanto para
professores.
Devido a esta falta da geometria, os alunos têm grandes dificuldades mais
tarde. E quando se refere à geometria espacial, a situação é ainda pior.
Vivemos em um mundo tridimensional, mas nas escolas os alunos trabalham
muito com figuras bidimensionais, e isso leva a grande dificuldade que eles têm em
representar figuras reais. Quando se fala em espaço as relações estabelecidas por
eles ficam muito complexas. Por isso a importância de o professor trabalhar bem a
geometria espacial.
27
2.4 Geometria espacial de posição
A geometria de posição estuda pontos, retas, planos e outros entes geométricos
sem se preocupar com suas medidas, apenas com suas posições, como o próprio
nome nos indica. Para compreender melhor esta geometria, é preciso que
destaquemos alguns conceitos importantes, necessários na compreensão da
realidade, embora não seja diretamente aplicado a ela.
 O ponto: não tem massa, volume ou dimensão. É indicado por letras
maiúsculas do alfabeto latino.

A
 A reta: não possui espessura e é infinita, não tendo inicio ou fim. Sobre ela
podemos definir semirretas e segmentos de reta limitados por pontos. É
representada por letras minúsculas do alfabeto latino.
Figura 7 – Reta, semirreta e segmento de reta.
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
 O plano: não possui nem espessura e nem fronteira. É representado por
letras minúsculas do alfabeto grego.
28
Figura 8 – Planos
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
A partir dos três conceitos de ponto, reta e plano conseguimos classificar as
figuras planas, contidas em um único plano, das figuras não planas ou espaciais,
que são figuras contidas em mais de um plano.
Figura 9 – Figuras planas
Fonte: http://dc190.4shared.com/doc/jWFDLxF2/preview.html
29
Figura 10 – Figuras espaciais
Fonte: http://aleajuda.blogspot.com.br/2012/03/entraremos-pra-facilitar-imagine-assim.html
Com estes conceitos podemos também definir os axiomas ou postulados, que
são proposições aceitas sem demonstrações:
Destacaremos aqui alguns postulados:
 Por um único ponto passam infinitas retas.
Figura 11 – Infinitas retas
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
30
 Por dois pontos distintos passam uma única reta.
Figura 12 – Dois pontos e uma única reta
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
 Com pelo menos três pontos distintos e não colineares podemos determinar
um plano.
Figura 13 – Três pontos determinam um plano
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
 Se dois pontos distintos pertencentes a uma reta pertencerem a um plano,
então todos os pontos desta reta pertencem ao plano.
Figura 14 – Reta no plano
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
 Dentro e fora de um plano existem infinitos pontos.
31
Figura 15 – Pontos dentro e fora do plano
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
 A interseção de dois planos é uma reta.
Figura 16 – Interseção de dois planos
Fonte: http://educacao.uol.com.br/matematica/retas-e-planos-posicoes-relativas-e-determinacao.jhtm
A partir destes postulados, podemos destacar a posição relativa entre duas retas
e a posição relativa entre dois planos.
 Duas retas distintas tem no máximo um ponto em comum.

Se duas retas possuem um único ponto em comum elas são chamadas
de retas concorrentes ou secantes. Estas retas são coplanares.

Se duas retas não possuem nenhum ponto em comum e são
coplanares elas são chamadas de retas paralelas.

Se duas retas não possuem pontos em comum e não pertencem ao
mesmo plano elas são chamadas de retas reversas.

Se duas retas possuem mais de dois pontos em comum elas são
chamadas de retas coincidentes, ou seja, uma está sobre a outra.
32
Figura 17 – Retas concorrentes
Figura 18 – Retas paralelas
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
Figura 19 – Retas reversas.
Figura 20 – Retas coincidentes
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
 Dois planos distintos podem possuir muitos pontos em comum ou nenhum
ponto em comum.

Se dois planos possuem todos os pontos em comum eles são
chamados de planos coincidentes.

Se dois planos não possuem nenhum ponto em comum eles são
chamados de planos paralelos.

Se dois planos tem uma reta em comum eles são chamados de planos
secantes.
Figura 21 – Planos coincidentes
Figura 22 – Planos paralelos
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
Fonte: Geogebra 4.0.24.011
33
Figura 23 – Planos secantes
Fonte: http://educacao.uol.com.br/matematica/retas-e-planos-posicoes-relativas-e-determinacao.jhtm
A partir desta geometria de posição partimos para a geometria espacial, que
estuda os sólidos geométricos, figuras contidas em mais de um plano.
2.5 Geometria espacial
A geometria espacial estuda as figuras chamadas de sólidos geométricos,
que são figuras representadas em três dimensões, tem porção finita e são limitados
por superfícies planas e curvas. Esta geometria estuda também seus volumes,
estruturas, propriedades e relações. Estes sólidos podem ser classificados em duas
categorias, sendo uma delas chamadas de poliedros, onde as figuras são
delimitadas por superfícies planas poligonais. E a outra classe é a dos chamados
corpos redondos em que algumas das superfícies delimitadoras das figuras não são
planas como o cone, o cilindro e a esfera.
No caso dos poliedros temos aqueles que são regulares, onde as faces são
polígonos regulares iguais e elas são encontradas em mesmo número em cada
vértice.
Exemplos de poliedros regulares são: tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro, icosaedro, etc. Caso os poliedros não possuam estas características
eles são chamados de não regulares.
Cada sólido geométrico pode ser comparado a um objeto do nosso dia a dia.
O prisma, cubo e paralelepípedo podem ser comparados a uma caixa de sapatos. O
cone pode ser visualizado em uma casquinha de sorvete. O cilindro pode ser visto
em um canudo usado para beber líquidos. A esfera pode ser analisada em uma
simples bola de futebol. Com isso percebemos a importância em conhecer bem esta
34
área da geometria, para que consigamos fazer associações em nosso dia a dia,
interpretar conceitos e imagens e interagir com o mundo em que vivemos.
No que diz respeito ao cálculo de volume e área, vemos uma grande
aplicação em nossa vida diária, nas previsões de tempo, pressão atmosférica,
temperatura, umidade do ar, e em várias outras coisas. Por isso a importância em
conhecer cada figura, suas propriedades e saber calcular sua área e volume.
A área é o cálculo do tamanho da superfície da figura em questão. Em muitas
figuras, ao calcularmos sua área é preciso planificá-la e às vezes desmembrá-la em
várias outras figuras e calcular a área de cada uma separadamente e depois somálas. Com isso devemos desenvolver no aluno a capacidade de reconhecer cada
figura através de sua planificação, pois assim ele perceberá melhor algumas
características destes sólidos compreendendo melhor os cálculos. Segundo o
Currículo Básico Comum (CBC) ( 2007a), os alunos devem saber:



Reconhecer a planificação de figuras tridimensionais – cubo, bloco
retangular, cilindro, cone e pirâmide.
Construir figuras tridimensionais a partir de planificações.
Calcular a área lateral ou total de uma figura tridimensional a partir de
sua planificação. (CBC, 2007, p. 29)
Já o volume é o cálculo da quantidade de espaço que cada figura ocupa, ou a
quantidade que caberá dentro desta figura. Neste caso o aluno deve ser capaz de
resolver problemas que envolvam o cálculo de volume e saber utilizar as medidas
adequadas, no caso o metro cúbico, seus múltiplos e submúltiplos. O CBC (2007b)
nos mostra que em relação ao volume o aluno deve estar apto a:
Resolver problemas que envolvam cálculo de volume ou capacidade de
blocos retangulares, expressos em unidade de medida de volume ou em
unidade de medida de capacidade: litros ou mililitros. (CBC, 2007, p. 28)
A partir destes conceitos é necessário que o aluno saiba reconhecer cada
figura e suas fórmulas de cálculo de área e volume. Para isso descreveremos
algumas delas com suas fórmulas para cálculo de área e volume.
35
2.5.1 Alguns sólidos geométricos
2.5.1.1 Prismas
Prisma é todo poliedro onde a superfície plana superior e inferior, chamadas
de faces, são paralelas. Essas faces ficam ligadas uma a outra através das arestas,
que são as “quinas” das figuras. As faces laterais de um prisma são quadriláteros ou
paralelogramos.
Um prisma pode ser reto se suas arestas laterais são perpendiculares à base,
ou podem ser oblíquo se essas arestas forem obliquas à base, ou não
perpendiculares a elas. Existem vários tipos de prismas, e eles são classificados
conforme o formato de suas bases.
Para calcular a área de um prisma devemos calcular a área da base e somar
ao cálculo da área lateral. Esta área lateral vai depender da figura representada na
lateral do prisma em questão, devemos calcular a área de cada polígono
representado e somá-los. A área da base depende do polígono que compõe a base.
Para calcularmos o volume dos prismas, dependemos também da área da
base e da altura. A altura é a menor distância entre as duas bases.
área lateral
área total
área da base
perímetro
altura
volume
Destacaremos aqui alguns tipos de prismas, e para isso vamos determinar
alguns pontos importantes:
Faces: cada uma das partes planas da superfície de um poliedro.
Bases: são as duas partes superior e inferior da figura.
Arestas: são as linhas que delimitam as faces.
Vértices: são os pontos de encontro entre as arestas.
36
Figura 24 – Elementos de um poliedro
Fonte: http://www.obichinhodosaber.com/2010/03/11/matematica-5%C2%BA-i-solidos-geometricos-2poliedros-e-nao-poliedros/

Prisma triangular reto tem como base triângulos e as arestas são
perpendiculares à base. E o prisma triangular oblíquo, também tem triângulos
como bases, portanto as arestas são oblíquas às bases. Eles possuem 6
vértices, 9 arestas, 5 faces e 2 bases:
Figura 25 – Prisma triangular oblíquo e reto
Fonte: http://tudo-matematica.blogspot.com.br/2011/07/prisma.html

Prisma quadrangular reto ou paralelepípedo reto tem como base quadrados e
as arestas são perpendiculares à base. O prisma quadrangular oblíquo,
também chamado de paralelepípedo oblíquo, também tem quadrados como
bases, mas as arestas não são perpendiculares à base. Temos também o
paralelepípedo
reto-retângulo
que
além
das
características
de
um
paralelepípedo reto, todas as suas faces são retângulos. O cubo também é
37
um prisma, onde todos os ângulos são retos e todas as faces são quadrados.
Eles têm 8 vértices, 12 arestas, 6 faces e 2 bases:
Figura 26 – Prismas quadrangulares
Fonte: Matemática volume único, 2002, p. 483.

Prisma pentagonal reto tem como base pentágonos e as arestas são
perpendiculares à base. O prisma pentagonal oblíquo, também tem
pentágonos como bases, portanto as arestas são oblíquas às bases. Eles
possuem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e 2 bases:
Figura 27 – Prisma pentagonal oblíquo e reto
Fonte: http://matematicaja2009.blogspot.com.br/2009_06_01_archive.html
2.5.1.2 Cubo
O cubo é um prisma que possui todas as 12 arestas congruentes entre si e
pode ser chamado também de hexaedro regular. Ele possui muitas planificações:
38
Figura 28 – O cubo e suas planificações
Fonte: http://escolovar.org/mat_geometri_solidos_11planificacoes.do.cubo.png
Para calcular a área, o volume e a diagonal de um cubo devemos usar as
seguintes fórmulas:
Onde:
diagonal da face
diagonal do cubo
área total
área lateral
volume
2.5.1.3 Pirâmides
As pirâmides são poliedros em que a base inferior está ligada a um vértice
superior que une todas as faces laterais através das arestas. Essas faces laterais
das pirâmides são regiões triangulares e o vértice que as une é chamado de vértice
da pirâmide. O polígono da base define quantas arestas laterais a pirâmide tem.
39
Quando todas as arestas de uma pirâmide são congruentes, dizemos que
esta é uma pirâmide reta, quando o centro da base está alinhado com o vértice
superior da pirâmide, caso contrário ela será oblíqua.
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com suas bases e as
principais pirâmides são as de base triangular, onde a base é composta por um
triângulo, as de base quadrangular, em que a base é constituída por um quadrado, e
a pirâmide pentagonal, onde temos como base um pentágono.
Figura 29 – Pirâmides
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/piramides.htm
Quando temos uma pirâmide regular em que sua base é formada por um
polígono regular, podemos verificar alguns conceitos:

Raio: é uma reta que vai do centro do polígono da base até um dos vértices
deste polígono.

Aresta da base: é cada um dos lados do polígono que compõe a base.

Apótema da base: é uma reta que vai do centro do polígono da base até o
ponto médio de uma das arestas deste polígono.

Altura da pirâmide: é uma reta que sai do centro do polígono da base e vai
até o vértice superior.

Aresta lateral: é a aresta que fica na face lateral triangular da pirâmide.

Apótema lateral: é a reta que divide as faces laterais da pirâmide ao meio,
formando dois triângulos retângulos. Esta reta parte do vértice e corta a face
lateral até chegar à aresta da base.
Podemos nos recorrer a algumas fórmulas para realizar alguns cálculos em
relação às pirâmides:
40
Onde:
área da base
área lateral
área total
volume
altura
2.5.1.4 Esfera
A esfera é um corpo redondo por ser limitado por uma superfície curva.
Devido ao formato ela não possui arestas, faces ou vértices. Para calcular a área e o
volume de uma esfera temos:
e
Onde:
área,
raio e
volume.
Figura 30 – Esfera.
Fonte: http://aartepelomundo.blogspot.com.br/2009/11/esfera.html
2.5.1.5 Cilindro
O cilindro também é um corpo redondo, ele é delimitado por uma superfície
curva e possui duas bases, sendo elas em formato de circunferência.
Em um cilindro podemos visualizar alguns elementos importantes:
41

Base: são as duas superfícies planas, as duas circunferências superiores e
inferiores do cilindro.

Raio: é o segmento que sai do centro da base e vai até um ponto situado na
extremidade da circunferência.

Centro: são os dois pontos centrais das duas bases.

Geratrizes: são segmentos que ligam as duas bases pela lateral do cilindro.

Eixo: é uma reta que liga os dois centros.

Altura: é a distância entre as duas bases.
Caso a geratriz do cilindro esteja obliqua à base, ele é chamado de cilindro
oblíquo, caso a geratriz esteja perpendicular à base ele é chamado de cilindro reto.
Para calcular o volume e a área desta superfície temos:
volume
área da base
área lateral
área total
raio
=altura
Figura 31 – Cilindro oblíquo e cilindro reto
Fonte: http://jennyethalyta.blogspot.com.br/2009/11/matematica.html
2.5.1.6 Cone
O cone possui uma base em forma de circunferência e um vértice ligado a esta
base por uma superfície curva, ele também é um corpo redondo. No cone, assim
como no cilindro, também podemos destacar alguns elementos importantes:

O cone possui apenas um vértice.
42

Possui somente uma base e nela encontramos o raio.

Geratriz são segmentos que estão situados na superfície curva, ligando a
base ao vértice.

A altura é a distância entre o vértice e a base.
O cilindro pode ser classificado em reto ou oblíquo de acordo com a inclinação
de sua geratriz em relação à base. Para calcular a área e o volume temos:
Onde:
volume
área total
área da base
raio
área lateral
geratriz
Figura 32 - Cones
Fonte: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/cones
Para realizar os cálculos de área e volume dos sólidos geométricos é
necessário que o aluno tenha um bom conhecimento das figuras, tenha uma boa
base a respeito delas.
Os materiais auxiliares podem ser grandes “amigos” dos professores nesta
fase de iniciação da geometria espacial, familiarizando o aluno com objetos
encontrados no seu dia a dia, recortando figuras, planificando sólidos, e muitos
outros métodos que podem ser utilizados a fim de ensinar o aluno de uma forma
43
prazerosa, para que ele consiga absorver o máximo de conhecimento possível a
respeito da geometria espacial.
44
3 MATERIAIS CONCRETOS UTILIZADOS NO ENSINO DA GEOMETRIA
3.1 A importância da utilização de materiais concretos
O abandono da geometria se tornou um fator preocupante, pois estamos
cercados por ela. Em muitas atividades exercidas em nosso cotidiano nos
deparamos
com
situações
em
que
precisamos
entender de
paralelismo,
congruência, semelhança, simetria, distância, área, volume; situações em que o
entendimento sobre geometria se torna indispensável.
A falta de interesse do aluno é outro fator que merece atenção, pois no que
diz respeito à matemática a maioria têm dificuldades em aprendê-la e a consideram
de difícil entendimento. Grande parte deste desinteresse do aluno está ligado ao
ambiente de ensino. As aulas se tornaram cansativas e monótonas, o professor
expõe a matéria pronta e acabada e o aluno apenas reproduz as fórmulas para o
desenvolvimento das atividades. A metodologia de ensino adotada pela maior parte
dos professores não possibilita ao aluno participar da aula e se envolver com a
matéria.
Ao iniciar o estudo da geometria espacial é fundamental que o professor
trabalhe com aspectos que ajudarão o aluno na compreensão do espaço, de suas
dimensões e formas. Desenvolver bem os conceitos geométricos é importante, pois
são através deles que os alunos desenvolvem o pensamento permitindo que
compreendam, descrevam e representem o mundo onde vivem. O uso do material
concreto é valioso nesta fase de iniciação da geometria espacial, pois além de
estimular o aluno a observar, perceber as semelhanças e diferenças, as
propriedades das figuras é também uma maneira de sair da rotina das aulas
expositivas, motivando o aluno a ser mais participativo, transformando-se em uma
forma divertida de ensinar e aprender.
Trabalhar com a geometria espacial é fazer o aluno compreender o ambiente
em que vive para uma melhor convivência em sociedade e é através dessa
convivência que ele constrói as noções matemáticas.
A partir dessas noções
matemáticas, o pensamento vai sendo estruturado e o aluno se torna hábil na
resolução de problemas. Diante disso, cabe ao professor repensar suas
metodologias de ensino, elaborar aulas onde os alunos possam participar, dar
45
opiniões, fazer descobertas e chegarem as suas próprias conclusões, utilizando nas
aulas, situações do dia a dia para compreender melhor a matéria.
Conseguir fazer com que o aluno saia do mundo bidimensional e passe para
o tridimensional é um desafio para os professores. Ao trabalharem em cima dos
conteúdos dos livros didáticos, onde as figuras estão desenhadas em um plano (a
folha), dificulta a visualização dos alunos em relação às figuras espaciais. Para
introduzir os conceitos da geometria espacial é necessário levar para o aluno
materiais onde ele consiga visualizar os sólidos geométricos, onde ele possa tocálos e assim assimilar as figuras ao conteúdo abordado.
O uso de materiais concretos em sala de aula favorece a aprendizagem,
levando o aluno à abstração para que ele identifique as propriedades, desenvolva o
raciocínio e consiga assimilar as formas e associa-las aos objetos do dia a dia. Além
de favorecer o aluno no processo de uma melhor visualização, as aulas se tornam
mais dinâmicas e divertidas, levando o aluno a se sentir mais satisfeito e desinibido
para expor e argumentar suas ideias.
O aluno precisa de alguém que o auxilie neste processo de aprendizagem, e
prender a sua atenção na sala de aula se tornou um desafio muito grande. O
professor como mediador do conhecimento, precisa transformar as aulas em
atividades prazerosas, trabalhar a autoestima dos alunos, aplicar tarefas em que o
próprio aluno crie condições para desenvolver as propriedades das figuras
geométricas.
O material a ser manipulado em sala de aula deve ser trabalhado juntamente
com atividades que façam com que o aluno interaja e participe das aulas
desenvolvendo sua percepção e clareando o raciocínio em relação aos sólidos
geométricos.
O ideal é levar para os alunos materiais em que eles mesmos montem seus
sólidos e o professor seja apenas um orientador para que a aula não saia de seu
objetivo. Estes materiais devem possibilitar o desenvolvimento de habilidades
mentais interligadas às construções geométricas, além de facilitar a interação do
aluno com o professor e contribuir para uma aprendizagem significativa.
O material concreto, além de facilitar a aprendizagem, torna as aulas mais
significativas e prazerosas, estimula o raciocínio dos alunos, desenvolve suas
habilidades e a capacidade em compreender conteúdos geométricos. Com as aulas
mais divertidas, o aluno fica mais centrado em observar, relacionar e comparar
46
conceitos geométricos desenvolvendo suas ideias para solucionar problemas,
chegando ao resultado sem uma fórmula pronta e acabada. Além disso, essas aulas
oferecem uma aprendizagem com diversão, em que o aluno se interessa e se
envolve com a matéria, se sentindo motivado e disposto a aprender, desenvolve o
seu pensamento reflexivo, lógico-dedutivo e estimula a sua atenção; desenvolve a
noção espacial, a capacidade de visualização e interpretação das propriedades de
cada figura, usando a comparação entre as figuras e os objetos de seu cotidiano
para introdução das noções de figuras espaciais.
Ao escolher o material, o professor deve levar em conta o grau de
conhecimento do aluno a respeito da matéria e deve sempre orientá-lo para que o
objetivo seja alcançado e não se torne uma brincadeira fora da realidade do
conteúdo.
Hoje nos deparamos com inúmeros materiais que podem auxiliar no ensino
da geometria e que facilitam muito para que o aluno consiga visualizar os sólidos
geométricos.
3.2 Alguns materiais utilizados para a melhor visualização dos sólidos
geométricos
Manipular objetos é um bom auxílio na introdução de conceitos da geometria
espacial. Usar objetos de conhecimento do aluno, montar e desmontar caixas para
melhor visualização das figuras e suas planificações, jogos relacionados ao
conteúdo, as novas tecnologias, são alguns dos inúmeros materiais que podem
favorecer bastante no processo de ensino e aprendizagem. Estes materiais auxiliam
também o professor a trabalhar com uma aula mais dinâmica, motivando o aluno a
aprender de uma forma divertida e prazerosa.
Objetos do dia a dia do aluno podem ser usados para identificação das
propriedades. Por exemplo, desmontar e montar caixas de papelão de maneiras
diferentes para que assim consigam visualizar suas várias maneiras de
planificações, suas propriedades, identifiquem seus vértices, arestas e faces. O ideal
é mostrar a turma várias imagens de sólidos e pedir para que os próprios alunos
identifiquem objetos do seu dia a dia que se assemelham aos sólidos e levem para a
sala. Dentro da sala, o professor deverá auxilia-los na identificação dos objetos e no
47
trabalho com suas planificações e propriedades. O professor deverá orientar seus
alunos a não levarem objetos perigosos para a sala.
Quadro 1 – Alguns objetos comparados aos sólidos
Alguns objetos que podem ser comparados aos sólidos geométricos
Cubo
Paralelepípedo
Prisma de Base Triangular
Pirâmide de Base Quadrangular
Pirâmide de Base Triangular
Cilindro
Cone
Caixa de presentes
Dado
Embalagens diversas
Caixa de bombom
Edifícios
Embalagens diversas
Tijolo
CPU de computador
Móveis
Embalagem de creme dental
Enfeites de casa
Calendário de mesa
Telhado de casas
Enfeites
Pirâmides do Egito
Barraca
Enfeites
Tambor
Vela
Copo
Cano de PVC
Canudo
Latas de Leite Condensado
Lápis
Rolo de papel higiênico
Chapéu de festa de criança
Cones usados em autoescola
Casquinha de sorvete
Árvore de natal
Fonte: Elaborado pela autora.
Outra forma de se trabalhar com material didático, é a aplicação de jogos,
tanto antes quanto depois da explicação da matéria. O professor pode optar em
aplicar um jogo com regras pré-determinadas que indiquem o que os alunos podem
ou não fazer, para que eles assimilem estas regras às propriedades das figuras e
48
somente depois do jogo, o professor entra com a explicação da matéria para que a
turma, com o seu auxílio, possa chegar às próprias conclusões. Ou então o
professor pode optar em explicar a matéria e logo após aplicar um jogo onde os
alunos montem as regras, aplicando e verificando as propriedades das figuras.
DIENES (1975) nos relata que:
Qualquer pessoa que esteja familiarizada com uma estrutura matemática
pode inventar um jogo cujas regras seguem as regras dessa estrutura
considerada. Essas podem ser explicadas às crianças como as regras de
qualquer outro jogo, e então o jogo pode ser jogado. Este princípio de dar
regras já prontas, ao invés de permitir que elas sejam descobertas, inicia a
aprendizagem numa situação um tanto quanto fechada. Contudo, ela não
precisa permanecer assim. As crianças podem ser encorajadas a inventar
jogos com as mesmas regras ou com outras ligeiramente alteradas.
(DIENES, 1975, p. 65).
Além de regras, os jogos também propiciam a convivência em grupo e a
valorização da opinião do colega, já que nos jogos cada aluno tem que pensar na
jogada de seu adversário para então fazer a sua. Assim como nos jogos, na
matemática também tudo depende de uma “jogada” anterior, é preciso aprender a
matéria estudada para conseguir compreender as próximas. Através dos jogos, os
alunos aprendem regras que serão usadas também no estudo do conteúdo a ser
abordado pelo professor. Além de ser uma maneira prazerosa em se aprender, os
jogos também desenvolvem o raciocínio lógico do aluno. De acordo com os PCNs
(1997c), com os jogos os alunos:
(...) passam a compreender e a utilizar convenções e regras que serão
empregadas no processo de ensino e aprendizagem. (...). Em estágio mais
avançado, as crianças aprendem a lidar com situações mais complexas
(jogos com regras) e passam a compreender que as regras podem ser
combinações arbitrárias que os jogadores definem; percebe também que só
podem jogar em função da jogada do outro (ou da jogada anterior, se o jogo
for solitário). Os jogos com regras têm um aspecto importante, pois neles o
fazer e o compreender constituem faces de uma mesma moeda. (PCN,
1997, p. 35-36)
Ao fazer uso do material concreto o professor pode utilizar também da
tecnologia, que vem ganhando grande espaço na vida das pessoas nos dias atuais.
Utilizar softwares para fazer demonstrações dos sólidos, suas propriedades e
regularidades; deixar os alunos usarem os softwares e descobrirem suas funções
para desenvolverem atividades. Com o avanço da tecnologia, o uso dos
computadores, internet e seus recursos, além de auxiliarem o professor, prende a
49
atenção do aluno por serem recursos dos quais estão familiarizados. Mas o
professor deve sempre estar atento para que as aulas não saiam do seu objetivo.
Outro método em que podemos fazer uso do material didático para auxiliar na
introdução dos conceitos geométricos e prender a atenção do aluno de forma
divertida são as dobraduras. Usar folhas coloridas e pedir para que os alunos
recortem figuras geométricas ou montem sólidos, depois usarem destas figuras para
desenvolver atividades onde eles possam verificar as propriedades de cada uma
delas. Nesse momento ganha-se um grande volume de observações consistentes,
que norteiam os trabalhos para a pesquisa proposta.
Para dar ênfase a esta pesquisa e confirmar a problemática apresentada,
serão utilizadas a planificação e construção de sólidos geométricos através das
dobraduras para verificar como este material poderá ajudar os alunos a visualizarem
melhor os sólidos geométricos.
3.3 Planificação e construção de sólidos através de dobraduras
Em todos os lugares onde passamos encontramos objetos que se
assemelham aos sólidos geométricos, desde uma caixa de sapatos, uma bola de
futebol, até uma casquinha de sorvete. Mas a grande dificuldade encontrada hoje
nas escolas é conseguir que os alunos passem da representação concreta para a
representação mental, por isso a importância em utilizar esses materiais concretos
levando os alunos à abstração.
Diante da contribuição que o material didático proporciona ao aprendizado do
aluno, aumentando sua motivação em aprender e desenvolvendo seu raciocínio
lógico-dedutivo, optou-se em usar as planificações e através delas confeccionar
dobraduras para construção de sólidos para que se chegue ao objetivo proposto,
que é o de verificar como este material poderá auxiliar os alunos em uma melhor
visualização dos sólidos geométricos.
Os sólidos são formados por figuras planas, por isso a importância do
trabalho com as planificações, para que os alunos identifiquem as figuras e
conheçam quais delas dão origem a determinado sólido, conheçam também as
diferentes formas em que um mesmo sólido pode ser planificado. Através da
planificação, os alunos têm um contato direto com o que está sendo ensinado.
50
Com as dobraduras, os alunos podem identificar o que são as bases, as
faces, os vértices e as arestas, obtendo um melhor conhecimento de cada uma das
propriedades, identificando-as e visualizando suas proporcionalidades. Com isso, o
aluno desenvolve além de coordenação motora e concentração, o raciocínio e a
capacidade de identificação e abstração.
O uso das planificações é uma forma prática de se ensinar e desperta nos
alunos o gosto pela geometria, tornando-se uma aula prazerosa e divertida.
3.4 Desenvolvendo a atividade com material concreto
Ao optar por usar as planificações e construções de sólidos, desenvolveu-se
uma atividade com aplicação de questionário. Com observação feita durante a
realização da atividade e no questionário pretende-se analisar os dados e verificar
se foi possível chegar ao objetivo proposta nesta pesquisa.
A atividade consiste em passar para os alunos planificações de sólidos
geométricos em papel colorido de maior gramatura. Logo após, entrega-se uma
folha com algumas orientações, na qual eles devem escrever a identificação de
todas as figuras planas que conseguem visualizar nestas planificações, e qual seria
o sólido geométrico gerado por cada planificação. Mostra-se para os alunos alguns
sólidos já montados e, a partir daí, deixar que os próprios alunos manipulem as
planificações e montem os sólidos. Montados os sólidos, é preciso que se verifique
se realmente os alunos chegaram à figura da qual pensaram ser no início da
atividade, e que façam associações delas com objetos do seu dia a dia. Após todo
este processo, finaliza-se com a aplicação de um questionário para os alunos
responderem, buscando comprovar a eficácia dos materiais concretos utilizados.
As planificações utilizadas para construção dos sólidos, a folha que os auxilia
durante a aplicação de tal atividade e o questionário encontram-se nos anexos.
A partir da análise dos questionários aplicados aos alunos, pode-se verificar
se o material usado realmente os auxiliam na melhor visualização dos sólidos.
51
4 METODOLOGIA
Este projeto é embasado em uma pesquisa qualitativa, através de uma coleta de
dados inserida em uma atividade proposta e a respectiva compilação das
informações, advinda de um questionário. Será feita uma interpretação dessas
informações para verificar se tal atividade será eficiente no processo de
aprendizagem da geometria espacial.
Quanto à pesquisa qualitativa, NEVES (1996) afirma:
Dela faz parte a obtenção de dados descritivos mediante contato direto e
interativo do pesquisador com a situação objeto de estudo. Nas pesquisas
qualitativas, é frequente que o pesquisador procure entender os fenômenos,
segundo a perspectiva dos participantes da situação estudada e, a partir,
daí situe sua interação dos fenômenos estudados. (NEVES, 1996, p. 1)
Esta pesquisa qualitativa será aplicada aos alunos do 6º ano da Escola
Estadual Professor Francisco Tibúrcio, situada no Centro da cidade de Maravilhas –
MG e consiste em levar para sala de aula, encartes com planificações de figuras
geométricas para que os alunos recortem e montem os sólidos a fim de diagnosticar
o seu efetivo conhecimento acerca da geometria espacial, visualizando suas
dificuldades e potenciais em compor e relacionar os conceitos geométricos
intrínsecos na atividade.
Durante a realização de tal atividade, será feita uma observação para a
obtenção de informações sobre as dificuldades que os alunos apresentam e como a
atividade poderá ajudá-los. Com esta observação, buscar-se-á responder à
problemática: O uso do material concreto ajudará a efetivar a aprendizagem da
geometria na visualização dos sólidos geométricos? A utilização de objetos do
cotidiano do aluno como material concreto durante as aulas, poderia amenizar as
dificuldades enfrentadas pelos mesmos?
A respeito da observação, MARCONI e LAKATOS (2011) afirmam:
(...) observação – utiliza os sentidos na obtenção de determinados aspectos
da realidade. Não consiste apenas em ver e ouvir, mas também em
examinar fatos ou fenômenos que se deseja estudar. (MARCONI,
LAKATOS, 2011, p. 111)
52
Durante a aplicação da atividade, será entregue aos alunos uma folha que irá
auxiliá-los neste processo e contará também com um questionário, que consiste em
algumas perguntas que devem ser respondidas por todos os participantes para que
se verifique como o uso do material concreto pôde ajudá-los na visualização e
entendimento dos sólidos geométricos. O questionário será entregue aos alunos e
será estipulada uma data para que eles o devolvam preenchido, pois o questionário
não precisa ser respondido na presença do pesquisador. Segundo MARCONI e
LAKATOS (2002):
Questionário é um instrumento de coleta de dados constituído por uma série
ordenada de perguntas, que devem ser respondidas por escrito e sem a
presença do entrevistador. Em geral, o pesquisador envia o questionário ao
informante, (...); depois de preenchido, o pesquisado devolve-o (...).
(MARCONI, LAKATOS, 2002, p. 98)
Este questionário será constituído de questões fechadas, as quais deverão
ser respondidas segundo o conhecimento do aluno a respeito da matéria e a
experiência vivida durante a atividade aplicada. Com isso, será obtida uma
abordagem quantitativa, pois busca-se tabular os dados e enumerar determinado
número de respostas para cada questão abordada.
Com a atividade aplicada e o questionário respondido, será feita uma
interpretação dos dados para verificar quais as maiores dificuldades destes alunos
em relação aos sólidos geométricos, a eficácia do uso do material concreto para
uma melhor visualização e entendimento das propriedades destes sólidos, e
também se contribuiu no processo de aprendizagem.
53
5 COLETA E ANÁLISE DOS DADOS
Esta pesquisa foi realizada na Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio,
localizada na cidade de Maravilhas, no intuito de verificar como o material didático
auxiliaria os alunos em uma melhor visualização dos sólidos geométricos,
aumentando o raciocínio geométrico através da indução e dedução dos conceitos
desta disciplina.
A instituição atende crianças desde o Ciclo Inicial de Alfabetização - 1º ano,
com 6 anos de idade, até o Ensino Médio e a Educação de Jovens e Adultos (EJA).
Para aplicação da atividade contou-se com a contribuição da turma do 6º ano, com
34 alunos, auxiliados pela professora de Matemática e a professora auxiliar de um
dos alunos com necessidades especiais.
Foi entregue a cada aluno um encarte contendo uma planificação e cada uma
enumerada para uma melhor análise dos dados. Junto com a planificação, cada
aluno recebeu também uma folha que os auxiliaria na realização da atividade e um
questionário para que eles respondessem após a atividade. Para responder o
questionário, os alunos o levaram para casa, responderam e depois entregaram à
professora.
Foto 1 – Recortando as planificações
54
Ao observar os alunos durante a realização das atividades, percebeu-se que
ao receberem as planificações, eles tiveram facilidade em reconhecer as figuras
planas contidas em cada uma delas. Ao serem questionados sobre qual sólido
geométrico cada uma das planificações formariam, eles apresentaram dificuldades e
a todo o momento chamavam pela professora para saber qual era o sólido. Faziam
perguntas do tipo:
“Dona, o que é sólido geométrico?”
“Dona, qual sólido minha figura forma?”
Diante de tais questionamentos, a professora da turma sempre dava aos
alunos a resposta certa dos sólidos que seriam formados, e ao fazer a análise do
questionário, percebeu-se que quase todos haviam dado a resposta certa, apesar de
nenhum deles demonstrarem reconhecer a figura a partir da planificação. Dos 34
questionários entregues aos alunos, apenas 29 foram devolvidos.
Após recortarem e montarem os sólidos, foi mostrado aos alunos alguns
sólidos já montados para eles reconhecerem as figuras que estavam montando. Mas
devido ao fato de todos terem sido induzidos à resposta certa anteriormente, eles
chegaram à mesma figura da qual haviam respondido no questionário antes da
montagem.
Foto 2 – Sólidos montados
55
Foi pedido aos alunos que comparassem os sólidos por eles montados com
objetos do seu dia a dia, houve várias respostas diferentes, mas mesmo assim
alguns não conseguiram identificar nenhum objeto.
Ao aplicar o questionário, percebeu-se que a grande maioria dos alunos
consideraram a geometria espacial e a visualização dos sólidos geométricos como a
parte de mais difícil compreensão dentro da matemática.
Gráfico 1 – Dificuldade em aprender geometria
Avaliação do nível de dificuldade verificada em relação
à visualização tridimensional, pelos alunos do 6º ano.
Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio - 2013.
21%
Sim
Não
79%
Fonte: Dados de pesquisa, 2013. Elaborado pela autora.
Diante desta grande dificuldade encontrada pelos alunos, é importante que o
professor busque uma aula diferenciada que chame a atenção dos alunos e faça
com que eles se interessem pelo conteúdo estudado, desenvolvendo o lúdico, a
criatividade e o conhecimento. O interessante é fazer da aula um ambiente divertido,
onde os alunos possam aprender brincando e interagindo com a matéria e com os
colegas. Esta aula dinâmica, com uso de materiais concretos, desenvolve no aluno o
gosto pelo conhecimento, e ele mesmo buscará compreender e desenvolver as
propriedades da matéria em questão, levando-o à socialização e a um
desenvolvimento significativo. Segundo CARVALHO (2011):
O lúdico possibilita o estudo da relação da criança com o mundo externo,
integrando estudos específicos sobre a sua importância na formação da
personalidade. Através da atividade lúdica e do jogo, a criança forma
conceitos, seleciona ideias, estabelece relações lógicas, integra
56
percepções, faz estimativas compatíveis com o crescimento físico e
desenvolvimento e, o que é mais importante, vai se socializando. A
convivência de forma lúdica e prazerosa com a aprendizagem levará a
criança a estabelecer relações cognitivas ligadas às experiências
vivenciadas, bem como relacioná-las às demais produções culturais e
simbólicas conforme procedimentos metodológicos compatíveis com a
prática. (CARVALHO, 2011, p. 13)
Ao usarem o material para a montagem de seus próprios sólidos, observou-se
o grande entusiasmo dos alunos em participar das atividades. Muitos alunos
chamavam e diziam:
“Nossa dona! Eu adorei a aula, aprendi brincando! Muito legal!”
Foto 3 – Brincando com o material.
57
Verificou-se também que o uso do material pode auxiliar os alunos em uma
melhor visualização dos sólidos geométricos.
Gráfico 2 – Benefício da utilização do material concreto
Percentual de alunos do 6º ano entrevistados sobre o uso
de material concreto e sua respectiva facilitação na
visualização dos sólidos geométricos.
Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio - 2013.
10%
Sim
Não
90%
Fonte: Dados de pesquisa, 2013. Elaborado pela autora.
A aula pode se tornar mais divertida quando se utiliza o material concreto. Os
alunos se envolvem com as atividades, se interessam pela matéria e conseguem
sozinhos reconhecer e assimilar as propriedades das figuras estudadas. Os alunos
fizeram vários questionamentos sobre a matéria, como um deles ao se referir às
arestas:
“Dona, como se chama essas linhas?”
E outro aluno se referindo aos vértices:
“Dona, eu posso dizer que cada quina é um vértice?”
Através da análise dos questionários percebeu-se que quase todos os alunos
consideraram a aula prática importante e valiosa para adquirirem conhecimento
referente à Geometria Espacial.
58
Gráfico 3 – Benefício da aula prática para geometria espacial
Alunos do 6º ano entrevistados em relação à Geometria
Espacial ser melhor assimilada com a aula prática.
Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio - 2013.
7%
Sim
Não
93%
Fonte: Dados de pesquisa, 2013. Elaborado pela autora.
Identificar objetos do dia a dia do aluno que se assemelham com os sólidos
estudados também pode auxiliá-los na identificação das figuras espaciais. Ao se
aplicar a atividade com o material concreto, percebeu-se que ao manipular os
sólidos, tendo contato direto com eles, os alunos conseguem associá-los com
objetos do seu cotidiano.
Gráfico 4 – Comparando os sólidos com materiais do dia a dia
Percentual de alunos do 6º ano entrevistados quanto ao
benefício da aula prática para melhor relacionar figuras
planas e espaciais com objetos do dia a dia.
Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio - 2013.
3%
Sim
Não
97%
Fonte: Dados de pesquisa, 2013. Elaborado pela autora.
59
A partir da associação destas figuras com objetos de seu dia a dia, percebeuse como esta aula prática contribuiu positivamente para o aluno, tanto no que diz
respeito a uma melhor visualização dos sólidos, como na identificação de suas
propriedades, faces, arestas e vértices.
Gráfico 5 – Objetos do cotidiano e a visualização dos sólidos
Alunos do 6º ano entrevistados quanto a associação de
objetos do cotidiano para facilitar a visualização e
compreensão referente à Geometria Espacial.
Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio - 2013.
10%
Sim
Não
90%
Fonte: Dados de pesquisa, 2013. Elaborado pela autora.
No início da atividade, quando os sólidos ainda estavam planificados, pelo
fato de os alunos terem sido induzidos a dar a resposta certa ao serem questionados
sobre qual sólido cada planificação iria gerar, percebeu-se que quase a totalidade
dos alunos chegou à figura da qual imaginaram ou foram induzidos a imaginar que
seria, mesmo apresentando dificuldades em reconhecê-las.
Gráfico 6 – Chegando ao sólido imaginado
Percentual de alunos do 6º ano que após realização da
atividade chegaram ao sólido imaginado anteriormente.
Escola Estadual Professor Francisco Tibúrcio - 2013.
3%
Sim
Não
97%
Fonte: Dados de pesquisa, 2013. Elaborado pela autora.
60
Após aplicação da atividade e com análise dos questionários, percebeu-se
que os alunos tiveram um grande ganho na construção do processo de
aprendizagem do conteúdo, tendo maior facilidade em absorver a matéria. Deste
modo, fica evidente que a utilização de material concreto é muito eficiente para
melhor visualização dos sólidos geométricos, suas arestas, vértices e faces, além de
ser uma maneira eficaz de fazer com que os alunos participem da aula e aprendam
brincando. Fazer uso de objetos do cotidiano do aluno comparando-os aos sólidos,
também é uma maneira de amenizar as dificuldades enfrentadas, pois usando
objetos com os quais eles já estejam familiarizados, contribui para que eles
assimilem bem, façam associações e encontrem semelhanças entre suas
propriedades, compreendendo a matéria.
61
CONSIDERAÇOES FINAIS
Após observação realizada durante a atividade desenvolvida com o uso do
material concreto, percebeu-se a satisfação dos alunos em participar de uma aula
prática onde, como eles mesmos relataram, é possível aprender brincando.
Para o aluno, passar do concreto para o abstrato é confuso e ao iniciar o
trabalho com a geometria espacial, o professor enfrenta dificuldades em fazer com
que os alunos compreendam tal disciplina. Encontrar meios alternativos é a melhor
solução. Com isso, desenvolvemos uma aula para que o aluno pudesse ter contato
direto com os sólidos geométricos e assim construir seus conceitos e descobrir suas
propriedades.
Após cada aluno construir seu sólido e responder ao questionário,
conseguimos verificar que o uso do material concreto foi valioso para os alunos
terem uma melhor visualização dos sólidos geométricos, identificando seus vértices,
faces e arestas.
A maioria dos alunos considera a aula prática efetiva para o conhecimento da
geometria espacial. Isso nos leva a repensar a metodologia adotada nas escolas,
onde as aulas são quase totalmente expositivas. Devemos elaborar aulas que
chamem a atenção do aluno e o faça querer aprender e buscar o conhecimento,
aulas onde os alunos participem e se sintam motivados, se sintam à vontade em
expor e argumentar suas ideias.
Percebeu-se também que ao ter contato com os sólidos, os alunos
conseguiram fazer associação deles com objetos do seu dia a dia. Com isso, eles
perceberam a importância da geometria em nossa vida, pois ela está presente em
tudo, e perceberam também que precisarão desta disciplina em situações de seu
cotidiano e por isso precisam aprendê-la.
Os objetivos foram alcançados e espera-se que esta pesquisa possa ajudar a
outros professores em suas práticas pedagógicas, mas é importante ressaltar que a
referente pesquisa foi realizada em apenas uma escola, podendo obter resultados
diferentes em outras instituições e aqui fica então a dica para outras pessoas
realizarem tal tarefa.
62
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<http://jennyethalyta.blogspot.com.br/2009/11/matematica.html> Acesso em 22 out.
2013.
<http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/cones>
Acesso em 24 out. 2013.
Softwares utilizados:
Geogebra 4.0.24.011
65
ANEXOS
ANEXO A - Planificação 1 - Cilindro
66
ANEXO B - Planificação 2 - Cone
67
ANEXO C - Planificação 3 – Cubo
68
ANEXO D - Planificação 4 – Paralelepípedo
69
ANEXO E - Planificação 5 – Pirâmide de Base Quadrangular
70
ANEXO F - Planificação 6 – Pirâmide de Base Triangular
71
ANEXO G - Planificação 7 – Prisma de Base Triangular
72
ANEXO H - Folha para Auxiliar os Alunos Durante a Atividade e o Questionário.
Questionário para os alunos:
Prezado aluno,
Sou aluna do 8º período de Matemática da FAPAM, onde desenvolvo uma
pesquisa científica com o tema: O uso de material concreto para melhor
visualização dos sólidos geométricos, e buscando enriquecer meu trabalho,
gostaria de ter sua colaboração em participar e desenvolver algumas atividades.
Conto com a colaboração de todos vocês, uma vez que, a análise desses resultados
será de fundamental importância na conclusão de minha pesquisa.
Bruna Garcia Monteiro
Atividades:
Analise as planificações que você recebeu e escreva:
1- Quantas e quais figuras geométricas podem ser visualizadas em cada
desenho.
2- Quais sólidos geométricos você imagina estar representado em cada uma
das planificações.
3- Recorte e monte as superfícies. Escreva o nome de cada superfície e faça
associações delas com objetos que você utiliza em seu dia a dia.
73
Após ter montado os sólidos responda:
1- Dentro da Matemática, a geometria é vista por todos como a matéria mais
difícil. Você concorda que a visualização tridimensional dos sólidos
geométricos é a parte de maior dificuldade?
Sim
Não
2- O uso do material concreto te auxiliou na visualização dos sólidos
geométricos?
Sim
Não
3- O conhecimento referente à Geometria Espacial é melhor assimilado com a
aula prática?
Sim
Não
4- Você consegue, a partir da aula prática, identificar e relacionar figuras planas
e espaciais com objetos do seu dia a dia?
Sim
Não
5- Trabalhar com os sólidos geométricos de forma prática, fazendo associação
deles com objetos do seu cotidiano, facilita a visualização e compreensão da
Geometria Espacial?
Sim
Não
6- Depois de montado o sólido você chegou à figura da qual havia imaginado
anteriormente?
Sim
Não