Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
Curso de Fı́sica (Noturno) - Fı́sica Experimental A
PRECISÃO DE MEDIDAS II
1
Objetivos
de medidas, mais preciso será o valor médio, isto é,
mais próximo do valor verdadeiro. Assim, temos:
Determinar estatisticamente a incerteza de uma medida e aplicar a propagação de incertezas para medidas
indiretas.
2
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
sinteticamente podemos escrever:
x=
Introdução
n
x=
Ao efetuarmos uma medida, o instrumento utilizado introduz um erro no processo. Mas o erro instrumental
não é o único que surge no processo de medição, existe
também o erro do experimentador e do próprio procedimento experimental. Estas fontes de erros aleatórios
podem ser tratadas por processos estatı́sticos.
Muitas medidas também não podem ser realizadas
diretamente e precisamos obtê-las através de outras
medidas, isto produz um outro problema que é o de
determinar como os erros das medidas intermediárias
influenciam o resultado final.
3
3.2
1X
xi
n i=1
(2)
Desvio padrão experimental
A variância para um pequeno número de medidas pode
ser definida como:
n
σ2 =
1 X
(xi − x)2
n − 1 i=1
(3)
e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, σ =
√
σ 2 , logo:
v
u
n
u 1 X
σ=t
(4)
(xi − x)2
n − 1 i=1
Valor médio e desvio padrão
Para tentarmos reduzirmos os erros aleatórios, produzidos pelo experimentador e pelo procedimento experimental, empregamos o recurso de se efetuar a mesma
medida diversas vezes. O objetivo deste procedimento
é tratar a informação obtida estatisticamente e tentarmos com isto nos aproximarmos o mais possı́vel do
valor verdadeiro da grandeza fı́sica medida.
Uma quantidade que podemos obter a partir de uma
série de medidas é o seu valor médio. A variabilidade
de cada medida é dada pelo desvio padrão e a variabilidade da média será dada pelo desvio padrão da
média.
O problema é que para o valor mais provável a partir
de médias, determinar desvio padrão e desvio padrão
de médias exige que se façam infinitas medidas. Vamos, portanto, estimar o valor mais provável, o desvio
padrão e o desvio padrão da média para um conjunto
pequeno de medidas.
3.1
(1)
O desvio padrão indicado em 4 é adotado para caracterizar a incerteza de cada uma das medidas. A incerteza
associada ao valor médio das medidas (x) é o desvio
padrão da média (σm ) ou incerteza da média e vale:
σ
σm = √
n
(5)
Isto nos proporciona uma probabilidade de ≈ 68%
do valor procurado se encontrar no intervalo (x ± σm ).
Exemplo 1. Deseja-se conhecer o comprimento de
uma haste, efetuando-se para isto, dez medidas
obtendo-se os seguintes valores:
i xi (cm)
i
xi (cm)
1 15,01
6 15,07
2 15,08
7 15,02
3 15,06
8 14,98
4 15,09
9 15,00
5 15,00
10 15,00
O valor médio da haste é:
Valor médio
É a média aritmética de uma série de medidas realizadas nas mesmas condições. Quando as incertezas são
devidas a erros aleatórios, quanto maior for o número
n
x=
1
1X
150, 31
= 15, 031cm
xi =
n i=1
10
Para cada medida o quadrado dos desvios é: 4.1 Operações aritméticas:
i (xi − x)2
i
(xi − x)2
incerteza limite
1 0,000441
6 0,001521
Muitas vezes necessitamos estimar a incerteza propa2 0,002401
7 0,000121
gada em operações aritméticas com valores de medi3 0,000841
8 0,002601
das buscando uma faixa de acerto de 100%. Isto pode
4 0,003481
9 0,000961
ocorrer pelo fato das incertezas associadas às medidas
5 0,000961 10 0,000961
representarem limites para o valor medido ou quando
O desvio padrão é:
não estamos preocupados com o resultado estatı́stico
v
u
do erro previsto. Para estes casos empregaremos as ren
u 1 X
gras simples de propagação de incertezas elencadas na
σ = t
(xi − x)2
n − 1 i=1
tabela 1, para as quatro operações aritméticas.
r
0.01429
σ =
9
Tabela 1: Resumo das incertezas absolutas e relativas
p
para as quatro operações aritméticas
0, 001588
σ =
Operação
Incerteza
Incerteza
−2
σ = 3, 99 · 10 cm
Absoluta
Relativa
O desvio padrão do valor médio é:
σm
σm
σm
σ
√
n
3, 99 · 10−2
√
=
10
= 1, 24 · 10−2 cm
δA = δa + δb
δA
A
=
δa+δb
a+b
S =a−b
δS = δa + δb
δS
S
=
δa+δb
a−b
M =axb
δM = bδa + aδb
δM
M
=
δa
δb
a + b
δD
D
=
δa
a
=
O resultado final é:
x
x
A=a+b
D=
a
b
δD =
δa
b
+
aδb
2
b
+ δb
b
= x ± σm
= (15, 03 ± 0, 01)cm
Quando na multiplicação temos mais de dois fatores,
podemos calcular a incerteza relativa através da soma
3.3 Incerteza instrumental versus indas incertezas relativas de cada fator e depois podemos
certeza da média
obter a incerteza absoluta.
A aplicação das regras indicadas na tabela 1 só é
O resultado desta seção permite a determinação da incerteza do valor médio de um conjunto de medidas. aceitável quando as incertezas de cada grandeza são
Deste modo agora temos duas incertezas no processo estimadas subjetivamente, não dispondo, assim, de um
de medida, a incerteza instrumental e a incerteza da significado estatı́stico, e se deseja apenas fazer um
média. Para decidirmos qual incerteza utilizar pode- cáculo rápido, para avaliar a incerteza propagada. Ou,
mos observar o seguinte: se a resolução no processo de então, quando se deseja realmente conhecer o maior
medida é dada por δ, e a largura de uma distribuição erro possı́vel para se ter uma certeza prósima de 100%.
de medida, ou seja, o desvio padrão é caracterizado por
σ, tem-se:
4.2
Método geral: incerteza média
Quando temos ao menos uma estimativa grosseira do
desvio padrão, é preferı́vel estimar a repetibilidade do
δ > σ → incerteza da média = δ
resultado pela incerteza média propagadada que pela
incerteza limite.
O problema pode ser posto da seguinte maneira:
4 Cálculo da propagação de in- dada uma função w = w(x, y, z) onde x, y, z são grandezas experimentais com incertezas dadas por x, y, z
certezas
e independentes entre si, quanto vale w ? A indeMuitas vezes usaremos o valor do mensurando numa pendência entre x, y, z é necessária para a validade das
equação para determinar uma outra grandeza qual- fórmulas a seguir, mas não será discutida aqui.
Para simplificar suponha w apenas função de x. No
quer. O que fazer com a incerteza associada? Para o
mensurando temos a incerteza do processo de medida, gráfico abaixo está representando w(x).
enquanto que para grandezas determinadas através de
A incerteza de w, no gráfico 1, pode ser obtida pela
fórmulas temos a incerteza propagada.
simples projeção da incerteza de x. Para pequenos inδ < σ → incerteza da média = σm
2
Figura 3: Subtração de dois segmentos
Logo:
L = (20, 0 ± 2, 1)cm
Exemplo 2 Considere a subtração de dois segmentos indicados na figura 3 idênticos aos que foram somados na figura 2. O resultado do desvio absoluto seria
o mesmo pois aplicamos a equação 7 exatamente da
mesma forma. O que você pode afirmar a respeito do
desvio relativo?
Figura 1: Gráfico indicando que a incerteza em w é
simplesmente a projeção da incerteza em x
Exemplo 3
Cálculo do volume do cilindro.
tervalos no eixo x, temos em primeira ordem, a derivada parcial de w em relação a x:
¯
¯
¯ ∂w ¯
¯σx
σw = ¯¯
(6)
∂x ¯
Para mais de uma variável independentes entre si,
podemos escrever uma fórmula geral (visualize uma
soma de catetos em n dimensões):
µ
2
σw
=
∂w
∂x
¶2
µ
σx2
+
∂w
∂y
¶2
µ
σy2
+
∂w
∂z
¶2
σz2 ...
(7)
Exemplo 1. Considere a soma de dois segmentos
conforme mostrado na figura 2.
Figura 4: Cilindro do qual foram medidos o raio (R) e
a altura (L)
Propaguemos a incerteza em todos os termos do produto: R, π, L
Figura 2: Soma de dois segmentos
µ
σV2
A incerteza no segmento soma pode ser calculada
aplicando a equação 7:
µ
2
σL
=
∂L
∂a
¶2
µ
σa2
+
∂L
∂b
=
∂
∂π
¶2
µ
σπ2
+
∂V
∂R
¶2
µ
2
σR
+
∂V
∂L
¶2
2
σL
2
2
σV2 = (R2 L)2 σπ2 + (2πRL)2 σR
+ (πR2 )2 σL
¶2
Dividindo-se todos os termos por V 2 , temos:
σb2
2
σL
= (1)2 σa2 + (1)2 σb2
2
σL
= (1)2 22 + (1)2 0, 52
2
σL
= 4 + 0, 25
2
σL
= 4, 25
p
σL = 4, 25
σL = 2, 06cm
σV2
V2
3
µ 2 ¶2
µ
¶2
µ 2 ¶2
R L
2πRL
πR
σV2
2
2
2
=
σ
+
σ
+
σL
π
R
V2
V
V
V
µ 2 ¶2
µ
¶2
µ
¶2
R L
πRL
πR2
2
2
2
=
σπ + 2
σR +
σL
πRL2
πRL2
πRL2
µ ¶2 µ
¶2 µ ¶2
σV2
σπ
2σR
σL
=
+
+
2
V
π
R
L
Substituindo-se pelos valores medidos, temos, para o
desvio relativo:
σV2
=
V2
4. As medidas das dimensões de um cilindro reto
são: raio R = (1, 72 ± 0, 02)cm e altura h =
(2, 55 ± 0, 05)cm. O volume do cilindro é dado
por V = πR2 h e a área das paredes do cilindro é
A = 2πRh + 2πR2 .
µ ¶2 µ
¶2 µ
¶2
0
2 · 0, 5
0, 5
+
+
π
2, 0
10, 0
σV2
= 0 + 0, 25 + 0, 0025
V2
σV2
= 0, 2525
V2
p
σV
= 0, 2525
V
σV
= 0, 5025
V
(a) Calcule o volume V e a área A com os respectivos erros propagados limites. Expresse
esses erros na forma relativa.
(b) Se fosse necessário melhorar a incerteza, na
medida do volume, refazendo-se apenas uma
das duas medidas, qual é a que deveria ser
refeita com uma incerteza menor? E no caso
da área?
Logo o desvio absoluto será dado por:
5. O perı́odo
de um pêndulo simples é dado por T =
q
2π Lg . Mostre que a incerteza média relativa do
perı́odo é
σV = 0, 5025V
σV = 0, 5025 · 125, 6
σV = 63, 114cm3
1
δT =
2
Assim a o volume do cilindro ficará:
V = (126 ± 63)cm3
ou ainda
5
6
V = (13 ± 6) · 10cm3
δL
L
¶2
µ
+
δg
g
¶2
Bibliografia
1. VUOLO, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros,
2 edição, São Paulo, Editora Edgar Blucher Ltda.,
1996.
Questionário
2. BARTHEM, B. R., Tratamento e Análise de Dados em Fı́sica Experimental, Rio de Janeiro, Editora da UFRJ.
1. Um aluno quis determinar a altura média dos alunos em uma determinada escola. Como o número
total de alunos da escola era muito grande (≈
2000) ele escolheu cinquenta (n = 50) que se encontravam casualmente no pátio e anotou a altura
de cada um. O resultado obtido foi o seguinte:
Alt. (m)
n alunos
sµ
3. Roteiros: Laboratório de Mecânica e Termodinâmica - UFMS, 1995.
4. CEPA.Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada, USP.Algarismos significativos e desvios.
Disponı́vel em:
http://www.cepa.if.usp.br/efisica/mecanica/universitario/cap01/. Acesso em:
16/03/2003.
1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95
2
8
11
15
9
4
1
(a) Estime a altura média hm dos alunos da escola.
(b) Qual é o desvio padrão da distribuição de alturas na escola?
2. Os comprimentos de duas tábuas de madeira, bem
cortadas, foram medidos com uma incerteza δL =
±0, 1cm. Os valores obtidos foram L1 = 50, 0cm
e L2 = 10, 0cm.
(a) Qual é a incerteza limite da quantidade (L1 +
L2 )? E de (L1 − L2 )?
(b) Qual é a incerteza relativa limite de (L1 +
L2 )? E de (L1 − L2 )
3. O diâmetro Φ de uma mesa redonda foi medido
com uma incerteza relativa de 1%. Qual é a incerteza limite relativa da área da mesa deduzida a
partir dessa medida?
4