Escola
Secundária João
de Deus
Matemática A
12.º Ano
Ano Lectivo 2005/2006
Ficha de exercícios
Introdução ao cálculo de probabilidades
1. Indique o conjunto de todos os resultados possíveis, isto é, o espaço amostral em cada
uma das seguintes experiências aleatórias:
1.1.
Lançar uma moeda ao ar e anotar a face voltada para cima;
1.2.
Lançamento de três moedas de €1;
1.3.
Lançamento de um dado numerado de 1 a 6;
1.4.
Lançamento de dois dados com as faces numeradas até 6;
1.5.
Retirar de uma caixa que tem bolas verdes e azuis, sucessivamente, três bolas;
1.6. As equipas A e B disputam um torneio do “Jogo do 24”. A primeira que ganhar
dois jogos seguidos ou um total de quatro jogos, vence o torneio. Determine o
número de formas diferentes de o torneio se realizar.
1.7. No casino um jogador vai fazer no máximo cinco jogadas. Cada aposta é de €50.
Começa com €50 e deixa de jogar quando perde os €50 ou quando ganha €150.
2. Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado duas vezes
consecutivas e anotação das pontuações obtidas.
2.1.
Represente, em extensão, o espaço de resultados.
2.2. Represente os acontecimentos seguintes sob a forma de subconjuntos do espaço de
resultados:
i.
A: “A soma das pontuações é par”;
ii.
B: “A soma das pontuações é 8”;
iii.
C: “O produto das pontuações é 37”;
iv.
D: “O produto das pontuações é inferior a 37”;
v.
E: “O produto das pontuações é impar”;
2.3. Algum dos acontecimentos dados é elementar, certo ou impossível? Justifique.
Introdução ao cálculo de probabilidades
1
3. Em famílias com três filhos consideram-se os acontecimentos:
A: “famílias com pelo menos uma filha”
B: “famílias com três filhos rapazes”.
Descreva os acontecimentos:
3.1.
A;
3.2.
B;
3.3.
A∪B ;
3.4.
A∩B .
4. Na extracção de uma carta de um baralho de 40 cartas considere os seguintes
acontecimentos:
A: “Tirar o ás de espadas”;
B: “Tirar um rei”;
C: “Tirar uma carta de ouros”.
Explique o significado de cada um dos acontecimentos A , B , C , A ∪ B , B ∩ C e
A ∩ (B ∪ C ) .
5. Quando sai a primeira bola no totoloto, qual é a probabilidade de cada um destes
acontecimentos:
5.1.
A: “Sair o número 5”;
5.2.
B: “Sair número ímpar”;
5.3.
C: “Sair número maior ou igual a 50”.
6. Quando se tira, ao acaso, uma carta de um baralho completo, qual a probabilidade de:
6.1.
sair rei de copas?
6.2.
sair ás?
6.3.
sair paus ou ouros?
6.4.
não sair copas?
6.5.
sair copas e não sair figuras?
7. Gonçalo e Ricardo jogam às cartas com um baralho completo. O Ricardo aposta que a
carta a tirar do baralho será um às, mas o Gonçalo aposta que será figura. Qual dos
amigos tem maior probabilidade de acertar?
8. Numa gaveta estão 7 peúgas: 3 pretas e 4 azuis, todas misturadas. Se tirarmos duas
peúgas ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de obtermos um par da mesma
cor?
Introdução ao cálculo de probabilidades
2
9. Numa caixa estão 12 bolas-de-berlim de igual aspecto exterior, no entanto, só 7 é que
têm creme. Retirando da caixa 3 desses bolos ao acaso, qual a probabilidade de que
apenas um deles tenha creme?
10. Para controlo de qualidade dos dados de póquer fabricados numa fábrica, foram
escolhidos alguns dados ao acaso. Após grande número de lançamento de cada um deles
verificou-se que todos os dados eram perfeitos, excepto um. Nesse dado, todas as faces
têm igual probabilidade de sair, à excepção do Valete, cuja probabilidade é tripla da
probabilidade de, por exemplo, sair Dama. Qual é a probabilidade, neste dado, de:
10.1. sair Valete?
10.2. sair Ás ou figura?
11. Por lapso, um electricista misturou numa caixa quatro lâmpadas boas, com três
lâmpadas fundidas. Se tirar, ao acaso e sem reposição, duas lâmpadas, qual a
probabilidade de:
11.1. não obter nenhuma lâmpada fundida?
11.2. obter apenas uma lâmpada boa?
11.3. obter, pelo menos, uma lâmpada boa?
12. Numa vila com 2000 habitantes há dois jornais semanários: A Vila e Nós. Sabe-se que,
nessa vila, 1200 lêem A Vila, 700 o Nós e 400 são subscritores de ambos. Qual a
probabilidade de um habitante dessa vila, inquirido ao acaso:
12.1. ler A Vila ou Nós?
12.2. não ler nenhum?
12.3. ler apenas Nós?
12.4. ler apenas um deles?
13. A probabilidade de um homem viver mais de dez anos é 0,25 e a probabilidade de a sua
esposa viver mais dez anos é 0,33. Qual a probabilidade de:
13.1. ambos estarem vivos dentro de dez anos?
13.2. pelo menos um estar vivo dentro de dez anos?
13.3. nenhum estar vivo dentro de dez anos?
13.4. somente a esposa estar viva dentro de dez anos?
14. Numa sondagem que envolveu 500 alunos de uma escola, verificou-se que 380 estudavam
Matemática, 80 Alemão e 30 estudavam Matemática e Alemão. Escolhendo um aluno ao
acaso da escola, qual a probabilidade que ele:
14.1. estude Matemática ou Alemão?
Introdução ao cálculo de probabilidades
3
14.2. não estude Matemática?
14.3. estude Matemática e Alemão?
15. Uma urna contém duas bolas verdes e quatro pretas, todas indistinguíveis ao tacto.
Efectuamos duas extracções, com reposição. Calcule a probabilidade de sair:
15.1. duas bolas verdes;
15.2. uma bola verde e uma preta, por esta ordem;
15.3. bolas de cores diferentes.
16. Considere o enunciado do exercício anterior, só que desta vez não é permitida a
reposição de bolas. Qual será então a probabilidade de sair.
16.1. duas bolas da mesma cor?
16.2. duas bolas de cor diferente?
17. O Alexandre guarda num armário o seu equipamento de praticar desporto. Tem 5
calções brancos, 2 azuis e 2 vermelhos. Tem ainda 2 t-shirt’s brancas, 1 azul e outra
vermelha. Um dia, com a pressa, veste-se às escuras. Qual é a probabilidade das cores
dos calções e da t-shirt coincidir?
18. Um cofre tem quatro rodas, tendo cada uma delas 16 letras, de A a Q.
18.1. Escolhendo uma letra em cada roda, quantos são os códigos possíveis?
18.2. Uma pessoa esqueceu-se do código, mas sabe que na primeira e última roda são
vogais diferentes e que a segunda roda é consoante. Quantos códigos satisfazem
estas condições? Qual a probabilidade da pessoa acertar à primeira tentativa?
18.3. Qual a probabilidade do código ser “AGPO”?
19. Uma caixa tem 30 chocolates, todos com o mesmo aspecto exterior. Desses chocolates, 10
tinham recheio de amêndoa e 20 de café.
19.1. Se tirarmos 2 chocolates ao acaso, qual a probabilidade de terem sabores
diferentes?
19.2. Se tirarmos, sucessivamente, 6 bombons, qual a probabilidade de:
19.2.1. só os dois primeiros terem recheio de café?
19.2.2. saírem sabores de forma alternada?
Prato do dia
20. À entrada de uma cantina está a seguinte ementa:
20.1. Quantos pratos do dia diferentes se pode organizar,
de acordo com a ementa?
(sopa+prato+sobremesa)
Sopas: caldo verde e canja
Pratos: filetes, salsichas e
frango
Sobremesa: laranja,
mousse e leite creme
Introdução ao cálculo de probabilidades
4
20.2. O Gonçalo, distraído na conversa, serviu-se ao acaso. Qual a probabilidade de o
Gonçalo:
20.2.1. não comer peixe?
20.2.2. comer mousse à sobremesa?
20.2.3. não comer canja, nem leite creme?
21. Um saco contém 5 bolas brancas, 4 azuis, 6 verdes e 3 pretas. Extraiu-se uma bola ao
acaso. Indique a probabilidade da bola ser:
21.1. branca ou azul;
21.2. não ser verde;
21.3. não ser verde nem preta;
21.4. ser branca ou azul ou verde.
22. Um sistema electrónico é formado por dois sistemas A e B. Por ensaios anteriores sabese que:
ƒ a probabilidade de A falhar é 20%;
ƒ a probabilidade de B falhar sozinho é 15%;
ƒ a probabilidade de A e B falharem é 15%.
Determine a probabilidade de:
22.1. B falhar;
22.2. apenas A falhar;
22.3. falhar A ou B;
22.4. não falhar A nem B;
22.5. A e B não falharem simultaneamente.
23. Sejam A e B dois acontecimentos, sendo P ( A) = 0, 4 , P ( B ) = 0, 5 e P ( A ∩ B ) = 0, 2 .
Determine as seguintes probabilidades:
23.1. P ( A ∪ B ) ;
(
)
P (A ∪ B ) .
23.2. P A ∩ B ;
23.3.
24. Extrai-se uma carta de um baralho de 40 cartas. Sendo A: “Sair copas”, B: “Sair figura”
e C: “Sair ás de copas”, determine:
24.1. P ( B A ) ;
24.2. P ( A B ) ;
24.3. P (C A ) .
Introdução ao cálculo de probabilidades
5
25. Considere a experiência aleatória, que consiste em observar num restaurante se, após a
refeição, os clientes pedem ou não sobremesa e se pedem ou não café.
Os dados registados revelam que 57% dos clientes pede sobremesa, 65% pede café e 25%
pede sobremesa e café. Sabendo isto, determine a probabilidade de, escolhendo um
cliente ao acaso:
25.1. pedir café ou sobremesa;
25.2. pedir café sabendo que pediu sobremesa;
25.3. pedir sobremesa, sabendo que pediu café;
25.4. não pedir café, nem sobremesa.
26. O quadro seguinte representa a repartição da população portuguesa pelos grupos
sanguíneos e, dentro de cada grupo, pelo factor Rhésus (RH- ou RH+).
A
O
B
AB
RH+ 39,9%
36%
7%
2,9%
RH-
6,1% 8,1% 3,3%
6,6%
Escolhendo ao acaso um indivíduo dessa população, qual a probabilidade de:
26.1. ter sangue do tipo A?
26.2. ter sangue do tipo RH-?
26.3. ter sangue do tipo RH+?
26.4. ter sangue do grupo A e factor RH-?
26.5. ter sangue de factor RH-, sabendo que é do grupo A?
27. Um indivíduo para se deslocar de casa para o trabalho costuma ir de viatura própria ou
de autocarro. Como prefere viajar em viatura própria escolhe esta opção 80% das vezes.
A probabilidade de chegar atrasado ao trabalho, se viajar em autocarro, é 18% e, se
viajar em viatura própria é 12%. Considere os seguintes acontecimentos:
A: “Chegar atrasado ao trabalho”;
B: “Chegar ao trabalho a horas”;
C: “Viajar em viatura própria”;
D: “Viajar em autocarro”.
27.1. Traduza, para linguagem corrente, os seguintes acontecimentos: P ( A \ D ) ,
P ( A \ C ) , P (C \ A) e P ( A ∪ C ) .
27.2. Calcule a probabilidade de cada um dos acontecimentos anteriores.
28. Num centro de explicações há 100 alunos. Destes, 49 têm explicações de Matemática e
19 de Física. Há 12 estudantes que têm explicação de ambas as disciplinas.
28.1. Qual a probabilidade de, ao seleccionar um estudante ao acaso, acontecer A: “Tem
explicações de Física”; B: “Tem explicações de Matemática e Física”.
Introdução ao cálculo de probabilidades
6
28.2. Suponhamos que entramos numa sala de aula onde estão os 19 alunos que têm
explicação de Física. Qual a probabilidade de seleccionarmos, ao acaso, um aluno e
esse tenha também explicações de Matemática?
29. Uma urna contém 40 bolas iguais ao tacto: 17 brancas e as restantes são vermelhas.
Todas as bolas se podem abrir e, em apenas 10 bolas, está no interior um papel com o
nome de um prémio surpresa, conforme a tabela seguinte:
Brancas Vermelhas
Com Surpresa
6
4
10
Sem Surpresa
11
19
30
17
23
40
Extrai-se uma bola.
29.1. Qual a probabilidade de a bola ter surpresa?
29.2. Qual a probabilidade de a bola ter surpresa, sabendo que a bola extraída é branca?
29.3. Uma pessoa tirou uma bola com surpresa, mas não se lembra da cor. Qual a
probabilidade de que a bola tenha sido branca?
30. Tiramos uma carta, ao acaso, de um baralho de 40 cartas. Em seguida, sem repormos a
primeira, tiramos uma segunda carta. Considere os acontecimentos:
A: “A primeira carta é de copas”
B: “A segunda carta é de copas”
Qual a probabilidade de que ambas as cartas sejam de copas?
31. Considere duas urnas U e V e um dado equilibrado. A urna U tem 6 bolas vermelhas e 4
azuis; a urna V tem 3 vermelhas, 6 azuis e 1 verde. Lança-se o dado. Se sair face 3,
extrai-se uma bola da urna U; se não sair face 3, extrai-se uma bola da urna V. Calcule
a probabilidade de:
31.1. sair bola azul, sabendo que saiu da urna U;
31.2. sair bola verde, sabendo que saiu da urna V;
31.3. sair bola verde;
31.4. sair bola vermelha.
32. Sejam A e B dois acontecimentos de um mesmo espaço de resultados S, com P ( B ) > 0 .
Mostre que P ( A B ) =
P (A ∩ B )
satisfaz as definições da axiomática de probabilidade.
P (B )
Introdução ao cálculo de probabilidades
7
33. Sejam A, B e C acontecimentos de um mesmo espaço de resultados S, com P ( B ) > 0 .
Mostre que:
(
)
33.1. P ( A B ) = 1 − P A B ;
33.2. P ( ( A ∪ C ) B ) = P ( A B ) + P (C B ) − P ( ( A ∩ C ) B ) ;
(
)
33.3. P A ∩ B = 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( A ∩ B ) ;
(
)
( )
33.4. P ( A ∪ B ) = P ( B ) + P A ∪ B − P A ;
33.5. P ( A B ) +
( )
(
P A −P A∩B
P (B )
) = 1.
34. Uma empresa tem empregados de 3 escalões: A, B e C. Realizou-se um referendo na
empresa sobre uma alteração no horário de trabalho e obtiveram-se os seguintes
resultados, em percentagem:
A
B
C
8
6
6
20
Não 20 24 36
80
Sim
28 30 42 100
34.1. Escolhendo, ao acaso, um empregado desta empresa, qual a probabilidade de que
tenham respondido “Sim” ao inquérito?
34.2. Qual a probabilidade de que tenha respondido “Sim”, sabendo que o empregado
está no escalão B?
35. Três máquinas, A, B e C, que produzem pregos asseguram, respectivamente, 15%, 30% e
55% da produção total. A percentagem de peças defeituosas fabricadas pelas máquinas é
de 2%, 5% e 6%, respectivamente. Suponha que se juntam todos os pregos fabricados e
que, aleatoriamente, se extrai um.
35.1. Qual a probabilidade de o prego seleccionado ser defeituoso?
35.2. Qual a probabilidade de o prego ser defeituoso, sabendo que foi feito pela máquina
B?
35.3. Se for extraído um parafuso defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido
fabricado pela máquina C?
36. Lançam-se três moedas equilibradas e anotam-se as faces viradas para cima. Considere
os acontecimentos A: “Saiu a face euro na primeira moeda” e B: “Saiu a face euro na
terceira moeda”. Os acontecimentos são independentes?
37. Considere dois jogos: “Totoloto” e “EuroMilhões”. Em qual deles apostaria para ganhar
o primeiro prémio?
Introdução ao cálculo de probabilidades
8
38. Dois atiradores, A e B, atiram simultaneamente para um alvo. A probabilidade de cada
um acertar no alvo é 0,7 e 0,6, respectivamente. Qual a probabilidade de:
38.1. o alvo ter sido atingido apenas pelo atirador A?
38.2. o alvo ser atingido apenas por um dos atiradores?
38.3. o alvo ser atingido?
39. Prove que, se A e B são dois acontecimentos independentes num espaço de resultados S,
então os seus respectivos acontecimentos contrários também o são.
40. Uma grave doença afecta o gado bovino de determinado país. Estima-se que 7% dos
bovinos são atingidos.
Pretende-se estudar a fiabilidade de um teste para diagnosticar a doença. Os dados
estabelecem que:
ƒ quando um animal está doente, o teste é positivo 87% das vezes;
ƒ quando um animal não está doente, o teste é negativo 98% dos casos.
Seja D o acontecimento “estar doente” e T o acontecimento “ter o teste positivo”.
40.1. Calcule a probabilidade dos três acontecimentos seguintes:
40.1.1. “estar doente e ter o teste positivo”;
40.1.2. “estar doente e não ter o teste positivo”;
40.1.3. “não estar doente nem ter o teste positivo”.
40.2. Deduza P (T ) .
40.3. Qual a probabilidade de:
40.3.1. um animal que tenha o teste negativo, estar doente?
40.3.2. um animal doente ter o teste negativo?
41. A Ana Maria tem 10 filmes em DVD, oito dos quais a cores. A Paula tem 9 filmes, dos
quais 3 são a preto e branco. Se pedir a cada uma delas um filme emprestado, e elas
escolherem ao acaso, qual a probabilidade dos filmes serem a cores?
42. Sejam A e B acontecimentos de um mesmo universo. Comente o valor lógico das
seguintes afirmações:
42.1. “Se P ( A) = P ( B ) , então A e B têm o mesmo número de elementos ”;
42.2. “ Se P ( A) + P ( B ) < 1, então A ∩ B = ∅ ”.
Introdução ao cálculo de probabilidades
9
43. Sejam A e B acontecimentos independentes de um mesmo universo. Mostre que:
( )
43.1. P ( A ∪ B ) = 1 − P A × P ( B ) ;
43.2. P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) .
44. Sejam
A
e
B
acontecimentos
de
um
mesmo
universo.
Prove
que
P ( A ∩ B ) ≤ P ( A) ≤ P ( A ∪ B ) .
45. Dispõe-se de duas urnas. A urna A tem duas bolas brancas e 3 bolas pretas; a urna B
tem 4 bolas pretas e 10 brancas. Transfere-se, sem a examinar, uma bola da urna A para
a urna B e, em seguida, extrai-se desta uma bola. Qual a probabilidade de a bola
extraída da urna B ser branca?
46. Em determinado exame existe apenas uma questão. Se o estudante sabe a matéria sobre
a qual vai ser avaliado é capaz de responder correctamente com uma probabilidade de
0,75. se não sabe a matéria terá uma probabilidade de 0,2 de responder correctamente.
O professor sabe que só 30% dos estudantes estão seguros sobre a matéria. Escolhido um
aluno ao acaso:
46.1. qual a probabilidade de ele responder correctamente?
46.2. e sabendo que ele responde correctamente, qual a probabilidade de saber a
matéria?
47. Considere dois acontecimentos A e B, tais que P ( A) ≠ 0 e P ( B ) ≠ 0 . Diz-se que A e B
são incompatíveis ⇔ A ∩ B = ∅ ⇔ P ( A ∩ B ) = 0 .
Diga,
justificando,
se
é
verdadeira
a
seguinte
implicação:
“ A e B incompatíveis ⇒ A e B independentes ”.
E a recíproca?
48. Considere dois acontecimentos A e B, tais que P ( A) ≠ 0 e P ( B ) ≠ 0 . Se A e B forem
( )
independentes, mostre que P ( B A ) = P ( B ) × P A .
49. Quando a operação de enchimento de moldes é efectuada à velocidade normal, a
probabilidade de um molde, seleccionado ao acaso, ter sido enchido correctamente é
0,95. Caso se opere a grande velocidade, esta probabilidade será igual a 0,9. Sabe-se que
80% dos moldes são enchidos à velocidade normal e os restantes a grande velocidade.
49.1. Qual a probabilidade de um molde, escolhido ao acaso, ter sido enchido
incorrectamente?
49.2. Uma vez seleccionado um molde enchido incorrectamente, qual a probabilidade de
a operação de enchimento ter sido efectuada à velocidade normal?
Introdução ao cálculo de probabilidades
10
50. Na fase final de produção de leitores de DVD’s, estes são considerados defeituosos se
possuírem manchas ou amolgadelas à superfície dos seus painéis frontais. Verificou-se
que o processo de produção conduz a que 10% dos leitores tenham manchas, 5%
amolgadelas e 1% tem manchas e amolgadelas.
50.1. Calcule a probabilidade de um leitor, seleccionado ao acaso, não ser defeituoso.
50.2. Estas imperfeições notam-se e podem afectar o preço do leitor. A probabilidade de
se registar uma alteração de preço quando o leitor possui manchas no painel
frontal é de 0,01, aumentando para 0,02 caso o leitor possua amolgadelas. Para
além disso, se o leitor possuir manchas e amolgadelas no painel, a referida
probabilidade é igual a 0,05, passando para 0,001 quando o painel não está
defeituoso. Calcule a probabilidade do preço de um leitor de DVD, escolhido ao
acaso, ser afectado.
51. Considere os acontecimentos A, B e C de probabilidade não nula. Sabe-se que:
ƒ C é incompatível com A e B;
ƒ dois dos acontecimentos são independentes entre si;
ƒ P ( A) = 0, 2 e P (C ) = 0,15 e P ( A ∩ B ) = 0, 06 .
Calcule P ( A ∪ B ∪ C ) .
52. Considere os acontecimentos A, B e C, tais que:
ƒ P ( B ) > 0;
ƒ P (C ) > 0 ;
ƒ B e C são independentes.
(
)
Prove que P ( A B ) = P ( A B ∩ C ) × P (C ) + P A B ∩ C × P (C ) .
53. Indique, justificando, o valor lógico da afirmação:
(
)
“ P B A = P ( B A) ⇒ A e B são acontecimentos independentes ”.
54. Considere dois acontecimentos A e B independentes, em que A tem probabilidade dupla
em relação a B. Determine a probabilidade de cada um deles, sabendo que é de 0,5 a
probabilidade de ocorrência de pelo menos um deles.
55. Seja A o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam G e O dois
acontecimentos possíveis (G ⊂ A e O ⊂ A ).
Prove que P (G ∪ O ) = 1 − P (G ) × P (O G ) .
Introdução ao cálculo de probabilidades
11
56. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas por quatro naipes
de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se,
sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Qual é a probabilidade de, pelo menos,
uma das cartas extraídas não ser do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma
de fracção irredutível.
57. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B
dois acontecimentos possíveis ( A ⊂ S e B ⊂ S ). Sabe-se que P ( A ∩ B ) = 0,1 ,
P ( A ∪ B ) = 0, 8 e P ( A B ) = 0, 25 .
Prove que A e A são acontecimentos equiprováveis.
58. Num saco existem algumas bolas, de um total de quinze, indistinguíveis ao tacto. Cinco
bolas são amarelas, cinco verdes e cinco brancas. Para cada uma das cores, as bolas
estão numeradas de 1 a 5. Se, ao retirar ao acaso uma bola se tem:
ƒ a probabilidade de essa bola ser amarela é 50%;
ƒ a probabilidade de essa bola ter o número 1 é 25%;
ƒ a probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o número 1 é 62,5%.
Prove que a bola amarela número 1 está no saco.
59. Três casais, os Fernandes, os Lobo e os Pimentel, vão ao cinema. Ficou decidido que
uma mulher, escolhida ao acaso de entre as três mulheres, paga três bilhetes, e que um
homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os três homens, paga os outros três
bilhetes. Qual é a probabilidade de o casal Fernandes pagar os seis bilhetes? Apresente o
resultado na forma de fracção.
60. De um baralho de cartas seleccionam-se seis cartas do naipe de Espadas: Ás, Rei, Dama,
Valete, Dez e Nove. Dispõem-se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa.
60.1. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do
meio sejam o Ás e o Rei, não necessariamente por esta ordem?
60.2. Quantas disposições diferentes são possíveis de modo a que o Rei não fique ao lado
da Dama?
Introdução ao cálculo de probabilidades
12
61. Um estudo feito a uma certa marca de iogurtes revelou que:
ƒ se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar
estragado é 0,005;
ƒ se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar
estragado é 0,65.
Considere que, num certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dos quais
dois estão fora do prazo. Escolhendo, ao acaso, um desses dez iogurtes, qual é a
probabilidade de ele estar estragado?
62. Considere um baralho de cartas completo.
62.1. Retirando, ao acaso, seis cartas desse baralho, qual é a probabilidade de, entre
elas, haver um só Rei? Apresente o resultado na forma de dízima, com
arredondamento às milésimas.
62.2. Do baralho completo agora extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição,
duas cartas. Sejam A, B e C os acontecimentos:
A: “Sair espadas na 1.ª extracção”;
B: “Sair copas na 2.ª extracção”;
C: “Sair uma figura na segunda extracção”.
Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de
P (C ∩ B A ) . Numa pequena composição explicite o raciocínio que efectuou. O
valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de
P (C ∩ B A ) no contexto da situação descrita.
63. Considere duas caixas: caixa A e caixa B. A caixa A contém duas bolas verdes e cinco
bolas amarelas. A caixa B contém seis bolas verdes e uma bola amarela.
Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
Se sair face 1, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A.
Caso contrário, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa B.
Considere os acontecimentos:
X: “Sair face par no lançamento do dado”;
Y: “Sair bola verde”.
Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P (Y X ) e,
numa pequena composição, justifique a sua resposta. Pode começar por indicar o
significado de P (Y X ) no contexto da situação descrita.
Introdução ao cálculo de probabilidades
13
64. Para
representar
Portugal
num
campeonato
internacional
de
andebol,
foram
seleccionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avançados.
64.1. Sabendo que o treinador da selecção nacional opta por que Portugal jogue sempre
com um guarda-redes, dois defesas e dois avançados, quantas equipas diferentes
pode ele constituir?
64.2. Um patrocinador da selecção nacional oferece uma viagem a cinco dos dez
jogadores seleccionados, escolhidos ao acaso.
Qual é a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados com essa
viagem?
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Questões de Escolha Múltipla
65. Ao analisar os resultados de um inquérito feito a 1000 alunos de uma escola verificou-se
que 150 praticam natação, 200 voleibol e 750 não praticam nenhuma destas duas
modalidades. Ao escolher-se, ao acaso, um dos alunos desta escola, a probabilidade de
que pratique ambas as modalidades é:
A. 0,1
B. 0,85
C. 0,15
D. 0,25
66. Uma caixa contém bombons de aspecto exterior igual, mas com recheios diferentes.
Destes, 64 têm recheio de morango, 38 recheio de banana e os restantes têm recheio de
café. Ao tirar um bombom, a probabilidade de que seja de café é de 25%. Então, a
probabilidade de ao tirar dois bombons da caixa e estes serem de morango é de,
aproximadamente:
A. 47%
B. 22%
C. 94%
D. 78%
67. Sejam A e B dois acontecimentos. Sabe-se que
P ( A) = 0, 5 ,
P ( B ) = 0, 7
e
P ( A ∪ B ) = 0, 65 . Qual a probabilidade do acontecimento A ∩ B ?
A. 0,55
B. 0,15
C. 0,45
D. 0,85
Introdução ao cálculo de probabilidades
14
68. Ao lançar em simultâneo dois dados não viciados, com as faces numeradas de 1 a 6, qual
será a o acontecimento mais provável?
A. A soma das faces ser 5
B. As faces apresentarem o mesmo valor
C. A soma das faces ser menor do que 5
D. A soma das faces ser maior ou igual que 9
69. Abriu-se um livro ao acaso, ficando à vista duas páginas numeradas. A probabilidade do
produto dos números dessas páginas ser ímpar é:
A. 1
B.
C. 0,5
D. Não se pode determinar
0
70. Uma urna tem dez bolas numeradas de 1 a 10 e indistinguíveis ao tacto. Tirou-se uma
bola e verificou-se que o seu número era 3 e não se repôs na urna. Tirando ao acaso uma
outra bola, a probabilidade de que o seu número seja ímpar é:
3
4
2
A. 0,5
B.
C.
D.
10
9
5
71. Um professor deixou cair os registos e as fotografias (que infelizmente não estavam
coladas) dos cinco primeiros alunos do 12.º K e apanhou ao acaso um registo e uma
fotografia. A probabilidade de que ambos sejam do mesmo aluno é:
1
1
A. 0,2
B.
C.
D.
25
10
0, 5
72. Sejam A e B dois acontecimentos incompatíveis, de um espaço de acontecimentos S. Se
P ( A) = 0, 3 , então P ( B ) é necessariamente:
A. 1
B.
C. 0,7
D. Maior ou igual a 0,7
Menor ou igual a 0,7
73. Seis amigos, três rapazes e três raparigas, vão assistir a um torneio de ténis e sentam-se
na mesma fila, ao acaso, uns ao lado dos outros. A probabilidade de ficarem sentados
alternadamente amigos de género oposto é:
1
A. 0,1
B.
20
C.
1
3
Introdução ao cálculo de probabilidades
D.
0, 5
15
74. Numa urna consideram-se 8 bolas numeradas de 1 a 8, todas indistinguíveis ao tacto.
Considere os acontecimentos:
ƒ P: “Sair bola com número par”;
ƒ Q: “Sair bola com número não superior a 5”.
O acontecimento contrário de P ∪ Q é:
A.
“Sair bola 5 ou bola 7”.
B.
“Sair bola 5”.
C.
“Sair bola 7”.
D.
“Sair bola com número superior a 5”.
75. Num saco estão cinco fichas numeradas de 1 a 5. Tiram-se, sucessivamente, as fichas,
uma a uma, sem reposição, até o saco ficar vazio. A probabilidade das fichas saírem por
ordem crescente de numeração é:
5
1
A.
B.
120
15
C.
1
3
1
120
D.
76. Seja S = {6, 7, 8} o espaço de resultados de uma experiência aleatória. Sabe-se que
6
P ({6, 7}) + P ({7, 8}) = . Então P ({7} ) é igual a:
5
1
3
1
1
A.
B.
C.
D.
2
5
3
5
77. Lança-se um par de dados cúbicos perfeitos. Se a soma das pontuações for 6, qual a
probabilidade de ter saído a face 1 num deles?
2
11
A.
B.
C.
5
36
1
3
D.
2
36
78. Um lavrador tem 24 coelhos brancos e alguns pretos. Escolhendo, ao acaso, um dos
coelhos, a probabilidade de ser branco é de 0,75. O número de coelhos pretos do lavrador
é:
A.
B.
8
32
C.
D.
24
6
79. Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas. Tira-se, ao acaso, uma bola do saco.
Sejam os acontecimentos:
A: “A bola retirada é azul”;
B: “A bola retirada é branca”.
Qual das afirmações é verdadeira?
A. A e B são contrários
B.
A e B são contrários
C. A e B são incompatíveis
D.
A e B são incompatíveis
Introdução ao cálculo de probabilidades
16
80. De
dois
(
acontecimentos
A
e
B
sabe-se
que
P ( A) = 0, 42 ,
P ( B ) = 0, 52
e
)
P A ∩ B = 0, 28 . Então, P ( A ∪ B ) é igual a:
A.
0,22
B.
0,52
C.
0,72
D.
0,94
81. A um carteiro faltava entregar apenas três cartas. Já cansado, baralhou-as. A
probabilidade de uma, pelo menos, chegar ao destinatário é:
1
4
2
A.
B.
C.
3
3
3
D.
1
6
82. Escolheram-se, aleatoriamente, dois vértices de um octaedro regular. A probabilidade do
centro do octaedro ser o ponto médio por eles definido é:
1
1
1
A.
B.
C.
15
5
30
D.
1
10
83. Cada uma de quatro pessoas lança um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a
6. Qual a probabilidade da soma dos números saídos ser 22?
1
10
1
A.
B.
C.
4
6
6
63
D.
3
64
84. Relativamente aos jogos que as equipas A e B, de hóquei em patins, disputam entre si,
os técnicos sabem que:
ƒ 37% das vezes é a equipa A a primeira a marcar;
ƒ 54% das vezes é a equipa B a primeira a marcar.
Qual é a probabilidade de, no próximo jogo entre as duas equipas, não haver golos?
A.
9%
B.
91%
C.
54%
D.
37%
85. Seja S o espaço de resultados associado a uma determinada experiência aleatória. Sejam
A e B dois acontecimentos contidos em S. Sabe-se que P ( A) = 0, 3 e P ( B ) = 0, 8 . Qual
dos números seguintes pode ser o valor de P ( A ∩ B ) ?
A.
0,80
B.
0,40
C.
0,20
D.
0,90
86. Uma caixa contém oito bombons, três dos quais são de laranja. Uma outra contém cinco
bombons, dois dos quais são de laranja. Tira-se ao acaso um bombom da primeira caixa
e, em seguida, um bombom da segunda caixa. A probabilidade de que apenas um seja de
laranja é:
A.
5
13
B.
19
40
C.
9
40
Introdução ao cálculo de probabilidades
D.
1
4
17
87. Seja S o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma
determinada experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos contidos em S,
nenhum deles impossível, nem certo. Sabe-se que B ⊂ A . Das afirmações seguintes
apenas uma está falsa. Indique qual.
A.
P (A B ) = 1
C.
P A ∪ B = P (B )
(
)
(
)
B.
P A∩B A = 0
D.
P (A ∪ B ) = 1
88. Um jovem á procura do primeiro emprego candidatou-se às vagas de duas empresas A e
B. Segundo o departamento de Recursos Humanos da empresa A, a probabilidade de ser
contratado é 60%, enquanto na empresa B a probabilidade de ser contratado é 35%.
Sabendo que a contratação do jovem pela empresa A é independente da sua contratação
pela empresa B, qual a probabilidade do jovem ser contratado?
A.
B.
0,74
C.
0,95
D.
0,70
0,86
89. Seja A um acontecimento possível, cuja probabilidade é diferente de 1. Qual é o valor da
probabilidade condicionada P ( A A ) ?
A.
0
B.
1
C.
P ( A)
D.
⎡⎣P ( A) ⎤⎦
2
90. Seja S o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma
certa experiência aleatória. Sejam X e Y dois acontecimentos ( X ⊂ S e Y ⊂ S ). Apenas
uma das afirmações não é equivalente à igualdade P ( X ∩ Y ) = 0 . Indique qual.
A.
X e Y são acontecimentos incompatíveis.
B.
X e Y não podem ocorrer simultaneamente.
C. Se X ocorreu, Y não pode ocorrer.
D.
X e Y são ambos impossíveis.
91. Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Considere os acontecimentos:
A: “Sair face ímpar”;
B: “Sair face de número maior ou igual a 4”.
Qual é acontecimento contrário de A ∪ B ?
A.
“Sair face 1 ou face 5”.
B.
“Sair a face 4 ou a face 6”.
C.
“Sair a face 2”.
D.
“Sair a face 5”.
Introdução ao cálculo de probabilidades
18
92. O Gonçalo escolhe, ao acaso, uma página de um jornal de oito páginas. O Ricardo
escolhe, ao acaso, uma página de uma revista de quarenta páginas. Qual a probabilidade
de ambos escolherem a página 5?
1
3
A.
B.
320
20
C.
1
48
5
48
D.
93. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer um dos cinco
jovens sabe conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois à frente
e três atrás, de modo a que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz?
A.
B.
36
120
C.
12
D.
72
94. Seja S o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma
certa experiência aleatória. Sejam X e Y dois acontecimentos ( X ⊂ S e Y ⊂ S ). Tem-se
que:
ƒ P ( X ∩ Y ) = 10% ;
ƒ P ( X ) = 60% ;
ƒ P ( X ∪ Y ) = 80%.
Qual é o valor da probabilidade condicionada P ( X Y ) ?
1
1
1
A.
B.
C.
5
4
3
D.
1
2
95. Num certo país existem três empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, B e C.
Independentemente do operador, os números de telemóvel têm nove algarismos. Os
números do operador A começam por 51, os do operador B por 52 e os do C por 53.
Quantos números de telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser
atribuídos nesse país?
A.
B.
139 630
143 620
C.
D.
156 250
165 340
96. Considere uma caixa com nove bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas de 1 a 9, e um
dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Lança-se o dado e tira-se, ao acaso,
uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de os números saídos serem ambos menores
que 4?
A.
1
9
B.
1
6
C.
5
27
Introdução ao cálculo de probabilidades
D.
5
54
19
97. O Alexandre utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola.
Considere os acontecimentos A: “O Alexandre vai de autocarro para a escola” e B: “O
Alexandre chega atrasado à escola”.
Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a seguinte afirmação: “Metade dos dias em
que vai de autocarro para a escola, o João chega atrasado”. Qual é essa igualdade?
A.
P ( A B ) = 0, 5
B.
P ( B A ) = 0, 5
C.
P ( A ∩ B ) = 0, 5
D.
P ( A ∪ B ) = 0, 5
98. Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, dois dos quais são de
Psicologia. De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois
primeiros livros, do lado esquerdo, sejam os de Psicologia?
A.
24
B.
36
C.
48
D.
60
99. O Gonçalo tem num bolso do casaco uma moeda de €0,50, duas moedas de €1 e três
moedas de €2. Retirando ao acaso, qual a probabilidade de, com elas, perfazer a quantia
exacta de €2,50?
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
100. Acabou o tempo de um jogo de basquetebol, e uma das equipas está a perder por um
ponto, mas tem ainda direito a dois lances livres.
O Alexandre vai tentar encestar.
Sabendo que este jogador concretiza, em média, 70% dos lances livres que efectua e que
cada lance livre concretizado corresponde a um ponto, qual é a probabilidade de o jogo
terminar empatado?
A.
0,70
B.
0,14
C.
0,21
D.
0,42
101. De quantas maneiras se podem sentar três raparigas e quatro rapazes, num banco de
sete lugares, sabendo que cada um dos extremos fica com uma rapariga?
A.
120
B.
240
C.
720
Introdução ao cálculo de probabilidades
D.
5040
20