ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1
CONVENÇÃO
n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3!
24 + 6
30
b) 7!
7.6.5.4.3.2.1
5040
Observe que:
4!+3!  7!
c)
10!
8!
=
10.9. 8!
8!
= 90
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
d)
50!49!
49!
50.49! – 49!
49!
49!(50 – 1)
49!
49
O conjunto solução de:
(n  1)!
 210 é:
(n  1)!
(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!
(n  1)!
 210
(n  1)!
(n + 1).n.(n – 1)!
(n – 1)!
m–3=1
m=4
m–3=0
m=3
= 210
Logo a soma dos valores de m é 7
(n + 1).n = 210
n2 + n – 210 = 0
n’ = 14
Determine a soma dos valores
de m que satisfazem a equação
(m – 3)! = 1
n’’ = - 15
(não convém)
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo,
estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento,
sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
independentes de modo que:
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
:
:
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.
Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas
com 3 letras e 4 algarismos?
(Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)
26
26
26
10
10 10
10
= 175. 760. 000
Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem
ser formados ?
Alguns números possíveis
244
244
244
244
244
:
:
:
3215
5138
0008
2344
0000
Usando o princípio fundamental da contagem:
244
10
10
10
10
= 10 000 números
fixo
Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão
atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De
quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?
100
99
= 9900 maneiras
USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
IMPORTA ORDEM
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
NÃO IMPORTA ORDEM
FORMULÁRIO
Pn = n!
p
A
n

n!
(n  p)!
n!
p
C 
n (n  p)! p!

No campeonato mundial de Fórmula 1 de 2009, participaram 25
pilotos, dos quais se destacaram o inglês Jenson Button, que foi o
campeão, o alemão Sebastian Vettel, que foi o vice-campeão e o
brasileiro Rubens Barrichello, que ficou com a terceira colocação.

Obviamente o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel,
Rubens Barrichello ) difere do agrupamento ( Sebastian Vettel,
Jenson Button, Rubens Barrichello ), pois neste caso a ordem no
grupo é um fator que o diferencia.

Se ao invés do brasileiro Rubens Barrichello, o terceiro colocado
tivesse sido o australiano Mark Webber, o agrupamento ( Jenson
Button, Sebastian Vettel, Mark Webber ) seria distinto do
agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens
Barrichello ), pois teríamos participantes diferentes nestes
agrupamentos.






Arranjo Simples
Em casos como este, com elementos distintos, onde tanto a
ordem de posicionamento no grupo, quanto a natureza dos
elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os
agrupamentos, estamos diante de um caso de arranjos simples.
Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número
total de possibilidades para os três primeiros colocados?
Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão
e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23
possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:
25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.


Exemplos
Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras
da palavra PADRINHO?

Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos
agrupados 8 a 8. Calculemos então A8, 8:

Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de
salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem
ser realizados entre os times participantes em turno e returno?
Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x
Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas,
então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa
a ordem dos elementos. Devemos calcular A10, 2:
Então:
Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.




Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando
corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três
primeiros colocados?

Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é
um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7
corredores e queremos saber o número de possibilidades de
chegada até a terceira posição, devemos calcular A7, 3:





Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma
promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e
paga apenas 2/3 do valor da mensalidade de cada um dos cursos
escolhidos.
Podemos facilmente perceber que alguém que tenha escolhido os
cursos de inglês, espanhol e alemão, fez as mesmas escolhas que
outro alguém que tenha escolhido alemão, inglês e espanhol, por
exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si, não gera
distinção entre uma escolha e outra.
Se alguém escolheu inglês, espanhol e alemão e outra pessoa
escolheu inglês, espanhol e francês, também claramente podemos
perceber que se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os
cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos escolhidos pela
outra pessoa.
Considerando-se os 5 idiomas disponíveis, qual o número
total de possibilidades se escolhermos três idiomas de cada
vez?
Neste caso do curso de idiomas, podemos obter o número total de
possibilidades, calculando inicialmente o arranjo simples A5, 3:



Só que fazendo assim, estamos considerando distintos, os
agrupamentos ( inglês, espanhol, alemão ) de ( espanhol, inglês,
alemão ), por exemplo, e de todas as suas permutações.
Como sabemos, a permutação de 3 elementos, P3 é igual a 3!,
que é igual a 6, portanto se dividirmos 60 por 6, estaremos
eliminando as ocorrências duplicadas em função da mera
mudança de ordem dos elementos. Assim sendo, 60 : 6 = 10.
Portanto o número de opções possíveis é igual a 10.


Combinação Simples
Este exemplo é o típico caso, onde agrupamentos com elementos
distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de
posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre
apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de
elementos. Neste caso estamos tratando de combinação
simples.



Fórmula da Combinação Simples
Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos
distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à
seguinte fórmula:
Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos:
Exemplos
 Com 12 bolas de cores distintas, posso
separá-las de quantos modos diferentes
em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas
em cada saco?
 Como a ordem das bolas não causa
distinção entre os agrupamentos, este é
um caso de combinação simples. Vamos
então calcular C12, 4:


Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de
frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas
a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de
sorvete disponíveis?

Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu,
na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo
distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas.
Temos um caso de combinação simples que será resolvido através
do cálculo de C7, 2:
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois
quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim
formadas é:
n = 8 “total”
p = 2 “usa”
A
C
n!
p
C 
n (n  p)! p!
8!
C2 
 28
8 (8  2)!2!
Corda AC = CA
COMBINAÇÃO
EX:1:Quantos números de 5 algarismos distintos formamos
com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
A(9,5) = 9!/(9-5)! = 9.8.7.6.5.4!/4! = 15 120
Ex:2: Um anagrama é um código formado pela transposição (troca)
de todas as letra de uma palavra, podendo ou não ter significado na
língua de origem. Por ex., BOCA e ABOC são anagramas da palavra
CABO.
Considere , agora, a palavra LIVRO.
a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra?
b) Quantos deles começam por L e terminam por O?
c) Quantos contêm as letras RO juntas e nessa ordem?
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO ( trocar de lugar)
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
Permutações com elementos repetidos
Permutações com
elementos repetidos
Se entre os n elementos
de um conjunto, existem
a elementos repetidos, b
elementos repetidos, c
elementos repetidos e
assim sucessivamente ,
o número total de
permutações que
podemos formar é dado
por:
Determine o número de anagramas
da palavra MATEMÁTICA.(não
considere o acento)
Pn(a,b,c,...) = n! / a!b!c!...
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o
acento)
7!
P 3,2,2 
 210
7
3! 2! 2!
8!
P 5,3 
 56
8
5 ! 3!
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se
mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O
número de pessoas presentes à reunião é:
n!
Cp

n (n  p)!p!
n = x “total”
p = 2 “usa”
José – Carlos
Carlos – José
COMBINAÇÃO
28 
x!
(x  2)!2!
28 
x(x - 1)(x - 2)
(x  2)!2.1
56 = x2 - x
x2 – x – 56 = 0
x=8
1. Quantas equipes de 2 astronautas, podem ser formadas
com 20 astronautas?

2. Quantas equipes de 3
astronautas, podem ser
formadas com 20
astronautas?

3. Quantas equipes de 4
astronautas, podem ser
formadas com 20
astronautas?

4. Quantas equipes
diferentes de vôlei podem
ser escaladas, tendo à
disposição 10 meninas que
jogam em qualquer
posição?
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal.
Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e
todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43
cumprimentos. O número de colorados é:
C2  C2
x  43
6
6!
x!

 43
(6  2)!2! (x  2)!2!
15 
x(x - 1)(x - 2)
 43
(x  2)!2.1
x2 – x =56
x2 – x – 56 = 0
x=8
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS
ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A equação
A 2x  12
A
2
x
04. Numa sala estão 5 professores e 6
= 12 não possui solução. alunos. O número de grupos que
podemos
formar,
tendo
2
professores e 3 alunos, é 30.
x!
 12
(x  2) !
x(x  1)(x  2) !
 12
(x  2) !
F
x(x – 1) = 12
x2 – x – 12 = 0
x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve).
02. Com a palavra CAJU podemos formar
24 anagramas
Pn =
V
n!
P4 = 4! = 24
ou  +
ex
C2 . C3
5
6
10 . 20  200
F
08. Na final do revezamento 4 x 100 m
livre masculino, no Mundial de Natação,
em Roma 2009, participaram: Estados
Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália,
África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os
distintos modos pelos quais poderiam ter
sido distribuídas as medalhas de ouro,
prata e bronze são em número de 56.
ARRANJO  P.F.C
8
7
6
=336
F
09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse
número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada
uma de um médico e quatro enfermeiros.
4
C15 . C10

5!
10 !
.

4 !.1!
6 !. 4 !
02. Entre os anagramas da palavra
considere o acento)
P32 
F
5 .210  1050
3!
3
2!
ÁGUA,
6
começam por consoante. (não
F
04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser
feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos.
3
C12

12 !
 220
9 !. 3 !
F
08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2,
5, 5, 5 e 6 é 180.
Terminados em 2
P63 
Terminados em 6
6!
 120
3!
P63,2 
6!
 60
3 !.2 !
 TOTAL: 180
V
1) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas
maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila?

2) As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de
5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda
onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser
agrupadas?

3)Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da
palavra ARARA?

4)Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1
bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e
incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De
quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de
bolas?