MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 52
CILINDRO
base
O r
h
(altura)
eixo
geratriz
O
r
base
e
O
H
R
H
R
O
H
SL
R
2πR
H
O
H
R
O
R
eixo
H
R
8 cm
12 cm
2 cm
8
12 cm
8 cm
2 cm
2 cm
8 cm
20 cm
12 cm
20 cm
O•
A
B
12 cm
D
C
A
1
O
60º
1
1
B
Como pode cair no enem
(UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma
superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.
20cm
60cm
40cm
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:
3
a) 10 2
d) 10 12
3
b) 10 2
e) 12 10
c) 10 12
Fixação
Texto referente às questões 1 e 2.
Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente
seu corpo conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas
de uma régua milimetrada.
1) (ENEM) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições
a serem realizadas é:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Fixação
2) (ENEM) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o
número mínimo de medições a serem realizadas é:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Fixação
3) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes
feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10cm (conforme ilustram as figuras a
seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em
seguida, os preenche completamente com parafina.
Tipo II
20cm
10cm
20cm
10cm
Tipo I
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:
a) O triplo;
d) A metade;
b) O dobro;
e) A terça parte.
c) Igual;
Fixação
4) (ENEM) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico para retirar parte do miolo
ade uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte
feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e 3 cm,
respectivamente.
3cm
A área da maior fatia possível é:
a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro.
b) três vezes a área da secção transversal do cilindro.
-c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro.
d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro.
e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro.
Fixação
5) (ENEM) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular
reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Desejase construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro
circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o
centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que
após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no
mínimo, 4 m3.
Considere 3 como valor aproximado para π.
Ilha de lazer
O
R
r
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará
mais próximo de:
a) 1,6c) 2,0e) 3,8
b) 1,7d) 3,0
Fixação
6) (UERJ) Um tonel cilíndrico, sem tampa e cheio de água, tem 10 dm de altura e raio da base
medindo 5 dm. Considerando π = 3,14, ao inclinarmos o tonel em 45°, o volume de água derramada, em dm³, é aproximadamente de:
a) 155
b) 263
c) 353
d) 392
Proposto
1) (ENEM) Em muitas regiões do estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:
I) Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.
h
II) O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.
III) O valor obtido com essa medida é multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo círculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte
para comercialização.
Pode-se admitir que essas perdas são da ordem de:
a) 30%
b) 22%
c) 15%
d) 12%
e) 5%
Proposto
-
2) (ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte
intervalos, de modo que a distancia entre duas graduações consecutivas representa sempre
o mesmo volume.
a)
.
A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é:
b)
c)
d)
e)
Proposto
3) (ENEM) Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r
e altura h , e outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa
a encher o outro.
h
Se R = r 2 e h2 = ––1 e, para encher o cilindro do meio,
3
foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo
cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão necessários:
a) 20 minutos.
b) 30 minutos.
c) 40 minutos.
d) 50 minutos.
e) 60 minutos.
r
R
Proposto
4) (UERJ) O volume de uma lata cilíndrica é 4π cm³ o custo de fabricação das bases é de R$
0,04 por cm2 e o custo de fabricação da lateral é de R$ 0,02 por cm2. O custo de fabricação da
lata (em R$) em função do raio R (em cm) das bases é:
1
a) 0,04π R² + ––
R
1
b) 0,06π R² + ––
R
2
c) 0,06π R² + ––
R
1
d) 0,08π R² + ––
R
2
e) 0,08π R² + ––
R
Proposto
5) (UFRJ) A casa da moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm de raio?
Proposto
-6) (UFRRJ) Um caminhão-pipa carrega 9,42 mil litros d’água. Para encher uma cisterna cilíndrica
?com 2 me-tros de diâmetro e 3 metros de altura são necessários, no mínimo:
a) 10 caminhões;
b) 100 caminhões;
c) 1 caminhão;
d) 2 caminhões;
e) 4 caminhões.
Proposto
7) (UFRJ) Mário e Paulo possuem piscinas em suas casas. Ambas têm a mesma profundidade
e bases com o mesmo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular reto e a de Paulo é
um prisma reto de base quadrada. A companhia de água da cidade cobra R$1,00 por metro
cúbico de água consumida.
a) Determine qual dos dois pagará mais para encher de água a sua piscina.
b) Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar o perímetro da base e a profundidade de sua piscina, mantendo, porém, a forma circular.
Determine quanto Mário pagará pela água para encher a nova piscina, sabendo-se que
anteriormente ele gastava R$ 50,00.
Proposto
8) (UFF) Uma peça de madeira, que tem a forma de um prisma reto com 50 cm de altura e
écuja secção reta é um quadrado com 6 cm de lado, custa R$ 1,00. Essa peça será torneada
opara se obter um pé de cadeira cilíndrico, com 6 cm de diâmetro e 50 cm de altura. O material
desperdiçado na produção do pé de cadeira deverá ser vendido para reciclagem por um preço
P igual a seu custo.
- Determine o preço P, considerando π = 3,14.
Proposto
9) (UERJ) Em um supermercado, podemos encontrar manteiga em dois tipos de embalagens
de forma cilíndrica:
• a menor tem raio da base medindo 4 cm, altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75;
• a maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual a 8 cm e custa R$ 4,00.
Supondo que a densidade da manteiga seja cons-tante, determine:
a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na embalagem maior;
b) a embalagem que apresenta o menor preço por unidade de medida.
Proposto
10) (ENEM) A figura a seguir mostra um reservatório de água na forma de cilindro circular reto,
com 6m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer,
por um dia 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água.
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do
uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por este reservatório
tenha feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação:
a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m.
b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia foi
igual a 60 cm.
c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no
6m
máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.
d) os moradores dessas casas economizaram mais de R$ 200,00 e o custo
de 1 m de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50.
e) Um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10%
menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as
casas.
Proposto
11) (UFF) As formas de queijo F1 e F2, representadas abaixo são cilíndricas, possuem raios,
respectivamente, R e r e a mesma altura h.
h
F1
h
F2
O queijo feito em F1 foi dividido em 8 fatias iguais e o queijo feito em F2 foi dividido em 6
fatias iguais, conforme a figura. Para que a fatia de queijo feito em F1 tenha o mesmo volume
que cada fatia de queijo feito em F2, a razão entre R e r deve ser:
2
a) ––
3
4
b) ––
3
2 3
c) –––
3
d) 3
e) 3 3
Proposto
12) (UERJ) Um recipiente cilíndrico de base circular, com raio R, contém uma certa quantidade
de líquido até um nível h0.
Uma estatueta de massa m e densidade ρ , depois de completamente submersa nesse
líquido, permanece em equilíbrio no fundo do recipiente. Em tal situação, o líquido alcança
um novo nível h. A variação (h - h0) dos níveis do líquido, quando todas as grandezas estão
expressas no Sistema Internacional de Unidades, corresponde a:
mp
a) –––2
πR
m2
b) –––––
p2π R2
m
c) ––––2
pπ R
pπR2
d) ––––
m
Proposto
13) (UERJ) Na figura ao lado, sobre a superfície lateral de um cilindro reto de altura
igual a 10 m e raio da base igual a 2m,
estica-se um barbante de A até B. Sabe-se que AD e BC são diâmetros paralelos,
que E é ponto médio do arco AED e que
o segmento FE é perpendicular à base do
cilindro. Pede-se a área AEF limitada pelo
barbante, pelo arco AE e pelo segmento FE.
C
B
A
D
E
Proposto
14) (FUVEST) O sólido da figura foi obtido seccionando um cilindro circular reto de 10 cm de
altura por um plano perpendicular às bases. Calcule o volume desse sólido.
1 cm
3 cm
3 cm
10 cm
Proposto
15) (ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Tei-xeira, precisa fazer café para servir as
vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe
de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
8 cm
20 cm
4 cm
4 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de
água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria
deverá:
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois elas têm um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois elas têm um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
Proposto
s16) (ENEM) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m
de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de
concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe
R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a:
a) R$ 230,40
d) R$ 54,56
b) R$ 124,00
e) R$ 49,60
c) R$104,16
.
.
.
Proposto
17) (ENEM) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que
pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa
medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter
o volume da tora em m³ a partir da medida do rodo e da altura da árvore.
O volume da tora em m2
é dado por
Tem 2
metros
de rodo
V = rodo2 x altura x 0,08
O rodo e a altura da
árvore devem ser
medidos em metros.
O coeficiente 0,06 foi
obtido experimentalmente
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de
madeira, de duas espécies diferentes, sendo:
• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m³;
• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m³.
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma
carga de, aproximadamente:
a) 29,9 toneladas
d) 35,3 toneladas
b) 31,1 toneladas
e) 41,8 toneladas
c) 32,4 toneladas
Proposto
a) b)
100 cm
100 cm
18) (ENEM) Alguns testes de preferência por
bebedouros de água foram realizados com
bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os
bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco
de cone circular reto, de altura igual a 60 cm,
e diâmetro da base superior igual a 120 cm
e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é
um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm
de comprimento e 60 cm de largura. Os três
recipientes estão ilustrados na figura.
120 cm
60 cm
60 cm
60 cm
100 cm
c) e)
60 cm
60 cm
d)
100 cm
60 cm
60 cm
80 cm
60 cm
Bebedouro 1
Bebedouro 1
60 cm
100 cm
30 cm
Bebedouro 3
(A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009
[adaptado].)
Considerando que nenhum dos recipientes
tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?
100 cm
60 cm
Proposto
19) (ENEM) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida
da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar
um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.
4m
6m
4m
6m
8m
8m
(I)
(II)
(III)
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π ≅ 3)
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 1 .
3
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 4 .
3
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 3 .
4
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 2 .
3
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 7 .
12
Proposto
20) (UFF) O professor J.C.S. Florençano, da
Universidade de Taubaté / SP, está construindo
uma casa que aproveita a água da chuva. O
sistema é simples, fácil e, principalmente, barato (...) um melhoramento do que já era feito nos
castelos medievais. A água da chuva é captada
por um sistema de calhas e direcionada para
uma primeira caixa, onde ocorre o processo
natural de decantação. A segunda e terceira
caixas-d’água servem como reservatório.
(Adaptado de http://noticias.terra.com.br/ciencia/
ingterna/0,OI500368EI300,00.html)
A figura a seguir representa uma possibilidade para o sistema de reservatório do
professor, formado por duas caixas-d’água
de mesma altura e mesmo volume: a primeira
tem forma de um paralelepípedo retangular e
a segunda, de um cilindro circular reto.
Considerando D, o diâmetro da caixa cilíndrica e A e B, as medidas do comprimento e
da largura da base da caixa retangular (todas
as medidas em uma mesma unidade de comprimento), pode-se afirmar que:
a) D² > AB
b) D² = AB
AB
c) ––– < D² < AB
2
AB
d) D² = –––
2
AB
e) D² < –––
2
Proposto
21) (UFF) Em certo posto de gasolina, há um
tanque com a forma de um cilindro circular
reto, com 5 m de altura e diâmetro da base 2
m, mantido na horizontal, sob o solo. Devido
à corrosão, surgiu, em sua parede, um furo
situado 13 cm acima do plano horizontal que
o apoia, conforme ilustrado na figura:
5m
2m
13 cm
O combustível vazou até que seu nível
atingiu a altura do furo, em relação ao plano
em que o tanque está apoiado. Indicando-se
por V o volume desse tanque e por v o volume
do combustível restante, considerando-se
3
–– = 0,87 e π = 3,14, pode-se afirmar que:
2
v
a) 0,20 < –– < 0,30
V
v
b) 0,10 < –– < 0,20
V
v
c) 0,05 < –– < 0,10
V
v
d) 0,01 < –– < 0,05
V
v
e) –– < 0,01
V
Proposto
22) (UFF) Num recipiente em forma de cilindro reto, com raio da base 2 cm e altura 6 3 cm (figura 1),
qual deve ser o maior ângulo (figura 2) que o plano da base do cilindro deve fazer com o plano de apoio
( β ) para que a água não se derrame ao se inclinar o cilindro?
V = 16√3 π cm3
16√3 cm
água
água
2 cm
Figura 1
α
Figura 2
β