Prof. A.F.Guimarães
Física 3 – Questões 9
Joule. O módulo de B na superfície do fio é igual a
ͺǡͷ ή ͳͲିଷ ܶ. Encontre o diâmetro do fio.
Um fio retilíneo de raio R conduz uma corrente Resolução:
constante i; outro fio retilíneo de mesmo raio Na superfície do fio, o módulo do campo
conduz uma corrente contínua i cujo sentido é magnético é dado por:
contrário ao da corrente que flui no outro fio.
ߤ଴ ݅
Estime o módulo do campo magnético B para
ή
‫ܤ‬ൌ
ʹߨ ܴ
pontos externos aos dois fios, isto é, para
(2.1)
distâncias r (ao centro de um dos fios) maiores do
que 3R. Suponha que os dois fios possuam uma
fina camada de isolante e que eles estejam em Substituindo os valores em (2.1), teremos:
contato lateral.
Ͷߨ ή ͳͲି଻ ͸Ͳ
ଷ
Resolução:
ή ‫ ܴ ׵‬ൌ ͳǡͶ ή ͳͲିଷ ݉
ͺǡͷ ή ͳͲ ൌ
ʹߨ
ܴ
Considere a figura abaixo.
‫ ܦ ׵‬ൌ ʹǡͺ ή ͳͲିଷ ݉
(2.2)
Questão 1
2
2R
Questão 3
1
x
3R
Quatro
longos
fios
são
dispostos
ortogonalmente ao plano da página, como mostra
a figura 3.1, sendo cada um deles percorrido, no
sentido indicado, por uma corrente i. Determine o
vetor B resultante no centro do quadrado.
2R
Figura 1.1
Tomando o contorno dado pela circunferência de
raio igual a 3R, teremos, de acordo com a lei de
Ampère:
۪
ۨ
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅ ்
ර‫ܤ‬
ȈP
a
(1.1)
ۨ
۪
Em que ݅ ் é a intensidade de corrente total
a
presente dentro do contorno. Como os dois
condutores (1 e 2) transportam correntes com a
Figura 3.1
mesma intensidade, porém de sentidos contrários,
a integral em (1.1) será nula. Logo, o campo, para Resolução:
esse contorno será nulo. E para qualquer contorno O módulo do campo produzido por uma corrente
com raio superior a 3R.
transportada em um fio condutor é dado por:
ߤ଴ ݅
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
(3.1)
Questão 2
‫ܤ‬ൌ
Num condutor cilíndrico pode passar uma
corrente máxima de 60 A, sem que ocorra fusão de
nenhuma parte do fio em consequência do efeito Em que r é a distância ortogonal ao condutor, e
externo a ele.
1
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Sejam as correntes 1, 2, 3 e 4, conforme indica a ao longo de uma das quatro diagonais; dê a
resposta para cada uma das quatro direções
figura 3.2.
respectivas diagonais. Considere: ܽ ൌ ͶͲܿ݉ǡ ݅ ൌ
ͳͲ‫ܣ‬.
1
2
۪
ۨ
Resolução:
ሬሬԦࡾ
࡮
O elétron, no ponto P, estará sujeito a uma força
ሬሬሬሬሬԦ
ሬ૚
ሬԦ
ሬሬԦ૛ ࡮
࡮
ሬሬԦ૝
magnética dada por:
࡮
ሬሬԦ
࡮૜
a
ȈP
ሬԦோ
‫ܨ‬Ԧ஻ ൌ െ݁‫ݒ‬Ԧ ‫ܤ ר‬
(4.1)
ۨ
4
a
۪3
O módulo do campo resultante em P, utilizando o
resultado de (3.4) será:
Figura 3.2
ͺ ή ͳͲି଻ ή ͳͲ
‫ܤ‬ோ ൌ
ൌ ʹ ή ͳͲିହ ܶ
ͲǡͶ
(4.2)
Cada corrente produz um campo no ponto P dado
por:
O módulo da força magnética é dado por:
ߤ଴ ݅
‫ܤ‬ଵ ൌ ‫ܤ‬ଶ ൌ ‫ܤ‬ଷ ൌ ‫ܤ‬ସ ൌ ‫ ܤ‬ൌ
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
(3.2)
Em que ‫ ݎ‬ൌ
‫ܨ‬஻ ൌ ݁‫ܤݒ‬ோ ‫ߠ݊݁ݏ‬
(4.3)
௔ξଶ
ଶ
. Assim, o resultado de (3.2) fica:
‫ܤ‬ଵ ൌ ‫ܤ‬ଶ ൌ ‫ܤ‬ଷ ൌ ‫ܤ‬ସ ൌ ‫ ܤ‬ൌ
(3.3)
ʹξʹߤ଴ ݅
ή
Ͷߨ
ܽ
Qualquer que seja a direção do movimento do
elétron, conforme foi sugerido, o valor do seno é
sempre o mesmo: ‫ ߠ݊݁ݏ‬؆ Ͳǡ͹ͳ. Assim, o módulo
da força, qualquer que seja a orientação do
movimento, será:
De acordo com a regra da mão direita, os vetores
ሬԦଵ ǡ ‫ܤ‬
ሬԦଶ ǡ ‫ܤ‬
ሬԦଷ ‡‫ܤ‬
ሬԦସ se orientam conforme mostra a
‫ܤ‬
figura 3.2. Assim, o vetor resultante será orientado
na vertical conforme mostra a referida figura e
terá módulo dado por:
‫ܤ‬ோ ൌ ʹ‫ܤ‬ξʹ
ʹߤ଴ ݅
‫ܤ ׵‬ோ ൌ
ߨܽ
(3.4)
‫ܨ‬஻ ൌ ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽ ή ͳͲ଺ ή ʹ ή ͳͲିହ ή Ͳǡ͹ͳ
‫ܨ ׵‬஻ ൌ ʹǡ͵ ή ͳͲିଵ଼ ܰ
(4.4)
Questão 5
Dois fios longos e paralelos, separados por uma
distância d, transportam correntes de sentidos
opostos, como mostra a figura 5.1. (a) Mostre que
o valor de B no ponto P equidistante dos fios, é
dado por:
Questão 4
‫ܤ‬ൌ
ଶఓబ ௜ௗ
Tome como referência a questão anterior.
Suponha que um elétron se desloque ao longo de (b) Qual o sentido de B?
uma diagonal qualquer indicada na figura 3.1 com
ۨ
uma velocidade ‫ ݒ‬ൌ ͳͲ଺ ݉ ή ‫ି ݏ‬ଵ (no instante em
d
R
que ele passa pelo ponto P). Calcule o módulo da
۪
força magnética que atua sobre o elétron no ponto
P. Suponha que o elétron se dirija para o ponto P
Figura 5.1
2
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.
గሺସோమ ାௗమ ሻ
P
Resolução:
Questão 6
a) A distância dos fios até o ponto P é dada por:
Considere a questão anterior. Suponha que o
ponto P esteja situado no centro do segmento que
ଵ
ଶ ଶ
une
os dois fios. Calcule o módulo da indução
݀
‫ ݔ‬ൌ ቆܴଶ ൅ ቇ
magnética neste ponto para os seguintes casos: (a)
Ͷ
as correntes possuem sentidos contrários. (b) as
(5.1)
duas correntes estão no mesmo sentido.
Resolução:
O módulo de B produzido por cada corrente no
a) De acordo com a regra da mão direita, os dois
ponto P é dado por:
campos produzidos pelas correntes terão a
mesma orientação, conforme mostra a figura 6.1.
ߤ଴ ݅
‫ܤ‬ൌ
ή
ʹߨ ‫ݔ‬
ۨ
(5.2)
P Ȉ
Ȉ
Da figura 5.2 podemos observar que o módulo do
campo resultante é dado por:
‫ܤ‬ோ ൌ ʹ‫ߙ݊݁ݏܤ‬
(5.3)
d
ۨ
۪
x
R
Ƚ
۪
Podemos utilizar o resultado (5.5) para R = 0.
Assim, teremos:
B
P
Ƚ
‫ܤ‬ோ ൌ
Em que o ‫ ߙ݊݁ݏ‬é dado por:
ʹߤ଴ ݅
݀
ή
ଶ
ߨ ሺͶ ή Ͳ ൅ ݀ ଶ ሻ
ʹߤ଴ ݅
‫ܤ ׵‬ோ ൌ
ή
ߨ ݀
(6.1)
b) Para o caso em questão, os campos produzidos
no ponto P terão sentidos opostos, de acordo com
a regra da mão direita, conforme ilustra a figura
6.2. Logo o campo resultante será nulo.
݀
‫ ߙ݊݁ݏ‬ൌ
ʹ‫ݔ‬
(5.4)
Na figura 5.2, os vetores foram orientados de
acordo com a regra da mão direita. Utilizando
(5.1), (5.2), (5.3) e (5.4), teremos:
ߤ଴ ݅
ή
ߨ
ͳ
ଵή
݀
ۨ
ሬ࡮Ԧ૛
ଵ ݀ଶ ଶ
݀ଶ ଶ
൰ ʹ ൬ܴଶ ൅ ൰
Ͷ
Ͷ
ʹߤ଴ ݅
݀
‫ܤ ׵‬ோ ൌ
ή
ߨ ሺͶܴଶ ൅ ݀ ଶ ሻ
(5.5)
൬ܴଶ ൅
ሬԦ૛
࡮
Figura 6.1
Figura 5.2
‫ܤ‬ோ ൌ
ሬሬԦ૚
࡮
P Ȉ
Ȉ
ሬሬԦ૚
࡮
ۨ
Figura 6.2
Questão 7
b) Orientado na horizontal apontando para a
Dois longos fios retilíneos, separados pela
direita.
distância d (10 cm) são ambos percorridos por
uma corrente i (100 A). A figura 7.1 representa
3
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uma seção transversal, com os fios dispostos sua orientação será dada conforme ilustra a figura
ortogonalmente à página, e o ponto P colocado 7.3.
como indica a figura. Determine o módulo e a
direção do campo magnético em P, quando a
ሬԦܴ
‫ܤ‬
corrente no fio da esquerda aponta para forma da
ሬԦଵ ‫ܤ‬
P
ሬ‫ܤ‬Ԧଶ
página e a corrente no fio da direita aponta (a) na
mesma direção, (b) na direção oposta.
P
R
i
݅ଵ ۨ
R
d
Figura 7.3
Utilizando os dados numéricos teremos:
i
d
Figura 7.1
࢏ ۪૛
݀ ൌ ܴξʹ ‫ ܴ ׵‬ൌ
Ͳǡͳ
݉
Resolução:
ξʹ
a) Acredito que a questão esteja cobrando o
(7.3)
campo resultante para as correntes no mesmo
sentido, pois a direção é a mesma, a saber: Substituindo (7.3) em (7.2), teremos:
perpendicular ao plano da página. Para esse caso,
os campos estarão orientados, conforme a regra
‫ܤ‬ோ ൌ Ͷ ή ͳͲିସ ܶ
da mão direita, de acordo com a figura7. 2.
(7.4)
ሬ‫ܤ‬Ԧܴ
݅ଵ ۨ
ሬԦଵ ‫ܤ‬
Questão 8
P
ሬԦଶ
‫ܤ‬
࢏૛ ۨ
d
Figura 7.2
Um cilindro comprido, com seu eixo orientado
ao longo do eixo Oz, possui uma densidade de
corrente ‫ܬ‬Ԧ. A densidade de corrente, embora seja
simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é
constante e varia de acordo com a relação:
Os campos terão módulos dados por:
‫ܤ‬ଵ ൌ ‫ܤ‬ଶ ൌ ‫ ܤ‬ൌ
‫ܬ‬Ԧ ൌ
ߤ଴ ݅
ή
ʹߨ ܴ
ʹ݅଴
‫ ݎ‬ଶ
൤ͳ
െ
ቀ
ቁ ൨ ݇෠
ܽ
ߨܽଶ
‫ܬ‬ൌͲ
’ƒ”ƒ‫ ݎ‬൑ ܽǡ
’ƒ”ƒ‫ ݎ‬൒ ܽǡ
onde a é o raio do cilindro, r é a distância radial
entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e ݅଴
Devido à simetria da disposição das correntes com é uma constante dada em ampères. A) Mostre que
݅଴ é a corrente total que passa através da seção
o ponto P, teremos para o campo resultante:
reta do fio. B) Usando a lei de Ampère, deduza
ߨ
uma expressão para o módulo do campo
‫ܤ‬ோ ൌ ʹ‫ ݏ݋ܿܤ‬
ሬԦ na região ‫ ݎ‬൒ ܽ. C) Obtenha uma
Ͷ
magnético ‫ܤ‬
ߤ଴ ݅ ξʹ
expressão para a corrente i contida em uma seção
‫ܤ ׵‬ோ ൌ
ή
reta circular de raio ‫ ݎ‬൑ ܽ e centralizada sobre o
ʹߨ ܴ
(7.2)
eixo do cilindro. D) Aplicando a lei de Ampère,
deduza uma expressão para o módulo do campo
b) Mesmo para essa configuração, o campo
resultante terá o módulo dado por (7.2), porém a
(7.1)
4
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ሬԦ na região ‫ ݎ‬൑ ܽ. Como se comparam Em que a integração foi realizada até um ponto
magnético ‫ܤ‬
interno à seção reta do condutor ሺ‫ ݎ‬൑ ܽሻ.
os resultados dos itens (B) e (D) para r = a?
Resolução:
a) Para encontrar a corrente total, temos que d) Utilizando a lei de Ampère (8.3), teremos:
integrar a função densidade de corrente para toda
Ͷ݅଴ ‫ ݎ‬ଶ
‫ݎ‬ସ
área da seção transversal. Assim, temos:
‫ ܤ‬ή ʹߨ‫ ݎ‬ൌ ߤ଴ ή ଶ ቆ െ ଶ ቇ
ܽ
ʹ Ͷܽ
஺
ʹߤ
‫ݎ‬
‫ݎ‬ଷ
݅
଴ ଴
݅௧ ൌ න ‫ܬ‬Ԧ ή ݀‫ܣ‬Ԧ
‫ܤ׵‬ൌ
ቆ െ
ቇ
ߨܽଶ ʹ Ͷܽଶ
଴
(8.1)
(8.6)
Em que ݀‫ ܣ‬ൌ ʹߨ‫ ݎ‬ή ݀‫ݎ‬. Assim, utilizando a Fazendo em (8.4) e (8.6), r = a, teremos os
expressão da densidade de corrente em (8.1), mesmos resultados.
teremos:
Questão 9
‫ ݎ‬ଶ
ʹ݅଴ ௔
݅௧ ൌ ଶ න ൤ͳ െ ቀ ቁ ൨ ʹߨ‫ݎ݀ݎ‬
ܽ
ߨܽ ଴
௔
‫ݎ‬ଷ
Ͷ݅଴
݅௧ ൌ ଶ න ቆ‫ ݎ‬െ ଶ ቇ ݀‫ݎ‬
ܽ ଴
ܽ
ଶ
ସ ௔
Ͷ݅଴ ‫ݎ‬
‫ݎ‬
݅௧ ൌ ଶ ቈ െ ଶ ቉ ‫݅ ׵‬௧ ൌ ݅଴
ܽ ʹ Ͷܽ ଴
(8.2)
Um cilindro comprido, com seu eixo orientado
ao longo do eixo Oz, possui uma densidade de
corrente ‫ܬ‬Ԧ. A densidade de corrente, embora seja
simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é
constante, porém varia de acordo com a relação:
ܾ ሺ௥ି௔ሻ
‫ܬ‬Ԧ ൌ ൬ ൰ ݁ ఋ ݇෠
‫ݎ‬
‫ܬ‬ൌͲ
b) Utilizando a lei de Ampère:
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅
ර‫ܤ‬
(8.3)
Em que i é a corrente dentro da curva amperiana.
Para os pontos externos ao condutor, poderemos
tomar uma circunferência como a nossa curva
amperiana e integrar ao longo dessa curva.
Levando em consideração que a corrente dentro
da curva é a corrente total, teremos, de (8.3):
‫ ܤ‬ή ʹߨ‫ ݎ‬ൌ ߤ଴ ݅଴ ‫ ܤ ׵‬ൌ
(8.4)
Em que ‫ ݎ‬൐ ܽ.
ߤ଴ ݅଴
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
c) De forma semelhante ao que foi efetuado no
item (a), teremos:
݅ൌ
Ͷ݅଴ ‫ ݎ‬ଶ
‫ݎ‬ସ
ቆ
െ
ቇ
ܽଶ ʹ Ͷܽଶ
(8.5)
‫ ݎܽݎܽ݌‬൑ ܽǡ
‫ ݎܽݎܽ݌‬൒ ܽǡ
onde a é o raio do cilindro e r é a distância radial
entre o ponto considerado e o eixo do cilindro, b é
uma constante igual a ͸ͲͲ‫ ܣ‬ή ݉ିଵ , e ߜ é uma
constante igual a 2,50 cm. A) Seja ݅଴ a corrente
total que passa através da seção reta do fio.
Obtenha uma expressão para a corrente ݅଴ em
termos de b, ߜ e a. Faça os cálculos para obter o
valor numérico de ݅଴ . B) Usando a lei de Ampère
deduza uma expressão para o módulo do campo
ሬԦ na região ‫ ݎ‬൒ ܽ. Expresse o resultado
magnético ‫ܤ‬
em função de ݅଴ em vez de b. C) Obtenha uma
expressão para a corrente i contida em uma seção
reta circular de raio ‫ ݎ‬൑ ܽ e centralizada sobre o
eixo do cilindro. Expresse o resultado em função
de ݅଴ em vez de b. D) A partir da lei de Ampère,
deduza uma expressão para o módulo do campo
ሬԦ na região ‫ ݎ‬൑ ܽ. E) Calcule o módulo
magnético ‫ܤ‬
do campo magnético para ‫ ݎ‬ൌ ߜǡ ‫ ݎ‬ൌ ܽ݁‫ ݎ‬ൌ ʹܽ.
Resolução:
a) Vamos integrar a função densidade de corrente
para toda a seção reta do condutor. Assim,
teremos a corrente total. Logo:
5
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݁ ሺ௥ି௔ሻΤఋ
ή ‫ ݎ‬ή ݀‫ݎ‬
‫ݎ‬
଴
‫݅ ׵‬଴ ൌ ʹߨܾߜ൫ͳ െ ݁ ି௔Τఋ ൯
(9.1)
௔
e) Para ‫ ݎ‬ൌ ߜ:
݅଴ ൌ ʹߨܾ න
ߤ଴ ݅଴ ݁ ି௔Τఋ ሺ݁ െ ͳሻ
ή ή
ʹߨ ߜ ሺͳ െ ݁ ି௔Τఋ ሻ
(9.8)
‫ܤ‬ൌ
Substituindo os valores numéricos em (9.1),
Para ‫ ݎ‬ൌ ܽ‘—‫ ݎ‬ൌ ʹܽ, teremos o resultado dado
teremos:
por (9.3).
݅଴ ൌ ͵Ͳߨሺͳ െ ݁ ିସ଴௔ ሻ
Obs.: A questão não ofereceu o raio do condutor,
(9.2)
logo optei por não utilizar os valores numéricos
nos itens de (b) até (e).
b) Para ‫ ݎ‬൒ ܽ, teremos:
Questão 10
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅଴
ර‫ܤ‬
ߤ଴ ݅଴
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
(9.3)
Num condutor cilíndrico maciço (de raio b) flui
uma corrente total ݅଴ através da seção reta do
cilindro. A densidade de corrente varia com a
distância ao eixo do cilindro de acordo com a
c) Para ‫ ݎ‬൑ ܽ, integramos conforme foi efetuado relação: ‫ ܬ‬ൌ ‫ݎܣ‬, onde r é a distância ao eixo
no item (a), porém até um ponto do interior do central e A é uma constante com dimensão de
condutor. Assim, teremos:
corrente sobre ‫ܮ‬ଷ . Determine o módulo da indução
magnética para os pontos: (a) externos ao
௫ ሺ௥ି௔ሻ
condutor ሺ‫ ݎ‬൐ ܾሻ, (b) internos ao condutor
݅ ൌ ʹߨܾ න ݁ ఋ ݀‫ݎ‬
ሺ‫ ݎ‬൏ ܾ ሻ .
଴
ሺ௫ି௔ሻ
ି௔
Resolução:
‫ ݅ ׵‬ൌ ʹߨܾߜ ൤݁ ఋ െ ݁ ఋ ൨
a) Para ‫ ݎ‬൐ ܾ, teremos:
(9.4)
‫ܤ׵‬ൌ
݅଴ ൌ න ‫ܣ݀ܬ‬
Agora, utilizando o resultado de (9.1) em (9.4) e
trocando x por r, teremos:
௕
݅଴ ൌ ʹߨ‫ ܣ‬න ‫ ݎ‬ଶ ݀‫ݎ‬
଴
൫݁ ሺ௥ି௔ሻΤఋ െ ݁ ି௔Τఋ ൯
݅ ൌ ݅଴ ή
ሺͳ െ ݁ ି௔Τఋ ሻ
(9.5)
d) Para o campo na região do item (c), teremos:
ʹߨ‫ܾܣ‬ଷ
‫݅ ׵‬଴ ൌ
͵
(10.1)
Utilizando a lei de Ampère, temos:
ߤ଴ ݅଴
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
(10.2)
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅
ර‫ܤ‬
‫ܤ‬ൌ
ߤ଴ ݅
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
(9.6)
‫ܤ׵‬ൌ
Utilizando o resultado de (9.5) em (9.6), teremos:
‫ܤ‬ൌ
ሺ௥ି௔ሻΤఋ
Utilizando o resultado de (10.1) em (10.2),
teremos:
ߤ଴ ‫ܾܣ‬ଷ
͵‫ݎ‬
(10.3)
‫ܤ‬ൌ
ି௔Τఋ ൯
െ݁
ߤ଴ ݅଴ ൫݁
ή ή
ሺͳ െ ݁ ି௔Τఋ ሻ
ʹߨ ‫ݎ‬
(9.7)
6
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b) Para ‫ ݎ‬൏ ܾ, teremos:
݅ ή ‫ݎ‬ଶ
݅Ԣ ൌ ଶ
ܽ
(11.1)
݅ ൌ න ‫ܣ݀ܬ‬
௫
݅ ൌ ʹߨ‫ ܣ‬න ‫ ݎ‬ଶ ݀‫ݎ‬
Agora, aplicando a lei de Ampère e utilizando
(11.1), teremos:
଴
ʹߨ‫ ݔܣ‬ଷ
‫݅׵‬ൌ
͵
(10.4)
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅ ᇱ ර‫ܤ‬
ߤ଴ ݅ ή ‫ݎ‬
ή
ʹߨ ܽଶ
(11.2)
Pela lei de Ampère temos:
‫ܤ׵‬ൌ
ߤ଴ ݅
ή
ʹߨ ‫ݎ‬
(10.5)
‫ܤ‬ൌ
b) Para ܽ ൏ ‫ ݎ‬൏ ܾ, temos para a corrente dentro
da curva amperiana, toda a corrente do condutor
Utilizando o resultado de (10.4) em (10.5) e interno. Assim, teremos:
mudando de x para r, teremos:
ߤ଴ ݅
ή
‫ܤ‬
ൌ
ʹߨ ‫ݎ‬
ߤ଴ ‫ ݎܣ‬ଶ
‫ܤ‬ൌ
(11.3)
͵
(10.6)
c) Para ܾ ൏ ‫ ݎ‬൏ ܿ, temos para a corrente:
Questão 11
Um longo cabo coaxial é constituído por dois
condutores concêntricos cujas dimensões estão
especificadas na figura 11.1. Os dois condutores
são percorridos, em sentidos opostos, por
correntes i, de mesma intensidade. (a) Calcule o
campo magnético B num ponto do condutor
interno, que dista r do seu centro ሺ‫ ݎ‬൏ ܽሻ. (b)
Calcule o valor de B entre os dois condutores
ሺܽ ൏ ‫ ݎ‬൏ ܾሻ. (c) Calcule o valor de B dentro do
condutor externo ሺܾ ൏ ‫ ݎ‬൏ ܿ ሻ. (d) Calcule o valor
de B para um ponto fora do cabo ሺ‫ ݎ‬൐ ܿ ሻ.
i
c
b
a
ሺ‫ ݎ‬ଶ െ ܾ ଶ ሻ
቉
݅ ൌ ݅ ቈͳ െ ଶ
ሺܿ െ ܾ ଶ ሻ
(11.4)
ᇱᇱ
Temos que subtrair da corrente total do condutor
interno, a fração de corrente da seção do condutor
externo. Agora, aplicando a lei de Ampère, e
utilizando (11.4), teremos:
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅ ᇱᇱ
ර‫ܤ‬
‫ܤ׵‬ൌ
ߤ଴ ݅ ሺܿ ଶ െ ‫ ݎ‬ଶ ሻ
ή ή
ʹߨ ‫ ݎ‬ሺܿ ଶ െ ܾଶ ሻ
(11.5)
d) Para ‫ ݎ‬൐ ܿ, a corrente total é nula ሺ݅௧ ൌ ݅ െ ݅ ሻ,
pois as mesmas percorrem sentidos opostos. Logo
o campo também será nulo, de acordo com a lei de
Ampère.
i
Questão 12
Figura 11.1
Resolução:
a) Para ‫ ݎ‬൏ ܽ, teremos para a corrente:
Dê as respostas dos itens da questão anterior
em função da densidade de corrente J.
Resolução:
7
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a) Para o condutor interno teremos uma reta. (a) Mostre que, para pontos dentro da massa
densidade de corrente dada por ‫ܬ‬௜ . Assim sendo, a do condutor, isto é, para ܽ ൏ ‫ ݎ‬൏ ܾ, o campo
magnético B é dado por:
corrente total para o referido condutor será:
݅ ൌ ‫ܬ‬௜ ߨܽଶ
(12.1)
‫ܤ‬ൌ
ఓబ ௜
ଶగሺ௕మ ି௔
మሻ ή
௥ మ ି௔మ
௥
.
Substituindo (12.1) no resultado de (11.2), (b) Mostre que para ‫ ݎ‬൏ ܽ o campo magnético é
nulo.
teremos:
ߤ଴ ‫ܬ‬௜ ‫ݎ‬
ʹ
(12.2)
‫ܤ‬ൌ
r
b
a
b) Utilizando (12.1) em (11.3), teremos:
ߤ଴ ‫ܬ‬௜ ܽଶ
ʹ‫ݎ‬
(12.3)
‫ܤ‬ൌ
Figura 13.1
Resolução:
c) Nesse caso devemos subtrair as correntes A corrente dentro da curva amperiana é dada por:
conforme foi efetuado em (11.4). No entanto,
temos que encontrar as relações das densidades
݅ ሺ‫ ݎ‬ଶ െ ܽ ଶ ሻ
de correntes dos condutores interno e externo.
݅Ԣ ൌ ଶ
ሺܾ െ ܽ ଶ ሻ
Como os dois condutores transportam a mesma
(13.1)
intensidade de corrente teremos:
Aplicando a lei de Ampère, teremos:
‫ܬ‬௜ ߨܽଶ ൌ ‫ܬ‬௘ ߨሺܿ ଶ െ ܾଶ ሻ
‫ܬ‬௜ ܽଶ
‫ܬ ׵‬௘ ൌ ଶ
ሺܿ െ ܾ ଶ ሻ
(12.4)
ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ଴ ݅ ᇱ
ර‫ܤ‬
‫ܤ׵‬ൌ
Em que ‫ܬ‬௘ é a densidade de corrente no condutor
externo. Assim, teremos para o campo:
ߤ଴ ݅ ሺ‫ ݎ‬ଶ െ ܽ ଶ ሻ
ή ή
ʹߨ ‫ ݎ‬ሺܾଶ െ ܽଶ ሻ
(13.2)
Questão 14
ߤ଴ ‫ܬ‬௜ ܽଶ ሺܿ ଶ െ ‫ ݎ‬ଶ ሻ
‫ܤ‬ൌ
ή ଶ
ሺܿ െ ܾ ଶ ሻ
ʹ‫ݎ‬
(12.5)
No entanto, não seria diferente se utilizássemos
diretamente (12.1) no resultado de (11.5).
d) O campo é nulo conforme foi explicado na
questão anterior.
Questão 13
A figura 13.1 mostra um cilindro condutor oco,
de raios a e b, que transporta uma corrente i
uniformemente distribuída ao longo da sua seção
Na questão anterior a cavidade cilíndrica era
concêntrica. O entanto, esta questão envolve uma
cavidade cilíndrica excêntrica. Considere um
condutor cilíndrico de raio ܴଵ com uma cavidade
de raio ܴଶ ; seja ‫ݔ‬଴ a distância entre o eixo do
condutor e o eixo da cavidade conforme mostra a
figura 14.1. Uma corrente i está uniformemente
distribuída sobre a área escura na figura.
Considere um sistema Oxy com origem O no
centro da seção reta do condutor; o eixo Ox é
orientado do centro O para o centro O’ de seção
reta da cavidade. Determine expressões para o
módulo B para os pontos: (a) Ao longo do eixo do
8
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condutor (o qual passa em O), (b) ao longo do eixo
da cavidade (que passa em O’), (c) ao longo do
eixo Oy. Sugestão: Use o princípio da
superposição.
y
O
O’
ߚ
r
ࡾ૚ O
ߙ
ሬሬԦԦଵ
‫ܤ‬
‫ݔ‬଴ O’ ܴ ଶ
ሬԦʹ
‫ܤ‬
x
Figura 14.3
‫ݔ‬଴ Figura 14.1
Resolução:
A corrente percorre o condutor ao longo do
eixo do mesmo, logo, o B será nulo nos dois casos:
ao longo do eixo do condutor e ao longo do eixo da
cavidade.
Agora, vamos considerar que o eixo Oy aponta
na direção perpendicular à direção do condutor,
por exemplo, na vertical para cima conforme
mostra a figura 14.2.
No caso a corrente na parte escura está entrando
no plano da página. Para simular a cavidade
vamos considerar uma corrente saindo do plano
da página. Tal corrente é dada pela mesma
densidade de corrente dada em (14.1). Assim
teremos dois campos, a saber: um dado pela
corrente dentro da curva em vermelho (entrando
no plano da página) e outro dado pela corrente
dentro da curva em preto (saindo do plano da
página). Desta forma teremos:
y
‫ܤ‬ଵ ൌ
ߤ଴
݅
ή ଶ
ή‫ݎ‬
ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ
(14.2)
‫ܤ‬ଶ ൌ
ߤ଴
݅
ή ଶ
ήܴ
ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ ଶ
(14.3)
E
O
O’
x
‫ݔ‬଴ O campo resultante é dado por:
ሬԦோ ൌ ‫ܤ‬
ሬԦଵ ൅ ‫ܤ‬
ሬԦଶ
‫ܤ‬
(14.4)
Figura 14.2
A densidade de corrente é dada por:
‫ܬ‬ൌ
݅
െ ܴଶଶ ሻ
(14.1)
Poderemos encontrar as componentes do campo
nas direções de Ox e Oy. Assim teremos para Ox:
ߨሺܴଵଶ
‫ܤ‬ோ௫ ൌ ‫ܤ‬ଵ ‫ ߙ݊݁ݏ‬െ ‫ܤ‬ଶ ‫ߚ݊݁ݏ‬
ߤ଴
݅
ሾ‫ ߙ݊݁ݏݎ‬െ ܴଶ ‫ ߚ݊݁ݏ‬ሿ
ൌ
ή ଶ
ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ
(14.5)
‫ܤ‬ோ௫
Vamos utilizar duas curvas amperianas, a saber:
uma com raio r e outra com raio ܴଶ , conforme
mostra a figura 14.3. Dessa forma poderemos
Mas ‫ ߙ݊݁ݏݎ‬ൌ ܴଶ ‫ߚ݊݁ݏ‬. Logo, o resultado de (14.5)
então aplicar o princípio da superposição.
será nulo. Para a direção Oy temos:
9
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‫ܤ‬ோ௬
‫ܤ‬ோ௬ ൌ ‫ܤ‬ଵ ܿ‫ ߙݏ݋‬െ ‫ܤ‬ଶ ܿ‫ߚݏ݋‬
ߤ଴
݅
ሾ‫ ߙݏ݋ܿݎ‬െ ܴଶ ܿ‫ߚݏ݋‬ሿ
ൌ
ή ଶ
ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ
(14.6)
A força resultante na direção de Ox será:
‫ܨ‬ோ௫ ൌ ‫ܨ‬ଶ ൅ ‫ܨ‬ଷ ܿ‫ݏ݋‬
(15.3)
ߨ
Ͷ
Mas ‫ ߙݏ݋ܿݎ‬െ ܴଶ ܿ‫ ߚݏ݋‬ൌ ‫ݔ‬଴ . Logo, o resultado de
Utilizando (15.1) e (15.2) em (15.3), teremos:
(14.6) será:
‫ܤ‬ோ௬
ߤ଴
݅ ή ‫ݔ‬଴
ൌ
ή ଶ
ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ
(14.7)
‫ܨ‬ோ௫ ൌ
No caso, o campo aponta na direção de Oy no
sentido negativo. O campo será então uniforme
dentro da cavidade e aponta na vertical (direção
de Oy). Se a corrente no condutor sair do plano da
página, o campo apontará no sentido positivo.
͵ ߤ଴ ݅ ଶ
ή
ή ή݈
ʹ ʹߨ ݀
(15.4)
A força resultante na direção de Oy será:
‫ܨ‬ோ௬ ൌ ‫ܨ‬ଵ െ ‫ܨ‬ଷ ‫݊݁ݏ‬
(15.5)
ߨ
Ͷ
Utilizando (15.1) e (15.2) em (15.5), teremos:
Questão 15
ͳ ߤ଴ ݅ ଶ
ൌ ή
ή ή݈
ʹ ʹߨ ݀
(15.6)
‫ܨ‬ோ௬
Determine literalmente o módulo da força
magnética
resultante
(por
unidade
de
comprimento) sobre cada um dos fios indicados
Com (15.4) e (15.6) podemos obter a força
na figura 3.1.
resultante, que será:
Resolução:
Considere por exemplo o fio que transporta uma
ଵ
corrente i no canto inferior esquerda da referida
ଶ
ଶ ଶ
൯
൅ ‫ܨ‬ோ௬
‫ܨ‬ோ ൌ ൫‫ܨ‬ோ௫
figura.
‫ܨ‬ோ ξͳͲ ߤ଴ ݅ ଶ
‫׵‬
ൌ
ή
ή
݈
ʹ ʹߨ ݀
‫ܨ‬Ԧଵ
(15.7)
‫ܨ‬Ԧଶ
‫ܨ‬Ԧଷ
ۨ
i
O resultado de (15.7) é válido para os demais
condutores na figura.
Questão 16
Figura 15.1
Os módulos das forças são dados por:
E
ߤ଴ ݅ ଶ
‫ܨ‬ଵ ൌ ‫ܨ‬ଶ ൌ
ή ή݈
ʹߨ ݀
(15.1)
Um fio de cobre, longo, transporta uma
corrente de 10 A. Calcule o fluxo magnético por
unidade de comprimento do fio para uma
superfície S, no seu interior, indicada na figura
16.1.
S
ߤ଴ ݅ ଶ
‫ܨ‬ଷ ൌ
ή
ή݈
ʹߨ ݀ξʹ
(15.2)
Figura 16.1
10
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Resolução:
Em que ‫ܤ‬ோ , utilizando (2.1) e o resultado de
O campo no interior de um condutor que (11.2), é dado por:
transporta
uma
corrente
uniformemente
ߤ଴ ݅ ‫ݔ‬
ͳ
distribuída é dado por (11.2). O fluxo do campo
൬ ଶെ
൰ Ͳ൑‫ݔ‬൑ܽ
‫ܤ‬ோ ൌ
por sua vez é dado por:
ʹߨ ܽ
݀െ‫ݔ‬
ߤ଴ ݅ ͳ
ͳ
݀
൬ െ
൰ ܽ൑‫ݔ‬൑
‫ܤ‬ோ ൌ
ʹߨ ‫ ݀ ݔ‬െ ‫ݔ‬
ʹ
ሬԦ ή ݀‫ܣ‬Ԧ
Ȱ஻ ൌ න ‫ܤ‬
(17.2)
(16.1)
Devemos integrar ‫ܤ‬ோ em toda a região entre os
No caso, o campo é perpendicular à superfície S. eixos. No entanto, devido à simetria do problema,
ௗ
Utilizando o resultando de (11.2), teremos:
poderemos integrar de ‫ ݔ‬ൌ Ͳ até ‫ ݔ‬ൌ e depois
ଶ
multiplicar por 2. Ainda, considerando a simetria
ோ
ߤ଴ ݅
dos campos, observa-se que a contribuição da
Ȱ஻ ൌ
ή
ή ݈ න ‫ݎ݀ݎ‬
ʹߨ ܴଶ
଴
primeira metade é oposta à contribuição da
Ȱ஻ ߤ଴ ݅
segunda metade. Assim, o fluxo total é nulo
ൌ
‫׵‬
݈
Ͷߨ
(Figura 17.1).
(16.2)
ሬሬԦ
a
Em que ݀‫ ܣ‬ൌ ݈ ή ݀‫ݎ‬. Substituindo os valores
teremos:
Ȉ
1
ି଻
Ȱ஻ Ͷߨ ή ͳͲ ή ͳͲ
ൌ
ൌ ͳͲି଺ ܹܾ ή ݉ିଵ
݈
Ͷߨ
(16.3)
Ȉ
x
࡮૚
ሬԦ૛
࡮
ࢊ
૛
Ȉ
a
Ȉ
2
d
Figura 17.1 – Seção transversal das duas correntes
perpendiculares ao plano da página e apontado para fora da
mesma.
Questão 17
Um condutor cilíndrico longo de raio a
transporta uma corrente i. Outro condutor
cilíndrico longo de mesmo raio possui eixo
paralelo ao primeiro condutor e transporta a
mesma corrente. A distância entre os eixos dos
cilindros é igual a d, sendo d > 2a. Determine o
fluxo magnético total (por unidade de
comprimento) através do plano que contém os
eixos e para a região situada entre os referidos
eixos, nos seguintes casos: (a) as correntes
possuem o mesmo sentido, (b) as correntes
possuem sentidos contrários.
Resolução:
a) As contribuições para o fluxo total entre os
eixos para as correntes no mesmo sentido se
anulam mutuamente. Vejamos:
O fluxo total será dado por:
b) Nesse caso os campos se somam, na região
entre os eixos. A figura 17.2 mostra a configuração
das correntes e dos campos para a situação
imposta pela questão.
a
Ȉ
Ȉ
1
ሬሬԦ૚
࡮
ሬ࡮Ԧ૛
ࢊ
૛
Ȉ
a
2
x
d
Figura 17.2 - Seção transversal das duas correntes
perpendiculares ao plano da página com sentidos opostos.
Desta forma teremos:
ௗ
ሬԦோ ή ݀‫ܣ‬Ԧ
Ȱ஻ ൌ න ‫ܤ‬
ߤ଴ ݅ ‫ݔ‬
ͳ
൬ ଶ൅
൰ Ͳ൑‫ݔ‬൑ܽ
ʹߨ ܽ
݀െ‫ݔ‬
݀
ߤ଴ ݅ ͳ
ͳ
൬ ൅
൰ ܽ൑‫ݔ‬൑
‫ܤ‬ோ ൌ
ʹ
ʹߨ ‫ ݀ ݔ‬െ ‫ݔ‬
(17.3)
‫ܤ‬ோ ൌ
଴
(17.1)
11
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Agora, integrando até a metade e multiplicando Seja essa única espira um elemento de corrente di.
por 2, teremos:
Assim, teremos:
೏
௔
మ ͳ
ߤ଴ ݅
‫ݔ‬
ͳ
ͳ
Ȱ஻ ൌ
ή ݈ ൥න ൬ ଶ ൅
൰ ݀‫ ݔ‬൅ න ൬ ൅
൰ ݀‫ ݔ‬൩
ܽ
݀
െ
‫ݔ‬
‫ݔ‬
݀
െ
‫ݔ‬
ߨ
௔
଴
݀‫ ܤ‬ൌ
(17.4)
ߤ଴ ܴ ଶ
య
ʹሺܴଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻమ
(18.2)
ή ݀݅
Em que ݀‫ ܣ‬ൌ ݈ ή ݀‫ݔ‬. Efetuando a integração em Em que o elemento de corrente vale:
(17.4), teremos:
ܰ
௔
݀݅ ൌ ή ݅ ή ݀‫ݔ‬
೏
Ȱ஻ ߤ଴ ݅ ‫ ݔ‬ଶ
݈
൥൭ ଶ െ ݈݊ሺ݀ െ ‫ ݔ‬ሻ൱อ ൅ ൫݈݊ሺ‫ݔ‬ሻ െ ݈݊ሺ݀ െ ‫ ݔ‬ሻ൯ห௔మ ൩
ൌ
(18.3)
݈
ʹܽ
ߨ
଴
Ȱ஻ ߤ଴ ݅ ͳ
ൌ
൤ ൅ ݈݊݀ െ ݈݊ܽ൨
݈
ߨ ʹ
Ȱ஻ ߤ଴ ݅ ͳ
݀
‫׵‬
ൌ
൤ ൅ ݈݊ ൨
݈
ߨ ʹ
ܽ
(17.5)
Obs.: Poderíamos utilizar o resultado de (16.2)
para o fluxo dentro de cada condutor devido à sua
própria corrente. E depois somar com as outras
contribuições de fluxo para a região entre os eixos.
Em (18.3), N é o número total de espiras e l é o
comprimento do solenoide. Substituindo (18.3)
௟
em (18.2) e integrando de ‫ ݔ‬ൌ Ͳƒ–±‫ ݔ‬ൌ , e
ଶ
depois multiplicando por 2, teremos:
೗
݀‫ݔ‬
ߤ଴ ܴܰ݅ଶ మ
න
‫ܤ‬ൌ
య ݈
଴ ሺܴ ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻమ
೗
మ
ߤ଴ ܰ݅
‫ݔ‬
൤
൨ ‫ܤ‬ൌ
݈ ξܴ ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ଴
ߤ଴ ܰ݅
ͳ
‫ܤ׵‬ൌ
ή
ଶ
ʹ
ටܴ ଶ ൅ ቀ ݈ ቁ
ʹ
(18.4)
Questão 18
Mostre que o campo magnético de um
solenoide é dado por:
‫ ܤ‬ൌ ߤ଴ ݅଴ ݊.
Não use a lei de Ampère; faça a demonstração
dividindo o solenoide em espiras de corrente
infinitesimais e integrando ao longo do solenoide.
Resolução:
O campo em um dado ponto do eixo de uma espira
percorrida por uma corrente é dado por:
‫ܤ‬ൌ
ߤ଴ ܴ݅ଶ
ʹሺܴଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻ
(18.1)
Consideramos um solenoide quando temos várias
espiras bem próximas, de tal forma que o raio das
mesmas seja bem menor do que o comprimento
da hélice. Ainda que tomemos a metade do
௟
comprimento da hélice, podemos dizer: ‫ܴ ب‬.
ଶ
Logo, do resultado de (18.4), teremos:
‫ܤ‬؆
Figura 18.1
ͳ
ଶ
݈
ටቀ ቁ
ʹ
ߤ଴ ܰ݅ ܰ
‫ܤ׵‬؆
Ǣ ൌ ݊
݈
݈
(18.5)
య
మ
R
x
ߤ଴ ܰ݅
ή
ʹ
O resultado de (18.5) foi calculado somente para o
eixo do solenoide, mas podemos considerar que
esse é o valor do campo ao longo de todo o volume
do interior do mesmo. Isto acontece porque o raio
do mesmo é muito menor do que o comprimento
da hélice.
12
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Em que ݀ߠ é um elemento de ângulo em radiano.
Assim, substituindo em (19.1), teremos:
Questão 19
O fio que aparece na figura 19.1 é percorrido
ߤ଴ ݅ ݀ߠ
por uma corrente i. Qual é o valor da contribuição
݀‫ܤ‬஼ ൌ
ή
Ͷߨ ܴ
para o campo magnético no centro C da
(19.4)
semicircunferência devida (a) a cada segmento
retilíneo
de
comprimento
l,
(b)
à
Integrando (19.4) para ߠ ൌ Ͳƒ–±ߠ ൌ ߨ, teremos:
semicircunferência de raio R e (c) a todo fio?
ߤ଴ ݅
Ͷܴ
(19.5)
‫ܤ‬஼ ൌ
i
R
i
i
C
No caso em questão, o campo é perpendicular ao
plano da página e apontando para dentro da
mesma.
l
l
Figura 19.1
c) A única contribuição em C é o resultado dado
Resolução:
a) Aplicaremos a lei de Biot-Savart, que é dada por (19.5).
por:
Questão 20
ߤ଴ ݅ ݈݀Ԧ ‫ݎ ר‬Ԧ
ή
Ͷߨ
‫ݎ‬ଷ
(19.1)
ሬԦ ൌ
݀‫ܤ‬
݈݀Ԧ
l
݈݀Ԧ
‫ݎ‬Ԧ
‫ݎ‬Ԧ
Um disco de plástico de raio R possui uma
carga total q, distribuída uniformemente em sua
superfície. Se o disco gira em torno do seu eixo
com uma velocidade angular ߱, mostre que (a) o
campo magnético no centro do disco será igual a
݈݀
݀ߠ
݀
ߠ
R
C
‫ܤ‬ൌ
i
ଶగோ
,
e que (b) o momento de dipolo magnético do disco
será dado por:
l
Figura 19.2
ߤൌ
Para o segmento retilíneo da esquerda como para
o da direita, temos:
ఠ௤ோమ
ସ
.
Resolução:
a) A figura 20.1 mostra a configuração do disco.
ห݈݀Ԧ ‫ݎ ר‬Ԧห ൌ Ͳ
(19.2)
݀‫ݍ‬
Pois os vetores são paralelos, conforme mostra a
figura 19.2. Logo podemos concluir que esses
segmentos não contribuem com campo magnético
em C.
b) Observa-se da figura 19.2
semicircunferência, teremos:
ఓబ ఠ௤
que
ห݈݀Ԧ ‫ݎ ר‬Ԧห ൌ ܴ ‫ ݈݀ ڄ‬؆ ܴଶ ݀ߠ
(19.3)
para
a
r
Figura 20.1
A carga está uniformemente distribuída ao longo
da área do disco, de tal forma que um elemento de
área do disco, como mostra a figura 20.1, terá uma
carga dada por:
13
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‫ݍ‬
ή ݀‫ܣ‬
ߨܴଶ
(20.1)
distância y do fio. Dê a resposta em função dos
ângulos ߠଵ ‡ߠଶ formados entre a normal ao fio
baixada do ponto P e pelas retas que unem o
ponto P com as extremidades do fio considerado.
Em que ݀‫ ܣ‬ൌ ʹߨ‫ ݎ‬ή ݀‫ݎ‬. Tomando (20.1) no Resolução:
período de rotação, teremos o elemento de A figura 21.1 representa a configuração da
corrente dado por:
questão.
݀‫ ݍ‬ൌ
݀݅ ൌ
‫ݍ‬
ή ߱‫ ݎ‬ή ݀‫ݎ‬
ߨܴଶ
(20.2)
P
ߠଵ
Em que ߱ é a velocidade angular do disco
ଶగ
ቀ߱ ൌ ǡ ܶ±‘’‡”À‘†‘ቁ. Podemos então escrever
்
a expressão do campo gerado pela corrente
(20.2):
ߤ଴ ݀݅
ʹ‫ݎ‬
(20.3)
y
ߠʹ
ߙ
r
dx
l
i
Figura 21.1
݀‫ ܤ‬ൌ
Utilizando a lei de Biot-Savart para o caso em
questão, temos:
Agora, tomando a contribuição total, ou seja,
integrando (20.3) ao longo do raio, teremos:
݀‫ ܤ‬ൌ
ߤ଴ ‫ ߱ݍ‬ோ
න ݀‫ݎ‬
ʹߨܴଶ ଴
ߤ଴ ‫߱ݍ‬
‫ܤ׵‬ൌ
ʹߨܴ
(20.4)
‫ܤ‬ൌ
ߤ଴ ݅ ݀‫ߙ݊݁ݏݔ‬
ή
Ͷߨ
‫ݎ‬ଶ
(21.1)
Temos que encontrar uma relação de x com o
ângulo ߙ, pois os dois variam simultaneamente.
Para isso, vamos tomar um triângulo retângulo
que contém a normal y, a posição x e o ângulo ߙ
(figura
21.2).
b) De forma semelhante, podemos escrever a
expressão para o elemento de dipolo:
ȈP
ߠ
݀ߤ ൌ ߨ‫ ݎ‬ଶ ݀݅
r
y
(20.5)
ߙ
Ȉ
x
Agora, utilizando (20.2) e tomando a contribuição
total, ou seja, integrando, teremos:
Figura 21.2
‫ ߱ݍ‬ோ ଷ
න ‫ݎ݀ ݎ‬
ܴଶ ଴
‫ܴ߱ݍ‬ଶ
‫ߤ׵‬ൌ
Ͷ
(20.6)
ߤൌ
Da figura 21.2 podemos concluir:
‫ ߙ݊݁ݏ‬ൌ ܿ‫ߠ ݏ݋‬
(21.2)
E também:
Questão 21
‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ή ‫ ݔ݀ ֜ ߠ݃ݐ‬ൌ ‫ ݕ‬ή ‫ ܿ݁ݏ‬ଶ ߠ݀ߠ
(21.3)
Determine o módulo da indução magnética de
um fio retilíneo de comprimento l, por onde passa
uma corrente i, num ponto P situado a uma Podemos observar também, da figura 21.2:
14
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‫ݕ‬
ܿ‫ߠ ݏ݋‬
(21.4)
Ainda, observando a figura 21.2, podemos
escrever:
‫ݎ‬ൌ
‫ ߠ݊݁ݏ‬ൌ
Agora, utilizando (21.2), (21.3) e (21.4) em (21.1),
teremos:
݀‫ ܤ‬ൌ
ߤ଴ ݅
ή ܿ‫ߠ݀ߠ ݏ݋‬
Ͷߨ‫ݕ‬
(21.5)
݈
ඥ݈ ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ
(22.3)
Agora, substituindo (22.3) em (22.2), teremos:
Agora podemos integrar, no entanto devemos
observar que a variação passa pelo ângulo zero,
então os limites de integração serão ߠ ൌ
െߠଵ ƒ–±ߠ ൌ ߠଶ . Então:
ߤ଴ ݅ ఏమ
න ܿ‫ ߠ݀ߠ ݏ݋‬
‫ܤ‬ൌ
Ͷߨ‫ି ݕ‬ఏభ
ߤ଴ ݅
ሺ‫ߠ݊݁ݏ‬ଶ ൅ ‫ߠ݊݁ݏ‬ଶ ሻ
‫ܤ׵‬ൌ
Ͷߨ‫ݕ‬
(21.6)
Lembrando que ‫ ݊݁ݏ‬െ ߠ ൌ െ‫ߠ݊݁ݏ‬.
‫ܤ‬ൌ
ߤ଴ ݅
ʹ݈
ή
Ͷߨ‫ ݕ‬ඥ݈ ଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ
(22.4)
Questão 23
Você recebe um fio de comprimento l no qual
pode passar uma corrente i. Esse fio pode ser
dobrado na forma de um círculo ou de um
quadrado. Qual das duas formas dará o maior
valor para B no centro da figura?
Resolução:
Para uma espira de comprimento l, teremos como
raio:
Questão 22
݈
ʹߨ
(23.1)
ܴൌ
Considere a questão anterior. Suponha que o
ponto P esteja sobre a mediatriz do fio. Obtenha a
expressão do módulo da indução magnética em O campo no centro de uma espira circular de raio
termos da distância y ao fio e do comprimento l do R, tomando o resultado (19.5) para uma espira
fio.
completa, é dado por:
Resolução:
Na questão anterior, observando a figura 21.2,
ߤ଴ ݅
௟
ൌ
‫ܤ‬
ா஼
fazendo ‫ ݔ‬ൌ , teremos:
ʹܴ
ଶ
(23.2)
݈ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
Ͷ
(22.1)
Substituindo (23.1) em (23.2) e utilizando o valor
aproximado para ߨ ሺߨ ؆ ͵ǡͳͶሻ, teremos:
‫ݎ‬ൌඨ
Estando o ponto P sobre a mediatriz, poderemos
então tomar ߠଵ ൌ ߠଶ ൌ ߠ no resultado de (21.6),
logo:
‫ܤ‬ൌ
ߤ଴ ݅
ή ʹ‫ߠ݊݁ݏ‬
Ͷߨ‫ݕ‬
(22.2)
͵ǡͳͶ ή ߤ଴ ݅
ܴ
(23.3)
‫ܤ‬ா஼ ؆
Para a espira quadrada, cada lado possui um
௟
comprimento igual a ସ. Assim, utilizando o
resultado (22.4), teremos para o campo no centro
desta espira a:
15
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‫ܤ‬ாொ
݈
ʹቀ ቁ
ߤ଴ ݅
Ͷ
ൌ Ͷή
ή
ଶ
݈
ଶ
Ͷߨ ቀͺቁ ට ݈ ൅ Ͷ ቀ ݈ ቁ
ͺ
ͳ͸
(23.4)
Substituindo o resultado (24.3) em (24.2),
teremos:
‫ܤ‬௡ ൌ
Assim, após as manipulações em (23.4), teremos:
͵ǡ͸ߤ଴ ݅
‫ܤ‬ாொ ؆
݈
(23.5)
ߤ଴ ݅
ߨ
ή ‫ ݃ݐ‬ቀ ቁ
ʹߨܽ
݊
(24.4)
Agora tomando a contribuição total:
ߤ଴ ݊݅
ߨ
ή ‫ ݃ݐ‬ቀ ቁ
ʹߨܽ
݊
(24.5)
‫ ܤ‬ൌ ݊‫ܤ‬௡ ൌ
Comparando (23.3) e (23.5), podemos concluir
Em que ݊ ൐ ʹ. Tomando ݊ ՜ λ em (24.5),
que na espira quadrada o campo é mais intenso.
teremos:
Questão 24
‫ܤ‬ൌ
ߨ
ߤ଴ ݅
ή Ž‹ ݊ ή ‫ ݃ݐ‬ቀ ቁ
݊
ʹߨܽ ௡՜ஶ
(24.6)
Um fio é dobrado na forma de um polígono
regular de n lados inscrito num círculo de raio a.
Se este fio for percorrido por uma corrente i,
గ
mostre que o valor de B no centro do polígono é Podemos expandir a ‫ ݃ݐ‬ቀ௡ቁ da seguinte forma:
dado por:
ߨ
ߨ ሺߨΤ݊ሻଷ ʹሺߨΤ݊ሻହ
ߨ ߨ
‫ ݃ݐ‬ቀ ቁ ൌ ൅
ఓబ ௡௜
గ
൅
൅ ‫ ڮ‬Ǣ ൏
‫ܤ‬ൌ
ή ‫ ݃ݐ‬ቀ ቁ.
݊
͵
ͳͷ
݊
݊ ʹ
ଶగ௔
௡
(24.7)
Mostre também que, quando ݊ ՜ λ, este
Ver em: SPIEGEL, M. R., Ed. McGraw-Hill do Brasil, 1973,
resultado tende para o valor correspondente a p.111
uma espira circular.
Resolução:
Utilizando o (24.7) em (24.6), teremos:
O campo gerado estará sobre a mediana dos lados
do polígono. Assim, poderemos utilizar (22.2),
ߤ଴ ݅
ߨଷ
ʹߨ ହ
‫ܤ‬ൌ
ή Ž‹ ቆߨ ൅ ଶ ൅
൅ ‫ ڮ‬ቇ
sendo:
͵݊
ͳͷ݊ସ
ʹߨܽ ௡՜ஶ
ߤ଴ ݅
‫ ݕ‬ൌ ܽܿ‫ߠݏ݋‬
‫ܤ׵‬ൌ
ʹܽ
(24.1)
(24.8)
Logo, utilizando (22.2), teremos:
Questão 25
ߤ଴ ݅ ʹ‫ߠ݊݁ݏ‬
‫ܤ‬௡ ൌ
ή
Ͷߨ ܽܿ‫ߠݏ݋‬
(24.2)
Numa espira retangular de lados a e b circula
uma corrente i. Determine B sobre os pontos do
eixo de simetria ortogonal à espira. Dê a resposta
Óbvio será que o ângulo central, para cada lado, em função da distância x ao centro da espira.
Resolução:
vale ʹߠ. Logo, teremos:
Vamos utilizar (22.4) para solucionar essa
ߨ
͵͸Ͳι
questão. No entanto, previamente, devemos
֜ߠൌ
ʹߠ ൌ
observar a configuração desse problema. A figura
݊
݊
(24.3)
25.1 mostra a disposição da espira e o ponto sobre
o eixo de simetria onde será determinado B.
16
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Utilizando x = 0 em (25.5), teremos:
ሬԦ௕
‫ܤ‬
ߠ
y
Ȉ
ͳ
ͳ
൨
൅
ଶ
ܾଶ
ߨඥͶሺܽଶ ൅ ܾଶ ሻ ܽ
ʹߤ଴ ݅
ܽଶ ൅ ܾ ଶ
‫ܤ ׵‬ோ ൌ
ቆ
ቇ
ܾܽ
ߨξܽଶ ൅ ܾଶ
(25.6)
‫ܤ‬ோ ൌ
x
ߠ ܽΤ
ܽΤʹ
a
i
b
ή൤
Ou ainda:
Figura 25.1
Assim, utilizando (22.4) para o lado b, teremos:
‫ܤ‬௕ ൌ
Ͷߤ଴ ܾ݅ܽ
ߤ଴ ݅
ʹܾ
ܽଶ
ή
Ǣ ‫ ݕ‬ൌ ඨ‫ ݔ‬ଶ ൅
Ͷߨ‫ ݕ‬ඥܾଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ
Ͷ
‫ܤ‬ோ ൌ
ʹߤ଴ ݅
ή ඥܽଶ ൅ ܾ ଶ
ߨܾܽ
(25.7)
Questão 26
(25.1)
Uma espira circular possui raio a. Outra espira
No entanto, a contribuição efetiva para o campo circular de raio b, sendo b maior do que a. Em
no ponto em questão, será a componente na cada espira passa a mesma corrente i no mesmo
direção vertical. Pois as componentes na direção sentido de giro. As duas espiras estão situadas em
horizontal se anularão mutuamente. Logo:
planos paralelos e a distância entre os centros das
espiras é igual a ‫ݔ‬଴ . Determine o módulo da
ߤ଴ ݅
ʹܾ
ܽ
indução magnética no eixo de simetria comum das
‫ܤ‬௕௩ ൌ
ή
ή ܿ‫ߠݏ݋‬Ǣ ܿ‫ ߠݏ݋‬ൌ
espiras para os pontos situados: (a) entre os
Ͷߨ‫ ݕ‬ඥܾଶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ଶ
ʹ‫ݕ‬
planos das espiras ሺ‫ ݔ‬൏ ‫ݔ‬଴ ሻ, (b) fora dos planos
(25.2)
das espiras ሺ‫ ݔ‬൐ ‫ݔ‬଴ ሻ.
Resolução:
Ou seja,
a) A figura 26.1 mostra a configuração da questão:
ߤ଴ ݅
ܽήܾ
ή
‫ܤ‬௕௩ ൌ
ʹߨ
ܽଶ
ܽଶ ܾ ଶ
Ͷ ൬‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ ൰ ට‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ ൅ Ͷ
(25.3)
P
a
De forma semelhante, temos para o lado a:
‫ܤ‬௔௩ ൌ
ߤ଴ ݅
ή
ʹߨ
ܽήܾ
ܾଶ
ܽଶ
Assim, o campo resultante será:
‫ܤ ׵‬ோ ൌ
Ͷߤ଴ ܾ݅ܽ
ߨඥͳ͸‫ ݔ‬ଶ
൅
Ͷሺܽ ଶ
൅
ܾଶ ሻ
ή൤
(25.5)
‫ݔ‬
ܾଶ
Ͷ ൬‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ ൰ ට‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͷ ൅ Ͷ
(25.4)
‫ܤ‬ோ ൌ ʹሺ‫ܤ‬௕௩ ൅ ‫ܤ‬௔௩ ሻ
b
‫ݔ‬଴
Figura 26.1
O campo gerado por um corrente em uma espira é
dado por (18.1). Como as duas correntes estão
girando no mesmo sentido, teremos então no
ponto P:
ͳ
ͳ
൅
൨
Ͷ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܽଶ Ͷ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܾଶ
ߤ଴ ݅
ܾଶ
ܽଶ
൥
൩
൅
‫ܤ‬ோ ൌ
ʹ ሺܽଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻయమ ሺܾଶ ൅ ሺ‫ݔ‬଴ െ ‫ ݔ‬ሻଶ ሻయమ
(26.1)
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b) Para um ponto fora dos planos das espiras
teremos:
‫ܤ‬ோா
ߤ଴ ݅
ܾଶ
ܽଶ
൥
൩
ൌ
൅
ʹ ሺܽଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻయమ ሺܾଶ ൅ ሺ‫ݔ‬଴ ൅ ‫ ݔ‬ሻଶ ሻయమ
(26.2)
Se o ponto estiver à esquerda da espira de raio a.
‫ܤ‬ோ஽
ߤ଴ ݅
ܾଶ
ܽଶ
൥
൩
ൌ
൅
ʹ ሺܽଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻయమ ሺܾଶ ൅ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ሻଶ ሻయమ
଴
(26.3)
Se o ponto estiver à direita da espira de raio b.
Questão 27
Bobinas de Helmholtz. Tome como referência a
figura 27.1. As bobinas de Helmholtz são usadas
no laboratório para se obter um campo magnético
constante nas vizinhanças do centro da distância
entre as bobinas. Determine o módulo B no ponto
P. As duas bobinas possuem o mesmo número N
de espiras.
Dois longos fios retilíneos condutores com
massa específica linear ߣ estão suspensos por
meio de cordas de modo que eles ficam dispostos
paralelamente sobre um plano horizontal e a
distância entre eles é igual a d. As extremidades da
direita dos fios são conectadas entre si por meio
de um fio frouxo de rsistância desprezível. Um
capacitor carregado (capacitância C) é ligado ao
sistema; a placa positiva do capacitor (carga
inicial +Q) está conectada com a extremidade da
esquerda de um dos fios e a placa negativa do
capacitor (carga inicial –Q) está conectada com a
extremidade da esquerda do outro fio (figura
28.1). Ambas as conexões são feitas mediante dois
frouxos com resistência desprezível. Quando a
conexão é estabelecida, os fios são repelidos
lateralmente pela ação das forças magnéticas
repulsivas das correntes de sentidos contrários, e
cada fio adquire uma velocidade inicial ‫ݒ‬଴ .
Suponha que o tempo de descarga do capacitor
seja desprezível em relação ao tempo do
deslocamento dos fios. A) Mostre que a velocidade
inicial dos fios é dada por:
ఓ ொమ
బ బ
,
‫ݒ‬଴ ൌ ସగఒோ஼ௗ
x
x
P
onde R é a resistência total do circuito. B)
Determine ‫ݒ‬଴ numericamente sendo que o
capacitor foi inicialmente carregado mediante a
conexão a fuma fonte de 3,00 kV e considerando
ߣ ൌ ͶǡͷͲ ή ͳͲିଷ ݇݃ ή ݉ିଵ , d = 3,00 cm, ‫ ܥ‬ൌ ʹǡͷͲߤ‫ܨ‬
e ܴ ൌ ͲǡͲͶͺͲȳ. C) Que altura h cada fio atingirá
depois que a conexão for estabelecida?
R
Ȉ
Questão 28
R
Ȉ
Figura 27.1
Resolução:
Poderemos utilizar (26.1), em que: ܽ ൌ ܾ ൌ
ܴǡ ‫ݔ‬଴ ൌ ܴ‡‫ ݔ‬ൌ ܴ Τʹ. Assim, teremos:
‫ܤ‬௉ ൌ
ߤ଴ ܰ݅
య
మ
d
ܴቀͷൗͶቁ
ͺߤ଴ ܰ݅
‫ܤ ׵‬௉ ൌ
య
ܴ ή ͷమ
(27.1)
+
C
Figura 28.1
Resolução:
18
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‫ݒ‬଴ ؆ Ͳǡ͵Ͷ͹݉ ή ‫ି ݏ‬ଵ
A) Sabemos que a força entre os fios será de
repulsão, pois as correntes, em cada fio, possuem
(28.7)
sentidos contrários. E a força de repulsão é dada
por:
C) Utilizando a conservação da energia mecânica
(desprezando os efeitos das forças dissipativas),
ߤ଴ ݅ ଶ
teremos:
‫ܨ‬ൌ
ή݈
ʹߨ݀
‫ݒ‬଴ଶ
(28.1)
݄ ൌ ʹ݃
Em que l é o comprimento dos condutores.
‫ ݄ ׵‬؆ ͸ǡͳ݉݉
Durante a descarga do capacitor (veja Física 3-07
(28.8)
– Questão 22), a corrente terá intensidade dada
por:
Em que ݃ ൌ ͻǡͺ݉ ή ‫ି ݏ‬ଶ.
݅ൌ
ܳ଴ ି ೟
ή ݁ ೃ಴
ܴ‫ܥ‬
(28.2)
Questão 29
Um fio contido no plano yz forma uma
semicircunferência de raio a com centro de
curvatura na origem (figura 29.1). Sendo I a
corrente que circula no fio, calcule os
componentes do campo magnético produzido no
ponto P situado sobre o eixo Ox e a uma distância
x para fora do centro.
Utilizando (28.1) e (28.2), teremos:
݀‫ݒ‬
݀‫ݐ‬
మ೟
ߤ଴
ܳ଴ଶ
݉ ݀‫ݒ‬
ൌ
ή ଶ ଶ ή ݁ ିೃ಴
ή
݈ ݀‫ܥ ܴ ݀ߨʹ ݐ‬
(28.3)
‫ܨ‬ൌ݉ή
y
I
Resolvendo a equação diferencial (28.3), teremos:
a
௧
షమ೟
ߤ଴ ܳ଴ଶ
න ݁ ೃ಴ ݀‫ݐ‬
ߣ ή ‫ݒ‬଴ ൌ
ଶ
ʹߨ݀ ሺܴ‫ ܥ‬ሻ ଴
షమ೟
ߤ଴ ܳ଴ଶ
‫ݒ ׵‬଴ ൌ
ቀͳ െ ݁ ೃ಴ ቁ
Ͷߨܴ݀‫ߣܥ‬
(28.4)
I
x
x
z
I
Figura 29.1
Resolução:
Levando em consideração que o capacitor
O trecho do circuito com z > a, não contribui
descarrega muito rápido ሺ‫ ݐ‬՜ λሻ, teremos de com campo magnético, pois os dois condutores
(28.4):
são paralelos e bem próximos com correntes em
sentidos opostos. Então só a semicircunferência e
ߤ଴ ܳ଴ଶ
a parte retilínea de comprimento 2a contribuem
‫ݒ‬଴ ൌ
para o campo magnético.
Ͷߨܴ݀‫ߣܥ‬
(28.5)
Para a parte retilínea teremos:
B) Utilizando os dados numéricos:
ߤ଴ ݅
ʹܽ
‫ܤ‬ோ ൌ
ή
ܳ଴ ൌ ‫ ܥ‬ή ܸ ൌ ͹ǡͷ ή ͳͲିଷ ‫ܥ‬
ଶ
Ͷߨ‫ ݔ‬ξܽ ൅ ‫ ݔ‬ଶ
(28.6)
(29.1)
E
Agora para a parte semicircular devemos levar em
consideração a contribuição que ocorrerá também
19
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na direção de Oy. A figura 29.2 mostra a Assim, utilizando (29.2), (29.6), (29.7) em (29.5),
teremos:
configuração da parte semicircular.
ߙ
dl
݀ߠ
ߤ଴ ݅‫ ܽݔ‬గ
න ‫ ߠ݀ߠ݊݁ݏ‬
Ͷߨ‫ ݎ‬ଷ ଴
ߤ଴ ݅‫ܽݔ‬
‫ܤ ׵‬௬ ൌ
య
ʹߨሺܽଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻమ
(29.8)
݀‫ܤ‬௬ ൌ
a
r
ߠ
ࢊ࡮࢞
x
ࢊ࡮࢟
Figura 29.2
ߠ
ࢊ࡮ୄ
Assim, utilizando (29.1), (29.4) e (29.8), teremos
para o campo resultante:
ሬሬԦ
ࢊ࡮
Pela Lei de Biot-Savart, o elemento de campo dado
pela corrente será:
ߤ଴ ݈݅݀
Ͷߨ‫ ݎ‬ଶ
(29.2)
݀‫ ܤ‬ൌ
Para a direção de Ox, temos:
݀‫ܤ‬௫ ൌ
௔
ߤ଴ ݈݅݀
ή ܿ‫ߙݏ݋‬
Ͷߨ‫ ݎ‬ଶ
(29.3)
Em que ܿ‫ ߙݏ݋‬ൌ ௥ ‡‫ ݎ‬ൌ ξܽଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ . Integrando
(29.3), teremos:
‫ܤ‬௫ ൌ
ߤ଴ ݅ܽଶ
య
Ͷ ሺܽ ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻమ
(29.4)
Agora, para Oy, teremos:
݀‫ܤ‬௬ ൌ ݀‫ܤ‬ୄ ‫ߠ݊݁ݏ‬
(29.5)
E
݀‫ܤ‬ୄ ൌ ݀‫ߙ݊݁ݏܤ‬
(29.6)
௫
Em que ‫ ߙ݊݁ݏ‬ൌ ௥ . Devemos observar também
que:
݈݀ ൌ ܽ݀ߠ
(29.7)
20
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ሬԦ ൌ െ‫ܤ‬௫ ݅ ൅ ൫‫ܤ‬ோ െ ‫ܤ‬௬ ൯݆
‫ܤ‬
(29.9)
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