AULA 01
2. Radiciação
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
2.1. Definição
1. Potenciação
b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.
1.1. Definição
2.2. Representação
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
n
Sendo a  R e a  0 e m  Z. Tem-se que:
am = a. a. a. a. a..... a.
 m fatores 
a
= b  bn = a
2.3. Nomenclatura
Em
Casos Particulares
n
a
= b, temos:

n é o índice

a é o radicando

b é a raiz
a0 = 1 para a  0
a1 = a
a-n =
1
an
2.4. Condição de existência
Em a , se n for par, então é necessário que a
seja maior ou igual a zero.
n
1.2. Propriedades
Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,
tem-se:

Se n for ímpar então
n
a
sempre existe.
2.5. Propriedades
am.an = am + n
m

a
m n
n  a
a


(am)n = am.n
(a.b)n = an.bn

an
 a
   n
 b
b
 n a .n b  n a.b
na
a
n n
b
b
m
n m
 na
 a
n m n.p m.p
 a 
a
n
 
1.3. Potência de base 10
0
Sabe-se que: 10 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000

nm
a  n.m a

n
am  a n
m
2.6. Racionalização de denominadores
Então 10n = 100...........00
 n zeros
Dada uma fração com denominador contendo radical,
racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma
fração equivalente a primeira sem no entanto com o radical no
denominador.
1
= 0,1
10
1
= 0,01
10-2 =
10 2
1
10-3 =
= 0,001
10 3
Observe ainda que: 10-1 =
n
m
1º CASO: O denominador é do tipo a
Neste caso multiplica-se numerador e denominador
pelo fator:
n
anm
.
2º CASO: O denominador é do tipo a  b
Neste caso multiplica-se numerador e denominador
Então 10–n = 0,000.............001
 n casas decimais
Pelo fator:
1
a b
Exercícios de Sala

a)
d)
01) Calcule:
a) 24
d) 17
2
 
3
g) 3-2 h)
b) – 24
e) 03
4
d)
e)
6
0,25
b)
125
d)
 9
2
4
f)
34
=
5
5
b)
0,01
3
64
c)
3
5
2
d)
5
3 2
d)
2
03) Sendo A = 2100, obtenha:
a) sucessor de A
c) quádruplo de A
e) metade de A
1

8
2
3
2

5
b) 
a  b  a  b
3
a) 106
d) 105
e) 10

1 

 800 
c) 
2
d) 
3
8

10



e) 
2
1
 a
1
2
 b
 quando a = 103 e
b) 102
c) 103
d) 109
e) 107
10) ( FGV-SP ) Simplificando a expressão
2 n  4  2 n  2  2 n 1
2 n  2  2 n 1
c) (– 3)4
f) 5000
3
7
c) 104
4
temos:
i) 24 + 1201 + 03 + 40
3
a)
k)
2
 
3
2
3
 
2
b)
(23 ) 2 .23
4
87
b)
4
1
82
c)
4
34
d)
3
3
11) ( Cesgranrio ) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998,
então (abc)12 vale:
02) Transforme cada expressão em uma única potência de
base 2.
2 .2 .2
2
3
5
b = 102
b) – 34
e) 080
4
2 3
( 2)  (2 )
j)
4
2
b) 103
a b 2   a 1  b 2    a b 1 
01) Determine o valor das expressões:
a)
c)
09) ( FGV-SP ) Qual o valor da expressão
2
5 3

3
 0,125
3
08) (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?
50  32  2 2  242
Tarefa Mínima
5
f)
01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102
02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107
04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é
zero.
08. A metade de 48 + 84 é 17.211
1 

 80 
5
 
2
0
81
16
6
3
b)
a) 
a) 34
d) 1201
5
07) Assinale a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
2

3
2
g) 4-2 h)
5
2
a) 102
04) Racionalize:
a)
e)
c)
3
06) O valor da expressão 100.(0,1) é equivalente a:
0,01
03) Calcule:
3
1
32

c) (34)2 =
c)
3
5
Tarefa Complementar
a) 3 . 3 . 3 =
a)
b)
a)
2 5
3 .3
b)
=
3
3
-5
625
05) Racionalize:
c) (– 2)4
f) 2140
02) Transforme cada expressão em uma única potência de
base 3.
7
4
a) 9912
d) 9988
b) 9921/2 c) 9928
e) 9999
2
12) Determine a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
45  20  80 é
5
01. A expressão
b) o dobro de A
d) quadrado de A
f) raiz quadrada de A
equivalente a
04) Usando a definição, calcule o valor de cada uma das
raízes:
02. O valor de
2
3 15
2 2 2 2 4 é2
1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
1
8 3  16 2 é 4
4
obtém-se 2 2
08. Racionalizando
2
04. O valor de
3
5

5
3
16. A expressão
13) Calculando
313  312
25 : 23
a) 32
d) 38
b) 34
e) n.d.a.
é igual a

SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o
cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o
cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
Sendo assim, temos que:
8 15
15
, acha-se:
c) 36
sen  =
1
1

1é
2 2 2 2
14) ( UEL-PR ) A expressão
b
a
cos  =
c
a
tg  =
b
c
Observação:
equivalente a:
Se  +  = 90° tem-se que sen  = cos 
a) – 1
d)
2
2
b)
2
–1
e)
–2
c)
2 +2
Tabela de arcos notáveis
+1
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas,
dividimos o triângulo em dois triângulos
retângulos congruentes.
15) ( UEL-PR ) Seja o número real
x=
500  3 20  2  2 5
. Escrevendo x na
5 1
forma x = a + b
a) 5
d) 8
Observe, agora, o quadrado. Nele traça-se a diagonal e obtém-se
c , tem-se que a + b + c é igual a:
b) 6
e) 9
c) 7
AULA 02
dois triângulos retângulo isósceles
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo ABC
Em resumo, temos:
Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:
____
___

AC e AB são os catetos

BC é a hipotenusa
 
B e C são os ângulos agudos
___

Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos
são complementares, ou seja,
 
B  C = 90º
3
Exercícios de Sala

a) 55 metros
c) 45 metros
e) 51 metros
01) ( FUVEST ) Obter o valor de x na figura:
b) 15 metros
d) 42 metros
03) ( UFSC ) Num vão entre duas paredes, deve-se
construir uma rampa que vai da parte inferior de
uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que
a altura das paredes é de 4 3 m e o vão entre
elas é de 12m, determine o ângulo, em graus,
que a rampa formará com o solo.
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
02) No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 90°
e) n.d.a.
Tarefa Complementar
03) ( UFSC ) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio
de margens paralelas e conseguem ver um bote B na
outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos BP1P2
=  e BP2P1 =  e que tg  = 2 e
tg  = 4, a distância entre as margens (em metros) é:
Tarefa Mínima

05) Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
01. h =
a)
2m
02. h =
04. a = (1 + 3 ) m
08. O triângulo ACD é isósceles
12
X
3m
30°
____
16. O lado
AC
mede 6m
06) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela
à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é
visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.
Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha
perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à
costa?
(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)
b)
6
60°
X
c)
07) Determine o valor de x e y na figura abaixo:
x
5
45°
02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre
de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo.
Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo
de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da
torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de
comprimento. A que distância se encontra o ponto
mais alto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)
08) ( Unicamp-SP ) Uma pessoa de 1,65 m de altura
observa o topo de um edifício conforme o esquema
abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos
somar 1,65m a:
4
TEOREMA DOS SENOS
Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos
dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
a) b cos 
d) b tg 
b) a cos  c) a sen 
e) b sen 
Exercícios de Sala
09) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Na figura abaixo, em que o
ponto B localiza-se a leste de A, a distância

01) Determine o valor de x na figura abaixo:
___
AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo
ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o
ponto D. A partir destes dados, assinale o que for
correto.
___
01.
AC = 10km
02.
AD
___
= 2,5 km
02) ( FUVEST ) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o
ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o
raio da circunferência que circunscreve o triângulo
____
04.
BC
=5
3 km
BAˆ D mede 60°
08. O ângulo
16. A velocidade média do barco é de 15km/h
03) Determine o valor de x na figura abaixo
10) ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x
B
04) Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo
abaixo, é:
60°
30°
C
D
A
AD = x
DC= x - 38
BD = y
AULA 03
TEOREMA DOS CO-SENOS
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados,
menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo coseno do ângulo formado por eles.
Tarefa Mínima

01) Determine o valor de x na figura abaixo:
02) ( UFSC ) Na figura, a medida do lado AC é 75
cm. A medida, em cm, do lado AB será:
5
2
A
ângulo L Â C = 30°. Após navegar 4 milhas até B,
verifica o ângulo L B̂ C = 75°. Quantas milhas
separam o farol do ponto B?
45°
30°
C
B
03) O triângulo ABC está inscrito na circunferência de
a) 2
2
b)
c) 2
3
2
d) 3
e) 4
centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a soma
dos números associados às proposições verdadeiras:
3
2
09) Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e
BC = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa
ao lado BC.
A
75°
10) ( FUVEST ) No quadrilátero dado a seguir,
BC = CD = 3cm, AB = 2cm, A D̂ C = 60° e
O
A B̂ C = 90°.
60°
C
B
D
C
01. O triângulo ABC é equilátero
02. o raio da circunferência vale 2cm
___
04. AB = 2 2 cm
08. O comprimento da circunferência é 4 cm
B
A
O perímetro do quadrilátero, em cm, é:
a) 11
d) 14
04) ( PUC-SP ) Dois lados consecutivos de um paralelogramo
b) 12
e) 15
c) 13
medem 3 2 cm e 5cm e formam um ângulo de 45°. Podemos
afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede:
AULA 04 e 05
a) 4
d)
b)
13
e) 4
11
2
c) 3
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
05) ( FUVEST ) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5
e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6
d) 2/3
b) 4/5
e) 1/8
1. ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
c) 3/4
Tarefa Complementar

06) ( CESGRANRIO ) No triângulo ABC, os lados AC e
BC medem respectivamente 8cm e 6cm,
respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do
ângulo B vale:
a) ½
d) 4/5
b) 2/3
e) 5/6
c) 3/4
Arco de uma circunferência é cada uma das partes que fica
dividida uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos.
07) ( FUVEST-SP ) Numa circunferência está inscrito um
___
triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da
circunferência. O ângulo B Â C mede:
a) 15°
c) 36°
e) 60°
b) 30°
d) 45°
08) ( ITA-SP ) Um navio, navegando em linha reta, passa
sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,
quando o navio está em A, observa o farol L e mede o
6
Exemplo:
1) 30º, 390º, 750º, 1110..........
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem
apenas no número de voltas.
A expressão x = 30º + 360º . k, com k  Z, é denominada
expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira
determinação positiva.
A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:
 + k . 360º, com k  Z.
 Se um arco mede  radianos, a expressão geral dos arcos
A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui
vértice no centro da circunferência).
côngruos a ele é dada por:
 + k . 2, com k  Z.
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.
 Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento é
1
do comprimento da circunferência.
igual a
360
SENO e CO-SENO DE UM ARCO
1. Definição
Logo a circunferência tem 360º.
Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:
1º = 60'
Considere o arco que possui extremidades na origem do
ciclo trigonométrico e no ponto M ao qual corresponde o ângulo
central .
1'= 60''
 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio
da circunferência onde está contido.
Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.
Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos.
Portanto:
360º

2 rad
180º

 rad
Denomina-se sen  a projeção do raio OM, pela extremidade M
do arco sobre o eixo y.
Denomina-se cos  a projeção do raio OM, sobre o eixo x
2. CICLO TRIGONOMÉTRICO
Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um
sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo
trigonométrico.
Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas
quadrantes.
Anti Horario  Positivo
ORIENTAÇÃO 
Horario  Negativo
2. Sinais
3. ARCOS CÔNGRUOS
Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus
valores é um múltiplo de 360º.
7
3. Tabela
x  a  2k (congruos)
 cos x = cos a 
x   a  2k (suplementares)
Exercícios de Sala

01) Expressar em radianos os seguintes arcos:
a) 300º
b) 60º
c) 12º
02) Um arco de 200° equivale em radianos a:
Note que: – 1  sen   1 e – 1  cos   1
a)
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é possível
determinar os valores de seno e co-seno de arcos do 2º, 3º e 4º
quadrantes
2
3
b)
5
2
c) 4
d)
10
9
e) 6
03) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos a:
4. Equações trigonométricas num intervalo
dado
a) 930º
Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções
Trigonométricas em seus membros.
São exemplos de equações trigonométricas:
b)
23
rad
6
04) Determine o valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1) sen x = 1
2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0
Não é possível estabelecer um método para resolver todas
equações trigonométricas, pois existe uma infinidade, para isso
apresentaremos alguns tipos básicos.
sen 150°
cos 150°
sen 210°
cos 210°
sen 330°
cos 330°
05) Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5
admite solução.
a)
b)
c)
d)
e)
x  a  2k (congruos)
 sen x = sen a 
x    a  2k (suplementares)
8
-1m1
-2m5
2m3
2<m<3
1<m<2
Tarefa Mínima


Tarefa Complementar
08) ( Mack-SP ) A menor determinação positiva de 4900º é:
01) Obter a medida em graus dos seguintes arcos:
a)
b)
2
3
a) 100°
d) 80º
c) 40º
09) ( UFPA ) Qual a 1ª determinação positiva de um arco
de 1000º?

6
a) 270º
d) 300º
b) 280º
e) 310º
c) 290º
10) ( SANTO AMARO-SP ) Às 9 horas e 10 minutos, o
menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:
02) ( UFMG ) Transformando 7º30' em radianos, teremos:
a)
b)
c)
d)
e)
b) 140º
e) n.d.a.
/24
/25
/30
3/25
5/32
a) 135º
d) 150º
b) 140º
e) n.d.a.
c) 145º
11) ( UFPR ) O maior ângulo formado entre os ponteiros
de um relógio, às 23h45min, vale:
03) Determine o valor da expressão
sen 90. cos 0  cos180.sen 270
sen 2 0  cos 2 180
a) 189º30'
b) 277º30'
d) 254º45'
e) 277º50'
c) 270º
12) ( UFSC ) O maior valor numérico que y pode assumir
quando y  37  2senx , é:
3
13) ( UFPA ) O menor valor positivo que satisfaz a
equação 2 sen x = 1 é:
04) Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:
a) /6
d) /2
a) 1º quadrante
b) 2º quadrante
c) 3º quadrante
d) 4º quadrante
e) n.d.a.
c) /3
14) ( UM-SP ) O menor valor positivo de x para o qual
9- cos x =
1
é:
3

6
b)
05) A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:
a)
b)
c)
d)
e)
b) /4
e) n.d.a.
a)
2m3
1m4
-1  m  1
2<m<3
0m1

4
c)

3
d)

2
e)
2
3
15) Determinar o número de soluções da equação
2sen x cos x = sen x no intervalo 0  x < 2.
AULA 06
06) Resolver, no intervalo 0  x < 2, as seguintes
equações:
RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA
a)
b)
sen x = 1
cos x = 0
c)
sen x = 
d)
cos x =
TRIGONOMETRIA
1

2
sen2  + cos2  = 1 (Relação Fundamental)
A relação vista também vale para arcos com extremidades fora
do primeiro quadrante.
2
2
Exemplos: sen230° + cos230° = 1
sen2130° + cos2130° = 1
07) Sabendo que 0  x < 2, o conjunto solução da
equação: sen 2 x  3sen x  4 = 0 é:
Vale lembrar que se  +  = 90°, sen  = cos .
Logo vale também relações do tipo:
a) {90º}
b) {-90º}
c) {270º}
d) {180º}
e) {30º}
sen2 50° + sen2 40° = 1
sen 210° + sen2 80° = 1
9
4. Equação trigonométrica
TANGENTE DE UM ARCO
 x  a  2k
 tg x = tg a
1. Definição
Associa-se ao circunferência trigonométrica mais um eixo,
a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de
coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM, ao
segmento
PQ
determinado sobre o eixo das tangentes.
Exercícios de Sala

2. Sinais
01) Sabendo que sen x =
2
3
e que

2
 x   , calcule
cos x:
02) ( F.C.Chagas-BA ) As sentenças sen x = a e
cos x = 2 a  1 são verdadeiras para todo x real, se
e somente se:
a) a = 5 ou a = 1
c) a = 5 ou a = 1
e) n.d.a.
3. Tabela
b) a = -5 ou a = -1
d) a = 1
03) Resolver no intervalo 0  x < 2, a equação
2cos2x = – 3sen x
04) Determina o valor de:
a) tg 120°
b) tg 210°
c) tg 330°
05) Resolva no intervalo 0  x < 2 as seguintes equações:
a)
tg x =
3
3
b) tg2x – 1 = 0

Tarefa Mínima
01) No intervalo
1
3
 x  2 se sen x =  , calcule
3
2
cos x.
02) ( UFSC ) O valor, em graus, do arco x
equação: 1  cos2x + sen x = 0 é:
0 x

2
na
03) O valor de tg 315° + tg 225° é
04) ( UFSC ) Considere o ângulo x = 1215°. Determine
|tg x |
05) Resolva as seguintes equações no intervalo 0  x < 2
10
Sinais das Funções Trigonométricas
3
a)
tg x =
b)
tg2x + tg x = 0
1°Q
+
+
+
seno e cossecante
cosseno e secante
tangente e cotangente

Tarefa Complementar
06) Determine m de modo que se obtenham
Exercícios de Sala
3  3m
simultaneamente, sen x = m e cos x =
2°Q
+


3°Q


+
4°Q

+


01) Determine o valor de:
07) No intervalo 0  x < 2, determine o número de
soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x
08) ( FURG-RS ) O valor numérico da função
f(x) = sen2x – tg x + 2cos 3x para x =
3
4
a) cossec 30°
b) sec 30°
c) cotg 30°
d) cossec 210°
e) sec 315°
f) cotg 300°
é:
02) Sendo sen  =

4
5
e
3
   2
2
, calcular:
09) ( PUC-RS ) O valor numérico de
sen
3x
x
 2tg
2
4
3 cos x
a) 5/2
para x =
b) 5/3

3
c) 3/2
é:
d) 2/5
10) No intervalo 0  x < 2, a equação
possui quantas soluções?
e) 0
a) cos 
b) tg 
d) sec 
e) cosec 
Tarefa Mínima
3 tg2x + tg x = 0
b) 2
e) 5
a) 3/4
c) 4/5
e) 4/5
2
o valor de:  32 tg x + 1
As Demais Relações Trigonométricas, com as condições de
existência obedecidas são:
sec x =
sen x
cos x
1
cos x
3
5
e

x,
2
determine
04) ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão
sena tga coseca
, obtém-se:
cosa cotga seca
cotg x = 1
tg x
cossec x =
b) 1/2
d) 3/4
03) ( UFSC ) Dados sen x =
sen x + cos x = 1 (Relação Fundamental)
tg x =
c) cotg 315o
02) ( Faap-SP )Se sen x = 3/5, com x  4º quadrante,
então tg x é:
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

b) cossec 150o
c) 3
AULA 07
2

01) Determine o valor de:
a) sec 60o
a) 1
d) 4
c) cotg 
a) 0
c) sen2a
e) tg2a
1
sen x
b) sec2a
d) 1
Tarefa Complementar
A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas
relações Derivadas.

05) ( UFSC )Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro
quadrante, então o valor da expressão
9.(sec2 x + tg2 x) é:
Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x tem-se:
1 + cotg2 x = cossec2 x
06) ( UFSC ) Calcule o valor numérico da expressão:
E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x tem-se:
sen30   cos120  cosec150   cotg330  
sec300   tg60   cotg225  
tg2 x + 1 = sec2 x
11
07) ( UFCE ) Para todo x  1º quadrante, a expressão
(sec x - tg x)(sec x + tg x)  sen2x é igual a:
b) 1 + sen2x
a) cos2x
c) cos x - sen x d) sec x + cos x
e) n.d.a.
08) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A medida em radianos de um arco de 225º é
11π
6
rad.
A cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado
(x, y).
02. A menor determinação positiva de um arco de
1000° é 280°.
04. Os valores de m, de modo que a expressão
sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].
08. sen x > cos x para
16. Se tg x =
3
4


x
4
3
e x
sen x – cos x é igual a
5
4
.
, então o valor de
2
1

.
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde o
número real xp é chamado abscissa do ponto e o número real yp é
chamado ordenada do ponto.
32. Se sen x  0, então cosec x  0.
64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para
0  x  2 é x =
09) ( UFSC ) Dado sen x =

6
3
5
5
ou x =
6
OBSERVAÇÕES
.
 Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua
 
0 2  , calcule o
ex 

valor numérico da expressão:
 sec 2 x cotgx  cosecx tgx 


6 senx cosec 2 x


1


10) ( FATEC ) Se x e y são números reais tais que
y=
e x  e xtg 4 x
, então:
sec x  tg 2 x.sec x
a) y = ex
c) y =
1. Distância entre dois pontos
b) y = ex(1 + tg x)
x
e
cos x
x
d) y =
ordenada é nula.
P (xp, 0)
Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua
abscissa é nula.
P (0, yp)
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares,
então suas coordenadas são iguais
xp = yp
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares,
então suas coordenadas são simétricas.
xp = - yp
e
sec x
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano,
a distância entre eles pode ser calculada em função de suas
coordenadas. Observe a figura abaixo:
e) n.d.a.
AULAS 08 e 09
GEOMETRIA ANALÍTICA
ESTUDO DO PONTO
O sistema cartesiano ortogonal como já vimos em funções, é
composto por duas retas x e y perpendiculares entre si, no ponto
O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas e a reta y é
denominada eixo das ordenadas.
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas
quadrantes numerados no sentido anti-horário.
O triângulo ABC é retângulo em C, então:
AB 2  AC 2  BC 2
12
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos:
OBSERVAÇÕES:
2
d AB   xB  x A    y B  y A 
2
xA
 O determinante xB
xC
2. Ponto Médio de um Segmento
yA
1
yB
1 foi tomado em módulo, pois
yC 1
a área é indicada por um número positivo.
Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e B(xB,
yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é
encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B.
Observe a figura:
 Se o determinante
xA
yA
1
xB
yB
1
xC
yC 1
for nulo, dizemos que
os pontos estão alinhados.
Exercícios de Sala 
01) Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:
a) distância entre A e B
Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo
no eixo x tem-se:
xM  xA = xB  xM
xM 

b) Ponto Médio do segmento AB
xA  xB
2
02) Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos
pontos A(3,1) e B(2,4). Calcular a abscissa a do
ponto P.
no eixo y tem-se:
yM  yA = yB  yM
yM 

y A  yB
2
03) Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); C(4,5). O
valor da medida da mediana AM do triângulo ABC
é:
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terá as seguintes
coordenadas
a) 3
d) 6
 x  xB y A  yB 
M A



2
2 
Tarefa Mínima 
01) ( Mack-SP ) Identifique a sentença falsa:
Considere o triângulo abaixo:
a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.
b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes
pares.
y
B
C
yC
e) o ponto ( 3 + 1,
quadrantes pares.
yA A
xA
xB
xC
A=
1
. xB
2
xC
3 + 1) pertence à bissetriz dos
02) ( Cesgranrio ) A distância entre os pontos M(4,-5) e
N(-1,7) do plano x0y vale:
x
Quando se conhece as coordenadas dos vértices A, B e C pode-se
demonstrar que a área desse triângulo é dada por:
xA
c) 5
04) Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de um
triângulo ABC. Calcular a área desse triângulo.
3. Área de um Triângulo conhecendo as
coordenadas do vértice
yB
b) 4
c) 7
03) ( UFRGS ) A distância entre os pontos A(-2,y) e
B (6,7) é 10. O valor de y é:
a) -1
d) -1 ou 10
yA 1
yB 1
b) 0
c) 1 ou 13
e) 2 ou 12
04) ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas,
eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:
yC 1
a) A(2,0)
d) D(0,2)
13
b) B(5,0)
e) E(4,0)
c) C(3,0)
x
05) Calcular a área do triângulo ABC. Dados:
A(8, 3); B(4, 7) e C(2, 1)
A, B e P estão alinhados se e só se: xA
xB
Tarefa Complementar 
06) ( UFSC ) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),
determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos
pontos A e B.
Desenvolvendo
Logo:
y
10) ( UCP-RJ ) A distância da origem do sistema
cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos
(-2,-7) e (-4,1) é:
d) 1
e) 3
b) 2,5
c) 2
d) 4
1
ax + by + c = 0
temos:
equação geral da reta.
a c
a
c
substituindo  por m e 
por n temos:

b b
b
b
y = mx + n
Equação Reduzida da Reta
onde o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e
n o coeficiente linear da reta.
2
3. Coeficiente Angular e Linear da
Reta
11) ( Mack-SP ) A área de um triângulo é 25/2 e os seus
vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:
a) 3
1
Pode-se obter a equação reduzida da reta isolando-se na equação
geral y.
Veja: ax + by + c = 0
by = ax  c
a) (-1,2), (5,0), (7,4)
b) (2,2), (2,0), (4,4)
c) (1,1), (3,1), (5,5)
d) (3,1), (1,1), (3,5)
c) -3
yA 1  0
yB 1
yB
2. Equação Reduzida da Reta
09) ( UFJF-MG ) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos
médios dos lados de um triângulo, quais são os seus
vértices?
b) 2
xA
xB
yA 1  0
(yA  yB) x + (xB  xA) y + xAyB  xByA = 0
a
b
c
b) escaleno
d) retângulo
08) ( PUC-SP ) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em
módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo
em B é:
a) 3
y
1
x . yA + xA . yB + y . xB  yA . xB  x . yB  y . xA = 0
07) ( FCC-BA ) O triângulo cujos vértices são os pontos
(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é:
a) eqüilátero
c) isósceles
e) n.d.a.
x
y
Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é o
coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta.
Vejamos, agora, o significado geométrico deles.
e) 5
12) A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:
A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em
unidades de área, é:
COEFICIENTE LINEAR
O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eixo
y.
AULA 10
COEFICIENTE ANGULAR
ESTUDO DA RETA
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo
, onde  indica a inclinação da reta em relação ao eixo x.
Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação.
Com tal equação pode-se determinar se um ponto pertence ou
não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque:
 A Equação Geral e
 A Equação Reduzida
1. Equação Geral da reta
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de
alinhamento de 3 pontos.
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).
m = tg  ou m 
14
yB  y A
xB  x A
03) Determine a equação da reta representada pela figura
abaixo:
CASOS PARTICULARES
 Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo  é igual a 0,
logo o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.
Tarefa Mínima 
 Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo  é igual a 90º,
logo o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é
definido.
01) Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e
B(2, - 3), determine:
a)
b)
c)
equação geral
equação reduzida
coeficiente angular e linear da reta
02) Considere a reta r indicada pela figura abaixo
4. Equação do Feixe de Retas
Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um
ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso usase a relação: y  yo = m(x  xo)
Assinale a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
01. A equação da reta r é y = x – 1
02. o coeficiente linear da reta r é – 1
04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é
45o
08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)
16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de
coordenadas (1,0)
Exercícios de Sala 
03) Determine a equação da reta r indicada abaixo
01) Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e
B(4, 9), determine:
a)
b)
c)
equação geral
equação reduzida
coeficiente angular e linear da reta
02) Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
a)
r: 2x + 3y + 1 = 0
b)
04) ( FGV-SP ) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à
reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é:
a) 3
d) 2
b) 3,25
e) 9
c) 2
13
05) ( Fac. Moema-SP ) O coeficiente linear e angular da
reta 2x  3y + 1 = 0 são, respectivamente:
c)
a) 2 e 3
c) 2/3 e 1/3
e) n.d.a.
15
b) 2/3 e 1
d) 1/3 e 2/3
Tarefa Complementar 
Considere as retas r e s de equações:
r = m1x + n1
06) A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem
coeficiente angular 3.
e
s = m2x + n2
Assim, podemos ter as seguintes situações:
07) Considere as retas r e s indicadas abaixo:

PARALELAS DISTINTAS:
m1 = m2

PARALELAS COINCIDENTES:
m1 = m2 e n1 = n2

CONCORRENTES
m1  m2

CONCORRENTES E PERPENDICULARES:
m1 . m2 =  1
2. Distância de ponto à reta
Determine a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta
r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser
calculada pela expressão:
01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0
02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0
04. o ponto de interseccão das retas r e s possui
coordenadas (2, 1)
08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)
08) ( UFSC ) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,
e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo
ponto P(a,b). O valor de a + b é:
09) Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,
5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
10) ( UFPR ) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),
B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um
quadrado. É correto afirmar que:
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta
r de equação 5x + 2y  6 = 0.
01. a origen do sistema de coordenadas está no interior
do quadrado.
02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente
angular 1/2
04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a
diagonal BD do quadrado.
08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto
(0, -4)
16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)
Resolução:
d
5.4  2.3  6
4 2  32
d 
20
d 4
5
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades
Exercícios de Sala 
01) Considere a reta r indicada pela figura abaixo:
AULA 11
ESTUDO DA RETA
1. Posição relativa entre 2 retas
No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:
 Concorrentes
 Paralelas
 Coincidentes
16
Tarefa Complementar 
Determinar:
a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é
paralela à reta r
b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é
perpendicular à reta r
06) ( UFSC ) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7),
determine a medida da altura do triângulo ABC
relativa ao lado BC.
07) ( UFSC ) De acordo com o gráfico abaixo, assinale
a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
02) Determinar a distância do ponto A(2, 3) à reta r de
equação y = 2x + 5
03) ( UFSC ) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e
s: 4x + ky -5 = 0. Determine a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto
(1, -2) é 17.
02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam
no ponto
 7
 0 
 5
é 25/7.
04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .
08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s
no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.
16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta
r é 20.
01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.
02. A reta s e a reta r são perpendiculares.
04. As retas r e s se interceptam no ponto de
abscissa
Tarefa Mínima 
s e pelo eixo das abscissas é igual a
09) A medida da altura do trapézio cujos vértices são os
pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:
10) ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no
gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é
2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao
eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é
perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:
e) – 3
05) ( UEL-PR ) A distância entre as retas de equações
a) k = 0
d) k = 0 ou k = 8
2
b) k = 4
e) k = -4 ou k = 8
10
a) 2x - 3y - 1 = 0
b) 2x + 3y - 7 = 0
c) 3x + 2y - 8 = 0
d) 3x - 2y - 4 = 0\
04) Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e
C(4,1). A altura em relação à base BC mede:
x - y + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a
somente se:
3
08) ( UFRGS ) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são
extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A
equação da reta suporte da outra diagonal é:
03) ( Cesgranrio-RJ ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e
(s) ax + 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o
parâmetro a vale:
d) 6
2
unidades de área.
b) – 5x + y + 10 = 0
d) 5x – y – 10 = 0
c) – 6
2
unidades.
16. A área da região do plano limitada pelas retas r,
02) A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é
paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:
b) 2
.
coordenadas cartesianas à reta r é de
a) são paralelas
b) são coincidentes
c) são concorrentes mas não perpendiculares.
d) interceptam-se no 1º quadrante e são
perpendiculares.
e) interceptam-se no 4º quadrante e são
perpendiculares.
a) – 2
5
08. A distância da origem do sistema de
01) ( UFRGS ) As retas com equações respectivas
4x + 2y - 4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0
a) 5x + y + 10 = 0
c) 5x – y + 10 = 0
e) – 5x + y – 10 = 0
4
se, e
c) k = 8
17
Logo, a equação procurada é: (x  2)2 + (y  5)2 = 9
01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).
02. o ponto C é (0,
3
2
).
CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir
centro na origem então a equação
(x  )2 + (y  )2 = R2
fica reduzida a: x2 + y2 = R2
04. a distância entre r e s é 3.
08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,
respectivamente,
1
2
,
1
2
e –2.
2.2. Equação Geral:
16. a equação da reta t é y = –2x + 6.
32. a equação da reta horizontal que passa por A é
x = 0.
64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.
A Equação Geral da circunferência obtém-se
desenvolvendo a equação reduzida. Veja:
(x  a)2 + (y  b)2 = R2
x2  2ax + a2 + y2  2by + b2 = R2
x2 + y2  2ax  2by + a2 + b2  R2 = 0
AULA 12
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
GEOMETRIA ANALÍTICA
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
onde:
A =  2a; B =  2b; C = a2 + b2  R2
Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência
de raio 3 e centro C(2, 5)
1. Definição
Denomina-se circunferência ao conjunto de pontos de um
plano  que eqüidistam de um ponto C denominado centro da
circunferência. Essa distância é denominada raio da
circunferência.
Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2
(x  2)2 + (y  5)2 = 32
(x  2)2 + (y  5)2 = 9
x2  4x + 4 + y2  10y + 25  9 = 0
Logo, a equação geral é x2 + y2  4x  10y + 20 = 0
R
3. Condição de existência
C

Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma
equação do 2º grau completa.
x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0
2. Equação da circunferência
Sendo assim essa equação só irá representar a equação de uma
circunferência se e só se:
 Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero.
 Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.
 A2 + B2  4AC > 0
4. Posições relativas da circunferência
4.1. Ponto e Reta
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência
(x  )2 + (y  )2 = R2. Em relação a circunferência, o ponto P
pode assumir as seguintes posições:
Seja C(a, b) o centro da cir cunferência e P(x, y) um ponto
genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o
raio da circunferência.
Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes
formas:
2.1. Equação Reduzida:
Para determinar a posição do ponto P em relação a
circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da
circunferência. Assim, podemos ter:
(x  a)2 + (y  b)2 = R2
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 < 0  P interior à circunferência
Exemplo: Determinar a equação da circunferência de raio
3 e centro C(2, 5)
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 = 0  P pertence à circunferência
Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2
(x  2)2 + (y  5)2 = 32
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 > 0  P exterior à circunferência
18
4.2. Reta e Circunferência
Tarefa Mínima 
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x
 )2 + (y  )2 = R2 . Em relação à circunferência, a reta pode
assumir as seguintes posições:
01) A equação da circunferÍncia de centro C(-2,2) e
tangente aos eixos coordenados é:
a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4
c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2
e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4
b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4
d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
02) ( ACAFE-SC ) A circunferência de equação
x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de
q é:
a) 2
d) – 2
Para determinar a posição da reta r em relação a circunferência,
substitui-se a equação da reta na equação da circunferência.
Assim, teremos uma equação do
2º Grau. Então, se:
a) primeiro quadrante
c) terceiro quadrante
e) eixo x
  = 0  reta tangente (existe um ponto de intersecção)
a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0
b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0
c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0
d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por
um sistema de equações.
Exercícios de Sala 
05) ( PUC-SP ) Seja a circunferência , de equação
x2 + y2 - 4x = 0. Determinar a área da região limitada
por .
01) Determinar a equação da circunferência na forma
reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:
a) 4
d) 3
b) C(2, -3) e R = 5
5
d) C(0, 3) e R =
5
b) 5
e) 8
b) 2
e) n.d.a.
c) 5
Tarefa Complementar 
02) A soma das coordenadas do centro da circunferência de
equação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é:
a) 4
d) 7
b) segundo quadrante
d) quarto quadrante
04) ( UECE ) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma
circunferência que tem o segmento MN como um
diâmetro, então a equação de C1 é:
  > 0  reta secante (existe dois pontos de intersecção)
c) C(3, 0) e R =
e) C(0, 0) e R = 3
c) 3
03) O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é
um ponto localizado no:
  < 0  reta externa (não existe ponto de intersecção)
a) C(4, 7) e R = 2
b) – 3
e) – 1
06) ( Mack-SP ) O maior valor inteiro de k, para que a
equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma
circunferência, é:
c) 6
a) 10
d) 15 e) 16
03) ( UFSC ) Seja C uma circunferência de equação
x2 + y2 -2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação
x + y = 6. Determine a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
b) 12
c) 13
07) ( UFRGS ) O eixo das abscissas determina no círculo
x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento
08) ( FGV-SP ) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na
circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de
comprimento igual a:
01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da
circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.
02. A circunferência C limita um círculo cuja área é
8.
04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar
que C e r são secantes.
08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio
a) 3
d) 6
3
e) 2 2
b)
c) 2 3
09) Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que
a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.
2
é tangente externamente à circunferência C.
16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, podese afirmar que o ponto P é exterior à C.
a) 16
d) 32
19
b) 4
e) n.d.a.
c) 2
AULA 6
10) ( UFSC ) Considere a circunferência C:
 x  4    y  3
2
2
 16 e a reta
2 2
2) 00
3
 4 
5) a) 4)  ,
 b)
3 3 
r: 4x + 3y  10 = 0.
1)
Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. r  C = .
02. O centro de C é o ponto (3, 4).
04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas
em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)
ponto.
08. A distância da reta r ao centro de C é menor do
que 4.
16. A função y dada pela equação da reta r é
decrescente.
6) 01
7) 01
8)
3) 00
4) 01
3 7 

0, , , 
4 4 

2
9) b
10) d
2) a
3) 25
8) 86
9) 12
10) c
3) e
10) e
4) e
11) a
5) 16
12) 81
AULA 7
GABARITO – MAT B
1) a) 2
b) 2
6) 01
7) a
c) – 1
4) e
5) 41
6) 08
7) c
AULAS 8 e 9
AULA 1
1) a) 81
b) – 81
1
16
15
g)
h)
13
c) 81
8
125
d) 1
i) 18
e) 0
j) – 5
5) a) 5 2
2
6) e
12) 31
b)
2 3
7) 15
13) c
c) 2 25
5
8) c
14) d
d) 5(
1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7 c) – 5 e 7
50
2
2) 23
7) 07
3 2)
4) x = 2 y = 2
3
7) x = 100
2
c) 5
10) e
2) e
3
5) 14
6) 180 m
y = 100
8) e
9) 31
11) e
2
2) 75
6) b
9) 2
7
10) b
4) b
6)
10) 57
3) 14
7) b
2) a
5) a
a) S =
c) S =
7) c
13) c
b) 30°
 
 
2
 7 33 
 ,

 6 18 
4) d
8) a
8) c
14) c
9) b
15) 04
3) 2
 3 
 , 
2 2 
 7 
 , 
4 4 
b) S =
d)
4) c
9) 90
1) c
2) a
3) c
4)
6) 04
7) 09
8) d
9) 02
10) 90
2) c
8) c
3) a
9) a
4) a
10) 28
5) a
1) a
7) 08
AULAS 4 e 5
1) a) 120°
3 -2
5) d
10) 20
6) y = 3x – 2
10) c
11) b
5 2
2
5) d
AULA 12
3) 30°
AULA 3
1) 4
5) e
3) y = x
8) 55
AULA 11
9) d
15) e
AULA 2
1) a) 6 b) 3
2) 13
9) a
AULA 10
k) 35/12
b) 2
2) a) 2
100
101
102
200
99
3) a) 2 + 1 b) 2
c) 2
d) 2
e) 2
f)
4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4 f) – 0,5
3
1) e
8) 03
f) 1
12) 13
20
6) c
AULA 01
Tarefa Mínima
NÚMEROS PROPORCIONAIS

1. Razões e Proporções
01) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos
para o curso de Odontologia. Sabendo que foram
fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de
candidatos em relação ao número de vagas?
Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de
duas grandezas na mesma unidade.
Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao
02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é
quociente de a por b e indica-se por
60 e que a razão entre eles é 2 .
a
b
3
03) Determinar os valores de x e y sendo:
a
é usualmente lida assim: “a está para b”.
b
Obs.: a razão
x – y = 10 e
A igualdade entre duas razões é uma proporção.
Representação:
A expressão
a
b
=
04) Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números
diretamente proporcionais, então:
a c
=
b d
onde: a, d = extremos
c
y 1
=
x 3
a) x = 1
b) x = 2
c) x = 1
d) x = 4
b, c = meios
lê-se assim: a está para b assim como c
d
está para d
e
e
e
e
y=6
y = 12
y = 12
y=2
05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos
números 2, 3, 4 e 6.
Observações:

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas
sucessões numéricas dadas nessa ordem.
Tarefa Complementar
•
06) Divida o número 220 em partes inversamente
A e B são diretamente proporcionais se:
proporcionais aos números 2 , 3 e 4 .
a b c
= = =k
d e f
3 4 7
07) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos
e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas
pessoas.
k é a constante de proporção.
Propriedade:
•
a b c a+b+c
= = =
d e f d+e+f
08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente
proporcionais, isto, é, para que se verifique a
A e B são inversamente proporcionais se:
a.d=b.e=c.f=k
Propriedade: a . d = b . e = c . f =
Exercícios de Sala
igualdade
a b c
= =
1 1 1
d e f
ser respectivamente:
a) 2 e 36
c) 2 e 5
e) n.d.a.

b) 1 e 1
4 5
d) 5 e 35
09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a, 2, 5) e
(3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e
a + mb = 10, então m é igual a:
01) Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão
entre a distância percorrida e o tempo gasto em
percorrê-la é:
a) 0,4
d) 2,5
02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é
3
b) 1,0
e) 5,0
c) 2,0
10) p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que
p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1?
.
42 e que a razão entre eles é
9 x
5
, os valores de x e y devem
= =
y 8 20
4
a) – 2
d) 2
03) a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a
3, 5 e 7.
b) 0
e) 3
c) 0,5
11) ( UFMG ) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que
x y z
= = , o valor de x é:
2 3 4
b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a
3 e 4.
21
12) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 72 m. As
medidas de seus lados são inversamente proporcionais
a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado
desse terreno, é:
Ângulo Reto
13) ( UFBA ) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,
60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.
Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de
mortas para o número de vivas é:
a)
1
4
b)
1
5
c)
4
1
d)
4
5
Ângulo Obtuso
e) n.d.a.
14) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente
proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de
p e m.
x
1
2
m
Dois ângulos α e β podem ser:
a) complementares: α + β = 90º
b) suplementares: α + β = 180º
c) replementares: α + β = 360º
y
2
p
8
3. Ângulos opostos pelo vértice
15) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25
litros de gasolina. Determinar as razões das medidas.
a)
b)
c)
do óleo para a gasolina
da gasolina para a mistura
do óleo para a mistura
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes
AULA 02
4. Ângulos formados por duas
paralelas e uma transversal
GEOMETRIA PLANA
1. Ângulos
Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma
origem (vértice).
5. Triângulos
O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:
OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice
Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se
triângulo A, B, C (indicado por: ∆ABC) à reunião dos segmentos
AB, AC e BC.
2. Unidades angulares
Sistema Sexagesimal (Grau)
1 grau é
1 da circunferência.
360
Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´
Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua
abertura.
Quanto aos lados
Ângulo Agudo
22
b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo
equilátero.
Quanto aos ângulos
CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e
considerando a, o lado maior temos:
• a2 < b2 + c2 ⇔ triângulo acutângulo
• a2 = b2 + c2 ⇔ triângulo retângulo
• a2 > b2 + c2 ⇔ triângulo obtusângulo
Tarefa Mínima

01) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem
8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:
6. Ângulos num Triângulo
a)
A + B + C = 180°
80°
b) 70°
c) 40°
d) 20°
e) 10°
02) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então
esse ângulo mede:
6.1. Triângulo Equilátero
a)
45°
b) 135°
c) 100°
d) 175°
03) Determine o valor de x na figura abaixo:
r//s
25º
130º
x
Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°
04) Nas figuras abaixo, o valor de x é:
6.2. Triângulo Retângulo
a)
b)
Exercícios de Sala

01) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem
3x + 10° e x + 50°. Um deles mede:
c)
02) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse
ângulo mede:
a) 30°
d) 80°
b) 45°
e) 15°
s
c) 60°
03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x.
a) r //s
d)
23
05) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x
d) x = y
10) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.
A medida do ângulo y, em graus, é:
b) y = 2x c) x + y = 180°
e) 3x = 2y
Tarefa Complementar

11) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por
uma transversal de modo que a soma de dois ângulos
agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos
obtusos formados mede:
06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em
graus, do arco x é:
a) 142°
d) 150°
b) 144°
e) 152°
c) 148°
12) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida,
em graus, do ângulo 3 é:
07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento
mede:
a) 100°
c) 36°
b) 144°
c) 80°
e) n.d.a.
a) 50
d) 80
08) ( UFSC ) Dados os ângulos:
b) 55
e) 100
c) 60
∧
C = 75°01'52''
 = 22°32'15''
13) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o
seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em
graus, a medida do ângulo
∧
∧
D = 32°44'20''
B = 17°49'47''
Calcular o valor, em graus, da expressão:
14) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.
 ∧ ∧   ∧ ∧
 A + C −  B + D

 

r
60°
s
09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da
diferença x − y é:
Y
r // s // t
23o
70°
15) Na figura , o valor de x é:
r
s
y
t
112o
x
24
AULA 03
ESTUDO DOS POLÍGONOS
1. Elementos
• Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então
n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.
• Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.
POLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos
congruentes.
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa
circunferência.
2. Classificação
Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados.
Os mais conhecidos são:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Nomenclatura
Triângulos - 3 lados
Quadriláteros - 4 lados
Pentágono - 5 lados
Hexágono - 6 lados
Heptágono - 7 lados
Octógono - 8 lados
Eneágono - 9 lados
Decágono - 10 lados
Undecágono – 11 lados
Dodecágono - 12 lados
Pentadecágono – 15 lados
Icoságono - 20 lados
 é o lado do polígono
R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono
a é o raio da circunferência inscrita ou apótema
Triângulo Equilátero
h
Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados
iguais) e equiângulo (ângulos iguais)
3. Número de Diagonais
Quadrado
O número de diagonais de um polígono de n lados é
dado pela expressão:
4. Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n ≥
3) é dado pela expressão:
Hexágono Regular
5. Soma dos ângulos externos
A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n ≥
3) é sempre igual a 360°
Observações
•
Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo
interno ou externo através das seguintes relações:
25
Exercícios de Sala

b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo
01) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o
segmento de reta que une dois vértices não
consecutivos do polígono. Se um polígono convexo
tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?
a) 72
d) 27
b) 63
e) 18
c) 36
c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo
02) Em um icoságono regular ABCDE... calcule:
a) a soma dos ângulos internos
b) a soma dos ângulos externos
c) cada ângulo interno e externo
03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 2
determine:
a)
b)
c)
3 cm,
05) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa
circunferência mede 2 6 cm. Determine a
medida da altura do triângulo.
altura do triângulo
raio da circunferência circunscrita
raio da circunferência inscrita
a)
04) Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma
circunferência cujo raio, em cm, é igual a:
a) 5
c) 10
e) 3
2
2
2
2
Tarefa Complementar
3
Tarefa Mínima
b) 2
c) 4
c) 3
2
d) 2
e) n.d.a.
2 cm
e) 80 cm

07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos
ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:
um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do
lado desse hexágono, em centímetros, é:
3
2
a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20
05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de
a)
d)
b)
06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de
árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados,
cujas arestas das bases meçam 20cm, é:
b) 10
d) 20
2
2
a) 15 diagonais
c) 25 diagonais
e) 35 diagonais
c) 2,5

b) 20 diagonais
d) 30 diagonais
08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o
número de lados é 1/3.
01) O polígono que tem o número de lados igual ao
número de diagonais é o:
a) hexágono
c) triângulo
e) não existe
09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono
regular medem 20°. Então o número de diagonais
desse polígono é:
b) pentágono
d) heptágono
a) 90
c) 119
e) 152
02) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a) 230°
d) 28°
b) 130°
e) 150°
c) 144°
10) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de
lado “a”. A diagonal AB mede:
03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo
do externo?
a) Dodecágono
c) Octógono
e) Hexágono
b) 104
d) 135
A
b) Pentágono
d) Heptágono
04) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:
B
a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo
a) 2a
b) a
c) a 3
d) a
e)
2
2a 2
3
26
2
3
11) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das
circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:
a)
d) 2
2
3
b)
3
e)
3
2
c) 2
Conseqüências
2
12) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de
um hexágono regular. A medida, em graus de um dos
ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:
a) 90
d) 120
b) 100
e) 150
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência
tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo
retângulo.
c) 110
2.3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior
13) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono
Regular.
14) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e
inscrito de um triângulo equilátero de lado a?
15) Determinar em função do raio R, o lado de um
decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.
AULA 04
2.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior
CIRCUNFERÊNCIA
1. Elementos
2.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência
Raio: segmnento CB.
Corda: segmento MN.
Diâmetro: segmento AB.
2. Ângulos da circunferência
3. Segmentos Tangentes
2.1. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro
da circunferência.
2.2. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na
circunferência.
4. Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência,
a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois:
Propriedade:
27
b)
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Semelhança de Triângulos
x
20°
O
Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos
internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temse:
c)
Â = D̂

a
b c

Se : B̂ = Ê então
= = =k
d e f

Ĉ = F̂
02) Determine o valor do complemento do ângulo x
indicado na figura abaixo:
k é a constante de proporção ou constante de semelhança
Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos
semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados
homólogos quaisquer.
x
40°
Triângulo Retângulo – relações métricas
Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.
03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC,
AB =8, AC=9 e BC= 7
. Então x vale:
A
Seus elementos são:
 a: hipotenusa
 b e c: catetos
 h: altura relativa à hipotenusa
 n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a
hipotenusa.
B
P
C
x
a) 1,5
d) 4,6
b) 2,8
e)5,0
c) 3,0
04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B̂ D são
congruentes. Então o valor de x é:
Relações Métricas
Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as
seguintes relações:
 a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)
 a.h = b.c
 b2 = a.n
 c2 = a.m
 h2 = m.n
Exercícios de Sala

a) 42
d) 60
b) 32
e) 10
01) Determine o valor de x em cada caso abaixo:
Tarefa Mínima
a)
c) 21

01) Nas figuras abaixo, determine o valor de x
28
08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A,
e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do
ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura
AH do triângulo.
02) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é:
C
3x
A
150°
O
B
a) 25°
b) 30° c) 50°
d) 75º
e) 100°
03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos
arcos (AC) mede:
09) Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência.
Calcule o perímetro do triângulo PRS.
C
40°
B
A
10) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono
abaixo, calcule x + y.
04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:
x
2
3
10
11) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:
x+1
2x
3x
05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.
Nessas condições, determine o valor de x + y.
C
3x + 1
10
12) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e
9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao
primeiro, cujo perímetro mede 38cm.
a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm
c) 3cm, 7cm e 9cm
d) 10cm, 13cm e 15cm
e) 5cm, 14cm e 19cm
E
15
x
10
A
y
D
Tarefa Complementar
18
B

13) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em
três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´
mede 13cm e as retas BB´e CC´ são paralelas a DD´. Determine
os comprimentos dos segmentos AB´, B´C´ e C´D´
06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
14) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede
4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um
retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence
ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm,
é:
07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um
pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:
C
P
Q
A
M
a) 4
29
N
b) 8
B
c) 12
d) 14
e) 16
15) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B
têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância
entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente
interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule,
em centímetros, a medida do segmento CD.
AULAS 05
Círculo e suas partes
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Círculo
Triângulos Quaisquer
A = πR2
Coroa Circular
A = π (R2 – r2 )
Setor Circular
Triângulo Equilátero
A=
Exercícios de Sala
Quadriláteros
απR 2
360

01) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado
do quadrado EFGD mede, em m:
A
PARALELOGRAMO
E
D
10
F
2
B
A = a.h
C
a) 4
d) 5
b) 5
2
c) 2
5
e) 6
02) A área da coroa limitada pelas circunferências
inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:
a) 2,25π
d) 2π
30
b) 5π
e) 8π
c) 4π
Tarefa Mínima


Tarefa Complementar
01) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a
figura, é:
06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm,
BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero
MBNP é um losango de área 8cm2
C
A
4
120°
B
3
a)
b) 2
c) 3
d) 4
3
3
B
e) 6
numa circunferência de raio
2
3 cm2
3 cm2
c) 2
e) n.d.a.
a) 15
c) 60
é igual a:
b) 3
d) 2
C
N
A medida, em graus, do ângulo BNP é:
02) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito
a) 3
P
M
A
3
b) 30
d) 75
c) 45
07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é
aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A
área do novo retângulo formado é:
2 cm2
2 cm2
a) 1,04 S
c) S
e) 0,96 S
03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm.
Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em
centímetros quadrados, é:
b) 1,02 S
d) 0,98 S
08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um
retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em
quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo
CEF e a área do retângulo é:
D
C
A
F
B
G
a) 1/6
c) 1/8
e) 1/10
04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido
em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a
figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da
de A e um terço da de C.
B
E
b) 1/7
d) 1/9
09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita
e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado
6cm é igual a:
A
C
A
O
Com base nessas informações, é correto afirmar:
01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2.
02. A área de A é 1/6 da área de C.
04. A área de A é 24m 2.
08. Um dos lados de A mede 2m.
16. Um dos lados de C mede 8m.
B
C
10) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a
área do setor assinalado é:
05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de
16 π cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois
raios é 2cm, determine o valor numérico do produto
desses raios.
a)
d)
7π
7π
9
18
5π
8π
9
31
b)
e)
9
c)
5π
18
11) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC
medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito
nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x
cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para
que a área do retângulo seja máxima?
12) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num cercado de
pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo
50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada
num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule
a área, em metros quadrados, da região do cercado que o
cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.
a) 1244
c) 1422
e) 1444
Poliedros Regulares
b) 1256
d) 1424
Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e
ângulos formados pelas faces iguais.
13) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua
área cresce:
a) 14%
d) 44%
b) 14,4%
e) 144%
c) 40%
14) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e
C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de
C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela
circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados,
calcule em cm2, a área do círculo limitado pela
circunferência C2.
15) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto
médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN =
NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e
CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.
AULAS 06
Exercícios de Sala

01) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces
quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e
vértices.
GEOMETRIA ESPACIAL
POLIEDROS
Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.
02) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces
quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine
o número de vértices.
03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular
de aresta l
Relação de Euler: V + F = A + 2

Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2)
onde “v” é o número de vértices.
Tarefa Mínima
Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro
limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?
01) (FISS – RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces
triangulares. O número de vértices desse poliedro é:
a) 12
c) 18
32
b) 15
d) 20
e) 24
02) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces
triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a
soma dos ângulos internos de todas as faces será:
a) 3240º
d) 4000º
b) 3640º
e) 4060º
AULAS 07
PRISMAS
c) 3840º
1. Definição
Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e
congruentes denominadas bases e as demais faces em forma de
paralelogramos.
03) (PUC –PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e
algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse
polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do
número de faces triangulares?
a) 6
d) 3
b) 4
e) 8
c) 5
04) (PUC – PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8
faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total
de faces desse poliedro?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
2. Elementos
05) (PUCCAMP – SP) Sobre as sentenças:
BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE
FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;
BCB´C; CDC´D´; ……
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´
e EE´
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada
altura do Prisma
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ;
D´E´ e E´A´
I . Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas:
a) I é verdadeira
b) II é verdadeira
c) III é verdadeira
d) I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras.
Tarefa Complementar

3. Nomenclatura
O nome do prisma dá-se através da figura da base.
• Prisma Triangular: As bases são triangulares.
• Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.
• Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos
06) Some as alternativas corretas:
01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10
vértices.
02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente
faces triangulares possui 9 arestas.
04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15
arestas.
08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices
pentaédricos possui 12 faces.
16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual
ao número de faces possui um número par de arestas.
Observação: Se o polígono da base for
regular, o prisma também será chamados de Regular.
07) (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente
faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o
poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número
de faces hexagonais?
4. Classificação
08) (CESGRANRIO – RJ) Considere o poliedro regular, de faces
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das
faces desse poliedro vale, em graus:
a) 180
b) 360
c) 540
d) 720
e) 900
De acordo com sua inclinação um prisma pode ser:
Reto: quando as arestas
laterais são perpendiculares
aos planos da base.
Oblíquo: quando as arestas
laterais são oblíquas aos planos
da base.
09) (UFRGS) Um octaedro regular possui:
a) mais diagonais do que vértices;
b) mais faces que arestas;
c) mais vértices do que faces;
d) menos diagonais que faces;
e) igual número de vértices e de arestas.
10) (PUC – PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro
regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é:
a) 12
b) 8
c) 6
d) 20
No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura.
e) 4
33
4. Fórmulas
Tarefa Complementar

Considere um prisma reto regular com n lados da base.
05) ( PUC-SP ) Se a área da base de um prisma diminui
10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:
a) aumenta 8%
c) aumenta 108%
e) não se altera
b) aumenta 15%
d) diminui 8%
06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango
cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente.
Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse
prisma, em cm3, é:
07) ( ITA-SP ) Considere P um prisma reto de base
quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de
80m2. O lado dessa base quadrada mede:
08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto
de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e
ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm2, é:
Exercícios de Sala 
01) Dado um Prisma triangular regular com
aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a
2cm. Determine:
a) 1852
c) 926
e) 508
b) 1016
d) 680
09) ( UFSC-2005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta
AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG
é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os
lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o
trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em
planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule
o volume (em cm3) do sólido limitado pelas faces
ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.
a) a área total do prisma
b) o volume do prisma
02) ( UFSC ) O volume de um prisma hexagonal regular
de 2cm de aresta da base é 42 3 cm3. A medida, em
cm2, da área lateral desse prisma é:
Tarefa Mínima 
01) ( ACAFE ) Um prisma de 8dm de altura tem por base
um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:
02) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área
total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da base
mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do
prisma é:
03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de
altura, cuja base é um hexágono de
a) 3 m3
c) 9 m3
e) 8
AULAS 08
3 m de
TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS
2 m de lado, é:
Paralelepípedo reto retângulo
Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são
paralelogramos a as faces opostas são retângulos congruentes.
b) 3 3 m3
d) 3 m3
3 m3
04) ( Mack-SP ) Num prisma de base triangular, a altura é
6
e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em
cm3:
34
03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quanto
deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu
volume se torne igual a 216 m3?
Possui três dimensões:
• comprimento (a)
• largura (b)
• altura (c)
04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem
tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de
lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça
parte do volume da caixa, em cm3, é:
Fórmulas
Área Total: ST = 2(ab + ac + bc)
Volume: V = a.b.c
Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2
2
05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das
arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida,
em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo,
sabendo que a área total mede 132 cm2, é:
2
RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c) = D + ST
Cubo – Hexaedro Regular
Tarefa Complementar 
Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.
06) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é
de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos
números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume
desse paralelepípedo.
Depois, passe o resultado para o cartão resposta.
Todas as faces são quadrados
07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo
retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede
1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a
soma das áreas de suas faces é:
Fórmulas
Área Total: ST = 6  2
3
d=  2
Volume: V =
Diagonais:
D=
Exercícios de Sala 
a) 292cm2
d) 294cm2
 3
c) 296cm2
08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm
agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que
for correto.
01) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é
24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são
proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros
quadrados, a área total desse paralelepípedo.
02) No cubo da figura, área da secção o ABCD é
cm2. Calcule o volume do cubo.
b) 298cm2
e) 290cm2
8
01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.
Tarefa Mínima 
02. AD = 2 6 dm.
04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.
08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3
dm3
01) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 +
Calcule o volume do cubo em cm3.
2)
cm.
16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm.
09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por
base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao
afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir
0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:
10) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma
caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.
02) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um
paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões
são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a
soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm2, a área
total desse paralelepípedo.
a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa
b) calcule sua capacidade em litros
35
•
•
•
•
•
•
AULA 09
PIRÂMIDES
1. Definição
aresta da base - ℓ
aresta lateral -aℓ
altura – h
apótema da base – ab
apótema da pirâmide – ap
Raio da circunferência circunscrita – R
Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as
seguintes relações:
Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal
ABCDEF e as faces são regiões triangulares.
Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal
do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for
regular
Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base
Área Lateral : SL = n.
. ap
2
Área Total: ST = SB + SL
Volume V =
SB.h
3
Relações Auxiliares na Pirâmide
2. Nomenclatura
•
ap2 = H2 + ab2
Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base.
Observe alguns exemplos.
• Pirâmide Triangular → a base é um triângulo
•
a  = ap +
•
a  2 = H2 + R2
2
2
 
 
 2
2
Exercícios de Sala 
• Pirâmide quadrangular → a base é um quadrado
01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a
aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa
pirâmide.
02) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja
altura mede
3 3 m e o perímetro da base mede 12 m?
03) ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2
de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e
a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da
pirâmide?
• Pirâmide Pentagonal → a base é um pentágono
Tarefa Mínima 
01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta
da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em
cm3, o volume dessa pirâmide.
3. Pirâmides Regulares
Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular,
a pirâmide é regular.
02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular
regular mede 4cm e sua altura mede 2
área total, em cm2, dessa pirâmide.
Elementos e Formulário
3 cm. Determine a
03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta
lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3,
é:
04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo
como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral
é:
a) 240cm2
d) 400cm2
36
b) 260cm2
e) n.d.a.
c) 340cm2
13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal
regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de
uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2.
b) 6.10-2
a) 6.10-4
-4
d) 12.10-2
c) 12.10
-4
e) 15.10
05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas
medindo 2. Então, a sua altura mede:
b) 2
e) n.d.a.
a) 1
d) 4
c) 3
Tarefa Complementar 
14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 225 cm2
de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem
36cm2 de área. A altura da pirâmide é:
a) 4,5 cm
b) 7,5 cm
c) 1,5 cm
d) 9,5cm
e) 3,5cm
06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de
volume e 4
base?
3 cm
de altura. Qual a medida da aresta da
AULAS 10
07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é
igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base
de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide,
em cm, é:
CILINDRO, CONE e ESFERA
08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro
da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8
metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o
resultado obtido em m2 por dez )
1. Cilindro de Revolução
09) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de
aresta igual a 4 cm.
Elementos
3 cm2
c) 12 3 cm2
e) 24 3 cm2
Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em
torno de uma reta, uma região retangular. Também é chamado de
cilindro circular.
3 cm2
d) 16 3 cm2
b) 8
a) 4
10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação
de um sólido. O volume desse sólido é de:
Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos
que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No
caso do cilindro reto, temos que g = h
Fórmulas
Considere um cilindro reto.
a) 1152cm3
c) 384cm3
e) 240cm3
b) 1440cm3
d) 1200cm3
11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P
são os pontos médios das arestas, como se mostra na
ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro
que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:
Área da Base: SB = πr2
Área Lateral: SL = 2πrh
Área Total: ST = 2SB + SL
Volume: V = πr2h
Secção Meridiana:
a)
1
V
2
b)
3
V
4
2
c) V
3
d)
5
V
6
A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu
eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção
meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um
quadrado temos um cilindro eqüilátero
(g = h = 2r)
3
e) V
8
12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de
aresta igual a 4 cm.
a) 4
c) 12
e) 24
3 cm2
3 cm2
3 cm2
2R
3 cm2
d) 16 3 cm2
b) 8
h
37
2. Cone de Revolução
Fórmulas da esfera
Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é
a altura do cone o outro é o raio do cone, e a hipotenusa é a
geratriz do cone.
superfície esférica: As = 4πR2
volume: V =
4
3
πR
3
Exercícios de Sala 
01) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de 27π
dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:
a) 4dm
b) 9dm c) 2dm
02) ( UFSC ) Determinar
Área Lateral: SL = πrg
do volume em m3 de um cone de
03) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20cm e
raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e
tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às
esferas vale:
2
Área Total: ST = SB + SL
π
e) 3dm
revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral,
20π m2.
Fórmulas
Área da Base: SB = πr2
1
d) 5dm
Volume: V =
πr h
3
Relação auxiliar: g2 = h2 + r2
Secção Meridiana
No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles.
Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero teremos
um cone eqüilátero ( G = 2R )
h
a)
g
102
d) 160
2R
π 3
cm
3
b) 80
π
3
cm3
e) 80 π cm3
cm3
c) 40 π cm3
Tarefa Mínima 
3. Esfera
Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao
ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser
considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo
em torno de um de seus diâmetros.
01) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 36πm2.
O valor, em m3, de
1
π
do volume desse cilindro é:
02) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de
9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de
15
π
cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, em
cm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é:
Secção de uma esfera
03) UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem 1,5 m de
diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:
Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina
como secção plana um círculo de raio r.
a) 3,2 m
c) 4,0 m
b) 3,6 m
d) 4,8 m
04) ( SUPRA ) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e
10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e
possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de
água em seu interior, a água:
a) ultrapassa o meio do cano
b) transborda
c) não chega ao meio do cano
d) enche o cano até a borda
e) atinge exatamente o meio do cano
d é a distância entre o plano α e o centro da esfera.
R é o raio da esfera.
r é o raio da secção.
Relação: R2 = r2 + d2
38
05) ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada
por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da
superfície esférica, determinando uma circunferência, em
cm, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
AULA 11
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Tarefa Complementar 
1. Conceitos Iniciais
Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n
inteiro positivo. Temos:
a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.
3
06) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63πcm de volume. Sabendo
que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a
sua altura.
(4, 7, 10, 13, ...........)
07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de
20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste
cilindro sofrerá um aumento de:
a) 2%
b) 4%
c) 6%
d) 8%
e) n.d.a.
Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor
mantém-se igual a 3. Seqüências como esta são denominadas
progressões aritméticas.
2. Definição
08) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa
Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a partir
do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu
antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da
P.A. e é indicada por r.
3 2 cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume
do sólido de revolução gerado?
b) 9 π cm3
d) 27 π cm3
a) 3 2 cm3
c) 18 π cm3
e) 1/3 π cm3
Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário
que:
09) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante
5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção.
a) 39
d) 65
b) 36
e) n.d.a.
a2 − a1 = a3 − a2 = ...... an − an−1 = ..... = r
Veja os exemplos:
c) 32
a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois
5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3.
10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total
é 2. O valor de
1
3π
b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois
4 – 1 ≠ 5 – 4.
do volume da esfera, inscrita nesse
cubo, é:
3. Classificação da P.A.
11) ( UFSC ) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a
uma esfera de 16π cm2 de superfície é:
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão.
Observe o quadro abaixo:
r > 0 ⇔ P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2
r < 0 ⇔ P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3
r = 0 ⇔ P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0
12) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o
mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da
esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone
é:
a) 9/4
b) 9/2
c) 3/4
d) 2/3
e) 1
4. Fórmula do Termo Geral da P.A.
Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo da definição
temos:
a 2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
.
.
an = a1 + (n – 1).r
13) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone eqüilátero
mede 6
cm3, é:
a) 144π
d) 288π
3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em
b) 152π
e) 302π
c) 192π
14) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está
completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua
altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de
bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a
massa é:
a) 300
b) 250
c) 200
d) 150
e) 100
Importante:
Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do
termo geral temos:
an = a1 + (n – 1)r (1)
ak = a1 + (k – 1)r (2)
15) ( UFSC ) A geratriz de um cone eqüilátero mede 2 3 cm.
Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2,
multiplique o resultado por
cartão-resposta.
Subtraindo-se (1) de (2) vem:
3 e assinale o valor obtido no
an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r
an – ak = (n – 1 – k + 1) r
an = ak + (n – k)r
39
Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever:
Exercícios de Sala
an = ak + (n – k).r

01) A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos
consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é:
Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r
Representações Especiais
02) Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcular a razão da P.A.
Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar
os seguintes artifícios:
•
•
•
03) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição
correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre
1e1995, é
Três termos em P.A.
:x–r. x.x+r
Quatro termos em P.A
: x – 3r . x – r . x + r . x + 3r
Cinco termos em P.A.
: x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r
01.
02.
04.
08.
16.
Propriedades da P.A.
Tarefa Mínima
Dada um Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r,
podemos observar as seguintes propriedades:
•
a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )
b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1)
c) (x + 4) 2, (x – 1)2 , (x + 2)2
02) ( FGV-SP ) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma progressão
aritmética. Sua razão é:
a
+a
an = n−1 n+1
2
03) ( PUC-SP ) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são
respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)
•

01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as
seqüências representem três números consecutivos em P.A.
Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média
aritmética entre o termo anterior e o posterior
11 =
198.000
19.950
199.000
1.991.010
19.900
8 + 14
2
04) Calcular a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro
termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo
segundo é 110.
Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é
igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos.
05) ( LONDRINA ) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os
números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo
quinto termo vale:
Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos
extremos tem-se:
06) ( PUC-SP ) Três números positivos estão em PA. A soma
deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:
p+q=n+1
07) ( U.F OURO PRETO ) A soma dos n primeiros números
naturais ímpares é dada por:
Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são
eqüidistantes dos extremos ou não.
Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são
eqüidistantes dos extremos, pois
16 + 35 = 50 + 1.
a) n2
b) 2n
c) n/2
e) n3
d) 2n – 1
08) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um
triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na
segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma
progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia
é:
3. Interpolação Aritmética
Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b
significa formar uma P.A. de extremos a e b com
m + 2 elementos.
a) 400
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a
razão da P.A.
b) 410
Tarefa Complementar
c) 420
d) 800
e) 840

4. Soma dos Termos da P.A.
09) ( UFSC ) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos
termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros
termos é − 5. O valor do 1º termo é:
a +a 
Sn =  1 n .n

2 

10) O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e
623 é:
40
11) ( U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 – 3x, x
– 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 –
3x, x + 7, ….) é:
a) 62
b) 40
c) 25
d) 89
2. Classificação da P.G.
1º caso: a1 > 0
e) 56
Se q > 0 → P.G. crescente → ( 2, 6, 18, 54,...)
Se q = 1 → P.G. constante → ( 5, 5, 5, 5,...)
Se 0 < q < 1 → P.G. decrescente → ( 256, 64, 16,...)
12) ( PUC ) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a
área de um quadrado estão em P.A, nessa orden. O lado do
quadrado mede:
a)
2
b) 2
2
- 1 c) 1 +
2
d) 4 e)
2º caso: a1 < 0
2
Se q > 0 → P.G. decrescente →(-2, -10, -50,..)
Se q = 1 → P.G. constante → ( -3, -3, -3,...)
Se 0 < q < 1 → P.G. crescente → ( -40, -20, -10,...)
13) ( CEFET-PR ) O número de inteiros compreendidos entre
200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por
15, é:
a) 100
b) 39
c) 41
d) 59
Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que
cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre
quando q < 0.
e) 80
14) ( POLI ) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45,
qual é o sexto termo da P.A.
3. Termo Geral
15) ( Unicamp-SP ) Os lados de um triângulo retângulo estão em
progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150,
determine a soma dos lados do triângulo.
16) ( UFSC ) As medidas dos lados de um triângulo são números
inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291
decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado
desse triângulo.
Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da definição
temos:
a2 = a1.q
a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2
a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3
.
.
an = a1.qn - 1
17) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão
aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine
o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer
de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak,
podemos dizer que:
18) ( UFSC ) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo
primeiro termo e último termos são respectivamente, −7 e 17
é:
am = ak.qm - k
1. Representação de três termos em
P.G.
19) ( UFSC ) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na
qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18 é:
20) ( UFSC ) Qual deve ser o número mínimo de termos da
seqüência (−133, −126, −119, −112...) para que a soma de
seus termos seja positiva.
x
, x , x⋅q
q
2. Propriedades
AULA 12
1ª Propriedade:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos
dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior
(a1) e o seu posterior (a3), ou seja:
1. Definição
É uma seqüência de números não nulos em que cada termo a
partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um
número fixo chamado razão da PG.
a22 = a1.a3
ou
an2 = an - 1.an + 1
2ª Propriedade
Representação:
:: a1 : a2 : a3 : .... :an
Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto
dos termos eqüidistantes dos extremos.
Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ).
Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128
onde
a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
a3 é o terceiro termo
an é o enésimo ou último termo
n é o número de termos
q é a razão da P.G.
q=
3. Interpolação Geométrica
Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b
significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2
elementos.
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a
razão da P.G.
a2 a3 a4
a
=
=
= n
a 1 a 2 a 3 a n −1
41
03) ( Fuvest-SP ) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma
dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9.
Calcule a razão da progressão.
3. Soma dos termos de uma P.G. finita.
A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela
expressão:
=
Sn
04) ( UFES-ES ) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a
soma de seus termos é 14 e o produto 64?
a1 ( q n − 1) an .q − a1
=
q −1
q −1
a) 4
a) 37
4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.
d) 4 ou 1
b) 40
c) 44
d) 50
e) 51
06) A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é:
Dada uma P.G. com: n → ∞ e an → 0, sua soma pode
ser calculada pela expressão:
a1
1− q
c) 2 ou 1/2
05) ( UFCE ) A solução da equação
x x
x
x+ + +
+. .. = 60 é:
3 9 27
Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos
uma P.G. constante, e a soma dos
termos dessa P.G será dada por:
Sn = n. a1
S=
b) 2
a) 567
e) n.d.a.
b) 670
c) 728
d) 120
0 < |q| < 1

5. Produto dos termos de uma P.G. finita
Tarefa Complementar
O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão:
07) ( UFPA ) A seqüência (a, ab, 3a), com a ≠ 0, é uma P.G.
Então, o número b é:
|Pn | =
( a 1.an ) n
Exercícios de Sala
a) o triplo de a.
c) racional
e) n.d.a.

08) ( UFPA ) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo
número a 1,3 e 2, nessa ordem é
01) ( UEL-PR ) A seqüência (2x + 5, x + 1, x , ....) é uma
2
a) -1/2
progressão geométrica de termos positivos. O décimo
terceiro termo dessa seqüência é:
a) 2
b) 3-10
d) 310
c) 3
b) 68
c) 162
e) 312
b) 47
c) 48
04) A solução da equação: x +
( 10, 2,
e) -1/3
2 2
2
,
, ... ), a posição do termo
é:
5 25
625
12) Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado,
mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos
uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma
progressão:
e) 56
x x
x
+ +
+. .. = 15
3 9 27
a) aritmética de razão 12
b) aritmética de razão 0,12
c) geométrica de razão 12
d) geométrica de razão 1,12
e) geométrica de razão 0,12
é:
Tarefa Mínima
d) - 2
11) ( UFSC ) Na progressão geométrica
d) 168 e) 486
d) 24
c) 2
10) ( UFSC ) Em uma progressão geométrica o 3º termo é
16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo.
03) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que
a razão vale 2, o valor do quinto termo é:
a) 46
b) 1/2
09) ( FGV-SP ) Em um triângulo, a medida da base, a medida da
altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8.
Então a medida da base vale:
02) ( MACK-SP ) Em uma progressão geométrica o
primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo
dessa P.G. é:
a) 62
b) a terça parte de a.
d) irracional

13) ( UFSC ) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º
termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo.
Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.
01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as
seqüências representem três números consecutivos em P.G.
14) ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8
e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º termo dessa
seqüência.
a) (x + 1; x + 4; x + 10)
b) (4x, 2x + 1, x – 1)
02) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é
486. Calcular a razão dessa P.G.
a) 648
42
b) 78
c) 102
d) 354
e) 245
AULA 3
15) ( UFSC ) Sejam x, 6, y uma progressão aritmética onde x e y
são dois números positivos. A sucessão x, 10, y + 40 é uma
progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é:
16) ( UDESC ) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os
meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado.
Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtémse um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a
soma das áreas de todos os quadrados obtidos.
3
b) 10
c) 10
1) b
2) c
3) c
4) a) 10
5) c
6) d
7) e
8) quadrado e dodecágono
9) d
10) d
11) a
12) d
15)
o
13) 40
14) 2
3) a
9) 32
14) b
4) 3/5
10) 215°
15) 20
2
5 −1
R
2
AULA 4
17) ( IME ) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo,
de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela
sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância
(em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até
atingir o repouso.
1) a) 43° b) 50°
5) 29
6) a
11) 20
12) b
c) 75°
2) a
7) c
8) 50°
13) 2,6; 3,9; 6,5
AULA 5
18) ( FGV-SP ) O conjunto solução da equação
1
x x x
x − x − − − − ... = −
3 9 27
2
2
1
b) {–
2
, 1}
c) {1, 4}
1) a
8) d
2
d) {1, - 4}
2) a
3) 12
2
9) 9π cm
15) 20
4) 13
10) b
5) 15
11) 03
6) b
12) a
7) e
13) d
2) a
9) d
3) a
10) a
4) e
5) e
6) 23
7) 18
3) c
4) 36
5) a
6) 96
7) 04
AULA 6
1
, 1}
a) {
1) c
8) c
14) 16
é:
e) {1, 2}
AULA 7
19) Considere a expressão A =
1
+
2
+
3
4
+
3
1) 32dm 2) 16
8) d
9) 72
+ ... em que os
3 9 27 81
numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam
uma P.G. Determine o valor de 12A
AULA 8
1) 64
8) 13
20) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
3) 02
4) 64
5) 02
10) a) 80
b) 512
6) 48
7) a
2) 48
9) d
3) 24
10) c
4) b
11) d
5) b
12) d
6) 03
13) a
7) 18
14) b
2) 09
9) a
3) c
10) 96
4) a
11) 64
5) e
12) a
6) 07
13) d
7) d
14) d
b) 4 c) -9/8
7) a
8) a
14) 30
15) 60
20) 40
2) 07
9) 61
16) 99
3) 01
10) 120
17) 02
4) 06
11) d
18) 35
5) 54
12) b
b) – 1/8
8) a
14) a
20) 15
3) 03
10) 16
16) 32
4) c
11) 06
17) 3h
5) b
12) d
18) a
6) c
AULA 9
01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.
02. O valor de x que satisfaz a equação
(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 é
x=1
04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) é a8 = 16.
1) 64
8) 64
AULA 10
08. A soma dos termos da P.G.  1 , 2 , 4 ,... é igual a 1.
 3 9 27
2) 68
9) 06
1) 54
8) b
15) 09

AULA 11
GABARITO – MAT C
1) a) – 1
6) 04
13) b
19) 90
AULA 1
1) 34,50 cand/vaga
3) x = 15 e y = 5
5) 48, 72, 96, 144
7) 35 anos e 20 anos
9) d
11) 04
13) a
14) p =
1
2
2) 24 e 36
4) c
6) 72, 64, 84
8) a
10) d
12) 10
m=
±
1
2
15)
AULA 12
1) a) 2
7) d
13) 50
19) 09
1 5 1
, ,
5 6 6
AULA 2
1) c
2) b
3) 75°
4) a) 20° b) 44°
5) a
11) b
6) 85°
12) e
7) a
13) 30°
8) 47
9) 21
14) 130° 15) 120
o
c) 20° d) 30
10) 80
43
2) 03
9) 16
15) 96
44