Rubens Robles Ortega Junior
Contextualização e uso de tecnologia
em uma aula de cálculo
Rubens Robles Ortega Junior (Doutor)
Curso de Matemática – Universidade Tuiuti do Paraná
Departamento de Matemática – Universidade Federal do Paraná
Regina Cassia de Souza Ortega (Especialista)
Curso de Matemática - Colégio da Divina Providência
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, pp. 183-190, Curitiba, abr. 2002
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Contextualização e uso de tecnologia em...
Resumo
O Cabri-Géomètre é um software dinâmico e interativo de geometria em tempo real. Ele permite fazer geometria de
uma forma muito especial: o usuário pode analisar uma figura movendo-a e deformando-a e o resultado aparecerá na tela. Além disso, este software pode ser usado no ensino de importantes conceitos do Cálculo Diferencial e
Integral, tais como inclinação, taxa de variação, reta tangente e soma de Riemann, apenas para citar alguns. Neste
trabalho será apresentada uma aplicação pedagógica do Cabri na solução de dois problemas de Cálculo. O
objetivo é modelar estes problemas com figuras dinâmicas que mostrem importantes relações não aparentes em
representações estáticas.
Palavras-chave: cálculo diferencial e integral, cabri-géomètre, geometria dinâmica, tecnologia educacional, reforma
do cálculo.
Abstract
Cabri-Geometry is an interactive dynamic software of geometry in real time. It allows to do geometry in a very
particular way: the user can estimate a figure by moving or deforming it and the result will display on the screen.
In addition, this software can be used to teach important concepts of differential and integral calculus like slope,
rate of change, tangent line and Riemann sum, just to name a few. In this work it will be presented a pedagogical
application of Cabri in the solution of two problems of calculus. The goal is to model these problems with
dynamic figures that show important relationships not apparent in static representations.
Key words: differential and integral calculus, cabri-geometry, dynamic geometry, educational technology, calculus
reform.
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
Rubens R. Ortega Junior e Regina C. de Souza Ortega
Introdução
Uma das práticas pedagógicas que mais se tem desenvolvido nos últimos anos, com relação ao ensino da
Matemática, e em particular ao do Cálculo, é a utilização de tecnologia educacional em sala de aula. Nesse
sentido, entre várias possibilidades que se oferecem, está
o software Cabri-Géomètre II, um aplicativo de fácil manipulação que permite, entre outras coisas, representar
graficamente funções, construir tabelas, calcular áreas,
criar macros e, principalmente, movimentar de várias
formas a construção geométrica objeto de estudo. De
posse destas ferramentas, é possível construir cenários
que facilitam a compreensão de alguns conceitos do
Cálculo, tais como limite, derivada e integral definida, bem
como de suas aplicações.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é mostrar a possibilidade de se criar roteiros para utilização do software
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
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Cabri-Géomètre II como auxiliar no processo de ensino
e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, disciplina que apresenta altos índices de reprovação em
diversos cursos do Ensino Superior. Através de dois
exemplos bem conhecidos do Cálculo, e cuidadosamente escolhidos para a exposição, pretendemos
mostrar que é possível elaborar uma seqüência de
telas que possam permitir ao professor, mesmo não
familiarizado com o software, utilizá-lo em suas aulas
com a simples ajuda do mouse. Discutiremos dois problemas envolvendo aplicações contextualizadas do
Cálculo, que serão resolvidos e analisados através da
construção de cenários dinâmicos. Mais especificamente, trabalharemos com o problema de
bombeamento de petróleo de um poço no mar e
com o problema de confecção de latas de medidas
ótimas para a indústria. Duas monografias de conclusão do curso de Especialização em Educação
Matemática da Universidade Tuiuti do Paraná trataram deste tema. A parte de conceituação do Cálculo
utilizando o Cabri foi desenvolvida em (Brandalize,
2002) e a parte de aplicações em (Ortega, 2002). Um
trabalho reunindo idéias das duas monografias foi
apresentado sob forma de comunicação científica no
VII Encontro Nacional de Educação Matemática,
realizado no Rio de Janeiro em julho de 2001
(Ortega et al., 2001).
O software Cabri-Géomètre
O Cabri-Géomètre II é um aplicativo para aprendizagem de Geometria Plana no computador. Foi desenvolvido por um grupo de pesquisa coordenado por
Jean-Marie Laborde, na Universidade Joseph Fourier
de Grenoble, França. Sua principal característica é a representação dinâmica, conceito associado à utilização
de programas de computador que trabalham com
Geometria Dinâmica, isto é, programas que apresentam ferramentas de construção que permitem o deslocamento das construções geométricas, sendo mantidas
as relações geométricas que caracterizam a situação. O
ambiente Cabri-Géomètre apresenta-se como um
micromundo no qual construções geométricas são
manipuladas dinamicamente, o histórico das operações
realizadas é acompanhado, existe a possibilidade de
ocultar construções auxiliares, verificar propriedades
geométricas, deslocar construções, entre outras.
Apesar de apresentar algumas limitações, uma vez
que o Cabri foi pensado e criado para o ensino de
Geometria, a utilização deste software possui grande
vantagem operacional em relação a outros, mesmo
que eventualmente mais sofisticados. Para que o professor possa utilizar algum aplicativo como apoio pedagógico ao quadro de giz, é necessário ter disponíveis
um computador e um projetor multimídia, o que
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Rubens R. Ortega Junior e Regina C. de Souza Ortega
significa infra-estrutura cara, de difícil transporte e,
portanto, rara de se ter. Não obstante, fazendo uso
de uma calculadora gráfica TI-92 Plus (ou Voyage 200),
que possui o Cabri-Géomètre II, conectada a um painel ViewScreen, é possível projetar a imagem da tela
da calculadora utilizando apenas um retroprojetor
comum. Esta solução une portabilidade e baixo custo, oferecendo ao professor a possibilidade de utilizar tecnologia educacional em seu curso.
Recomendamos as seguintes páginas para mais infor mações sobre este aplicativo: http://
www.cabri.com.br e http://www.cabri.com.
(Gavosto et al., 1999), (Kaput, 1997) e (Knisley,
1997), além da página http://mathforum.org/
mathed/calculus.reform.html.
Levando em consideração essas informações e
pensando nas práticas pedagógicas desta disciplina,
resolvemos desenvolver um trabalho no sentido de
oferecer uma contribuição ao ensino do Cálculo,
propondo a utilização do software Cabri-Géomètre juntamente com problemas relacionados às aplicações,
uma vez que um grande aliado do professor no
processo de contextualização é o uso de aplicativos
educacionais, imprescindível nos dias de hoje.
Reforma do cálculo
Seqüência didática para uma aula de
cálculo
O Cálculo serve para modelar situações concretas, permitindo analisar, prever e tirar conclusões de forma eficaz em circunstâncias onde uma
abordagem empírica muitas vezes é insatisfatória.
Isto faz do Cálculo uma poderosa ferramenta a
serviço da ciência e da tecnologia, justificando a
grande preocupação que existe atualmente, em
todo o mundo, com as metodologias do ensino
do Cálculo, fenômeno conhecido como movimentos de Reforma do Cálculo. Para mais detalhes,
recomendamos ao leitor as referências (Askey,
1997), (Baldino, 1998), (Dubinsky et al., 2000),
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
As aplicações do Cálculo Diferencial e Integral
abrangem diversas áreas, tais como Ciências Biológicas, Engenharia, Física, Química, Meio Ambiente, Economia, Ciências Sociais, Criminologia, entre
outras. Problemas envolvendo aplicações do Cálculo, incluindo Modelagem e Equações Diferenciais, podem ser encontrados nas referências (Aguiar
et al., 1988), (Anton, 2000), (Bassanezi & Ferreira,
1988), (Boyce & DiPrima, 2002), (Danby, 1985),
(Ferreira, 1999), (Hughes-Hallett et al., 1997),
(Kreyszig, 1999) e (Straffin, 1993).
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Contextualização e uso de tecnologia em...
Após a apresentação da definição de derivada e das
discussões sobre suas várias interpretações, muitos livros incluem um estudo sobre as regras de derivação
(ver, por exemplo, (Anton, 2000), (Boulos, 1999) ou
(Hughes-Hallett et al., 1997)). De posse destas ferramentas, partimos então para as primeiras aplicações
da derivada.
Os mais interessantes exemplos de aplicação da derivada são, sem dúvida, os que permitem aos estudantes
um contato com a Modelagem Matemática. Nesta seção discutiremos dois exemplos que são clássicos no
ensino de Cálculo. Eles foram retirados basicamente da
referência (Anton, 2000), mas versões similares podem
ser encontradas em (Boulos, 1999) e (Hughes-Hallett et
al., 1997). A utilização do Cabri nestes problemas permite ao estudante enxergar que realmente o problema
possui uma solução ótima, antes de partir efetivamente
à busca desta solução. Além disso, a característica dinâmica do software permite facilmente variar dados e analisar o que ocorre em outras situações.
Exemplo 1
A Figura 1 indica um poço de petróleo no mar em
um ponto P, cujo ponto mais próximo de uma praia
retilínea é A. O petróleo deve ser canalizado de P até
um ponto B na praia que está a 8 km de A. O custo
para se colocar a tubulação sob a água é de $ 1.000.000
por km e sobre a terra é de $500.000 por km. O administrador do projeto recebe três propostas para canalizar o petróleo de P até B. A Proposta 1 sustenta que
é mais barato canalizar diretamente de P até B, pois a
menor distância entre dois pontos é a do segmento de
reta que os une. A Proposta 2 reivindica que é mais
barato canalizar diretamente até A e daí até B ao longo
da praia, usando assim, o mínimo de tubulações sob a
linha de água. A Proposta 3 reivindica que o mais barato é seguir sob a água até um ponto bem escolhido na
praia, entre A e B, e então seguir pela praia até B. Qual
é a proposta mais econômica?
A criação de um cenário com o Cabri para analisar
este problema pode ser de grande utilidade em sala
de aula, antes de o professor apresentar a resolução
precisa através das ferramentas do Cálculo. As telas
FIGURA 1
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
Rubens R. Ortega Junior e Regina C. de Souza Ortega
que mostraremos a seguir foram elaboradas de modo
a permitir variações de alguns parâmetros envolvidos
no problema, a saber: as distâncias AB e AP, o custo
em terra e o custo no mar..
Primeiramente, consideremos um ponto C entre
A e B, e chamemos de x a distância AC (ver Figura
2). Posto que AB=8, temos que CB=8-x. Desta forma, o custo do trecho CB será 500.000(8-x) dólares.
Por outro lado, o trecho PC mede x 2 + 5 2 , visto
que é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos
catetos são AP=5 e AC=x. Logo, o custo do trecho
PC será 1.000.000 x 2 + 25 dólares. Finalmente, o custo
total da obra y será dado, em milhões de dólares, por
y ( x) =
y(0)=9 (milhões de dólares) é o custo da Proposta 2
e que y y (8) = 89 (aproximadamente 9,43 milhões
de dólares) é o custo da Proposta 1.
A Figura 3 mostra uma construção na qual o ponto A foi posicionado na origem de um sistema
cartesiano de coordenadas, o ponto B tem coordenadas (8,0) e o ponto P tem coordenadas (0,5). Nesta
construção, o ponto C de coordenadas (x,0) poderá
mover-se livremente sobre o segmento AB. Para tanto, utilizamos a ferramenta Edição Numérica, podendo
fazer x variar com precisão de até duas casas após a
vírgula (ver parte superior esquerda da Figura 3).
1
(8 - x )+ x 2 + 25 .
2
FIGURA 2
É fácil perceber também que o valor de x da solução ótima deverá estar no intervalo [0,8], que
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FIGURA 3
Nossa sugestão para utilização desta construção
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em sala de aula é a seguinte:
a) Mover livremente o ponto C sobre o segmento
AB e obter, para cada posição de C, o correspondente custo total y, que também aparece na parte
superior esquerda da tela (ver Figura 3).
b) Conduzir os estudantes a constatar que existe realmente uma posição entre os pontos A e B cujo
valor total da obra é mínimo e, portanto, inferior
aos das Propostas 1 e 2 (ver Figura 4, que mostra
também o gráfico da função custo, no qual o eixo
y representa o custo em milhões de dólares).
os conhecimentos teóricos adquiridos em aulas anteriores, o que mostra a importância de se estudar
os conteúdos e os procedimentos para aplicá-los.
d) Resolver o problema. Neste caso, derivamos a
função custo, que dá
1
x
y ' ( x) = - +
2
2
x + 25
Igualando esta derivada primeira a zero, obtemos apenas um valor no intervalo [0,8], que é
x=
5
3
» 2,88.
A
conclusão de que este ponto é de mínimo global é
simples, uma vez que se constata facilmente que no
intervalo
é 5 ù
ê ,8ú
ë 3 û
é 5 ù
ê0,
ú
3û
ë
a função é decrescente e no intervalo
é crescente. Para este valor de x, obtemos que o
custo (mínimo) é de
FIGURA 4
c) Observar que o valor de x que dá o custo mínimo,
em geral só pode ser obtido com precisão usando
4+
5 3
» 8,33
2
milhões de dólares.
Logo, a Proposta 3 é a mais econômica.
e) Variar dinamicamente os dados do problema
e analisar o que ocorre com a solução. O Cabri permite facilmente fazer este tipo de exercício, novamente utilizando a ferramenta Edição Numérica. A
Figura 5 mostra o caso no qual AP=4,8 km,
AB=7,3 km, o custo em terra é $790.000 por km e
o custo no mar é $1.330.000 por km. Observando a
Figura 5, concluímos que a solução ótima, neste caso,
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está próxima de 3,54, com custo aproximado de
10,9 milhões de dólares.
Por outro lado, a área total A é dada por
A = 2px 2 + 2pxh. (2)
Substituindo (1) em (2), obtemos a função que
devemos minimizar (área total), que é dada por
A( x) = 2px 2 +
600
.
x
A Figura 6 mostra o gráfico da área total A em
função do raio x, no qual os eixos foram desenhados
em escalas diferentes por causa da limitação de espaço da tela do computador. No eixo x, cada unidade
representa 1 cm, e no eixo y cada unidade representa
100 cm2 , isto é, y =A/100. Nesta figura, aparece o
FIGURA 5
Exemplo 2
Uma indústria fabrica latas cilíndricas fechadas que
devem conter 300 ml (300 cm3) de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o
material usado na confecção da lata?
Sejam x e h o raio e a altura do cilindro, respectivamente. Sabemos que seu volume V é dado por
V = px 2 h = 300 .
Logo,
h=
300
px 2
(1)
e
0 < x < +¥.
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FIGURA 6
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ponto P de abscissa x, que pode mover-se livremente sobre a parte positiva do eixo dos x, que
é o domínio da função área. Utilizando a ferramenta Edição Numérica, podemos fazer x variar
(com precisão de duas casas decimais), observar
o valor da área total A e, no lado esquerdo da
tela, ver o desenho do cilindro variar dinamicamente de acordo com o raio. Os valores de x, de
h e de A podem ser vistos na parte superior direita da tela.
Nossa sugestão para utilização desta construção em
sala de aula é a seguinte:
a) Mover livremente o ponto P, sobre a parte
positiva do eixo x e obter, para cada posição de P,
os correspondentes valores da altura e da área total, que aparecem na parte superior direita da tela
(ver Figura 6).
b) Conduzir os estudantes a constatarem que existe realmente um ponto cuja área total é mínima (ver
Figura 7).
c) Observar que o valor de x que dá a área mínima, em geral só pode ser obtido com precisão
usando os conhecimentos teóricos adquiridos em
aulas anteriores, o que mostra a importância de se
estudar os conteúdos e os procedimentos para
aplicá-los.
d) Resolver o problema. Neste caso, derivamos a
função área total, que dá
A' ( x) = 4px -
600
x2
.
Igualando esta derivada a zero, obtemos apenas um
» 3,63 . Como a
valor no intervalo (0,+¥), que é x = 3 150
p
derivada A’(x) é negativa para valores menores que
e positiva para valores maiores que
, con-
cluímos que é ponto de mínimo global. Para este
valor de x, obtemos que h=2x (cilindro eqüilátero)
e que a área total (mínima) é de
2
æ 150 ö
6p 3 ç
÷ » 248,08
è p ø
cm2.
FIGURA 7
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Rubens R. Ortega Junior e Regina C. de Souza Ortega
Conclusão
Os exemplos vistos anteriormente levam-nos a
concluir que a adoção do Cabri-Géomètre na disciplina
de Cálculo será uma grande aliada do professor, pois
sua utilização servirá de fonte de motivação e interesse para o estudante. Acreditamos que o aluno poderá
compreender, analisar e tirar conclusões de forma mais
satisfatória, resultando na melhoria da qualidade do
ensino.
Como já mencionado no texto, nossa intenção
foi de apenas apresentar uma idéia e mostrar como
ela pode ser desenvolvida. Certamente, a tarefa de
se criar um curso completo de Cálculo baseado em
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
telas elaboradas com o Cabri é árdua, mas valerá a
pena. Por sua magnitude, este é um assunto para ser
trabalhado por um grupo de pesquisadores com objetivo, por exemplo, de se produzir um livro de apoio
didático.
Para concluir, gostaríamos de dizer que as idéias
expostas aqui vêm ao encontro de uma necessária
postura pedagógica democrática, a partir da qual
seja permitido aos alunos interagir, cooperar, trocar e confrontar dados, compartilhar raciocínios,
formular hipóteses, comprovar teses, experimentar e criar processos que levem à produção do conhecimento matemático. Com o Cabri-Géomètre, isso
tudo é perfeitamente possível.
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Referências bibliográficas
AGUIAR, A. F. A., XAVIER, A. F. S. e RODRIGUES, J. E. M. (1988). Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. São
Paulo: Editora Harbra.
ANTON, H. (2000). Cálculo, um Novo Horizonte. 6.ed. volume 1. Porto Alegre: Bookman.
ASKEY, R. (1997). “What do we do about Calculus?” American Mathematical Monthly, Volume 104, Number 8.
BALDINO, R.R. (1998). Desenvolvimento de Essências de Cálculo Infinitesimal. Rio de Janeiro: Universidade Santa Úrsula.
BASSANEZI, R.C. e FERREIRA JR., W.C. (1988). Equações Diferenciais com Aplicações. São Paulo: Editora Harbra.
BOULOS. P. (1999). Cálculo Diferencial e Integral, volume 1. São Paulo: Makron Books.
BOYCE, W.E. e DIPRIMA, R.C. (2002). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 7.ed. Rio
de Janeiro: LTC Editora.
BRANDALIZE, P. A. (2002). Explorando Conceitos do Cálculo Diferencial e Integral com o Cabri-Géomètre. Curitiba: 21
p. Monografia de Especialização em Educação Matemática - Universidade Tuiuti do Paraná.
DANBY, J. M. A. (1985). Computing Applications to Differential Equations. A Prentice-Hall Company, Reston, Virginia.
DUBINSKY, E., SCHOENFELD, A. H. and KAPUT, J. (2000). Research in Collegiate Mathematics Education IV.
American Mathematical Society.
FERREIRA, R. S. (1999). Matemática Aplicada às Ciências Agrárias. Viçosa-MG: Editora da UFV.
GAVOSTO, E. A., KRANTZ, S.G. and McCALLUM, W. (1999). Contemporary Issues in Mathematics Education.
Cambridge University Press.
HUGHES-HALLETT, D. et al. (1997) Cálculo, volumes 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC Editora.
KAPUT, J. J. (1997). “Rethinking Calculus: Learning and Thinking”. American Mathematical Monthly, Volume 104,
Number 8.
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
Rubens R. Ortega Junior e Regina C. de Souza Ortega
KNISLEY, J. (1997). “Calculus: A Modern Perspective”. American Mathematical Monthly, Volume 104, Number 8.
KREYSZIG, E. (1999). Advanced Engineering Mathematics, 8.ed. John Wiley & Sons.
ORTEGA, R. C. S. (2002). Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral Utilizando o Cabri-Géomètre. Curitiba: 30 p.
Monografia de Especialização em Educação Matemática - Universidade Tuiuti do Paraná.
ORTEGA, R.R., BRANDALIZE, P.A. e ORTEGA, R.C.S. (2001). “Conceitos e Aplicações do Cálculo Via CabriGéomètre”. In: VII Encontro Nacional de Educação Matemática, Rio de Janeiro.
STRAFFIN, P. (1993). Applications of Calculus, Resources for Calculus, Volume 3. MAA Notes Number 29, The
Mathematical Association of America.
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 29, FACET 04, p. 191-203, Curitiba, abr. 2002
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