RESUMO :REVISÃO - 2015
● Ângulos Replementares
GEOMETRIA PLANA
Dois ângulos são replementares quando a soma
► Ângulos
de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o
replemento do outro.
→ Ângulos opostos pelo vértice
● Ângulos Explementares
Dois ângulos são explementares quando a
diferença de suas medidas é igual a 180°. Neste caso,
cada um é o explemento do outro.
̂
̂
→ Ângulos formados por duas retas paralelas com
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles
uma transversal:
são congruentes.
→ Classificação dos ângulos quanto à sua medida:
◘ alternos internos
4̂ e 6̂ , 3̂ e 5̂
◘ alternos externos
1̂ e 7̂ , 2̂ e 8̂
(são congruentes)
→
Classificação
dos
ângulos
complementações:
● Ângulos Complementares
quanto
à
◘ colaterais internos
3̂ e 6̂ , 4̂ e 5̂
◘ colaterais externos
2̂ e 7̂ , 1̂ e 8̂
(são suplementares)
◘ correspondentes
̂
̂
3̂ e 7̂ , 4̂ e 8̂
(são congruentes)
● Ângulos Suplementares
̂
2̂ e 6̂ , 1̂ e 5̂
̂
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
1
RESUMO :REVISÃO - 2015
► Polígonos
→ Soma dos ângulos internos de um triângulo:
→ Diagonal de um polígono simples convexo:
̂
(
̂
̂
)
→ Soma dos ângulos internos de um polígono
convexo:
→ Polígono Regular:
Um polígono convexo é regular se, e somente se
tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os
ângulos congruentes (é equiângulo).
(
)
→ Soma dos ângulos externos de um polígono
convexo:
→ Expressões do ângulo interno e do ângulo externo
de um polígono regular:
Atenção!
▪ Como os ângulos internos de um polígono regular são
→ Polígonos de gênero par (possuem diagonais que
congruentes, temos:
passam pelo centro):
(
)
► Número de diagonais que passam pelo centro:
▪ Como os ângulos externos de um polígono regular são
congruentes, temos:
► Número de diagonais que não passam pelo centro:
► Triângulos
.
→ Desigualdade triangular:
→ Polígonos de gênero ímpar (não possuem
diagonais que passam pelo centro:
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, ao menor
lado opõe-se o menor ângulo, e à lados congruentes opõe-
Não possuem diagonais radiais!
Prof: Alexandre Beltrão
se ângulos congruentes e vice – versa.
Curso de Matemática
2
RESUMO :REVISÃO - 2015
Atenção!
Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa
a base é altura, bissetriz interna e está na mediatriz
do triângulo.
◘ Triângulo equilátero:
Atenção!
A
ângulos
congruentes
opõe-se
lados
congruentes e a lados congruentes opõe – se ângulos
É todo triângulo isósceles que possui 3 lados
congruentes.
congruentes.
Todos os lados do triângulo são
congruentes, dessa forma, todos
→ Condição de existência para um triângulo:
os ângulos internos são
congruentes e medem 60°.
Atenção!
Todo triângulo equilátero é um polígono
regular, pois é equilátero e equiângulo.
→ Medida de um ângulo externo de um triângulo:
● Escaleno – Tem os três lados não congruentes.
→ Classificação de um triângulo quanto à medida de
seus ângulos internos:
̂
̂
→ Classificação de um triângulo quanto à medida de
seus lados:
● Isósceles – É um triângulo com pelo menos dois lados
congruentes.
● Acutângulo – Um triângulo é acutângulo se, e somente
se, têm os três ângulos agudos.
- Lados
congruentes.
é o lado não congruente. É
chamado de base do triângulo
isósceles.
Prof: Alexandre Beltrão
● Retângulo – Um triângulo é retângulo se, e somente se,
tem um ângulo reto.
● Obtusângulo – Um triângulo é obtusângulo se, e
somente se, tem um ângulo obtuso.
Curso de Matemática
3
RESUMO :REVISÃO - 2015
→
Casos
de
congruência
de
congruência
de
triângulos:
Atenção!
Mediana é um segmento com extremidades
● 1° caso (L A L)
num vértice e no ponto médio do lado oposto.
● 2° caso (A L A)
• As três medianas de um triângulo interceptam – se em
um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes
● 3° caso (L L L)
tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
• O baricentro é o centro de gravidade do triângulo, é o
ponto de equilíbrio do triângulo.
● Incentro – O ponto de encontro das três bissetrizes
internas de um triângulo.
● 4° caso (L A A0)
Atenção!
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento,
com extremidades num vértice e no lado oposto, que
divide o ângulo desse vértice em dois ângulos
●
Caso
especial
de
congruência
de
triângulos
congruentes.
retângulos
Se
dois
ordenadamente
hipotenusa,
triângulos
congruentes
então
retângulos
um
esses
cateto
triângulos
têm
e
a
são
congruentes.
• O incentro é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
• O incentro equidista dos lados do triângulo
● Circuncentro – é a interseção das três mediatrizes do
→ Pontos notáveis do triângulo:
triângulo.
● Baricentro – é o ponto de encontro das três medianas
do triângulo.
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
4
RESUMO :REVISÃO - 2015
Atenção!
Atenção!
A mediatriz de um segmento é a reta
perpendicular e que passa pelo ponto médio desse
segmento.
A mediana relativa à hipotenusa de um
triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.
• O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita e
● Triângulo obtusângulo
equidista dos vértices do triângulo.
O circuncentro está na região externa ao triângulo.
◘ Possíveis posicionamentos do circuncentro:
● Ortocentro – O ponto de encontro das três alturas de
● Triângulo acutângulo
um triângulo.
Atenção!
Altura é um segmento que sai de um dos
vértices do triângulo e é perpendicular ao lado do
triângulo que se opõe ao ângulo ou ao seu
O circuncentro está na região interna do triângulo
prolongamento.
● Triângulo retângulo
◘ Possíveis posicionamentos do ortocentro:
● Triângulo acutângulo
O circuncentro está no ponto médio da hipotenusa do
triângulo.
O ortocentro está no interior do triângulo.
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
5
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Triângulo retângulo
● 2° caso (LAL)
Se dois lados de um triângulo são proporcionais
aos
homólogos
de
outro
triângulo
e
os
ângulos
compreendidos são congruentes, então os triângulos são
semelhantes.
O ortocentro está no vértice do ângulo reto do triângulo.
● Triângulo obtusângulo
● 3° caso (LLL)
Se dois triângulos têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes.
O ortocentro está no exterior do triângulo.
→ Teorema fundamental da semelhança de triângulos:
Se traçarmos uma reta paralela a um dos lados
de um triângulo e interceptá-la com os outros dois lados
em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é
semelhante ao primeiro.
Atenção:
Se dois triângulos são semelhantes, as medianas, as
bissetrizes internas, as alturas, os perímetros,...,
enfim, os elementos lineares homólogos são
proporcionais e seus ângulos são congruentes.
→ Teorema das bissetrizes
● Teorema da bissetriz interna:
◘ Casos ou critérios de semelhança:
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos
● 1° caso (AA)
Se
dois
triângulos
possuem
dois
ângulos
lados adjacentes.
ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
6
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Teorema da bissetriz externa
→ Relações trigonométricas num triângulo qualquer:
A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo
● Lei dos Senos
intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela
divide este lado oposto externamente em segmentos
proporcionais aos lados adjacentes.
● Lei dos Cossenos
→ Relações métricas no triângulo retângulo:
2
2
a

b2

c
2
bc
.cos



Lei dos cossenos
→ Reconhecimento da natureza de um triângulo dada
as medidas dos lados (a > b > c):
● 1° relação métrica
b2  a.n
● 2° relação métrica
h 2  m.n
c2  a.m
● 3° relação métrica
● 4° relação métrica
b.c  a.h
a 2  b2  c 2
→ Relações trigonométricas num triângulo retângulo:
► Quadriláteros
e
e
→ Trapézios
Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e
somente se, possui apenas dois lados paralelos.
e
(// significa paralelismo)
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
7
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Base média do triângulo
Atenção!
Os
lados
paralelos
do
trapézio
são
denominados bases.
Em qualquer trapézio ABCD de base
AB
e
CD , temos que:
● Base média do trapézio
Â  D̂  B̂  Ĉ  180
● Mediana de Euler - Em todo trapézio o segmento da
base média compreendido entre as diagonais é igual a
semidiferença das bases.
● Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem os lados não paralelos
com medidas iguais.
Os ângulos adjacentes a
uma mesma base são
→ Paralelogramos
congruentes.
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se,
As diagonais são
e somente se, possui os lados opostos paralelos.
congruentes.
● Trapézio retângulo
São todos os trapézios escalenos que têm dois
ângulos retos.
● Propriedades dos paralelogramos:
1) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer
são congruentes.
Um dos lados não paralelos é perpendicular às bases
do trapézio!
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Curso de Matemática
8
RESUMO :REVISÃO - 2015
2) Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer
▪ As diagonais de todo losango são bissetrizes dos seus
são congruentes.
ângulos internos.
3) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se
Os triângulos AMB, BMC, CMD e DMA são congruentes
nos respectivos pontos médios.
pelo caso L A L.
● Quadrado – Um quadrilátero convexo é um quadrado
se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes
(equiângulo) e os quatro lados congruentes (equilátero).
→ Paralelogramos notáveis:
O quadrado é o polígono regular dos quadriláteros.
● Retângulo – Um quadrilátero convexo é um retângulo
se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes
(Equiângulo).
ABCD é retângulo
ABCD é quadrado


 Â  B̂  Ĉ  D̂ e AB  BC  CD  DA
◘ Propriedade específica do Retângulo:
▪ Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
◘ Propriedade específica do quadrado:
◘ Todo quadrado é retângulo e também é losango.
Atenção!
A diagonal de um quadrado é dada por:
√ , onde
é a diagonal de um quadrado e ,
seu lado.
● Losango – Um quadrilátero convexo é um losango se, e
somente
se,
possui
os
quatro
lados
congruentes
O
seguinte
diagrama
retrata
as
definições
consideradas por este material. Observe:
(Equilátero).
◘ Propriedades específicas do losango:
▪ Todo losango tem diagonais perpendiculares entre si.
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
9
RESUMO :REVISÃO - 2015
► Circunferências
Atenção!
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos
equidistantes de outro chamado centro.
Um ângulo inscrito é metade do ângulo central
correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é
metade da medida do arco correspondente. Ângulos
inscritos correspondentes ao mesmo arco são
congruentes.
● Ângulo de segmento – Ângulo de segmento é um
Atenção!
ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado
▪ O comprimento de uma circunferência é dado por:
secante e o outro lado tangente à circunferência.
▪ O diâmetro de uma circunferência é dado por:
→ Ângulos na circunferência
● Ângulo central – Ângulo central relativo a uma
circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da
circunferência.
Atenção!
Um ângulo de segmento é metade do ângulo
central correspondente ou a medida de um ângulo
de segmento é metade da medida do arco
correspondente.
● Ângulos excêntricos interiores
Atenção!
A medida de um arco de circunferência é igual
à medida do ângulo central correspondente.
● Ângulo inscrito – Ângulo inscrito relativo a uma
circunferência é um ângulo que tem o vértice na
● Ângulos excêntricos exteriores
circunferência e os lados são secantes a ela.
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
10
RESUMO :REVISÃO - 2015
→
Propriedades
importantes
envolvendo
circunferência, triângulos e quadriláteros:
●
1°-
Todo
ângulo
reto
é
inscritível
numa
semicircunferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito
numa semicircunferência, com os lados passando pelas
extremidades, é ângulo reto.
Se de um ponto P conduzirmos os segmentos
e
,
ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na
circunferência, então ̅̅̅̅
̅̅̅̅.
● 5°- Propriedade dos quadriláteros circunscritíveis:
Atenção!
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência
tem um lado igual ao diâmetro, então ele é triângulo
retângulo.
● 2°- Um quadrilátero que tem os vértices numa
circunferência é quadrilátero inscrito na circunferência. Se
Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero
um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência,
convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma
então os ângulos opostos são suplementares.
de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois.
→ Propriedades das bissetrizes de um ângulo e das
mediatrizes de um segmento:
● 1°- Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante
●
dos lados do ângulo.
3°-
Propriedade
da
reta
tangente
a
uma
circunferência:
● 2°- Todo ponto da mediatriz de um segmento é
Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao
equidistante das extremidades do segmento.
raio no ponto de tangência.
● 4°- Propriedade dos segmentos tangentes a uma
circunferência:
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
11
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Potência de um ponto:
◘ Hexágono regular inscrito e circunscrito:
● Teorema das secantes
◘ Ponto interno à circunferência
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Apótema
Lado
(em função do raio r)
(em função do raio r)
◘ Ponto externo à circunferência
Hexágono
Regular
a6 
r 3
2
l6  r
Inscrito
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Hexágono
● Teorema das tangentes a um círculo
Regular
Ap6  r
L6 
2.r. 3
3
Circunscrito
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Atenção!
A Altura do triângulo equilátero é dada por:
► Polígonos Regulares
h
● Lado e apótema de polígonos regulares
◘ Quadrado inscrito e circunscrito:
Quadrado
Inscrito
◘ Triângulo equilátero inscrito e circunscrito:
Apótema
Lado
(em função do raio r)
(em função do raio r)
a4 
r 2
2
l. 3
2
l 4  r. 2
Triângulo
equilátero
Apótema
Lado
(em função do raio r)
(em função do raio r)
ap3 
r
2
l 3  r. 3
Inscrito
Quadrado
Circunscrito
Ap4  r
Prof: Alexandre Beltrão
L4  2.r
Curso de Matemática
12
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Triângulos
Triângulo
Ap3  r
equilátero
L3  2.r 3
Circunscrito
► Área de figuras planas
Área de uma superfície limitada é um número real
AtriânguloABC 
a.h
2
positivo associado à uma superfície.
◘ Expressões para a área do triângulo
● Retângulos
1) Área do triângulo equilátero de lado
A
l
l 2. 3
4
2) Área do triângulo em função de dois lados e do seno do
ângulo compreendido.
● Quadrados
3) Área do triângulo em função dos lados e do raio r da
circunferência inscrita.
● Paralelogramos
AABC  p.r
A  b.h
● Losangos
Prof: Alexandre Beltrão
4) Área do triângulo em função dos lados e do raio R da
circunferência circunscrita.
Curso de Matemática
13
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Área do círculo
5) Área do triângulo em função dos lados.
A  p p  a . p  b . p  c 
● Área do setor circular
● Trapézios
A
B  bh
2
● Polígonos Regulares
▪ Relacionando a medida do ângulo central com a área do
setor circular correspondente.
Ângulo central
Área
360 ou 2
R2

Asetor
● Hexágonos Regulares
▪ Relacionando a medida do comprimento de um arco de
circunferência
com
a
área
do
setor
circular
correspondente.
Comprimento
Área
2R
R2
l
Asetor
Atenção!
▪ Todo hexágono regular pode ser subdividido
Atenção!
em 6 triângulos equiláteros.
é
Relacionando a medida do comprimento de
seis vezes a área de um triângulo equilátero de
um arco de circunferência com o ângulo central
mesmo lado .
correspondente.
▪ A área de um hexágono regular de lado
Comprimento
2R
l
Prof: Alexandre Beltrão
Ângulo central
360 ou 2

Curso de Matemática
14
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Área do segmento circular
GEOMETRIA ESPACIAL
► Poliedros
Poliedros são sólidos que possuem todas as
faces poligonais e que não estão em um mesmo plano.
→ Poliedros convexos e Poliedros côncavos:
● Área da coroa circular
Quando o segmento de reta que ligar dois pontos
quaisquer do poliedro estiver contido no mesmo, ele é
chamado de poliedro convexo, quando não, chama-se
côncavo.
→
Proporções
entre
áreas
de
figuras
planas
semelhantes:
● Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes
→ Relação de Euler (Poliedros Convexos)
A propriedade acima é extensiva a quaisquer
superfícies semelhantes e, por isso, temos:
“A razão entre as áreas de duas superfícies
V  F  A 2
→ Poliedros Regulares
semelhantes é igual ao quadrado da razão de
semelhança.”
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
15
RESUMO :REVISÃO - 2015
► Prismas
● Paralelepípedo reto – É um prisma reto cujas bases são
paralelogramos.
→ Prisma regular: É todo prisma reto cujas bases são
polígonos regulares.
● Área lateral:
● Paralelepípedo retângulo (ou paralelepípedo retoretângulo ou ortoedro) – Prisma reto cujas bases são
retângulos.
Al  n.al .ab 
(Onde
n é a quantidade de lados do polígono da base.)
● Área total:
● Área total, diagonal do paralelepípedo e volume
At  Al  2Ab 
(
● Volume
)
√
V  Ab .h
→ Cubo (hexaedro regular ou romboedro) – É um
Atenção!
Diagonal do prisma
paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados.
D  nn  3
-
→
Paralelepípedos
–
Prismas
paralelogramos.
Prof: Alexandre Beltrão
cujas
bases
são
√
√
Curso de Matemática
16
RESUMO :REVISÃO - 2015
► PIRÂMIDE
● Área total (Pirâmide Regular)
● Pirâmide Regular – é uma pirâmide cuja base é um
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o
(
= área do polígono da base)
plano da base é o centro da base.
● Volume
● Relações métricas entre os elementos das pirâmides
1
V  .Ab .h
3
regulares:
I)
II)
● Secção transversal em uma pirâmide
( )
(
III)
)
(
)
IV)
h L

d l
( )
(
)
( )
( )
(
)
A h
 
a d 
2
V h
 
v d 
3
2
3
V   A
   
v a
( )
● Tronco de pirâmide
Seja a Pirâmide hexagonal regular:
Vtronco  Vpirâmide maiorVpirâmide menor
► Cilindro
● Cilindro reto ou Cilindro de revolução:
● Área lateral (Pirâmide Regular)
Al  n.A triângulo
A triângulo
da face

da face

ab .App
2
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
17
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção
● Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção
do cilindro com um plano que contém o eixo do cilindro. A
do cone com um plano que contém o eixo do cone.
secção
meridiana
de
um
cilindro
oblíquo
é
um
paralelogramo e a de um cilindro reto é um retângulo.
A secção meridiana de um cone circular reto é um
triângulo isósceles.
◘ Cilindro equilátero – é um cilindro cuja
secção meridiana é um quadrado.
◘ Cone equilátero – é aquele cuja secção
meridiana é um triângulo equilátero.
● Área lateral:
Área de um retângulo de altura
e base
.
Seja o cone reto:
(Ab = área do círculo da base.
)
● Área lateral, área total e volume
● Área total e volume
► Cone
● Secção transversal em um cone
● Cone reto ou cone de revolução:
Relação do cone reto:
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Curso de Matemática
18
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Tronco de cone
Vtronco  Vcone
● Área total da cunha
maior
Vcone
GEOMETRIA ANALÍTICA
menor
► Esfera
Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto
► O ponto
→ Distância entre dois pontos
dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja
menor ou igual a r.
d AB  ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
→ Ponto médio de um segmento
● Área da esfera e volume da esfera:
● Secções na esfera
→ Coordenadas do baricentro do triângulo
● Fuso esférico e Cunha esférica
xG 
x A  xB  xC
3
yG 
y A  y B  yC
3
► A reta
→ Coeficiente angular da reta
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
19
RESUMO :REVISÃO - 2015
Observações iniciais da reta:
● Geral:
Ax  By  C  0
● Segmentária:
● Paramétrica:
→ Condição para alinhamento de três pontos
Ex:
x  3t  1

 y  4t  5
→ Posicionamento relativo entre retas
● Paralelas:
● Perpendiculares:
→ Área de triângulos
→ Ângulo entre duas retas
Atenção!
O cálculo da área de um triângulo, dadas as
coordenadas dos vértices, serve para o cálculo da
→ Distância entre ponto e reta
área de um polígono convexo, já que um polígono
pode ser dividido em triângulos.
→ Equações da reta
● Fundamental: m   y  y0 
x  x0 
● Reduzida:
y  mx  n
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Curso de Matemática
20
RESUMO :REVISÃO - 2015
► Circunferência
→ Posição relativa entre duas circunferências
→ Equação reduzida:
Aplicando distância entre dois pontos, temos:
( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2
→ Equação geral:
x 2  y 2  2ax  2by  (a 2  b 2  r 2 )  0
→ Posição relativa entre ponto e circunferência
d pc r
( x  a) 2  ( y  b) 2 r 2
ou
(Ponto interno à circunferência).
► Lugar Geométrico
Ex:
Desenhe
no
plano
cartesiano
o
sistema
de
inequações:
d pc  r
ou
( x  4) 2  ( y  1) 2  9

x  y  20
( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2
(Ponto na circunferência).
d pc r
( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2
ou
Resolução:
(Ponto externo à circunferência).
→ Posição relativa entre reta e circunferência
*A região hachurada é a solução da questão.
FUNÇÃO
Aplicando distância entre ponto e reta:
dCe  r - Reta externa à circunferência.
d Ct  r - Reta tangente à circunferência.
dCe  r - Reta secante à circunferência.
► Função polinomial de 1° grau
Função do primeiro grau é toda função que
associa a cada número real x, o número real ax + b, com a
≠ 0. Toda função de primeiro grau é uma relação que
obedece a lei de formação:
( )
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
21
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Concavidade da parábola
Ex:
Dada a função
f : R  R com f (x)  x  1, seu gráfico é
O termo dominante (a) nos informa a concavidade
igual a:
da parábola.
Conclusão:
▪ termo dominante positivo (a > 0) → concavidade voltada
para cima.
▪
▪ termo dominante negativo (a < 0) → concavidade voltada
é estritamente crescente.
) é a ordenada do ponto de
▪ O coeficiente linear (
intersecção da reta com o eixo oy.
para baixo.
→ Termo independente (c) → A ordenada do ponto de
intersecção da parábola com o eixo oy é igual ao termo
→ Função Linear:
independente da lei de formação da função polinomial do
É toda função polinomial do 1° grau que tem o
coeficiente linear igual a zero.
( )
2° grau.
Ex:
,
e
Ex:
É uma reta que
passa pela origem
do
sistema
cartesiano.
Observe que a parábola intercepta o eixo oy no
ponto (0,2), logo o termo independente (c) da lei de
formação da função acima é igual a 2.
→ Valores do discriminante ( ) relacionados às raízes
da função
► Função polinomial do 2° grau
Toda função de segundo grau é uma relação que
obedece a lei de formação:
.
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22
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Coordenadas do vértice da parábola:
xv 
b
2a
Yv 

4a
→ Propriedades das potências
1) a0  1, com
2)
a0
am.an  amn
3) a.bn  an.bn
→ Relações de Girard:
b
r1  r2 
a
c
r1.r2 
a
 
4) am
n
 am.n
n
n
5) a : bn ou  a  = a para
n
b
→ Forma fatorada da função quadrática:
y  a(x  r1 ).(x  r2 )
onde r1 e r2 são as raízes da função.
b
b  0.
6) an  1
an
m
7) a n  n am
► Função Logarítmica
► Função Exponencial
Função exponencial é toda função que associa a
x
cada número real x, o número real a .
Função logarítmica é toda função que associa a
cada número real x, o número real loga x.
( )
( )
( )
(Função estritamente crescente)
( )
( )
Atenção!
A função logarítmica definida em
(Função estritamente decrescente)
inversa
da
função
exponencial
éa
definida
em
.
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23
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Propriedades dos logaritmos
loga 1  0 ,
1)
pois
a0  1,
qualquer que seja
a0
e
a  1.
2)
loga a  1, pois a1  a , para todo a  0
3) loga an  n , pois an  an para todo
para todo
a  1.
e
a0
e
a 1
e
n.
a  1.
4)
aloga n  n , com n  0 , a  0
5)
loga x  loga y  x  y com x  0 , y  0 , a  0 e
e
a  1.
► Módulo de um número
6) logc a.b  log  log
a
c
b
c
É a distância do número até o zero da reta real.
7) logc a : b  logac  logbc
8)
 k , k  R .
(representação:
logc ak  k.logc a
9) log a  logk a
b
logk b
10) log a 
b
logb a 
11)
1 1
1
 logb a. loga b  1
loga b
1
log a ,
 b
para
qualquer
quaisquer números a e b reais positivos com
1  1
,
  R* e
A distância do número 1 e do -1 ao zero é 1 unidade de
comprimento.
b  1.
→ Propriedades do módulo
Atenção!
I-|x|>0 xR
● Gráficos das funções f (x)  2 e g(x)  log2 x :
x
II - | x | = 0  x = 0
III- | x | = d  x =  d
IV- | x | . | y | = | x . y |  {x, y}  R
n
n
V- | x | = x  n é par
VI-
x
x

y
y
 {x, y}  R e y  0
VII - | x |²=| x² | = X²
PROGRESSÕES
●
Gráficos
das
funções
g( x)  log1 x :
2
Prof: Alexandre Beltrão
 1
f ( x)   
 2
x
e
► Progressões Aritméticas (P.A.)
→ Termo geral:
an  a1  n  1r
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24
RESUMO :REVISÃO - 2015
▪ Considerando por x o termo médio desta P.A., temos:
→ Propriedades da P.A.
x  2r, x  r, x, x  r, x  2r 
● Média Aritmética:
a, b, c, d   a  c  b
2
● Termos equidistantes:
a,
(Formato mais utilizado)
► Progressões Geométricas (P.G.)
→ Termo geral:
an  a1.q n1
b, c, d   a  d  b  c
→ Soma dos termos de uma P.A.
Sn
a  a .n
 1 n
2
→ Propriedades da P.G.
● Média Geométrica:
a,
b, c, d   b  2 a.c
→ Notações Especiais
● Termos equidistantes:
● P.A. de três termos:
▪ Considerando
a,
b, c, d   a.d  b.c
a1  x e seja r a razão desta P.A. temos:
x, x  r , x  2r 
▪ Considerando por x o termo médio desta P.A., temos:
→ Soma dos termos de uma P.G. finita
Sn  n.a1;
● Se q  1, então
x  r, x, x  r 
(Formato mais utilizado)
● Se q  1, então
Sn 
● P.A. de quatro termos:
▪ Considerando
a1  x e seja r a razão desta P.A. temos:
x, x  r, x  2r, x  3r 
x  3r, x  r, x  r, x  3r 

.
a1 q n  1
q 1
→ Produto dos “n” primeiros termos de uma P.G.
Pn  a1 .q
n
n 1n
2
(Formato mais utilizado)
→ Soma dos termos de uma P.G. infinita
Neste caso a razão da P.A. ao invés de ser (r) será dada
S 
por (2r).
a1
1 q
● P.A. de cinco termos:
→ Notações especiais
▪ Considerando
a1  x e seja r a razão desta P.A. temos:
● P.G. de três termos:
x, x  r, x  2r, x  3r, x  4r 
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25
RESUMO :REVISÃO - 2015
▪ Considerando
a1  x
e seja q a razão desta P.G. temos:
“Se dois ângulos agudos são complementares, então o
x, xq, xq 
seno de um deles é igual ao cosseno do outro ângulo
2
agudo.”
▪ Considerando por x o termo médio desta P.G., temos:
x

 , x, xq 
q


►
► Medidas das razões trigonométricas dos principais
(Formato mais utilizado)
ângulos:
● P.G. de quatro termos:
30º
▪ Considerando
a1  x
45º
60º
√
√
e seja q a razão desta P.G. temos:
x, xq, xq , xq 
2
seno
3
x x

 3 ; ; xq; xq3 
q
q


cosseno
√
Tangente
√
√
(Formato mais utilizado)
√
Neste caso a razão da P.G. ao invés de ser (q) será dada
2
por (q ).
● P.G. de cinco termos:
▪ Considerando
a1  x
► Circunferência trigonométrica
e seja q a razão desta P.G. temos:
→ Circunferência trigonométrica:
x, xq, xq , xq , xq 
2
3
4
▪ Considerando por x o termo médio desta P.G., temos:
 x x

 2 , , x, xq, xq 2 
q q

(Formato mais utilizado)
→ Seno e cosseno na circunferência trigonométrica:
TRIGONOMETRIA
► Em todo triângulo retângulo é verdade que:
Arcos do 1°
(
)
Seno > 0
Cosseno > 0
Seno > 0
Cosseno < 0
quadrante
Arcos do 2°
quadrante
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26
RESUMO :REVISÃO - 2015
Arcos do 3°
Seno < 0
Cosseno < 0
Seno < 0
Cosseno > 0
→ Tangente na circunferência trigonométrica
quadrante
Arcos do 4°
quadrante
→ Arcos notáveis na circunferência trigonométrica:
Arcos do 1°
tg > 0
quadrante
Arcos do 2°
0°
tg < 0
quadrante
A(1,0)
Arcos do 3°
90°
tg > 0
quadrante
B(0,1)
Arcos do 4°
tg < 0
quadrante
180°
C(-1,0)
→ Arcos côngruos
270°
São arcos que tem a mesma extremidade e que
D(0,-1)
diferem pela quantidade de voltas dadas.
360°
A(1,0)
→ Relação fundamental da trigonometria
Então:
ou
(Equação dos arcos côngruos)
→ Outras razões trigonométricas
1)
2)
3)
( )
( )
( )
⏟
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27
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Relações derivadas da relação fundamental
Sejam
os
pontos
da
função
( )
encontrados anteriormente
1)
2)
► Arcos simétricos (Redução ao 1° quadrante)
quando substituímos esses pontos no plano, teremos:
→ Seno e cosseno
● Para o arco de 30°
● Paridade:
A função seno é uma função ímpar. Nela é
verdade que: ( )
(
). Observe o gráfico:
→ Tangente
● Para o arco de 60°
( )
Ex:
(
)
O gráfico da função seno tem simetria em relação à
origem.
Atenção!
→
Análise
da
paridade
na
circunferência
trigonométrica:
Seja a circunferência trigonométrica:
► Funções trigonométricas
→ Função Seno
Denominamos função seno a função que a cada
número real
faz corresponder o número
.
→ Gráfico da função ( )
perceba que arcos simétricos (
senos simétricos (
Prof: Alexandre Beltrão
(
)
– ) possuem
( )).
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28
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Período:
Atenção!
A função seno é periódica – Uma função
→
é chamada função periódica quando existe um
número real positivo
( )
(
tal que, para todo
Análise
da
paridade
na
circunferência
trigonométrica:
,
).
Seja a circunferência trigonométrica:
Ex:
(
)
⏟(
)
(
⏟(
)
)
(
)
O período da função seno é
.
→ Função Cosseno
Denominamos função cosseno a função que a
cada número real
faz corresponder o número
.
→ Gráfico da função ( )
(
cossenos iguais (
Sejam
os
pontos
– ) possuem
perceba que arcos simétricos (
da
função
)
( )).
( )
encontrados anteriormente
● Período
A função cosseno é periódica – Uma função
é chamada função periódica quando existe um
quando substituímos esses pontos no plano, teremos:
número real positivo
(
tal que, para todo
,
( )
).
Ex:
(
)
⏟(
(
)
⏟(
)
(
)
)
● Paridade
O período da função cosseno é
.
A função cosseno é uma função par. Nela é
verdade que: ( )
(
). Observe o gráfico:
► Construções de gráficos
Ex1: ( )
Ex: ( )
(
)
O gráfico da função cosseno tem simetria em relação
ao eixo oy.
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29
RESUMO :REVISÃO - 2015
Ex2: ( )
→ Sendo a função ( )
( ), sua imagem
é o conjunto:
[(
Ex5: ( )
Ex3: ( )
(
(
)(
)], com
)
)
► Transformações trigonométricas
→ Fórmulas de adição e subtração de arcos
Atenção!
( )
Para uma função circular
( )
ou
(
(
)
), como o período original era de
● Seno da soma e seno da diferença:
rad, podemos afirmar que o novo período é dado
por:
| |
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
| |
● Cosseno da soma e o cosseno da diferença:
Logo, para
, teremos:
| |
Ex4: ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
● Tangente da soma e tangente da diferença:
(
)
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
→ Arco duplo
Atenção!
Para uma função circular
( )
( )
( ) ou
( ) o conjunto imagem é dado da
seguinte forma:
→ Sendo a função ( )
●
(
)
●
(
)
●
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ), sua imagem
é o conjunto:
[(
)(
)], com
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30
RESUMO :REVISÃO - 2015
TEORIA DOS CONJUNTOS
Ex:
Dado o conjunto A = {1, 3,4}, mostre o conjunto das partes
de A.
→ Conjunto – Formamos ideia de conjunto como uma
coleção qualquer de objetos.
Resolução:
→ Elemento – É cada um dos integrantes do conjunto.
→ Relação de pertinência:

P(A)  , 
1,
3, 4, 1,3, 1,4, 3,4, 1,3,4
ou 
→ Número de elementos do Conjunto das partes:
Seja A um conjunto e x um elemento. Se x
pertence a A, ou melhor, se x é elemento de A,
escrevemos:
x  A mas,
se x não pertence a A, ou
melhor, x não é elemento de A, escrevemos:
x  A.
Atenção!
É importante perceber que um conjunto pode
ser elemento de outro conjunto.
n
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2 elementos.
→ Subconjuntos:

ou 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B
► Operações com conjuntos
→ União de conjuntos
se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B.
A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que
Seja A um conjunto e B outro conjunto. Se A está
A  B ( A união B ),
contido em B, ou melhor, se A é subconjunto de B,
indicamos por
A  B mas, se A não está contido em B, ou
melhor, A não é subconjunto de B, escrevemos: A  B
elementos são todos aqueles que pertencem a A ou B.
escrevemos:
é o conjunto cujos
A  B  x x  A ou x  B
Atenção!
Ser subconjunto é a mesma coisa que ser
parte, de estar contido.
Ex:
•
Sendo
A  1,2,3
B  6,7,
e
temos
que:
A  B  1,2,3,6,7.
→ Conjunto das partes de um conjunto
Dado o conjunto A, chama – se conjunto das
• Sendo C  1,2,3,4 e
D  3,4,5,6,7, temos que:
C D  1,2,3,3,4,4,5,6,7C D  1,2,3,4,5,6,7
partes de A, notação P(A), aquele que é formado por todos
os subconjuntos de A, ou seja, são aqueles cujos
→ Intersecção de conjuntos
elementos são todos os subconjuntos de A.
A intersecção de dois conjuntos A e B, que
P(A)  x x  A
Prof: Alexandre Beltrão
indicaremos por
A  B ( A intersecção B ), é o conjunto
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31
RESUMO :REVISÃO - 2015
cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a
nA  B, o número de elementos de A  B , vale a
B ao mesmo tempo.
seguinte relação:
A  B  x x  A e x  B
Ex:
•
A  1,2,3,4
Sendo
e
B  3,4,5,6,7,
temos
nA B  nA  nB  nA B
D  4,5,6,7,8,
temos
é o conjunto vazio, ou seja, nA  B  0 , teremos então:
F  1,2,3,4,5,6,7,
temos
A B  3,4.
•
C  1,2,3
Sendo
e
Quando os conjuntos são disjuntos a intersecção
C  D   C  D   .
•
E  1,2,3 e
Sendo
E F  1,2,3E F  E  E  F .
nA  B  nA  nB
→ Diferença entre dois conjuntos
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa
► Número de elementos da união de três conjuntos
ordem, que indicaremos por A – B (ou B – A), é o conjunto
cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A (ou
Dados três conjuntos A, B e C, o número de
B se for o caso B - A) e não pertencem a B (ou A se for o
elementos da união desses conjuntos é obtido pela
caso B - A).
relação:
A  B  x x  A e x  B
ou
B  A  x x  B e x  A
Ex:
•
Sendo
A  1,2,3,4,5e B  4,5,6,7,8,9,
temos
nA  B  C  nA  nB  nC  nA  B  nA  C  nB  C  nA  B  C
A  B  1,2,3 e B  A  6,7,8,9.
•
Sendo
C  3,5,6,8,9
e
D  5,6,8,
temos
C  D  3,9 e D  C   .
ANÁLISE COMBINATÓRIA
► Princípio fundamental da contagem:
► Número de elementos da união de dois conjuntos
Se um experimento A apresenta n resultados
Dados dois conjuntos A e B e indicando por n(A),
o número de elementos de A, n(B) o número de elementos
de B,
n(A  B) ,
o número de elementos de A  B , e
Prof: Alexandre Beltrão
distintos e um experimento B apresenta k resultados
distintos, então o experimento composto de A e B, nessa
ordem, apresenta n.k resultados distintos.
Curso de Matemática
32
RESUMO :REVISÃO - 2015
Ex1: Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre
Embora o arranjo simples seja o próprio
passando por São Paulo. Sabendo que para ir de Recife a
princípio fundamental da contagem, a fórmula usada
São Paulo existem 5 estradas e de São Paulo a Porto
para calcular o arranjo é:
Alegre 3 estradas. De quantas maneiras possíveis essa
A n,p 
n!
n  p!
.
pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
→ Arranjo com repetição:
Resolução:
É uma técnica de contagem onde leva - se em
conta a ordem e a repetição dos elementos.
Ex:
O número total de formas que uma pessoa pode ir de
Recife a Porto Alegre será: 5. 3 = 15 possibilidades.
O número de maneiras de se responder a 40 questões
com 5 alternativas distintas para cada uma é dado por:
a) 40!
b) 5. 40!
c) 200
d) 40
5
e) 5
40
► Fatorial
Resolução:
O número de formas de se responder a 40 questões
Ex:
Calcular n sabendo que n  1!  4!
é igual a:
40
5
.5
.5.5
.....


5  5
formas.
40
n!
A resposta se encontra na letra E.
Resolução:
n  1!  4! n  1.n!  4.3.2.1!
→ Permutação
n!
n!
n  1.n!  4.3.2.1!n  1  24n  23
n !
Quando um arranjo simples for uma permutação,
representamos da seguinte forma:
P  n! .
► Tipos de agrupamentos
Ex:
→ Arranjo simples:
De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem
formar uma fila indiana?
Ex1:
Em um campeonato de futebol, participam 20 times.
Resolução:
Quantos resultados são possíveis para os três primeiros
A fila continua tendo as cinco pessoas. A diferença
lugares?
está na modificação das posições das mesmas.
Logo, a quantidade de maneiras de dispor essas
cinco pessoas em uma fila indiana é igual a:
Resolução:
Esse problema divide-se em 3 etapas. Cada etapa
seleciona um dos colocados no campeonato de
futebol, então:
1° etapa
20
2° etapa
.
19
3° etapa
.
5 4 3 2 1  120
18
Concluindo, o número total de maneiras será:
= 20.19.18 = 6 840 colocações.
Prof: Alexandre Beltrão
A 5,5  P5  5.4.3.2.1  120 maneiras.
Curso de Matemática
33
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Permutação com elementos repetidos:
Ex:
Quantos anagramas a palavra ELEGER possui?
Resolução:
P36 
6! 6.5.4.3.2.1

 120
3!
3.2.1
Resolução:
Atenção!
▪ A fórmula utilizada na permutação é:
P  n!
▪ A fórmula utilizada na permutação com elementos
repetidos é:
Pn
1,2 ,...,n

n!
1!.....n !
Utilizando a fórmula de combinação, teríamos:
C5,3 
→ Combinação simples
5!
5!
5.4.3 !


 10
3!.5  3! 3!.2! 3 !.2!
Ex1:
Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas
com um grupo de 7 pessoas?
► Partições
→ Partições ordenadas
Resolução:
A ordem de escolha das pessoas das comissões não
tem importância, ou seja, são agrupamentos onde a
ordem não importa, dessa forma são combinações.
Ex1:
De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em
três salas, A, B e C, de modo que em A fiquem 4 pessoas,
Então:
em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?
Resolução:
Repartição das 10 pessoas seria:
Atenção!
A fórmula utilizada na combinação é:
Cn,p
n!

p! n  p!
Ex2:


 , , , , , , , , , 
    
 pessoasna sala A pessoasna salaB pessoasna salaC 
Então:






,
,
, 
, 
,
,
, 
,
,

 
 pessoas
na sala A
pessoasna salaB pessoasna sala C 
 C C C 
10, 4
6, 3
3, 3


Quantos triângulos podem ser formados ligando os pontos
distintos
A , B , C , D e E da circunferência abaixo?
Prof: Alexandre Beltrão
Logo, o número de partições ordenadas será:
Curso de Matemática
34
RESUMO :REVISÃO - 2015
► Princípio das gavetas (Princípio de Dirichlet
C10,4 .C6,3 .C3,3
10.9.8.7 6.5.4 3.2.1

.
.
 4200
4!
3!
3!
Princípio das casas dos pombos)
Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1
gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo
Observamos que quando permutamos os grupos
menos dois objetos.
encontramos uma nova sequência, isso nos faz
perceber que a ordem importa. Por isso chamamos
de partição ordenada.
ou
Ex:
Covest (adaptada) – 2000 - Considerando que em uma
festa existem 15 pessoas podemos afirmar que:
→ Partições não-ordenadas
Ex1:
De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em
3 grupos, tendo cada grupo 4 pessoas?
a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
Resolução:
Se considerarmos que existe uma pessoa nascida
em cada mês, iremos constatar que sobrarão 3
pessoas das 15. Concluindo que nessa situação
teremos que pelo menos 2 pessoas nasceram no
Resolução:
Considerando, para fixar a ideia, 3 grupos, temos:
mesmo mês.




,
,
, 

,
,
,
, 

,
,
,
, 




grupo 1
grupo 2
grupo 3


Observe que a ordem em que estão os grupos pode
ser qualquer uma e sempre teremos 3 grupos de 4
pessoas. Então, estamos interessados no número de
distribuições não ordenadas possíveis.
b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana.
Resolução:
Desenvolveremos, inicialmente, da mesma forma das
questões anteriores (partições ordenadas). Logo:






,
,
, 

,
,
,
, 

,
,
,
, 




grupo 1
grupo 2
grupo 3
 
 

C
C8, 4
C4, 4
12, 4


Se considerarmos que existe uma pessoa nascida
em cada dia da semana, iremos constatar que
sobrarão 8. Colocando cada umas das oito em uma
dia da semana, sobram 1 pessoa que poderá ter
nascido em um dos 7 dias da semana. Observe a
figura abaixo:
Se trocarmos de posicionamento cada grupo do
conjunto acima, teremos a mesma distribuição. Neste
caso, deveremos dividir o resultado pelo número de
permutações possíveis com os elementos (grupos)
do conjunto. Logo, para esse exemplo temos
P3  3!  6 distribuições iguais. Então:
C12,4.C8,4.C4,4

3!
12.11.10.9 8.7.6.5 4.3.2.1
.
.
4!
4!
4!  5.775
3!
Prof: Alexandre Beltrão
Dessa forma, constatamos que pelo menos 3
pessoas nasceram no mesmo dia da semana.
Curso de Matemática
35
RESUMO :REVISÃO - 2015
PROBABILIDADE
n(E) n( A) n( A)


n(E) n(E) n(E)
A probabilidade de ocorrer determinado evento é
dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou
número de casos que nos interessam) e o número de
1  P( A)  P( A)
casos possíveis (ou número total de casos).
P( A)  1  P( A)
Assim:
Atenção!
p(A) 
n(A) número de casos favoráveis

n(E) número de casos possíveis
A probabilidade de não ocorrer o evento A é
igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento
A.
Ex1:
Numa urna existem 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
Sorteando-se uma bola qual a probabilidade de ela ser
Ex:
vermelha?
Um experimento aleatório é realizado. A probabilidade de
ocorrer um evento A é
o evento A é:
Resolução:
O cardinal do espaço amostral será
nE  8
cardinal
=
do
8 . A probabilidade de não ocorrer
21
evento
será:
n(A)
2,
e o
então
2 1
P(A)   .
8 4
→ Propriedades das probabilidades
Resolução:
A probabilidade de não ocorrer o evento A, é o que
chamamos
de
probabilidade
do
evento
complementar de A. Logo:


P A  1 PAP A  1

8
13
P A  .
21
21
Sendo E um espaço amostral finito e não vazio e
sendo A um evento de E, tem-se que:
I. P(ø) = 0;
(Probabilidade do evento impossível (menor evento))
II. P(E) = 1;
→ Probabilidade da união de eventos
Dado dois eventos A e B, a probabilidade de A U B será:
● 1° caso:
Os conjuntos A e B possuem intersecção, ou seja, não são
disjuntos, logo
A B   .
(Probabilidade do evento certo (maior evento))
III.
0  P(A)  1
→ Probabilidades de eventos complementares:
n( A  B) n( A) n(B) n( A  B)



n(E)
n(E) n(E)
n(E)
P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B)
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Curso de Matemática
36
RESUMO :REVISÃO - 2015
● 2° caso:
Os conjuntos A e B não possuem intersecção, ou seja, A e
B são disjuntos, logo
A B   .
Resolução:
Evento A: número múltiplo de 2.
A  2,4,6,8,10,12,14,16,18,20  n(A)  10
Evento B: número múltiplo de 3.
B  3,6,9,12,15,18  n(B)  6
n( A  B) n( A) n(B)


n(E)
n(E) n(E)
P( A  B)  P( A)  P(B)
Evento A B : número múltiplo de 2 e de 3.
A  B  6,12,18  nA  B  3
P( A) 
10
20
P(B) 
P( A  B) 
3
20
P( A  B)  P( A)  P(B)  PA  B
Atenção!
Quando os eventos são conjuntos disjuntos
P( A  B) 
10 6
3


20 20 20
P( A  B) 
13
20
dizemos que são eventos mutuamente exclusivos.
Esta propriedade poderá ser estendida para mais
de dois eventos:
6
20
P(A  B  C  ...)
→ Probabilidade condicional:
Ex:
Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm
olhos negros, 3 têm olhos cinza, 2 têm olhos verdes e um
Ex1:
tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno
Dentre 5 homens e 3 mulheres, com apenas uma de nome
escolhido ao acaso ter olhos verdes ou azuis?
Márcia, foi sorteada uma pessoa. Sabendo-se que a
pessoa foi uma mulher, qual a probabilidade de Márcia ter
sido sorteada?
Resolução:
Considerando por A o evento: “ter olhos verdes” e por
B o evento “ter olhos azuis”, tem – se que estes
Resolução:
eventos são mutuamente exclusivos, já que não
Estamos diante de uma probabilidade condicional. No
existe aluno com mais de uma cor de olhos. Logo, a
momento em que Márcia tem que ser a sorteada e nos
intersecção é o conjunto vazio:
é afirmado que a pessoa sorteada já é uma mulher,
observamos que o nosso espaço amostral é reduzido
P(A  B)  P(A)  P(B) 
2
1
3


22 22 22
Ex2:
de 8 pessoas para 3 pessoas (já que existem 3
mulheres).
Então
PB \ A 
1.
3
a
probabilidade
pedida
será:
Onde B é o evento Márcia ser
sorteada e o evento A é o sorteado ser mulher.
Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a
20. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a
probabilidade de se obter uma bola com um número
múltiplo de 2 ou de 3?
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37
RESUMO :REVISÃO - 2015
Ex2:
acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola
Dois dados foram lançados. Sabendo que caíram, nas
vermelha?
faces voltadas para cima, dois números pares, calcule a
probabilidade de que a soma desses números seja 6.
Resolução:
Resolução:
O espaço amostral é:
A questão afirma que os números voltados para cima
são pares. Então, o nosso espaço amostral ficará
reduzido para (bolinhas branco com preto):
Observamos que a probabilidade de urna I e bola
vermelha é dada por:
1 2 1
.  .
2 5 5
Entre as duas
formas de resolução, indicamos a segunda, por ser
mais simples. Mas, é importante ressaltar que a
melhor forma de resolver um problema é aquela em
Então, o evento: soma dos números igual a 6 será:
que o aluno mais compreende e se sente seguro.
Ex2:
(UPE – Mat 2 – 2008) A urna A tem nove cartas
numeradas de 1 a 9, e a urna B contém cinco cartas
numeradas de 1 a 5. Uma urna é escolhida aleatoriamente,
Estamos diante de uma probabilidade condicional,
então:
.
e uma carta é retirada. Se o número é par, a probabilidade
de a carta ter saído da urna A é igual a:
→ Probabilidade de dois eventos simultâneos
De um modo geral, quando
a)
4
5
b)
10
19
c)
19
45
d)
2
9
e)
6
19
p( A \ B)  p( A) , isto
é, o fato de ter ocorrido o evento B não altera a
Resolução:
probabilidade de ocorrer o evento A –, dizemos que A e B
Fazendo o esquema, temos:
são eventos independentes e o teorema da multiplicação
se reduz a:
pA  B  pA. pB
Ex1:
Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a
urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma
urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao
● Espaço amostral reduzido:
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38
RESUMO :REVISÃO - 2015
1 4 1 2 19
nE   .  . 
2 9 2 5 45
P34 
4.3!
4
3!
(o número da carta retirada da urna é par)
● Evento:
Por fim, como a probabilidade de ocorrerem 4 H e 1
1 4 2
nA  . 
2 9 9
M em uma determinada ordem é dada por
(Ser uma carta retirada da urna A)
Se o número é par, a probabilidade de a carta ter
saído da urna A é igual a:
2
10
P 9 
19 19
45
→ Método Binomial
H 
H 
H 
M

1111 1
1
e
existem
P . . .  4 
2222 2
16
4.3!
P34 
 4 ordens possíveis; a probabilidade
3!
pedida é igual a:
P  4.
1 1
  25%
16 4
Ex2:
Uma prova consta de 6 questões com 4 opções cada uma,
Ex1:
com uma única alternativa correta. Qual a probabilidade de
Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a
acertar 2 das 6 questões.
probabilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina:
Resolução:
Resolução:
Cada ensaio corresponde à resolução de uma
● A probabilidade de acertar cada questão é
questão, em que P(homem) = P(mulher) = 1/2.
● A probabilidade de não acertar é
Os quatro ensaios são independentes entre si. Vamos
inicialmente calcular a probabilidade de ocorrerem
3 meninos e 1 menina numa determinada ordem, por
1
.
4
3
.
4
Uma possível sequência poderia ser: (C,C,E,E,E,E),
logo:
exemplo: (H,H,H,M).
4
2
1215
 3   1
P( A)  P 6 .    
4.096
 4  4
2,4
Temos:
H 
H 
H 
M

1111 1
1
P . . .  4 
2222 2
16
Essas respostas, porém, podem ocorrer em outras
MATRIZES E DETERMINANTES
● Matriz quadrada
ordens, por exemplo: (M,H,H,H) ou (H,M,H,H), etc. A
quantidade de sequências desse tipo corresponde ao
número de permutações de 4 letras, com repetição de
3 letras H. Logo:
Prof: Alexandre Beltrão
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao
número de colunas.
 3 6

A2x 2  
 4 0
B3x 3
 1 5 7


  2 4 6
0  1 9


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39
RESUMO :REVISÃO - 2015
► Diagonal Principal – É o conjunto dos elementos que
► Determinantes
possuem os dois índices iguais.
● Matriz quadrada 2x2
“O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é
igual à diferença entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária, nesta ordem”.
► Diagonal Secundária – É o conjunto dos elementos
i  j  n  1,
tais que
onde
n
é a ordem da matriz
► Matriz quadrada 3x3
quadrada.
Para calcular o determinante de uma matriz
quadrada de ordem 3 será necessária a utilização
da regra de Sarrus. Observe os exemplos abaixo:
A Regra de Sarrus consiste em:
Ex:
Dada a matriz
(
), obtenha o determinante
de A:
Resolução:
Atenção!
→ Uma matriz quadrada
M3x 3
é uma matriz que do tipo
Utilizando a regra de Sarrus, temos:
3 x 3, desta forma, diz – se que tem ordem 3, ou ainda
que é de ordem 3. Então toda matriz
Mmxn , com m = n é
quadrada de ordem m.
● Matriz identidade
[(
Chama-se matriz identidade de ordem n, que se
indica por
[(
)
)
(
(
)
)
(
(
)]
)]
, a matriz que tem todos os elementos da
diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos
Ou aplicar a regrinha do coração:
iguais a zero.
 1 0

A2x 2  
 0 1
 1 0 0


B3x 3   0 1 0 
 0 0 1


Atenção!
A matriz identidade é um caso especial de
matrizes escalares e consequentemente pode ser dita
[(
[(
)
)
(
(
)
)
(
(
)]
)]
uma matriz diagonal.
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Curso de Matemática
40
RESUMO :REVISÃO - 2015
SISTEMAS LINEARES
ESTATÍSTICA
→ Classificação de um sistema 2x2.
→ Frequência
Chamamos de frequência o número de vezes que
um determinado dado aparece em uma lista numérica
Determinado (SPD)
Possível
(única solução)
(têm solução)
Indeterminado (SPI)
Sistema
qualquer.
● Frequência absoluta
(infinitas soluções)
Impossível (SI)
(não tem solução)
Frequência absoluta ( ) do valor de
é o
número de vezes que a variável estatística assume o valor
.
●
Solução
gráfica
para
sistemas
possíveis
determinados (SPD)
● Frequência total
Frequência absoluta total (∑
) é a soma de
todas as frequências absolutas observadas.
● Frequência absoluta acumulada
É a soma de cada frequência absoluta com os
valores das frequências anteriores.
Retas concorrentes
●
Solução
gráfica
para
sistemas
possíveis
● Frequência relativa
É quociente entre a frequência absoluta e o
determinados (SPI)
número de elementos da população estatística.
→ Tipos de gráficos
● Gráficos de colunas e de barras
Retas paralelas coincidentes
● Solução gráfica para sistemas impossíveis (SI)
Retas paralelas
● Outra forma de classificar um sistema 2x2:
Seja o sistema genérico 2x2, {
→
(
→
( )
→
(
teremos:
)
)
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41
RESUMO :REVISÃO - 2015
● Gráficos de segmentos
● Média Aritmética Ponderada
Consideremos uma coleção formada por
n
números reais:
de forma que cada um esteja sujeito a um peso,
respectivamente, indicado por:
● Gráficos de setores
̅̅̅̅
(
)
(
)
(
)
(
)
● Média Aritmética com dados agrupados em classes
Ex:
No sábado de carnaval de 2010 foi realizado um
levantamento de dados para identificar o tempo (em
minutos) dos atrasos dos ônibus que partem da rodoviária
da cidade. Os resultados obtidos foram registrados na
● Gráficos múltiplos
tabela de distribuição a seguir:
Tempo
Número de ônibus
(em minutos)
0│― 10
32
10│― 20
11
20│― 30
12
30│― 40
15
40│― 50
17
50│― 60
13
Total
100
→ Medidas de tendência central
Calcule o tempo médio de atrasos dos ônibus na rodoviária
● Média Aritmética Simples
da cidade.
Consideremos uma coleção formada por
n
Resolução:
Para encontrar a média aritmética, inicialmente
números racionais:
precisamos encontrar os pontos médios de cada
intervalo:
̅
∑
• 0│― 10 →
.
• 10│― 20→
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.
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42
RESUMO :REVISÃO - 2015
Resolução:
• 20│― 30→
.
• 30│― 40→
.
• 40│― 50→
.
ponto
• 50│― 60→
.
26│― 29 →
Sendo maior frequência dada pela quantidade de
professores igual a 15, a idade modal será igual ao
médio
do
seguinte
intervalo:
.
Portanto, a idade modal dessa distribuição é 27,5
Logo, a média aritmética é dada pela soma do
anos.
produto dos pontos médios pela frequência do seu
respectivo intervalo dividido pelo total da frequência
absoluta (quantidade de ônibus observados). O
● Mediana
tempo médio de atrasos é igual a:
Dados n números em ordem crescente ou
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
decrescente, a mediana será:
→ o número que ocupar a posição central se n for ímpar;
Portanto, o tempo médio de atrasos na rodoviária da
cidade é de 26, 3 minutos.
→ a média aritmética dos dois números que estiverem no
● Moda
É (ou são) o valor (ou valores) que aparece (m)
centro se n for par.
com maior frequência no conjunto de valores observados.
● Moda com dados agrupados em classes
A moda em uma distribuição de frequências
organizadas em classes é o ponto médio da classe que
apresenta maior frequência absoluta. A classe com
→ Medidas de dispersão
maior frequência absoluta é chamada de classe modal.
● Amplitude total
Ex:
É a diferença entre o maior e o menor valor
A distribuição de frequências a seguir apresenta as idades
observado.
dos professores de uma escola de Educação Infantil.
Encontre a idade modal desse grupo de professores.
Idades (em anos)
Número de
professores
● Desvio
É diferença entre cada valor e a média aritmética
do conjunto de dados observados.
20│― 23
4
23│― 26
12
26│― 29
15
29│― 32
12
A soma de todos os desvios de cada conjunto de dados é
32│― 35
7
sempre zero.
Total
50
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Atenção!
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43
RESUMO :REVISÃO - 2015
→ Variância:
A média aritmética dos quadrados dos desvios de
cada valor observado em um conjunto de dados é
chamada de variância, que é indicada por Var.
̅)
(
(
)
∑
̅)
(
→ Desvio Padrão:
A raiz quadrada da variância representa uma
medida real chamada de desvio padrão que é indicada
por DP.
̅)
(
√
Ou ainda
(
̅)
√
∑
(
̅)
√
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44
RESUMO :REVISÃO - 2015
Aritmética
Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata
● Competência de área 1 - Construir significados para os
estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para
números naturais, inteiros, racionais e reais.
secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70
de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o que ela
m3, quantas latas a menina teria que encher para secar toda a
(Ex1.) Um palmo de tem 22 cm. Uma pessoa deverá medir o
água?
perímetro do tampo retangular de uma mesa cujas dimensões
são:
1,10 m x 2,86 m. O perímetro, em palmos,
Solução:
é igual a:
Sendo o volume da lata de refrigerante igual a 350 ml. O número
de vezes que a menina deverá encher a lata para retirar o
Solução:
volume total da enchente é:
palmos
vezes.
(Ex2.)
(Ex4.) No jogo “Encontrando Números Iguais” são lançados 5
dados especialmente preparados para isso. Observe esta
jogada:
Ao lermos o cartaz, ficamos, a
saber, que o exército de Roma fez numa
certa época MCDV prisioneiros de guerra.
Qual o número, no sistema de numeração decimal, que o
Os dados com números iguais são:
exército romano leu?
Solução:
Os dados com números iguais são: dado1, dado 3 e dado 4.
Solução:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor:
. Como antes de
não tinha nenhuma letra, buscavam a
segunda letra de maior valor:
. Depois tiravam de
o
(Ex5.)
Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com
azulejos quadrados, de lado 25 cm. Uma caixa de azulejos tem
valor da letra que vem antes:
100 azulejos. Quantas caixas eu devo comprar, no mínimo, para
Somavam 400 ao valor de
porque
está depois de
.
garantir que não fiquem faltando azulejos?
Solução:
Sobrava apenas o . Então MCDV = 1.400 + 5 = 1.405.
As dimensões da parede em centímetros são: 500 cm e 200 cm.
Como cada azulejo tem lado 25 cm, faremos o seguinte:
(Ex3.)
→Azulejos na dimensão 500 cm
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45
RESUMO :REVISÃO - 2015
(Ex8.)
azulejos
■
O dia 1º de outubro de 2014 caiu numa quarta – feira. Daqui a
→Azulejos na dimensão 200 cm
50 dias, qual será o dia da semana?
azulejos
■
Solução:
Um total de 160 azulejos. Portanto, serão necessárias duas
caixas.
Como uma semana tem 7 dias:
: Sete semanas mais um dia! Daqui a 50
●
dias será uma quinta – feira.
(Ex6.)
O ônibus A passa na parada a cada 20 minutos. O ônibus B
passa na mesma parada a cada 15 minutos. Neste momento
estes ônibus estão na parada. Daqui a quanto tempo eles
estarão juntos nesta mesma parada?
(Ex9.)
Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto,
outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de maio de certo ano
ocorreu num sábado. Então, 25 de dezembro do mesmo ano foi:
Solução:
Solução:
Somando os dias dos meses de junho, julho, agosto, setembro,
O MMC (20,15) = 60 minutos. Portanto, daqui a 1 hora estes
ônibus estarão juntos na parada.
outubro e novembro, até 25 dias de dezembro, temos um total
de:
(Ex7.)
O piso retangular de uma sala, com 2 m de comprimento e 3 m
de largura, deve ser coberto com ladrilhos quadrados.
Admitindo-se que não haverá perda de material e que será
utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se estimar
que serão colocados:
: 29 semanas mais cinco dias! 25 de
●
Dezembro do mesmo ano caiu numa quinta – feira.
(Ex10.)
Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em
Solução:
A sala retangular tem dimensões 200 cm por 300 cm. Para
serem colocados o menor número de ladrilhos faz – se
necessário que os lados dos ladrilhos quadrados sejam os
cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro
em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número
de pássaros e o número de galhos.
maiores possíveis. Portanto:
Solução:
Considerando por x a quantidade de pássaros e y a quantidade
de galhos:
MDC (200,300) = 100 cm
Logo:
e
Um total de:
ladrilhos.
●
(
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Curso de Matemática
46
RESUMO :REVISÃO - 2015
Considere por x a quantidade de carrinhos que eu possuo:
●
Eu possuo 10 carrinhos.
(Ex13.)
Substituindo a segunda equação na primeira:
, portanto,
Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando
.
que dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos
São 4 pássaros e 3 galhos.
por problema não resolvido. No final seu amigo tinha nota zero.
Quantos problemas seu amigo resolveu?
(Ex11.)
Lia tem bombons e quer dividir entre os alunos de uma escola.
Percebe que dando 3 a cada aluno, sobram 2 bombons. Dando
4 para cada aluno, sobram 2 bombons e dando 5 para cada
aluno sobram 2 bombons. Sabe – se que a quantidade de
bombons é maior que 180 e menor que 240. Quantos bombons
Lia possui para dividir entre os alunos desta escola?
Solução:
Considerando por x a quantidade de problemas resolvidos e por
y a quantidade de problemas não resolvidos:
●
●
Substituindo a primeira equação na segunda:
Solução:
(
Considerando por A e B, respectivamente, a quantidade alunos
)
da escola e a quantidade de bombons, tem – se:
●
●
(Ex14.)
●
Dado um número de dois algarismos forma – se um novo
número de três algarismos colocando “1” à direita do número
original. O novo número é:
Portanto:
●
●
●
a) dez vezes o número original, mais um.
b) cem vezes o número original, mais um.
c) cem vezes o número original.
Concluímos que
é um múltiplo de 3, 4 e 5. Portanto, é um
múltiplo de 60:
Sendo
d) o número original, mais um.
Solução:
,
. Dessa forma,
.
(Ex12.)
Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei
Sendo o número original:
Colocando o número 1 na direita do número:
Portanto:
(
com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se
dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo.
Quantos carrinhos eu tenho?
)
(Ex15.)
Solução:
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47
RESUMO :REVISÃO - 2015
Maria terminou um trabalho e numerou todas as páginas,
(Ex2.)
partindo do número 1. Para isso utilizou 270 algarismos.
A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está
Quantas páginas tem esse trabalho?
para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a
idade do pai e do filho.
Solução:
Números com 1 algarismo = 9 algarismos no total.
Solução:
Números com 2 algarismo =
Considerando por P e F, as idades do pai e do filho
respectivamente:
⏟
páginas – um total de 2
⏟
●
●
x 90 algarismos = 180 algarismos.
e
● 270 – 189 = 81 algarismos (faltam). Dividindo por 3, pois as
próximas páginas terão numerações com 3 algarismos:
(Ex3.)
A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como
páginas.
salário por mês é de 4/5. O que resta coloco em caderneta de
poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a
Este trabalho possui um total de 126 páginas!
● Competência de área 3/ área 4 -
Construir
noções de grandezas e medidas para a compreensão da
realidade e a solução de problemas do cotidiano /
quantia que aplicarei na caderneta de poupança?
Solução:
Construir noções de variação de grandezas para a
compreensão da realidade e a solução de problemas do
Portanto, este mês aplicarei na caderneta de poupança:
cotidiano.
R$ 840,00 – R$ 672,00 = R$ 168,00.
(Ex1.)
Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18.
Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou
o melhor desempenho?
Solução:
Reduziremos as frações para um mesmo denominador para
(Ex4.)
A distância entre duas cidades num mapa de escala
é
de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?
Solução:
podermos comparar:
●Desempenho de Pedrinho:
●Desempenho de Cláudia:
( )
( )
( )
( )
Note que Pedrinho teve um melhor desempenho, acertando
54 problemas de 60.
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Curso de Matemática
48
RESUMO :REVISÃO - 2015
(Ex5.)
b) Organizando a fórmula a seguir:
Um terreno cuja área mede 100m² será desenhado num papel
na escala 1 : 100. Qual deverá ser a medida deste térreo no
Note que o quadrado do período de revolução do Planeta ao
papel?
redor do sol (
distância média do Planeta ao sol (
Solução:
(
) é diretamente proporcional ao cubo da
).
(Ex7.)
)
Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao
pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5
(Ex6.)
dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente
Analisaremos as relações de dependência entre as grandezas
proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá
das fórmulas a seguir:
receber cada um?
a)
Solução:
(
)
Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador
deverá
onde:
receber
e
considerando
k
a
constante
de
proporcionalidade;
F é a força em Newtons (N)
●
M é a massa em quilogramas (kg)
d é a distância em metros (m)
G é a constante gravitacional em Newtons metro quadrado por
●
●
Portanto:
quilograma quadrado (Nm2 / kg2).
Cada trabalhador receberá, respectivamente:
b)
R$ 240, R$ 360 e R$ 600,00
onde:
T é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol;
K é a constante de proporcionalidade;
(Ex8.)
Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de
futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados
R é a distância média do Planeta ao Sol.
em partes inversamente proporcionais ao número de faltas
cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7
Solução:
e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles
a) Organizando a fórmula a seguir:
(
respectivamente?
)
(
)
Solução:
Note que a força (F) é diretamente proporcional ao produto das
massas (
) e inversamente proporcional ao quadrado da
distância ( ). O quadrado da distância é diretamente
proporcional ao produto das massas (
Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador
deverá
e
considerando
k
a
constante
de
proporcionalidade;
).
●
Prof: Alexandre Beltrão
receber
●
●
Curso de Matemática
49
RESUMO :REVISÃO - 2015
Portanto:
(Ex12.)
Uma torneira enche um tanque em 12 minutos. Outra torneira
enche o mesmo tanque em 8 minutos. Num determinado dia,
Maria resolveu encher o tanque mantendo as duas torneiras
ligadas. Depois de quanto tempo o tanque ficou cheio?
Cada jogador receberá, respectivamente:
R$ 1.540, R$ 1.100 e R$ 700,00
Solução:
(Ex9.)
Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De
● A primeira torneira enche
, em 1h.
quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
● A primeira torneira enche , em 1h.
Em 1h, juntas, encheria:
Solução:
As grandezas farinha de trigo e pães são diretamente
Portanto:
1h -------
proporcionais:
h -----As duas torneiras, juntas, enchem o tanque em: 4h e 48 min.
(Ex10.)
Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias.
Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo?
(Ex13.)
30% da população de uma cidade litorânea mora na ilha e os
demais 350.000 habitantes moram na área continental. Quantas
pessoas moram na ilha?
Solução:
As grandezas pedreiros e dias são inversamente proporcionais,
Solução:
portanto:
(
)
( )
dias.
Portanto, a quantidade de pessoas que moram na ilha é:
(Ex11.)
Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas
mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para
montar
50 máquinas?
(Ex14.)
Do meu salário de R$ 1.200,00 tive um desconto total
de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do
meu salário?
Solução:
Solução:
Portanto:
(Ex15.)
( )
(
)
Prof: Alexandre Beltrão
dias
Curso de Matemática
50
RESUMO :REVISÃO - 2015
Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um
O poder de compra nesse mês aumentou em 50%.
desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o
valor do desconto obtido?
(Ex19.)
Um produto que custa R$ 700,00 é vendido com um prejuízo de
Solução:
30% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda dessa
(
)
produto
por:
● O desconto obtido foi de:
●
Acabei
pagando
o
(
ou ainda:
)
mercadoria?
.
.
Solução:
(Ex16.)
Sabe – se
Uma jarra de 18 litros está cheia de suco. 20% é água e 80% é
Portanto:
polpa. Após uma perda de água, 10% do suco passaram a ser
de água e 90% passaram a ser de polpa. Qual o volume de água
(Ex20.)
perdido?
Amélia fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de uma
mercadoria. Sabendo que ela custou R$ 200,00, por quanto
Solução:
deverá ser vendida?
Trabalharemos, apenas com a parte fixa (polpa). Portanto:
(
)
Logo, o volume de água perdido é dado por:
.
Solução:
Sabe – se
Portanto:
(Ex17.)
O salário de Luiz Cláudio era de x reais em janeiro. Em maio, ele
recebeu um aumento de 10% e outro de 20% em novembro. Seu
salário atual é de R$ 1.320,00. Calcule o salário de Luiz em
(Ex21.)
janeiro.
Em uma feira livre 4 lápis são vendidos por R$ 2,00. Sabe – se o
custo da unidade do lápis foi de R$ 0,20. Qual o lucro percentual
na venda de 160 lápis?
Solução:
(
Solução:
)
Preço de venda: 4 lápis -------- R$ 2,00
Preço de custo: 1 lápis -------- R$ 0,2
(Ex18.)
4 lápis -------- R$ 0,8
Em determinado mês os salários aumentaram 20% e os preços
das mercadorias diminuíram em 20%. O que aconteceu neste
Portanto, o lucro na venda de 4 lápis é dado por:
mês com o poder de compra?
Solução:
Definindo poder de compra como:
. Tem –se:
Para 160 lápis, o lucro será:
O lucro percentual será:
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.
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51
RESUMO :REVISÃO - 2015
01) A tabela a seguir apresenta os principais produtos
(Ex22.)
exportados pelo Brasil para a China nos anos de 2010, 2011 e
Um capital aplicado a juros simples durante dois anos, à taxa de
2012 e a quantia em milhões de dólares gastos pela China com
4% a.m., gerou no período, um montante de R$ 19.600,00. Qual
esses produtos.
foi o capital aplicado?
Solução:
(
(
(
)
))
(Ex23.)
Uma loja oferece um computador e uma impressora por R$
3.000,00 à vista, ou por 20% do valor à vista como entrada mais
um pagamento de R$ 2.760,00 após 5 meses. Qual a taxa de
juros simples cobrada ao mês?
Se um produto A, entre aqueles contidos na informação Outros
produtos, representar 1% do total do volume monetário das
exportações do Brasil para a China em 2012, então o valor
monetário que esse produto A representou nas exportações
daquele ano foi:
Solução:
a) trezentos e oitenta e dois milhões e quinhentos e trinta mil
À vista: R$ 3.000,00.
À prazo: R$ 600,00 (entrada) + R$ 2.760,00 (após 5 meses).
Com relação ao pagamento À vista:
R$ 3.000 -
dólares.
b) trinta e oito milhões e duzentos e cinquenta e três mil dólares.
c) quarenta e um milhões e duzentos e vinte e oito mil dólares.
R$ 600,00
Após 5 meses
R$ 2.400,00
R$ 600,00
Após 5 meses
R$ 2.760,00
d) quarenta e um bilhões e duzentos e vinte e oito milhões de
dólares.
e) quatrocentos e doze milhões e duzentos e oitenta mil dólares.
nos 5 meses. Por mês foi uma taxa de 3%.
02) O lixo do refeitório de uma grande metalúrgica é coletado
(Ex24.)
diariamente por um caminhão e levado para um aterro sanitário
Um investidor fez uma aplicação de R$ 20.000 num banco a
que fica a aproximadamente 30 quilômetros da empresa. Duas
uma taxa cumulativa de 5% ao ano. Após 2 anos o montante
transportadoras disputam a licitação para o transporte desse lixo
deverá ser de: (use:
diário, que chega a 240 toneladas por ano. Sabendo que a
).
transportadora A cobra R$ 160,00 por tonelada de lixo e R$
50,00 por coleta diária, de segunda a sábado; e a transportadora
Solução:
B cobra
(
(
)
)
PRATICANDO NA SALA
R$ 150,00 por tonelada e R$ 0,80 por
quilômetro rodado, na ida e na volta ao aterro. Considerando 26
dias úteis no mês, assinale a alternativa correta:
a) A proposta de A é mais interessante, pois cobra
aproximadamente
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R$ 3.000,00 por mês.
Curso de Matemática
52
RESUMO :REVISÃO - 2015
b) A proposta de A é mais interessante, pois o preço fixo de
coleta reduz o custo para a empresa.
c) A proposta de B é mais interessante, pois seu custo mensal é
menor do que o de A.
d) A proposta de B é mais interessante, pois cobra pouco a mais
de
R$ 3.000,00 por mês.
e) As propostas são igualmente boas, pois ambas têm o mesmo
custo mensal.
03) Em uma fazenda, é necessário transportar um número de
sacos de soja utilizando carros que serão alugados para a
prestação de serviço. O produtor calculou que, se transportasse
40 kg de soja em cada carro, sobraria, 4 carros daqueles que
planejava alugar. Por outro lado, transportando 35 kg por carro,
ainda sobrariam, 10kg de soja para serem transportados.
Nessas condições, o número de carros que o produtor planeja
alugar e a quantidade total, em quilogramas de soja a serem
transportadas, são, respectivamente:
a) 34 e 1 200
b) 34 e 1 500
c) 32 e 1
200
d) 32 e 1 500
e) 36 e 1 200
04) Uma pesquisa foi realizada com a intenção de conhecer o
que as pessoas sabem sobre o diabetes. Nela, utilizou – se um
questionário com 16 perguntas, respondidas pelas pessoas na
entrada de estações do metrô de São Paulo. Os gráficos a
seguir mostram, respectivamente, os percentuais de respostas
dadas às seguintes perguntas do questionário: “Você conhece
alguém com diabetes?” e “Caso conheça, indique onde.”
O percentual do número de entrevistados que conhecem
pessoas diabéticas na escola é mais aproximado por:
a) 6%
b) 15%
c) 37%
d) 41%
e)
52%
05) Um ilustrador precisou representar um rancho de 10.000
metros quadrados em um mapa. Essa representação, por causa
do espaço disponível, precisou ser feita por um quadrilátero
semelhante à forma real do rancho, porém com área de nove
centímetros quadrados. Para que o mapa esteja correto, o
ilustrador deve indicar que foi construído na escala:
a) 3:1.000
b) 3:10.000
c) 5:10.000
d) 9:1.000
e) 9 :10.000
06) A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto
entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da intensidade da
corrente elétrica (i) que por ele circula.
Para um chuveiro elétrico qualquer, a energia elétrica (E)
consumida depende da potência elétrica e do intervalo de tempo
de funcionamento (
(
). Se o intervalo de tempo for constante
), a energia elétrica consumida será diretamente
proporcional à potência elétrica do aparelho e o (
Prof: Alexandre Beltrão
Curso de Matemática
) será a
53
RESUMO :REVISÃO - 2015
constante de proporcionalidade. Nessas condições, a energia
e) 135,00
elétrica (E) pode ser escrita em função da resistência elétrica (R)
e da intensidade da corrente elétrica (i) por meio da expressão:
09) Quando se diz que numa determinada região a precipitação
pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela
região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.
a)
b)
c)
d)
e)
07) Uma empresa trabalha com dois produtos, A e B. Para
transportar seus produtos, utiliza uma caminhonete. A carga
máxima, permitida por lei, para transporte nessa caminhonete é
igual a 300 latas do produto A ou 210 latas do produto B. Se a
caminhonete abrigar 180 latas do produto A, então o máximo de
latas do produto B, que pode transportar, sem infringir a lei, é:
5 cm, quantos litros de água foram precipitados?
a) 5 x 107.
b) 5 x 108.
c) 5 x 109.
a) 72
d) 5 x 1010.
b) 84
e) 5 x 1011.
c) 98
d) 102
10) A decoração natalina de uma empresa no ano passado foi a
e) 110
de uma enorme árvore de Natal constituída por 3.200 lâmpadas
08) O litro do combustível X custa R$ 2,00 e do combustível Y,
custa
Se numa região de 10 km² de área ocorreu uma precipitação de
R$ 3,00. O tanque do veículo V, que se move
indiferentemente com os combustíveis X e Y, tem capacidade
total de 54 litros. O veículo V, quando abastecido unicamente
com o combustível X, tem rendimento de 15 quilômetros por litro
e, quando abastecido unicamente com o combustível Y, tem
rendimento de 18 quilômetros por litro. Quantos reais gastará o
proprietário de V, caso resolva abastecer completamente o seu
tanque com uma mistura desses combustíveis, de forma que,
numericamente, os volumes correspondentes de X e Y sejam,
simultaneamente, diretamente proporcionais aos rendimentos e
inversamente proporcionais aos custos de cada um deles?
a) 131,00
b) 132,00
c) 133,00
d) 134,00
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piscas-piscas (que consomem energia por igual) que ficaram
acesas por
45 dias ininterruptos das 18 horas às 2 horas
da manhã, gerando com isso um consumo de energia de R$
64,00 nesse período. Para este ano, a tarifa de energia elétrica
aumentou 25%. A empresa quer novamente enfeitar a árvore de
Natal, mas mantendo as lâmpadas acesas por 60 dias e
pretendendo ter o mesmo gasto, em reais, com a energia
elétrica proveniente desse enfeite, em relação ao ano anterior,
apenas das 18 horas à meia--noite. Analisando essa atitude da
empresa, verifica -se que, para que isso realmente aconteça, o
número de lâmpadas piscas-piscas na árvore deve ser reduzido
para:
a) 2.800
b) 2.560
c) 2.105
d) 1.870
e)
1.600
Resolução:
Curso de Matemática
54
RESUMO :REVISÃO - 2015
x é o custo da energia e L a quantidade de lâmpadas:
- desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo desconto.
Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, após os
três descontos, é igual a R$ 710,00.
11) Durante uma crise econômica, uma pessoa precisou se
desfazer de um imóvel. Com muita dificuldade para encontrar
a) R$ 800,00
um comprador, precisou aceitar a oferta de um grande produtor
b) R$ 950,00
de milho da região que fez a seguinte proposta:
c) R$ 1000,00
d) R$ 1.500,00
● 50% de entrada pagos com 7.000 sacas de milho (primeiro
e) R$ 2.000,00
pagamento);
13) Leia o texto a seguir.
● 25% do valor pagos na safra seguinte, também em sacas de
milho (segundo pagamento);
Vinte e sete montadoras já se habilitaram para as regras do
● o restante em sacas de milho na outra safra seguinte (terceiro
novo
pagamento).
Desenvolvimento, Indústria e Comércio de Inovar Auto, que visa
regime
automotivo,
batizado
pelo
Ministério
do
deixar mais econômicos os veículos menos poluentes. Hoje o
Sabendo – se que, na data da entrada, a saca de milho custava
desempenho médio de um veículo fabricado no Brasil está por
R$ 20,00 e que a previsão para as duas próximas safras era de
volta de 14 km/litro (gasolina) e 9 km/litro (álcool). O objetivo do
aumento de preço da saca em 12% e 18%, respectivamente, a
Inovar Auto, nesse quesito, é que o desempenho passe a ser de
quantidade de sacas necessária para efetuar o segundo
18,6 km/litro (gasolina) e 12 km/litro (álcool).
pagamento será:
Adaptado de Entendendo o Inovar Auto. Revista Cesvi, São Paulo, ano
16, n. 84, p. 38, mar./abr. 2013.
a) 2.648
b) 2.966
c) 3.125
Com base nas informações do texto, podemos inferir que o
d) 3.500
ministério espera que o consumo desses combustíveis:
e) 3.920
a) diminua em aproximadamente 25%.
12) Observe o anúncio abaixo, que apresenta descontos
b) diminua em aproximadamente 33%.
promocionais de uma loja.
c) diminua em aproximadamente 36%.
d) aumente em aproximadamente 32%.
e) aumente em aproximadamente 40%.
Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência:
Resolução:
- primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria;
- segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro
desconto;
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55
RESUMO :REVISÃO - 2015
a) R$1.000,00
b) R$ 17.721,00
c) R$ 17.740,00
d) R$21.580,00
e) R$ 26.560,00
16) Três lojas, A, B e C, vendem um mesmo produto cujo preço
é
R$ 900,00, mas oferecem formas de pagamento
diferentes, conforme descrito abaixo.
14) Um produto foi vendido por R$ 86,40 após um desconto de
10% sobre o preço de venda. Se fosse vendido sem o desconto,
- Loja A – Dá um desconto de 10 % para pagamento a vista.
geraria um lucro de 60% sobre o preço de custo. Determine o
- Loja B – Parcela o valor em 2 meses, sem juros, com o
preço de custo do produto.
primeiro pagamento para 1 mês após a compra.
- Loja C – Dá um desconto de 10 % em metade do valor, que
a) R$ 60,00
deve ser pago a vista, e deixa o pagamento da outra metade
b) R$ 70,00
para 1 mês após a compra.
c) R$ 80,00
d) R$ 82,00
João tem exatamente R$ 900,00 depositados em uma aplicação
e) R$ 85,00
que lhe rende 10 % ao mês. Suponha que João pretenda utilizar
esse dinheiro para comprar tal produto e que, feita a escolha da
15) Um veículo está à venda nas seguintes condições de
loja, ele irá realizar saques mensais da sua aplicação no dia de
pagamento:
vencimento e no valor exato da parcela que deve pagar.
• 12 parcelas iguais a R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato;
Nessa situação, assinale o que for correto.
• parcela adicional, 12 meses após a compra, de R$ 20.000,00;
a) Se João comprar na loja A, então, 2 meses após a compra,
• para a concessionária, o dinheiro vale 2% ao mês, e o
ele terá R$ 110,00 aplicados.
comprador pode antecipar parcelas com esse desconto.
b) Se João comprar na loja B, então, exatamente após efetuar o
primeiro pagamento, ele terá R$ 580,00 aplicados.
Uma pessoa adquiriu esse veículo e, no ato da compra,
c) Se João comprar na loja C, então, logo após terminar de
resolveu, além da primeira parcela de R$ 1.000,00, antecipar a
pagar pelo produto, restarão a ele R$ 94,00 aplicados.
segunda parcela e a adicional. Dessa forma, essa pessoa
d) Se comprar na loja B, João levará mais tempo para pagar o
pagou, no ato da compra, aproximadamente:
produto, mas, para ele, essa opção é financeiramente melhor do
(Se necessário, use os dados da tabela.)
que comprar na loja C.
e) Financeiramente, a melhor opção de compra é sempre pagar
a vista com desconto, independentemente de como se pode
aplicar o dinheiro.
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56