Caderno de Questões
Bimestre
2.o
Disciplina
Geometria Espacial
Turma
3.a série
Questões
10
Testes
00
Professor(a)
Páginas
10
Período
M
Data da Prova
20/06/2012
P 22063
Verifique cuidadosamente se sua prova atende aos dados acima e, em caso negativo, solicite, imediatamente,
outro exemplar. Não serão aceitas reclamações posteriores.
Aluno(a)
Nota
Turma
Professor
N.o
Assinatura do Professor
Instruções
1. A prova pode ser feita a lápis (figuras e equações) mas as respostas devem ser a tinta.
2. É proibido o uso de bips, pagers, celulares, calculadoras (ou relógios que as contenham).
3. Respostas que não vier acompanhada de resolução não será considerada.
01. (valor: 1,0) Determinar a área da esfera circunscrita a um cone reto de raio 12 m e altura 18 m.
R2 = ( 18 – r)2 + 122
R = 13 m
Aesfera = 4.π. (13)2 = 676 π m2
22063
p2
02. (valor: 1,0) Determinar o volume da esfera inscrita em um cone de raio 6 m e área 96π m2.
1 ) 36π + 6πg = 96π
g = 10 m
2)8 = 6
4
r
3 ) V esfera= 4 . π . 33 = 36π m3
3
Aluno(a)
Turma
N.o
P 22063
22063
p3
03.
a.
(valor: 0,5) Determinar o volume da esfera inscrita em um cilindro equilátero de 384π m2.
1) 2.π. r2 + 2.π. r. h = 384π
2.π.r2 + 2.π.r. 2r = 384π
r=8m
2) Vesfera = 4. Π . 83 = 2048 π
3
3
b.
(valor: 0,5) Um prisma hexagonal regular circunscritível tem 36 3 cm2 de área. Determine o volume
desse prisma.
1) h prisma = 2r, r esfera = a√3 , logo h prisma = a√3
2
2) Aprisma = 36√3 cm2
6. a2√3 + 6. a. a√3 = 36√3
4
a = 2 cm
3) V prisma = 6. 22√3 . 4
4
V prisma = 36 cm3
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p4
04. (valor: 1,0) A aresta da base de uma pirâmide triangular regular mede 6 3 cm. Se esta pirâmide
tem 72 3 cm2 de área, qual é o volume da esfera inscrita nela?
1) Apiramide = 72√3 cm2
(6√3)2 + 3. 6√3 . apl = 72√3
4
2
Apl = 5 cm
2) r = 2
3 4
r=3
2
3) V esfera = 4 π . 3
3
2
V esfera = 9 π cm3
2
3
Aluno(a)
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p5
05. (valor: 1,0) Um cilindro equilátero está inscrito em um prisma triangular regular de 48 3 m3. Qual é
a área desse cilindro?
1) r = a√3
6
2) H = 2r , logo H = a√3
3
3) a2√3 . a√3 = 48√3
4
3
a = 4√3 m
portanto r = 2 m, e H = 4m.
4) A cilindro = 2. Π. 22 + 2.π. 2. 4
A cilindro = 24π m2
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p6
06. (valor: 1,0) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 12 2 m. Se a altura dessa
pirâmide mede 24 m, qual é a área da esfera circunscrita a essa pirâmide?
1) R2 = ( 24 –R)2 + 122
R = 15m
2) A esfera = 4. Π. (15)2
A esfera = 900π m2
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Turma
N.o
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p7
07.
a. (valor: 0,75) (G1-CCAMPOS/2011) Abaixo temos um triângulo retângulo ABC e uma figura F
composta por quatro triângulos congruentes a ABC. Considerando que BC = 8 cm e 3 AC = 4 AB,
qual é o perímetro da figura F?
1) 3AC = 4AB
3y = 4x
Y=4x
3
2) Teorema de Pitagoras no triangulo ABC :
8 2 = 4 x + x2
3
x = 24, logo y = 32
5
5
Perimetro figura F = 4. 8 + 4. 8 = 192 cm.
5
5
b.
(valor: 0,25) (UFF/2010) Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler
estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do
outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões
harmônicas dos poliedros regulares.
A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da
esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os
vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do
poliedro. (As respostas só serão aceitas se apresentadas
apresentadas as justificativas – cálculos.
cálculos.)
A razão harmônica de qualquer cubo é igual a:
a√3
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
2
3
3
2
R circunscrita =
r inscrita
2
a/2
= √3 , alternativa D
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p8
08. (As respostas só serão aceitas se apresentadas as justificativas – cálculos.
cálculos.)
a.
(valor 0,75) (UERJ/2009) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas
seis faces numeradas de 1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas
idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado
equivale a 4,2% do volume total do cubo.
Considerando π = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio
de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
6
8
9
10
12
20 semiesferas = 10 esferas = 10. 4. Π. r3 = 0,042 . a3
3
40. r3 = 42. 10-3 . a3
a 3 = 103
r
a = 10
r
b.
alternativa D
(valor: 0,25) (UNEMAT/2010) Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm
de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e CBˆ D = 90º.
Qual a medida do segmento AD?
(AD)2 = 32 + 42 - 2.3.4.cos 150º
AD = √ 25 + 12√ 3
Aluno(a)
Turma
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p9
09. (valor: 1,0) Um prisma hexagonal regular de 4 3 cm de altura e 99 3 cm2 de área está inscrito em
uma pirâmide hexagonal regular de 6 3 cm de altura, como mostra a figura (os vértices de uma
base do prisma estão nas arestas laterais da pirâmide). Qual é o volume desta pirâmide?
1) 2. 6. a2√3 + 6.a. 4√3 = 99√3
4
3a2 + 24ª – 99 = 0
a=3
2) Semelhança entre pirâmides (menor e maior)
3 = 2√3
A
6√3
A = 9 cm
A
3) Vpiramide = 1 . 6 . 92.√3 . 6√3
3
4
3
Vpiramide = 729 cm
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p 10
10. (valor: 1,0) Um prisma hexagonal regular de 3 3 cm de altura tem 81 3 cm2 de área. Determinar o
volume da esfera circunscrita a esse prisma.
1) 2. 6. a2 √3 + 6.a.a√3 = 81√3
4
a = 3 cm
2) (2R)2 = (3√3)2 + 62 ( diâmetro da esfera = diagonal do prisma).
R = 3√7
2
3) V esfera = 4 . Π . 3√7
3
2
V esfera = 63Π√7 cm3
2
3