Gabarito resolvido
Matemática – Ensino Médio – Volume 4
01) Observe na figura abaixo que ao planificar um cilindro circular reto obtemos duas
circunferências e um retângulo. A área total será a soma das áreas dessas figuras. Observamos
ainda que a altura do retângulo é a altura do cilindro e o comprimento é o comprimento da
circunferência da base.
SB
r2
ST
2.SB
2 r.5
SB
2
ST
2.36
SL
2 6.5
SB
36 cm
ST
132 cm
SL
60 cm
SL
b.h
SL
6
SL
60
02)
VPr isma
SB
r2
63
SB .h SB
32
h
SB
9
h
9 .h
63
9
7cm
03)
a) O volume é o produto entre a superfície da base e a altura.
Cilindro I
Cilindro II
Cilindro III
Raio
2 cm
1 cm
4 cm
Altura
4 cm
16 cm
1 cm
Área da base
2
r
r2
r2
Volume
2
.4 4 cm
.1
cm2
.16 16 cm2
4 .4 16 cm3
.16 16 cm3
16 .1 16 cm3
Pelos resultados obtidos, verificamos que os volumes dos três cilindros são iguais.
b) Área total = 2.SB+SL.
Cilindro
Raio
Altura
I
2 cm
4 cm
II
1 cm
16 cm
III
4 cm
1 cm
Área da
base
4 cm2
cm2
16 cm2
Circunferência da
base: C 2 r
Área lateral
2 2 4
2 1 2
2 4 8
4 .4 16
2 .16 32
8 .1 8
SL
C.h
Área total
2SB+SL
2.4 16
2.
32
2.16
8
24
34
40
Observamos que a área total do cilindro I é a menor, mesmo contendo o mesmo volume dos
demais cilindros.
04) Cilindro equilátero é quando a altura é igual ao diâmetro da base.
Secção meridiana: 100m2
SM
D
r
h
100
10
D
5
2
10
Sb
r2
52
Sb
V
25
Sb .h
V
25 .10
V
250 m3
05) B
Para calcular o volume do líquido, é imprescindível que se faça as medições do diâmetro e a
altura do líquido, sendo ao todo duas medições. No lugar de medir o diâmetro poderia medir o
raio que ainda assim teríamos a necessidade de duas medições. Volume é igual a área da base
vezes a altura.
06)
a) Para saber qual das duas embalagens gasta menos material, é necessário calcular a superfície
total de cada uma das embalagens (cilindro reto).
Cilindro A
Cilindro B
SA
2.Sb
SA
2. r 2
SA
2. 52
SA
50
SA
SL
SB
2.Sb
2 r.h
SB
2. r 2
2 5.20
SB
2. 10 2
200
SB
200
2
SB
400 cm 2
250 cm
SL
2 r.h
2 10.10
200
Logo, o custo da embalagem A é menor.
b) Para descobrir qual a embalagem mais vantajosa para o consumidor poderíamos fazer um
cálculo direto e identificar em que situação o consumidor:
A
4
250
0,016
B
7
400
0,0175
Obviamente, B
A , pois
0,0175
0,016
0,0175
0,016
Logo, B será mais vantajosa
07)
a) Ao efetuar a rotação em torno da reta r formaremos um cilindro de raio r=3 e altura h=6.
Sb
r2
Sb
V
32
Sb .h
V
V
9 .6
54
9
b) Com a rotação, formará um sólido na forma de dois cilindros
V1
Sb .h
V1
2
r .4
V1
12.4
V1
VT
V1
V2
V2
2
3 .3
VT
4
27
V2
32.3
VT
31
V2
V2
4
Sb .h
27
c) Com a rotação, obtemos:
Cilindro maior:
Cilindro menor
Região:
V1
V2
V
V1
V
V
100
64
V1
V1
Sb .h
2
V2
100
V2
5 .4
Sb .h
2
3 .4
36
V2
36
08)
O volume dos nove cubos de gelo derretidos corresponderá ao volume de um cilindro com raio
3cm e altura h.
3
VCubos
9
VCubos
9.33
VCubos 243cm3
Vcilindro SB .h
243
r 2 .h
243
32.h
h
27
27
3,14
8,5cm
09)
VQuadrado
VCilindro
V1
V2
SB .h
r 2 .L
V2
L3
r 2 .L
L2
r2
r2
L
L
L3
V1
r
10)
Volume do cilindro do meio:
V1
r 2 h1
Volume do cilindro externo:
VE
R 2h 2
VE
r 2
2
VE
VE
VE
2 r2
h1
3
h1
3
2 2
r h1
3
2 r 2 h1
3
Observe que esse volume corresponde a um cilindro de Raio R. Assim, devemos desconsiderar
o volume do cilindro do meio. Para isso, identificaremos a diferença que será a quantidade de
volume somente da parte do cilindro externo sem o cilindro do meio;
Como
V1
VE
V1
VE
2 r 2 h1
3
r 2 h1
3 r 2 h1
2 r 2 h1
3
,
2
V1
VE
r h1
3
V1
VE
r 2 h1
3
1
V1
3
Então, a parte do segundo cilindro levará ao todo 1/3 do tempo de enchimento do primeiro
cilindro.
Tempo do primeiro cilindro = 30 minutos
Tempo da outra parte cilíndrica = 10 minutos
Total = 40 minutos.
11) E
Volume lata original:
V
R 2 .H
V
24 R 2
Volume da miniatura:
V
r 2 .h
V
6 r2
Os raios variam de forma proporcional como nas alturas, logo a medida do raio lata original é
quatro vezes a altura da miniatura, isto é, R=4r:
Vmin iatura
24 R 2
6 r2
VOriginal
4 4r
Vmin iatura
r2
VOriginal
64r 2
r2
VOriginal
Vmin iatura
2
64
12) A
1 litro = 1dm3
Comprimento = 30cm = 3dm
Diâmetro = 10cm = 1 dm
Raio: 0,5dm
V
V
V
V
Sb .h
r 2 .3
(0,5)2 .3
0,75
Considere π=3,14
V=0,75.3,14
V=2,36dm3 = 2,36 litros
OBS: O volume do cano é de 2,36 litros, portanto ao colocar 2 litros de água, o nível irá
ultrapassar o meio do cano
13) O volume da pedra equivale ao cilindro com raio 12cm e altura 3cm
V
Sb .h
122.3
V
V
432 cm 2
14)
Vqueijo
Sb .h
Vqueijo
r 2 .h
Vqueijo
402.30
Vqueijo
48000
360
48000
60
x
360 48000
60
x
x 8000
V60 8000
V
V
V
Vqueijo
48000
40000
V60
8000
V
40000
3
10
103
40000
40
1000
V
4cm3
3
10
15) A)
A distribuição do volume num cilindro reto na posição vertical é igual, no entanto na posição
horizontal (deitado) o volume varia conforme a altura (considerando a altura nesse caso como o
diâmetro). A variação do volume em relação ao comprimento da altura do cilindro (deitado)
será para maior no centro e menor nas extremidades. Por isso a graduação de uma vara que
meça com precisão o volume distribuído no cilindro deve possuir menores intervalos no centro
e maiores nas extremidades.
16) D
Com mesma altura e raio, o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro. Como o cilindro levou
2 horas e meia para encher, então o volume do cone levará 1/3 desse tempo, ou seja:
Tempo cilindro = 2 horas e meia = 150 minutos
Tempo cone = 1/3 de 150 = 50 minutos
17)
g2
82
g2
100
62
g 10
SL
rg
SL
SL
6.10
60
18)
r2
SB
r2
36
SL
ST
SL
96
ST
36
g2
62
64
36
SL
60
h2
r
6
SL
rg
h
g
h2
102
r2
60
r2
h2
8m
.6.g
10
19)
g
2r
SL
g
rg
24
r
r.2r
2 3m
4 3
ST
2 3(2 3
ST
2 3.6 3
ST
12 32
ST
36 cm 2
20)
a)
g2
r2
h2
52
32
h2
h2
16
h
4
V
V
V
V
b)
r
h
V
V
V
V
V
h
3
SB .h
3
r 2 .h
3
42.3
3
48
3
16
SB .h
3
r 2 .h
3
32.4
3
12
4 3)
c)
Vcilindro
SB .h
Vcilindro
r 2 .h
Vcilindro
82.10
Vcilindro
640
Altura Cone:
h2
82
102
h2
100
64
h2
36
h
6
Vcone
Vcone
Vcone
Vcone
SB .h
3
2
r .h
3
82.6
3
128
Vtotal
Vcilindro
Vtotal
640
Vtotal
768
Vcone
128
Altura e volume do cone maior:
h2
82
h2
100
h2
36
h
102
64
V1
V1
6
V1
V1
SB .h
3
r 2 .h
3
82.6
3
128
Altura e volume do cone menor:
h2
42
h2
25 16
h2
9
h
52
V2
V2
3
V2
V2
SB .h
3
r 2 .h
3
42.3
3
16
Volume da região hachurada:
V
V1
V2
V
112
d)
Volume do cilindro de altura 12 e raio 5:
V1
V1
r 2 .h
V1
2
V1
Volume do cone formado pela região não
SB .h
5 .12
hachurrada (raio 5 e altura 12):
V2
300
V2
V2
V2
SB .h
3
r 2 .h
3
52.12
3
100
Volume da região hachurrada
V
V1
V
V
300
200
V2
100
21) D
Observe que o esquema abaixo indica qual peça é equivalente como resultado da rotação em
torno do eixo.
22) B
Volume cilindro com r=5 e h=30
V
SB .h
V
r 2 .30
V
52.30
V
25.30
V
750
Volume Cone:
V
SB .h
3
r 2 .h
3
52.6
3
25.2
V
50
V
V
V
É dado ainda que o volume de álcool é de 625π. Assim, na figura dois, temos há um restante de
espaço vazio que corresponde ao volume do cilindro menos volume do cone:
625
50
575
Basta calcular h do cilindro de raio 5 e volume 575π:
V
SB .h
575
r 2 .h
575
52.h
575
h
25h
23
Portanto, da altura 30cm tiramos 23cm restando H=7cm
23) D
A área de cada copo cônico equivalerá à área de um semicírculo com 12 cm de raio.
Área do semicírculo:
r2
2
122
2
72
A
A
A
A
144
2
72
72.3
216cm2
A
Para trinta copos:
Q
216.30cm 2
Q
6480cm 2
24) E
C
C
2 r
2 .5
C
10
Para calcular o ângulo x, podemos usar ainda a relação:
C
g.x
10
x
20x
10
20
x
2
Essa é a resposta em radianos e em graus fica:
x
x
x
2
180
2
90
25) E
VCopo
VCopo
VCopo
VCopo
3
8
r
SB .h
3
r 2 .h
3
32.8
3
24
r
x
3x
8
OBS: A quantidade (volume) de suco é exatamente a metade, isto é:
VSuco
VSuco
VSuco
VCopo
2
24
2
12
Mas, a fórmula desse volume cônico é:
SB .h
3
2
r .x
12
3
2
r x 36
3x
Como r
, temos:
8
VSuco
2
3x
x
8
36
9x 3
36
64
x 3 256
x
43 4
26) E
Conforme o exercício resolvido (1), o volume de água existente até a metade de um cone
equivale a 1/8 do volume total do cone. Nessas condições:
V
1200
V
Vrestante
8
1800
Vrestante
8
Vrestante 150
27)
a) o Apótema do tronco é a medida x abaixo. A figura corresponde ao lado do tronco da
pirâmide.
x2
62
x2
64
x
8
102
b)
A medida x corresponde à altura do tronco:
x2
62
x2
28
x
82
2 7cm
c) A área lateral é formada por 4 trapézios com as medidas abaixo.
14
28
A
4
A
4
A
256cm 2
2
16.8
2
d)
Área total = Área base maior + área base menor + área lateral.
Base maior = 14x14=196cm2
Base menor = 2x2 = 4 cm2
Área total = 256 + 196 + 4 = 456cm2
e)
V
h
B
3
V
2 7
196
3
V
2 7
200
3
V
2 7
.228
3
V
152 7cm3
h
b B
b
B.b
196.4
28
28)
h
B
3
1
V
16
3
28
V
3
28
x
.9
3
x 84
V
Bb
8
4
R$84,00
29)
A
375
h
h
A
b .h
2
20 30 .h
2
375
25
15
b
2 7
196
4
4
30)
2
b
3
4
2
B
4
3
h
B
3
h
V
V
V
V
V
V
3
b
B
h
H
2
4
h
10
2
2
1
h2
2 100
h 2 50
5 2m
32)
b
B
B
4
B
B 1
.
4 B
h2
Bb
3
16 3
3
3
16 3
3
3
.21 3
3
3.7
21cm
31)
h
4 3
4
64 3
4
h
H
h2
202
2
h2
400
400
4
100
h2
h 10
3
16 3
b
16 3 3
4 3
3
3
33) B
Na altura de 19cm deve ser desconsiderados 3cm relativos aos espaços vazios, logo a pirâmide
completa possui 16cm de altura.
SB .h
3
62.16
3
192cm 2
V
V
V
Volume da pirâmide de 1,5 cm de aresta e 4 cm de altura:
SB .h
3
V
2
1,5 .4
V
3
3cm3
V
Volume de parafina:
192cm3-3cm3=189cm3.
34)
a)
g2
R2
h2
132
52
h2
h2
169
25
h
12
b)
S
g R
tronco
r
S
.13 6 1
S
.13.7
S
91 m 2
c)
Área total = Área lateral + áreas das bases
b
r2
B
r2
b
12
B
62
b
STotal
B
91
STotal
128
36
36
d)
V
h 2
R
Rr r 2
3
12 2
6
6.1 12
3
4 36 6 1
V
4 .43
V
172 m 3
V
V
35)
Falso. A área maior é quatro vezes a área menor:
b
r2
B
r2
b
52
B
10 2
b
25 cm 2
B
100 cm 2
Falso
V
h 2
R
Rr r 2
3
.12 2
10 10.5 52
3
4 100 50 25
V
700 cm3
V
V
Verdadeiro.
g2
12 2
g2
169
g
13cm
52
Verdadeiro.
S
S
S
g(R r)
13(10 5)
195 cm2
36)
R
V
h 2
R
3
r2 r
Rr
h
4,5
2, 25m 22,5dm
2
2
1m 10dm
2
3m 30dm
V
.30
(22,5) 2 22,5.10 102
3
10 506, 25 225 100
V
8310, 25
V
V 26.114, 49dm 3
1 litro 1dm3 V
26.114, 49 litros
Como o condomínio gasta 17.000 litros por dia, a caixa cheia durará apenas um dia completo.
37)
Volume de a:
V
h 2
R
Rr r 2
3
.30 2
12 12.2 22
3
10 144 24 4
V
1720
V
V
Volume de b:
Cone reto com raio 10:
V
SB .h
3
r 2 .30
3
102.10
V
1000
V
V
Tronco com R=20 e r=10:
V
V
V
h 2
R
Rr r 2
3
.30
202 20.10
3
7000
Portanto, o volume em b será maior
38)
h
0,15
H
0,17 2
r2
r
0,152
r2
0,0064
0,08
b
r2
B
r2
b
0,082
B
12
b
0,0064
B
1
Volume da região escura:
V
10 2
7000
1000
6000
b
B
2
h
H
0,152
H2
0,0225
0,0064
0,15
0,08
0,0064
H2
H
15.10 2
8.10 2
15
H
m
8
H
39)
g2
R2
H2
152 92
H 12
H2
b
B
2
h
H
r2
R2
r2
92
r2
4
12
2
42
122
2
2 4
9. 2
12
92.
r
r
9.
r
3
42
122
4
12
Cálculo do volume:
V
h
3
8
3
8
3
8
V
312
V
V
V
R2
Rr
r2
92
9.3
32
81
27
9
27
9
3
40) A
Podemos utilizar a relação entre o volume de um cone cheio com o volume do cone menor
(após 35 minutos)
v
V
3
h
H
3
H
v
V
2
H
v
V
1
23
v
V
8
Logo, o volume menor corresponde a 1/8 do volume maior.
7
8
v
5 minutos
V
SB .h
35 minutos
1125
R 2 .h
1125
12 2.h
1125
h
144
h 8cm
41)
VEsfera
36
R3
4 3
R
3
4 3
R
3
27
R 3
SEsfera 4 R 2
SEsfera
4 32
SEsfera
36 cm3
1
8
5 minutos
43)
4 R2
360
4 6215
360
4 36.15
360
2160
360
6 cm 2
SFuso
SFuso
SFuso
SFuso
SFuso
44)
VEsfera
972
729
R
4 3
R
3
4 3
R
3
R3
9
VCunha
VCunha
VCunha
VCunha
4 3
R
3
360
4 9330
3
360
4 729.10
360
81 m3
45)
c
VCilindro
SB h
288
r 2 .h
288
6 2.h
288
h
36
h 8mm
46) E
a) Falso, pois todos os pontos da superfície da esfera são equidistantes do centro. Logo, OC=AO
b) Falso pois OB=AO
c) Falso, pois C pode estar em qualquer ponto da superfície da esfera, significando que a
distancia entre os pontos AC não é a mesma distancia entre os pontos AO
d) Falso, pois OB = OC
e) Verdadeiro, pois AB = 2.AO=2OC com AO=OC
47)
a) Falso, pois somente as circunferências cujo o raio seja igual ao raio da esfera. Observe as
circunferências abaixo representando as linhas de latitude do planeta Terra. Somente a linha do
equador é uma circunferência máxima, as demais não!
b) Falso, um plano pode cortar uma esfera ou tocar em qualquer lugar formando circunferências
com diâmetros distintos.
c) Verdadeiro! Na mesma esfera pode-se formar uma infinidade de circunferências máximas, e
todas com o mesmo diâmetro.
48) D
Ao fazer a rotação de ABC em torno de AB termos a metade de uma esfera com raio 3m. Já a
rotação de ADEF em torno de AD termos um cilindro de raio 1cm e altura 1cm. Basta calcular a
diferença entre esses dois sólidos gerados.
Sólido
VEsfera
2
4 3
R
3
2
4 3
3
3
2
18
Sólido
17 cm
Sólido
Sólido
Sólido
Vcilindro
r 2 .h
12.1
49) D) Errata. Considere D)
VCilindro
4 3
R
3
4 3
2
3
32
3
SB h
VCilindro
4 2.4
VEsfera
VEsfera
VEsfera
VCilindro
64
VCilindro
VEsfera
64
VCilindro
VEsfera
160
3
10
cm
3
32
3
Volume cilindro sem a esfera:
V
SB h
160
3
160
3
h
r 2h
42 h
10
cm
3
50)
VEsfera
VCilindro
4 3
R
3
4
123
3
2304 cm3
SB .h
VCilindro
R 2 .24
VCilindro
122.24
VEsfera
VEsfera
VCilindro
VCilindro
3456 cm3
VEsfera 3456
VCilindro
VEsfera
2304
1152
Logo, o volume do cilindro de raio 12cm e altura h é 1152πcm3. Basta calcular h com esse
volume
VCilindro
SB .h
1152
R 2 .h
1152
122.h
h
8cm
53) Aresta do cubo:
24
12
2m
Volume da esfera inscrita nesse cubo terá um raio de 1m. Logo,
4 3
R
3
4 3
1
3
4
3
VEsfera
VEsfera
VEsfera
54)
R é o raio da esfera e a hipotenusa do triângulo retângulo de lados 2R, 2r e h:
2
2R
2r
2
h2
4R 2
4.32
82
4R 2
4.9
64
R2
9 16
R
R
2
25
5
VEsfera
VEsfera
VEsfera
55) C
4 R3
3
4 53
3
500
3
56)
Volume da esfera:
Volume do cubo com aresta igual a 2. 3
3
V
3
3
23
4
V
V
8.
V
6
3
4
Volume da região: 6-π
57)
Esfera:
4 R2
SEsfera
4 R2
16
R2
4
R
2cm
aresta
R
2
a 2R
a
4cm
V
a3
V
43
V
64cm3
58) A
Volume das três bolas (esferas):
4 3
a
3
3.VEsfera
3
3.VEsfera
4 a3
4 a3
VolumeBolas
Volume cilindro:
VCilindro
a 2. h
h 6a
VCilindro
2
a .6a
VCilindro
6 a3
VCilindro
VBolas
6 a3
VCilindro
VBolas
2 a3
59)D
4 a3
3
:
4
Como as dimensões são 8cm, 17cm e 26cm temos que 8cm é a dimensão limitante. Essa
dimensão é o diâmetro de uma esfera. Com essas dimensões, caberão duas esferas iguais a essa
no lado de 17cm e 3 esferas no lado de 26cm. Logo, o total de esferas: 2x3=6
60) C
Errata: Considere a figura abaixo para a resolução do problema. O raio da esfera é 4cm como
citado na questão. No material impresso ficou anotado equivocadamente que 4cm seria o raio da
base do cilindro, no entanto 4cm é o raio da esfera circunscrita!
a2
b2
c2
42
r2
r2
2r 2
16
r
2 2
Volume do cilindro:
r 2 .h
V
h
2r
r
2 2
3
V
2 2 2
V
2 .8.2 2
V
32
2cm 2
61) Na caixa cúbica de 2m a esfera inscrita possuirá 1m de raio, logo o volume da esfera fica:
4 R3
3
4 .13
3
4
m3
3
V
V
V
Agora, ao estourar a esfera esse volume ficará na caixa cúbica de 2m de aresta. Basta considerar
como sendo o volume de um prisma quadrangular de lado 2m e altura h:
V
SB .h
4
3
h
2 2.h
3
m
62) E
Altura do cone:
Volume do cone:
Volume da esfera:
R2
r2
(h
R) 2
52
32
(h
5) 2
(h
5) 2
16
h
h
5 4
9cm
V
V
V
V
SB .h
3
r 2h
3
32.9
3
27 cm3
V
V
V
4 R3
3
4 .53
3
500
cm3
3
Percentual do volume do cone em relação à esfera:
volume do cone
volume da esfera
volume do cone
volume da esfera
volume do cone
volume da esfera
ou
16, 2%
27
500
3
81
500
27 .
3
500
0,162
63) C
Na esfera circunscrita vale a relação:
R
a 3
2
com:
R = Raio da esfera
a = aresta do cubo
Como diâmetro da esfera é igual ao dobro do raio, logo:
D
D
R
2R
a 3
2
a 3
2
Basta verificar a razão entre a medida da aresta e a medida do diâmetro do cubo:
R
a 3
a
R
1
3
a
R
3
3
1
3
.
3 3
64) C
R2
r2
(h
R) 2
R2
r2
(R
R) 2
R 2 r2
R r
A medida do raio do cone é igual ao raio da esfera.
Volume do cone
V
V
V
SB .h
3
R 2R
3
R3
3
Volume da esfera
V
4 R3
3
4.
R3
3
O Volume da esfera é o quádruplo do volume do cone.
65) A
g2
r2
h2
g2
52
122
g 2 169
g 13
r
R
5
R
60
18R
R
g
h
R
13
12 R
5R 13R
60
10
3
66)
V+F=A+2
10+F=16+2
F=8
67) D
Como são 60 faces triangulares, temos:
A
60.
3
2
90
V+F=A+2
V+60=90+2
V=32
68)60
12 faces pentagonais = 12.5 = 60 arestas
20 faces hexagonais = 20*6=120 arestas
Faces totais: 12 + 20 = 32
Devemos considerar que as arestas foram calculadas duplamente, isto é, uma aresta da face
pentagonal é fixada com uma aresta da face hexagonal, sendo apenas uma aresta do poliedro,
mas contada duas vezes. Nesse caso:
2A = 60 + 120
A=90
Agora basta calcular o número de vértices:
V+F=A+2
V+32=90+2
V=92-32
V=60
69) B
6 faces triangulares = 6x3 = 18
5 faces quadrangulares = 5x4 = 20
2A=18+20
A=19
V+F=A+2
V+11=19+2
V=10
70) A
Octaedro = 8 faces
Cubo = 6 faces
Prisma triangular = 5 faces
Tronco de pirâmide quadrangular = 6 faces
71) E
Somente o modelo do item E é possível construir utilizando ripas rígidas. As demais figuras
tridimensionais são impossíveis.
72) A
Até poderíamos identificar o número de vértices por meio da identificação direta, no entanto
observe que:
Faces triangulares: 8 8x3=24
Faces quadrangulares: 66x4=24
2A=48
A=24
Número de faces = 8+6 = 14
V+F=A+2
V+14=24+2
V=12
73) B
Num cubo temos ao todo 6 faces e 8 vértices. Observando a figura percebemos que para cada
vértice há um triângulo, totalizando 8 triângulos. E em cada face há um quadrado, totalizando 6
quadrados.
74) B
Para o icosaedro temos 20 faces. Na nova estrutura cada face produzirá mais 4 faces (também
triângulos equiláteros e congruentes). Portanto a nova estrutura possuirá 20x4 = 80 faces.
Cada face será um triângulo, portanto cada face possuirá 3 arestas. Como os triângulos são
congruentes, cada aresta será comum para duas faces. Ora, para cada uma das 80 faces tem-se 3
arestas, logo temos ao todo 80x3= 240 arestas. No entanto as arestas foram contadas duplicadas!
Portanto para a nova estrutura temos:
Faces = 80
Arestas = 240÷2=120
75) A
Quando um plano α intercepta a estrutura no ponto P seccionando I e IV promoverá secções
iguais às suas bases, portanto triângulos.
76) E
Essa pirâmide em especial possui 11 faces triangulares, portanto na parte lateral teremos 11
arestas. A Base da pirâmide é determinada pela aresta da base de cada triângulo formando um
polígono de 11 lados.
Vértices = 11 da base mais o vértice da pirâmide = 12
Arestas = 11 laterais e 11 da base = 22
77) Cada face lateral determina uma aresta da base (um polígono). Cada face lateral é um
triângulo (180° cada), portanto a soma das medidas dos ângulos internos das faces é 180n, em
que n é o número de faces laterais. Mas a base também é uma face, mas poderá ser ou não um
triângulo. A soma dos ângulos de qualquer polígono de n lados é dado por (n-2)*180. Como a
soma total desses ângulos é 1800°, logo:
180n+(n-2)180=1800
180n+180n-360=1800
360n-360=1800
360n=2160
n=6
Portanto, o número de lados é 6, logo a pirâmide é hexagonal.
78)
Para esse poliedro temos que o número de faces é igual a 7, pois
V+F=A+2
10+F=15+2
F=7
O número total de arestas é 15 exatamente, no entanto o número de arestas de cada face é 30,
pois cada aresta faz parte de duas faces congruentes. Ainda, podemos fazer a relação sendo A4 e
A5 o número de arestas das faces quadrangulares e pentagonais respectivamente.
A4 = 4F4
A5 = 5F5
Como a soma das arestas de cada polígono é 30:
A4
A5
4F4
5F5
F5
6
30
30
4F4
5
Ora, sendo F=7 que é o total de faces,
F
7
F4
F4
6
4F4
5
F5
7
7
4F4
1
5
5F4 4F4
1
5
F4
F4
5
F5
5
F5
7
2
Portanto, 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais
79) Não,
Suponha que tal poliedro existisse, então:
7 faces quadrangulares = 7x4 = 28 arestas
5 faces pentagonais = 5x5 = 25 arestas
Total dessas arestas = 53
Como as arestas nestas circunstâncias são contadas duplicadas, o total de arestas exatamente
seria:
A
53
2
?
80) E
Primeira figura: Base é um polígono de 5 lados e os lados triângulos, formando uma pirâmide
pentagonal.
Segunda figura: A base também é um polígono de 5 lados, porém os lados são retângulos. Logo,
é um prisma pentagonal.
Terceira Figura: Hexaedro (cubo é um hexaedro).