TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
Os Coeficientes
Na literatura termodinâmica são encontradas referências sobre a grande importância de
alguns coeficientes, pelo fato de aparecerem com muita freqüência nas relações termodinâmicas e serem passíveis de determinação experimental.
As expressões analíticas desses coeficientes se apresentam sempre como função de relações entre as variações de parâmetros fundamentais.
Realmente, esses coeficientes são bastante úteis e são largamente usados na termodinâmica. Inclusive, o presente trabalho os usa com bastante intensidade.
Tais coeficientes são:
a)
Coeficiente de dilatação cúbica a p constante (isobárico), cuja expressão analítica é:
1
dV
e sua dimensão é: T-1 ( oC-1 ou oK-1 )
αP =
.(
)P
V
dT
b)
Coeficiente de compressibilidade isotérmica (T constante), cuja expressão analítica é:
1
dV
. (
βT = )T
e sua dimensão é: p-1 (atm-1).
V
dp
c)
Coeficiente de compressibilidade adiabática (S constante), cuja expressão analítica é:
1
dV
. (
βS = )São Paulo
e sua dimensão é a mesma de βT.
V
dp
d)
Coeficiente de pressão térmica a V constante (isocórico), cuja expressão analítica é:
1
dp
(
ℵV =
)V
e sua dimensão é a mesma de αP.
p dT
Os coeficientes α e β são largamente utilizados neste trabalho. Eles são tão conhecidos
e utilizados na termodinâmica, que jamais se coloca os seus índices, por desnecessário.
Uma análise dos coeficientes mostra que sua forma de apresentação é sempre idêntica,
e todos são sempre expressos em função da relação entre as variações dos parâmetros fundamentais cabíveis.
Entretanto, também se observa que no coeficiente de compressibilidade adiabática,
onde S é constante mas todos três parâmetros fundamentais variam, a forma de sua expressão
analítica se mantém, independentemente da variação do terceiro parâmetro.
Como no presente trabalho foram obtidas relações entre os parâmetros fundamentais
em todas as formas possíveis de evolução de um processo, pode-se então, seguindo o mesmo
raciocínio, definir todos os outros coeficientes possíveis, mantendo a mesma forma de expressão analítica inicial. Depois, pela substituição das respectivas relações entre os parâmetros
fundamentais pelas suas correspondentes equações obtidas no trabalho, poder-se-á estabelecer
relações entre os coeficientes agora definidos e os coeficientes já citados, que são clássicos e
passíveis de determinação experimental, que são: αP , βT e ℵV. E as inter-relações entre esses
coeficientes deve ser obtida através de parâmetros simples, como CP , CV , os coeficientes citados e os parâmetros fundamentais.
Na seqüência das deduções, será definida inicialmente a expressão analítica do novo
coeficiente para, em seguida, substituir a relação entre os parâmetros fundamentais pela sua
expressão analítica, que conduzirá à expressão geral da relação entre o coeficiente definido
e os já conhecidos, através de parâmetros simples.
Apesar das relações serem obtidas através de parâmetros simples e passíveis de determinação experimental, mas em virtude da complexidade de algumas das expressões gerais das
relações entre os parâmetros, algumas das expressões gerais dos coeficientes agora definidos,
se apresentam sob uma forma aparentemente complexa.
1
TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
Embora os parâmetros fundamentais constantes das expressões desse trabalho sejam
os correspondentes ao estado inicial do processo, o que simplifica sobremaneira seu uso, neste
capítulo só serão colocadas as expressões dos coeficientes agora definidos, sob sua forma
geral. Mais a frente, no Ajuste das Equações Gerais, as expressões serão manipuladas no sentido de deixá-las com forma tal que as particularizações se tornem evidentes e que seu uso sob
a forma geral seja imediato.
Mais à frente ainda, as fórmulas gerais ajustadas serão tornadas particulares para os
casos limites conhecidos, quando veremos que elas se tornam bastante simples.
Assim sendo, no presente capítulo só serão definidos os respectivos coeficientes através das formas gerais clássicas já definidas e comentadas e a seguir serão transcritas as correspondentes relações entre os parâmetros fundamentais, também estas na sua forma geral, e a
substituição desta relação na expressão do coeficiente recém definido, fornecerá a equação do
coeficiente na sua forma geral.
A seqüência a ser seguida, puramente opcional, será:
A- Coeficientes de dilatação cúbica a:
A-1- p constante
A-2- p e S constantes
A-3- S constante
A-4- p e U constantes
A-5- U constante
A-6 - sem restrição (processo geral)
B- Coeficientes de compressibilidade a:
B-1- T constante
B-2- T e S constantes
B-3- S constante
B-4- T e U constantes
B-5- U constante
B-6- sem restrição (processo geral)
C- Coeficientes de pressão térmica a:
C-1- V constante
C-2- V e S constantes
C-3- S constante
C-4- V e U constantes
C-5- U constante
C-6- sem restrição (processo geral)
A-
Coeficientes de Dilatação Cúbica
A-1-
Coeficiente de dilatação cúbica a p constante (isobárico)
É a relação básica, clássica na termodinâmica, já sobejamente conhecida e que é passível de determinação experimental, cuja expressão analítica é:
1
dV
αP =
)P
.(
V
dT
A-2-
Coeficiente de dilatação cúbica a p e S constantes (isóbaro-isentrópico)
A expressão analítica de sua definição é:
2
TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
αPS =
1
dV
.(
)PS
V
dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é dada por:
dV
Ψ + 2.β .Cv − 2.V .α
(
)PS = . V.α
dT
Ψ + 2.V .α . pβ
(
ou sob a forma:
dV
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β )
)PS =
. V.α
dT
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 + p.β )
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
1 β .(Cp + Cv ) − Vα .(1 + p.β )
. V.α
αPS = - .
V β .(Cp − Cv ) + V .α .(1 + p.β )
αPS = -
A-3-
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β )
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 + p.β )
.α
Coeficiente de dilatação cúbica a S constante (isentrópico ou adiabático)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dV
.(
)S
αS =
V
dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
Cv
dV
. V.α
)S = (
dT
Cp − Cv
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, obtém-se:
Cv
1
αS = . V.α
e daí vem:
V
Cp − Cv
αS = -
A-4-
e daí:
Cv
. α
Cp − Cv
Coeficiente de dilatação cúbica a p e U constantes (isóbaro-isoenergético)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dV
αPU =
.(
)PU
V
dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
dV
Ψ + 2.β .Cv − 2.V .α
)PU = . V.α
(
dT
Ψ
dV
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β )
)PU = (
. V.α
dT
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
Substituindo a relação entre os parâmetros na expressão analítica do coeficiente, vem:
αPU = -
1 β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β )
. V.α
.
V β .(Cp − Cv ) + V .α .(1 − p.β )
e daí:
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TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
αPU = -.
A-5-
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β )
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
.α
Coeficiente de dilatação cúbica a U constante (isoenergético)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dV
.(
)U
αU =
V
dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
dV
β .Cv − V .α
)U = . V.α
(
ou sob a forma:
dT
Ψ
dV
β .Cv − Vα
)U = (
. V.α
dT
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente se obtém:
β .Cv − Vα
1
αU = . V.α
e daí:
.
V
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
αU = -
β .Cv − Vα
.α
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
A-6-
Coeficiente de dilatação cúbica sem restrição (processo geral)
A expressão analítica de sua definição é:
1 dV
.
α=
V dT
dV
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
= αP . V
dT
Substituindo essa relação na expressão analítica da definição do coeficiente, vem:
1
. αP . V
α =
e daí:
α = αP
V
Como foi feita a opção de não colocar o índice no coeficiente de dilatação cúbica a p
constante (isobárico) conforme é feito na literatura, devido a freqüência com que é empregado, torna-se lógico que se coloque índice no coeficiente correspondente ao processo geral,
para permitir a diferenciação entre ambos.
Assim sendo, optção feita foi colocar o índice G (de geral), o que faz com que a relação obtida seja escrita sob a nomenclatura:
αG
B-
=
α
Coeficientes de Compressibilidade
B-1-
Coeficiente de compressibilidade a T constante (isotérmico)
É a relação básica, clássica na termodinâmica, já sobejamente conhecida e que é passível de determinação experimental, e cuja expressão analítica é:
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TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
βT = -
B-2-
dV
1
)T
. (
V
dp
Coeficiente de compressibilidade a T e S constantes (isotérmico-isentrópico)
A expressão analítica de sua definição é:
dV
1
βTS = )TS
. (
V
dp
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
(
dV
)TS =
dp
Ψ − 2.V .α
. V. β
Ψ + 2.V .α . p.β
(
dV
)TS =
dp
β .(Cp − Cv) − Vα .(1 + p.β )
. V.β
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 + p.β )
ou sob a forma:
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, obtém-se:
βTS = -
βTS = -
B-3-
1
.
V
β .(Cp − Cv) − Vα .(1 + p.β )
. V.β
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 + p.β )
e daí:
β .(Cp − Cv) − Vα .(1 + p.β )
.β
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 + p.β )
Coeficiente de compressibilidade a S constante (isentrópico ou adiabático)
A expressão analítica de sua definição é:
βS = -
1
dV
. (
)S
V
dp
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
(
dV
Cv
)S = . V.β
dp
Cp
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente se obtém:
βS = -
Cv
1
. V.β
. (-) .
V
Cp
βS =
e daí:
Cv
.β
Cp
5
TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
B-4-
Coeficiente de compressibilidade a T e U constantes (isotérmico-isoenergético)
A expressão analítica de sua definição é:
βTU = -
dV
1
)TU
. (
V
dp
A relação entre os parâmetros fundamentais é dada por:
(
dV
)TU = V. β
dp
Substituindo esta relação na expressão do coeficiente, vem:
βTU = -
B-5-
1
. V. β
V
βTU
e daí:
= - β
Coeficiente de compressibilidade a U constante (isoenergético)
A expressão analítica de sua definição é:
βU = -
1
dV
. (
)U
V
dp
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
α
.V
dV
β
(
)U = dp
Cp − p.V .α
Cv −
. V.β
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
α
.V
1
β
= (-)
V
Cp − p.V .α
Cv −
βU
βU =
. V.β
e daí:
β .Cv − .V .α
Cp − p.V .α
B-6Coeficiente de compressibilidade sem restrição (processo geral)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dV
.
β = V
dp
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
dV
= - V. βT
dp
6
TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
1
. (-) V. βT
β = e daí:
β = βT
V
De forma semelhante ao coeficiente de dilatação cúbica, também o coeficiente de
compressibilidade isotérmica (βT), pela freqüência com que é empregado na termodinâmica,
foi feita a opção de não colocar seu índice.
Assim, para diferenciação, torna-se necessária a colocação de índice no processo geral,
e foi feita a opção pelo símbolo G (de geral), o que impõe que a expressão obtida deva ser
escrita com a nomenclatura:
βG = β
CC-1-
Coeficientes de Pressão Térmica
Coeficiente de pressão térmica a V constante (isocórico)
É a relação básica e clássica na termodinâmica, e a expressão analítica de sua defini-
ção é:
1
dp
(
)V
p dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
α
dp
(
)V =
dT
β
Substituindo esta relação, que também é clássica na termodinâmica, na expressão analítica do coeficiente de pressão térmica, obtém-se:
ℵV =
ℵV =
C-2-
α
p.β
Coeficiente de pressão térmica a V e S constantes (isócoro-isentrópico)
A expressão analítica de sua definição é:
dp
1
)VS
(
ℵVS =
p dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
(
(
dp
)VS =
dT
Ψ + 2.β .Cv − 2.V .α α
.
Ψ − 2.V .α .
β
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β )
α
dp
)VS =
.
dT
β .(Cp − Cv) − V .α .(1 + p.β )
β
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, obtém-se:
7
TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
ℵVS =
ℵVS =
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β ) α
1
.
.
p
β .(Cp − Cv) − V .α .(1 + p.β ) β
e daí:
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β ) α
.
β .(Cp − Cv) − V .α .(1 + p.β ) pβ
C-3Coeficiente de pressão térmica a S constante (isentrópico ou adiabático)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dp
ℵS =
(
)S
p dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
Cp
α
dp
(
.
)S =
dT
Cp − Cv
β
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
Cp
α
1
.
ℵS =
.
e daí:
p Cp − Cv
β
ℵS =
C-4-
Cp
α
.
Cp − Cv p.β
Coeficiente de pressão térmica a V e U constantes (isócoro-isoenergético)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dp
ℵVU =
(
)VU
p dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
(
Ψ + 2.β .Cv − 2.V .α α
dp
.
)VU =
dT
Ψ
β
(
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β ) α
dp
)VU =
.
dT
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β ) β
ou sob a forma:
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
(
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β ) α
dp
1
.
)VU =
.
dT
p
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β ) β
(
e daí:
β .(Cp + Cv) − Vα .(1 + p.β ) α
dp
)VU=
.
dT
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β ) p.β
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TERMODINÂMICA RACIONAL
Os Coeficientes
C-5-
Coeficiente de pressão térmica a U constante (isoenergético)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dp
(
)U
ℵU =
p dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
Cp − p.V .α
dp
)U =
. α
dT
Ψ
Cp − p.Vα
dp
(
. α
)U =
dT
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
(
Cp − p.Vα
1
.
. α
p
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β )
ℵU =
Cp − p.Vα
α
.
β .(Cp − Cv) + V .α .(1 − p.β ) p
ℵU =
C-6-
e daí:
Coeficiente de pressão térmica sem restrição (processo geral)
A expressão analítica de sua definição é:
1
dp
ℵ =
.
p
dT
A relação entre os parâmetros fundamentais é:
dp
= - αP
dT
β
T
Substituindo esta relação na expressão analítica do coeficiente, vem:
1
. (-) . α P
ℵ =
e daí:
p
β
T
ℵ= -
α
p. β
P
T
Da mesma forma que nos casos anteriores, devido à opção de não colocar índices no
coeficiente de dilatação cúbica a p constante e no de compressibilidade isotérmica, também foi feita a opção por usar o índice G referente ao processo geral, o que impõe que a nomenclatura para a expressão do coeficiente do processo geral seja:
ℵG = -
--
-
α
p.β
-
-
9