Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D EXERCÍCIOS 01. Em um poliedro convexo, todos os ângulos poliédricos são triédricos. Sendo V e A, respectivamente, o número de vértices e de arestas desse poliedro, temos: correspondente a 4 de sua capacidade total. Se este 5 reservatório possui 3 m de largura e 5 m de comprimento, então a medida de sua altura é: a) 1 m. b) 2 m. c) 1,5 m. d) 2,5 m. e) 3 m. a )V 2 A. b) A 3V . 2A . c )V 3 5V d)A . 4 e) 2V 3 A. 10. Uma aresta de um cubo A tem 2 cm a menos que uma aresta de um cubo B. A área da superfície total do cubo A, ou seja, a soma das áreas de todas as 2 suas faces, é 294 cm . A equação que permite determinar a medida x da aresta de b é: 02. O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro. a) 11 b) 10 c) 9 d)12 e)15 d )6( x 2) 2 294. a )6 x 2 12 294. b)4( x 2) 2 294. c)6( x 2) 2 294. 03. O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas. 04. Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é a) 4. b) 6. c) 8. d) 9. e) 10. 05. O número de vértices de um poliedro convexo de sete faces, sendo duas pentagonais e cinco quadrangulares é: a) 07 b) 10 c) 14 d) 17 e) 20 e)4( x 2) 2 294. 11. Uma caixa de sapatos(com tampa) é confeccionada com papelão e tem as medidas, em cm, conforme a figura. Sabendo-se que à área total da caixa são acrescentadas 2% para fazer as dobras da fixação, o total de papelão empregado na 2 confecção da caixa, em cm , é: a) 2406. b) 2744. c) 2856. d) 2800. e) 8000. 12. Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma da base quadrada de lado 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura. O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão: a)2 x 3 x 2 . 06. Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, 3 em cm , é: b) 4 x 3 x 2 . a)27 3. e) 2 x 3 2 x. b)13 2 . c)12. d )54 3. e)17 5. Gab: D 07. O volume de um prisma hexagonal regular 3 é 216 3cm . Se a área lateral desse prisma é 144 3cm3 , então a altura desse prisma, em cm, mede: a) 12. b) 14. c) 16. d) 18. e) 20. 08. Aumentando 1 cm na aresta de um cubo, sua 2 área lateral aumentará 28 cm . A aresta do cubo primitivo, em cm, é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 09. Em um reservatório na forma de paralelepípedo retângulo foram colocados 18000 litros de água, c) 2 x 3 x. d )2 x 3 2 x 2 . 13. Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20 m de comprimento, 0,50 m de largura e 2,00 m de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada na recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1 m. Assim é correto concluir que o volume da pedra, em 3 m , é: a) 0,06. b) 6. c) 0,6. d) 60. e) 600. 14. Na figura abaixo tem-se o prisma reto ABCDEF, na qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE EF . Se o 1 Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D 3 volume desse prisma é 120 cm , a sua área total, em centímetros quadrados, é: a) 144. b)156. c)160. d)168. e)172. a)9 . 15. Um bloco retangular (isto é, paralelepípedo 27 retângulo) de volume , as medidas das arestas 8 concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: 7 9 10 11 a) . b)1. c) . d) . e) . 8 8 8 8 Gab: C 16. Na figura, tem-se um cubo de volume 27 u.v. O sólido S, obtido ao se retirar desse cubo o tetraedro ABCD, tem volume igual a: a) 13,5 u.v. b) 21,7 u.v. c) 22,0 u.v. d) 22,5 u.v. e) 24,0 u.v. 17. As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2 29cm , centímetros cúbicos, é: a)24. b)24 29. seu c)116. volume, d )164. em e)192. 18. A base de prisma reto é um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm. Se a área lateral desse prisma 2 é 144 cm , o seu volume é: a ) 24 3cm3 . b) 48 3cm3 . c)72 3cm3 . d )96 3cm3 . e)112 3cm3 . 19. O surdo é um instrumento de percussão bastante usado nas rodas de samba, nas bandas escolares e principalmente pelas baterias de escolas de samba. Nos padrões normais, tem um formato de um cilindro circular reto com diâmetro de 30 cm e altura de 40 cm. O volume ocupado por esse surdo é: a)12000cm 3. b)6000cm 3. 2 20. Num reservatório com a forma de um cilindro circular reto, de raio da base 3 cm e altura 12 cm, solta-se uma esfera maciça. O nível da água, que estava na metade da altura do cilindro, eleva-se até dois terços da altura. O volume de água deslocado, 3 em cm , foi de: c)9000cm 3. d )4500cm 3. e)7500cm 3. b)12 . c)18 . d )24 . e)48 . 21. Considere um cilindro inscrito num cubo cuja diagonal mede 20 cm. Assinale verdadeiro ou falso nas afirmações seguintes: a) O raio da base e a altura do cilindro são iguais. b) A altura do cilindro é 20 2 cm. c) A área lateral do cilindro é d) O volume do cubo é (20)3 400 2 cm . 3 3 cm . 3 3 400 2 e) A área total do cilindro é cm . 3 22. Um fábrica de tintas está estudando novas embalagens para seu produto, comercializado em latas cilíndricas cuja circunferência mede 10 cm. As latas serão distribuídas em caixas de papelão ondulado, dispostas verticalmente sobre a base da caixa, numa única camada. Numa caixa da base retangular medindo 25 cm por 45 cm, quantas latas caberiam? a) 12. b) 6. c) 11. d) 9. e) 8. 23. A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, 3 a) a quantidade de água economizada foi de 4,5m . b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm. c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. d) os moradores dessas casas economizariam mais 3 de R$ 200,00, se o custo de 1m de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas. Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D 24. As arestas laterais de uma pirâmide regular medem 15 cm, e sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a: a)3 5. b)3 7 . c) 2 5. d )2 7 . e) 7 . 25. Se a base de uma pirâmide regular é um quadrado inscrito numa circunferência de raio 8 cm, e altura dessa pirâmide é 7 cm, então a área total, em 2 cm , é: a )128. ocupando 2 de sua altura, conforme mostra a figura 3 abaixo. A capacidade desse copo, em mililitros, é: a) 600. b) 625. c) 650. d) 675. e) 700. 31. Um prisma e um cone reto têm bases de mesma b)144 2 2 da altura do cone, a 3 c)128 36 2 . área. Se a altura do prisma é d )128 144 2 razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: 5 a) . 3 e)256 144 2 . 26. A base de um prisma e de uma pirâmide é um polígono regular de n lados. Cada face desse prisma é um quadrado, 18 cm. Qual a altura da cuja diagonal mede pirâmide, sabendo-se que seu volume é igual ao volume do prisma? 3 c) . 2 5 d) . 2 e)2. 32. Um tronco de cone reto tem os raios das bases medindo 5 cm e 2 cm e a geratriz, 5 cm. O volume do tronco é: a )56cm3 . b)54cm3 . c)52cm3 . d )58cm3 . a ) 18cm. b)3cm. c)18cm. e)60cm3 . 33. O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. d )3 18cm. e)9cm. 27. A razão entre a área da base de uma pirâmide regular da base quadrada e a área de uma das faces 3 é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12 m , temos que a altura da pirâmide mede(em metros): a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 28. Num cone circular reto de volume 3 cm e área 2 da base 9 cm , podemos afirmar que o produto do 2 raio pela a altura desse cone, em cm , vale: 3 2 a) . 3 b)3. b)1. c)2. 9 d) . 4 e)3. 29. Em Ribeirão Preto, um copo de chope com o formato cônico custa R$ 1,50. Em São Paulo, um copo de chope como formado cilíndrico custa R$ 3,60. Considerando-s que os dois chopes são da mesma marca e que os dois copos têm a mesma altura e bocas com o mesmo diâmetro, pode-se concluir que o preço do chope de São Paulo, em relação ao chope de Ribeirão Preto, está: a) 60 % mais caro. b) 40 % mais caro. c) 14 % mais caro. d) 20% mais barato. e) 25% mais barato. Sabendo-se que o volume do cone é 128m3 , temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros: a) 9 e 8. b) 8 e 6. c) 8 e 7. d) 9 e 6. e) 10 e 8. 34. Um cone reto tem altura 123 2 cm está cheio de sorvete. Dois amigos vão dividir o sorvete em duas partes de mesmo volume, usando um plano paralelo à base do cone. Qual deverá ser a altura do cone menor assim obtido? a )12 cm. b)12 2cm. c)12 3cm. d )10 2cm. e)10 3cm. 35. A figura representa um lápis. O percentual de volume do lápis que foi retirado pelo apontador corresponde a: a) 2,5%. b) 5%. c) 7,5% d) 8%. e) 10%. 30. Um copo de papel, em forma de cone circular reto, tem em seu interior 200 ml de chá-mate, 3 Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D 36. Um copo tem a forma de cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado de ser: 40. 8 a ) cm. 3 b)6cm c ) 4cm d ) 4 3cm e) 43 4cm 37. Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de 16cm2 de área, sabendo-se que o plano dista 3 cm do centro da esfera, então o 3 volume da esfera , em cm , é igual a: 100 . 3 125 b) . 3 c )150 . 500 d) . 3 e) 200 . a) partir das leituras acima, considerando 3 1,7 e a profundidade dessa caixa d´água que é igual à diagonal de um cubo, é correto afirmar que a aresta, em m, do referido cubo é de: a) 0,85. b) 0,37. c) 0,26. d) 0,50 . e) 0,22. 38. Uma pirâmide quadrangular regular é inscrita numa esfera de raio 2cm . Se a altura da pirâmide é igual ao raio da esfera, então apótema da pirâmide, em cm, mede: a) 2 . A charge acima ilustra uma campanha de conscientização da população sobre a necessidade de se evitar o desperdício de água. Os domicílios são os campeões do desaproveitamento de água. A mangueira da ilustração. Ligada a uma torneira com vazão constante, enche em 34 minutos uma caixa d´água cujas as medidas internas são 0,80 m de comprimento, 1 m de largura e “x” de profundidade. A b) 3. c)2. d ) 5. 39. A figura abaixo representa circunscrito a uma esfera. be) 6. um cilindro 41. Todo sólido obtido através do movimento de rotação completa de uma região plana em torno de uma reta, sendo ambas no mesmo plano, é chamado sólido de revolução. Um giro completo na região hachurada, em torno da reta r, determina um sólido de revolução. É correto afirmar que o volume desse sólido é de: a )75cm3 . b)81cm3 . c)57cm3 . Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão 1 a) . 3 1 b) . 2 V1 é: V2 V1 c)1. d )99cm3 . e)72cm3 . 42. Uma secção feita em uma esfera a 2 cm da d )2. e)3. centro tem 5cm2 de área. Então a área da superfície esférica é igual a: a )38cm2 . b)30cm2 . c)32cm2 . d ) 40cm2 . e)36cm2 . 4 Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D 43. A figura abaixo representa a superfície aberta de um paralelepípedo retângulo. 8 a) . 7 1 b) . 7 c )1. 1 d) . 8 e ) 7. 46. Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3 unidades. Supondose que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço interno dessa embalagem que não é ocupado 3 pelas bolas é, em cm : Considere que todas as suas dimensões(internas) são representadas por números inteiros e que o 3 volume do sólido é 40 m . Nessas condições, a menor medida do paralelepípedo é: a) 1 m. b) 2 m. c) 3 m d) .4 m. e)5 m. 44. Uma metalúrgica que fabrica componentes para um estaleiro deverá produzir uma peça maciça de cobre, conforme a figura abaixo. Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o volume de cobre necessário para a produção dessa peça é a ) 2a 3 . 4 b) a 3 . 3 a 3 . c) 3 d )a 3 . 2 e) a 3 . 3 47. Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números , h, r formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de soma 6 . O valor da área total desse cilindro é: a) 3 . b)2 3 . c)15 3 . d )20 3 . 3 48. Uma caixa-d`água, com capacidade de 810 m de volume, tem a forma de um cone circular reto invertido, conforme a figura. Se o nível da água na 1 da altura do cone, o volume 3 a )12 3m 3 . caixa corresponde a b )3 3m 3 . de água existente, em litros, é: a) 10.000. b) 20.000. c) 30.000. d) 40.000. e) 50.000. c )6 2 m 3 . d )12 2 m 3 . e ) 6 3m 3 . 44. Duas substâncias, A e B, que não se misturam, são colocadas num recipiente de forma cônica, de modo que a substância A ocupe até a metade da altura do cone e a substância B, o restante(conforme a figura). A razão entre o volume A e o volume de B é: e)30 3 . 49. Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. 5 Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D aquele cilindro em uma esfera: Volume da esfera: 4r 3 . V 3 Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída e igual a a) 15. b) 12. c) 24. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será a) o triplo. b) o dobro. c) igual. d) a metade. e) a terça parte. d) 3 3 60 . e) 6 3 60 . 53. Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico afiado para retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1cm e a 3cm, respectivamente. 50. Em uma padaria, há dois tipos de forma de bolo, formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo. Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da base da forma redonda, A1 e A2 as áreas das bases das formas 1 e 2, e V1 e V2 os seus volumes, respectivamente. Se as formas tem a mesma altura h, para que elas comportem a mesma quantidade de massa de bolo, qual é a relação entre r e L? a) L = r. d) L = r 2 b) L = 2r. e) L = (r )/2 c) L = r 51. Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h1, e o outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro. Se R = r 2 e h2= A área da maior fatia possível é a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. 54. Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está 3 parcialmente ocupado por 625 cm de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, e virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. h1 e, para encher o cilindro do 3 meio, foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão a) 20 minutos. b) 30 minutos. c) 40 minutos. d) 50 minutos. e) 60 minutos. 52. Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24cm e cuja altura mede 15cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar 6 Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm. d) 12 cm. b) 7 cm. e) 18 cm. c) 8 cm. Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D 55. Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte. Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? a) 10 viagens. b) 11 viagens. c) 12 viagens. d) 24 viagens. e) 27 viagens. 56. Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas de um cubo conforme a figura a seguir. 3a 2 2 . 2 3a 2 b) . 2 3a 2 2 c) . 4 3a 2 3 d) . 4 3a 2 3 e) 2 a) As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por VP e V‚ os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que VP representa de V‚ a) 25%. d) 65%. b) 45%. e) 75%. c) 50%. 60. Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é a) 12 cm. b) 11 cm. c) 10 cm. d) 5 cm. e) 6 cm. 57. As dimensões de um paralelepípedo retangular estão em progressão aritmética. Se a maior é a soma das outras duas e se a diagonal do prisma mede 2 14 cm, o volume do sólido é: 3 a) 48 cm 3 b) 24 cm 3 c) 36 cm 3 d) 56 cm 3 e) 54 7 cm . 61. Considere o cubo de aresta 3 cm e vértices ABCDEFG. Considere o ponto P situado no prolongamento da aresta EA de modo que PA = 5 cm, como está estabelecido na figura 58. Um cilindro circular reto encontra-se circunscrito a uma esfera, conforme a figura ao lado. A que porcentagem do volume da esfera corresponde o volume do cilindro? a) 75% b) 100% c) 120% d) 150% e) 175%. 59. A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH medem respectivamente 7 Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D a ) 82cm e 8 cm. b) 82cm e 4 cm. c) 43cm e 8 cm. 6. Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm. 3 Calcule o volume do cubo em cm . d )20cm e 10 cm. e)12cm e 8 cm. GABARITO GEOMETRIA ESPACIAL 1.C 16.D 31.E 46.A 61.A 2.A 17.E 32.C 47.E 3.E 18.C 33.B 48.C 4.E 19.C 34.A 49.B 5.B 20.C 35.E 50.D 6. D 21.36.E 51.D 7.A 22.E 37.D 52.D 8.D 23.B 38.B 53.E 9.C 24.B 39.D 54.B 10.C 25.D 40.D 55.C 11.C 26.E 41.C 56.D 12.C 27.C 42.E 57.A 13.C 28.E 43.A 58.D 14.D 29.D 44.A 59.D 15.C 30.D 45.B 60.A 21. F-F-V-V-F 7. Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44 2 dm, calcule, em dm , a área total desse paralelepípedo. 8. Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12 cm e 16 cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2 cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em 3 cm , é: 9. Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? a) 6. b) 4. c) 5. d) 3. e) 8. 2. Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 3. Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4 4. Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais? 5. Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de base triangular. Se AB = 17 cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a 2 área total desse prisma, em cm , é: a) 1852 b) 1016 c) 926 d) 680 e) 508 8 2 01. A área do triângulo ABC é 2 dm . 02. AD = 2 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 3 dm 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm. 10. Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) calcule sua capacidade em litros. 11. A figura abaixo mostra a planificação de um sólido. O volume desse sólido é de: Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D a) 1 e) 5 b) 2 c) 3 d) 4 18. A razão entre o volume de um cubo e sua área total é 2. O valor de 1 do volume da esfera, inscrita 3 nesse cubo, é: 3 19. O volume, em cm , de um cubo circunscrito a uma 2 esfera de 16 cm de superfície é: 3 3 a) 1152 cm b) 1440 cm 3 3 c) 384 cm d) 1200 cm 3 e) 240 cm 12. Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: a) 1/2V. b) 3/4V. c) 2/3V. d) 5/6V. e) 3/8V. 20. O raio da base de um cone eqüilátero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em 3 cm , é: b) 152 c) 192 a) 144 d) 288 e) 302 21, Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: 3 a) 102 /3 cm . 3 b) 80 /3 cm . 3 c) 40 cm . 3 d) 160 cm . 3 e) 80 cm . 2 13. A base de uma pirâmide tem 225 cm de área. Uma secção paralela à base, feita a 3 cm do vértice, 2 tem 36 cm de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm 14. Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem 1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é: a) 3,2 m b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m 15. Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9 cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, 1 de cm de altura e 12 cm de raio da base. O 3 volume, em cm , de ferro que sobrou após a modelagem, é: 16. Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água: a) ultrapassa o meio do cano . b) transborda. c) não chega ao meio do cano. d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano. 17. Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é: 22. Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é: a) 300. b) 250. c) 200 d) 150. e) 100. 23. Se um cone e uma esfera têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é: a) 9/4. b) 9/2. c) 3/4. d) 2/3. e) 1. 3 25. O volume, em cm , de um cubo circunscrito a 2 uma esfera de 16 cm de superfície é: 26. Se o volume de um cubo de 6 cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é: 27. As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 3 64cm , então a soma das áreas de suas faces é: 2 2 2 a) 292cm b) 298cm c) 296cm 2 2 d) 294cm e) 290cm 1. A 2. E 7. 68 8. 02 GABARITO 13. B 14. C 19. 64 20. D 25. 64 26. 18 9 Daniel Acosta – Geometria Espacial – Matemática D 3. A 4. 18 5. D 6. 64 9. 64 15. 09 10. a) 80 16. A b) 512 11. C 17. E 12. D 18. 96 21. C 22. D 27. A 23. A 24. A EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em 3 cm , é: a ) 27 3. b)13 2 . c )12. a ) 2m. b) 2m. c) 25 d) m. 50 3 e) m 55 m. 5. Na figura, tem-se um cubo de volume 27 u.v. O sólido S, obtido ao se retirar desse cubo o tetraedro ABCD, tem volume igual a: a) 13,5 u.v. b) 21,7 u.v. c) 22,0 u.v. d) 22,5 u.v. e) 24,0 u.v. 6. Observe a figura: d )54 3. e)17 5 . 2. As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2 29cm , seu volume, em centímetros cúbicos, é: a ) 24. b) 24 29. c )116 d )164. e)192. 3. A base de prisma reto é um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm. Se a área lateral desse prisma 2 é 144 cm , o seu volume é: a ) 24 3cm3 . Um recipiente sem tampa, cuja base inferior tem a forma de um triângulo isósceles, foi desdobrado na chapa cuja forma se vê na figura. O volume do recipiente era de: a) 1.600. b) 1.692. c) 3.200. d) 4.800. e) 5.000. 7. Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números , h, r d )96 3cm3 . formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de soma 6 . O valor da área total desse cilindro é: a ) 3 . e)112 3cm3 . b) 2 3 . b) 48 3cm3 . 3 c)72 3cm . 4.Um tanque, de base retangular com dimensões 10 m e 5 m, está cheio de água até a altura de 3m. c )15 3 . d ) 20 3 . e)30 3 . 8. Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros, é: a) 200. b) 300 c) 400. d) 500 e) 800. Um tambor de forma cilíndrica com raio da base 1 m e altura 2 m, completamente vedado, é atirado nesse tanque e submerge completamente. Então, é correto afirmar que o nível da água do tanque se elevará de: 10 1. d 5. d GABARITO 2. e 6. d 3. c 7. e 4. c 8. c