UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA BÁSICA II
TRIGONOMETRIA
Aula 04
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
2014.1
Comprimento de Curva
Como calcular o comprimento de uma curva?
Uma boa tentativa é “esticar”
a curva e medir...
Uma outra maneira é fazer
uma aproximação através de
poligonais
Comprimento de Curva
No caso do círculo, em particular, podemos aproximar pelo
comprimento de polígonos circunscritos
Comprimento de Curva
Doravante, diremos apenas que o comprimento de uma
circunferência é C e admitiremos que:
“O número π é o comprimento de
uma semi-circunferência de raio 1”
1
π
Desta forma, o comprimento C de
uma circunferência de raio 1 é 2π.
Comprimento de Curva
E qual o comprimento de uma circunferência de raio R?
�� ��
�
�
=
∴
=
∴ �� = ��.�
�� �� �� ��
D
Neste caso, DB e AC denotam
B
medidas de arcos, não
C
seguimentos.
A
R
O
1
Se considerarmos o arco de toda
a circunferência, então AC é o
comprimento da circunferência de
raio 1, e DB o comprimento C da
circunferência de raio R, daí:
� = � �.�
Comprimento de Curva
Veja que o número π não depende da circunferência
considerada, é um invariante:
R
�
� = � �.� ⇒ � =
��
Medida de ângulos em Radianos
Considere uma circunferência de raio R.
Dado um ângulo α de vértice O, determina-se um arco
AB na circunferência.
Observe que para cada ângulo α
obtido dessa forma, temos um
B
comprimento de arco AB diferente.
α
A
R
Isso nos permite medir o ângulo α
baseado no comprimento de arco
AB e no raio, isto é, podemos
dizer que
��
�=
�
Esta unidade de medida é
chamada radiano
Medida de ângulos em Radianos
Assim, 1 radiano é o ângulo correspondente ao arco de
comprimento R, numa circunferência de raio R.
R
1 rad
R
A palavra radiano vem de raio, uma
vez que esta unidade está diretamente
ligada ao raio da circunferência.
Medida de ângulos em Radianos
Quando a circunferência tem raio 1, a medida
do ângulo em radianos, corresponde a
medida do arco determinado pelo ângulo.
m
α
1
�
� = =�
�
Por causa dessa facilidade a
circunferência de raio 1 é tão utilizada.
Radianos e Graus
Radianos e Graus são unidades de medidas para a mesma
grandeza: ângulos. Assim, existe uma maneira de passar de
uma para a outra.
Considere um ângulo de 1rad numa circunferência de raio 1.
Se considerarmos o ângulo α formado pela
abertura completa na circunferência
considerada, então, em radianos, α=2π rad.
1 rad
1
Como 1 grau é uma das 360 “fatias” de
uma circunferência, segue que, em
graus, α=360°.
Seja x a medida em graus do ângulo 1 rad.
Então:
� � ��
� ��
=
⇒�=
�
��
�
Radianos e Graus
Ou seja,
� ��� =
� ��
�
≅ �� ,� �°
1 rad ≅57,32°
Radianos e Graus
Exercício: Expressar 27°20'40'' em radianos
Vimos que 1 rad ≅ 57,32°
Portanto, 1° ≅ 0,017rad
1' ≅ 0,017/60 rad = 0,000283 rad
1'' ≅ 0,000283/60 rad = 0,00000472 rad
Daí, 27°20'40''= 27°+20'+40''
≅ 27.(0,017)+20.(0,000283)+40.(0,00000472) rad
= 0,465 rad
Radianos e Graus
Exercício: Um arco de circunferência mede 40cm e seu raio
mede 10cm. Calcule a medida do arco em graus e radianos.
Vimos que a medida de um ângulo em radianos é a razão
entre o comprimento do arco e o raio. No nosso caso:
�=
��
��
= � ���
Como 1 radiano corresponde a cerca de 57,32°, segue que
α=4 rad = 4.(57,32°) = 229,28°
OBS: Relações Trigonométricas
Além de seno, cosseno e tangente, podemos definir mais
três relações trigonométricas num triângulo retângulo:
��� � =
�
�
�
��� � � � � = �
�
��� � � = �
E dessa definição, decorre:
�
� � � � = ��� �
a
b
�
��� � � � � = � � ��
�
α
c
��� � � = � � �