CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
03
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
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A Álgebra nas
Profissões
Introdução
N
esta aula, você vai perceber que, em diversas profissões e atividades,
surgem problemas que podem ser resolvidos com o auxílio da álgebra. Alguns
problemas são tão freqüentes que existem fórmulas prontas para sua rápida
resolução. Outros, por não serem tão freqüentes, vão necessitar de maior
raciocínio e criatividade. Mas, em todos eles, você poderá perceber a força dessa
nova ferramenta que é a álgebra.
A álgebra é utilizada para resolver problemas muito diferentes. Mas
não se esqueça: ela é apenas uma ferramenta. O mais importante é
sempre o raciocínio.
A habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. Com
a prática. Com persistência.
A álgebra na medicina
Na medicina, os médicos utilizam muitas fórmulas matemáticas.
Principalmente para calcular as quantidades certas de remédios que devem ser
dados aos doentes e para outros cálculos. São fórmulas que não podemos
entender porque não somos médicos. Mas existem algumas que são simples e
úteis para todos, como esta que vamos mostrar agora.
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EXEMPLO 1:
Como calcular a altura de uma criança?
A altura de uma criança depende de sua idade e de muitos outros fatores.
Entretanto, os médicos examinaram uma quantidade muito grande de crianças
brasileiras e tiraram uma média. Essa pesquisa deu origem a uma fórmula que
você mesmo pode usar para verificar o desenvolvimento dos seus filhos. A
fórmula - que vale para crianças de 4 a 13 anos - é a seguinte:
y = 5,7 · x + 81,5
Nessa fórmula:

x é a idade da criança (em anos)

y é a altura da criança (em centímetros)
Por exemplo, se uma criança tem 5 anos podemos calcular sua altura,
substituindo o x da fórmula por 5.
Veja:
y = 5,7 · 5 + 81,5
y = 28,5 + 81,5
y = 110 cm
O resultado indica que, em geral, as crianças de 5 anos devem estar medindo
por volta de 110 cm de altura. Em geral, como o desenvolvimento da criança
depende de outros fatores, como a altura dos pais, a alimentação etc., são
consideradas crianças normais as que tiverem altura até 10 cm a mais ou a
menos que o valor dado pela fórmula.
o Para você saber mais
Cada criança tem seu jeito de crescer. Em geral, as meninas crescem de forma
muito próxima aos valores dados pela fórmula. Já os meninos crescem um
pouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos.
Com a fórmula que apresentamos, você pode fazer previsões. Suponha que
uma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos. Essa criança tem, portanto, 5 cm
a mais que o valor dado pela fórmula. Se tudo correr normalmente, essa
diferença deve se manter (ou até aumentar um pouco) ao longo dos anos.
Assim, se você quiser saber que altura ela terá aos 10 anos, aplique a fórmula e
acrescente esses 5 centímetros.
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A álgebra em uma pequena empresa
Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacionados
com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros
etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra.
EXEMPLO 2:
Como fazer uma divisão proporcional?
Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora.
Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50%
a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento
é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha do
Natal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como
deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção
dos salários?
Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já
vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita.
Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá
receber.
Costureira = x
Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma
receberá:
Supervisora = 125% de x = 1,25.x
A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá:
Diretora = 150% de x = 1,50.x
Veja, então, o resumo no quadro abaixo.
16 costureiras
16 . x
2 supervisoras
2 . 1,25x
1 diretora
1 . 1,50x
16x
2,5x
1,5x
Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança:
16 x + 2,5 x + 1,5 x = 1440
Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação. Observe:
16 x + 2,5 x + 1,5 x = 1440
20 x = 1440
Portanto:
x = 72
o Costureira = x = 72
o Supervisora = 1,25 · x = 1,25 · 72 = 90
o Diretora = 1, 5 · x = 1,5 · 72 = 108
Assim, cada costureira deverá receber R$ 72,00, cada supervisora deverá
receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da
caixinha do Natal.
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Exercícios
Questão 01:
Um pediatra anotou as alturas das meninas de 8 anos que foram ao seu
consultório em determinada semana:
125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm
a) Qual a altura média dessas crianças?
Observação: A média de vários números é igual à soma desses números
dividida pela quantidade de números dados.
b) Qual o valor fornecido pela fórmula das alturas das crianças?
y = 5,7 · x + 81,5
Questão 02:
Toda mãe sabe que deve levar seu filho, freqüentemente ao pediatra. Buscando
saber se a criança está desenvolvendo-se bem, o pediatra utiliza uma fórmula
para ter idéia do peso ideal de acordo com a idade da criança:
P = 2.i + 8
(onde: P = peso ; i = idade)
a) Qual o peso ideal de uma criança com 5 anos?
b) E de uma criança com 7 anos?
Questão 03 :
Você certamente já reparou que os calçados são medidos por números: 35, 36 e
37 para as mulheres e 39, 40 e 41 para a maioria dos homens. Mas, existem, é
claro, pés maiores.
O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para calcular
o número do calçado é a seguinte:
onde:
o N é o número do sapato
o c é o comprimento do pé, em centímetros
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm?
b) E uma pessoa cujo pé mede 26 cm?
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Questão 04:
Na Europa, existem empresas em que o salário mais alto é, no máximo, 4 vezes
o salário mais baixo. Vamos imaginar uma empresa dessas e considerar que ela
seja formada por operários, técnicos, engenheiros e diretores.
Cada técnico ganha o dobro de um operário. Cada engenheiro ganha o triplo de
um operário e cada diretor ganha o quádruplo de um operário.
Sabe-se que nessa empresa trabalham 80 operários, 20 técnicos, 4 engenheiros e
2 diretores. Se a folha de pagamento dos salários é de R$ 74.200,00, pergunta-se:
a) Quanto ganha cada operário?
b) Quanto ganha cada diretor?
Sugestão: Represente o salário de cada operário por x e complete o quadro
abaixo:
1 operário ganha: ...1x...
1 técnico ganha: ..........
1 engenheiro ganha: ..........
1 diretor ganha: ..........
80 operários ganham: ..........
20 técnicos ganham: ..........
04 engenheiros ganham: ..........
02 diretores ganham: ..........
Descubra a equação que resolve esse problema e mãos a obra.
Questão 05:
Ao alugar um veículo, geralmente há duas partes a pagar. Uma depende do
número de dias que você fica com o carro. A outra do número de quilômetros
que você roda com ele. Uma pessoa locou um carro por 10 dias e andou 500Km.
Quanto deverá desembolsar, essa pessoa, sabendo que é cobrado R$ 30,00 por
dia locado e R$ 1,50 o quilômetro rodado?
Total a pagar = R$ 80,00. d + R$ 1,50. Km
Onde:
o d = número de dias;
o Km = número de quilômetros rodados.
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Operações com
potências
Introdução
Q
uando um número é multiplicado por ele mesmo, dizemos que ele está
elevado ao quadrado, e escrevemos assim:
a · a = a² (a elevado a 2 ou a ao quadrado)
Se um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes, temos uma potência.
a · a · a = a³ (a elevado a 3 ou a ao cubo)
a · a · a · a = a⁴ (a elevado a 4)
De uma forma geral, se o fator a aparece n vezes escrevemos an (a elevado a n).
O número a é a base da potência e n é o expoente.
Nas ciências, para escrever números muitos grandes ou muito pequenos
usamos potências. Por exemplo, um bilhão é o número 1.000.000.000, que é
igual a:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 109
Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade chamada
ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa
distância vale, aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, nove trilhões e
quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número
assim:
1 ano-luz = 9,5 · 1012 km
Acontece que essa distância é ainda pequena se olharmos para o universo
conhecido. A estrela mais próxima de nós (que está na constelação do Centauro)
fica a 4 anos-luz de distância. Mas, existem estrelas que estão a bilhões de anosluz de distância de nós. Imagine que número gigantesco deve representar essa
distância em quilômetros. Podemos então perceber que só é prático representar
números desse tamanho usando potências e, além disso, é preciso saber fazer
cálculos com elas.
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O produto de potências de mesma base
Começamos com um exemplo. Vamos multiplicar a4 por a3
a4 · a3 = a · a · a · a · a · a · a = a4+3 = a7
Como cada expoente representa o número de fatores então o número total de
fatores é a soma dos expoentes. Concluímos então que para multiplicar
potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes. Esse
resultado, escrito de forma geral, fica assim:
am · an = am+n
A divisão de potências de mesma base
Começamos também com um exemplo para descobrir o caso geral. Vamos
dividir a6 por a2.
Cada fator do denominador é cancelado com um fator do numerador. Então o
número de fatores do resultado é a diferença entre o número de fatores do
numerador e o número de fatores do denominador. Concluímos então que, para
dividir potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os
expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral fica assim:
Observação: Nesta identidade existe uma restrição para a letra a: ela pode
representar qualquer número, exceto o zero. Isso acontece porque é impossível
a divisão por zero.
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A potência de uma potência
Vamos, mais uma vez, descobrir o caso geral a partir do raciocínio usado em
um exemplo. Calculemos então (a3)4.
(a3)4 = a3 · a3 · a3 · a3 = a3 + 3 + 3 + 3 = a3 · 4 = a12
É claro que a letra a apareceu como fator 12 vezes, que é o produto dos
expoentes. Concluimos então que quando uma potência está elevada a algum
expoente, devemos manter a base e multiplicar os expoentes.
(am)n = a m.n
O expoente zero
O que acontece se o expoente for zero? Essa é uma pergunta freqüente, e a
resposta é a seguinte. Quando definimos an, o expoente n é o número de vezes
que a letra a aparece como fator. Então, n pode ser 1, 2, 3, 4 etc, e o caso n = 0
não está incluído na nossa definição. Portanto, a expressão a0 precisa ser
definida, ou seja, precisamos dar um significado para ela.
Definimos, então:
a0 = 1
para todo a ≠ 0
Por que isso? Porque, com essa definição, as propriedades anteriores continuam
válidas. Observe.
Inicialmente os nossos expoentes eram inteiros positivos, e agora o zero foi
incluído. O leitor curioso poderá então perguntar o que acontece se o expoente
for negativo. Realmente, expoentes negativos existem; mas, como eles não estão
incluídos na definição original de potência, precisamos criar um significado
para eles. Isso é o que veremos a seguir.
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O expoente negativo
Devemos definir potências de expoentes negativos, de forma que as
propriedades anteriores permaneçam válidas. A definição conveniente é a
seguinte:
Observe que, com essa definição, as propriedades que vimos continuam a ser
usadas. Veja:
Então:
Nas ciências, potências de base 10 com expoente negativo são usadas para
representar números muito pequenos.
Observe:
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Notação científica
Notação cientifica é uma maneira de representar um número muito grande ou
muito pequeno de uma forma mais fácil de se trabalhar.
Observe os exemplos de números grandes e pequenos:








600 000
30 000 000
500 000 000 000 000
7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
0,0004
0,00000001
0,0000000000000006
0,000000000000000000000000000000000000000000000008
A representação desses números, como apresentada, traz pouco significado
prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso
quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química,
esses valores são frequentes. Por exemplo, a distância da terra até o sol é de
150.000.000 km ou que a massa do átomo de hidrogênio é
0,000 000 000 000 000 000 000 001 66 g. Você já parou para pensar como seria
trabalhoso efetuar a multiplicação ou qualquer outra operação com este
números.
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a
vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos
significativos.

Escrevendo um número em notação científica
Para escrevermos um número na forma de notação cientifica precisamos ficar
atento a seguinte prática, o número a ser escrito será representado na forma de
um produto de dois fatores, lembrando que um deles é um número maior que 1
e menor que 10 e o outro número é uma potência de 10, positiva ou negativa.
Vamos exprimir os números dados usando números decimais e potências de 10.
Observe que:
1 mil = 1.000 = 103
1 milhão = 1.000.000 = 106
1 bilhão = 1.000.000.000 = 109
1 trilhão = 1.000.000.000.000 = 1012
Então,
1,2 milhões = 1,2 · 106
9,5 trilhões = 9,5 · 1012
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EXEMPLO 1:
Transformando um número em notação científica:
a) 200 = 2 . 102 (a vírgula deslocou 2 casas para a esquerda)
b) 150 000 000 000 = 1,5 . 1011 (a vírgula deslocou 11 casas para a esquerda)
c) 985 000 000 000 000 000 = 9,85 . 1017 (a vírgula deslocou 17 casas para
esquerda)
d) 0,005 = 5 . 10-3 (a vírgula deslocou 3 casas para a direita)
e) 0,000 000 000 000 000 458 = 4,58 . 10-16 (a vírgula deslocou 16 casas para a
direita)
Lembrete: Observe que quando a vírgula se desloca para a direita o expoente
do número 10 é negativo e quando a vírgula se desloca para a esquerda o
expoente do número 10 é positivo. Não esqueça que o número que multiplica a
potência de 10 é maior que 1 e menor que 10.
EXEMPLO 2:
Certa estrela está a 1,2 milhões de anos-luz do sol. Sabendo que 1 ano-luz é
igual a 9,5 trilhões de quilômetros, determine, em quilômetros, a distância entre
essa estrela e o sol. Pense um pouco antes de ver a solução. Procure exprimir os
números dados usando potências de 10.
Para calcular a distância entre o sol e a outra estrela, devemos multiplicar esses
dois números. Observe que vamos multiplicar os números decimais e as
potências de 10. Veja:
1,2 · 106 · 9,5 · 1012 = 1,2 · 9,5 · 106 · 1012 = 11,4 · 106+12 = 11,4 · 1018 km
Quando representamos um número por um decimal seguido de uma potência
de 10, estamos usando o que se chama de notação científica. É assim que os
cientistas representam números muito grandes. Entretanto, eles também
combinaram o seguinte: para que todos escrevam da mesma forma nunca
escreverão mais de um dígito na parte inteira do número decimal. Assim, um
verdadeiro cientista não escreveria a distância 11,4 · 1018 km. Ele faria assim:
11,4 · 1018 km = 1,14 · 1019 km
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Exercícios
Questão 06:
Observe os exemplos e resolva as potências:
32 = 3.3 = 9
54 = 5.5.5.5 = 625
43 = 4.4.4 = 64
122=12.12=144
a) 42 =
f) 113 =
b) 132 =
g) 34 =
c) 312 =
h) 45 =
d) 53 =
i) 27 =
e) 103 =
j) 110 =
Questão 07:
Escreva, em notação científica, os números dados :
a) 300 =
f) 0,9 =
b) 2000 =
g) 0,04 =
c) 45000 =
h) 0,007 =
d) 70000000000 =
i) 0,00025 =
e) 9230000000000 =
j) 0,0000000000087 =
Questão 08:
Com aproximadamente 191 milhões de habitantes, o Brasil é um país de
dimensões continentais. São 8.547.403 km2. Os 7.367 quilômetros de costa
litorânea são banhados pelo Oceano Atlântico.
a) Escreva, em notação científica , a superfície aproximada do Brasil em
km2.
b) Escreva, em notação científica, a extensão de nossa costa litorânea em
km.
c) Quantos somos nós, se escrevermos a população brasileira aproximada
em notação científica ?
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Questão 09:
Determine, em notação científica, a massa do átomo de hidrogênio que é igual
a 0,000 000 000 000 000 000 000 001 66 g.
Questão 10:
O planeta Plutão, o mais afastado do sistema solar, está a 5900 milhões de
quilômetros de distância do Sol. Escreva essa distância:
a) em quilômetros usando a notação científica;
b) em anos-luz.
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Gabarito
Questão 01:
a) 127,33 cm
b) 127,1 cm
a) 18 kg
b) 22 kg
a) 32
b) 39,5
a) R$ 530,00
b) R$ 2120,00
Questão 02:
Questão 03:
Questão 04:
Questão 05: R$ 1550,00
Questão 06:
a) 16
c) 961
e) 1000
g) 81
i) 128
b) 169
d) 125
f) 1331
h) 1024
j) 1
a) 3.102
c) 4,5.104
e) 9,23.1012
g) 4.10-2
i) 2,5. 10-4
b) 2.103
d) 7.1010
f) 9.10-1
h) 7.10-3
j) 8,7.10-12
Questão 07:
Questão 08:
a) 8,54.106 km²
b) 7,367.10³ km
c) 1,91.108 habitantes
Questão 09: 1,66.10-24g
Questão 10:
a) 5,9.109 km
b) 1,61.10³
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Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
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Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010
Página | 18