Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X
Primeira aula: Fundamentos
Laudo Barbosa
(06 de Novembro, 2006)
1
Plano de apresentação
• Luz (Radiação eletromagnética)
• Radiação emitida por partículas eletricamente carregadas
• Raios-X: espectro contínuo, espectro discreto
• Geradores de Raios-X (alvo fixo, anodo rotatório, síncrotron)
2
O que é um “campo” ?
Por exemplo: o campo gravitacional
m
M

F  G mr.M rˆ
2
Campo é o “veículo” ou “meio” que transmite a força
3
Outros Campos
Campo Magnético
Campo Elétrico
4
Descrição Matemática
Força Elétrica:

q .Q
F  k r rˆ
2
Campo Elétrico:
 
E  Fq  k
Q
2
r
rˆ
(A intensidade de campo elétrico é a força por unidade de carga)
Campo Magnético (é gerado por carga elétrica em movimento):


v rˆ
B  kq r
2
Força Magnética:
  
F  qv  B
5
Descrição Matemática
Estão portanto definidos, por expressões matemáticas, os campos elétrico e magnético
Os campos não são tão “palpáveis” quanto as respectivas forças, mas parecem ser tão “reais” quanto elas
O campo elétrico, em particular, é tão mais intenso quanto maior for a carga que o gera
Podemos calcular a “quantidade” ou “intensidade” de campo elétrico através de uma superfície
dΩ

2
Fluxo através de dA  E.n dA  kQ
2 r dd  kQd 
r
dA


 Fluxo total   E.ndA  kQdΩ  4   (r )dV
o
A
V

onde k  4 , Q    (r )dV
o
V
6
Descrição Matemática
Esta descrição matemática nos conduz ao Teorema da Divergência:


 E.ndA   .EdV
A
V


  .EdV    (r )dV  .E  4 
o
V
V
O mesmo raciocínio nos conduz a:

.B  0 (poisnão existemmonopolosmagnéticos)
7
Descrição Matemática
As expressões fundamentais obtidas para os campos elétrico e magnético se aplicam a fenômenos
eletrostáticos [não envolvem a variável “tempo”]

.E 
4
o

.B  0

Necessitamos algo mais genérico para abordar fenômenos eletrodinâmicos
Para isto, consideremos o conceito de força eletromotriz:
 = (Trabalho realizado pela força elétrica)/(unidade de carga elétrica)
B
B
 
W
q

 
F . dl
A
q

B
 
q E . dl

A
q
 
  E.dl
C
q
E
A
(*) A força eletromotriz, assim definida, é responsável pelas
correntes e variações de tensão em circuitos elétricos
8
Descrição Matemática
Observação Experimental: variações de fluxo magnético geram força eletromotriz
A força eletromotriz induzida por variações do campo magnético é dada por:
  k
dF
dt

, onde F   B.n dA [Lei de Faraday]
A
corrente
 

d
  E.dl  k dt  B.n dA
C
B
A
Área A, comprimento C
9
Descrição Matemática
Outro teorema matemático:
 

 E.dl     E.nda
C
A
[Teorema de Stokes]
 

  E.dl     E.n dA   k
C
A





B
     E  k t .n dA  0


A


   E  k Bt  0
d
dt

B
 .ndA
A
Obtemos mais uma equação fundamental:

 E  
1
 o o

B
t
,
1
 o o
k
10
Descrição Matemática
Podemos obter outra equação, semelhante à anterior, relacionando os campos elétrico e magnético
Comecemos, para isto, explicitando a relação entre campo magnético e corrente elétrica:

 
v r
B  kq r
r
l
3
q
 

 dl
v  dt  dB  kI dlr [pois I  dqdt ]
r
3
Para generalizar, definimos a densidade de corrente sobre um elementro de trajetória e computamos:

  ( x l ) 
B  k  J (l )    dl
l
x l
3


 ' .J (l ) 
  B  (...)  kJ  k     dl
|x l |
11
Descrição Matemática
Para regimes estacionários, a expressão anterior se reduz a:


  B  kJ
[pois

.J  0]
Para regimes dinâmicos, temos que levar em conta a conservação de carga elétrica
 
.J  t  0

.E  4 


 
. J  4
o

E
t
 0
{
o
[" Equaçãode Continuidade" ]
(J dinâmico)

  B 
4
 o o

J
1
 o o

E
t
12
Descrição Matemática
Finalmente, as 4 equações de Maxwell:

.E  4 

.B  0
o
 E 

 B 
1
 o o
1
 o o

B  0
t

E  4
 o o
t

J
1
 o o
c
Consequências básicas:

 E  c1
2
2

2 E
t 2
 0;

 B  c1
2
2

2B
t 2
 0;

 
S  4c E  B 
Energia
• Os campos elétrico e magnético se comportam como ondas
• São ortogonais entre si
• Transportam energia expressa pelo vetor de Poyinting (S)
• Expressam os fenômenos de propagação da luz
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Radiação emitida por cargas elétricas em movimento
Podemos resolver as equações de Maxwell para situações como:
 

 
 
 ( x, t )  q ( x  v t )  J ( x, t )  v  ( x, t )
 O meio onde se propaga a carga q emite luz (E,B), tal que que:
dE
dx

q2
c2
  1     d;  

2
1
( )
v
c
[RadiaçãoCerenkov]
o
No vácuo, para o caso em que a distribuição de carga é oscilante:


 ( x, t )   ( x)eit



J ( x, t )  J ( x)eit
 Campos E e B (Luz) são emitidos no espaço:

 
ikr
e
| B | r , E  B  xˆ [para r  | x |]


1
| B | r , | E | r1 [para r  | x |]
2
3
14
Emissão por cargas aceleradas
Caso geral: partícula com carga elétrica q, movendo-se ao longo de uma trajetória dada por r(t),
gerando campos E e B sobre uma posição data por x(t).
E
v
q
^
R
n
B
Configuração no instante t
x
r

 
 
 
E ( x , t )  4q o (1 n(.n)3 R) 2 2 

 
B( x, t )  1c (n  E )

onde:
 

v 
c
1
c

dx ,
dt
1
c
 

n
  3
(1 n .  ) R
1

1| |2




d

( n   )  dt
 
RET .



q
  Zero  E  41 o R 2 nˆ  Eo
d
dt
 
 Zero  E  Eo
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Raios-X
É Luz ?
Vo
No final do século 19 (1895),
estudando descargas elétricas
produzidas em tubos de raios
catódicos, W. C. Rontgen
observou que uma tela de
platinocianeto de bário disposta
a uma certa distância do tubo
fluorescia quando era ativada a
tensão. A descoberta foi
comunicada à Wurzburg
Physico-Medical Society. Em
1896 já se produziam tubos
geradores de raios-x. Mesmo
antes disto, já havia relatos de
que placas fotográficas eram
impressionadas quando
colocadas perto de tubos de
raios catódicos.
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Raios-X: Espectro Contínuo
O processo de Análise de Fourier permite decompor uma função em suas componentes espectrais
Caso uni-dimensional:
f (t ) 
1
2
it
F
(

)
e
d

F ( )   f (t )e it dt
t e  são variáveis “recíprocas” : t  tempo    1/t  frequência
Caso do “espaço-tempo”
 


 
E ( x , t )  21  dk  F (k ,  )e  i ( k . x t ) d
 
 
  
i ( k . x t )
F ( k ,  )   dx  E ( x , t ) e
dt
k e x são variáveis “recíprocas” : x  espaço  k  1/λ, λ  comprimento de onda
F(k,) fornece a decomposição de E(x,t) em termos das componentes espectrais
17
Espectro Contínuo
18
Raios-X
É partícula?
No início do século 20:
• Planck mostrou que a energia (radiação de corpo negro) é veiculada em “pacotes”,
ou seja, distribuída em valores discretos e não continuamente;
• Para explicar o efeito foto-elétrico, Einstein propôs uma teoria segundo a qual a luz
é composta por partículas (corpúsculos de luz, fótons);
• A teoria corpuscular (quântica) é mais abrangente que a teoria eletromagnética,
mas guarda relações com ela:
• Energia do fóton = E = h, onde  é a frequência da onda
• Momentum do fóton = P = h/λ, onde λ é o comprimento de onda
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Espectro Discreto
Na mecânica quântica, a ferramenta básica para se calcular a evolução física (dinâmica) de uma
partícula é a equação de Schroedinger:
2
2m
   V  i t
2

   ( x, y , z , t )   ( x , t )  vetorde estado(complexo)

V  V ( x )  operador associado à energia potencial
Um sistema de duas partículas (m,M) pode ser reduzido a um sistema de uma só partícula, com
massa reduzida µ=M.m/(M+m) .
Para o átomo de hidrogênio, supondo potencial Coulombiano, a equação de Schroedinger leva a uma
solução em que a energia associada a cada estado físico é discreta:
En  
Z 2e 4
( 4 o ) 2 2  2 n 2
  13.n6 eV
2
( n  1, 2, ... )
Sistemas mais complexos são tratados por métodos numéricos
e/ou aproximativos, e também levam à quantização da energia
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Espectro Discreto
E2
E > E1
E3
E1
Ef = E 1 - E2
Ef
Hidrogênio Excitado
Linhas características
E = E1 + E3
Hidrogênio puro é contido em um
recipiente, que é submetido a
descargas elétricas (5KV). Os
choques atômicos levam a
excitações das partículas, que ao se
des-excitarem emitem radiação
característica, relacionada com as
transições energéticas.
21
Fontes de Raios-X
Gerador baseado em tubo, alvo fixo:
Elétrons são emitidos sob alta energia contra um
alvo fixo. No momento do choque, a
desaceleração dos elétrons gera emissão de
raios-x, desde que a energia de colisão seja
suficiente
[radiação de Brehmstrahlung]
A desaceleração gera o espectro contínuo, o
material do alvo gera radiação característica
A maior parte da energia de colisão é dissipada sob forma de calor
 é necessário um circuito de refrigeração
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Geradores de Raios-X
Gerador baseado em tubo, anodo rotatório:
Mesmo princípio do caso “alvo fixo”, com a diferença que o alvo é mantido sob rotação, de modo que o
aquecimento por unidade de área, devido às colisões, é reduzido. Em consequência, pode-se operar
sob alta potência (KVxmA), o que proporciona um ganho na intensidade do feixe de raio-x obtido.
Radiação síncrotron:
Partículas carregadas (elétrons, pósitrons) são mantidas em trajetória fechada, através de lentes
elétricas e magnéticas. Nas regiões em que a trajetória é curvada (aceleração) há emissão de
radiação, denominada “síncrotron.”
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