SIMULADO 1 1 Matemática 2 (UFCG-PB) (IBMEC) O piso de uma sala, medindo 4,5 m ⋅ 3,2 m, vai ser revestido com placas quadradas de pedra (ardósia), de 40 cm de lado. Nessa obra, estima-se uma perda de 10% de material. Assim, o número mínimo de placas de ardósia que deve ser comprado para revestir todo o piso dessa sala é: Um jornalista anuncia que, em determinado momento, o público presente em um comício realizado numa praça com formato do trapézio isósceles ABCD, com bases medindo 100 m e 140 m (vide figura abaixo), era de 20 000 π pessoas. Sabendo-se que θ = , e considerando-se que 4 em aglomerações desse tipo o número máximo de pessoas por metro quadrado é igual a 6, o que pode ser concluído a respeito do anúncio jornalístico? a) 100 b) 110 c) 120 d) 125 e) 150 Resolução θ O piso da sala tem uma área igual a: Asala = 4,5 ⋅ 3,2 = 14,4 ⇒ Asala = 14,4 m2 a) Falso, pois a praça comporta no máximo 18 000 pessoas. Cada placa de ardósia tem: Aplaca = 0,4 ⋅ 0,4 = 0,16 ⇒ Aplaca = 0,16 m2 b) Falso, pois a praça comporta menos de 15 000 pessoas. c) Verídico, pois a praça comporta no máximo 21 000 pessoas. Com base nessas medidas, podemos calcular o número de placas necessárias para revestir completamente o piso: 14,4 : 0,16 = 90. d) Falso, pois a praça comporta no máximo 19 000 pessoas. e) Verídico, pois a praça comporta mais de 22 000 pessoas. Como há uma perda de 10% no assentamento dessas placas, estima-se que sejam necessárias 99 placas. Resolução Logo, a alternativa que melhor responde ao problema é a alternativa a. Em uma escala mais próxima da realidade, teremos: A área desse trapézio será: (100 + 140 ) ⋅ 20 = 240 ⋅ 10 = 2 400 ⇒ A = 2 400 m2 2 Considerando o número máximo de pessoas por metro quadrado em aglomerações, a quantidade de pessoas que o espaço pode conter será: 2 400 ⋅ 6 = 14 400. A= Portanto, o anúncio é falso, pois a praça comporta menos de 15 000 pessoas. 1 SIMULADO 1 3 Matemática 4 (UEPB) Entre dois edifícios A e B, de alturas 30 m e 20 m respectivamente, deverá ser instalado um hidrante. Sabendo que a distância entre os edifícios é de 50 m e que as distâncias entre o hidrante e os topos dos dois edifícios devem ser rigorosamente iguais, a distância entre o hidrante e o edifício B é igual a: (IBMEC) Na figura a seguir, ABC e DEF são triângulos equiláteros, ambos de área S. a) 40 m b) 35 m c) 20 m e) 30 m O ponto D é o baricentro do triângulo ABC e os segmentos BC e DE são paralelos. A área da região sombreada na figura é: Resolução a) d) 25 m Com base no enunciado, podemos compor a seguinte figura: b) c) d) e) Temos dois triângulos retângulos, tais que: S 9 S 8 S 6 2S 9 3S 8 Resolução 2 2 2 x = a + 30 ⇒ a 2 + 900 = b2 + 400 ⇒ a 2 − b2 = 400 − 900 ⇒ 2 2 2 x = b + 20 Como os dois triângulos são equiláteros, podemos dividi-los em triângulos menores também equiláteros, como mostra a figura abaixo. ⇒ a 2 − b2 = − 500 ou (a + b) ⋅ (a − b) = −500 Lembrando que a + b = 50, temos: (a + b) ⋅ (a − b) = −500 50 ⋅ (a − b) = −500 ⇒ a − b = −10 D C Portanto, a e b são dois números tais que sua soma é 50 e a diferença entre ambos, nessa ordem, é −10. Logo, a = 20 e b = 30. Assim, a distância entre o hidrante e o edifício B é igual a 30 m. Sendo S a área de cada triângulo maior, a área de cada triânguS lo menor equivale a . Então, a área sombreada corresponde 9 2S a dois desses triângulos, ou seja, . 9 2 SIMULADO 1 5 Matemática 6 (Uespi-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b e a 2 + ab + b 2 , quanto mede o maior ângulo do triângulo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º (Unisc-RS) Os irmãos André, Paulo e Vitor moram em casas localizadas na mesma fazenda. Sabe-se que a casa de André dista 500 m da casa de Paulo e 800 m da casa de Vitor, e que o ângulo formado entre essas direções é 60°. Observando, no esquema abaixo, a planta da situação apresentada, pode-se concluir que a distância entre a casa de Paulo e a casa de Vitor é de: Resolução Considere o triângulo: a) 600 m b) 1 300 m c) 700 m d) 900 m Pela lei dos cossenos, podemos escrever: ( a 2 + ab + b 2 ) 2 e) 800 m = a 2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos θ Resolução a + ab + b = a + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos θ 2 2 2 Considerando o triângulo APV e aplicando a lei dos cossenos, temos: ab = −2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos θ ab cos θ = − 2ab 1 cos θ = − 2 x θ = 120º x 2 = 5002 + 8002 − 2 ⋅ 500 ⋅ 800 ⋅ cos 60º x 2 = 250 000 + 640 000 − 2 ⋅ 500 ⋅ 800 ⋅ x 2 = 250 000 + 640 000 − 400 000 x 2 = 490 000 x = 700 m 3 1 2 SIMULADO 1 7 Matemática 8 (FMJ-SP) Uma área plantada, de forma triangular, contém 3 pontos de abastecimento de água para o processo de irrigação, conforme mostra a figura, cuja escala é de 1:10 000. (Cefet-PR) A alternativa que representa na região sombreada a operação ( A ∪ B) − ( A ∩ B) é: a) b) c) A distância entre os pontos A e C é, aproximadamente, igual a: (Dado: 2 = 1, 41) a) 0,56 km d) b) 0,78 km c) 0,84 km d) 0,96 km e) e) 1,84 km Resolução ) = 45º. Aplicando a Pela figura, podemos verificar que med (B lei dos senos, temos: 6 x = sen 30° sen 45° 6 x = 1 2 2 2 Resolução Sejam A e B os conjuntos dados, conforme a figura: x 6 2 = 2 2 A ∪ B será: x=6 2 x = 6 ⋅ 1,41 = 8,46 ⇒ x = 8,46 cm Distância real: 8,46 ⋅ 10 000 cm = 84 600 cm ou 846 m ou 0,846 km A ∩ B será: Portanto, (A ∪ B) − (A ∩ B) será: 4 SIMULADO 1 9 Matemática 10 (Udesc-SC) (IBMEC) O que os brasileiros andam lendo? Seja n um número natural, tal que: 1 < n < 24. Considere os conjuntos: 48 M = x ∈ N | x = n { O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros. } P = x | x = 2n { Q= x|x=2 n } É correto dizer que, se x = (M ∩ P) − Q, o número de elementos do conjunto x é: Fonte: Associação Brasileira de Encadernação e Restaure. [Adaptado] a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resolução 48 M = x ∈ N | x = ⇒ M = {48, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2} n P = x | x = 2n ⇒ P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 42, 44, 46, 48} { { } Q= x|x=2 n } ⇒ Q = {2, 4, 8, 16, 32, ..., 2 , 223, 224} 22 Sendo M ∩ P = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, então (M ∩ P) − Q será: Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 pessoas leem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas, jornais e livros. (M ∩ P) − Q = {6, 12, 24, 48} Logo, o número de elementos de x será 4, ou seja, n(x) = 4. Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de comunicação citados. II. Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e não leem jornais. III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Somente a afirmativa I é verdadeira. 5 SIMULADO 1 Matemática Resolução Com base no texto, podemos construir o seguinte diagrama: Vamos, então, analisar cada afirmativa. I. Falsa. Ler pelo menos um dos três meios citados indica que a pessoa lê um, dois ou três meios; logo, 660 pessoas leem pelo menos um deles, e não 40 pessoas. II. Verdadeira. Das 80 pessoas que leem revistas e livros, 40 leem livros, revistas e jornais; logo, as 40 pessoas restantes leem somente revistas e livros, e não leem jornais. III. Falsa. Pelo diagrama podemos verificar que 400 pessoas leem livros e 190 pessoas leem revistas. Considerando que 80 pessoas leem livros e revistas, o número de pessoas que leem livros ou revistas (livros ∪ revistas) é 510; logo, não são 440 pessoas. 6