MA13 – Exercícios das Unidades 23 e 24
2014
Lista 14
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados das seções 10.1 (pág. 402) e 9.2 (pág. 353)
1) Dado um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c calcule o volume do
octaedro cujos vértices são os centros das faces do paralelepípedo.
2) Se ABCD é um tetraedro trirretêngulo em D com
que seu volume é
abc
V =
6
DA = a DB = b DC = c
,
e
mostre
abc
2( ABC )
A partir daí mostre que a altura de ABCD em relação à face ABC mede
onde
( ABC )
é a área do triângulo ABC.
3) Se ABCD é um tetraedro de área total S e r é o raio de sua esfera inscrita prove que
seu volume é
Sr
V =
3
4) Seja ABCD um tetraedro de baricentro G. Prove que os tetraedros ABCG, ABDG,
ACDG e BCDG têm mesmo volume.
5) Um plano passa pelo vértice de um cone de revolução e forma com o plano da base
um ângulo de 45o. Sabemos que o plano intersecta a base do cone segundo uma corda de
2 3
comprimento
, a qual subtende um ângulo central de 60 o em relação ao centro da
base.
Calcule o volume do cone.
6) Um triângulo retângulo é rotacionado em relação a cada um de seus lados obtendo
três sólidos de revolução. Qual desses sólidos tem maior volume?
Problemas suplementares
7) Um tablete de doce de leite medindo 12cm por 9cm por 6cm, está inteiramente
coberto com papel laminado. Esse tablete é dividido em cubos de 1cm de aresta.
a) Quantos desses cubos não possuem nenhuma face coberta com papel laminado?
b) Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com papel?
c) Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cobertas com papel?
d) Quantos desses cubos possuem três faces cobertas com papel?
8) Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta a.
9) Um cubo de aresta a é seccionado por oito planos. Cada plano contém os pontos
médios das arestas que concorrem em um vértice. Retirando-se os tetraedros
formados obtêm-se o poliedro P.
a) Descreva as faces de P.
b) Calcule o volume de P.
c) Calcule o raio da esfera circunscrita a P.
10) Uma pirâmide regular de altura 4 tem na base um quadrado de lado 6. Calcule:
a) o volume
b) a área total
c) os raios das esferas inscrita e circunscrita.
11) Calcule o volume de um octaedro regular de aresta a.
12) Calcule o volume de um prisma triangular regular circunscrito a uma esfera de raio
1.
13) Em um prisma hexagonal regular a aresta da base mede 3cm e a altura mede 8cm.
Calcule o volume desse prisma e o raio da esfera circunscrita.
14) A base de uma pirâmide regular de altura 9cm é um quadrado de lado 6cm. Essa
pirâmide é cortada por um plano paralelo à sua base, distando 3cm dessa base. Do
tronco de pirâmide que ficou formado, calcule seu volume e sua área lateral.
10) Em um tronco de pirâmide de altura h as bases têm áreas S e
S′
. Mostre que o
volume do tronco é dado por
V =
h
( S + S ′ + SS ′ )
3
11) Um tronco de pirâmide quadrangular regular tem altura 5cm e bases de lados 6cm
e 4cm. Calcule o raio da esfera circunscrita a esse tronco.
12) Dois piratas encontraram uma pirâmide triangular regular de 50cm de altura feita
de ouro maciço. Eles resolveram cortar a pirâmide por um plano paralelo à sua base
de forma que as duas partes tenham mesmo volume (e, consequentemente, mesmo
valor). Determine a que distância da base esse corte deve ser feito. Dê uma
aproximação com 1 casa decimal desse número.
13) Dado o triângulo equilátero ABC de lado 2, sejam AD e CE segmentos
perpendiculares ao plano (ABC) e situados em um mesmo semiespaço desse plano.
Sejam AD = 8 e CD = 4 . Trace BD e BE e calcule o volume do poliedro ABCDE.
14) Em um prisma triangular a aresta da base mede a. Sabendo que existe uma esfera
tangente a todas as arestas desse prisma, calcule a altura do prisma.
15) Em uma pirâmide regular cada face lateral faz 60o com o plano da base.
Determine o cosseno do ângulo diedro formado por cuas faces adjacentes.
16) Um cilindro reto possui uma esfera inscrita. Mostre que a razão entre as áreas
desses dois sólidos é igual à razão entre seus volumes (Teorema de Arquimedes).
17) Um copo cônico de papel foi feito a partir de um setor de 12cm de raio e ângulo
central de 120o. Calcule o volume desse copo.
18) Uma superfície cilíndrica de revolução é cortada por um plano que faz ângulo 
com o eixo da superfície. Determine a excentricidade da seção.
19) Um cone tem volume V e altura h. Esse cone é seccionado por um plano paralelo à
h/3
sua base distando
dessa base. Calcule o volume das partes em que esse cone
ficou dividido.
20) Um cone de revolução tem altura h e base de raio R. Calcule os raios das esferas
inscrita no cone e circunscrita ao cone.
211) Calcule a área e o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do triângulo
equilátero ABC de lado a em torno de um eixo que passa pelo vértice A e é
perpendicular ao lado AB.
22) Em uma esfera de centro O, o plano mediador do raio OA dividiu a esfera em duas
partes.
a) Calcule a razão entre os volumes dessas partes.
b) Calcule a razão entre as áreas totais dos dois segmentos esféricos.
23) Um cilindro circular reto tem volume V. Considere os dois cones, cada um com
base em uma base do cilindro e vértice no centro da face oposta. Calcule o volume da
parte comum aos dois cones.
24) Considere um cubo de aresta 2 e a esfera tangente a todas as arestas.
Calcule o volume da parte comum aos dois sólidos.