Coordenadas Cilíndricas e
Esféricas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
z

P   r , , z 
z

r

x
 r, ,0 
y
Conversão de Coordenadas
(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para
coordenadas retangulares, usamos as equações
y  r s en
x  r cos
zz
enquanto que para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos
as equações
r x y
2
2
2
y
tg 
x
zz
Exemplo 1:
2


.
(a) Plote o ponto com coordenadas cilíndricas  2,
,1
 3 
e determine suas coordenadas retangulares.
(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com
coordenadas retangulares  3, 3, 7  .
Exemplo 2: Descreva a superfície cuja equação em
coordenadas cilíndricas z  r.
Exemplo 3: Determine a equação em coordenadas
2
2
2
cilíndricas para o elipsóide 4 x  4 y  z  1.
Sistema de Coordenadas Esféricas
onde
z


  OP
P    , ,  
 é o mesmo ângulo

que em coordenadas
cilíndricas.
O
 é o ângulo entre o

y
eixo positivo z e o

vetor OP .
x
Note que:
 0
0  
Conversão de Coordenadas
(Esféricas - Retangulares)
z



 
z
O

r
Q 
y
x
P    , ,  
P   x, y, z 
x

y

P '   x, y,0
Do triângulo retângulo OPP ', temos
Do triângulo retângulo OPP ', temos
i 
cos  
 ii  sen 
z

r


z   cos 

r   sen
Do triângulo retângulo QOP ,' obtemos
x
 iii  cos 
r
y
 iv  sen 
r

x  r cos

y  rsen
Para
converter
de
coordenadas
esféricas
para
 ii  em  iii  para
encontrar a coordenada x e substituímos  ii  em  iv  para
coordenadas retangulares, substituímos
encontrar a coordenada y , daí
y   sen sen
x   sen cos 
z   cos 
também, a distância entre dois nos mostrta que
  OP  x 2  y 2  z 2
2
2
usamos este resultado para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas esféricas.
  
Exemplo 4: O ponto  2, ,  é dado em coordenadas
 4 3
esféricas. Plote o ponto e determine suas
coordenadas retangulares.


Exemplo 5: O ponto 0, 2 3, 2 é dado em coordenadas
retangulares. Determine as coordenadas
esféricas desse ponto.
Exemplo 6: Determine uma equação em coordenadas
2
2
2
esféricas para o hiperbolóide x  y  z  1.
Exemplo 7: Determine a equação em coordenadas
retangulares da superfície cuja equação
esférica é   sen sen .