X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
OFICINAS PARA DISCUSSÃO E AVALIAÇÃO DE ATIVIDADES E MATERIAIS
PEDAGÓGICOS PARA A SALA DE AULA DE MATEMÁTICA EM AMBIENTE
ESCOLAR
Katiéle de Souza Carvalho
Universidade Federal de Santa Maria
[email protected]
Leonel Giacomini Delatorre
Universidade Federal de Santa Maria
[email protected]
Thanise Azzolin dos Santos
Universidade Federal de Santa Maria
[email protected]
Regina Ehlers Bathelt
Universidade Federal de Santa Maria
[email protected]
Resumo: Como integrantes do grupo PET Matemática, apresentamos aqui o relato de uma
atividade de elaboração de oficinas com vistas a sua posterior dinamização junto a
professores de Ensino Fundamental para fins de discussão e avaliação de materiais e
práticas pedagógicas produtivas para o ensino e a aprendizagem da Matemática em
ambiente escolar. Essas oficinas estão em fase de elaboração, e vêm se constituído na
medida em que temos nos dedicado a atualizar o acervo de materiais pedagógicos
alternativos disponíveis no LEME – Laboratório em Educação Matemática Escolar. Neste
estudo relatamos a primeira parte dessa nossa experiência e exemplificamos alguns
materiais e atividades que organizamos para a sala de aula de matemática envolvendo
Mosaicos.
Palavras-chave: Mosaicos; Geometria; Materiais Alternativos.
Sobre Mosaicos
Em muitas situações do cotidiano, urbano ou rural, podemos identificar algumas
composições constituídas por padrões que se manifestam repetidas vezes com certa
regularidade. Por exemplo, nas escamas que formam a pinha do pinheiro, ou na casca da
fruta do conde, ou mesmo nas escamas que recobrem a pele de cobras, como a das corais,
em todos esses casos, os padrões que se repetem assemelham-se a losangos.
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Já no caso da banana-do-mato e nos favos de mel os padrões
assemelham-se a hexágonos. Na estrela do mar podem-se
identificar composições que surgem da repetição de formas
aproximadamente triangulares, e no casco do tatu bola o que se
pode observar são padrões semelhantes a quadriláteros,
pentágonos e também hexágonos. Em síntese, descobrimos na
beleza de formas presentes e recorrentes nos reinos animal e
vegetal, mosaicos naturais, entendidos aqui como composições
Foto 1 – Banana-do-mato.
originadas pela repetição de um determinado padrão. Assim, observando a natureza,
abstraindo dela esses padrões que se repetem com certa regularidade, identificando neles
características e significando suas propriedades, vamos aos poucos percebendo – e ao
longo da nossa história definindo – noções geométricas de forma, simetria, ângulo, etc.
Examinando esses padrões na regularidade de suas formas alcançamos o entendimento do
que sejam mosaicos geométricos.
Mosaicos Geométricos
Mosaicos Geométricos são composições geométricas, isto é, imagens que se
constituem pela repetição de uma ou mais
Losango
Composição Geométrica
formas geométricas (triângulos, quadriláteros,
(módulo)
pentágonos, etc.) que, uma vez perfeitamente
encaixadas, recobrem toda uma superfície.
Trata-se de um arranjo que se forma a partir de
Figura 1 – Mosaico com losangos.
um módulo, um padrão, a menor parte da
composição, que se repete e a compõe. Sobre mosaicos, Imenes nos diz que:
“Há algumas características que precisam ser ressaltadas: - Todos
são construídos com figuras geométricas. - Em todos eles as figuras
encaixam-se sem deixar vãos e sem se sobreporem umas as outras.
- Na maioria dos mosaicos há repetição de formas – sempre algum
padrão é reproduzido."
(IMENES, 1992, p.26)
Há mosaicos formados por polígonos regulares idênticos; nesse caso, os
chamaremos mosaicos geométricos regulares.
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Um mosaico formado pela repetição de hexágonos regulares, do tipo que lembra
uma composição como a de favos de mel, ou a
Hexágono Regular
Composição Geométrica
que se vê também em calçamentos, são
(módulo)
exemplos disso.
Porém há também aqueles que podem
ser formados por mais de
Figura 2 – Mosaico com hexágonos regulares
um tipo de polígonos
regulares. Um mosaico formado pela repetição de octógonos regulares
e quadrados, ambos com lados de mesma medida, formam um módulo
que repetido lembra uma composição entre dois tipos de lajotas
Foto 2 – Calçamento com
lajotas hexagonais
utilizadas para ladrilhar pisos de cozinhas.
Octógono Regular e Quadrado
(módulo)
Figura 3 – Mosaico com octógonos regulares e quadrados.
Podemos também compor mosaicos utilizando como padrão para
a repetição pelo menos um tipo de polígono não regular. Nesse caso os
chamaremos de mosaicos geométricos não regulares. Por exemplo:
poderíamos compor uma malha semelhante a que se vê na trama de uma
cerca de arame utilizando losangos;
poderíamos também formar um mosaico
Foto 3 – Cerca de arame
compondo retângulos e quadrados, de maneira semelhante
ao que se faz ao pavimentar pisos internos de residências
Figura 4 – Mosaico com retângulos e quadrados.
com parquet.
Atividades com Mosaicos
Para elaborar atividades envolvendo a composição de mosaicos em sala de aula de
matemática, partimos para a análise de dois materiais pedagógicos que existiam no LEME.
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Tratava-se de dois tabuleiros de madeira, um de forma hexagonal e outro de forma
quadrada, cada um dos quais acompanhados de um conjunto de peças coloridas de
madeira, de formas geométricas variadas, e que podiam ser utilizadas para recobrir os
tabuleiros de modo a compor sobre eles diferentes mosaicos.
Figura 5 – Modelo de Tabuleiros.
Esse material, conforme a necessidade, pode ser confeccionado em várias escalas
de medida. Versões de tamanho pequeno, individuais, podem ser recortadas em material
emborrachado, colorido, para ser utilizado com os alunos. Outra ideia é utilizar material de
sucata (papelão de caixa de sapato, por exemplo).
Vejamos a seguir as matemáticas da confecção desses tabuleiros que, se
problematizados, calculados e construídos pelos próprios alunos, poderão revelar para o
professor valor pedagógico útil tanto para invocar certas noções geométricas já conhecidas
em alguns níveis de ensino, quanto para constituir seus significados.
Atividade n° 01 – Explorando Mosaicos Geométricos
Tópicos curriculares: Figuras geométricas planas: noção de lado, altura, ângulo, perímetro
e área.
Série: Anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano).
Objetivo Geral:
- Proporcionar situações-problema que favoreçam o aluno a desenvolver
habilidades de raciocínio geométrico.
Objetivos Específicos:
- Investigar diferentes modos de arranjar formas geométricas encaixadas
perfeitamente entre si sobre uma superfície hexagonal;
- Identificar lados, alturas e ângulos internos em figuras geométricas planas;
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- Reconhecer medidas de lados, alturas e ângulos internos em figuras geométricas
planas;
- Calcular medidas de área de figuras geométricas planas;
- Calcular perímetro.
- Comparar áreas de figuras geométricas planas.
Material: Uma folha do tipo TAREFA 1 (modelo abaixo) para cada grupo de quatro
alunos; Uma folha de papel milimetrado para cada aluno.
Desenvolvimento: A sugestão é pedir aos alunos da turma para que se organizem em
grupos de quatro membros. Em seguida, distribuir uma folha como a do modelo (Tarefa 1)
para cada grupo e uma folha de papel milimetrado para cada membro do grupo.
Dizer-lhes que vamos estudar sobre o modo pelo qual uma certa superfície plana, a qual
tem uma forma geométrica definida, pode ser recoberta por outras superfícies planas
menores e que tem outras formas geométricas. Para tanto cada grupo está convidado a
realizar a Tarefa 1 solicitada na folha, ou seja, seus membros irão discutir no grupo para
responder as formulações propostas na folha de tarefa e depois apresentá-las a avaliação da
turma em grande grupo. Nesse processo, caso sintam necessidade, cada aluno pode fazer
desenhos, simulações e cálculos sobre sua folha de papel milimetrado de modo a auxiliar
na visualização e discussão de suas ideias para o grupo. Dado um tempo suficiente para
que a turma possa realizar a tarefa, ao final, um aluno de cada grupo, eleito por seus
membros como relator, explicará sobre os caminhos de raciocínio e as descobertas de seu
grupo e declarará a turma como eles responderam as duas questões da folha tarefa.
Disciplina: Matemática Professor(a):__________Data:___/___/___
Membros do Grupo: _____________________________________
TAREFA 1 - Discutir e responder às questões abaixo:
1. Considere um hexágono regular cujo lado mede 15 cm e triângulos
eqüiláteros cujos lados medem 5 cm. Verifique se é possível recobrir toda a
superfície do hexágono utilizando repetidas vezes esses triângulos sem
sobrepô-los e sem deixar vãos;
2. Se o grupo entender que não é possível recobrir toda a superfície do
hexágono com os referidos triângulos equiláteros explique o porquê. Se
entender que é possível, então determine o número de triângulos
eqüiláteros necessários para recobrir toda a superfície do hexágono
considerado.
Comentários Pedagógicos: Nesta tarefa espera-se que as decisões dos grupos passem por:
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I – Construções geométricas:
a) Desenhar sobre a folha de papel milimetrado um hexágono regular, lado 15 cm.
- Espera-se que os alunos usem recursos de construção
C
geométrica tais como: com o auxílio de régua e compasso
desenhar uma circunferência de raio
A
B
centro em B e raio
. Com
traçar um arco que corta a
O
15 cm
circunferência em C. Determinar o lado do hexágono
regular inscrito dado pelo segmento de reta
Figura 6 – Construção geométrica de um hexágono
12 cm
regular inscrito numa circunferência.
A
B
. Repetir o
processo até que estejam marcados sobre a circunferência
seis pontos distintos, ligados por seis segmentos de reta
consecutivos Oe não colineares que delimitam uma superfície hexagonal inscrita na
circunferência.
E
- Outra possibilidade de construção é: dada a medida do
D
lado
F
um de seus ângulos internos mede 120 o, então, com o
C
auxílio de uma régua, traçar esse lado e com um
15 cm..
120°
A
do hexágono regular, 15 cm, e sabendo que cada
transferidor centrado, digamos, na extremidade , marcar
60°
B
o ângulo
12 cm
Figura 7 – Construção geométrica de um hexágono
regular através
dos ângulos internos.
o
120
60
, e nessa direção,
,
.
Repetir o processo para a extremidade C, obtendo
,
. E assim seguir até obter os lados restantes.
o
- Justificativas formais que garantem que a construção com régua e compasso é, de fato,
um hexágono regular ficam a cargo do professor (exemplo: demonstrar que a figura é
composta
por
eqüiláteros).
A
12 cm6 triângulos
B
P
b) Desenhar sobre a folha de papel milimetrado um triângulo
eqüilátero, lado
.
A
- Espera-se que para isso, os alunos também utilizem recursos de
construção geométrica, tais como: tendo a medida do lado
triângulo eqüilátero,
do
B
5 cm
Figura 8 – Construção geométrica de
um triângulo eqüilátero.
, desenhar esse lado com auxílio de
régua. Com um compasso de abertura 5 cm centrado em A, traçar uma circunferência de
raio
. Proceder da mesma forma com a ponta seca do compasso centrado em B: traçar
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uma circunferência de raio
. Finalmente, unir as extremidades A e B do lado
ao
ponto P, que é um ponto de encontro dos arcos traçados.
III – Cálculos e estimativas:
- Espera-se dos grupos experimentações de
raciocínio com cálculos e estimativas para
realizar a tarefa. Por exemplo, que verifiquem
quantas vezes o lado do triângulo equilátero
(
5 cm
) cabe dentro do lado do hexágono
regular
(
),
ou
de
outro
15 cm
Figura 9 – Relação entre as medidas dos lados do hexágono regular e dos
triângulos eqiláteros dados.
modo,
determinem o número máximo de triângulos eqüiláteros que se pode acomodar sob o lado
do hexágono. Isso inicia a responder “Quantos triângulos eqüiláteros de lado
são
necessários para recobrir toda a superfície do hexágono dado?”.
a) Espera-se que os alunos constatem que os vãos formados entre
os triângulos equiláteros (fig.9) quando acomodados em suas
bases sobre os lados do hexágono, podem ser preenchidos por
60°
mais triângulos equiláteros justapostos, invertidos e idênticos aos
60°
60°
demais. Espera-se que os alunos relacionem as medidas dos
ângulos internos dos triângulos eqüiláteros
, (fig.10) com as
medidas dos ângulos internos do hexágono regular
Figura 10 – Medidas dos ângulos
internos de um Triângulo eqüilátero.
e que concluam que dois
triângulos equiláteros, quando encaixados justapostos, de modo a terem um lado adjacente
em comum, compõem um losango cujos ângulos obtusos medem
(fig.11).
60°
Figura 11 - Losango
60°
60°
60°
60°
120°
60°
b) Dessa forma é possível recobrir toda a superfície
hexagonal, pois os triângulos eqüiláteros encaixam-se
Figura 12- Hexágono recoberto pelos triângulos
equiláteros
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perfeitamente sem sobras ou excessos. Isso ocorre porque se verifica a propriedade de que
todos os ângulos internos e externos ao redor de um mesmo ponto de encaixe somam
(fig.12). Isso responde ao primeiro item da tarefa.
c) Outra possibilidade de responder a tarefa é a de calcular as áreas do hexágono e do
triângulo eqüilátero. Nesse caso, a solução numérica vem por caminhos algébricos.
- Espera-se que os alunos estabeleçam relação entre a área do triângulo equilátero de lado
e a área do hexágono regular de lado
triângulo equilátero de lado
e,
. Assim, sabendo que as áreas
, de um hexágono regular de lado
, de um
, são dadas
respectivamente, pelas fórmulas,
então, sendo
é possível verificar que
donde vem que são necessários 54 triângulos eqüiláteros de lado
superfície hexagonal de lado
para recobrir a
, respondendo-se o segundo item da tarefa.
Nossa intenção aqui é a de oferecer uma tarefa que dê aos alunos a oportunidade de
pensar sobre os modos pelos quais uma superfície poligonal fechada e regular pode se
compor (ou decompor) em outras superfícies poligonais menores, bem como pensar sobre
as condições geométricas para as quais isso é possível. Trata-se de uma atividade produtiva
para convocar os alunos a produzir significado para “mosaico geométrico”. Observa-se que
nessa atividade a turma não tem em mãos os tabuleiros anteriormente mencionados.
Acreditamos que introduzindo o assunto assim exige-se mais da imaginação e criatividade
dos alunos porque precisarão representar graficamente a situação sem tê-la visto
concretamente, apenas intuitivamente. Caberá a Atividade nº 02 preencher essa lacuna.
Atividade n° 02 – Construindo um mosaico sobre uma superfície hexagonal
Tópicos Curriculares:
- Percepção visual (cores, simetrias, formas);
- Composição de formas geométricas;
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- Propriedades Geométricas;
- Frações.
Série: Anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano).
Objetivo Geral:
- Desenvolver a percepção geométrica dos alunos, bem como noções de frações.
Objetivos específicos:
- Compor formas geométricas a partir de um padrão;
- Identificar, nomear e diferenciar as formas geométricas (trapézio, hexágono e
triângulo);
- Reconhecer e manipular propriedades como área e perímetro;
- Desenvolver e associar ideias de frações;
- Identificar os ângulos como condicionantes dos encaixes das peças;
- Calcular perímetros e áreas simples e compostas por mais de uma figura.
Material: 01 tabuleiro hexagonal com
equiláteros com
de lado; 54 peças na forma de triângulos
de lado: 18 peças de uma cor, 18 peças de outra cor e 18 peças de
uma terceira cor; Folhas de papel milimetrado; Folhas de material emborrachado de quatro
cores diferentes.
Desenvolvimento: A ideia é de organizar a turma em grupos com 3 ou 4 alunos. Distribuir
para cada grupo quatro folhas de material emborrachado (uma de cada cor). Solicitar aos
grupos que desenhem e recortem a partir de uma das folhas um hexágono regular com
de lado que será o tabuleiro hexagonal. Quando tiverem acabado, fornecer a malha
de triângulos para que recortem 18 triângulos equiláteros para cada cor, compondo um
conjunto com 54 peças e mais o tabuleiro hexagonal. A partir disso, essa atividade se
desenvolve em três momentos:
Primeiro Momento (exploração livre): Proporcionar aos alunos um tempo para manipular
livremente as peças do conjunto.
Segundo Momento (composição de mosaicos): Organizar as peças obedecendo algum
comportamento padrão: formas, simetria, cores.
Terceiro Momento (observação de propriedades geométricas): Transpor para a folha de
papel milimetrado as figuras encontradas observando e anotando as características e
propriedades de cada uma em relação a forma, ângulos internos, medida dos lados,
perímetro e área.
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Comentários Pedagógicos: Ao longo do desenvolvimento da atividade podem-se propor
questionamentos cujas respostas traduzem-se em tarefas aos alunos. Por exemplo:
a) Quantos e quais tipos de figuras é possível formar combinando as peças triangulares de
duas em duas, três em três, etc?
b) Por que não é possível formar figuras como quadrados pentágonos e círculos?
c) Quantos triângulos consegue-se formar cobrindo toda a superfície hexagonal com
triângulos equiláteros constituídos de nove peças da mesma cor?
d) A que fração da área total do hexágono regular representa a área do triângulo equilátero
constituído no item anterior?
e) Deduza a área dos triângulos, trapézios, hexágonos e losangos encontrados a partir da
área total do tabuleiro hexagonal.
f) Deduza a área dos triângulos, trapézios, hexágonos e losangos encontrados a partir da
área de um triângulo equilátero (uma peça).
g) Calcule o perímetro das figuras.
Conclusão
Através das atividades com os mosaicos propomos um trabalho pedagógico para
explorar e significar noções geométricas de ângulo, simetria, perímetro, área, composição e
decomposição de figuras planas, além de frações. É importante que o aluno formalize a
ideia de que as peças dos mosaicos se encaixarão perfeitamente somente quando a soma
dos ângulos internos das figuras encaixadas em torno de cada vértice seja de
.
Acreditamos que o trabalho em torno dos mosaicos oferece oportunidade aos alunos para
produzirem significados (Lins, 1999) geométricos e, daí, mais gosto pela Geometria. Além
disso, o processo de configuração da imagem do mosaico que passa pela escolha das
figuras geométricas, simples ou compostas, as quais formam o módulo a ser reproduzido
regularmente, além de livre é provocativa à capacidade de imaginação e criação dos
alunos.
Bibliografia
BARROSO, J. M.; Projeto Araribá: matemática/obra coletiva, concebida, desenvolvida e
produzida pela Editora Moderna. 1. ed., São Paulo: Moderna, 2006.
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Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
FERRARI, M.; A arte das formas. Revista Nova Escola, São Paulo, jun. 2006. Disponível
em: <http://revistaescola.abril.uol.com.br /edicoes/0193/aberto/mt_136481.shtml.>.
Acesso em: 24 jun. 2008.
IMENES, L.M. P.; Geometria dos mosaicos. 9. ed. São Paulo: Scipione, 1996.
LEGADO LÚDICO; Jogos e Quebra-Cabeças Mosaicos. Santa Catarina. Disponível em:
<http://www.legadoludico.com/ CatalPreco.html#voltar_Mosaico>. Acesso em: 29. abr.
2008 .
OLIVEIRA, S.R.; Geometria dos Mosaicos. Disponível em:
<http://austin.ime.unicamp.br/~samuel/Extensao/TeiaSaber/PDF/GeometriadosMosaicosA
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LINS, R. C. Por que discutir teoria do conhecimento é relevante para a Educação
Matemática. In: Pesquisa em Educação Matemática:concepções e perspectivas. [org.]
Maria Aparecida Viggiani Bicudo. São Paulo:Editora UNESP, 1999. p.75-94.
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