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o
6 SÉRIE 7 ANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO ALUNO
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
6a SÉRIE/7o ANO
VOLUME 2
Nova edição
2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Dione Whitehurst Di Pietro
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre,
você encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o
curso. Parabéns pelo esforço!
Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, você estudará um dos conceitos matemáticos mais importantes do Ensino Fundamental: a proporcionalidade. Esse conceito é utilizado em
diversas situações do cotidiano: na interpretação da escala de um mapa, na adaptação de uma receita
culinária para mais pessoas, na tabela de preços de um estacionamento que cobra por quantidade
de horas, entre muitas outras.
Além disso, o Caderno convida você, aluno, a conhecer um pouco mais a história de Leonardo
da Vinci e seus estudos sobre as proporções ideais do corpo humano. Com essa leitura, você realizará atividades que buscam verificar as razões entre as partes do corpo humano descritas por esse
grande cientista, uma das figuras mais criativas do século XV.
Você terá, ainda, a oportunidade de estudar a ideia de proporcionalidade a partir do “duplex”,
um quebra-cabeça desenvolvido por Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas. O desafio
consiste em transformar uma palavra em outra, trocando uma letra por vez e formando, no decorrer da atividade, palavras conhecidas. Usando o mesmo princípio, você poderá resolver problemas
matemáticos por meio de tabelas.
Você aprenderá também a possível utilização de letras para representar algum valor desconhecido. O uso de letras na Matemática é comum na representação de padrões em sequências e você, a
partir da observação, generalização e registro algébrico, poderá desenvolver as atividades propostas
com bastante êxito.
As fórmulas não aparecem apenas na Geometria, mas estão por toda a parte, como se pode
verificar na Física, quando relacionamos a distância aproximada percorrida por um objeto em
queda livre e o tempo de queda. Ou, ainda, aparecem também relacionadas à saúde, como o
Índice de Massa Corpórea (IMC) que pode ser utilizado como indicador do estado nutricional
de uma pessoa.
Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo professor e, com isso, possa
aprender cada vez mais. O objetivo é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais
prazeroso. Aproveite bastante!
Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE
VOCÊ APRENDEU?
Reconhecendo a proporcionalidade
1. Verifique se as previsões feitas são confiáveis e se há proporcionalidade entre as grandezas envolvidas. Justifique sua resposta.
a) Um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais àquela, ele
levará 2 horas.
b) Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao final do primeiro
tempo (45 minutos), ele terá marcado 6 gols.
c) Uma banheira contendo 100 litros de água demorou, aproximadamente, 5 minutos para ser
esvaziada. Para esvaziar uma banheira com 200 litros de água serão necessários, aproximadamente, 10 minutos.
d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60 km. Mantendo a
mesma velocidade, após 3 horas ele terá percorrido 150 km.
e) Um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Por um automóvel que ficou estacionado 2 horas, foi cobrado do motorista o valor de R$ 6,00. Se ele ficasse estacionado 6 horas, o valor cobrado seria de R$ 18,00.
5
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
f ) Em 20 minutos, uma pessoa gastou R$ 30,00 no supermercado. Se ela ficar 40 minutos,
gastará R$ 60,00.
g) Ao tomar um táxi para ir da minha casa até a escola, o motorista passou por 4 avenidas
diferentes. O valor cobrado pela corrida foi de R$ 10,00. Na volta, ele passará somente por
2 avenidas, portanto, o valor cobrado será de R$ 5,00.
2. Em cada um dos casos a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidas
das grandezas correspondentes. Justifique sua resposta.
a) A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade?
b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro é diretamente proporcional
à quantidade de litros abastecidos?
c) A massa de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade?
d) O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado?
e) A distância percorrida por um automóvel em 1 hora de viagem é diretamente proporcional
à velocidade média desenvolvida?
6
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Os limites da proporcionalidade
3. Analise as situações a seguir e avalie se elas são possíveis.
a) Um professor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Após 30 horas, ele terá corrigido
600 provas.
b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, após 20 horas, ele terá percorrido 200 km.
c) Uma pessoa leu 3 livros na semana passada. Em um ano, ela lerá 156 livros.
LIÇÃO DE CASA
4. Verifique se houve variação proporcional nos seguintes casos.
a) Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionários. O salário
de João passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio passou de
R$ 1 000,00 para R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois
funcionários? Justifique sua resposta.
7
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Uma empresa de informática resolveu dar um desconto de 25% no preço de toda a sua
linha de produtos. O preço de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$ 750,00, e
o de uma impressora passou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade no
desconto dado nos dois produtos? Justifique sua resposta.
VOCÊ APRENDEU?
Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
5. Analise as situações a seguir e verifique se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente
proporcionais.
a) Um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10 m2. Observe a
relação entre o tempo gasto, o número de paredes pintadas e o número de pintores representados na tabela a seguir e complete as sentenças.
SITUAÇÕES
A
B
C
D
Número de pintores
1
1
2
2
Número de paredes de 10 m2
1
2
1
2
Tempo gasto (horas)
2
4
1
2
t 0UFNQPHBTUPÏ
proporcional ao número de pintores.
t 0UFNQPHBTUPÏ
proporcional ao número de paredes.
8
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Um automóvel gasta 2 horas para percorrer 200 km, viajando com velocidade média de
100 km/h. Observe a relação entre a velocidade média, a distância percorrida e o tempo
gasto na viagem representados na tabela a seguir e complete as sentenças.
SITUAÇÕES
A
B
C
D
Velocidade média (km/h)
100
100
50
50
Distância percorrida
200
400
400
100
Tempo gasto (horas)
2
4
8
2
t "EJTUÉODJBQFSDPSSJEBÏ
t 0UFNQPHBTUPÏ
proporcional à velocidade.
proporcional à velocidade.
Leitura e análise de texto
Duplex
Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas, era um matemático que adorava desenvolver quebra-cabeças. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabeça que
envolvia a transformação de duas palavras com o mesmo número de letras. O desafio
consistia em partir de uma palavra e chegar à outra de mesmo número de letras, trocando
uma letra por vez e formando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir.
t 5SBOTGPSNBS0630FN-*90
OURO
Etapas
MURO
Trocar o O pelo M
MUDO
Trocar o R pelo D
MEDO
Trocar o U pelo E
LEDO
Trocar o M pelo L
LIDO
Trocar o E pelo I
LIXO
Trocar o D pelo X
9
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
6. Agora é sua vez. Resolva os duplex a seguir.
TIA
POR
LISO
POETA
LUA
MAL
PENA
TANGO
Leitura e análise de texto
Duplex, tabelas e proporcionalidade
Usando o mesmo princípio, podemos resolver problemas matemáticos por meio de
tabelas. Em vez de letras, o início e o fim do encadeamento serão números. Por exemplo:
• Para fazer uma dúzia de pães, um padeiro gasta, aproximadamente, 3 600 gramas de
farinha. Quantos gramas de farinha serão necessários para fazer 18 pães?
1o passo: colocar as informações em uma tabela.
Número de pães
Farinha (gramas)
12
3 600
18
?
2o passo: verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais, então as grandezas devem ser multiplicadas ou
divididas pelo mesmo fator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma das
grandezas for multiplicada por um número, a outra deverá ser dividida por esse mesmo
número e vice-versa.
10
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
3o passo: assim como no duplex, o desafio será transformar o número 12 em 18 por
meio de operações de multiplicação ou divisão, mantendo a proporcionalidade (direta ou
inversa) entre as grandezas envolvidas.
Número de pães
Farinha (gramas)
Transformações
12
3 600
Divisão por 6
2
600
18
5 400
÷6
u9
÷6
u9
Multiplicação por 9
Portanto, serão necessários 5 400 gramas de farinha para fazer os 18 pães.
VOCÊ APRENDEU?
7. Na tabela a seguir, registraram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de um
mesmo produto. Contudo, alguns valores não foram preenchidos. Complete a tabela, mantendo a proporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido.
Quantidade vendida
Valor recebido
10
R$ 30,00
5
R$ 3,00
R$ 21,00
14
R$ 420,00
11
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
8. Um clube dispõe de uma quantia fixa de dinheiro para comprar bolas de futebol para os
treinamentos. Com o dinheiro disponível, é possível comprar, de um fornecedor, 24 bolas a
R$ 6,00 cada. O gerente pesquisou os preços de outros fabricantes e anotou as informações na
tabela a seguir. Complete-a obedecendo ao princípio de proporcionalidade e descubra qual foi
o menor preço pesquisado pelo gerente.
Preço de uma bola
Número de bolas
R$ 6,00
24
R$ 12,00
R$ 4,00
72
R$ 24,00
144
R$ 72,00
Resposta:
9. Para produzir 1 000 m de um cabo telefônico, 24 operários trabalham regularmente durante 6 dias.
Quantos dias serão necessários para produzir 1 250 m de cabo com 10 operários trabalhando?
a) Indique se as grandezas, duas a duas, mantidas as demais constantes, são direta ou inversamente proporcionais.
t'JYBOEPTFPUFNQPEFUSBCBMIPBQSPEVÎÍPEFDBCPTÏ
proporcional ao número de operários.
t'JYBOEPTF B RVBOUJEBEF EF DBCPT P UFNQP EF QSPEVÎÍP Ï
proporcional ao número de operários.
t'JYBOEPTFPOÞNFSPEFPQFSÈSJPTBRVBOUJEBEFEFDBCPTÏ
proporcional ao tempo de produção.
12
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Preencha a tabela a seguir mantendo a proporcionalidade entre as linhas.
Produção de cabos (m)
Número de operários
Tempo de produção (dias)
1 000
24
6
2 000
24
2 000
6
500
6
500
24
500
12
3
12
3
6
1 250
1 250
6
10
LIÇÃO DE CASA
10. Para produzir 180 pias de granito, 15 pessoas trabalham durante 12 dias em uma jornada de
10 horas de trabalho diário. Procurando adequar sua empresa à nova legislação trabalhista, o diretor reduziu a jornada de trabalho de 10 para 8 horas ao dia e contratou mais funcionários. Ao
mesmo tempo, a demanda por pias aumentou, e será necessário aumentar a produção. Nesse
novo contexto, quantos dias serão necessários para produzir 540 pias de granito, contando com
25 pessoas trabalhando 8 horas por dia?
a) Relacione, duas a duas, as grandezas mantidas as demais constantes, e indique o tipo de
proporcionalidade envolvida (direta ou inversa).
13
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Preencha a tabela a seguir e encontre a solução do problema.
Produção de pias
Número de
funcionários
Tempo de
produção (dias)
Número de horas
trabalhadas por dia
180
15
12
10
540
25
8
Resposta:
14
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
RAZÃO E PROPORÇÃO
VOCÊ APRENDEU?
O conceito de razão
1. O que você entende por razão?
2. Procure no dicionário alguns significados para a palavra “razão”.
3. Qual é o significado da palavra “razão” em Matemática?
4. Calcule os resultados das razões a seguir e expresse-os em termos de porcentagem:
a) razão 3 : 150
b) razão 24 : 40
c) razão 4 : 50
d) razão 9 : 125
e) razão 165 : 300
15
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Escala
5. O que é escala? Explique por meio de um exemplo.
© Conexão Editorial
6. O mapa a seguir foi feito na escala 1 : 30 000 000 (lê-se “um para trinta milhões”). Essa notação representa a razão de proporcionalidade entre o desenho e o real, ou seja, cada unidade no
desenho é, na realidade, 30 milhões de vezes maior. Utilizando uma régua e a escala fornecida,
determine:
Brasília
GO
MG
Belo
Horizonte
ES
SP
RJ
São Paulo
Rio de Janeiro
Florianópolis
A
OCE
NT
SC
IC
O
PR
NO
L
AT
Â
N
O
1 : 30 000 000
L
S
Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente para
o São Paulo faz escola.
a) a distância real entre Brasília e Rio de Janeiro;
b) a distância real entre Florianópolis e Brasília.
16
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
Leitura e análise de texto
Velocidade
Em Física, a velocidade é a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posição.
Em nosso cotidiano, a palavra “velocidade” geralmente significa velocidade média, que é a
razão entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetuar esse deslocamento.
Dessa forma, quando nos referimos à velocidade de um carro (80 km/h), ou de
um corredor (4 m/s), estamos nos referindo à sua velocidade média.
O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situações análogas. Por
exemplo: a pulsação ou frequência de batimentos cardíacos exprime a rapidez com que
o coração bate, ou seja, o número de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa é
ter uma pulsação entre 60 e 100 batimentos por minuto.
7. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, resolva as seguintes questões.
a) Qual foi a velocidade média de um automóvel que percorreu 530 km em 6 horas?
Resposta:
b) Qual é a pulsação (batimentos por minuto) de uma pessoa cujo coração bate 12 vezes a cada
10 segundos?
Resposta:
c) Qual é a velocidade de transmissão de dados na internet, em kbps (quilobytes por segundo),
de um computador que leva 30 segundos para baixar um arquivo de 12 megabytes?
(Dica: 1 megabyte 1 000 quilobytes.)
Resposta:
17
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
PESQUISA INDIVIDUAL
8. Pesquise o significado das expressões densidade de um material e densidade
demográfica.
VOCÊ APRENDEU?
9. Com base na pesquisa anterior, resolva as questões a seguir.
a) Sabendo que 300 g de uma substância ocupam um volume de 450 cm3, determine a densidade dessa substância.
Resposta:
b) A população estimada do Estado de São Paulo, em 1o de julho do ano de 2013, era de,
aproximadamentea, 42 304 694 habitantes. Sabendo que a área do Estado é de, aproximadamente, 248 209 km2, calcule sua densidade demográfica.
Resposta:
a
Fonte: Fundação Seade. Disponível em: <http://www.seade.gov.br/produtos/projpop/index.php>. Acesso em: 20 nov. 2013.
18
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
PIB per capita
É a razão entre o valor de todos os bens e serviços produzidos em um país em 1 ano e o
total da população.
10. Resolva as questões a seguir.
a) O PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2012, medido em dólares, foi de aproximadamente US$ 2,253 trilhões para uma população estimada em 198,7 milhões de pessoas.
Determine o PIB per capita brasileiro nesse ano.
Resposta:
b) O PIB da Índia em 2006 foi de US$ 903 bilhões para uma população estimada em 1 bilhão
e 150 milhões de habitantes. Determine o PIB per capita da Índia em 2006.
Resposta:
11. Seu professor vai propor que você discuta com seus colegas se o resultado do PIB per capita
brasileiro obtido na atividade anterior representa, de fato, a condição econômica da população brasileira. Escreva um parágrafo sobre suas conclusões.
19
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Leitura e análise de texto
Probabilidade
A probabilidade é um tipo especial de razão, na qual se compara o número de possibilidades de ocorrência de um evento particular com o número total de possibilidades
relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a probabilidade
1 , ou, ainda,
de obter a face “cara” é de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou __
2
50%. É a razão entre o número de possibilidades de obter “cara” (1) e o número total
de possibilidades, cara ou coroa (2). No lançamento de um dado numerado de 1 a 6,
1 , ou 16,7%.
a probabilidade de obter o número 5 é de uma em seis, ou __
6
VOCÊ APRENDEU?
12. Com base nas informações apresentadas na seção Leitura e análise de texto, resolva as questões
a seguir.
a) No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, qual é a probabilidade de obter um número
par? E um número maior que 4?
Resposta:
b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual é a probabilidade de obter duas coroas?
Resposta:
20
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) Uma urna contém 7 bolas, sendo 3 vermelhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso,
qual é a probabilidade de que ela seja vermelha? E de que ela seja preta?
Resposta:
d) Um baralho contém 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas e
paus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual é a probabilidade de se obter uma carta
de copas? E de se obter um valete?
Resposta:
LIÇÃO DE CASA
13. Para cada situação, preencha a tabela e calcule a razão entre as grandezas envolvidas. Em seguida, verifique se há proporcionalidade entre elas.
a) Se 5 bolas de futebol custam R$ 100,00, então 7 bolas custarão R$ 140,00.
Número de bolas
Valor pago em reais
Resposta:
21
Razão (preço por bola)
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Um automóvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele terá percorrido 160 km.
Distância percorrida em km
Tempo em horas
Razão (velocidade)
Resposta:
c) Um supermercado vende 4 rolos de papel higiênico por R$ 3,00 e 12 rolos por R$ 8,00.
Número de rolos
Valor pago em reais
Razão (preço por rolo)
Resposta:
d) Em uma receita de milk-shake, recomenda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para
2 xícaras e meia de leite (1 xícara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar
7 bolas de sorvete.
Bolas de sorvete
Número de xícaras de leite
Resposta:
22
Razão (bolas por xícara)
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por R$ 90,00.
Quantidade de dólares
Valor em reais
Razão (reais por dólar)
Resposta:
Leitura e análise de texto
O Homem vitruviano e as razões no corpo humano
Leonardo da Vinci foi uma das figuras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na
Itália, no século XV, e criou algumas das obras mais famosas de todos os tempos, como
a Mona Lisa, A última ceia e A virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais
diversas áreas: pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu,
como ninguém, aproximar a ciência da arte. Leonardo também produziu um estudo
sobre as proporções do corpo humano, baseado no tratado feito pelo arquiteto romano
Marcus Vitruvius, que, no século I a C., havia descrito as proporções ideais do corpo humano, segundo um padrão de harmonia matemática. Assim como muitos outros artistas,
Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de
anotação. No meio dessas anotações, desenhou a figura de um homem dentro de um círculo e de um quadrado. Essa figura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um
de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o espírito renascentista. O desenho de
Da Vinci evidenciou a retomada e a valorização de princípios da tradição greco-latina, tais
como beleza, harmonia, equilíbrio e proporção. Essa obra atualmente faz parte da coleção
das Gallerie dell’Accademia (Galerias da Academia), em Veneza, na Itália.
Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gravura do Homem vitruviano.
“[...] O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura [...]; desde o
fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura
dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo até o
ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do
homem. [...] O pé é um sétimo do homem [...]; a distância entre o fundo do queixo e o nariz,
e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma, e é, como a orelha, um terço da cara.”
Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/matematico.htm>.
Acesso em: 20 nov. 2013.
23
© Bettmann/Corbis/Latinstock
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
24
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
14. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, preencha a tabela a seguir com
as razões entre as partes do corpo humano descritas no texto de Leonardo da Vinci.
Razão entre
Longitude dos braços e altura
Fração
Decimal
%
1
__
1,0
100
1
Altura da cabeça e altura
Largura dos ombros e altura
Distância do cotovelo às axilas e altura
Comprimento da mão e altura
Comprimento do pé e altura
Distância do queixo ao nariz e face
Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face
15. Agora, vamos verificar se as razões descritas por Leonardo da Vinci no texto anterior realmente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, você deverá medir o
comprimento de cada parte do corpo do Homem vitruviano, usando uma régua milimetrada.
Em seguida, calcule as razões entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da face.
Registre os resultados obtidos na tabela, em porcentagem.
25
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Medidas
em cm
Partes do corpo
Em relação
à altura
Em relação
à face
Altura do homem
Longitude dos braços
Altura da cabeça
Largura dos ombros
Do cotovelo às axilas
Comprimento da mão
Comprimento do pé
Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos)
Do queixo ao nariz
Da sobrancelha à raiz dos cabelos
LIÇÃO DE CASA
16. Compare as razões obtidas por meio das medidas (atividade 15) com aquelas descritas no texto
de Da Vinci (atividade 14). Os resultados ficaram próximos? Houve diferenças? O que poderia
explicar as diferenças observadas (se houver)?
26
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
RAZÕES NA GEOMETRIA
VOCÊ APRENDEU?
Ampliação de figuras
© Conexão Editorial
1. A figura a seguir mostra o desenho de uma caravela representado em uma malha quadriculada.
a) Considerando como unidade de medida os lados dos quadrados, determine o comprimento
e a altura da caravela.
Resposta:
II.
© Conexão Editorial
IV.
© Conexão Editorial
III.
© Conexão Editorial
I.
© Conexão Editorial
b) Qual das figuras a seguir corresponde a uma ampliação “proporcional” da caravela original?
27
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) Qual foi a razão de ampliação utilizada?
Resposta:
Proporcionalidade no quadrado
2. Na malha quadriculada a seguir, desenhe 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm,
respectivamente. Em cada um deles, trace uma diagonal ligando dois vértices opostos.
Meça com uma régua o comprimento das diagonais obtidas e registre os valores na tabela.
Em seguida, calcule a razão entre as medidas da diagonal e do lado de cada quadrado.
Quadrado
Lado (κ) em cm
Q1
2
Q2
3
Q3
6
Diagonal (d) em cm
a) Duplicando a medida do lado, a medida da diagonal também duplica?
28
d
Razão κ
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) E triplicando a medida do lado, a medida da diagonal também triplica?
c) Há proporcionalidade entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado?
d) A razão obtida entre
__ da diagonal e do lado desses quadrados se aproxima de qual
__ __as medidas
®
dos números: 2 , ®3 ou ®5 ?
(Observação: você pode utilizar a calculadora para obter uma aproximação.)
LIÇÃO DE CASA
3. Tomando como base a atividade 2, apresentada na seção Você aprendeu?, preencha a seguinte
tabela e responda às questões:
Quadrado
Lado κ
(cm)
Perímetro P
(cm)
Área A
(cm2)
P
Razão __
κ
Q1
Q2
Q3
a) Há proporcionalidade entre a medida do lado e o perímetro do quadrado?
b) E entre a medida do lado do quadrado e sua área?
c) O que acontece com a área do quadrado quando duplicamos seu lado?
d) E quando triplicamos?
29
A
Razão __
κ
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
Ângulos e triângulos
4. Na figura a seguir, cada um dos ângulos do triângulo retângulo foi associado a seu lado oposto.
Esse lado é o cateto oposto ao ângulo indicado. Por exemplo, o ângulo de 30o tem como
cateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcionalidade entre os ângulos
assinalados e os catetos opostos correspondentes.
D
a) Registre a medida dos catetos AB, AC e AD na tabela.
Ângulos
Catetos (cm)
15o
30o
60o
C
60o
B
30o
O
15o
A
º
b) Duplicando o ângulo de 30 , o cateto oposto aumenta na mesma proporção? Verifique tomando por base os dados da tabela.
c) Triplicando o ângulo de 30º, o que acontece com a medida do cateto oposto?
d) As medidas dos ângulos são diretamente proporcionais às medidas dos catetos opostos a eles?
30
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Atividade para investigação!
Proporcionalidade na circunferência
Uma das características mais importantes de uma circunferência é a equidistância de
seus pontos em relação ao centro. Por essa razão, ela é considerada a figura geométrica mais
perfeita em termos de simetria. Além disso, qualquer que seja a circunferência, sua forma é
sempre a mesma. Uma circunferência maior é uma ampliação perfeita de uma menor. Será,
então, que há proporcionalidade entre suas partes? É o que vamos verificar a seguir.
Material necessário: objetos circulares, por exemplo, um CD, uma lata de leite condensado, uma moeda etc.; fita métrica; régua; compasso; folha de papel sulfite.
Etapas:
I. Meça o comprimento da circunferência do objeto usando a fita métrica.
II. Coloque o objeto sobre o papel sulfite e desenhe o seu contorno (circunferência).
© Conexão Editorial
Exemplo:
p
III. Marque três pontos quaisquer, A, B e C, na circunferência.
B
C
A
31
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
IV. Usando o compasso, trace a mediatriz entre os pontos A e B e entre os pontos B e C.
B
C
A
V. A interseção das duas mediatrizes é o centro da circunferência. Desenhe o diâmetro da circunferência e meça seu comprimento com a régua.
32
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
5. Registre as medidas do comprimento da circunferência (C) e do diâmetro (D) do objeto
circular na tabela. Em seguida, calcule a razão entre C e D. Registre também as medidas e
as razões obtidas por quatro colegas que tenham escolhido um objeto diferente do seu.
Objeto circular
Comprimento C (cm)
Diâmetro D (cm)
C
Razão ___
D
Média
a) A medida do comprimento e do diâmetro das circunferências variou de objeto para objeto?
b) E o valor da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência?
c) Calcule a média das razões obtidas e registre-a na tabela anterior.
d) Para uma circunferência perfeita, o valor da razão entre seu comprimento e seu diâmetro se aproxima de um valor constante, que vale aproximadamente 3,14. A essa razão foi dado o nome de
pi, representado pela letra do alfabeto grego π. O valor da média que você calculou ficou acima,
igual ou abaixo do valor de π? Se não foi igual, a que você atribuiria essa diferença?
LIÇÃO DE CASA
6. Na malha quadriculada a seguir, desenhe três circunferências de raios iguais a 1 cm, 2 cm e
3 cm, respectivamente, e trace seus diâmetros. Com o auxílio de uma fita métrica ou um
barbante e uma régua, meça o comprimento C de cada circunferência e de seu diâmetro D.
Registre os valores obtidos na tabela e calcule a razão entre C e D.
33
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Considere que cada unidade da malha possui 1 cm de lado.
Circunferência
Comprimento C (cm)
C1
C2
C3
34
Diâmetro D (cm)
C
Razão ___
D
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
a) O que acontece quando duplicamos a medida do diâmetro da circunferência de 2 cm
para 4 cm?
b) E quando triplicamos o diâmetro da circunferência de 2 cm para 6 cm?
c) Calcule a razão entre o comprimento e o diâmetro de cada circunferência.
d) Existe proporcionalidade entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro?
VOCÊ APRENDEU?
7. Se a razão entre o comprimento da circunferência (C) e seu diâmetro (D) é constante e vale,
aproximadamente, 3,1, isso significa que podemos calcular C multiplicando D por esse
valor. Ou seja, C = 3,1 u D. Da mesma forma, conhecendo o comprimento C de uma
circunferência, podemos obter seu diâmetro dividindo C por 3,1. Com base nessas ideias,
resolva os seguintes problemas.
a) Uma pista de corrida foi construída na forma de um círculo. Sabendo-se que o diâmetro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira.
b) Para fazer uma circunferência, Marcos usou o compasso com abertura de 5 cm (raio).
Quanto mede o comprimento dessa circunferência?
35
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) Usando um barbante, mediu-se o comprimento da circunferência de uma lata cilíndrica. O
resultado dessa medida foi 62 cm. Qual é o diâmetro dessa lata?
d) O aro de uma bicicleta mede aproximadamente 40 cm. A espessura do pneu é de aproximadamente 3 cm. Qual é o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual é a distância que essa
bicicleta deve percorrer em 10 pedaladas?
e) O diâmetro de uma circunferência mede 10 cm. Qual é o comprimento aproximado dessa
circunferência?
36
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Leitura e análise de texto
A razão áurea
Na Matemática, existem alguns números que são especiais e, por isso, recebem um
nome próprio. É o caso do número pi (π), que vale aproximadamente 3,14159... e representa a razão constante existente entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro.
Dessa forma, em qualquer cálculo que envolva circunferências, a razão π está presente. Um
aspecto surpreendente desse número é o fato de que ele possui infinitas casas decimais, sem
nenhum padrão aparente de repetição. Por essa razão, π é classificado como um número
irracional, isto é, que não pode ser gerado por uma divisão entre inteiros.
© Gavin Kingcome/SPL/Latinstock
Outro número especial na Matemática, embora menos conhecido, é o fi, representado
pela letra grega q. Ele vale aproximadamente 1,618..., e, assim como o π, também
é irracional. O q decorre de uma razão muito especial, que pode ser encontrada nas mais
diferentes situações, tanto na natureza (no formato de uma concha, na espiral de uma margarida, no crescimento dos galhos de uma árvore) como nas construções humanas e suas artes
(o Parthenon grego, a sede da ONU em Nova Iorque, alguns quadros de Leonardo da Vinci
etc.). Por isso, essa razão também foi chamada de razão áurea ou proporção divina.
Concha Nautilus.
Lado maior – b
Lado maior – a
37
© Gianni Dagli Orti/Corbis/Latinstock
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Leonardo da Vinci, Mona Lisa, 1503-1507, óleo sobre
madeira, Museu do Louvre.
A palavra “proporção” pode ser entendida de diferentes maneiras. No uso comum,
proporção pode significar a relação comparativa entre duas quantidades, como no caso
da receita de um suco concentrado (uma parte de suco para três partes de água). Também pode significar uma relação harmoniosa ou agradável entre diferentes partes. Por
exemplo, no caso de um arranjo de flores benfeito ou em uma construção de uma casa.
Na Matemática, o termo “proporção” refere-se à igualdade entre duas razões: oito está
para seis assim como quatro está para três. A razão áurea é especial porque mistura, de
alguma forma, essas três ocorrências.
Podemos definir a razão áurea da seguinte maneira: se dividirmos um segmento (a) em
duas partes, uma maior (b) e outra menor (a – b), a razão entre o segmento inteiro (a) e
a maior parte (b) deve ser igual à razão entre esta maior parte (b) e a menor parte (a – b).
Todo (a)
todo ______
maior ‰ __
a _____
b
_____
maior
Maior parte (b)
menor
b
a–b
Menor parte (a – b)
Essa proporção só acontece quando as razões valem, aproximadamente, 1,618, ou seja,
o valor de fi.
38
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
PARA SABER MAIS
t %*4/&:Donald no país da matemágica. Fábulas, v. 3 [DVD]. EUA: Walt Disney. 1959.
t %0$;* ( O poder dos limites: harmonias e proporções na natureza, arte e
arquitetura. São Paulo: Mercuryo, 1990.
t -¶7*0.ÈSJPRazão áurea: a história de fi, um número surpreendente. Rio de
Janeiro: Record, 2006.
t O número de ouro. Série Arte & Matemática [DVD2]. São Paulo: TV Escola/MEC-TV
Cultura 2001.
VOCÊ APRENDEU?
8. A figura a seguir é chamada de retângulo áureo, pois a razão entre seus lados vale, aproximadamente, 1,618. Se tirarmos desse retângulo um quadrado de lado igual ao lado menor do
retângulo, obteremos outro retângulo áureo, cujos lados também estão na razão áurea. Isso
pode ser feito continuamente, como mostram as figuras a seguir:
1o)
2o)
3o)
4o)
39
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Tire as medidas dos lados dos quatro retângulos assinalados nas figuras e registre-as na tabela.
Em seguida, resolva as questões propostas.
a) Calcule a razão aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cada
retângulo.
b) Calcule a média entre as razões obtidas.
Retângulo
Lado maior (cm)
Lado menor (cm)
Razão
1o
2o
3o
4o
Média
c) A média ficou próxima do valor da razão áurea?
Resposta:
d) Há proporcionalidade entre os retângulos destacados na cor vermelha?
Resposta:
Construção geométrica
9. A espiral áurea ou logarítmica é uma espiral que cresce segundo a razão áurea. O formato da
concha Nautilus (apresentada na seção Leitura e análise de texto) aproxima-se de uma espiral
desse tipo. A cada quarto de volta, a curva aumenta na razão de 1,618, aproximadamente. Essa
espiral pode ser construída com base no retângulo áureo, como veremos a seguir.
Etapas:
t 6TBOEPPDPNQBTTPUSBDFVNRVBSUPEFDJSDVOGFSÐODJBOPRVBESBEPNBJPSËEJSFJUB
DPN
centro no ponto A e raio igual ao lado desse quadrado.
t 'BÎBPNFTNPDPNPTFHVOEPRVBESBEPNBJPSFNDJNBËFTRVFSEB
DPNDFOUSPOPQPOUPB,
de modo a dar continuidade ao arco anterior.
t 3FQJUBFTTBDPOTUSVÎÍPQBSBUPEPTPTRVBESBEPTJOUFSOPTBPSFUÉOHVMP0SFTVMUBEPëOBMÏB
espiral áurea.
40
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
C
G
D
B
F
E
A
41
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
GRÁFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADE
VOCÊ APRENDEU?
1. As circunferências a seguir foram divididas em 24 arcos de 1 cm cada. Em cada uma delas, foi
marcado um determinado ângulo central: 30o, 45o, 90o e 150o.
7
6
7
5
8
9
10
30o
12
2
11
1
45o
23
0
23
13
22
22
14
21
17
7
18
6
17
5
7
3
9
90o
11
12
1
0
23
13
22
14
2
12
23
13
3
150o
11
0
22
14
21
21
15
20
18
5
10
1
16
6
19
4
9
2
15
18
8
4
17
20
16
19
8
10
21
15
20
16
1
12
0
13
3
10
2
14
4
9
3
15
5
8
4
11
6
20
16
17
19
42
18
19
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
a) Registre na tabela a medida dos ângulos centrais e as medidas dos arcos correspondentes.
Ângulo central
Medida dos arcos (cm)
b) Há proporcionalidade direta entre a medida dos arcos e os ângulos correspondentes?
c) Qual deve ser a medida do arco correspondente ao ângulo de 55o?
d) Calcule o ângulo central que corresponde ao arco de comprimento 7,5 cm.
O relógio e a proporcionalidade
© Conexão Editorial
2. O relógio da figura a seguir está marcando 1 hora. Com base em seus conhecimentos sobre
ângulos e proporcionalidade, determine:
a) Quantos graus o ponteiro das horas se deslocou do meio-dia até 1 hora?
Resposta:
43
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Houve deslocamento do ponteiro dos minutos? Se sim, de quantos graus?
Resposta:
Agora, consideremos que o relógio marca 4 horas. Passados 10 minutos, ambos os ponteiros
terão se deslocado do local original. Pergunta-se:
c) Quantos graus o ponteiro dos minutos se deslocou?
Resposta:
d) E o das horas?
Resposta:
e) Desenhe, nos relógios a seguir, os ponteiros das horas e dos minutos nos seguintes horários:
(Observação: lembre-se de que o ponteiro das horas se desloca continuamente e de forma proporcional ao tempo decorrido.)
I. 12:30
II. 12:10
12
12
1
11
2
10
2
10
3
9
3
9
4
8
4
8
5
7
1
11
5
7
6
6
III. 2:00
IV. 2:30
12
12
1
11
2
10
4
8
5
6
3
9
4
7
2
10
3
9
8
1
11
5
7
44
6
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
f ) Preencha a tabela com os graus correspondentes aos horários marcados nos relógios, tendo
como referência os ponteiros das horas e dos minutos às 12 horas em ponto.
Ângulo em relação às 12 horas
Horário
Tempo decorrido
1:00
60 minutos
12:30
30 minutos
12:10
10 minutos
2:00
120 minutos
2:30
150 minutos
Ponteiro das horas
Ponteiro dos minutos
g) Quantos graus o ponteiro dos minutos se desloca em 1 minuto?
E o das horas?
LIÇÃO DE CASA
3. Represente os horários nos relógios e calcule a medida dos ângulos formados pelos ponteiros
das horas e dos minutos em relação às 12:00.
a) 4:30
b) 3:20
11
12
1
11
2
10
7
6
2
3
9
4
8
1
10
3
9
12
4
8
5
7
6
Ponteiro das horas:
Ponteiro das horas:
Ponteiro dos minutos:
Ponteiro dos minutos:
45
5
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) 1:40
d) 5:15
11
12
1
11
2
10
7
3
4
8
5
6
2
9
4
8
1
10
3
9
12
7
5
6
Ponteiro das horas:
Ponteiro das horas:
Ponteiro dos minutos:
Ponteiro dos minutos:
VOCÊ APRENDEU?
4. Uma pesquisa foi feita com 420 pessoas para saber qual esporte elas mais praticavam. Os resultados encontram-se na tabela a seguir.
Esporte praticado
Futebol
Vôlei
Basquete
Corrida
Total
Número de pessoas
210
105
63
42
420
% em relação ao total
100
a) Calcule a porcentagem de cada esporte escolhido em relação ao total de entrevistados.
b) Qual dos gráficos de setores a seguir representa melhor os dados da tabela? Justifique sua
resposta.
Gráfico 1
Gráfico 2
46
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Gráfico 3
Gráfico 4
c) Que cor corresponde a cada um dos esportes?
5. O resultado de uma pesquisa feita com 80 pessoas sobre a preferência de um local de viagem
gerou o seguinte gráfico:
Outros
Cidades
históricas
Praia
Montanha
a) usando um transferidor, meça os ângulos centrais de cada setor circular representado no
gráfico e anote-os na tabela.
b) calcule as porcentagens que representam a razão entre cada ângulo e 360o. Anote-as na tabela.
c) calcule o número de pessoas que escolheram cada tipo de viagem. Anote-o na tabela.
Local
Praia
Montanha
Cidades históricas
Outros
Total
Ângulo central
47
%
Número de pessoas
100,0
80
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
6. Para saber qual era o programa cultural mais apreciado pelos habitantes de uma cidade, foi feita
uma pesquisa, cujos resultados (em porcentagem) estão representados na tabela a seguir.
Programa preferido
%
Cinema
37,5
Música
25,0
Teatro
16,7
Dança
12,5
Outros
8,3
Total
100,0
Ângulo central
a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcentagens expressas na tabela.
b) Usando a circunferência a seguir, que foi dividida em 24 setores de 15o cada um, represente
os resultados da pesquisa por meio de um gráfico de setores.
(Dica: faça as aproximações dos ângulos centrais para valores inteiros.)
48
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
7. Uma agência de viagens fez uma pesquisa sobre a nacionalidade das pessoas que viajaram pela
América Latina. A tabela a seguir mostra as porcentagens de turistas classificados por nacionalidade.
a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcentagens expressas na tabela.
Nacionalidade
%
Brasileiros
45
Argentinos
25
Chilenos
20
Outros
10
Total
100
Ângulo central
b) Usando compasso e transferidor, represente as porcentagens da tabela em um gráfico de
setores.
49
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
VOCÊ APRENDEU?
1. Observe com atenção a sequência a seguir:
Qual é o próximo símbolo que deve ser colocado na sequência para que seja mantido seu padrão?
I.
II.
III.
IV.
V.
a) O símbolo I.
b) O símbolo II.
c) Os símbolos II ou III.
d) Os símbolos I ou IV.
e) Os símbolos II ou IV.
2. Por que é possível escolher mais de um símbolo para continuar o padrão da sequência?
3. Desenhe uma sequência usando como padrão o símbolo da figura III, apresentado na atividade 1.
4. Desenhe os 7 primeiros símbolos da sequência apresentada na atividade 1, numerando-os conforme sua posição.
50
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
a) Qual símbolo deve ser colocado na 20a posição da sequência? E na posição 573?
b) Escreva uma regra que permita identificar exatamente o símbolo correspondente a cada
uma das posições da sequência.
LIÇÃO DE CASA
5. Escreva uma regra de identificação dos símbolos para cada uma das sequências a seguir.
a) Sequência 1
b) Sequência 2
c) Sequência 3
51
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
d) Sequência 4
6. Tendo como base as sequências apresentadas na atividade anterior, desenhe:
a) a figura que ocupa a 20a posição na Sequência 1;
b) a figura que ocupa a 73a posição na Sequência 2;
c) a figura que ocupa a 123a posição na Sequência 3;
d) a figura que ocupa a 344a posição na Sequência 4.
52
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
7. Observe a sequência a seguir e responda às perguntas.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a) Qual é a próxima figura da sequência?
b) Como podemos descrever com palavras as posições em que encontramos a figura
?
c) Como podemos descrever em palavras as posições onde encontramos as figuras
e
,
?
d) Qual é a figura que ocupa a posição 263 dessa sequência?
8. Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em
180 regiões e estabeleceu o seguinte calendário de entrega:
2a feira
3a feira
4a feira
5a feira
6a feira
Sábado
Região 1
Região 2
Região 3
Região 4
Região 5
Região 6
Região 7
Região 8
Região 9
Região 10
Região 11
Região 12
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
53
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
a) Cite cinco regiões da cidade que recebem gás às sextas-feiras.
b) Que regiões da cidade recebem gás aos sábados?
c) Em que dia da semana a região 180 tem entrega de gás? E a região 129?
d) Como podemos descrever, em palavras, as regiões nas quais a entrega de gás acontece às
quintas-feiras?
9. Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de repetição do
algarismo das unidades e, em seguida, responda às perguntas.
70
71
1
7
72
73
74
75
76
77
a) Quais são os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem?
b) Explique por que esse padrão acontece.
c) Para quais expoentes da potência de 7 os resultados serão números terminados em 1?
54
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
d) Para quais expoentes da potência de 7 os resultados serão números terminados em 7?
e) Qual é o algarismo da unidade do resultado da potência 7179?
Desafio!
10. Qual é o algarismo da unidade do resultado da expressão numérica 7100 + 7150 + 5?
Resposta:
VOCÊ APRENDEU?
11. Observe a sequência de bolinhas e responda às perguntas.
1
2
3
4
a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar as posições 5 e 6.
b) Preencha a tabela, associando o número de bolinhas com a posição da figura.
Posição
1
2
3
Número de bolinhas
55
4
5
6
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) Quantas bolinhas terá a figura que ocupa a 10a posição?
d) E a figura que ocupa a 45a posição?
e) Descreva, em palavras, o padrão de formação dessa sequência.
12. Considere, agora, a mesma sequência da atividade anterior representada por bolinhas coloridas.
1
2
3
4
5
a) Que lógica foi utilizada para colorir as bolinhas?
b) Qual é a única bolinha que não forma par e está presente em todas as figuras?
c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém a figura 4? E a figura 5?
d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor haverá na figura 18? E na figura 31?
e) Qual é a figura da sequência que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas bolinhas essa figura possui no total?
56
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
f ) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula que determine
o número N de bolinhas de cada figura.
LIÇÃO DE CASA
13. Em cada uma das sequências a seguir, faça o que se pede.
I. Desenhe a próxima figura da sequência.
II. Calcule o número de bolinhas das figuras que ocupam a 5a e a 20a posição.
III. Escreva uma fórmula que relacione o número N de bolinhas com a posição P que ocupa a
figura na sequência.
Sequência 1
II. 5a:
/ 20a:
III. N =
1
2
3
4
Sequência 2
II. 5a:
III. N =
1
2
3
4
57
/ 20a:
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Sequência 3
II. 5a:
/ 20a:
III. N =
1
2
3
4
Sequência 4
II. 5a:
1
2
3
/ 20a:
III. N =
4
Sequência 5
II. 5a:
1
2
3
/ 20a:
III. N =
4
Sequência 6
II. 5a:
1
2
3
III. N =
4
58
/ 20a:
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
EQUAÇÕES E FÓRMULAS
PESQUISA INDIVIDUAL
1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no espaço a seguir e escreva um parágrafo sobre o que você sabe a respeito delas (para que são usadas,
como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm etc.).
Dicas de pesquisa: você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros escolares
(Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet.
Fórmula 1:
Fórmula 2:
VOCÊ APRENDEU?
Fórmulas na Geometria
2. Vamos partir de uma situação concreta de cálculo do perímetro de um retângulo.
a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentença
matemática correspondente a essa operação.
6 cm
4 cm
P=
59
=
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm?
=
P=
c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, representando o comprimento e a largura, respectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse retângulo.
=
P=
d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do retângulo.
Usando essa fórmula, calcule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a tem 8,3 cm
e a largura b, 4,1 cm.
e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu perímetro vale 22 m,
descubra qual é o seu comprimento.
f ) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retângulo para
que seu perímetro seja igual a 36 cm.
LIÇÃO DE CASA
A
3. A fórmula para o cálculo da área de um triângulo
ℓuh , onde A representa a medida
qualquer é A = _____
2
da área; ℓ, a medida de um lado; e h, a medida da
altura do triângulo em relação a esse lado. Considere
o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, representado ao lado.
60
c
B
b
a
C
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área para
um triângulo retângulo de lados a, b e c?
b) Utilizando a fórmula do item anterior, calcule a área de um triângulo retângulo, cujos catetos medem, respectivamente, 3 cm e 4 cm
c) Use a fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm.
aub para
d) A área de um triângulo retângulo é conhecida e igual a 144 cm2. Use a fórmula A = _____
2
descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse
triângulo.
I. 12 cm e 25 cm.
II. 14 cm e 24 cm.
III. 16 cm e 18 cm.
IV. 17 cm e 17 cm.
e) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm² e que um dos catetos mede 10 cm,
determine a medida do outro cateto.
61
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
Fórmulas de média aritmética
4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática.
a) Calcule a média aritmética das notas obtidas.
b) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b) de dois valores quaisquer,
representados pelas letras a e b.
c) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b, c) de três valores quaisquer,
representados pelas letras a, b e c.
d) Use a fórmula e calcule a média aritmética dos números 19, 24 e 35.
e) Um aluno obteve notas 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser
realizada, qual nota ele deve obter para que a média aritmética das três provas seja igual a 6?
62
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Fórmulas na Economia
PESQUISA INDIVIDUAL
5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de Renda, tendo como base as seguintes perguntas:
O que são os impostos? Quem os arrecada? Para onde vai o dinheiro arrecadado? O que é o
Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a seguir.
Leitura e análise de texto
Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda?
A “mordida do leão” dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta
onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma
parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança
e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas
qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do
Adolescente.
CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época.
Disponível em: <http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/
0,,ERT29453-15201-29453-3934,00.html>. Acesso em: 4 dez. 2013.
63
O surgimento do Leão
No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou
uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de
Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como
símbolo da ação fiscalizadora da Receita Federal e, em especial,
do imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas,
mesmo assim, a campanha foi lançada.
© Dorling Kindersley/Getty Images
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
A escolha do leão levou em consideração algumas de suas características:
1. É o rei dos animais, mas não ataca sem avisar;
2. É justo;
3. É leal;
4. É manso, mas não é bobo.
A campanha resultou em uma identificação pela opinião pública do leão com a Receita
Federal e, em especial, com o Imposto de Renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não use
a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos contribuintes.
Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/curiosidades/
curiosidades.asp#surgimentoLeao>. Acesso em: 20 nov. 2013.
6. Explique o significado da expressão “mordida do leão”, que aparece na matéria apresentada na
seção Leitura e análise de texto.
VOCÊ APRENDEU?
A fórmula do Imposto de Renda
7. A tabela a seguir mostra o cálculo que foi realizado para a cobrança do Imposto de Renda no
Brasil (em 2013). Ela informa a porcentagem cobrada de cada faixa de rendimento (salários,
aluguéis e outras remunerações). Veja que até determinado valor o contribuinte é isento, isto é,
não precisa pagar o Imposto de Renda. Além disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do
imposto calculado.
64
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Tabela progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Física
para o exercício de 2014, ano-calendário de 2013
Base de cálculo
mensal em R$
Alíquota
%
Parcela a deduzir do
imposto em R$
Até 1 710,78
–
–
De 1 710,79 até 2 563,91
7,5
128,31
De 2 563,92 até 3 418,59
15,0
320,60
De 3 418,60 até 4 271,59
22,5
577,00
Acima de 4 271,59
27,5
790,58
Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/contribfont2012a2015.htm>.
Acesso em: 9 dez. 2013.
a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 2 100,00 de rendimento
mensal.
b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 7,5%. Represente
o imposto a ser pago pela letra I e a remuneração pela letra R.
c) Faça o mesmo para a alíquota de 15%.
65
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
d) Faça o mesmo para a alíquota de 22,5%.
e) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%.
f ) Calcule o valor do Imposto de Renda a ser pago para as seguintes remunerações:
I. R$ 2 500,00
II. R$ 4 300,00
III. R$ 6 000,00
8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior.
a) Calcule a porcentagem efetiva de imposto cobrado em cada caso:
t Remuneração = R$ 2 500,00 A Imposto = R$
Imposto
A ___________ =
Remuneração
%
t Remuneração = R$ 4 300,00 A Imposto = R$
Imposto
A ____________ =
Remuneração
%
t Remuneração = R$ 6 000,00 A Imposto = R$
Imposto
A ____________ =
Remuneração
%
b) O que você pode concluir com base nesses resultados?
66
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) As remunerações de R$ 4 300,00 e R$ 6 000,00 estão sujeitas à mesma alíquota de imposto
(27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada não é a mesma. Qual é a razão
para essa diferença?
Leitura e análise de texto
Fórmula relacionada à saúde
O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilogramas de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido
pela Organização Mundial da Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a
proporção saudável entre massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador
do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso
(subnutrição ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindop
-se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como mostra a fórmula: I = __2 , onde p
a
é o peso, em quilograma, e a é a altura, em metros.
A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o
valor do IMC.
Classificação
IMC (kg/m²)
Magreza severa
Menor que 16
Abaixo do peso
Menor que 18,5
Peso normal
Entre 18,5 e 24,99
Sobrepeso/pré-obesidade
Entre 25,0 e 29,99
Obesidade
Entre 30,0 e 39,99
Obesidade de alto grau
Maior que 40
Fonte dos dados: adaptado da OMS. Disponível em: <http://www.who.int>. Acesso em: 20 nov. 2013.
Observação!
Usamos comumente a palavra “peso” para nos referir à massa de uma pessoa, embora,
na Física, tais termos possuam significados distintos.
67
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
9. Com base nos dados fornecidos na tabela apresentada na seção anterior, resolva as questões a seguir.
(Dica: para efetuar os cálculos, você poderá usar a calculadora.)
a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg está em que categoria da tabela?
Resposta:
b) Os resultados a seguir referem-se às medidas de peso e altura de um grupo de adultos.
Calcule o IMC para cada pessoa e classifique sua condição, conforme a tabela fornecida na
seção anterior.
t Pessoa A: 72 kg e 1,72 m –
t Pessoa B: 84 kg e 1,77 m –
t Pessoa C: 54 kg e 1,60 m –
t Pessoa D: 60 kg e 1,82 m –
c) Qual é o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar dentro da categoria de peso normal segundo a tabela?
(Dica: calcule o peso para um IMC igual a 25. A pessoa deverá ter um peso menor que o
obtido nesse cálculo.)
Resposta:
68
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Leitura e análise de texto
Fórmulas da Física
Uma das fórmulas mais conhecidas na Física é a que relaciona a distância aproximada (d),
em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em segundos, de queda.
d = 5 u t2
Os resultados obtidos por meio dessa fórmula são válidos para objetos em queda livre
que estejam próximos à superfície da Terra, desprezando-se os efeitos da resistência do ar.
A partir dessa fórmula, podemos determinar, com relativa precisão, a distância em metros
que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, partindo do repouso, em função da aceleração provocada pela gravidade terrestre.
VOCÊ APRENDEU?
© Conexão Editorial
10. Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demorou 7 segundos para atingir a água. Use
a fórmula citada na seção Leitura e análise de texto e calcule a altura aproximada dessa ponte.
Resposta:
69
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
11. Um paraquedista saltou de um avião a 3 500 metros de altura. Considerando desprezível a resistência do ar, calcule a distância percorrida em queda livre pelo esportista a cada segundo, nos
primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com os valores da distância percorrida (d),
em metros.
Tempo t (segundos)
1
2
3
4
5
Distância d (metros)
© Conexão Editorial
a) Assinale, no desenho, as distâncias percorridas pelo paraquedista a cada segundo de queda.
0s
1s
2s
3s
4s
5s
b) Há proporcionalidade direta entre a distância percorrida e o tempo de queda livre? Justifique.
c) O paraquedista deve abrir seu paraquedas quando estiver a uma altura de 1 500 metros do
solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3 500 metros de altura, determine o tempo de queda
livre antes que ele acione o paraquedas.
Resposta:
70
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
EQUAÇÕES, PERGUNTAS E BALANÇAS
VOCÊ APRENDEU?
1. Escreva a equação que representa o problema e descubra a resposta, se houver.
a) Qual é o número cujo dobro somado a 5 resulta em 19?
Solução:
Equação:
b) O triplo de um número menos 12 é igual a –3. Qual é esse número?
Solução:
Equação:
c) Qual é o número cuja quarta parte menos 5 é igual a zero?
Solução:
Equação:
d) O quadrado de um número natural acrescido de 19 é igual a 100. Qual é esse número?
Solução:
Equação:
2. Escreva uma pergunta que represente a equação dada. Em seguida, determine o valor de x.
a) 3x + 12 = 21
71
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
x – 4=6
b) __
3
c) 2 u (x + 1) = 12 (x é um número natural)
d) 2x + 1 = 12
x–1 – 3=0
e) _____
4
f ) 5 ∙ (2x + 4) = 30
g) 5 ∙ 2x + 4 = 30
3. Resolva as seguintes equações por meio do raciocínio aritmético:
a) 3x + 12 = 21
b)
x
–4=6
3
72
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
c) 2(x + 1) = 12
d) 2x + 1 = 12
e)
(x – 1)
–3=0
4
f ) 5 ∙ (2x + 4) = 30
g) 5 ∙ 2x + 4 = 30
O equilíbrio na balança e a igualdade na equação
400 400 x
73
© Conexão Editorial
4. Sabendo que a balança de pratos está em equilíbrio e a massa do melão vale 1,15 kg, descubra
a massa da peça desconhecida.
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
5. Nesta atividade, representaremos a massa de cada abacaxi pela letra x, e a massa de cada pera
pela letra y. Consideraremos, então, que os dois abacaxis têm a mesma massa, assim como as
duas peras. Em cada uma das situações, represente o equilíbrio da balança por meio de uma
equação. Em seguida, escreva uma conclusão sobre as equações obtidas.
© Conexão Editorial
a) Se trocarmos os objetos de um prato de uma balança para o outro, o equilíbrio se mantém.
5 kg
5 kg
1 kg
1 kg
Conclusão:
b) Acrescentando-se um mesmo peso em ambos os pratos, o equilíbrio da balança não se altera
(admitindo-se que as peras têm pesos iguais).
2 kg
2 kg
Conclusão:
74
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
1 kg
1 kg
1 kg
1 kg
1 kg
1 kg
© Conexão Editorial
c) Na balança, se retirarmos o mesmo peso de ambos os pratos, o equilíbrio permanece inalterado.
Conclusão:
d) Se juntarmos os elementos dos pratos de duas balanças em equilíbrio em uma só balança,
como mostra a figura, o equilíbrio se mantém.
2 kg
150 g
2 kg
150 g
Conclusão:
75
150 g
150 g
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
6. Nesta atividade, o quadrado representa uma massa x, o triângulo representa uma massa y e o
círculo, uma massa z. Represente o equilíbrio da balança por meio de uma equação e escreva
uma conclusão sobre o resultado obtido.
© Conexão Editorial
t Se aumentarmos ou diminuirmos proporcionalmente o peso de ambos os pratos de uma
balança, o equilíbrio se mantém.
Conclusão:
Desafio!
7. Um problema de peso – Tenho seis bolinhas idênticas em aspecto. Há, porém,
uma pequena diferença entre elas: uma delas tem um peso ligeiramente diferente
das demais, não se sabe se para mais ou para menos. Com o auxílio de uma balança
de pratos, descubra uma estratégia para identificar a bolinha diferente, usando, no
máximo, três pesagens.
1
76
2
3
4
5
6
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
8. Vamos utilizar os princípios ilustrados nos exemplos anteriores para resolver equações com
incógnitas em ambos os lados.
a) Resolva a equação 4x – 7 = x + 11 fazendo as transformações solicitadas.
4x – 7 = x + 11
Subtraia x de ambos os lados
Adicione 7 a ambos os lados
Divida ambos os lados por 3
Resultado final
x + 8.
b) Faça o mesmo para a equação 5x – 1 = __
2
x +8
5x – 1 = __
2
Multiplique ambos os lados da equação
por 2 para eliminar a fração
Subtraia x de ambos os lados para eliminar
o termo com x do 2o membro da equação
Adicione 2 em ambos os lados da equação
Divida ambos os lados por 9
Resultado final
77
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
9. Ao distribuir o gabarito de uma prova sobre equações, um professor, acidentalmente, trocou
as respostas de lugar. Organize o gabarito dessa prova, associando cada equação à solução
correspondente.
Equação
Gabarito trocado
a) 5x – 12 = 2x + 27
a) x = –2
3x = 2x + 2
b) x + ___
2
b) x = 5
c) 2 u(x – 3) = 4 + 7x
c) x = 13
3x + 5
d) 4x – 3 u(x – 1) = ___
5
d) x = 4
Gabarito correto
LIÇÃO DE CASA
10. Resolva as equações a seguir e descreva cada etapa de resolução.
a) 5x + 7 = – 2x – 14
Resolução
Descrição
5x + 7 = – 2x – 14
78
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
x + 2 = 3x – 26
b) __
5
Resolução
Descrição
x + 2 = 3x – 26
__
5
5x
2 x – 3 = __
c) __
3
4
Resolução
Descrição
5x
2 x – 3 = __
__
3
4
79
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
5x = 2x + __
3 + ___
1
d) – __
2
5 4
Resolução
Descrição
5x = 2x + __
3 + ___
1
– __
2
5 4
80
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
PROPORCIONALIDADE E EQUAÇÕES
VOCÊ APRENDEU?
1. Uma das equações a seguir foi resolvida de maneira incorreta.
a) Identifique-a e explique por que o erro aconteceu.
I. 5x – 3 = 17
5x = 17 + 3
2x = 12
II. ___
5
2x = 5 u12
28
2x = ___
III. ___
3
6
5x = 20
2x = 60
3 u28
x = _____
2u6
x = 20 4 5
x = 60 4 2
84
x = ___
12
x=4
x = 30
x=7
x =3
IV. 1 + __
2
1 + x = 3 u2
1+x=6
x=6–1
x=5
3x = 1
V. –2 + ___
8
3x = 1 + 2
___
8
3x = 3 u8
24
x = ___
3
x= 8
b) Agora, resolva-a de maneira correta.
81
15
VI. 5x = ___
8
15
x = ____
5 u
15
x = ___
40
3
x = __
8
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
2. Considere o seguinte problema: João comprou 5 CDs idênticos por R$ 4,80. Quanto João
pagaria por uma dúzia de CDs do mesmo tipo?
a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido.
CD
Valor
b) Determine o preço unitário de cada CD.
Resposta:
c) A partir dessa informação, descubra o valor referente à compra de 12 CDs.
Resposta:
d) Agora, resolva o problema por meio da regra de três.
Resposta:
3. Considere o seguinte problema: dirigindo a 80 km/h, Mariana vai da cidade onde mora até a
cidade em que reside a mãe dela em 1 hora e meia. Se ela fizesse a mesma viagem com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo demoraria?
a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido.
Velocidade
Tempo
82
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Se Mariana faz a viagem em 1,5 hora quando está viajando a 80 km/h, qual é a distância
entre as duas cidades?
c) Sabendo a distância entre as duas cidades, calcule o tempo de viagem que ela levaria se a
velocidade fosse de 100 km/h.
d) Identifique o tipo de proporcionalidade existente entre as grandezas nas condições do problema.
t 0UFNQPEFWJBHFNÏ
proporcional à velocidade.
t "EJTUÉODJBQFSDPSSJEBÏ
proporcional à velocidade.
t "EJTUÉODJBQFSDPSSJEBÏ
proporcional ao tempo de viagem.
e) Resolva o problema usando, adequadamente, a regra de três.
Resposta:
LIÇÃO DE CASA
4. A tabela mostra os valores de duas grandezas diretamente proporcionais entre si.
A
5
10
B
8
16
a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razão obtida entre os
valores da grandeza B. O que você observou?
Razão entre os valores da grandeza A:
Razão entre os valores da grandeza B:
Resposta:
83
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
b) Calcule a razão entre os valores correspondentes da grandeza A e da grandeza B na 1a linha.
Compare-a com a razão entre os valores das grandezas na 2a linha. O que você observou?
Razão entre os valores da 1a linha:
Razão entre os valores da 2a linha:
Resposta:
c) Multiplique o valor da grandeza A na 1a linha pelo valor da grandeza B na 2a linha. Compare
o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2a linha e o valor da grandeza B na
1a linha. O que você observou?
Produto A1 · B2 =
Produto A2 · B1 =
Resposta:
d) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para representar os valores das duas grandezas.
A
B
x
y
z
w
t
t
t
84
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
5. A tabela mostra os valores de duas grandezas inversamente proporcionais entre si.
A
B
5
8
10
4
a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razão obtida entre os
valores da grandeza B. O que você observou?
Razão entre os valores da grandeza A:
Razão entre os valores da grandeza B:
Resposta:
b) Calcule a razão entre os valores correspondentes da grandeza A e da grandeza B na 1a linha.
Compare-a com a razão entre os valores das grandezas na 2a linha. O que você observou?
Razão entre os valores da 1a linha:
Razão entre os valores da 2a linha:
Resposta:
c) Multiplique o valor da grandeza A na 1a linha pelo valor da grandeza B na 2a linha. Compare
o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2a linha e o valor da grandeza B na
1a linha. O que você observou?
Produto A1 u B2 =
85
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 2
Produto A2 u B1 =
Resposta:
d) Multiplique o valor da grandeza A pelo valor da grandeza B na 1a linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A e o valor da grandeza B na 2a linha. O que
você observou?
Produto A1 u B1:
Produto A2 u B2:
Resposta:
e) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para representar os valores das duas grandezas.
A
B
x
y
z
w
t
t
t
t
86
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrella.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula
de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro
e Neide Ferreira Gaspar.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira
Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos
Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata
Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da
Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e
Roseli Gomes de Araujo da Silva.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas
Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Esdeva Indústria GráÅca Ltda.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
Presidente da Diretoria Executiva
Mauro de Mesquita Spínola
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. Bezerra,
Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva,
Bruno Reis, Carina Carvalho, Carolina H. Mestriner,
Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes,
Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros,
Giovanna Petrólio Marcondes, Gisele Manoel,
Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo,
Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Maíra de
Freitas Bechtold, Marina Murphy, Michelangelo
Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone,
Paula Felix Palma, Pietro Ferrari, Priscila Risso,
Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Renata
Regina Buset, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção
Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas
de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Dayse de Castro Novaes Bueno, Érica
Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da
Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo
Forli, Maria Magalhães de Alencastro, Vanessa
Bianco e Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design GráÅco e Occy Design projeto gráÅco!.
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
coordenadora! e Ruy Berger em memória!.
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva,
Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins,
Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos
Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.
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Direitos Autorais.
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Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos
(escala, legenda e rosa dos ventos).