Nome: _______________________ Ano: 3º Ano do E.M.
Escola: _________________________ Data: __/__/___
3º Ano do Ensino Médio
Aula nº 05
Assunto: Probabilidades
1. Introdução
Experimento Aleatório: Considere o lançamento de uma moeda para cima:
PARA PENSAR:
Qual resultado irá aparecer?
Se na primeira vez podemos observar que a face para cima é a cara, qual será a próxima ocorrência?
Para experimentos que, como esse, podem apresentar resultados diferentes a cada nova repetição, damos
o nome de experimentos aleatórios.
Espaço Amostral: Como vimos, ao jogar uma moeda não posso afirmar se irá aparecer cara ou coroa, mas
posso afirmar com toda certeza que ou aparecerá cara ou aparecerá coroa. Nesse exemplo, damos ao
conjunto {cara, coroa} o nome de espaço amostral. Dessa forma:
ESPAÇO AMOSTRAL: “é o conjunto com todas os resultados possíveis de um experimento aleatório”
Para este curso, iremos representar o conjunto espaço amostral pela letra grega Ω (ômega).
PARA TREINAR: Defina o espaço amostral Ω nas situações a seguir:
Você vai retirar um talher da gaveta da cozinha:
No lançamento de um dado não viciado:
1
Evento: Quando jogamos um dado ou escolhemos um talher de uma gaveta, chamamos a ocorrência desse
fato de evento. Matematicamente falando, o evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Iremos
representar por o subconjunto evento contido no conjunto Ω do Espaço Amostral.
⊂Ω .
CONSIDERE:
a) Lançamento de um dado não viciado:
b) Ocorrência de número par:
Ω=
=
2. Probabilidades
Probabilidade de um evento: Probabilidade é definida como a razão entre o número de elementos de
um evento e o número de elementos de seu espaço amostral. Assim, se tenho um espaço amostral Ω,
um evento , temos definimos a probabilidade do evento como:
=
Onde #
#
# Ω
simboliza o número de elementos do evento E, e # Ω simboliza o número de elementos de Ω.
A probabilidade é um número entre zero e um, o que significa que no mínimo é impossível que o evento
ocorra e que no máximo o evento sempre ocorre.
0 ≤ P E ≤ 1
Normalmente representamos probabilidades em frações, mas também é possível representá-las em
decimais ou até mesmo em porcentagens.
Exemplos de sala
1. Qual é a probabilidade de ao jogarmos um dado e a face virada para cima ser um número
ímpar? E de ocorrer a face 6?
2
2. Enem 2011 - Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações
médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial
Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da
região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma
região que seja adequada às recomendações médicas é:
a)
b)
c)
d)
e)
3. Eventos Mutuamente Exclusivos e Eventos Independentes
Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos e são ditos mutuamente exclusivos quando não
existe intersecção entre a
e
. Isto é, a ocorrência do evento A elimina a possibilidade da
ocorrência do evento B e vice versa. Nestas situações, ocorre
U
=
NA PRÁTICA: Considere o lançamento de uma moeda, onde:
Evento A: ocorrência de face coroa
Evento B: ocorrência de face cara
3
OU ocorre
, e vale a regra:
Eventos Independentes: Dois eventos e são ditos independentes quando a ocorrência de um deles
não é influenciada pela ocorrência do outro. Isto é, a probabilidade de ocorrência do evento
não
depende da ocorrência do evento . Nestas situações, ocorre
∩
=
E
, valendo a regra:
×
NA PRÁTICA: Considere o lançamento de dois dados simultaneamente, um branco e outro preto:
Evento A: ocorrência do número 2 no dado branco
Evento B: ocorrência do número 6 no dado preto
Exemplos de sala
1. Mackenzie – 2002: Num conjunto de 8 pessoas, 5 usam óculos. Escolhidas ao acaso duas pessoas do
conjunto, a probabilidade de somente uma delas usar óculos é:
a
b)
c)
d)
e)
2. UFMG – 2007: Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais
e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso.
Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é:
a)
b)
c)
d)
""
##
"
#
e)
4
3. ENEM 2012: José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis
faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após
jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita
que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é:
a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para escolha de José quanto para a escolha de Antônio,
e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de
Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio
e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
4. Partição de um espaço amostral
Se dividirmos um espaço amostral Ω em n subconjuntos mutuamente exclusivos A1, A2, . . . , An , dizemos
que esses subconjuntos constituem uma partição de Ω. Nessas condições é válido que:
( 1) + ( 2) + ( 3) + ⋯ + ( +) = 1
Evento Complementar: Um caso particular da partição do espaço amostral é quando podemos criar
um subconjunto de ocorrência e um subconjunto complementar de não ocorrências. Nessas situações,
vale:
( ) + (Ᾱ) = 1
5
NA PRÁTICA: Em uma urna existem três tipos de bolinhas: bolinhas brancas, pretas e amarelas. A relação
entre as bolinhas é de 5 bolinhas brancas, 7 bolinhas pretas e 9 bolinhas amarelas. Qual é a probabilidade de
se tirar ou uma bolinha branca ou uma bolinha amarela?
Exercícios de sala:
1. Não gosto do número 6: Jogando um dado não viciado, qual é a probabilidade de não cair o número 6?
Dica: existem dois jeitos de fazer, um fácil e um trabalhoso.
2. ENEM 2012: Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados
”Contos de Halloween“. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas relações em:
”Divertido“, ”Assustador“ ou ”Chato“. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos
acessaram esta postagem.
O gráfico ao lado apresenta o resultado da
enquete.
O administrador do blog irá sortear um livro
entre os visitantes que opinaram na postagem
”Contos de Halloween“.
Sabendo que nenhum visitante votou mais de
uma vez, a probabilidade de uma pessoa
escolhida ao acaso entre as que opinaram ter
assinalado que o conto ”Contos de Halloween“ é
”Chato“ é mais aproximada por:
a
b)
c)
d)
e)
0,09
0,12
0,14
0,15
0,18
6
3. UNESP: Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a
probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da
escalação do outro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:
a)
b)
c)
d)
e)
0,06
0,14
24%
56%
72%
7
Exercícios de Casa
1. PUCAMP – 2005: Numa certa população são daltônicos 5% do total de homens e 0,05% do total de
mulheres. Sorteando-se ao acaso um casal dessa população, a probabilidade de ambos serem
daltônicos é:
a) 1/1000
b) 1/10000
c) 1/20000
d) 1/30000
e) 1/40000
2. Enem 2010: O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há
alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu
colégio, obtendo o quadro a seguir:
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de
ela calçar 38,0 é:
a) 1/3
b) 1/5
c) 2/5
d) 5/7
e) 5/14
3. Enem 2009 (adaptado): O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares
aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é
de 0,2%. Qual é a probabilidade de se comprar um aparelho com defeito ou comprar um aparelho sem
defeito?
a) 100%
b) 50%
c) 25%
8
d) 15%
e) 10%
4. Enem 2007: A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado
na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela
abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da
cana.
Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios
causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a:
a) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso
internado com problemas respiratórios.
b) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a
população nas regiões das queimadas.
c) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser negligenciado.
d) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das
queimadas.
e) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o
atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado.
5. As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2,
3/5 e 3/6.
Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a:
a) 10%
b) 5%
c) 7,33%
d) 50%
e) 12%
6. Dois dados perfeitos e distintos são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos resultados
obtidos seja 3 ou 6 é de:
a)
5
b)
c)
5
d)
5
e) #
7. Em uma bandeja há dez pastéis dos quais três são de carne, três de queijo e quatro de vento. Se Fabiana
retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta bandeja, a probabilidade de os dois pastéis
retirados serem de vento é:
a)
b)
d)
c)
e)
Respostas
1. e)
2. d)
3. a)
4. e)
5. a)
9
6. c)
7. c)
Raciocínio Lógico Matemático
Assunto: Frações e Porcentagens
Fração: é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros.
Importante lembrar: fração antes de tudo é uma divisão!
6
7
=6÷7= 3
4
Operações com frações:
Multiplicação e divisão:
Soma e subtração:
1) Na multiplicação
1) As frações possuem o mesmo denominador
Multiplicamos numerador por numerador e
denominador por denominador.
Neste caso, conserva-se o denominador e efetuase a operação no numerador.
2
5
12 8
12 ∙ 8
96 32
∙ =
=
=
7 3
7∙3
21
7
7 9
=
5 5
2) Na divisão
2) As frações possuem denominadores diferentes
Devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda.
Neste caso, antes de efetuar a operação no
numerador, devemos expressar as frações em um
denominador comum (MMC).
21
9 = 21 ∙ 16 = 336 = 112
5
9 5
45
15
16
9 5
9∙2 − 5∙5
18 − 25
7
− =
=
=−
5 2
10
10
10
Porcentagem: Nada mais é que uma fração que indica a participação de uma quantidade sobre um
todo. Por facilidade de cálculo e convenção, utiliza-se uma fração com base no denominador igual a
100, daí o nome porcentagem. Escrevemos da seguinte forma:
=
+
= +%, + ≠ 0
;<;=>
Quanto é 10 % de 200?
Cálculo Percentual: Calcular @% sobre um total
= @% × ;<;=>
10
× 200 = 20
100
Acréscimo de 10% sobre 200?
110
100% 10% × 200 =
× 200 = 220
100
Desconto de 10% sobre 200?
90
100% − 10% × 200 =
× 200 = 180
100
10% × 200 =
Acréscimos percentuais: Dar um acréscimo de x%
sobre um total
= 100% @% × ;<;=>
Descontos percentuais: Dar um desconto de x%
sobre um total
= 100% − @% × ;<;=>
10
Exercícios de Casa
1. Efetue, demonstrando seus cálculos e assinale a alternativa correta sobre os resultados obtidos
respectivamente (as respostas estão simplificadas).
I)
#
5
5
#
+ A + BC + D −
5
+
D−
E+
II)
BC
III)
BC − D − 5E + 4
a)
b)
c)
d)
e)
5
5
5
5
5
#
#
#
#
55
,
5
,
55
,
55
,
5
,
EF
,
,
,
,
5
,
5
2. Efetue, demonstrando seus cálculos e assinale a alternativa correta sobre os resultados obtidos
respectivamente (as respostas estão simplificadas).
I)
BC
II)
ABC
III)
a)
b)
c)
d)
e)
#
×
#
5
D× E÷2
× D÷
5
5
"
#
5
"
,
5
,
,
,
,
5
,
3
5
× A × BC
"
E× F
÷ #D − 5EF
#
,
,
,
,
11
3. Calcule as porcentagens abaixo, demonstrando seus cálculos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
15% de 80
70% de 30
150% de 45
100% de 50
Expresse a fração 19 sobre 25 em forma de porcentagem
60% de 200% de 25% de 12
Acréscimo de 15% sobre R$400
Desconto de 15% sobre R$600
Desconto de 40% sobre um acréscimo de 40% de R$500
Desconto de 20% sobre um acréscimo de 25% de R$500
4. ENEM 2011: Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do
investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses,
resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de
a)
b)
c
d
e
G$4222,22
G$4523,80
G$5000,00
G$13300,00
G$17100,00
12