Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1
Código ECIV018
Código:
Professor: Eduardo Nobre Lages
Forças Distribuídas: Centro de Gravidade,
Centro de Massa e Centróide
Maceió/AL
Generalidades
Quais as formas de interação
Q
ç entre
os corpos?
Contato direto
Gravitacional, centrífuga
ou eletromagnética
F/L2
F/L3
Generalidades
Mudança
ç dos domínios de
transmissão de forças
Possível quando dimensão(ões) característica(s)
Possível:
da região de transmissão de força é pequena
comparada com as dimensões características do
elemento estrutural.
Ex: F/L2 → F/L e F/L2 → F
Ex
Necessária forçada pela consideração de
Necessária:
um modelo do elemento estrutural onde
dimensão(ões)
di
ã (õ ) é(são)
é( ã ) simplificada(s).
i lifi d ( )
Ex: F/L3 → F/L2; F/L3 → F/L e F/L2 → F/L
Ex
Generalidades
Cargas
g pontuais
p
existem?
Cargas pontuais são abstrações de cargas distribuídas em
domínios com dimensões características pequenas
comparadas
d com as do
d elemento
l
t estrutural
t t
l ao quall estão
tã
aplicadas ou de representação de um sistema resultante
equivalente de forças distribuídas.
Objetivo
Consideração
ç de ações
ç
distribuídas
nos problemas de equilíbrio.
Ação do vento
Ação gravitacional
Ação hidrostática
Centro de Gravidade ou
Baricentro
O centro de gravidade ou baricentro de um corpo é
a posição
i ã onde
d pode
d ser considerada
id
d a aplicação
li
ã d
da
força de gravidade resultante equivalente de todo
o corpo.
De uma forma geral, quando se considera a não
uniformidade de campos gravitacionais, a determinação
da força de gravidade total e do seu ponto de aplicação
ficam dependentes da posição e orientação do corpo.
Portanto, o centro de g
gravidade ou baricentro não
pode ser considerada uma característica específica
de um corpo rígido.
Centro de Gravidade ou
Baricentro
Centro de Gravidade ou
Baricentro
Placas planas
Equivalência
Força resultante
Momento
em torno do
M
d eixo y
Momento em torno do eixo x
∑ ΔP = P
∑ xΔP = xP
∑ yΔP = yP
Centro de Gravidade ou
Baricentro
Placas planas
dP
Equivalência
P = ∫ dP xP = ∫ xdP
yP = ∫ ydP
Centro de Gravidade ou
Baricentro
Arames planos
Equivalência
Força resultante
Momento
em torno do
M
d eixo y
Momento em torno do eixo x
∑ ΔP = P
∑ xΔP = xP
∑ yΔP = yP
Centro de Gravidade ou
Baricentro
Arames planos
dP
Equivalência
P = ∫ dP xP = ∫ xdP
yP = ∫ ydP
Centro de Massa
Placas planas
dP
Equivalência
P = ∫ dP xP = ∫ xdP
yP = ∫ ydP
Considere a placa imersa em um campo gravitacional
constante. Com isso,
M = ∫ dm xM = ∫ xdm
yM = ∫ ydm
onde neste caso fica definido o centro de massa. Vale
o mesmo resultado para os arames planos.
Centróide ou Centro
Geométrico
Placas planas
dP
Equivalência
P = ∫ dP xP = ∫ xdP
yP = ∫ ydP
Considere a placa apresentando peso específico e
espessura constantes. Com isso,
A = ∫ dA
xA = ∫ xdA
yA = ∫ ydA
onde neste caso fica definido o centróide da placa.
Centróide ou Centro
Geométrico
Arames planos
dP
Equivalência
P = ∫ dP xP = ∫ xdP
yP = ∫ ydP
Considere o arame apresentando peso específico e
seção transversal constantes. Com isso,
L = ∫ dL xL = ∫ xdL
yL = ∫ ydL
onde neste caso fica definido o centróide do arame.
Centro de Gravidade, Centro
de Massa e Centróide
Campo Gravitacional
Campo Gravitacional
CG=CM=C
Campo Gravitacional
C CG=CM
Madeira
G
Granito
it
C CM CG
Momentos de Primeira Ordem
de Superfícies e Curvas
Momento de 1ª ordem da superfície
em relação ao eixo x
z
y
Q x = ∫ ydA = yA
x
Momento de 11ª ordem da superfície
em relação ao eixo y
Q y = ∫ xdA = xA
Momento de 1ª ordem da curva em
relação ao eixo x
z
y
Q x = ∫ ydL = yL
Momento de 1ª ordem da curva em
relação
l ã ao eixo
i y
x
Q y = ∫ xdL = xL
Momentos de Primeira Ordem
de Superfícies e Curvas
Q x = yA (ou yL)
Q y = xA (ou xL)
As coordenadas do centróide de uma superfície ou
curva podem ser obtidas dividindo-se os momentos
de primeira ordem pela área da superfície ou
comprimento da curva,
curva respectivamente
respectivamente.
Se o centróide de uma superfície ou curva
estiver localizado sobre um eixo de
coordenadas, o momento de primeira ordem
em relação a esse eixo será nulo e vice-versa.
vice versa
Momentos de Primeira Ordem
de Superfícies e Curvas
B’
P
Região simétrica e eixo de simetria
P’
B
Se uma superfície
S
fí i ou curva apresenta
t um eixo
i de
d
simetria, o centróide dessa região está contido
sobre esse eixo de simetria.
y
-x
dA’
x
C
dA
x
Momentos de Primeira Ordem
de Superfícies e Curvas
Uma região que apresenta dois eixos de simetria,
o centróide
óid d
da mesma encontra-se na interseção
i
ã
desses eixos.
C
C
Momentos de Primeira Ordem
de Superfícies e Curvas
y
x
Região com centro de simetria
dA
y
C
-y
dA’
-x
Se uma superfície
p
ou curva apresenta
p
um
cento de simetria, esse corresponde ao
centróide da região.
x
Centróides de Superfícies
Planas de Formatos Usuais
Centróides de Superfícies
Planas de Formatos Usuais
Centróides de Superfícies
Planas de Formatos Usuais
Centróides de Curvas Planas
de Formatos Usuais
Placas e Fios Compostos
Quando se estiver interessado na determinação
de propriedades integrais (área, comprimento e
momentos de primeira ordem) de regiões que
não estão tabeladas, mas identifica-se que a
região
g
em questão
q
é formada pela
p
composição
p
de regiões elementares cujas propriedades
integrais são conhecidas, aplica-se essa
composição na avaliação das integrais
referentes às propriedades de interesse.
Placas e Fios Compostos
A
A=
∫ dA = ∫ dA + ∫ dA + ∫ dA = A
R1 + R 2 + R 3
Qx =
R2
∫ ydA = ... = Q
R1 + R 2 + R 3
Qy =
R1
dA
∫ xdA
R1 + R 2 + R 3
+ AR2 + AR3
R1
R3
x R1
+ Qx R2 + Qx R3
= ... = Q y R + Q y R + Q y R
1
2
3
Qx
Y =
A
Qy
X=
A
Placas e Fios Compostos
Exemplo
Exemplo:
p :
Determine o centróide
da superfície
composta mostrada.
mostrada
Placas e Fios Compostos
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
1ª composição
1
2
Placas e Fios Compostos
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
1
1ª composição
Região
2
Ai
xi
yi
Qxi
Qyi
(cm2)
(cm)
(cm)
(cm3)
(cm3)
1
300
-10
10
22 5
22,5
6750
-3000
3000
2
1200
20
15
18000
24000
Total
1500
-
-
24750
21000
21000
x=
=
= 14 cm
A
1500
Qy
y=
Q x 24750
=
= 16 ,5 cm
A
1500
Placas e Fios Compostos
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
2ª composição
1
2
Placas e Fios Compostos
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
2ª composição
1
2
Região
Ai
xi
yi
Qxi
Qyi
(cm2)
(cm)
(cm)
(cm3)
(cm3)
1
1800
10
15
27000
18000
2
-300
-10
7,5
-2250
3000
Total
1500
-
-
24750
21000
21000
x=
=
= 14 cm
A
1500
Qy
y=
Q x 24750
=
= 16 ,5 cm
A
1500
Determinação de Centróide
por Integração
Q x = yA = ∫ ydA
Q y = xA = ∫ xdA
Em p
princípio,
p , para
p
quantificação
q
ç dos momentos
de 1ª ordem de superfície (ou momentos
estáticos de área), esses são calculados a
partir
p ti de
d integrais
int
is duplas
d pl s no
n domínio
d míni
representativo da região estudada, onde se
deve escrever o elemento
m
infinitesimal
f
m de área
dA de acordo com a conveniência
das coordenadas de descrição
d região
da
ã tratada.
d
Determinação de Centróide
por Integração Dupla
D = { (x, y ) | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}
y
d b
Q x = ∫ ydA = ∫ ∫ ydxdy
dA=dxdy
c a
d
d
= ∫ [xy ] dy = ∫ (b − a )ydy
dy
dx
b
a
c
c
c
a
d
b
x
d
⎡
y ⎤
= ⎢(b − a ) ⎥
2 ⎦c
⎣
2
=
(b − a )(d 2 − c 2 )
2
Determinação de Centróide
por Integração Dupla
D = { (x, y ) | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}
y
d b
Q y = ∫ xdA = ∫ ∫ xdxdy
dA=dxdy
c a
d
dy
dx
c
a
b
d
b2 − a 2
⎡x ⎤
dy
= ∫ ⎢ ⎥ dy = ∫
2
2 ⎦a
c
c ⎣
d
b
x
2
d
⎡b − a ⎤
=⎢
y⎥
⎣ 2
⎦c
2
=
(b
2
2
−a
2
)(d − c)
2
Determinação de Centróide
por Integração Dupla
b ⎫
⎧
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ x ⎬
a ⎭
⎩
y
b
x
a a
dA=dxdy
Q x = ∫ ydA = ∫ ∫ ydydx
b
0 0
⎡y ⎤
b2 2
= ∫ ⎢ ⎥ dx = ∫ 2 x dx
2a
2 ⎦0
0
0 ⎣
a
d
dy
dx
a
x
b
x
a
2
a
a
⎡b x ⎤
ab 2
=⎢ 2 ⎥ =
6
⎣ 2a 3 ⎦ 0
2
3
Determinação de Centróide
por Integração Dupla
b ⎫
⎧
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ x ⎬
a ⎭
⎩
y
b
x
a a
dA=dxdy
Q y = ∫ xdA = ∫ ∫ xdydx
b
0 0
a
d
dy
dx
a
x
b
x
a
0
= ∫ [xy ]
0
a
b 2
dx = ∫ x dx
a
0
a
⎡b x ⎤
a 2b
=⎢
⎥ = 3
⎣ a 3 ⎦0
3
Determinação de Centróide
por Integração Dupla
π
⎧
D = ⎨ (rcosθ, rsinθ ) | a ≤ r ≤ b e ≤ θ ≤
6
⎩
y
π⎫
⎬
2⎭
π
b 2
dA=rdθdr
b
2
=
r
Q x = ∫ ydA
dA ∫ ∫ sin θdθdr
a π
6
b
a
30º
x
[
]
b
π
2
π
6
= ∫ − r cosθ dr = ∫
2
a
b
a
3 2
r dr
2
⎡ 3 3⎤
3 3 3
r ⎥ =
=⎢
b −a
6
⎣ 6 ⎦a
(
)
Determinação de Centróide
por Integração Dupla
π
⎧
D = ⎨ (rcosθ, rsinθ ) | a ≤ r ≤ b e ≤ θ ≤
6
⎩
y
π⎫
⎬
2⎭
π
b 2
dA=rdθdr
b
2
=
r
Q y = ∫ xdA
dA ∫ ∫ cos θdθdr
a π
6
b
a
30º
x
=∫
a
[
]
π
2
π
6
b
2
r
r sinθ dr = ∫ dr
2
a
2
b
⎡r ⎤
b3 − a 3
=⎢ ⎥ =
6
⎣ 6 ⎦a
3
Determinação de Centróide
por Integração de Fatias
Q x = yA = ∫ ydA = ∫ dQ elx
Q y = xA = ∫ xdA = ∫ dQ ely
A idéia desta sistemática é considerar que a
região de interesse é formada pela composição
de infinitas fatias infinitesimais cujas formas
correspondem a regiões cujas propriedades
geométricas já são conhecidas.
conhecidas Sendo
assim, esta sistemática pode ser
entendida como uma aplicação
p
ç
do método já apresentado para
regiões compostas.
Determinação de Centróide
por Integração de Fatias
y
b
A = ∫ dA = ∫ dA el = ∫ y(x)dx
(x,y(x))
a
Q x = ∫ ydA = ∫ dQ elx
x el
a
b
y el
dx
b
dA = y( x )dx
el
x el = x
y( x )
y el =
2
x
2
y(x)
(
)
dx
= ∫ y el dA el = ∫
2
a
Q y = ∫ xdA = ∫ dQ ely
b
= ∫ x ell dA ell = ∫ xy(x)dx
a
Determinação de Centróide
por Integração de Fatias
y
(r(θ)cos(θ),r(θ)sin(θ))
θf
2
r
(
θ
)
dθ
A = ∫ dA = ∫ dA el = ∫
2
θi
x el
y el
Q x = ∫ ydA = ∫ dQ elx
x
θi θf
r (θ )
dA el =
dθ
2
2
x el = r (θ ) cos θ
3
2
y el = r (θ )sin θ
3
2
θf
3
r
(
θ
)
sin θdθ
= ∫ y el dA el = ∫
3
θi
Q y = ∫ xdA = ∫ dQ ely
r (θ )
ell
ell
cos θdθ
= ∫ x dA = ∫
3
θi
θf
3
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
Exemplo:
p :
Determine por
integração o centróide
da superfície
mostrada em termos
de a e h.
h
k= 3
a
a
h
y( x ) = kx 3
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
a
A=∫
Por integração dupla
h
d d
∫ dydx
0 h x3
a3
a
= ∫ [y] h 3 dx
a
0
h
a3
x
a
dy
dx
h
h
y( x ) = 3 x 3
a
h
⎧
⎫
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 3 x 3 ≤ y ≤ h ⎬
a
⎩
⎭
h 3⎞
⎛
= ∫ ⎜ h − 3 x ⎟dx
a
⎠
0⎝
a
⎡
h x ⎤
= ⎢hx − 3 ⎥
a 4 ⎦0
⎣
3
= ah
4
4
Determinação de Centróide
por Integração
a
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Por integração dupla (cont.)
Qx = ∫
h
∫ ydydx
0 h x3
a3
h
⎡y ⎤
= ∫ ⎢ ⎥ dx
2 ⎦ h x3
0 ⎣
3
a
a
2
a
1 ⎛ 2 h2 6 ⎞
= ∫ ⎜⎜ h − 6 x ⎟⎟dx
2⎝
a
⎠
0
a
dy
dx
h
h
y( x ) = 3 x 3
a
h
⎧
⎫
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 3 x 3 ≤ y ≤ h ⎬
a
⎩
⎭
a
⎡1 ⎛ 2
h x ⎞⎤
⎟⎟⎥
= ⎢ ⎜⎜ h x − 6
a 7 ⎠⎦ 0
⎣2 ⎝
3 2
= ah
7
2
7
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
a
Por integração dupla (cont.)
Qy = ∫
h
d d
∫ xdydx
0 h x3
a3
a
= ∫ [xy] h 3 dx
a
h
a3
0
x
a
dy
dx
h
h
y( x ) = 3 x 3
a
h
⎧
⎫
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 3 x 3 ≤ y ≤ h ⎬
a
⎩
⎭
h 3⎞
⎛
= ∫ x ⎜ h − 3 x ⎟dx
a
⎠
0 ⎝
a
⎡ x
h x ⎤
= ⎢h
− 3 ⎥
⎣ 2 a 5 ⎦0
3 2
= a h
10
2
5
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Por integração de fatias
a
h 3⎞
⎛
A = ∫ ⎜ h − 3 x ⎟dx
a
⎠
0⎝
a
h
y( x ) =
h 3
x
3
a
h
⎧
⎫
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 3 x 3 ≤ y ≤ h ⎬
a
⎩
⎭
a
⎡
h x ⎤
= ⎢hx − 3 ⎥
a 4 ⎦0
⎣
3
= ah
4
4
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Por integração de fatias (cont.)
1 ⎛ 2 h2 6 ⎞
Q x = ∫ ⎜⎜ h − 6 x ⎟⎟dx
a
2⎝
⎠
0
a
a
h
y( x ) =
h 3
x
3
a
h
⎧
⎫
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 3 x 3 ≤ y ≤ h ⎬
a
⎩
⎭
a
⎡1 ⎛ 2
h x ⎞⎤
⎟⎟⎥
= ⎢ ⎜⎜ h x − 6
a 7 ⎠⎦ 0
⎣2 ⎝
3 2
= ah
7
2
7
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Por integração de fatias (cont.)
a
h 3⎞
⎛
Q y = ∫ x ⎜ h − 3 x ⎟dx
a
⎠
0 ⎝
a
h
y( x ) =
h 3
x
3
a
h
⎧
⎫
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ x ≤ a e 3 x 3 ≤ y ≤ h ⎬
a
⎩
⎭
a
⎡ x
h x ⎤
= ⎢h
− 3 ⎥
⎣ 2 a 5 ⎦0
3 2
= a h
10
2
5
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p ((continuação):
ç )
a
y
C
2
x=
= a
A
5
h
y( x ) =
x
Qy
h 3
x
3
a
y=
Qx
4
= h
A
7
Determinação de Centróide
por Integração
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Por integração de fatias
Como tratar o
problema com
fatias horizontais?
a
h
⎛y⎞
x ( y)h= a ⎜ ⎟
⎝h⎠
h
y( x ) = 3 x 3
a
h
1
1
⎛y⎞ 3
A = ∫ a ⎜ ⎟ dy
h⎠
0 ⎝
3
1
⎧⎪
⎛ y ⎞ 3 ⎫⎪
D = ⎨ (x, y ) | 0 ≤ y ≤ h e 0 ≤ x ≤ a ⎜ ⎟ ⎬
⎝ h ⎠ ⎪⎭
⎪⎩
h
1
⎛ y⎞ 3
Q x = ∫ ya⎜ ⎟ dy
⎝h⎠
0
1 ⎡ ⎛y⎞
Q y = ∫ ⎢a ⎜ ⎟
2⎢ ⎝h⎠
0
⎣
h
1
2
3
⎤
⎥ dy
⎥⎦
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Cálculo de área de superfície
p
de revolução
ç
e volume de sólido de revolução.
Formulados inicialmente
pelo geômetra
ô
grego
Pappus (século III d.C.)
Restabelecidos posteriormente
p
pelo matemático suíço Guldinus,
ou Guldin (1577-1643).
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Superfície de revolução
Curva geratriz
y
Eixo de revolução
y
Curva geratriz
z
x
x
Superfície de revolução
Eixo de revolução
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
1º Teorema de Pappus-Guldin
A área de uma superfície de revolução é dada pelo produto do
comprimento da curva geratriz pela distância percorrida pelo
centróide da mesma durante a geração da superfície em pauta.
L
C
y
x
d
A = ∫ dA
A = 2π ∫ ydL
dA = 2πydL
dL
A = 2πyL
A = ∫ 2πydL
dL
A = dL
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Sólido de revolução
y
Superfície geratriz
Superfície geratriz
z
y
x
Eixo de
revolução
x
Sólido de revolução
Eixo de revolução
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
2º Teorema de Pappus-Guldin
O volume de um sólido de revolução é dado pelo produto da área
da superfície geratriz pela distância percorrida pelo centróide
da mesma durante a geração do sólido em pauta.
C
A
y
x
d
V = ∫ dV
V = 2π ∫ ydA
dV = 2πydA
dA
V = 2πyA
V = ∫ 2πydA
dA
V = dA
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Exemplo
Exemplo:
p :
Determine o volume e
a área superficial do
sólido mostrado.
mostrado
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Cálculo do volume pelo 2º Teorema de Pappus-Guldin
20mm 20mm
50mm
E
B
D
C
c
Eixo de
revolução
A
20mm
Superfície geratriz
V SR = πcA SG = πQSG
ER
60mm
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Cálculo do volume pelo 2º Teorema de Pappus-Guldin (cont.)
20mm 20mm
50mm
D
E
B
E B
E B
D
C
_
=
60mm
m
c
A
A
A
SG
1
1
2
QSG
=
Q
−
Q
ER
ER
ER
A
20mm
QSG
ER =
70 ⋅ 60 ⎛ 70
⎞ 20 ⋅ 60 ⎛ 20
⎞
⋅ ⎜ + 20 ⎟ −
⋅ ⎜ + 20 ⎟
2
2
⎝ 3
⎠
⎝ 3
⎠
3
QSG
ER = 75000 mm
D
V SR = 75000 π mm 3
2
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Cálculo da área pelo 1º Teorema de Pappus-Guldin
20mm 20mm
50mm
E
B
D
C
c
Eixo de
revolução
60mm
A
20mm
Curva geratriz
A S = A SR + 2A Δ ADE
= πcLCG + 2A Δ ADE
Δ ADE
= πQ CG
+
2
A
ER
Teoremas de Pappus
Pappus-Guldin
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Cálculo da área pelo 1º Teorema de Pappus-Guldin (cont.)
20mm 20mm
50mm
1
E
B
D
D
E
D
E
D
E
C
60mm
m
c
=
3
2
A
CG
A
A
1
2
3
Q CG
=
Q
+
Q
+
Q
ER
ER
ER
ER
A
20mm
Q CG
ER = 50 ⋅
40 + 90
90 + 20
40 + 20
+ 70 2 + 60 2 ⋅
+ 20 2 + 60 2 ⋅
2
2
2
2
Q CG
ER = 10218,1 mm
A S = 10218,1π + 50 ⋅ 60 = 35101,2 mm 2