GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 05: POLÍGONOS
TÓPICO 03: ÂNGULO INTERNO
Chama-se ângulo interno ou simplesmente ângulo de um polígono convexo
qualquer ângulo formado por dois lados adjacentes.
OLHANDO DE PERTO
Note que a cada vértice do polígono corresponde um ângulo interno.
Conseqüentemente, o número de ângulos internos é igual ao número de
vértices do polígono. Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é constante e igual a 180° e que a soma dos ângulos internos de
qualquer quadrilátero vale sempre 360°, já que ele pode ser decomposto
como a união de dois triângulos.
E de um modo geral, qual é a soma dos ângulos internos de um polígono
convexo de n lados?
Vamos deduzir. Tracemos as n − 3 diagonais partindo de um vértice
escolhido ao acaso.
Vamos deduzir
Veja que essas diagonais determinam n−2 triângulos de maneira que a
soma das medidas dos ângulos internos de todos os n − 2 triângulos é
exatamente a soma das medidas dos ângulos internos do polígono.
Portanto, esta soma é igual a (n − 2) x 180°
Conclusão: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n
lados é igual a
.
ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO EQUIÂNGULO
Conseqüentemente, cada ângulo interno de um polígono equiângulo de n
lados, isto é, um polígono cujos ângulos têm mesma medida, vale
ÂNGULO EXTERNO DE UM POLÍGONO CONVEXO
Chama-se ângulo externo de um polígono convexo, qualquer ângulo formado
por um lado e o prolongamento de um lado adjacente.
DESAFIO
Todo ângulo externo é suplemento do ângulo interno a ele adjacente. E
quanto daria a soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n
lados?
VAMOS COMEÇAR COM UM TRIÂNGULO
(clique na figura para abrir)
Sejam
,
e
, os ângulos internos e a, b e c as medidas dos
respectivos ângulos externos adjacentes. Então, temos:
Somando-se essas igualdades membro a membro, obtemos:
, como
, e daí
Logo, a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360°
(clique na figura para abrir)
Sejam
as medidas dos ângulos externos do polígono,
respectivamente, adjacentes aos ângulos internos
temos:
,
Somando-se estas igualdades membro a membro, obtemos:
, como
, segue-se que
Cancelando-se n.180° em ambos os membros, decorre que
OLHANDO DE PERTO
Curioso, não? É isso aí. A soma dos ângulos externos de qualquer polígono
é constante e igual a 360°
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual