Física Geral 3001 Cap3 β Lei de Gauss (Cap. 25 β Halliday, Cap. 22 Sears, Cap 31 Tipler β vol 2) Sumário 3.1 Introdução 3.2 O Fluxo 3.3 O Fluxo de Campo Elétrico 3.4 A Lei de Gauss 3.5 As Leis de Gauss e de Coulomb 3.6Condutor isolado Carregado 3.7 Exemplos e aplicações 6ª Aula/ 6ª Aula 2.1 Introdução Neste capítulo introduziremos uma nova formulação para o cálculo do campo E, equivalente a Lei de Coulomb: Lei de Coulomb 1 π E= 4ππ0 π 2 Resolve todos os problemas da eletrostática, mesmo aqueles que não possuem simetria Lei de Gauss π0 πΈ β πππ΄ = π Explora a simetria do problema β’ Relaciona os campos em uma superfície fechada (superfície gaussiana) e as cargas em seu interior β’ Para efetuar o cálculo usando a lei de Gauss, precisamos saber quanto do campo elétrico E é interceptado pela superfície gaussiana, ou seja O FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO ATRAVÉS DA SUPERFÍCIE 3.2 O Fluxo β’Vamos considerar um campo elétrico vetorial no espaço e, uma superfície arbitrária, tal que este campo a atravesse: β’O fluxo significa a quantidade de um campo que uma área intercepta β’A taxa de escoamento através de A depende do ângulo entre π΄ e π Em particular estamos interessados em uma superfície fechada Podemos então afirmar que o fluxo total através de uma superfície fechada é nulo : toda linha que penetra por um lado emerge do outro, logo Ξ¦ = 0 Ao tomarmos uma superfície fechada, se as linhas de um campo vetorial que saem da superfície forem em maior número que as que entram, deverá haver uma fonte de campo: carga + + Fonte de campo Sorvedouro de campo Ao contrário, se as linhas que saem da superfície forem em menor número que as que entram, deverá haver uma sorvedouro de campo: carga - 3.3 Fluxo de Campo Elétrico Para definirmos o fluxo de campo elétrico, vamos considerar um superfície gaussiana de forma arbitrária imersa num campo elétrico Desta forma o fluxo pode ser definido como: Ξ¦= πΈ. Ξπ΄ ππ2 Ξ¦ = πΆ Ξπ΄ βΆ 0 βΉ ππ΄ Ξ¦= πΈ β ππ΄ = πΈ β πππ΄ Observe: superfície dividida em elementos infinitesimais de área dA, tomadas as linhas de campo πΈ sobre cada superfície infinitesimal 3.4 Lei de Gauss (Carl Friedrich Gauss (alemão)) Estabelece relação entre o fluxo de campo de campo elétrico πΈ achada través de uma superfície fechada e a carga líquida q envolvida por esta superfície, chamada superfície gaussiana Estas superfícies são imaginárias π0 Ξ¦ = π Levar em conta o sinal de q π0 πΈ β πππ΄ = π π πΈ β πππ΄ = π0 Como já vimos: β’ Se π > 0 Fluxo líquido para fora β’ Se π < 0 Fluxo líquido para dentro π0 = 8,85 × 10β12 πΆ2 ππ2 O campo criado por alguma carga fora da superfície gaussiana não altera o fluxo líquido através da superfície, uma vez que as linhas de campo entram e saem da superfície β’ S, S1 e S3, contem cargas em seu interior β’ S2 não contem carga β’ S1 linhas saindo: carga positiva β’ S3 linha entrando: carga negativa β’ Fluxo Positivo: carga positiva β’ Fluxo negativo: carga negativa β’ S2, q = 0 linhas entrando iguais a que saem β’ S carga líquida encerrada é zero 3.5 As Leis de Gauss e de Coulomb Vamos considerar uma situação na qual temos uma carga puntiforme q e, ao seu redor, criamos uma superfície gaussiana esférica de raio r π0 πΈ β ππ΄ = π π0 πΈ β πππ΄ = π dA Coamo πΈ é constante e está na mesma direção da normal π π0 πΈ ππ΄ = π π0 πΈ 4ππ 2 =π 1 π πΈ= 4ππ0 π 2 A soma de todas as áreas diferenciais é justamente a área da superfície gaussiana, que neste caso é 4ππ 2 3.6Condutor isolado Carregado Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado se moverá interiormente para a superfície. Nenhum excesso de carga será encontrado em seu interior Se colocarmos uma quantidade de cargas q num condutor isolado verificamos que toda a carga irá se distribuir uniformemente pela superfície do condutor. Isto se deve, principalmente, ao fato de que cargas iguais se repelem. Na superfície A o campo que a atravessa é nulo, não há cargas no seu interior Fazendo uma cavidade no interior de um condutor e, tomando a superfície gaussiana ao seu redor, observamos que não há cargas no seu interior Para o caso da superfície gaussiana se encontrar externa ao condutor e, lembrando que toda a carga se distribui em sua superfície, podemos por meio da lei de Gauss avaliar o campo imediatamente fora da superfície do condutor. π0 πΈπ΄ = π π π = βΆ π = ππ΄ π΄ π0 πΈπ΄ = ππ΄ π πΈ= π0 As cargas em excesso sobre a superfície criam um campo interior, porém se distribuem de tal forma que o campo resultante em qualquer ponto se reduz a zero. (Ler com atenção item 25.7 haliday) 3.7 Exemplos e aplicações 1- Simetria Plana 2- Simetria Cilindrica 3- Simetria Esférica
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