Física Geral 3001
Cap3 – Lei de Gauss
(Cap. 25 – Halliday, Cap. 22 Sears, Cap 31 Tipler – vol 2)
Sumário
3.1 Introdução
3.2 O Fluxo
3.3 O Fluxo de Campo Elétrico
3.4 A Lei de Gauss
3.5 As Leis de Gauss e de Coulomb
3.6Condutor isolado Carregado
3.7 Exemplos e aplicações
6ª Aula/ 6ª Aula
2.1 Introdução
Neste capítulo introduziremos uma nova formulação para o
cálculo do campo E, equivalente a Lei de Coulomb:
Lei de Coulomb
1 𝑞
E=
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Resolve todos os problemas da
eletrostática, mesmo aqueles que
não possuem simetria
Lei de Gauss
𝜀0
𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞
Explora a simetria do problema
• Relaciona
os campos em uma superfície fechada (superfície
gaussiana) e as cargas em seu interior
• Para efetuar o cálculo usando a lei de Gauss, precisamos saber
quanto do campo elétrico E é interceptado pela superfície gaussiana,
ou seja
O FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO ATRAVÉS DA
SUPERFÍCIE
3.2 O Fluxo
•Vamos considerar um campo elétrico vetorial no espaço e, uma
superfície arbitrária, tal que este campo a atravesse:
•O fluxo significa a quantidade de um campo que uma área intercepta
•A taxa de escoamento através de A depende do ângulo entre 𝐴 e
𝑉
Em particular estamos interessados em uma superfície fechada
Podemos então afirmar que o fluxo total
através de uma superfície fechada é nulo :
toda linha que penetra por um lado emerge
do outro, logo Φ = 0
Ao
tomarmos
uma
superfície
fechada, se as linhas de um campo
vetorial que saem da superfície
forem em maior número que as que
entram, deverá haver uma fonte de
campo: carga +
+
Fonte de campo
Sorvedouro de campo
Ao contrário, se as linhas que saem
da superfície forem em menor
número que as que entram, deverá
haver uma sorvedouro de campo:
carga -
3.3 Fluxo de Campo Elétrico
Para definirmos o fluxo de campo elétrico, vamos considerar um
superfície gaussiana de forma arbitrária imersa num campo
elétrico
Desta forma o fluxo pode ser definido como:
Φ=
𝐸. Δ𝐴
𝑁𝑚2
Φ =
𝐶
Δ𝐴 ⟶ 0 ⟹ 𝑑𝐴
Φ=
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴
Observe: superfície dividida
em elementos infinitesimais
de área dA, tomadas as
linhas de campo 𝐸 sobre
cada superfície infinitesimal
3.4 Lei de Gauss (Carl Friedrich Gauss (alemão))
Estabelece relação entre o fluxo de campo de campo elétrico
𝐸 achada través de uma superfície fechada e a carga líquida q
envolvida por esta superfície, chamada superfície gaussiana
Estas superfícies são imaginárias
𝜀0 Φ = 𝑞 Levar em conta o sinal de q
𝜀0
𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞
𝑞
𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴 =
𝜀0
Como já vimos:
• Se 𝑞 > 0 Fluxo líquido para fora
• Se 𝑞 < 0 Fluxo líquido para dentro
𝜀0 = 8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁𝑚2
O campo criado por alguma carga fora da superfície gaussiana não
altera o fluxo líquido através da superfície, uma vez que as linhas de
campo entram e saem da superfície
• S, S1 e S3, contem cargas
em seu interior
• S2 não contem carga
• S1 linhas saindo: carga
positiva
• S3 linha entrando: carga
negativa
• Fluxo Positivo: carga positiva
• Fluxo negativo: carga negativa
• S2, q = 0 linhas entrando
iguais a que saem
• S carga líquida encerrada
é zero
3.5 As Leis de Gauss e de Coulomb
Vamos considerar uma situação na qual temos uma carga puntiforme
q e, ao seu redor, criamos uma superfície gaussiana esférica de raio
r
𝜀0
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑞
𝜀0
𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞
dA
Coamo 𝐸 é constante e está na mesma
direção da normal 𝑛
𝜀0 𝐸
𝑑𝐴 = 𝑞
𝜀0 𝐸
4𝜋𝑟 2
=𝑞
1 𝑞
𝐸=
4𝜋𝜀0 𝑟 2
A soma de todas as áreas diferenciais é justamente a área
da superfície gaussiana, que neste caso é 4𝜋𝑟 2
3.6Condutor isolado Carregado
Qualquer excesso de carga
colocado em um condutor
isolado
se
moverá
interiormente
para
a
superfície.
Nenhum
excesso de carga será
encontrado em seu interior
Se colocarmos uma quantidade de cargas q num condutor isolado
verificamos que toda a carga irá se distribuir uniformemente pela
superfície do condutor. Isto se deve, principalmente, ao fato de que
cargas iguais se repelem. Na superfície A o campo que a atravessa é
nulo, não há cargas no seu interior
Fazendo uma cavidade no interior de um condutor e, tomando a
superfície gaussiana ao seu redor, observamos que não há cargas no
seu interior
Para o caso da superfície gaussiana se encontrar externa ao
condutor e, lembrando que toda a carga se distribui em sua
superfície, podemos por meio da lei de Gauss avaliar o campo
imediatamente fora da superfície do condutor.
𝜀0 𝐸𝐴 = 𝑞
𝑞
𝜎 = ⟶ 𝑞 = 𝜎𝐴
𝐴
𝜀0 𝐸𝐴 = 𝜎𝐴
𝜎
𝐸=
𝜀0
As cargas em excesso sobre a superfície criam um campo interior,
porém se distribuem de tal forma que o campo resultante em
qualquer ponto se reduz a zero. (Ler com atenção item 25.7 haliday)
3.7 Exemplos e aplicações
1- Simetria Plana
2- Simetria Cilindrica
3- Simetria Esférica