1 LEI DA GAUSS
1
Tutorial de Física
1
Lei da Gauss
1.1 Fluxo elétrico através de superfícies fechadas
No tutorial de Campo elétrico e fluxo, encontramos que o fluxo elétrico através de superfícies
~ cada uma com um campo elétrico uniforme, E
~ i , pode ser escrito como:
imaginárias, dA,
~ 1 d˙A
~1 + E
~ 2 d˙A
~2 + . . .
Φres = E
Os vetores de área em cada ponto de uma superfície fechada, isto é, uma superfície que
circunda uma região de tal forma que o único modo de sair da região é através da superfície, são
escolhidos, por convenção, em pontos fora da superfície fechada. Uma superfície imaginária
fechada é uma superfície Gaussiana.
Nas questões a seguir, um cilindro Gaussiano, com raio a e altura l, é colocado em vários campos
elétricos. A base e a tampa do cilindro são indicados por A e C e a superfície lateral por B. Em
cada caso baseie suas respostas sobre o fluxo resultante somente em argumentos qualitativos sobre
o módulo do fluxo através das superfícies A, B e C.
A. O cilindro Gaussiano está em um campo elétrico uniforme
E0 , alinhado com o eixo do cilindro.
A
1. Encontre o sinal e o módulo do fluxo através:
• superfície A
• superfície B
B
C
• superfície C
B. Uma carga negativa está fechada dentro do cilindro Gaussiano. (O campo da parte A é removido.)
A
2. O fluxo resultante através da superfície Gaussiana é positivo,
negativo ou zero ?
1. Encontre o sinal e o módulo do fluxo através:
• superfície A
B
• superfície B
−Q0
2. O fluxo resultante através da superfície Gaussiana é positivo,
negativo ou zero ?
C
• superfície C
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A
C. Duas cargas de sinais opostos e módulos iguais estão contidas dentro do cilindro Gaussiano. As cargas estão sobre o eixo
do cilindro e equidistantes do centro do mesmo.
2
+Q
1. Encontre o sinal e o módulo do fluxo através:
• superfície A
0
B
• superfície B
−Q
0
C
• superfície C
2. O fluxo resultante através da superfície Gaussiana é positivo,
negativo ou zero ?
D. Uma carga positiva está localizada acima do cilindro Gaussiano
A
+Q0
1. Encontre o sinal e o módulo do fluxo através:
• superfície A
• superfície B
B
2. Você pode dizer se o fluxo através da superfície gaussiana é
positivo, negativo ou zero ? Explique.
C
• superfície C
⇒ Discuta seus resultados com o professor antes de continuar.
1.2 Lei de Gauss
A Lei de Gauss estabelece que o fluxo através de uma superfície gaussiana é diretamente proporcional a carga resultante contida pela superfície (Φres = qres /ǫ0 ).
A. As suas respostas para os ítens A-C da seção I são consistentes com a Lei de Gauss?
Explique.
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B. Na parte D da seção I, você tentou determinar o sinal do
fluxo através do cilindro Gaussiano.
1. Caso você ainda não tenha feito, use a Lei de Gauss para determinar se o fluxo resultante através da superfície Gaussiana
é positivo, negativo ou zero. Explique.
A
+Q0
B
C
2. Se ΦA = −10Nm2 /C e ΦC = 2Nm2 /C, qual é o valor de
ΦB ?
C. Encontre o fluxo resultante através de cada uma das superfícies Gaussianas abaixo.
2
1
4
3
+5 Q0
−100 Q
0
+ Q − Q0
−Q
0
0
+ Q0
+ Q0
−4Q0
D. As três superfícies esféricas gaussianas à direita
contém, cada uma, uma carga +Q0 . No caso C há
uma outra carga, −6Q0 fora da superfície.
−6Q0
r
Considere a seguinte conversa:
2r
+Q 0
caso A
r
+Q
0
caso B
+Q
0
caso C
• Estudante 1: "Uma vez que cada superfície Gaussiana contém a mesma carga, o fluxo
resultante através de cada uma deve ser o mesmo".
• Estudante 2: "A Lei de Gauss não se aplica aqui. O campo elétrico da superfície gaussiana
no caso B é mais fraco do que no caso A, porque a superfície está mais afastada da carga.
Uma vez que o fluxo é proporcional ao campo elétrico, o fluxo também deve ser menor
no caso B."
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• Estudante 3: "Eu estava comparando A e C. Em C a carga fora muda o campo em toda a
superfície. As áreas são as mesmas, então o fluxo deve ser diferente."
Você concorda com algum dos estudantes? Explique.
1.3 Aplicação da Lei de Gauss
A. Uma folha grande tem densidade de carga +σ0 . Uma superfície gaussiana cilíndrica
contém uma proção da folha e tem um comprimento L0 de um lado a outro da folha. A1 ,
A2 e A3 são as áreas das bases e lateral do cilindro, respectivamente. Somente uma porção
é mostrada na figura ao lado.
+σ
1. No diagrama à direita indique a localização da carga
contida pelo cilindro gaussiano.
Em termos de σ0 e de outras
quantidades relevantes, qual é
a carga resultante contida pelo
cilindro gaussiano?
0
A
3
A
A1
2
L
L0
0
2. Desenhe as linhas do campo elétrico
em ambos os lados da folha.
+σ
O cilindro gaussiano afeta as linhas de
campo ou a distribuição de carga? Explique.
0
A
3
A
3. Faça EL e ER representarem o módulo
do campo elétrico à esquerda e a direita
da superfície gaussiana.
Como se comparam os módulos de
EL e ER ? Explique.
A1
2
L
0
L0
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Como se comparam as áreas das bases da superfície gaussiana?
4. Através de quais das superfícies há fluxo resultante? Explique usando um esquema mostrando
a orientação relativa do campo elétrico e dos vetores área.
Escreva uma expressão para o fluxo elétrico Φres através do cilindro em termos das três áreas
(A1 , A2 e A3 ), EL e ER .
Use as realções entre os campos elétricos EL e ER e entre as áreas A1 e A2 , para simplificar a
equação para o fluxo resultante.
5. A Lei de Gauss (ΦR = q/ǫ0 ) relaciona o fluxo elétrico resultante através da superfície
gaussiana (que você encontrou na parte 4) à carga contida na superfície. Use essa relação para
encontrar a direção e o módulo do campo elétrico à direita e à esquerda do cilindro em termos
de σ0 .
Qual é o campo elétrico à esquerda da base do cilindro?
O campo elétrico próximo a folha de carga depende da distância da folha? Use seus resultados
anteriores para justificar sua resposta.
Sua resposta é consistente com as linhas de campo elétrico que você desenhou na parte 2?
Explique.
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⇒ Discuta seus resultados com o professor antes de continuar.
B. O cilindro gaussiano abaixo contém uma porção de duas folhas idênticas. A densidade
de carga na folha da esquerda é +σ0 e na direita +2σ0 .
+σ
1. Encontre a carga resultante contida
pelo cilindro gaussiano em termos de σ0
e outras quantidades relevantes.
0
+2
σ0
A
3
2. EL e ER são os campos elétricos à esquerda e à direita das bases do cilindro.
EL é maior, menor ou igual a ER ?
Explique.
A
A
1
2
L
0
L0
L0
3. Encontre o fluxo resultante através do cilindro gaussiano em termos de EL , ER e quaisquer
outras quantidades relevantes.
4. Use a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico a uma distância L da folha mais à direita.
Seus resultados são consistentes com os resultados que você obteve usando superposição?
Explique.