Interações Eletromagnéticas1
I.H.Hutchinson
1
©I.H.Hutchinson 1999
Capítulo 1
Equações de Maxwell e Campos
Eletromagnéticos
1.1 Introdução
1.1.1 Equações de Maxwell (1865)
As equações que governam o eletromagnetismo
∇⋅E =
ρ
ε0
∇⋅B = 0
(Lei de Coulomb)
∂B
∇× E = −
∂t
(Lei de Faraday)
1 ∂E
∇ × B = µ0 j + 2
c ∂t
(Lei de Ampère)
(1.1)
E: campo elétrico que descreve a força que atua sobre a carga q (estacionária): F = qE
B representa o campo magnético que descreve a força que atua sobre corrente, isto é, uma
carga em movimento (velocidade v): F = qv × B .
Assim a força de Lorentz (sobre a carga q) é dada por:
F = q ( E + v × B)
(1.2)
ρ : Densidade volumétrica de carga (Coulomb/m3). Carga total: Q = ∫ ρ d 3 x
V
2
j : Densidade superficial de corrente elétrica (Coulombs/m )
j idA : Corrente que atravessa um elemento de área dA , Coulomb/s = Ampère.
5
1.1.2 Notas Históricas
Na segunda metade do século XIX, houve muita controvérsia científica sobre se E e B eram
quantidades físicas reais da ciência ou se tratavam de meras conveniências matemáticas
para expressar as forças que cargas elétricas exerciam umas sobre as outras. A ciência
inglesa (Faraday, Maxwell), dava ênfase aos campos; Os alemães, na sua grande maioria,
Figura 1.1: Densidade de Carga é a carga local por unidade de volume. Densidade de Corrente é a corrente por unidade de área.
aceitavam a idéia de ação a distância. Desde 1900 esta questão foi considerada como
resolvida a favor dos campos. E da física moderna, se é que estamos aptos a considerar o
campo mais fundamental que a partícula.
1.1.3 Campos Auxiliares e Meios Eletromagnéticos.
Textos eletromagnéticos discutem freqüentemente dois campos "auxiliares" adicionais, o
"deslocamento elétrico" D e a "intensidade magnética" H que contam para dielétricos e
propriedades magnéticas dos materiais. Estes campos não são fundamentais e introduzem
complicações desnecessárias e possíveis confusões para a maioria dos tópicos que iremos
tratar. Então nós os evitaremos tanto quanto for possível. Para o vácuo,
ε 0E = D, e B = µ0 H .
1.1.4 Unidades
Historicamente havia dois (ou mais!) sistemas diferentes de unidades, um que define a
quantidade de carga em termos da força entre duas cargas estacionárias (as unidades
"Eletrostáticas") e um outro que define a quantidade de carga em termos de forças entre
correntes (sem carga), o sistema "Eletromagnético". As unidades Eletrostáticas são
baseadas na lei de Coulomb ∇ ⋅ E = ρ / ε 0 e as unidades eletromagnéticas (versão do estado
estacionário) na lei de Ampère ∇ × B = µ0 j . Portanto, as quantidades 1/ ε 0 e µ0 são
fundamentalmente fatores de calibração que determinam o tamanho da unidade de carga.
Escolhendo uma ou outra quantidade como sendo igual a 4π , temos as unidades
eletrostáticas ou eletromagnéticas. Porém, com a unificação de eletromagnetismo, e a
subseqüente compreensão de que a velocidade de luz é uma constante fundamental, ficou
claro que as unidades do eletromagnetismo deveriam ser definidas somente em termos de
uma destas leis e da velocidade de luz. Então o “Sistema Internacional” SI (ou às vezes
MKSA) de unidades adota a definição eletromagnética, porque pode ser medida mais
6
facilmente, mas com um µ0 diferente, como segue. "Um Ampère é a corrente que, ao fluir
por dois fios paralelos e infinitesimais, distantes 1m um do outro, produz uma força de
2 ×10−7 Newtons por metro de seu comprimento”. Um Ampère é um Coulomb por segundo.
Assim, isto define a unidade de carga. Mostraremos depois que esta definição chega a
definir
µ0 = 4π ×10−7
(Henry/metro)
(1.3)
e isto porque a razão entre as unidades eletromagnéticas e eletrostáticas é c 2 .
ε0 =
1
c µ0
2
= 8,85 ×10−12
(Farad/metro)
(1.4)
µ0 é chamado de “permeabilidade do vácuo”. ε 0 é chamado de “permissividade do
vácuo”.
[Veja J.D. Jackson 3a edição, Apêndice para uma discussão detalhada.]
1.2 Cálculo Vetorial e Notação.
Quantidades eletromagnéticas incluem campos vetoriais E, B etc. e assim o
eletromagnetismo utiliza vastamente o campo vetorial. ∇ é a taquigrafia para o operador
vetorial (gradiente)
⎛ ∂φ ∂φ ∂φ ⎞ ∂φ
∇φ = ⎜ , , ⎟ =
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂xi
(notação indexial)
(1.5)
que fornece o vetor gradiente a partir do campo escalar φ . ∇ pode também operar sobre
campos vetoriais através dos produtos escalar ( ⋅) e vetorial (× ) .
1.2.1 Divergente.
∇⋅ E =
∂Ex ∂E y ∂Ez ∂Ei
+
+
=
∂x
∂y
∂z
∂xi
(1.6)
1.2.2 Rotacional.
⎛ ∂E ∂E y ∂Ex ∂Ez ∂E y ∂Ex ⎞
∂Ek
∇× E = ⎜ z −
−
−
,
,
⎟ = ε ijk
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y ⎠
∂x j
⎝ ∂y
7
(1.7)
1.2.3 Integração Volumétrica.
∫
V
d 3x
(1.8)
d 3 x é a taquigrafia para dxdydz = dV , o elemento diferencial de volume.
Figura 1.2: Elementos para integrais de superfície e de linha.
1.2.4 Integração de Superfície.
∫ v ⋅ dA
S
(1.9)
O elemento diferencial de superfície dA ou frequentemente dS é um vetor normal ao
próprio elemento.
1.2.5 Integração de Linha (Contorno)
∫ v ⋅ dl
(1.10)
C
Elemento diferencial de linha dl.
1.2.6 O Significado da Divergência: ∇
Figura 1.3: Elemento diferencial de volume em coordenadas cartesianas.
8
Considere o elemento diferencial de volume. Calcule o fluxo total do campo vetorial v
através da superfície do elemento. O fluxo é dado pela soma de v ⋅ dA sobre todas as faces
do cubóide
⎡⎣ vx ( x + dx ) − vx ( x ) ⎤⎦ dydz +
⎡⎣ v y ( y + dy ) − v y ( y ) ⎤⎦ dzdx +
⎡⎣ vz ( z + dz ) − vz ( z ) ⎤⎦ dxdy =
⎡ dv dv dv ⎤
dxdydz ⎢ x + y + z ⎥ = d 3 x∇ ⋅ v = dV ∇ ⋅ v
⎣ dx dy dz ⎦
(1.11)
Então para este volume elementar:
∫
dS
v ⋅ dA = ∫ ∇ ⋅ vd 3 x
dV
(1.12)
Figura 1.4: As faces adjacentes se cancelam na soma da divergência para muitos elementos.
Mas qualquer volume finito e arbitrário pode ser considerado como sendo a soma de muitos
elementos cuboidais pequenos. As contribuições das faces adjacentes internas se cancelam
mutuamente e conseqüentemente só as contribuições da superfície externa permanece,
assim
∫ v ⋅ dA = ∫
S
V
∇ ⋅ vd 3 x
(1.13)
para qualquer volume V com superfície S, e campo vetorial arbitrário v. Este é o Teorema
de Gauss.
9
1.2.7 O Significado do Rotacional: ∇ × .
Figura 1.5: Elemento de superfície retangular com eixos escolhidos de forma que a normal à superfície esteja na direção z.
Considere um elemento de superfície retangular arbitrário e escolha os eixos coordenados
de forma que a normal esteja na direção z e os eixos sobre x e y. Considere também um
campo vetorial arbitrário v ( x ) . Calcule a integral de contorno de v ( x ) , no sentido horário
do contorno dC, ao redor da fronteira do elemento.
∫
dC
v ⋅ dl = v ( x ) ⋅ dx + v ( x + dx, y ) ⋅ dy + v ( x, y + dy ) ⋅ ( − dx ) + v ( x ) ⋅ ( − dy )
⎛ dv dv ⎞
= ⎜ y − x ⎟ dxdy = ( ∇ × v ) z dA = ( ∇ × v ) ⋅ dA
⎝ dx dy ⎠
(1.14)
Assim a integral v ⋅ dl ao redor do elemento é igual ao produto escalar entre o rotacional do
campo e o elemento de área. Aplicando o resultado para uma superfície arbitrária; divida a
superfície em muitos elementos de área dA. Todas as integrais de contorno internas se
cancelam. Por esta razão
∫
C
v ⋅ dl = ∫ ( ∇ × v ) ⋅ dA
S
(1.15)
Este é o Teorema de Stokes.
1.3 Eletrostática e o Teorema de Gauss
O teorema de Gauss é a chave para o entendimento da eletrostática em termos da lei de
Coulomb ∇ ⋅ E = ρ / ε 0 .
10
Figura 1.6: A superfície arbitrária pode ser dividida em uma soma de muitos elementos retangulares. As contribuições das integrais de
contorno adjacentes se cancelam.
1.3.1 Carga Pontual q
Aplicando o teorema de Gauss em uma esfera que engloba a carga q
Figura 1.7: Volume esférico V, sobre o qual efetuamos a integral de superfície da lei de Coulomb para deduzir o campo elétrico
∫
S
ρ 3
q
d x=
V ε
ε0
0
E ⋅ dA = ∫ ∇ ⋅ Ed 3 x = ∫
V
E.
(1.16)
Mas por simetria esférica E deve estar na direção radial e ter módulo constante por sobre a
esfera E r . Por esta razão ∫ E ⋅ dA = ∫ Er dA = Er ∫ dA = Er 4π r 2 . Assim
S
S
S
Er 4π r 2 =
q
ε0
11
ou
(1.17)
Er =
q
4πε 0 r
E=
isto é,
2
q
r
4πε 0 r 3
(1.18)
Como conseqüência do campo obtido, a força sobre uma segunda carga à distância r é dada
por
F=
q1q2
4πε 0 r 2
(1.19)
lei do inverso quadrado da força eletrostática.
1.3.2 Carga Simetricamente Esférica ρ ( r )
Note que a obtenção do campo para uma carga pontual só dependeu da simetria. Assim
para uma densidade de cargas simetricamente distribuída, o argumento funciona da mesma
maneira, isto é
E = rˆEr
Er =
q
4πε 0 r 2
(1.20)
r
onde agora q = ∫ ρ d x = ∫ ρ ( r ) 4π r 2 dr
3
V
(1.21)
0
O campo elétrico devido a uma densidade de cargas que apresenta simetria esférica, é igual
ao campo de uma carga pontual, de carga igual a carga total da distribuição, posta no centro
da esfera.
1.3.3 Distribuição Arbitrária de Carga
O Teorema de Gauss ainda se aplica mesmo quando não há nenhuma simetria específica:
Figura 1.8: Volume arbitrário para o Teorema de Gauss.
12
∫
S
E ⋅ dA = ∫ ∇ ⋅ Ed 3 x = ∫
V
V
ρ 3
q
d x=
ε0
ε0
(1.22)
q é a carga total (integral da densidade de carga) sobre o volume. A integral
∫
S
E ⋅ dA
fornece o fluxo total do campo elétrico, através da superfície S.
1.3.4 Quadro Intuitivo
Cada carga ( + ve ) é um ponto de origem de uma linha de campo elétrico. [Cada carga
( −ve ) , ao contrário, é um ponto de destino das linhas de campo]. A carga total no volume V
determina o número de linhas de campo que se iniciam no volume. As linhas de campo
somente começam/terminam sobre as cargas (lei de Coulomb) de maneira que todas as
linhas devem escapar do volume, cruzando a superfície S (em algum lugar). [linhas de
campo que começam e terminam em V não contribuem para ∫ E ⋅ dA e nem para q, por
S
causa do cancelamento]. O fluxo
∫
S
E ⋅ dA pode ser encarado como um contador do
“número de linhas de campo” que cruzam a superfície. [Claro que é uma escolha arbitrária
saber qual deve ser o valor da carga que dá origem a uma linha de campo]. Visão
“intuitiva” da intensidade do campo elétrico: intensidade de E é proporcional ao número de
linhas de campo por unidade de área. Todas estas visões intuitivas são conceitualmente
úteis mas não são formalmente necessárias. O eletromagnetismo é considerado
completamente descrito pelas equações de Maxwell sem a necessidade dessas descrições.
Figura 1.9: Descrição intuitiva de cargas e das linhas de campo.
13
Figura 1.10: O espaçamento das linhas de campo é inversamente proporcional a intensidade do campo.
1.3.5 Potencial Elétrico (para problemas estáticos
∂
→ 0)
∂t
Na situação estática não há indução e a lei de Faraday se torna ∇ × E = 0 . A propósito, esta
equação també poderia ser obtida através da lei do inverso quadrado notando que
∇×
r
=0
r3
(1.23)
assim pela linearidade do operador ∇ × , a soma (integral) de todas as contribuições do
campo elétrico de qualquer distribuição de carga é de rotacional zero “irrotacional”:
∇× ∫
ρ ( r ') r − r ' 3
d r'=0
4πε 0 r − r ' 3
(1.24)
[Isto mostra que o argumento de simetria esférico somente funciona na ausência de
i
indução, B definiria uma direção preferida; assimétrica!] Para qualquer campo vetorial E,
∇ × E = 0 é uma condição necessária e suficiente para que E possa ser escrito como o
gradiente de uma função escalar E = −∇φ .
Necessária
( ∇ × ∇φ ) z =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
−
=0
∂x ∂y ∂y ∂x
14
(assim como x,y)
(1.25)
Figura 1.11: Cada elemento contribui com uma componente irrotacional para E. Portanto o campo total E é irrotacional.
Rotacional do gradiente é zero.
Suficiente (prove por construção)
Figura 1.12: Dois caminhos diferentes que vão de
0ax
constroem um contorno fechado quando um deles é invertido.
Aplicando o teorema de Stokes para um contorno fechado que consiste de dois caminhos
quaisquer entre os pontos 0 e x.
∫
C
x
x
0
0
Caminho 2
Caminho 1
E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = ∫ ∇ × E ⋅ d S =
S
15
0
por hipótese
(1.26)
x
Então ∇ × E = 0 ⇒ ∫ E ⋅ dl é independente do caminho escolhido, isto é, ele define uma
0
quantidade única . Chamemos esta quantidade de −φ ( x ) . Considere ∇φ definido como o
2
limite de δφ entre pontos adjacentes.
⎛x
⎞
−∇φ = ∇ ⎜ ∫ E ⋅ dl ⎟ = E
⎝0
⎠
(1.27)
Muitos problemas eletrostáticos são mais facilmente resolvidos em termos do potencial
elétrico φ , devido ao fato de ser uma função escalar (tão mais fácil). Equação que governa
o potencial:
∇ ⋅ E = −∇ ⋅∇φ = −∇ 2φ =
∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∇ 2φ =
−ρ
ε0
ρ
ε0
è o operador “Laplaciano”
“Equação de Poisson”
(1.28)
(1.29)
(1.30)
1.3.6 Potencial de uma Carga Pontual [Solução Geral do Potencial]
Podemos mostrar através de diferenciação direta que
1
r
∇ =− 3
r
r
Assim através de nossa expressão prévia para E =
φ=
(1.31)
q
r
podemos identificar
4πε 0 r 3
q 1
4πε 0 r
(1.32)
Como o potencial da carga q (situada na origem x = 0 ).
2
O potencial pode sempre ser alterado somando uma constante a ele, sem alterar com isso E. Esta liberdade
pode ser considerada equivalente à escolha da origem no qual φ = 0 .
16
1.3.7 Função de Green para o Laplaciano
Para um operador diferencial linear L , os matemáticos definem a chamada “função de
Green” simbolicamente através da equação
LG ( x , x ' ) = δ ( x − x ' )
(1.33)
Se pudermos resolver esta equação em geral, então podemos construir soluções
Lφ = ρ ( x )
(1.34)
para um ρ arbitrário como
φ ( x ) = ∫ G ( x , x ') ρ ( x ') d 3 x '
(1.35)
Devido à propriedade da função δ (definição)
∫ f ( x ') δ ( x − x ') d
3
x ' = f ( x)
(1.36)
Quando L é o Laplaciano, ∇ 2 , a função de Green é dada por
G ( x, x ') =
−1
4π x − x '
(1.37)
Este fato pode ser obtido diretamente da solução para o potencial de uma carga pontual.
Realmente, uma carga pontual se enquadra exatamente na situação da função delta cuja
solução é a função de Green. Em outras palavras, a densidade de carga para uma carga
pontual de magnitude q na posição x ' é
ρ ( x ) = qδ ( x − x ')
(138)
Assim o potencial de uma carga pontual, a saber,
φ=
1
1
x− x'
(1.39)
δ ( x − x ')
(1.40)
4πε 0
é a solução da equação
∇ 2φ = −
q
ε0
17
Conseqüentemente, a solução da equação de Poisson pode ser escrita como a integral da
função de Green:
⎛ − ρ ( x ') ⎞ ⎛
−1
⎟ ⎜⎜
⎝ ε 0 ⎠ ⎝ 4π x − x '
φ ( x) = ∫⎜
⎞ 3
ρ ( x ') d 3 x '
d
x
'
=
⎟⎟
∫ 4πε 0 x − x '
⎠
(1.41)
Uma distribuição regular de cargas ρ pode ser aproximada informalmente como sendo a
soma
(→ ∫ )
de muitas cargas pontuais ρ ( x ') d 3 x ' , e o potencial é a soma de suas
contribuições.
1.3.8 Condições de Contorno
Estritamente falando, a solução da equação de Poisson não é única. Podemos sempre
adicionar a φ uma solução da equação homogênea (Laplace) ∇ 2φ = 0 . A solução somente
se torna única quando especificamos as condições de contorno. A solução
ρ ( x ') d 3 x '
φ ( x) = ∫
4πε 0 x − x '
(1.42)
é correta quando as condições de contorno são tais que
φ → 0 para x → ∞
(1.43)
campo externo não aplicado.
Na prática os cálculos eletrostáticos mais interessantes envolvem contornos específicos. A
maior parte do trabalho consiste em resolver a equação de Laplace com condições de
contorno apropriadas. Essas são freqüentemente as especificações de φ sobre as superfícies
(condutoras). A densidade de carga nos condutores raramente é especificada no início.
1.3.9 Capacitor de Placas Paralelas
Idealize o problema como sendo unidimensional, ignorando os efeitos de borda. A equação
de Laplace unidimensional no vácuo (onde ρ = 0 ) é
d 2φ
=0
d 2z
18
(1.44)
Figura 1.13: Capacitor de placas paralelas
Solução φ = a − Ez , onde a e E são constantes.
Conseqüentemente o campo elétrico é E = Ezˆ
Note como a forma do campo surge exclusivamente da invariância translacional de
⎛ d
⎞
d
=
= 0⎟ .
⎝ dx dy
⎠
φ⎜
Escolha como z = 0 a posição de uma das placas do capacitor. A outra então estará em
z=d.
Faça φ ( z = 0 ) = 0 : potencial de referência, fazendo a = 0 .
Potencial da outra placa: V = φ ( d ) = − Ed .
Questão: Qual será a carga por unidade de área sobre as placas quando o campo elétrico é
E?
Responda considerando um elemento de volume plano, de área A envolvendo a placa + ve .
Figura 1.14: Volume elementar para o calcular a relação carga/campo.
Aplicando a lei de Gauss
∫ E ⋅ dS = ∫
A
⎡⎣0 + ( − E ) ⎤⎦ dS = − EA
S
ρ 3
Q 1
d x= = σA
V ε
ε0 ε0
0
=∫
(1.45)
Conseqüentemente
σ = −ε 0 E = ε 0
19
V
d
(1.46)
Se a área total é A, a carga total Q e a voltagem entre as placas V, então essas grandezas
estão relacionadas por:
⎛ε A⎞
Q = ⎜ 0 ⎟V
⎝ d ⎠
(1.47)
e o coeficiente ( ε 0 A / d ) é chamado capacitância, C. Note a nossa abordagem:
•
•
Resolva a equação de Laplace escolhendo as coordenadas de forma consistente com
a simetria do problema.
Obtenha a carga através da lei de Gauss empregando para tanto um volume
apropriado.
1.3.10 Carga sobre um Condutor Arbitrário
Considere um condutor carregado em equilíbrio eletrostático. A corrente elétrica é nula.
Figura 1.15: Condutor de forma arbitrária possui somente cargas superficiais relacionadas ao campo local, normal à superfície.
Devido a condutividade, o campo no interior do condutor é zero.
Escolha um volume interno arbitrário: E = 0 ⇒ ∇ ⋅ E = 0 ⇒ ρ = 0 . Não há cargas internas.
Todas elas residem na superfície. Na superfície existe apenas um campo E externo ao
condutor. O campo E é normal à superfície ds porque a superfície é uma equipotencial (e
E = −∇φ ). Assim, aplicando a lei de Gauss a uma “caixa de pílulas”
∫ ∇ ⋅ Ed
V
=∫
3
x = ∫ E ⋅ dS = Eds
S
ρ 3
σ
σ
d x = ∫ ds = ds
ε0
ε0
ε0
(1.48)
onde σ = densidade superficial de carga. Portanto σ = ε 0 E . É evidente que para este caso
geral E ( = Enormal ) não é uniforme sobre a superfície do condutor mas varia de ponto a
20
ponto. Novamente o procedimento seria: resolva φ através de ∇ 2φ = 0 ; então deduza σ ;
em vez do contrário.
1.3.11 Visualizando o Potencial Elétrico e o Campo
Considere um gráfico bidimensional de φ . O valor de φ pode ser encarado como sendo o
valor da energia potencial de uma carga de 1 Coulomb. Assim há uma analogia perfeita
com a energia potencial gravitacional e com as curvas de nível. A força em qualquer ponto
da curva de nível é descendente (sobre uma carga + ve ) que é perpendicular ao gráfico de
φ = constante. A intensidade da força (E) é proporcional à declividade da curva: isto é,
quão próximos os contornos são (de φ ). Quando mapeamos as linhas de campo, isto é
linhas que seguem a direção do campo elétrico, consideramos geralmente também a
intensidade do campo elétrico como sendo o número de linhas de campo por unidade de
área. Também indicamos a intensidade do campo através da proximidade entre as linhas de
campo. Em regiões livres de cargas ∇ ⋅ E = 0 implica que as linhas de campo não possuem
nenhum começo ou fim. Porém se ρ ≠ 0 , então as linhas de campo elétrico podem
possivelmente ter fim (nas cargas). Os contornos dos potenciais nunca têm fim.
Figura 1.16: Contornos do potencial e as correspondentes linhas de campo (marcadas com flechas). Somente são desenhadas as linhas de
campo que emanam do condutor elíptico maior.
1.3.12 Representação em 2D do Potencial Complexo
Em uma região livre de cargas, ∇ ⋅ E = 0 ⇒ ∇ 2φ = 0 . Este é o motivo para que haja uma
íntima relação entre linhas de campo e os contornos de φ . Esta relação nos permite usar o
21
cálculo de variáveis complexas para fazer uma análise poderosa dos problemas de
potenciais em duas dimensões. Considere uma função complexa f ( z ) = φ ( z ) + iψ ( z ) ,
onde z = x + iy é o argumento complexo com partes real e imaginária x e y ; f(z) tem parte
real e imaginária φ e ψ . A função f é “analítica” se existir e for bem definida a derivada
complexa df / dz (que é também analítica), definida da maneira usual como
⎡ f ( z ') − f ( z ) ⎤
lim ⎢
⎥ . Para que este limite seja o mesmo não importando a direção ( x, y )
z '→ z
−
z
'
z
⎣
⎦
que ela é levada, f (z) deverá satisfazer as “relações de Cauchy-Riemann”
∂φ ∂ψ
=
∂x ∂y
;
∂φ
∂ψ
=−
∂y
∂x
(1.50)
A qual, por substituição, implica ∇ 2φ = 0, ∇ 2ψ = 0 , e também
∇φ ⋅∇ψ = 0
(1.51)
relativamente às coordenadas bidimensionais x,y. Isto mostra que
1. A parte real da função analítica soluciona ∇ 2φ = 0 .
2. Os contornos da parte imaginária correspondente, ψ , coincidem então com as
linhas do campo elétrico.
Encontrar a representação complexa para os problemas de potencial consiste em empregar
uma das técnicas mais poderosas de solução analítica. Porém, para cálculos práticos, as
técnicas de solução numérica são agora predominantes.
1.4 Corrente Elétrica Distribuída em um Meio
A lei de Ohm, V = RI , relaciona tensão, corrente e resistência para um circuito ou para um
elemento discreto. Porém, com freqüência, não nos preocupamos apenas com a corrente
total mas também com a densidade de corrente em condutores finitos (por exemplo
eletroímãs). Isto requer a lei de Ohm local que é dada por
E =η j
(1.52)
onde η é a resistividade elétrica do meio. Freqüentemente a condutividade σ = 1/ η é
usada. j = σ E , (mas eu tentarei evitar confusão com a densidade de carga σ ). Tal relação
linear se aplica para a maioria dos metais.
22
1.4.1 Condução em Estado Estacionário
A conservação de carga pode ser escrita como
∇⋅ j = −
∂ρ
∂t
(1.53)
então, no estado estacionário, ∇ ⋅ j = 0 , isto é
⎛1 ⎞
1 1
∇ ⋅ ⎜ E ⎟ = ( E ⋅∇ ) + ∇ ⋅ E = 0
η η
⎝η ⎠
(1.54)
Se a condutividade é uniforme ∇ (1/ η ) = 0 ou invariante ao longo de E, temos portanto
∇ ⋅ E = 0 ⇒ ρ = 0 . “Condutores de condutividade
volumétrica de carga nula no estado estacionário”.
uniforme
adquirem
densidade
1.4.2 Condições de Contorno para Condutores (Correntes Estacionárias)
Figura 1.17: Um condutor de condutividade finita, e que carrega uma corrente distribuída.
Se a corrente está fluindo, de maneira que E ≠ 0 no condutor, então o condutor não é mais
uma superfície equipotencial para as soluções da equação de Laplace externas. Cargas de
superfície (só) estão presentes sobre o condutor (η uniforme). Nenhuma corrente flui
através da superfície do condutor (exceto no contato) assim
j⋅n = 0 ⇒ E ⋅n = 0
dentro do condutor, enquanto que no lado externo temos
23
(1.55)
E ⋅ n = ε 0σ
densidade superficial de cargas. As componentes normais
(1.56)
Figura 1.18: Condições de contorno através de uma interface condutor/vácuo (ou isolante).
En dentro = 0
[ En ]dentro = σ / ε 0
fora
(1.57)
Componentes Tangenciais.
[ Et ]dentro = 0
fora
(1.58)
Em particular, para resolver ∇ 2φ = 0 no interior de um condutor uniforme η , na fronteira
do condutor:
∇ 2φ ⋅ n = 0 (C. C. de Newman)
(1.59)
ao contrário da condição de contorno usual da eletrostática ( φ = dado). Nos contatos
elétricos, poderia ser apropriado conhecer o valor de φ .
Um método geral para resolver o problema de distribuição de corrente estacionária em um
meio com η uniforme:
1. Resolva a equação de Laplace ∇ 2φ = 0 no interior do condutor usando a condição
de contorno de Dirichlet ( φ dado) ou possivelmente a de Neumann não homogênea
( ∇φ n = dado) e ∇φ ⋅ n = 0 na fronteira do isolante.
2. Resolva a equação de Laplace ∇ 2φ = 0 no exterior do condutor usando a condição
de contorno de Dirichlet ( φ dado) com φ tomado da solução interna.
24
1.5 Potencial Magnético
O campo magnético possui divergência zero ∇ ⋅ B = 0 . Para um campo vetorial3 qualquer
B, ∇ ⋅ B = 0 representa uma condição necessária e suficiente para que B possa ser escrito
como o rotacional de um potencial vetor B = ∇ × A .
1.5.1 ∇ ⋅ B = 0 Necessária
( y)
∂ ⎛ ∂Az( z ) ∂Ay ⎞
∇ ⋅ ( ∇ × A) = ⎜
−
⎟
∂x ⎜⎝ ∂y
∂z ⎟⎠
(1.60)
∂ ⎛ ∂Ax( ) ∂Az( z ) ⎞
−
⎜
⎟
∂y ⎜⎝ ∂z
∂x ⎠⎟
(1.61)
x
+
( y)
∂A( x ) ⎞
∂ ⎛ ∂A
+ ⎜ y − x ⎟=0
∂z ⎜⎝ ∂x
∂y ⎟⎠
(1.62)
somente campos de divergente nulo podem ser representados.
1.5.2 ∇ ⋅ B = 0 Suficiente (prova por construção)
Considere a quantidade
K ( x) = ∫
B ( x ')
4π x − x '
d 3x '
(1.63)
um vetor construído através da integral de cada componente cartesiana de B. Aplicando o
conhecimento que temos sobre o método da função de Green para obtenção das soluções da
equação de Poisson, Sabemos que:
∇2 K = −B
(1.64)
Identidade do operador vetorial (para qualquer v):
∇ × ( ∇ × v ) = ∇ ( ∇ ⋅ v ) − ∇ 2v
3
Satisfazendo B → 0 conforme x → −∞ rápido o suficiente.
25
(1.65)
Conseqüentemente
B = −∇ 2 K = ∇ × ( ∇ × K ) − ∇ ( ∇ ⋅ K )
(1.66)
Provamos o teorema de Helmholtz que qualquer campo vetorial pode ser representado
como a soma de um [gradiente + rotacional]. Quando ∇ ⋅ B = 0 e B → 0 (rápido o
suficiente) conforme x → ∞ , pode-se mostrar que ∇ ⋅ K = 0 e assim construímos o
potencial vetor requerido.
A = ∇× K = ∇× ∫
B ( x ') d 3 x '
4π x − x '
(1.67)
Note que construímos A tal que ∇ ⋅ A = 0 . Porém A é indeterminado a partir de B porque
podemos acrescentar ao vetor A o gradiente de um escalar arbitrário sem com isso alterar o
valor de B, desde que ∇ × ∇χ = 0 . Assim, como efeito, podemos fazer ∇ ⋅ A igual a
qualquer quantidade desejada ψ ( x ) somando ao vetor A um ∇χ tal que ∇ 2 χ = ψ .
Escolher o ∇ ⋅ A é conhecido como escolha de “Gauge”. ∇ ⋅ A = 0 é conhecido como o
“Gauge de Coulomb”.
1.5.3 Solução Geral para o Potencial Vetor (Magnetostática)
Lei de Ampère Estática ∇ × B = µ0 j . Agora
µ0 j = ∇ × ( ∇ × A )
= ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A = −∇ 2 A (gauge de Coulomb)
(1.68)
Conseqüentemente as componentes cartesianas de A são soluções da equação de Poisson
∇ 2 Ai = − µ0 j
(1.69)
Usando a nossa solução geral da equação de Poisson (veja 1.37):
A( x) =
µ0
4π
∫
Resultando B:
26
j ( x ')
x− x'
d 3x '
(1.70)
B = ∇× A =
=
j ( x ') 3
µ0
∇×
d x'
∫
x− x'
4π
µ0
µ
1
− j ( x ') × ∇
d 3x ' = 0
∫
x− x'
4π
4π
∫
j ( x ') × ( x − x ')
x − x'
3
d 3x '
(1.71)
Esta é a versão da lei de Biot e Savart para a densidade de corrente (datando de ∼ 1820).
Para um fio percorrido por corrente, a integral sobre o volume de j é substituído pela
integral de Idl, isto é:
B=
( x − x ') × j x ' d 3 x ' = µ0 − ( x − x ') × Idl '
µ0
−
( )
3
∫
4π
4π ∫ x − x ' 3
x− x'
(1.72)
A lei de Biot-Savart nos oferece um meio direto para calcular B através da integral por
sobre o volume de j ( x ' ) , que pode também, se necessário, ser calculada através de
métodos numéricos. Porém esta integração representa um método de força bruta, pois é
excessivamente trabalhosa e de difícil obtenção, se o problema não apresentar simetria.
Caso haja simetria, o procedimento se torna bem simples.
1.5.4 Simetria Translacional Cartesiana. (2-d x, y)
Figura 1.19: (a) As coordenadas referentes a um fio reto e infinito percorrido pela corrente I, e (b) O contorno e a superfície adequados
para o uso da lei de Ampère.
Se consideramos uma situação onde ∂ / ∂z = 0 , correspondendo a correntes retas, paralelas
e infinitas na direção z, teremos j = j ( x, y ) zˆ . Nossa solução geral para o potencial vetor
nos mostra imediatamente que A = Azˆ, Ax = Ay = 0 . (Asumindo que A, B → 0 no ∞ , isto
é, não há fontes “externas”). Este fato nos diz que Bz = ( ∇ × A ) z . Podemos considerar que o
filamento infinitesimal de corrente é o bloco elementar de construção do nosso problema.
27
Formalmente j = I δ ( x ) δ ( y ) . Poderíamos calcular B ( x ) integrando este filamento de
corrente. Porém é muito mais simples usar a Lei de Ampère diretamente
∫ ( ∇ × B ) ⋅ ds = ∫
S
Por simetria
∫
C
C
B ⋅ dl = ∫ µ 0 j ⋅ d s = µ 0 I
S
(1.73)
B ⋅ dl = 2π rBθ
Então
Bθ =
µ0 I
2π r
(1.74)
Também Br = 0 , como se verifica através do Teorema de Gauss , aplicado a um volume (de
comprimento unitário na direção z)
0 = ∫ ∇ ⋅ Bd 3 x = ∫ B ⋅ dS = 2π rBr
V
S
(1.75)
por simetria.
Assim as equações de Maxwell nos mostram imediatamente que a função de Green que
resolve a equação ∇ × B = µ0 Izˆδ ( x − x ') é
µI
B = θˆ 0
2π
1
( x − x ') + ( y − y ')
2
2
(1.76)
Qualquer função geral j ( x, y ) pode ser tratada por integração dupla usando esta função.
1.5.5 Simetria Cilíndrica (Espira Circular com eixo comum)
Se existirem coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) tais que ∂ / ∂θ = 0 , j = jθˆ . Então por
simetria A = A θˆ , B = 0 . Esta situação se mostra solúvel apenas em termos das funções
θ
θ
especiais conhecidas como Integrais Elípticas. Se
28
Figura 1.20: Coordenadas Cilíndricas nas proximidades de um filamento circular percorrido por corrente.
jθ = I δ ( r − a ) δ ( z )
(1.77)
Então
2
µ0
a ⎡ ( 2 − k ) K ( k ) − 2E ( k ) ⎤
⎢
⎥
Aθ =
2
4π
r ⎢
k
⎥
⎣
(1.78)
⎦
onde
k2 ≡
4ra
(r + a)
2
+ z2
(1.79)
e K, E são as integrais elípticas completas de primeira e segunda ordens. Esta forma geral é
muito incômoda pois não faz cálculos analíticos gerais tratáveis, mas ao invés disso, faz
uma avaliação numérica fácil, usando rotinas tabeladas para K ( k ) e E ( k ) . Sobre o eixo
( r = 0)
o campo é muito mais simples
B = Bzˆ =
µ0 I
2π a 2
ẑ
4π ( z 2 + a 2 )3/ 2
(1.80)
1.5.6 Propriedade Geral de Situações de Simetria: Função de Fluxo
Quando há uma direção de simetria, a componente de B que é perpendicular àquela direção,
pode ser expressada em termos de uma “função de fluxo”. O fluxo magnético entre duas
posições é definido como o fluxo do campo B que cruza uma superfície que atravessa a
abertura (por comprimento de unidade se translational). Desde que ∇ ⋅ B = 0 não importa
como a superfície obtém do ponto de ref a P (contanto que permaneça simétrica)
29
Figura 1.21: Caminho que vai de um ponto de referência para um ponto de campo define uma superfície para qual se aplica o teorema de
Stokes, em uma situação de simetria translacional.
Assim a função
ψ ≡ ∫ B ⋅ dS
S
(1.81)
é bem definida. Para simetria translacional ( ẑ ) , uma conseqüência é
B⊥ = − zˆ × ∇ψ
(1.82)
ψ = ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ × A ⋅ dS = Az ( P ) − Az ( 0 )
(1.83)
Isto surge porque
S
De fato ψ é idêntico à componente z do potencial vetor e
B = ∇ × A = Bz zˆ + ∇ × ( Az zˆ ) = Bz zˆ + B⊥
B⊥ = Az ∇ × zˆ + ( ∇Az ) × zˆ
(1.84)
= − zˆ × ∇Az = − zˆ × ∇ψ
B⊥ é a parte do campo perpendicular a ẑ . Também poderia ser Bz
Do sistema de coordenadas curvilíneas surgem outras tantas variações de simetria
cilíndrica. Há ainda outras simetrias até mesmo, por exemplo, a helicoidal.
30
1.6 Eletromagnetismo e Imãs
1.6.1 Solenóide Simples
Figura 1.22: Solenóide longo ideal bobina magnética
Um solenóide “longo” possui simetria translacional de forma que B é independente de z,
como também de θ (exceto nas extremidades). Então
0 = ∇⋅B =
1 ∂
∂
∂
rBr +
Bθ + Bz
∂z
r ∂r
r∂θ
=0
(1.85)
=0
então
rBr = const. e conseqüentemente Br = 0
(1.86)
Também
⎛1 ∂
⎞ ⎛ ∂
⎞
rBθ ⎟ zˆ + ⎜ − Bz ⎟ θˆ = µ0 j
∇× B = ⎜
⎝ r ∂r
⎠ ⎝ ∂r ⎠
(estacionária)
(1.87)
No interior do solenóide, j = 0 então
rBθ = const. e conseqüentemente Bθ = 0 .
(1.88)
(de fato se jz = 0 em toda a parte então Bθ = 0 em toda parte também, como pode ser visto
imediatamente da lei de Biot-Savart). Também
∂Bz
= 0 e conseqüentemente Bz = const.
∂r
Use a superfície e a curva mostrada e escreva
31
.89)
∫
S
µ0 j ⋅ dS = ∫ ∇ × B ⋅ dS =
S
∫
C
B ⋅ dl
(1.90)
Então µ0 × corrente por unidade de comprimento (denotada por Jθ ) fornece
µ0 Jθ = Bz dentro − Bz fora
(1.91)
Mas (pelo mesmo procedimento) se B = 0 no infinito Bz fora = 0 . Então, no interior
Bz = µ0 Jθ
(1.92)
Perfil do campo na bobina: É determinado pela densidade de corrente na bobina:
Figura 1.23: O perfil do campo no interior da região condutora da bobina depende do perfil da densidade de corrente.
dBz
= − µ0 jθ
dr
(1.93)
b
Bzb − Bza = − ∫ µ0 jθ dr = − µ0 Jθ
(1.94)
a
(como antes). Note que tudo isso é independente da espessura da bobina ( b − a ) . As
bobinas geralmente possuem muitas espiras, logo
Bz = µ0 nI
(1.95)
onde n é o número de espiras por unidade de comprimento, I é a corrente em cada espira.
Jθ = nI
32
(1.96)
1.6.2 Solenóide de Seção Transversal Arbitrária
∂
=0
∂z
(1.97)
Considere a lei de Biot-Savart, expressa como potencial vetor:
A(r ) =
µ0
4π
j ( r ')
∫ r −r' d r'
3
(1.98)
Se todas as correntes fluirem na direção azimutal, isto é, jz = 0 , então Az = 0 .
⇒ Bx = By = 0 (por toda parte)
(1.99)
Então a forma integral da lei de Ampère é ainda
Bz (dentro) = µ0 J p
onde J p é a corrente total na direção azimutal por unidade de comprimento.
Figura 1.24: Solenóide de seção transversal arbitrária.
33
(1.100)
1.6.3 Tipos de Bobinas
(a) Fio (Filamento):
Figura 1.25: Seção de corte transversal de uma bobina magnética.
Camadas múltiplas sobrepostas sobre um molde cilíndrico. Normalmente são utilizadas só
para correntes e campos baixos.
(b) Fita:
Cada bobina consiste de uma fita espiral, nt voltas. Várias bobinas empilhadas formam um
solenóide. Digamos nc bobinas por unidade de comprimento n = nt nc .
(c) Placa:
Similar ao de fita mas usa como base um condutor de seção quadrada ou retangular. (menos
voltas/bobina).
(d) Bobina de Folhas:
Cada volta é feita de uma folha. A bobina completa é uma espiral (topologicamente). As
folhas podem ser espaçadas por ar ou algum isolante sólido. n = nc .
34
Figura 1.26: Bobinas de Fita são empilhadas para formar um solenóide.
Figura 1.27: Uma armação quadrada tipo folha e a configuração de um solenóide
Há muitas outras configurações de eletroímã, projetadas para uma variedade enorme de
aplicações. A maioria delas exige computação numérica para determinação do campo e sua
variação de espaço.
1.6.4 Dipolo Magnético
Figura 1.28: Correntes localizadas em uma pequena região, próxima da origem, com o campo medido num ponto bem distante da origem.
35
O campo magnético de uma distribuição “localizada” de correntes. Suponha que nós
queiramos determinar o campo magnético em um ponto x que está localizado numa região
distante das correntes, no sentido que para todos os pontos x’ onde j ( x ' ) não é
desprezível, x ' << x , (relativo a uma origem próxima das correntes). A fórmula geral
para A
A( x) =
µ0
4π
∫
j ( x ')
x− x'
d 3x '
(1.101)
pode ser aproximada escrevendo
⎞
1
1
1 ⎛ x⋅ x'
=
≈ ⎜1 +
+ …⎟
1/ 2
2
⎟
x − x ' ( x 2 − 2 x ⋅ x '+ x '2 )
x ⎝⎜
x
⎠
(1.102)
⎤
µ0 1 ⎡
1
⎢ ∫ j ( x ' ) d 3 x ' + 2 ∫ x ⋅ x ' j ( x ' ) d 3 x '⎥
4π x ⎢⎣
x
⎥⎦
(1.103)
então
A
Agora converteremos estas integrais em expressões mais convenientes usando ∇ ⋅ j = 0 . De
fato a primeira é zero. Isto segue imediatamente da identidade
∇ ⋅ ( jx ) = x ( ∇ ⋅ j ) + ( j ⋅∇ ) x = j
(1.104)
(a qual usa ∇x = I , isto é, ∂xi / ∂x j = δ ij , e ∇ ⋅ j = 0 ). Então
∫ jd
3
x ' = ∫ ∇ '⋅ ( jx ' ) d 3 x ' = ∫ x ' j ⋅ dS = 0
S
(1.105)
Para qualquer superfície S que encerra todas as correntes de forma que j = 0 em S. O
segundo termo, que usa a mesma identidade, é simplificado mas seja cuidadoso em
distinguir entre x e x ' , e usando anotação ∇ ' para denotar o operador de gradiente que
opera sobre x ' , j ( x ' ) , não em x.
∫ ( x ⋅ x ') j ( x ') d
3
x ' = ∫ ( x ⋅ x ') ∇' ⋅ ( jx ') d 3 x '
= ∫ ⎡⎣∇' ⋅ ( jx ' ( x ⋅ x ') ) − x ' j ⋅∇ ' ( x '⋅ x ) ⎤⎦ d 3 x '
= − ∫ x ' j ⋅ ( ∇ ' x ') ⋅ xd 3 x '
36
= − ∫ x ' j ⋅ I ⋅ xd 3 x ' = − ∫ x ' ( j ⋅ x ) d 3 x '
(1.106)
x × ( x '× j ) = ( j ⋅ x ) x '− ( x ⋅ x ' ) j
(1.107)
∫ x × ( x '× j ) d
(1.108)
Mas
Assim
3
x ' = −2 ∫ x ⋅ x ' j d 3 x '
pela relação integral há pouco provada. [Esta identidade é verdadeira para qualquer x].
Então nossa aproximação para A é
A( x) = −
µ0 x ⎛ 1
⎞
× ⎜ ∫ x '× j ( x ' ) d 3 x ' ⎟
3
4π x ⎝ 2
⎠
(1.109)
Ou
A=
µ0 m × x
4π x 3
(1.110)
onde o momento de dipolo magnético da distribuição localizada de corrente é
m≡
1
x '× j d 3 x '
∫
2
(1.111)
Nós derivamos esta expressão para uma distribuição j arbitrária; mas se a corrente
localizada é um circuito filamentar de corrente,
Figura 1.29: Circuito de integração percorrido por corrente que dá origem a um momento de dipolo.
37
m=
1
1
x '× jd 3 x ' = ∫ x × Idl
∫
2
2
(1.112)
Se o circuito é plano,
1
x × dl = ds
2
(1.113)
onde ds é o elemento de superfície. Assim m é (corrente × área) para um filamento plano.
O campo magnético é obtido de B = ∇ × A
B=
µ0
4π
⎡ x⎛ x
⎤ 1
⎞
⎢3 ⎜⎜ ⋅ m ⎟⎟ − m ⎥ 3
⎢⎣ x ⎝ x
⎥⎦ x
⎠
(1.114)
1.6.5 História Revisionista da Indução Eletromagnética
Michael Faraday foi o primeiro a mostrar o efeito de indução: uma corrente transitória pode
ser induzida em um circuito através das mudanças em outro circuito. Isto foi ∼ 1830.
[Faraday não conhecia nenhuma matemática além da idéia de proporcionalidade FEM ∝
taxa de variação do fluxo de B]. Suponha que a história tivesse sido diferente e
soubéssemos somente a lei que rege a força de Lorentz:
F = q ( E + v × B)
(1.114)
poderíamos ter “provado” a necessidade da indução através de “puro pensamento”.
Assuma a invariância Galileana: As leis físicas devem ser invariantes com respeito a
mudança do sistema de coordenadas x ' = x − vt , t ' = t . [Universalmente assumidas no
tempo de Faraday. Einstein não vem até 1905!]. Considere um circuito rígido (fio de
arame) movendo-se para além de um ímã: Cada elétron no circuito (revisionista!) sofre a
ação da força de Lorentz
F = q (v × B )
(1.116)
conforme ele é arrastado pelo campo magnético. O campo elétrico no referencial de
repouso do imã é zero. E a força eletromotriz (integral da força por unidade de carga) em
torno de todo o circuito é
1
q
∫
C
F ⋅ dl =
∫
C
38
v × B ⋅ dl
(1.117)
Figura 1.30: Uma espira rígida que move passado um ímã fixo.
Figura 1.31: Elementos de superfície na aplicação da lei de Gauss para instantes sucessivos de tempo.
Esta é uma quantidade geralmente não nula. Na realidade, ela pode ser transformada
basicamente em considerações puramente geométricas. Vamos calcular a taxa de variação
do fluxo magnético total devido a movimento do circuito, em um campo estático B.
Aplicando a lei de Gauss ao volume
0 = ∫ ∇ ⋅ Bd 3 x = ∫
V
S total
B ⋅ dS = ∫
s'
−∫
S
−∫
Faixa
B ⋅ dS
= ∫ B ⋅ dS − ∫ B ⋅ dS − ∫ B ⋅ ( vdt × dl )
S'
S
= d Φ − dt ∫ ( v × B ) ⋅ dl
C
(geometria pura quando ∂B / ∂t = 0 ).
39
(1.119)
Esta equação pode, de modo alternativo, ser obtida algebricamente escrevendo
dΦ
dB
=∫
⋅ dS = ∫ ( v ⋅∇ ) B ⋅ dS
dt
dt
(1.120)
e usando
∇ × ( B × v ) = ( v ⋅∇ ) B + ( ∇ ⋅ v ) B − ( B ⋅∇ ) v − ( ∇ ⋅ B ) v = ( v ⋅∇ ) B
(1.121)
Assim
dΦ
= ∇ × ( B × v ) ⋅ dS =
dt ∫
∫ ( B × v ) ⋅ dS
C
(1.122)
De qualquer maneira FEM é
1
q
∫
C
F ⋅ dl =
dΦ
∫ ( v × B ) ⋅ dS = − dt
C
(1.123)
Iremos agora considerar a situação completa. Quando mudamos o referencial para aquele
em que o circuito é estacionário e o ímã se move. Através da invariância Galileana a FEM
total é a mesma, e
1
q
∫
C
F ⋅ dl = −
dΦ
dt
(1.124)
Mas agora v = 0 , e ao invés, B está mudando
dΦ
∂B
=∫
⋅ dS
dt
∂t
(1.125)
Neste caso a força de Lorentz sobre a carga é também
F = q ( E + v × B ) = qE , (desde que v = 0 )
(1.126)
Deve haver um campo elétrico neste sistema de referência. E também
1
q
∫ F ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl = −
dΦ
∂B
= −∫
⋅ dS
dt
∂t
Aplicando o Teorema de Stokes para a integral E ⋅ dl :
40
(1.127)
∂B ⎤
⎡
∇× E +
⋅ dS = 0
⎢
S
∂t ⎥⎦
⎣
∫
(1.128)
Mas esta integral deve ser nula para todo S (e C), que só se verifica se o integrando for zero
em toda a parte:
∇× E = −
∂B
∂t
(1.129)
Que é a Lei de "Faraday" (expressa na forma diferencial), (a qual Faraday entendeu
intuitivamente mas não poderia te-la formulado matematicamente).
1.6.6 Indutância
Suponha que temos um jogo de circuitos com correntes I i ( i = 1,… N ) . Esses circuitos estão
indutivamente acoplados, se a corrente em um deles acarreta o surgimento de um fluxo
concatenado com os demais. Devido a lei de Ampère ser linear ( B ∝ j ) , o fluxo que une
circuito j da corrente I i é proporcional a I i . Consequentemente, o fluxo total que une
circuito j pode ser escrito
Φ j = ∑ M ji I i
(1.130)
i
(somatório sobre I i ) correntes diferentes. M é uma matriz. O elemento M ij é a indutância
entre as correntes i e j.
Suas unidades são
fluxo
Wb
↔
↔ Henrys
corrente
A
(1.131)
A força eletromotriz, ou voltagem, V j induzida na j-ézimo circuito é então:
Vj =
i
d
φ j = ∑ M ji I i
dt
i
(1.132)
Para o caso mais simples N = 1 circuito. M ii → L a auto-indutância
i
V = LI
Podemos demonstar a partir das equações de Maxwell que M ij é simétrico.
41
(1.133)