Aula II – Estatística Aplicada à
Instrumentação Industrial - Avaliação
da Incerteza de Medição
Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
Disciplina: Instrumentação e Automação Industrial I (ENGF99)
Professor: Eduardo Simas ([email protected])
Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBA
ENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
1
Introdução
• Neste módulo serão estudados aspectos importantes para a
instrumentação industrial relacionados com a adequada expressão de um
valor medido.
• Para isso é necessário a utilização de conhecimentos da estatística que
permitem a correta avaliação da “incerteza de medição”.
• Adicionalmente, deve-se seguir as regulamentações no que diz respeito ao
arredondamento de um valor medido e ao correto uso dos algarismos
significativos
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2
Expressão do Valor Medido
• Qual o comprimento do segmento AB?
– 13,4
– 13,5
– 13,6
• Como não é possível ter certeza do valor medido, convenciona-se utilizar a
metade da menor divisão: LAB=13,5
• O valor medido é composto de 3 algarismos significativos (sendo que o
último algarismo é duvidoso, ou seja está dentro da incerteza da medição).
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3
Algarismos Significativos
• Os algarismos significativos de um número contam-se da esquerda para a
direita, a partir do primeiro não nulo.
• Exemplos:
–
–
–
–
–
–
–
–
0,002500
83
78,0
0,18
134,5
26,10
28,1
0,0105
4 a.s.
2 a.s.
3 a.s.
2 a.s.
4 a.s.
4 a.s.
3 a.s.
3 a.s.
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4
Regras básicas de arredondamento (NBR-5891)
• REGRA 1 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
algarismo por conservar é menor que 5, ele permanecerá conservado sem
modificações.
– Exemplo: 1,333 ⇒ 1,33
• REGRA 2 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
algarismo por conservar é superior a 5, ele deverá ser aumentado uma
unidade.
– Exemplo: 1,666 ⇒ 1,67 ⇒ 1,7
• REGRA 3 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
algarismo por conservar é igual a 5 , e for seguido de um algarismo
diferente de zero, o último algarismo por conservar deverá ser aumentado
de uma unidade.
– Exemplo: 4,8512 ⇒ 4,9
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5
Regras básicas de arredondamento (NBR-5891)
• REGRA 4 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
algarismo por conservar é um 5 seguidos de zeros:
– 4,5750; 2,750; 3,650; 1,25
• REGRA 4.1 - Quando o último algarismo por conservar é ímpar, aumenta-se
de uma unidade o último algarismo por conservar:
– 4,5750 => 4,58
– 3,350 => 3,4
• REGRA 4.2 - Quando o último algarismo por conservar for par, ele
permanecerá conservado sem modificação:
– 2,8650 => 2,86
– 1,650 => 1,6
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6
Estatística aplicada à metrologia
•
Estatística é ciência que realiza a análise e interpretação de dados com
características aleatórias (variáveis aleatórias ou estocásticas).
•
A confiabilidade metrológica utiliza ferramentas estatísticas para
– avaliar a eficiência de ensaios;
– produzir resultados confiáveis.
•
A inferência estatística tira conclusões probabilísticas sobre aspectos das
populações, a partir de amostras extraídas dessas populações.
•
No âmbito da metrologia, conceitos de estatística são utilizados para a
obtenção de estimativas da incerteza de medição.
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Estatística aplicada à metrologia
Média:
• Considerando um conjunto de medições com “n” valores individuais
independentes x1, x2, ..., xn, a média aritmética é definida como:
1
x=
N
N
∑x
i
i =1
• Onde:
– x = média aritmética;
– xi = valores da amostra;
– n = números de elementos da amostra.
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8
Estatística aplicada à metrologia
Média - Exemplo:
• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leituras
seguidas:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
• Calcule a média das 3 leituras.
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Estatística aplicada à metrologia
Média - Exemplo:
• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leituras
seguidas:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
• Calcule a média das 3 leituras.
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Estatística aplicada à metrologia
Média - Exemplo:
• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leituras
seguidas:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
• Calcule a média das 3 leituras.
• O valor calculado deve ser expresso com o mesmo número de algarismos
significativos que os valores medidos:
x = 4,04 mA
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Estatística aplicada à metrologia
Variância / desvio padrão:
• Avalia o quanto os valores observados estão dispersos ao redor da média:
N
2
(
x
−
x
)
∑ i
S=
i =1
N −1
• Exemplo: Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas as
leituras:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
Calcule a variância
das 3 leituras:
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12
Resumo Amostra x População
• A análise da população a partir da amostra só faz sentido se a amostra é
um conjunto representativo da população.
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13
Estatística aplicada à metrologia
Função densidade
de probabilidade
Distribuições de Probabilidade (Fx(x)):
• São utilizadas para descrever o comportamento das variáveis aleatórias.
• Exemplo de distribuições de probabilidade:
<
fx(x)
<
=
Fx (xo) = P(x ≤ xo)
Área total sob a curva:
x
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=1
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14
Estatística aplicada à metrologia
Distribuição Normal (ou Gaussiana):
•
Na natureza, muitos fenômenos são descritos (mesmo que aproximadamente) por
distribuições normais.
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Estatística aplicada à metrologia
Características da distribuição Normal :
– Forma de sino;
– Simétrica em relação á média;
– A probabilidade tende a zero
nas extremidades.
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição normal padronizada:
• Para trabalhar com distribuições normais, em geral são usadas tabelas.
• A distribuição normal padronizada foi criada para evitar o uso de uma
tabela para cada combinação de valores da média e do desvio padrão.
• É definida então a variável normalizada:
• A distribuição padronizada tem média zero e desvio um:
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Estatística aplicada à metrologia
Exemplo: Distribuição normal padronizada:
•
Na medição da temperatura ambiente de um laboratório, foram medidos valores
onde a temperatura média = 20,2 oC e o desvio padrão = 0,2 oC . Admitindo-se que
o conjunto de temperaturas tenha uma distribuição normal, determinar a
probabilidade de que a temperatura do laboratório seja menor que 20,0 oC .
Da tabela para z = 1 → 0,3413
Então: prob = 0,5 – 0,3413 = 0,1587
ou seja: prob=15,87%
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Tabela da distribuição Normal Padronizada
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Estatística aplicada à metrologia
Intervalo de Confiança / Confiabilidade:
• Intervalo de confiança é a faixa de valores onde espera-se que uma
variável aleatória (no nosso caso o valor medido) ocorra.
• A confiabilidade é a probabilidade associada a um certo intervalo de
confiança:
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student
•
Quando o número de pontos tomados é pequeno, fazer as análises utilizando a
distribuição normal pode ser muito arriscado. Uma opção é a distribuição de Student.
•
Na distribuição de Student é definido o parâmetro tv que é semelhante ao “z” da
distribuição normal padronizada:
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student
• Para consulta na tabela da distribuição de Student é preciso conhecer o
número de “graus de liberdade” associados à medição.
• O número de graus de liberdade (g.l.) é definido como sendo o número de
medições (n) menos um:
g.l.=n-1
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
•
A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio
padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que
374,9993 mmHg ?
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
•
A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio
padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que
374,9993 mmHg ?
1- Resultado utilizando a distribuição normal:
•
Z = (374,9993 – 374,9992) / 0,00065 = 0.1538
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
•
A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio
padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que
374,9993 mmHg ?
1- Resultado utilizando a distribuição normal:
•
Z = (374,9993 – 374,9992) / 0,00065 = 0.1538
•
Da tabela temos P=55,96 %
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
•
A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio
padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que
374,9993 mmHg ?
2- Resultado utilizando a distribuição de Student:
•
tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
•
A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio
padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que
374,9993 mmHg ?
2- Resultado utilizando a distribuição de Student:
•
tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487
•
Da tabela (para nove graus de liberdade), o valor 0,487 não existe, mas temos 0,261 e
0,543, faremos então uma interpolação linear para obtermos o valor da probabilidade:
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
•
A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio
padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que
374,9993 mmHg ?
2- Resultado utilizando a distribuição de Student:
•
tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487
•
Da tabela (para nove graus de liberdade), o valor 0,487 não existe, mas temos 0,261 e
0,543, faremos então uma interpolação linear para obtermos o valor da probabilidade:
•
(x – 0,60) / (0,70 – 0,60) = (0,487 – 0,261) / (0,543 – 0,261)
então: x=0,68%
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição Normal x de Student:
•
Percebe-se que num mesmo problema o uso da distribuição de Student leva a
resultados mais “conservadores” (maior probabilidade para um mesmo intervalo).
•
A distribuição de Student considera que quanto menor o número de graus de
liberdade, mais incerta será a variável medida.
•
A diferença entre as distribuições só é significativa para um número pequeno de graus
de liberdade (menor que 30).
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Avaliação da Incerteza de Medição
Pode ser feita de duas formas (segundo o Guia para Expressão da Incerteza de Medição
do Inmetro):
•
Por análise estatística a partir de uma série de medições repetidas da mesma
grandeza (avaliação tipo A).
•
A partir de julgamento científico utilizando todas as informações disponíveis sobre o
sistema de medição (avaliação do tipo B).
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Avaliação da Incerteza Padrão do Tipo A
•
Quando dispomos de uma série de N observações de uma variável x, a incerteza
de medição U pode ser estimada por:
s
u=
N
•
Onde s é o desvio padrão das medições xi:
N
∑ (x
s=
i
− x )2
i= 1
N −1
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a média
é dada por:
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1
x=
N
N
∑x
i
i=1
32
Avaliação da Incerteza do Tipo A
•
A incerteza padrão é utilizada para intervalos de confiança da ordem de um
desvio padrão:
x = x±u
•
Da distribuição normal esse intervalo está associado a -1 > z > 1 → P=68 %.
•
Para uma maior confiabilidade podemos utilizar a incerteza estendida:
x = x ± z×u
•
Se z=2 →
x = x ± 2u
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→ confiabilidade associada → 95 %
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Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student
para estimativa da confiabilidade:
1.
Determinar o nível de confiabilidade desejado;
2.
Determinar o número de graus de liberdade;
3.
Encontrar na tabela o valor de tv associado;
4.
Escrever a incerteza na forma:
x = x ± tv × u
Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :
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34
Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student
para estimativa da confiabilidade:
1.
Determinar o nível de confiabilidade desejado;
2.
Determinar o número de graus de liberdade;
3.
Encontrar na tabela o valor de tv associado;
4.
Escrever a incerteza na forma:
x = x ± tv × u
Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :
P=0,5+0,95/2=0,975
v=n-1=4
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Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student
para estimativa da confiabilidade:
1.
Determinar o nível de confiabilidade desejado;
2.
Determinar o número de graus de liberdade;
3.
Encontrar na tabela o valor de tv associado;
4.
Escrever a incerteza na forma:
x = x ± tv × u
Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :
P=0,5+0,95/2=0,975
v=n-1=4
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tv=2,776
x = x ± 2,776 u
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Avaliação da Incerteza do Tipo A
•
Para uma certa confiabilidade, percebe-se da tabela da distribuição de Student
que quanto maior o número de graus de liberdade, mais próximo da distribuição
normal fica o resultado:
•
Para confiabilidade de 95 % (P 0,975):
• v = 1 → tv = 12,706;
• v = 2 → tv = 4,303;
• v = 3 → tv = 3,182;
• ...
• v = 10 → tv = 2,228;
• ...
• v = 20 → tv = 2,086;
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Exemplo prático com a incerteza
de medição Tipo A
Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram
obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.
Comprimentos medidos em mm.
10,0020
10,0023
10,0040
10,0023
10,0018
10,0020
10,0021
10,0023
10,0018
10,0024
10,0023
10,0023
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Exemplo prático com a incerteza
de medição Tipo A
Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram
obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.
Comprimentos medidos em mm.
10,0020
10,0023
10,0040
10,0023
10,0018
10,0020
10,0021
10,0023
10,0018
10,0024
10,0023
10,0023
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A partir dos valores
medidos chega-se a;
x = 10,0023
s = 0,0006
s
u=
= 0,0001732
N
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Exemplo prático com a incerteza
de medição Tipo A
Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram
obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.
Comprimentos medidos em mm.
10,0020
10,0023
10,0040
10,0023
10,0018
10,0020
10,0021
10,0023
10,0018
10,0024
10,0023
10,0023
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A partir dos valores
medidos chega-se a;
x = 10,0023
s = 0,0006
s
u=
= 0,0002
N
A variável medida é então expressa por:
x = ( 10,0023±0,0002) mm
Obs: a incerteza deve ser expressa com o mesmo
número de casas decimais que o valor medido
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Exemplo prático com a incerteza
de medição Tipo A
Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados
semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?
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Exemplo prático com a incerteza
de medição Tipo A
Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados
semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?
Da tabela da distribuição normal para essa probabilidade temos: z=1,65.
x = x ± z×u
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Exemplo prático com a incerteza
de medição Tipo A
Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados
semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?
Da tabela da distribuição normal para essa probabilidade temos: z=1,65.
x = x ± z×u
x = ( 10,0023±1,65× 0,0002 ) mm
x = ( 10,0023±0,0004 ) mm
Obs: a incerteza de medição é sempre expressa na mesma quantidade de casas
decimais que o valor medido e é sempre aproximada para o maior valor
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Avaliação da Incerteza Tipo B
Para a variável x que não foi obtida a partir de uma série de observações a incerteza deve
ser avaliada utilizando-se todas as informações disponíveis como:
–
–
–
–
–
Medições anteriores;
Especificações do fabricante;
Dados de calibração;
Conhecimento dos instrumentos e materiais utilizados;
Etc.
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Avaliação do Tipo B da
incerteza de medição
• A incerteza padrão do tipo B é determinada por:
S = SY1 + SY2 + ... +SYN
Incertezas devido às fontes Y1, Y2, ..., YN
Onde Y1 pode ser a incerteza associada a medidas anteriores, Y2 a incerteza associada às
especificações do fabricante, etc
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45
Avaliação da incerteza
de medição Tipo B
•
Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que
ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a
incerteza padrão da balança.
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Avaliação da incerteza
de medição Tipo B
•
Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que
ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a
incerteza padrão da balança.
•
S = (0,1)/2 +
Metade da menor divisão
(resolução) do
instrumento
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47
Avaliação da incerteza
de medição Tipo B
•
Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que
ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a
incerteza padrão da balança.
•
S = (0,1)/2 + 0,01 = 0,06 kg.
Metade da menor divisão
(resolução) do
instrumento
Incerteza do
processo de
calibração
Obs: a incerteza de medição do tipo B também pode ser expressa na forma
estendida. Neste caso em geral utiliza-se a aproximação pela curva normal.
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Propagação de incertezas
•
Quando uma grandeza x é calculada a partir de uma ou mais variáveis medidas, sua
incerteza Sx pode ser estimada a partir das incertezas das variáveis medidas.
x = f(y1 , y2 ,..., yk )
Sendo:
Então, se as variáveis yi são não-correlacionadas:
2
 ∂F 
 ∂F
2
 (Sy1 ) + ... + 
Sx = 
 ∂y1 
 ∂yK
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2

 (SyK )2

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Propagação de incertezas
•
Exemplo: Considerando que uma grandeza X é estimada a partir da medição das
variáveis Y1 e Y2, estime a incerteza na estimação de X.
X=Y1+Y2
Sx = (Sy1 )2 + (Sy2 )2
X=Y1 × Y2
Sx = (y2 Sy1 )2 + (y1Sy2 )2
X=aY1
Sx = (aSy1 )2 = aSy1
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U (Volts)
Exercícios:
Questão 01: Considerando que foram realizadas as medições ao lado utilizando um voltímetro, calcule:
12,102
12,103
12,105
a.
A incerteza padrão
12,103
b.
A incerteza associada à confiabilidade de :
12,101
•
80 %
•
95 %
•
99 %
12,103
12,104
12,103
Questão 02: Refaça a Questão 01 considerando a distribuição de Student.
12,103
12,104
Questão 03: Um amperímetro digital foi calibrado utilizando um instrumento de incerteza padrão igual a
0,0007 A, considerando que a menor divisão do mostrador do amperímetro é igual a 0,001 A, estime a
incerteza associada a medições realizadas com este amperímetro para uma confiabilidade de 99%.
12,102
Questão 04: O comprimento de uma barra foi calculado a partir das distâncias L1 e L2 medidas das
extremidades da barra para um ponto referencial. A incerteza associada a cada uma das medições é de 0,001
cm, estime a incerteza associada ao comprimento da barra.
Questão 05: Estima a incerteza de medição associada a uma variável Y que é medida de modo indireto a
partir das variáveis X1 e X2, considerando que Y = 17 X12 + 1/X2 e que as incertezas de medição associadas às
medições de cada variável foram respectivamente 0,01 e 0,05 para X1 e X2.
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