Testes de Hipóteses para Mèdia de Populações NormaisVariância conhecida e desconhecida
Ivan Bezerra Allaman
Considerando variância conhecida
Introdução
• Nestes casos utiliza-se a seguinte estatística de teste:
Z=
X̄ − µ0
√
σ/ n
• Uma vez calculada a estatística de teste, chegou-se a hora de tomarmos uma decisão.
• Há duas regras para tomadas de decisão:
– a regra de rejeição baseada no critério do valor crítico;
– a regra de rejeição baseada no critério do p-valor.
∗ Você pode optar por uma delas.
Regra baseada no critério do valor crítico
• Obviamente que a tomada de decisão irá depender do tipo de hipótese estabelecida (bilateral, unilateral
à direita ou a esquerda).
• Logo, teremos as seguintes regras de acordo com as hipóteses estabelecidas:
Hipótese bilateral
Rejeitar H0 se Z ≤ −Zα/2 ou se Z ≥ Zα/2
Exemplo: Hipótese bilateral
1. Considere o seguinte teste de hipóteses:
H0 : µ = 15
Ha : µ 6= 15
Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostral 14, 15. O desvio padrão da população é 3.
• Calcule o valor da estatística de teste.
mu0 = 15
sigma = 3
n
= 50
xbarra = 14.15
Z = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n))
Z
1
## [1] -2.003469
• Qual o valor crítico considerando α = 0, 05?
alpha = 0.05
alpha_2 = alpha/2 # pois o teste é bilateral
Zalpha_2 = abs(qnorm(alpha_2)) # valor sem sinal!
Zalpha_2
## [1] 1.959964
• Qual sua conclusão?
Hipótese bilateral
RNR
RC
RC
−2
−1.96
1.96
Resp: Como a estatística
Z (-2) está dentro da região crítica (Z < Zalpha/2 = −1, 96), então rejeita-se H0 com 95% de confiança, ou
seja, podemos inferir com 95% de confiança que a média da população é diferente de 15.
Hipótese unilateral à direita
Rejeitar H0 se Z ≥ Zα
Exemplo: Hipótese unilateral à direita
1. Considere o seguinte teste de hipóteses:
H0 : µ = 25
Ha : µ > 25
Uma amostra de tamanho 40 produziu a média amostral 26, 4. O desvio padrão da população é 6.
• Calcule o valor da estatística de teste.
mu0 = 25
sigma = 6
n
= 40
xbarra = 26.4
Z = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n))
Z
2
## [1] 1.47573
• Qual o valor crítico considerando α = 0, 01?
alpha = 0.01
Zalpha = abs(qnorm(alpha)) # valor sem sinal!
Zalpha
## [1] 2.326348
• Qual sua conclusão?
Hipótese unilateral à direita
RNR
RC
1.48
2.33
Resp: Como a estatística
Z (1,48) está dentro da região de não-rejeição (Z < Zalpha = 2, 33), então não rejeita-se H0 com 99% de
confiança, ou seja, podemos inferir com 99% de confiança que a média da população é menor ou igual a 25.
Hipótese unilateral à esquerda
Rejeitar H0 se Z ≤ −Zα
Exemplo: Hipótese unilateral à esquerda
1. Considere o seguinte teste de hipóteses:
H0 : µ = 20
Ha : µ < 20
Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostral 19, 4. O desvio padrão da população é 2.
• Calcule o valor da estatística de teste.
mu0 = 20
sigma = 2
n
= 50
xbarra = 19.4
Z = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n))
Z
3
## [1] -2.12132
• Qual o valor crítico considerando α = 0.06?
alpha = 0.06
Zalpha = abs(qnorm(alpha)) # valor sem sinal!
Zalpha
## [1] 1.554774
• Qual sua conclusão?
Hipótese unilateral à esquerda
RC
−2.12
RNR
−1.55
Resp: Como a estatística
Z (-2,12) está dentro da região de crítica (Z < Zalpha = −1, 55), então rejeita-se H0 com 94% de confiança,
ou seja, podemos inferir com 94% de confiança que a média da população é menor do que 20.
Regra baseada no p-valor
• O p-valor é a probabilidade de cometermos o erro do tipo I se a estatística de teste for utilizada como
limite da região de rejeição. Podemos interpretar-lo como um indicador do peso da evidência contra a
hipótese nula.
• Logo, tem-se a seguinte regra de decisão:
Hipótese bilateral
Rejeitar H0 se o p-valor ≤ α/2
Exemplo: Hipótese bilateral
4. Considere o mesmo exemplo 1 e α = 0, 05.
• Calcule o valor da estatística de teste e o p-valor.
4
mu0 = 15
sigma = 3
n
= 50
xbarra = 14.15
Z = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) # estatística de teste
Z
## [1] -2.003469
pvalor = pnorm(Z)*2 # p-valor
pvalor
## [1] 0.04512695
• Qual sua conclusão?
Hipótese bilateral
0.023
RNR
0.023
−1.96
1.96
Resp: Como o p-valor
(0,046) foi menor do que α (0,05), então rejeita-se H0 com 95% de confiança, ou seja, podemos inferir com
95% de confiança que a média da população é diferente de 15.
Hipótese unilateral à direita
Rejeitar H0 se o p-valor ≤ α
Exemplo: Hipótese unilateral à direita
5. Considerando o mesmo exemplo 2 e α = 0, 01.
• Calcule o valor da estatística de teste e o p-valor.
mu0 = 25
sigma = 6
n
= 40
xbarra = 26.4
Z = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n))
Z
5
## [1] 1.47573
pvalor_auxiliar = pnorm(Z)
pvalor = 1-pvalor_auxiliar
pvalor
## [1] 0.07000825
• Qual sua conclusão?
Resp: Como o p-valor (0,07) é maior do que α (0,01), então não rejeita-se H0 com 99% de confiança, ou seja,
podemos inferir com 99% de confiança que a média da população é menor ou igual a 25.
Hipótese unilateral à esquerda
Rejeitar H0 se o p-valor ≤ α
Exemplo: Hipótese unilateral à esquerda
6. Considere o mesmo exemplo 3 e α = 0, 06.
• Calcule o valor da estatística de teste e o p-valor.
mu0 = 20
sigma = 2
n
= 50
xbarra = 19.4
Z = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n))
Z
## [1] -2.12132
pvalor = pnorm(Z)
pvalor
## [1] 0.01694743
• Qual sua conclusão?
Resp: Como o p-valor (0,017) é menor do que α (0,06), então rejeita-se H0 com 94% de confiança, ou seja,
podemos inferir com 94% de confiança que a média da população é menor do que 20.
Aplicações
1. As declarações do imposto de renda individuais entregues antes do dia 31 de março obtiveram uma média
de restituição de R$ 1056,00. Considere a população de declarantes “de última hora” que entregam suas
declarações durante os cinco últimos dias do período de entrega das declarações do imposto de renda.
• Um pesquisador sugere que uma razão para que as pessoas esperem até os cinco últimos dias
é que em média essas pessoas têm menores restituições a receber do que aquelas que entregam
as declarações primeiro. Desenvolva as hipóteses apropriadas de tal forma que a rejeição de H0
sustente a argumentação do pesquisador.
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• Para uma média de 400 indivíduos que entregaram suas declarações nos últimos cinco dias, a
média amostral de restituição foi de R$ 910,00. Baseando-se na experiência anterior, pode-se supor
um desvio padrão populacional σ = R$1600, 00. Qual é o p-valor?
• Com α = 0, 05, qual é a sua conclusão?
2. A Reis, Inc., uma firma de pesquisa imobiliária de Nova York, acompanha o custo do aluguel de
apartamentos nos Estados Unidos. Em meados de 2002, o índice médio de aluguel por apartamento em
todo o território nacional era de US$ 895 por mês. Suponha que, baseando-se em pesquisas trimestrais
históricas, seja razoável considerar-se um desvio padrão populacional σ = U S$225. Em um estudo
recente dos índices de aluguel de apartamentos, uma amostra de 180 apartamentos de todo o país
produziu uma média amostral de US$ 915 por mês. Os dados amostrais possibilitam à Reis concluir
que o índice médio populacional de aluguel de apartamentos agora ultrapasse o nível relatado em 2002?
3. A CNN e a ActMedia criaram um canal de televisão destinado a pessoas que esperam nas filas do caixa
de supermercados. O canal apresentava notícias, entrevistas breves e anúncios. A duração do programa
baseava-se na suposição de que o tempo médio que a população de compradores permanece em uma
fila de supermercado é igual a 8 minutos. Uma amostra de 120 compradores apresentou uma média
amostral de tempo de espera de 8, 5 minutos. Suponha um desvio padrão populacional σ = 3, 2 minutos.
Os dados sustentam a evidência de que o tempo real de espera difere do padrão de 8 minutos?
Considerando variância desconhecida
Introdução
• Neste caso só irá mudar a função densidade de probabilidade que será a t-Student, pois todo o raciocínio
anterior é válido.
• Lembrem-se que além da média você deverá também estimar a variância da amostra.
• Logo, tem-se a seguinte estatística de teste:
t=
X̄ − µ0
√
S/ n
Exemplo
1. De uma população normal cuja variância é desconhecida, extraiu-se uma amostra casual obtendo-se os
seguintes valores:
amostra = c(86,105,112,108,138,85,97,83,101,118,116,89,92,118,88,114,116,118,81,127,106,90,
93,102,92,85,94,115,99,117,105,90,99,90,91,94)
* Ao nível de 5% , testar:
H0 : µ = 105
Ha : µ < 105
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# Retirando informações da amostra
media = mean(amostra) # estimando a média
desvpad = sd(amostra) # estimando o desvio padrão
n = length(amostra)
# tamanho da amostra
erropad = desvpad/sqrt(n)
# Resolvendo o problema
alfa = 0.05
glib = n - 1 # graus de liberdade
tcalc = (media - 105)/erropad
pvalor = pt(tcalc, glib)
pvalor
## [1] 0.07025871
Resp: Como o pvalor é maior que alfa, não rejeita-se H_0 com 95% de confiança.
Aplicações
1. Uma máquina de misturar fertilizantes é adaptada para fornecer 10g de nitrato para cada 100g de
fertilizante. Dez porções de 100g são examinadas, com as seguintes porcentagens de nitrato:
[1]
9 12 11 10 11
9 11 12
9 10
• Há razões para crer que a porcentagem de nitrato não é 10g ao nível de 10%?
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