C
iências
ontábeis
ADMINISTRAÇÃO
Caderno de Matemática Financeira
Dom Alberto
Prof: Cristiano Huff Jung
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C122
JUNG, Cristiano Huff
Caderno de Matemática Financeira Dom Alberto / Cristiano Huff
Jung . – Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.
Inclui bibliografia.
1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis – Teoria 3. Matemática
Financeira – Teoria I. JUNG, Cristiano Huff II. Faculdade Dom Alberto
III. Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências
Contábeis V. Título
CDU 658:657(072)
Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso – Bibliotecário CRB10 010/10
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Apresentação
O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua
trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na
importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que,
combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma
formação sólida e relacionada às demandas regionais.
Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao
ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem
como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo
MEC do Curso de Administração em 2008.
Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e
qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados
positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do
trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores
durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo
atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de
qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.
A todos os professores que com competência fomentaram o
Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didáticopedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento
especial.
Lucas Jost
Diretor Geral
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PREFÁCIO
A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que
interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de
formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à
superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma
formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de
estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais
de cada área de atuação, etc.
Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um
profissional
é
saber
discutir
diversos
temas
aos
quais
se
aplicam
conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla
e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais
conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles
envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte
pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que
supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos
na proposta pedagógica do curso.
Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom
Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.
Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca
apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teóricoprática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e
necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.
Ser um canal de divulgação do material didático produzido por
professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação
qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete,
propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o
Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em
elaborar esta coletânea.
Elvis Martins
Diretor Acadêmico de Ensino
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Sumário
Apresentação........................................................................................................ 3
Prefácio................................................................................................................. 4
Plano de Ensino.................................................................................................... 6
Aula 1
Matemática Financeira Aplicada........................................................................... 11
Aula 2
Variáveis do Movimento Financeiro...................................................................... 16
Aula 3
Juros Compostos.................................................................................................. 22
Aula 4
Exercícios............................................................................................................. 24
Aula 5
Exercícios..............................................................................................................26
Aula 6
Desconto Simples................................................................................................. 28
Aula 7
Exercícios.............................................................................................................. 32
Aula 8
Desconto Composto.............................................................................................. 34
Aula 9
Equivalência de Capitais....................................................................................... 37
Aula 10
Rendas Certas ou Anuidades................................................................................ 39
Aula 11
Exercícios.............................................................................................................. 65
Aula 12
Prestações Problemas.......................................................................................... 67
Aula 13
Sistemas de Amortizações.................................................................................... 68
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Centro de Ensino Superior Dom Alberto
Plano de Ensino
Identificação
Curso: Administração/Ciências Contábeis
Disciplina: Matemática Financeira
Carga Horária (horas): 60
Créditos: 4
Semestre: 2º
Ementa
Porcentagem. Sistema de Capitalização Simples. Sistema de Capitalização Composta. Taxas. Descontos.
Fluxo de Caixa Homogêneo. Fluxo de Caixa Não Homogêneo. Séries de Pagamentos. Sistemas de
Amortização e Empréstimos.
Objetivos
Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Financeira Aplicada como instrumento de
novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade.
Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o
espírito crítico e a criatividade.
Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos
financeiros aplicados.
Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento
de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas.
Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às
capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho.
Específicos: Levar o aluno a:
Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas
do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais.
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do
conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia.
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas,
tecnológicas e na interpretação da ciência.
Inter-relação da Disciplina
Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a
uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal às exigências da vida social e profissional.
Vertical: As aplicações da disciplina de Matemática Financeira são processadas de forma a adaptar o
conhecimento teórico a situações práticas e ajustadas à realidade dos negócios na economia brasileira.
Competências Gerais
Compreender e ampliar conceitos de Matemática Financeira como instrumentos de novas aprendizagens e
como meio de interpretação da realidade. Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar
estrategicamente, atuar preventivamente em situações ligadas a Matemática Financeira.
Competências Específicas
Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas
do currículo como juros, descontos, taxas, séries de pagamento, e sistemas de amortizações. Aplicar os
conhecimentos de Matemática Financeira nas atividades econômicas, financeiras e administrativas.
Habilidades Gerais
Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio
lógico, crítico e criativo diante dos diferente contextos organizacionais e sociais.
Habilidades Específicas
Ler, interpretar e resolver problemas sobre juros e descontos, taxas, séries de pagamentos e sistemas de
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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amortizações usando o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação.
Conteúdo Programático
PROGRAMA:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Apresentação inicial da disciplina
Porcentagem
Fluxo de caixa
Juro simples
Prazo exato
Prazo comercial
Descontos simples (comercial e bancário)
Taxa proporcional
Taxa equivalente
Juro composto
Valor atual
Valor futuro
Desconto comercial e bancário
Equivalência de capitais
Taxa equivalente
Taxa nominal
Taxa efetiva
Séries postecipadas
Séries antecipadas
Séries diferidas
Sistemas de amortização: SAC, PRICE e SACRE
Planos de amortizações
Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula)
A Matemática Financeira tem se tornado uma poderosa ferramenta de análise de problemas, seja este
simples como aquisição de um produto qualquer de uso imediato, ou seja, a análise de um projeto de
investimento num empreendimento industrial que custa alguns milhares de dólares.
O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e
aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de
partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso.
Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem
A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e
sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à
programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da
metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de
currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc.
A forma de avaliação será da seguinte maneira:
1ª Avaliação
–
Peso 8,0 (oito): Prova;
–
Peso 2,0 (dois): Trabalho Individual com 20 questões de múltipla escolha, com consulta e
postado no site, na data combinada.
2ª Avaliação
Peso 8,0 (oito): Prova;
Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas
provas do SPE)
Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/2010 (1ª prova SPE) e até o dia
30/11/2010 (2ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova.
Avaliação Somativa
A aferição do rendimento escolar de cada disciplina é feita através de notas inteiras de zero a dez,
permitindo-se a fração de 5 décimos.
O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele
obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas.
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no
bimestre.
O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários,
pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma
nota representativa de cada avaliação bimestral.
Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete
(7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados.
Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral,
no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de
substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como
média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).
Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem
Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que
são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.
Recursos Necessários
Humanos
Professor.
Físicos
Laboratórios, visitas técnicas, etc.
Materiais
Recursos Multimídia.
Bibliografia
Básica
ARRUDA, Sérgio Roberto. Matemática financeira ao alcance de (quase) todos 2. ed. Porto Alegre:
Sagra: DC Luzzatto, 1996.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed.São Paulo: Atlas, 2002.
FARO, C. Matemática financeira. 9 ed. São Paulo: Atlas, 1997.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira: com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
Complementar
HAZZAN Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2003.
GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. 2. ed. Florianópolis: UFSC, 2001.
HIRSHFELD, Henrique. Engenharia econômica. São Paulo: Atlas. 1984.
TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do excel 2000. São Paulo: Atlas, 2002.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas. 2000.
Periódicos
Revistas: Você S/A, Veja, Exame, Valor.
Sites para Consulta
www.mec.gov.br
www.ime.usp.br
www.mat.ufrgs.br/edumatec
http://sites.uol.com.br/vello/aulas.htm
www.caixa.gov.br
www.banrisul.com.br
Outras Informações
Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca:
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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Cronograma de Atividades
Aula
Consolidação
Avaliação
Conteúdo
Procedimentos
Recursos
1ª
Apresentação e discussão do Plano de Ensino da Disciplina.
Porcentagem.
AE
QG/DS/AP
2ª
Capitalização simples.
AE/TG
QG/DS
3ª
Taxa equivalente a juros simples
AE/TG
QG/DS
4ª
Desconto simples
AE/TG
QG/DS
5ª
Capitalização composta
AE/TG
QG/DS
6ª
Taxas
AE/TG
QG/DS
7ª
Desconto composto
TG/TI
QG/DS/AP
Consolidação e Sistematização dos conteúdos da 1ª
avaliação
TI/TG
QG/DS/AP
1
1
TI
Primeira Avaliação
8ª
Fluxo de caixa
AE/TG
QG/DS
9ª
Equivalência de capitais
AE/TG
QG/DS
10ª
Séries de pagamentos antecipadas
AE/TG
QG/DS/AP
11ª
Séries de pagamentos postecipadas e diferidas
AE/TG
QG/DS/AP
12ª
Sistemas de amortizações e empréstimos
AE/TG
QG/DS
13ª
Sistemas de amortizações e empréstimos
TG/TI
QG/DS
Consolidação e Sistematização dos conteúdos da 2ª
avaliação
Segunda Avaliação.
TG/TI
QG/DS/AP
2
2
3
Avaliação Substitutiva
TI
TI
Legenda
Código
AE
TG
TI
SE
PA
Descrição
Aula expositiva
Trabalho em grupo
Trabalho individual
Seminário
Palestra
Código
QG
RE
VI
DS
FC
Descrição
Quadro verde e giz
Retroprojetor
Videocassete
Data Show
Flipchart
Código
LB
PS
AP
OU
Descrição
Laboratório de informática
Projetor de slides
Apostila
Outros
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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FACULDADE DOM ALBERTO – SANTA CRUZ DO SUL
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
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EMENTA
Números e grandezas proporcionais. Problemas que envolvem
Porcentagens. Conceitos básicos de Matemática Financeira. Sistema de
Capitalização Simples. Sistema de Capitalização Composta. Descontos.
Rendas Certas. Fluxo de Caixa Homogêneo. Fluxo de Caixa Não Homogêneo.
Sistemas de Amortização de Empréstimos.
OBJETIVOS
Geral
•
Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a
Matemática Financeira Aplicada como instrumento de novas
aprendizagens e como meio de interpretação da realidade;
•
Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de
problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e
a criatividade;
•
Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para
compreender e investigar conceitos matemáticos financeiros
aplicados;
•
Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de
atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança
em relação às próprias capacidades matemáticas;
•
Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática
Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades
matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no
trabalho.
Específico
Levar o aluno a:
Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos
e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites,
derivadas e integrais;
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas
matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações
e aplicações de derivadas na economia;
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas,
financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.
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PROGRAMA
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•
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•
•
Apresentação inicial da disciplina
Taxa de porcentagem
Problemas que envolvem porcentagens
Convenções de matemática financeira
Regras de arredondamento
Juro simples
Prazo exato
Prazo comercial
Descontos simples
Taxa proporcional
Taxa equivalente
Juro composto
Valor nominal
Valor atual
Valor futuro
Equivalência de capitais
Convenção linear e exponencial
Taxas de juros
Fluxo de caixa
Taxa nominal
Taxa efetiva
Sistemas de amortização
Desconto racional ou “por dentro”
Desconto comercial ou “por fora”
Desconto bancário
Planos de amortizações
Séries postecipadas
Séries antecipadas
Séries diferidas
Depreciações
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA
Veras, Lilia Ladeira. Matemática Financeira – 4. Ed. – São Paulo: Atlas, 2001.
Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 7. Ed. –
São Paulo: Atlas, 2002.
Mathias, Washington Franco; Gomes, José Maria. Matemática Financeira – 3.
Ed. – São Paulo: Atlas, 2002.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
Arruda, Sérgio Roberto. Matemática Financeira ao alcance de (quase)
Todos – 2. Ed. – Porto Alegre: Sagra: DC Luzzatto, 1996.
Faro, Clovis de. Matemática Financeira – 9. Ed. – São Paulo: Atlas, 1982.
Hazzan, Samuel; Pompeo, José Nicolau. Matemática Financeira – 5. Ed. –
São Paulo: Saraiva 2003.
Taxa de Porcentagem
Caderneta de poupança rende 0,7% ao mês
Número de vagas nas escolas públicas deve aumentar 8% este ano
Lucro da indústria farmacêutica cresceu 16% no ano passado.
Todos os dias vemos nos meios de comunicação o uso da expressão por
cento.
A expressão por cento vem do latin per centum e quer dizer por um cento. O
símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (ciento), usada pelos
mercadores italianos no século XV nas suas transações, e aparece pela
primeira vez, em 1685, num livro francês, LE GUIDE DE NEGOTIEN (o guia do
comerciante).
Exemplos
1 – Uma fábrica tinha 500 funcionários, este ano o número de funcionários
aumentou em 25%. Quantos funcionários têm a fábrica agora?
2 – Dos 60 candidatos que prestaram um concurso, 24 foram aprovados. Qual
a taxa percentual de aprovados?
3 – Escreva cada taxa percentual em números decimais.
a) 6%
b) 20%
c) 90%
d) 33%
e) 6,8%
f) 82,44%
g) 1,8%
h) 0,3%
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4 – Transforme cada número decimal a seguir na forma de taxa percentual
a) 0,56
b) 0,13
c) 0,03
d) 1,35
e) 3,40
f) 0,87
5 – Escreva as seguintes frações na forma de taxa percentual:
a)
34
100
b)
9
10
c)
1
4
d)
2
5
6 – Um jogador de basquete acertou 15 cestas dos 36 arremessos que fez.
Qual a taxa percentual das cestas feitas por este jogador?
7 – Pedro ganha 12 salários mínimos mensais. Joaquim ganha 30% a mais do
que ganha Pedro. Quantos salários mínimos ganha Joaquim?
8 – Um carro avaliado em R$ 12.500,00 foi vendido com um desconto de 12%
sobre esse preço. Qual foi o preço de venda?
9 – Carlos teve um aumento de 8% e passou a receber R$ 1.680,00. Qual era
seu salário antes do reajuste?
10 – O salário de João era de X reais em janeiro. Em maio ele recebeu um
aumento de 20% e outro de 15%, em novembro. Seu salário atual é de R$
2.208,00. Calcule o salário de João em janeiro.
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AULA 2
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar
Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área.
São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos
problemas que querem resolver, compreensão clara das operações
financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem
dos negócios, como também com as tabelas, fórmulas e calculadoras
que utilizarão. E tudo isso só se consegue com muito exercício,
principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira
vez.
Há alguns poucos anos, só se resolviam problemas financeiros com
o auxílio de tabelas. Com o advento das calculadoras eletrônicas
portáteis, a princípio científicas, mas cada vez mais avançadas, as
tabelas cederam lugar a fórmulas que, se forem compreendidas na
sua origem e dedução, serão utilizadas de forma cada vez mais
natural, sem a necessidade de memorização de muitas delas.
Mas os recursos das calculadoras modernas parecem não ter
limites e hoje, com uma calculadora financeira avançada, ou mesmo
básica, já se podem dispensar até as fórmulas, em muitas ocasiões.
E mesmo para quem prefere usar fórmulas na resolução de
problemas restarão cálculos a fazer, e o uso de uma calculadora
científica ou financeira, básica ou avançada, será considerado
imprescindível.
Variáveis do Movimento Financeiro
Valor Presente Liquido: Representa o valor do capital investido ou
tomado como empréstimo na data inicial do fluxo de caixa. Principal
(P), Valor Presente (PV), Valor Atual (V), Capital Inicial (C).
Valor Futuro: Representa o valor do capital em uma data futura,
posterior a data inicial do fluxo de caixa. Montante (M), Valor Futuro
(FV), Capital Acumulado (CA).
Prestação Uniforme: Corresponde ao valor a ser pago ou recebido
em cada período. Prestação (P) ou (PMT).
Período de Capitalização: Representa o período de tempo em que
um determinado capital sofre a incidência de juros, ou seja, de
quanto em quanto tempo os juros serão incorporados ao capital
inicial (n).
Taxa de Porcentagem: As taxas variam dependendo da situação
econômica (i).
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Equivalência de Capitais: Dois capitais são ditos equivalentes se,
investidos à mesma taxa produzem um mesmo montante em uma
determinada data.
Fluxo de Caixa: Define-se fluxo de caixa, seja um indivíduo, uma
empresa ou um investimento, como o conjunto de entradas e saídas
de recursos ao longo de um dado intervalo de tempo.
Diagrama: O conceito de diagrama, apesar de relativamente óbvio, é
extremamente relevante em finanças, uma vez que todas as
questões que envolvam a matemática financeira recorrem dos
diagramas para uma melhor definição do cálculo.
Juros Simples
Juro (J) é toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se
recebe, pelo dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado.
Exemplo:
Qual o juro que rende um capital de R$1000,00 aplicado por 1 ano à
taxa de juros de 10% ao ano?
Quando falamos em juro, devemos considerar:
O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado
de capital (C). A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo
aluguel do dinheiro é denominada taxa de juro (i).
O total que se paga no final do empréstimo (Capital+Juro) é
denominada montante. O tempo que decorre desde o início até o
final de uma operação financeira é denominada prazo (n).
A taxa de juro é indicada em relação a um intervalo de tempo:
5% a.d.= 5% ao dia
10% a.m.=10% ao mês
35% a.a.=35% ao ano
A taxa e o tempo devem ter sempre a mesma unidade de medida.
O prazo de aplicação pode ser contado em dias, meses, bimestres,
trimestres, quadrimestres, semestres, anos etc. E pode ser:
Prazo Exato
É aquele que usa o ano civil de 365 dias ou 366 dias (ano bissexto),
em que os dias são contados pelo calendário. Assim, o mês pode ter:
38 ou 29 dias (anos bissextos) fevereiro.
30 dias (abril, junho, setembro, novembro).
31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro).
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Prazo Comercial
É aquele que usa o ano comercial no qual o mês tem sempre 30
dias e o ano, 360 dias. O juro pode ser simples ou composto.
Cálculo do Juro Simples
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de R$ 1000,00,
pelo prazo de 2 anos e à taxa é de 10% a.a. Qual será o valor a ser
pago como juro?
J=C.i.n
M=C(1+i.n)
Sendo que:
Exemplos:
1- Mariana pediu R$800,00 emprestados para pagar depois de 3
meses, a taxa de 5%ao mês. Quanto Mariana deverá pagar ao fim
desse tempo?
2-Um investidor aplicou R$15.000,00 à taxa de 3% ao ano. Qual será
o juro obtido ao fim de 80 dias, sob o regime de juros simples?
3- Uma pessoa aplicou R$3000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5
meses.
a) Quanto receberá de juro se o regime for de juros simples?
b) Que montante terá ao fim dessa aplicação?
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4-Determine o prazo em que duplica um capital aplicado à taxa de
juro simples de 4%a.m.
Exercícios
1- Uma dívida de R$10.000,00 foi paga com 3 meses e 15 dias de
atraso. Cobrou-se uma multa de 5% ao mês.
a) Qual foi o valor da multa?
b) Quanto foi pago pela dívida?
2- Em quanto tempo um capital de R$80.000,00, aplicado à taxa
anual de 11%, produz R$ 4400,00 de juro?
3- Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores dando uma entrada
de R$ 200,00 mais uma parcela de R$450,00 dois meses depois
após a compra. Sabendo que o preço à vista do aparelho é de R$
600,00.
a) Qual a taxa mensal de juro simples do financiamento?
b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$
450,00, para que a taxa de juro simples do financiamento fosse de
2,5%a.m.?
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Taxa Proporcional
Consideremos duas taxas de juros arbitrarias i1 e i2, relacionadas
respectivamente aos períodos n1 e n2; referidas à unidade comum de
tempo das taxas.
Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de
quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou
seja, se:
i1 n1
=
i 2 n2
Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos, temos:
i1.n2=i2.n1
Exemplo:
1-Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são
proporcionais:
2- Sendo dada à taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa
proporcional mensal.
Taxa Equivalente
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital
às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o
mesmo juro.
Exemplo:
Seja um capital de R$10.000,00 que se pode ser aplicado
alternativamente à taxa de 2% a.m ou de 24%a.a. Supondo um
prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.
Aplicando à taxa de 2% a.m. prazo de 2 anos.
Aplicando à taxa de 24% a.a. por 2 anos
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Constatamos que o juro que será gerado é igual nas duas hipóteses
e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é
equivalente à taxa de 24% a.a.
Problemas de Matemática Financeira
1-Qual é o juro simples que um capital de R$7.000,00 rende quando
aplicado:
a) Durante 4 meses, a uma taxa de 2,5% a.m.?
b) Durante 1 ano, a uma taxa de 3% a.m?
c)Durante 3 meses, a uma taxa de 0,15% a.d.?
2-Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m., a juro
simples para obter R$6.000,00 de juros em 4 meses.
3-Determine o montante simples obtido na aplicação de um capital
de R$12.000,00, à taxa de 1,5%a.m., pelo prazo de 9 meses.
4- Cezar aplicou R$1.000,00 à taxa de 50% a.a. Qual será o juro
acumulado ao final de 70 dias, sob o regime de:
a) Juro simples comercial?
b) Juro simples exato?
5- Um capital de R$8.000,00, aplicado durante 6 meses, resulta em
um montante de R$9.200,00. Determine a taxa mensal de juro
simples dessa aplicação.
6- A que taxa mensal deve ser aplicado um capital de R$48.000,00,
durante 3 meses e 20 dias para produzir R$440,00 de juro simples?
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Aula 3
Juros Compostos
Prof. Cristiano Huff Jung
Exemplos:
1) Um investidor aplicou R$ 500.000,00 a juro composto de 20% a.m..
Quantos reais terá após 5 meses de aplicação? Qual o juro obtido?
2) Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juro composto de 2% a.m..
Quantos reais terá após 8 meses de aplicação?
3) Cláudio aplicou R$ 5.000,00, à taxa de 3% a.m., durante 5 meses.
Que montante esse capital irá gerar, se o regime for de juro composto?
Quantos reais de juro obterá nessa operação?
4) Celina aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juro composto de 16%
a.a. capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos?
5) Calcule o juro composto que será obtido
R$25.000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses.
na aplicação de
6) Qual o montante que um capital de R$ 4.000,00, produz quando
aplicado:
a) Durante 3 meses, a uma taxa de 4% a.m. de juro composto?
b) Durante 10 anos, a uma taxa de 2% a.m. de juro composto?
c) Durante 15 meses, a uma taxa de 0,02% a.d. de juro composto
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7) Matheus aplicou R$ 12.000,00 a juro composto de 6% ao bimestre.
Que quantia terá após 12 meses de aplicação?
8) Uma pessoa aplicou X reais a uma taxa de juro composto de 2,4%
a.m.. Sabendo que após 5 meses recebeu um montante de R$40.000,00,
calcule X.
9) Suponha que, há 120 anos, sua bisavó tivesse aplicado R$ 100,00 a
uma taxa de 8% a.a. de juro composto. Qual seria o montante acumulado até
hoje?
10) Fernanda quer comprar um carro de R$ 12.130,20 e só tem
R$9.200,00. Supondo que o carro não aumente de preço, a que a taxa mensal
de juro composto ela deve aplicar o seu dinheiro de modo a obter o montante
necessário para comprar o carro à vista em 10 meses?
11) Suponha que em 2 meses um determinado titulo de capitalização
teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo que o reajuste no primeiro mês foi
de 15%, podemos afirmar que o do segundo mês foi de:
a) 18,5%
b) 19,5%
c) 20%
d) 21,5%
e) 23%
12) A população de uma região triplicou em 2 anos. O aumento
percentual médio por ano foi aproximadamente de:
a) 35%
b) 42%
c) 65%
d) 75%
e) 73%
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Aula 4
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
1 – Qual o montante simples de um capital de R$ 600,00 aplicado a 18% a.a.,
durante 8 meses?
2 – Determine o juro simples de um capital de R$ 300,00 aplicado a 24% a.a.,
durante 2 meses e 28 dias.
3 – Qual é o valor nominal de uma nota promissória de R$ 7.575,76 assinada
hoje com o vencimento para daqui a 10 meses, se a taxa de juro simples da
aplicação for de 38,4% a.a?
4 – Certa pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9
meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a
transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se
a taxa de juro simples de mercado for de 32% a.a. na ocasião da
transferência?
5 – Certo capital produziu o montante simples de R$ 186,00 em 100 dias, a 1%
a.m. Qual o capital aplicado?
6 – Qual o tempo necessário para que o capital de R$ 1.000,00 produza juro
simples de R$ 81,00 à taxa de 18% a.a?
7 – Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$ 1.000,00 à taxa de juros
compostos de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses?
8 – Determine o montante composto de R$ 3.000,00 a 2% a.m. no final de 2
anos.
9 – Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor
nominal de R$ 1.131,40 se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5%
a.m?
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10 – O capital de R$ 120,00 foi aplicado a juros compostos de 10% a.s. Qual o
montante no final de 2 anos e 6 meses?
11 – Determinar a taxa semestral de juros compostos que faz com que um
capital quadruplique de valor, após 3 anos.
12 – Determinar a quantia que deve ser aplicada em uma instituição financeira
que paga à taxa de juros compostos de 10% a.m., para que se obtenha R$
200.000,00 no final de 2 anos.
13 – Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m.
Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02 estando neste valor
incluídos os juros compostos creditados e o capital investido. Quanto tempo
ficou aplicado o dinheiro?
14 – Um imóvel é vendido, à vista, por R$ 220.000,00. Caso o comprador opte
por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor
exige
R$ 61.618,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo
de financiamento, no sistema de capitalização composta, na hipótese acima?
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AULA 5
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
1 – Dada à taxa de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros
compostos equivalente mensal.
2 – Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador
recebeu, após 2 anos, o montante de R$ 45.666,57, sendo R$ 25.666,57
referente a juros compostos?
3 – Que taxa de juros compostos mensais fará um capital dobrar em 1 ano?
4 – Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade
é de 40% a.a. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar
9% ao trimestre, qual será sua escolha?
5 – O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo financiada até 3
meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo limite para efetuar o
pagamento. Caso opte por pagar à vista, a loja oferece um desconto de 10%.
Sabendo-se que a taxa de mercado composta é de 40% a.a., vale a pena
comprar a prazo?
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6 – Calcular a taxa equivalente composta anual dadas as seguintes taxas por
período:
a) 1% a.m.
b) 2% a.t.
c) 5% a.q.
d) 10% a.s.
7 – Calcular as taxas equivalentes compostas a 20% a.a., conforme informado
abaixo:
a) Taxa semestral
b) Taxa quadrimestral
c) Taxa trimestral
d) Taxa mensal
8 – Qual é a taxa de juros compostos mensais recebida por um investidor que
aplica R$ 1.000,00 e resgata os montantes, segundo as hipóteses abaixo:
a) R$ 1.076,89 – 3 meses
b) R$ 1.125,51 – 4 meses
c) R$ 1.340,10 – 6 meses
d) R$ 1.620,00 – 12 meses
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AULA 6
Desconto Simples
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
Desconto Racional ou Desconto “Por Dentro”.
Definição: É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e
o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu
vencimento.
Desconto: É a quantia a ser obtida do valor nominal.
Valor Descontado: É a diferença entre o valor nominal e o desconto.
Sendo:
M= Valor Nominal (Montante)
C= Vr= Valor Atual (ou valor descontado racional)
n= Número de Períodos antes do Vencimento
i= Taxa de Desconto
D= Dr= Valor do Desconto
Dr=
M .i .n
1 + i .n
Vr=
M
1 + i .n
Dr= M-Vr
Dr= Vr.i.n
Exemplo:
Uma pessoa pretende saldar um titulo de R$5. 500, 00, 3 meses antes
de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a.
qual o desconto que vai obter?
OBS: No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao
valor nominal é igual ao juro devido sobre o capital. Ou seja, a taxa de juros da
operação é também a taxa de desconto.
Desconto Comercial ou Desconto “Por Fora”
Definição: É aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples
sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n período antes de
seu vencimento.
Nota: Valem as observações do item anterior sobre o significado de
desconto e valor descontado.
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M= Valor Nominal (Montante)
n= Número de períodos antes do vencimento
i= Taxa de Desconto
Dc= Desconto Comercial
C= Vc= Valor Atual (ou Valor Descontado Comercial).
Obtêm-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:
Dc= M.i.n
Vc= M(1-i.n)
Exemplo:
Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de R$
5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a. 3 meses antes do vencimento.
a) O desconto comercial
b) O valor descontado comercial
Desconto Bancário
Definição: Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa
prefixada, cobrada sobre o valor nominal.
Nota: Esta taxa de despesas bancárias é referida frequentemente
como sendo as despesas administrativas do banco ou instituição que faz a
operação. O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do
desconto comercial.
Sendo:
Vb: Valor Atual (ou Valor Descontado Bancário)
Db: Desconto Bancário
Dc: Desconto Comercial
h: Taxa de Despesas Administrativas
M: Valor Nominal (ou Montante)
n: Número de períodos antes do vencimento
i: Taxa de Desconto
Tem-se o valor do desconto bancário:
Db= Dc+M.h
Db= M.i.n+M.h
Db= M(i.n+h)
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E o valor descontado bancário:
Vb= M-Db
Vb=M-M(i.n+h)
Vb=M[1-(i.n+h)]
Exemplo:
Um título de R$5. 500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2%
como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses
antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de
40%a.a qual o desconto bancário?Quanto recebeu o proprietário do título?
PROBLEMAS
DESCONTOS SIMPLES
1 – Calcular o valor do desconto racional de um título de R$ 200,00 com
vencimento para 90 dias, à taxa de juros de 2,5% ao mês.
2 – Quanto devo pagar por um título no valor nominal de R$ 15.000,00 com
vencimento em 150 dias se quero ganhar 36% ao ano?
3 – Se o desconto racional concedido for de R$ 57,63 qual será a taxa
considerada, uma vez que o valor nominal é de R$ 600,00 e o período de
antecipação 5 meses?
4 - O valor atual de uma nota promissória é de R$ 1.449,28 tendo sido adotada
à taxa de 18% ao ano. Qual será o prazo de antecedência, se o desconto
racional for de R$ 50,72?
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5 – Uma nota promissória de valor nominal R$ 8.856,00 com vencimento em 4
meses, foi comprada por R$ 8.200,00. Qual é a taxa de desconto racional
exigida pelo comprador?
6 – Um título com valor nominal comercial de R$ 700,00 foi descontado 15 dias
antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 1% ao dia. Calcule o valor
líquido recebido.
7 – Uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 200,00 foi resgata 3
meses antes do vencimento, à taxa de 9% ao ano. Qual o desconto comercial?
8 – O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00 adotando-se uma taxa
de juros de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se
seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00?
9 – Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de
antecipação for de 270 dias, qual será o valor do título no vencimento,
considerando-se uma taxa de 22% ao ano?
10 – Uma empresa retira do Banco Alfa um empréstimo por 3 meses no valor
de R$ 500.000,00. Se a taxa de juros for de 26% ao ano e, além disso, o banco
cobra 1% a título de despesas administrativas, qual será o desconto bancário?
11 – O valor atual bancário de uma nota promissória descontada 3 meses
antes de seu vencimento é de R$ 11.040,00. Qual será a taxa de juros efetiva,
se a taxa de desconto for de 27% ao ano e a taxa administrativa for de 1,25%?
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Aula 7
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
1 – Em uma liquidação, várias mercadorias tiveram seus preços remarcados,
depois de sofrer descontos em seus preços normais.
a) Quanto se deve pagar por uma mercadoria de R$ 54,00, sujeita a um
desconto de 15%?
b) Qual o preço normal de uma mercadoria que, com desconto de 20% , está
sendo oferecida por R$ 20,64?
c) Qual a taxa de desconto que está sendo oferecida em uma mercadoria cujo
preço foi remarcado de R$ 350,00 para R$ 290,50?
2 – Qual é o juro simples exato de um capital de R$ 10.000,00 que é aplicado
por 40 dias e à taxa de 36% a.a?
3 – Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e
meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha o montante.
4 – Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5
meses, se a taxa for de 2% a.m?
5 – Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz
um montante de R$ 3.500,00 após um ano?
6 – Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m?
7 – Uma pessoa investiu R$ 15.000,00 à taxa de 30% a.a. e após certo tempo
recebeu o montante de R$ 30.195,36. Quanto tempo o capital ficou aplicado?
Considerar capitalização composta.
8 – Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que lhe proporcionarão um
resgate de R$ 397.535,00 após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de
juros compostos está aplicado o seu capital?
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9 – (CEF) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%
num regime de capitalização composta. Após um período de dois meses, os
juros resultantes dessa aplicação serão:
a) R$ 98,00
b) R$ 101,00 c) R$ 110,00
d) R$ 114,00
e) R$ 121,00
10 – (Provão 2002- Administração) A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento
um título de R$ 605,00 que vencerá em dois anos. No entanto, a empresa está
precisando de dinheiro hoje para pagar uma despesa. Trabalhando sempre
com juros compostos e com custo de oportunidade de 10% ao ano, por qual
valor mínimo, em reais, deverá vender hoje esse título?
a) R$ 500,00 b) R$ 504,17
c) R$ 550,00
d) R$ 605,00 e) R$ 665,50
11 – A que taxa de juros simples ficou aplicado um capital de R$ 4.000,00 de
modo a render R$ 500,00 de juros em 2 meses?
12 – Uma pessoa salda uma duplicata de R$ 5.500,00 3 meses antes de seu
vencimento. Se a taxa de desconto simples do título é de 40% a.a.
a) Calcular o valor do desconto.
b) Calcular o valor recebido.
12 – Paula aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juro composto de 16% a.a.
capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos?
13 – Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante de uma aplicação
de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% a.m. em regime de
capitalização composta.
14 – Uma pessoa investiu R$ 2.000,00 em ações. No primeiro mês, ela perdeu
40% do total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia
perdido:
a) Com quantos reais ela ficou após os 2 meses?
b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em percentagem, sobre o valor do
investimento inicial?
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Aula 8
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
Desconto Composto
O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo
prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o
desconto “Por Dentro” (racional) e o desconto “Por Fora”.
O desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente
empregado no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto “por dentro”
(racional) envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo
o regime de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.
Desconto Composto “Por Fora”
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência
sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é
deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.
Exemplos:
1) Um título de valor nominal de R$35.000,00 é negociado mediante
uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu
vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se
determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da
operação.
2) Uma empresa deve R$ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se
dará daqui a 10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida
resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto.
O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto
composto “por fora”, sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação
de 3,5% ao mês.
Pede-se calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco
quando da liquidação antecipada do empréstimo.
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3) Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. 5 meses antes de seu
vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de
R$39.000,00. admitindo o conceito de desconto composto “por fora”, calcular o
valor nominal do título.
Desconto Composto “Por Dentro”
Conforme comentado, o desconto composto “por dentro” (ou racional)
é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros
compostos.
Exemplos:
1) Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi
descontado 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de
R$ 42.000,00 e a taxa de desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido
liberado nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto composto “por
dentro”.
2) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal
de R$12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5%
ao mês.
3) Um banco libera a um cliente R$6.800,00 provenientes do desconto
de um título de valor nominal de R$9.000,00 descontado à taxa de 4% a.m.
Calcular o prazo de antecipação que foi descontado este título.
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Problemas- Desconto Composto Racional
1 – Um título de valor nominal R$ 12.000,00 sofre um desconto à taxa de 5%
a.a., 24 meses antes do vencimento. Qual o valor do desconto?
a) R$ 1.000,00
b) R$ 1.115,64
c) R$ 1.215,64
d) R$ 1.615,64
e) R$ 10.884,36
2 – Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto composto de R$
500,00, a 60 dias de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês?
a) R$ 8.710,80
b) R$ 8.210,80
c) R$ 8.000,00
d) R$ 7.210,80
e) R$ 500,00
3 – Um título de valor R$ 10.000,00, a vencer exatamente dentro de 3 meses,
será resgatado hoje, por meio de um desconto composto a uma taxa de 4% ao
mês. O desconto obtido é de:
a) R$ 400,00
b) R$ 800,00
c) R$ 1.110,00
d) R$ 1.200,00
e) R$ 2.000,00
4 – Uma duplicata foi descontada 1 mês antes do vencimento, à taxa de
4% a.m..O valor líquido composto foi de R$ 203,00. Então, o valor de face da
duplicata era de:
a) R$ 220,00
b) R$ 210,00
c) R$ 219,65
d) R$ 218,75
e) R$ 211,12
5 – Em 25/07/99, descontou-se em um banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo
vencimento era para 23/10/99. A taxa da operação foi de 4% a.m.. Nestas
condições, qual foi o valor líquido do título?
a) R$ 480,00
b) R$ 528,00
c) R$ 533,40
d) R$ 560,00
e) R$ 580,00
6 – Um título no valor nominal de R$ 50.000,00 para 30 dias foi trocado por
outro, de R$ 60.000,00 para 90 dias. Qual a taxa de desconto composto que foi
utilizada para que esses títulos fossem considerados equivalentes?
a) 9,5%
b) 10%
c) 11%
d) 12%
e) 15%
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Aula 9
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
Equivalência de Capitais
Como já foi visto no casa das operações de desconto, é freqüente a
necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. Às
vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também
ter vários títulos que queremos substituir por único ou por vários.
Tais questões dizem respeito, de modo geral à comparação de valores
diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de
juros.
Na prática, estas comparações são feitas utilizando-se o critério de juros
compostos.
Data Focal
Definição: É a data que se considera como base de comparação dos
valores referidos a datas diferentes.
A data focal também é chamada data de avaliação ou data de
referencia.
Exemplo:
1)Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal
de R$15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possui R$ 20.000,00
hoje, que irá aplicar à taxa de 2%a.m. durante dois anos. Considerando que o
custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no
mercado, é de 2% a.m., pergunta-se:
a) Quanto possui hoje?
b) Quanto possuirá daqui a um ano?
c) Quanto possuirá daqui a dois anos?
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Capitais Equivalentes
Diz-se que os dois ou mais capitais, com datas de vencimento
determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à
mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.
Exercícios:
1) Admitamos o conjunto de capitais seguinte:
Capital (R$)
Data de Vencimento
(Mês)
1.000,00
6
2.000,00
12
5.000,00
15
Admitindo-se a taxa de juros de 3% a.m, pergunta-se qual o valor atual
deste conjunto na data focal zero.
2) João irá receber R$6.600,00(dentro) em um ano, como parte de seus
direitos na venda de ações. Contudo, necessitando de dinheiro , transfere seus
direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma nota promissória no
valor R$6.000,00 com vencimento para 6 meses. João fez bom negócio, se a
taxa de mercado for de 20%a.a?.
3) Considerando-se a taxa de juros de 4% a.m, será que R$8.000,00 hoje é
equivalente a R$10.000,00 em 6 meses?
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Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
3ª Edição
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Capítulo 5
RENDAS CERTAS
OU
ANUIDADES
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Rendas Certas ou
Anuidades
Definições:
Dada uma série de capitais, referidos às
suas respectivas datas:
R1
n1
R2
...
Rm
n2
...
nm
Estes capitais, referidos a uma dada taxa de juros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.
VALORES = Termos da anuidade;
PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;
DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.
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Valor Atual e Montante de
uma Anuidade
Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos
seus termos, na mesma data focal e à mesma
taxa de juros “i”.
Montante: é a soma dos montantes dos seus termos, considerada uma dada taxa de juros “i” e
uma data focal.
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Classificação das
Anuidades
QUANTO AO PRAZO:
• Temporárias: quando a duração for limitada.
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:
• Constante: quando todos os termos são iguais.
• Variável: quando os termos não são iguais entre
si.
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Classificação das
Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
RECEBIMENTO:
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a
partir do primeiro período.
-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.
-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
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Classificação das
Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
RECEBIMENTO:
• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a
partir de uma data que não seja o primeiro período.
-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.
-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
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Classificação das
Anuidades
QUANTO À PERIODICIDADE:
• Periódicas: se todos os períodos são iguais.
• Não-periódicas: se os períodos não são iguais entre si.
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Modelo Básico de Anuidade
São as anuidades que são:
• Temporárias;
• Constantes;
• Imediatas e Postecipadas;
• Periódicas;
• A taxa de juros “i” está referida ao mesmo período dos termos.
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Valor Atual do Modelo
Básico
P = principal
n = número de termos
R = termos
i = taxa de juros
P
R
0
1
R
R
2
n
P = R.a¬
n i
Diz-se que o principal vai ser pago em “n” parcelas (prestações) iguais a “R”.
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Valor Atual do Modelo
Básico
EXEMPLO
a¬ = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.
n
i
O cálculo de
a¬n i é feito do seguinte modo:
(1+ i)n −1
a¬ =
n i
i(1+ i)n
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
valores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do livro).
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Exemplo
I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a
partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro à vista.
Resolução:
(1+ i)n −1
a¬
n =
i
i(1+ i)n
onde: n = 4 meses
i = 2% a.m.
(1,02)4 − 1
a¬n i=
≅ 3,807729
4
0,02.(1,02)
Portanto, como R = 2.626,24:
P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00
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Exemplo
II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode
ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa
de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.
Resolução:
P
R=
a¬n i
onde: P = 5.000,00
n = 10 m.
i = 3% a.m.
Procurando numa tabela ou calculando diretamente,
tem-se:
a 10
¬3 ≅ 8 , 530203
5 . 000 , 00
R =
= $ 586 ,15
8 , 530203
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Exemplo
Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação mensal de $ 586,15, por 10 meses.
III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas
seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.
Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, temos:
P
E
{
0
R
R
1
2
R
3
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Exemplo
Portanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações na
data zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguinte
modo:
P = E + Ra¬
3 2,5
onde: E = 1.500,00
R = 1.225,48
a ¬3 2,5≅ 2 , 856024
Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024
P = 1.500,00 + 3.500,00
P = $ 5.000,00
Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.
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Exemplo
V) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode ser
adquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros
de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês
seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de prestações.
Resolução: P = R .a ¬n i
15 . 000 = 885 , 71 .a ¬n 3
15 . 000
a¬
= 16 ,935566
n 3=
885 , 71
Temos que:
1 − (1, 03 ) − n
16 ,935566 =
0 , 03
1 − (1, 03 ) − n = 0 ,508067
(1, 03 ) − n = 0 , 491933
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Exemplo
Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:
−n log(1, 03) = log(0, 491933)
log(0, 491933)
n=−
log(1, 03)
−0,308094
n=−
≅ 24 meses
0, 012837
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Montante do Modelo
Básico
S = montante
n = número de termos
R = termos
i = taxa de juros
EXEMPLO
S
R
0
1
R
R
2
n-1
n
S = R.s¬n i
Diz-se que “s” é o resultado de um processo de
capitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a
“R”.
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Exemplo
I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se
que ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?
Resolução:
S = R .S ¬n i
onde:
R =1.000,00
S 24
¬ 2= 30 , 421862
Portanto:
S = 1.000,00 x 30,421862
S = $ 30.421,86
Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.
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Montante do Modelo
Básico
EXEMPLO
s¬ = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.
O cálculo de s¬ é feito do seguinte modo:
n
i
n
i
(1+ i)n −1
s¬n =i
i
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
valores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do livro).
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Exemplo
II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deve
ser poupado mensalmente.
Resolução: Neste caso, o montante é dado:
S = 40.000,00
Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, fazemos o cálculo diretamente:
(1, 022 )12 − 1 1, 298407 − 1
S12
¬ 2,2
=
=
0 , 022
0 , 022
0 , 298407
=
= 13 ,563955
0 , 022
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Exemplo
Temos:
S
R=
S 12
¬ 2,2
40 . 000
R=
2 . 948 ,99
13 ,563955
∴ R = $ 2 . 949 , 00
Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a
aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carro
pretendido.
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Relação entre o Valor Atual e o
Montante do Modelo Básico
EXEMPLO
A relação é:
n
S =P(1+i)
E a relação entre os fatores é a seguinte:
s¬n =i (1+ i)n .a¬
n
i
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Exemplo
Uma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguinte
modo:
a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cada
mês, devolvendo o capital no fim do 12º mês;
B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês.
Pede-se determinar a melhor aplicação.
Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir ao
maior montante na data focal 12:
Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3%
a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o montante na data focal 12 é:
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Exemplo
SA = 30.000 + 900,00.S¬
12 3
SA = 30.000 + 900,00 x14,192030
SA = 30.000 + 12.772,83
SA = $42.772,83
Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido diretamente:
S = P(1 + i ) n
SA = 30.000.(1,03)12
SA = 30.000 x1,425761
SA = $42.772,83
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Exemplo
Já sabemos que o Banco B devolve:
SB = $ 42.000,00
Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhando
um adicional de $ 772,83.
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AULA 11
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
1 – Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, nas
hipóteses abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
Taxa de Juros
1% a.m.
5% a.b.
8% a.t.
10% a.s.
30% a.a.
Prazo
24 meses
12 bimestres
10 trimestres
20 semestres
30 anos
2 – Um terreno foi comprado com uma entrada de R$ 50.000,00 e 12
prestações mensais consecutivas de R$ 6.319,16. Qual o preço a vista do
terreno se a taxa do mercado imobiliário é de 3,8% a.m.?
3 – Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de R$
300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados:
a)
b)
c)
d)
3% a.m.
3% a.m.
4% a.m.
5% a.m.
24 meses
36 meses
24 meses
12 meses
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4 – Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em
24 prestações mensais de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente não dará
entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2,5%
a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador?
5 – Quantos depósitos bimestrais de R$ 1.000,00 serão necessários para que,
se a remuneração for de 4% a.b., se tenha R$ 29.778,08?
6 – Uma dona de casa compra um televisor em cores em 24 prestações de R$
630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que
a taxa de mercado é de 4% a.m., qual seria o valor do televisor a vista?
7 – O corretor prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depósitos
trimestrais de R$ 1.050,00, após o último depósito ele teria R$ 20.000,00. Que
taxa de juros o corretor está oferecendo ao cliente?
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Aula 12
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
PRESTAÇÕES - PROBLEMAS
1- Um carro é vendido a prazo, por cinco prestações mensais de R$ 12 000,00, com
a primeira prestação vencendo um mês após a compra a taxa de 4%a.m. Qual o
valor do carro a vista?
2- Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 2 800,00,
sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso “com entrada”, a
taxa de 3%a.m. Qual o valor do carro a vista?
3- Um televisor custa R$ 5 000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em
10 prestações mensais à taxa de 3% a.m.. Calcular a prestação a ser paga pelo
comprador.
4- Uma loja vende uma geladeira por R$ 2 000,00 a vista ou financiada em 12
meses, a juros de 2%a.m.. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada
alguma e a primeira prestação vencer após 1 mês ?
5- Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista é de R$ 50 000,00.
Qual é o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 12 meses, sem
entrada, e a taxa de juros contratada for de 4% a.m.?
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AULA 13
Matemática Financeira
Prof. Cristiano Huff Jung
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES
1 – Para um projeto de expansão, a empresa “BETA” obtém um financiamento
de R$ 5.000.000,00 do Banco X , nas seguintes condições:
a) Taxa de juros: 8% a.a. – com pagamentos semestrais.
b) Amortizações: SAC – Sistema de Amortizações Constantes, com
pagamentos semestrais.
c) Prazo de Amortização: 5 anos.
Construir a planilha de financiamento:
2 – A taxa efetiva do Banco X é de 20% a.a. Neste banco, uma companhia
retira um financiamento de R$ 400.000,00, comprometendo-se com o Banco X
a amortizá-lo em 6 prestações quadrimestrais, vencendo a primeira 4 meses
após o fechamento do contrato e concomitante recebimento do valor
financiado. Como foi dotado o Sistema Francês de amortizações, a empresa
quer saber qual é a parcela de juros contida em cada prestação para que
possa ser feita sua apropriação nas despesas do período. Calcular os juros por
período.
Construir a planilha de financiamento:
Sistema Americano
3 – Um banco empresta a um empresa R$ 15.000.000,00 pelo prazo de 4
anos, à taxa de 8% a.a.. Sabendo-se que será adotado o Sistema Americano
de amortização, qual será o desembolso anual?
Construir a planilha de financiamento:
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Problemas de Amortizações
1 – Um banco emprestou a uma empresa R$ 1.200,00, a uma taxa de juros
compostos de 3% ao mês. A empresa decidiu amortizar a dívida com os
seguintes pagamentos R$ 336,00 no 1º mês, R$ 327,00 no 2º mês, R$ 318,00
no 3º mês e R$ 336,00 no 4º mês. O sistema de Amortização adotado para tais
pagamentos é o chamado:
a) Sistema de Amortização Constante
b) Sistema de Amortização Mista-SAM
c) Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
d) Pagamento Periódico de Juros
e) Pagamento no Final
2 – Uma empresa financiou R$ 8.500,00 em 4 anos, a uma taxa de juros
compostos de 4% ao ano pelo Sistema Francês de Amortização ou Tabela
Price. O valor da segunda prestação anual será de:
a) R$ 0,00
b) R$ 340,00
c) R$ 2.341,67
d) R$ 2.360,84
e) R$ 2.380,00
3 – Um financiamento no valor de R$ 900.000,00 é amortizado em 20 parcelas
mensais pelo sistema francês. A taxa de juros contratada é de 3% ao mês.
Determinar o valor dos juros pagos no financiamento.
a) R$ 60.494,16
b) R$ 183.880,13
c) R$ 200.883,10
d) R$ 300.000,00
e) R$ 309.883,13
4 – Um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 será liquidado pelo sistema de
amortização constante em 10 prestações mensais. A taxa de juros contratada
para a operação é de 2% ao mês. Determinar o valor de cada amortização
mensal.
a) R$ 1.400,00
b) R$ 1.600,00
c) R$ 2.000,00
d) R$ 2.400,00
e) R$ 2.600,00
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5 – A uma pequena empresa são emprestados R$ 50.000,00 a serem pagos
pelo Sistema Francês de Amortização. As condições do financiamento são as
seguintes:
a) Prazo: 10 semestres
b) Juros: 6% ao semestre
Qual o valor da 4ª prestação
a) R$ 5.000,00
b) R$ 6.000,00
c) R$ 6.793,00
d) R$ 6.873,40
e) R$ 7.000,00
6 – Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em 4 amortizações
constantes anuais sem carência. A taxa de juros contratada é de 8% a.a. O
valor da 2ª prestação é de:
a) R$ 20.000,00
b) R$ 21.600,00
c) R$ 23.200,00
d) R$ 24.800,00
e) R$ 26.400,00
7 – O montante de R$ 450.000,00 é financiado em 5 anos à taxa de 18% a.a.,
no Sistema Americano. Qual o valor da prestação no 5º ano.
a) R$ 531.000,00
b) R$ 855.000,00
c) R$ 405.000,00
d) R$ 81.000,00
e) R$ 66.742,00
8 – Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo sistema de
amortização constante (SAC) em 40 parcelas mensais. A taxa de juros
contratada para a operação é de 4% ao mês. Determinar o valor do saldo
devedor imediatamente após o pagamento da 10ª prestação.
a) R$ 20.000,00
b) R$ 40.000,00
c) R$ 50.000,00
d) R$ 60.000,00
e) R$ 80.000,00