LOGARÍTMOS
1- DEFINIÇÃO
1-(MACK) O valor de log
1
100
3
o,1 é :
a) -1/2
b)-1/6
c) 1/6
2-(UFPA) O valor do log 1 (log 5 125) é:
d) 1/2
e) 1
d) 2
e) 0,5
3
a) 1
b) -1
c) 0
 − 5   3  
−3
 :   .(0,01) ,então log100 y vale :
 3   5  
−2
2
3-( MACK) Se y= 
a)5
b)2
c)7
d)3
e)6
4- ( MACK) O logaritmo de 144 na base 2 3 é igual a :
a) –2
b) –1
c) 2
d) 3
e) 4
5- (MACK) O valor de log 1 32 + log 0,001 − log 0,1 10 10 é :
2
a) –13
b) –13/2
6-Calcule o valor de :
1+ log 3 2
a) 3
c) –19/2
b) 4
d) –19
π
ln


c) co log sen e 2


log 2 5
7- ( MACK) O valor da expressão e + e , para x = ln 2 é igual a
a) ln 2
b) ln 4
c) 2
d) 4
x
8-(MACK) Seja A =
a) –2
n
9
n+2
b) –1
b) 1/3
GABARITO:
1)C
2)B
3)D
e) 8
90
, onde n > 1 é um número natural. Então log 1 A vale :
+ 32 n+ 2
9
c) 0
d) 1
c) 4/9
4)E




x
log 3 1 + log 0,01
9-(UEL) O valor da expressão
1
log 2 . log 4 8
64
a) 4/15
e) –22/3
5)B
é:
d) 3/5
6)a)6
e) 2
b)25 c)0
e) 2/3
7)D
8)D
9)C
LOGARÍTMOS
2- PROPRIEDADES
1-(ANGLO) O valor da expressão E = log 8 + log 35 - log 28 é :
a) -5
b) 5
c) 1
d) 10
e) -16
2-(PUC) log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a :
a) 1
b) 3
c) 5
d) 10
e) 1000
3-(MAUÁ ) Dado que log 5 = m , calcular A= log 75 + log 2/3
4-(FGV) O produto (log 9 2).(log 2 5).(log 5 3) é igual a :
a)0
b)1/2
c)10
d)30
e)1/10
5-(ANGLO) O número E = log 2 33 − log 2 3 está compreendido entre :
a) –1 e 0
b) 0 e 2
c) 2 e 3
d) 3 e 4
e) 5 e 7
6-(ANGLO) Se log 1,73=a, então o log 1730 é igual a
c) 3 + a
d) a³
e) a/3
a) a
b)3 a
7-(FUVEST) Se x = log 4 7 e y = log 16 49 , então x - y é igual a :
a) log 4 7
b) log 7
c) 1
d) 2
e)0
8-(VUNESP) Se log 3 a = x , então log 9 a é igual a :
a)2x²
b)x²
c)x+2
d)2x
e)x
9-(FUVEST) Se log8 = a então log5 vale :
a) a³
b) 5a – 1
c) 2a/3
d) 1 + a/3
e) 1 - a/3
10-(GV-01-JUN) Consideremos os seguintes dados: Log2 = 0,3 e Log3 = 0,48. Nessas condições, o valor de
log15 é:
a)) 0,78
b) 1,08
c) 0,88
d) 1,18
d) 0,98
2
11-(MACK-02)
Se log m 5 = a e log m 3 = b , 0 < m ≠ 1, então log 1
m
3
é igual a :
5
d) a/b
e) a-b
a) b/a
b) b-a
c) 3a – 5b
12-(MACK-02) O produto (log 2 3)(
. log 3 4 )(
. log 4 5)......(log 63 64) é igual a :
a) log 3 64
b) log 2 63
14-(MACK-01) Se log α = 6 e log β = 4, então
a) β
d)4
e) 6
= 3 , então log 2 54 é igual a :
b) 3m + 1
c) 6m
d) m + 6
13-(MACK-02) Se 2
a) 2m + 3
c) 2
m
b) 24
c) 10
4
α .β
α
2
d)
2
e) m + 3
é igual a :
+
β
e) 6
4
15-(UNICAMP) Calcule o valor da expressão logn logn n n n , onde n é um número inteiro, n ≥ 2 .
Ao fazer o cálculo, você verá que esse valor é um número que não depende de n.
16-(FUVEST) Sabendo que 5 p = 2 , podemos concluir que log 2 100 é igual a :
2+2p
a)2/p
b) 2p
c) 2 + p 2
d) 2 + 2p
e)
p
17-(MACK-01-jun-G2,3)Sabendo que log 2 = 0,3, o valor de log 100 3 400 é :
a) 13/30
b)4/30
c)11/45
d)3/4
e) 1/2
18-(MACK) Se log a 2=m e log a 3 = n, então log  1  ( 2 / 3) vale :
 
 a
a)1
b)0
c)m - n
d)n - m
e) m .n
19-(FUVEST-01) Sendo P = (a, b) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio 1, que
 b3
satisfaça b > 0, a ≠ ±b e pode-se afirmar que log 2
 a − b2


 a4
 4 − 1  vale:


b
a)0
b) 1
c) –logb
d) log b
e) 2 logb
20-(EPCE-99) Considerando log m 10 = 1,4 e log m 50 = 2,4, pode-se afirmar, com base nesses dados, que
o valor do logaritmo decimal de 5 é :
a) 3/7
b) ½
c) 5/7
d) 7/3
e) 7/5
21-(UFSC) Se log a x = 2 e log x y = 3 , então calcule log a
5
x. y 3
22- (UEL) Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3= 0,48 e 12 = 15 , então a razão
x
a) 59/54
b) 10/9
c) 61/54
y
d) 31/27
2

3
23-( MACK) O número real k tal que k = 
log 5
 3
. 
5
log 2
x
é igual a :
y
e) 7/6
5
. 
2
log 3
está no intervalo:
a) [ 0, 1 [
b) [ 1, 2 [
c) [ 2, 3 [
d) [ 3, 4 [
e) [ 4, 5 ]
24-(VUNESP) Se a equação x²-b.x+100=0 tem duas raízes reais n e t, n>0 e t>0, prove que:
log(nt ) n + log(nt ) t = 2b
GABARITO
1)C 2)C 3)m + 1 4)B 5)D 6)C 7)E 8)E 9)E 10)D 11)E 12) E 13)B 14)A 15) –2 16)E 17)A 18)D
19)C 20) C 21) 4 22)A 23) B 24) dica : utilize soma e produto de raízes
LOGARÍTMOS
3-EQUAÇÕES
1) log 2 x + 4 log x 8 = 8
S={4, 64}
2) log 2 x + log
S = { 1 / 2}
2
x = −3
3) log 3 x = 1 + log x 9
S ={ 9 , 1/3 }
4) log 2 x + log 4 x + log 8 x + log 16 x = −6,25
S= {1 / 8}
5) log 2 ( 3x − 1) − log 4 ( x + 1) = 1 / 2
S={ 1 }
6 ) log[(Iog x)² - log x] = log 2.
S { 100, 1/10 }
7) log 27 x + log 3 x = 4 S={ 27}
8-(GV-03) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1:
A) tem duas raízes opostas.
D) tem uma única raiz maior que 7.
B) tem uma única raiz irracional.
E) tem conjunto solução vazio.
C) tem uma única raiz menor que 3.
9-(MACK-03) Se log 3 3 x − log 9 x − log 3 x = 2 ,então log 1 3 x vale :
3
a) -1
b) -1/3
c) 1/9
d) 1/3
d)1
10-(UNIFESP-02) O valor de x que é solução da equação log2 + log(x + 1) – logx = 1 é
A) 0,15.
B)0,25
C) 0,35
. D) 0,45.
E) 0,55.
11-(MACK-03) Se a e b são reais, positivos e diferentes de 1, tais que log a b −
valor de a é :
a)100
c) 10
b) 1/ 4
1
log b = 0 , então o
2
d) 1/ 2
e)2
12)-(GV-JUN-02) O valor de x que satisfaz a equação log(2x + 7) = log2x + log7 é um número:
a)menor que 1/2 b) entre ½ e 1
c) entre 1 e 3/2 d) entre 3/2 e 2 e) maior que 2
x
13)-(GV-02) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5 = 60 vale aproximadamente:
a) 2,15
b)2,54
c)2,28
d) 2,67
e) 41
14)-(GV-02) a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2
log x
b) Quais as raízes da equação x
= 100x?
15-(FATEC-02) Sabe-se que os números complexos z = log ( x – y ) + ( y +10)i e w = y – xi, nos quais x e u
são números reais, são complexos conjugados. É verdade que :
a) z + w = 1
b) z – w = i
d) z + w =
c) z.w = 122
e) z − w = 11
2
16)-(IBMEC-01) Resolva:
a) Na equação abaixo, determine o valor de x.
b) Resolva a equação
( x − 4 )2
=3
2 X .4 y = 3 / 4

17-(FUVEST-02) Se (x, y) é solução do sistema 
pode-se afirmar que:
1 2
3
 y − xy = 0
2

a) x = 0 ou x = –2 – log 2 3
b) x = 1 ou x = 3 + log 2 3
c) x = 2 ou x = –3 + log 2 3
log 2 3
log 2 3
d) x =
ou x = –1 + log 2 3
e) x = –2 + log 2 3 ou x = –1 +
2
2
−2 x
18)-(MACK-00) Supondo que log 2 = 0,3, o valor mais próximo e x tal que 2
− 0,32 = 0 é :
a) 2/5
b) 5/6
c)5
d)1/4
e)1/5
19) (ITA-98)O valor de y ∈ R que satisfaz a igualdade log y 49 = log y 2 7 + log 2 y 7
a) 1/2
b) 1/3
c) 3
d) 1/8
{
e) 7
GABARITO
}
8)B 9)E 10)B 11)A 12)B 13)B 14)a) S = 2 26 b)S={100,1/10} 15)C 16)a)S={26}b) S={1,7 } 17) E 18)B
19)D
LOGARÍTMOS-PROBLEMAS
1-(IBMEC-01)Próxima da superfície terrestre, a pressão atmosférica (P), dada em atm, varia
aproximadamente conforme o modelo matemático:
P = P0 (0,9 ) , onde P0 = 1 (atm) e h é altura dada
h
em quilômetros. Então, a altura de uma montanha onde a pressão atmosférica no seu topo é de 0,3 (atm) tem
valor igual a: Dado: log3 = 0,48
a) 11 (km)
b) 14 (km)
c) 12 (km)
d) 15 (km)
e) 13 (km)
2-(PUC-02) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o
planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a
ser igual a 10 vezes o incial? (Use: log 2 = 0,30)
a) 1 ano e 8 meses
b)2anos e 3 meses
c) 2 anos e 6 meses
d) 3 anos e 2 meses
e) 3 anos e 4 meses
3-(PUC-00) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para
fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode
ser descrito pela função exponencial P = P0 .e
1
250
na qual P é a potência instantânea, em watts, de
radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a
partir de t 0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são
necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da
potência inicial? (Dado: An 2 = 0,693)
a) 336
b) 338
c) 340
d) 342
e) 346
4-(UFSCAR-01) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira,
evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log 3 (t + 1)
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de
altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:
A) 9.
B) 8
C) 5
D) 4
E) 2.
5-(VUNESP-02-BIO) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num
recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água
evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade
de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:
 10 k 
 com k uma
Q(t ) = log10 
 t +1
constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k.
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
6-(VUNESP-02-EX) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais
pela função L(x) = log(100 + x) + k, com k constante real.
a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k.
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais.
7-(UNICAMP-01As populações de duas cidades,A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções
A(t) = log 8 (1 + t ) e B(t) = log 2 (4t + 4 ) , onde a variável t representa o tempo em anos.
6
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine
o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.
8-(VUNESP-03)Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. Em 1990, a área coberta pela
planta era de 160m2, e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%.
Determine:
a) a área, em m², coberta pela vegetação n anos mais tarde;
b) usando log16 = 1,2, quantos anos se passaram até que uma área de 2560 m² fosse coberta.
GABARITO
1)E 2)E 3)E 4)B 5) a)1 b)9 horas 6)a) –2 b) 900 7)a) Na cidade A, 2000 e 6000. Na cidade B, 3000 e 5000. b)
O valor mínimo é 3, e a cidade cuja população é maior a partir desse instante é a A. 8a) 160.1,6
n
b) 6