UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR FUNÇÕES DE
FORMA INTERDISCIPLINAR ATRAVÉS DA CINEMÁTICA
MARCELO DA SILVA FERRAREZ
Orientador
Prof. Carlos Alberto Cereja de Barros
Rio de Janeiro
2009
2
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR FUNÇÕES DE
FORMA INTERDISCIPLINAR ATRAVÉS DA CINEMÁTICA
Apresentação de monografia ao Instituto A Vez do
Mestre – Universidade Candido Mendes como
requisito
parcial
para
obtenção
do
grau
especialista em Docência do Ensino Superior.
Por: Marcelo da Silva Ferrarez
de
3
AGRADECIMENTOS
Aos meus amigos e aos professores e
orientadores do Instituto A vez do
Mestre.
4
DEDICATÓRIA
A minha família, e em especial
a minha esposa Jaqueline,
com muito carinho.
5
RESUMO
A proposta deste trabalho constitui um projeto de pesquisa em Educação
Matemática onde os processos de ensino-aprendizagem de Matemática e
Física serão abordados de maneira interdisciplinar com relação aos conteúdos
de Funções e Cinemática. A integração entre essas duas áreas de estudo
promove um bom nível de compreensão com relação à construção dos
conceitos físicos a partir das fundamentações matemáticas e vice-versa. No
contexto da Cinemática, o conceito de funções pode ser construído de maneira
natural, partindo da compreensão intuitiva para a fase formal, diferentemente
do que se costuma ver nas salas de aulas, onde o conteúdo de funções é
transmitido a partir da introdução do conceito formal. A característica
sintetizadora e abstrata da linguagem matemática têm se constituído como um
obstáculo para a sua aprendizagem. E a utilização da resolução de situaçõesproblema como estratégia didático-pedagógica em conteúdos matemáticos
pode ser uma alternativa motivadora para criar nos alunos uma capacidade
mais crítica e investigativa com relação ao conhecimento a ser apreendido.
Essa metodologia viabiliza a utilização do conhecimento trazido pelo aluno,
visto que, idéias intuitivas que compõem um determinado contexto cotidiano,
podem ser usadas tornando o ensino mais significativo, como por exemplo, as
noções de velocidade, movimento e aceleração podem ser usados fazendo as
devidas conexões com as propriedades do conteúdo de Funções. Assim,
partiremos de atividades contextualizadas, dando significado aos conteúdos
físicos e matemáticos.
6
METODOLOGIA
Este trabalho foi baseado em uma pesquisa científica através dos livros
citados na bibliografia. Onde, também, foram selecionadas as situaçõesproblema e fundamentações que fazem parte do material didático proposto,
bem como todas as sugestões de avaliações que o professor poderá utilizar
nas suas salas de aula.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
08
CAPÍTULO I - Conceito de Função e sua importância
10
CAPÍTULO II - Problemas freqüentes no processo de
ensino-aprendizagem de Funções
16
CAPÍTULO III – Cinemática como contexto para o estudo
de Funções
18
CAPÍTULO IV – Sugestões para avaliação
23
CONCLUSÃO
26
ANEXOS
28
BIBLIOGRAFIA
62
ÍNDICE
64
8
INTRODUÇÃO
Vemos diariamente situações e fenômenos em que estão intrínsecas as
noções de regularidade, o que em várias ocasiões são de percepção intuitiva,
assim como também nos deparamos com certas representações, como, por
exemplo, os gráficos, que estão presentes em muitos meios de comunicação.
Podemos perceber que as relações entre duas grandezas, que estão
presentes em muitos contextos do cotidiano, podem se tornar uma estratégia
facilitadora do processo de ensino-aprendizagem de Funções Matemáticas.
Entre as várias situações observadas na sala de aula que colaboravam
para esse “déficit” na aprendizagem desse conteúdo específico, serão citadas
algumas: a reflexão da importância do estudo de Funções para o
desenvolvimento escolar e sócio-cultural do aluno, e como esse conhecimento
pode facilitar a compreensão do estudo da Cinemática; a fragilidade que
muitos alunos têm em distinguirem equações e funções; a clareza dos termos
variável, grandeza e dependência; o obstáculo encontrado nas atividades de
relacionar as representações existentes no estudo de funções (verbais,
gráficas e analíticas).
A partir dessas dificuldades observadas, é interessante, no papel de
professor, repensar sobre os conteúdos a serem ensinados, e também como a
metodologia empregada, pode ser introduzida de uma maneira satisfatória e
motivadora, na qual possibilitarão a formação de um cidadão capaz de
solucionar problemas e de analisar, de forma crítica, os seus resultados que
servirão para o seu desenvolvimento dentro da sociedade, como estabelece no
artigo 2° da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDBEN
9394/96, a educação “tem por finalidade o livre desenvolvimento do educando,
seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho”.
O objetivo deste trabalho consiste no estudo das relações existentes
entre as disciplinas de Matemática e Física quanto ao processo de ensinoaprendizagem, mostrando como podem ser usados fenômenos físicos para a
compreensão de definições matemáticas, e como a linguagem matemática
constitui uma forma estruturante para os conceitos físicos.
E as relações abordadas nesse projeto apresentam uma perspectiva de
ensino que contribui para que a aprendizagem ocorra de uma forma
significativa.
E nessa linha de raciocínio, será desenvolvida uma proposta para ser
aplicada em sala de aula, fundamentado no pressuposto de que a matemática
não é só uma forma estruturante para várias áreas da ciência, e sim como um
meio de investigação e com linguagem própria que possibilita a interpretação
de vários fenômenos da Natureza.
Será confeccionada a proposta de uma aula para a aplicação em turmas
do Ensino Médio, em que os conceitos da Cinemática serão expostos de uma
maneira integrada ao conteúdo de Funções Matemáticas, mostrando como
situações-problema do contexto físico podem ser introduzidas intuitivamente na
compreensão de certos elementos da matemática. Deixando clara a
identificação interdisciplinar que a Física possui relação direta com a
Matemática, e embora o enfoque e a abordagem dos temas saiam da proposta
9
do tradicional, isso não quer dizer simplificação, mas sim na adaptação a
linguagem, para que fique mais próxima do aluno. Como consta no PCNEM: “a
introdução à linguagem própria da Física, que faz uso de conceitos e
terminologia bem definidos, além de suas formas de expressão que envolvem,
muitas vezes, tabelas, gráficos ou relações matemáticas”.
E a partir de observações e instrumentos que terão o intuito de
promover a verificação, não tão imediata, do processo de desenvolvimento
intelectual e social do aluno, buscaremos atividades que proporcionem uma
boa avaliação da aprendizagem, tendo como parâmetro principal a motivação
do aluno.
Nessa perspectiva, a avaliação passa a ser vista como um processo
dinâmico, direcionando o trabalho pedagógico no sentido de diagnosticar
possíveis métodos, baseados na resolução de situações-problema que
proporcionarão um maior significado no processo formativo para o sucesso
escolar.
Assim, a partir dessas argumentações, procuraremos nos guiar num
caminho onde as investigações em Educação Matemática se concentrarão nos
princípios da interdisciplinaridade aplicados às disciplinas de Matemática e
Física do Ensino Médio, focalizando um aprimoramento pedagógico no
processo de construção do conceito de Funções através do estudo da
Cinemática.
Diante do que foi exposto, o presente trabalho está estruturado da
seguinte forma:
Apresento, no capítulo I, Conceito de Função e sua importância, no
capítulo II, Problemas freqüentes no processo de ensino-aprendizagem de
Funções, no capítulo III, Cinemática como contexto para o estudo de Funções,
no capítulo IV, Sugestões para avaliação.
10
CAPÍTULO I
CONCEITO DE FUNÇÃO E SUA IMPORTÂNCIA
Temos noção que os conceitos matemáticos são construídos de forma
lenta e progressiva, nunca como um produto final, mas como um processo em
constante evolução. Ela por sua vez constituirá o conjunto de elementos
formadores do que chamamos de conhecimento, como observa D’Ambrosio
(1996, p.18):
Ao longo da história se reconhecem esforços de
indivíduos e todas as sociedades para encontrar
explicações, formas de lidar e conviver com a realidade
natural e sociocultural. Isso deu origem aos modos de
comunicação e às línguas, às religiões e as artes, assim
como as ciências e às matemáticas, enfim a tudo que
chamamos de “conhecimento”.
Podemos verificar nessa linha dinâmica do desenvolvimento do
conhecimento, que o conceito de Funções evolui de forma análoga, pois as
suas primeiras noções vieram da necessidade de se conseguir uma ferramenta
que pudesse analisar, de forma quantitativa, as regularidades dos fenômenos
naturais, Caraça (1958, p. 125) ao falar de funções, comenta que:
É natural, portanto esperar que, de coisa tão importante
para o entendimento e explicação da realidade como é a
lei quantitativa, surja também o conceito matemático
próprio para o seu estudo; esperar aqui, ainda, que a
necessidade crie o instrumento. Assim acontece de facto.
E tal instrumento se propõe a verificar a existência de regularidades
presentes entre dois conjuntos de forma unívoca, representando como cada
elemento de um conjunto se corresponde quantitativamente com o outro.
Dessa forma, a lei (conceito) consiste, segundo Caraça (1958, p. 127),
“Na forma de correspondência dos dois conjuntos. Se, por conseqüência,
11
queremos estudar leis quantitativas, temos que criar um instrumento
matemático cuja essência seja a correspondência de dois conjuntos”.
O conceito de funções, segundo Tinoco (2004, p. 1), é apresentado nos
livros didáticos de acordo com as seguintes concepções:
• Função como expressão analítica;
• Função como conjunto de pares ordenados respeitando um caso particular
de relação.
Nesse
trabalho
adotaremos
a
primeira
concepção
para
o
desenvolvimento da metodologia empregada.
Para o desenvolvimento do estudo para a construção do conceito de
funções, algumas noções fundamentais são importantes para a sua
compreensão, tais como: regularidade, variáveis, dependência entre grandezas
e generalização.
A idéia de regularidade, já mencionada anteriormente, permite a
identificação de condições de comportamento ordenado dos fenômenos
naturais, possibilitando fazer previsões de fases seqüenciais que não podem
ser observadas, como aponta Caraça (1958, p. 119):
A existência de regularidades é extremamente importante
porque permite a repetição e previsão, desde que criem
as condições iniciais convenientes; ora, repetir e prever é
fundamental para o homem na sua tarefa essencial de
dominar a Natureza. Daqui resulta que uma das tarefas
mais importantes no trabalho de investigação da Natureza
é a procura de regularidades dos fenômenos naturais.
Com o objetivo de tornar mais genérica à representação da
correspondência entre dois conjuntos, foi criada a variável, que é a linguagem
simbólica responsável por substituir, representativamente, todos os elementos
de um determinado conjunto. A sua importância é fundamental para o estudo
de Funções, visto que é necessária uma forma padrão para se representar um
elemento qualquer e ao mesmo tempo o conjunto, como expõe Caraça (1958,
p. 128), “a variável é e não é cada um dos elementos do conjunto”.
12
A partir da análise comportamental de um fenômeno, onde duas
grandezas se relacionam univocamente, através de uma lei quantitativa,
poderemos verificar uma característica importante no tópico de Funções, como
podemos observar no seguinte exemplo:
As seqüências abaixo representam as variações de tempo e
deslocamento de um automóvel durante uma trajetória:
tempos (horas)
0
deslocamentos (kilômetro) 0
1
2
80 160
3
4
240
320
5
...
400 . . .
Notamos que para cada valor de tempo existe somente um valor de
deslocamento correspondente, e intuitivamente, deduzimos que a grandeza
deslocamento depende da grandeza tempo e não o contrário. O que nos
motiva a dizer que os valores de tempo representam as grandezas
independentes e os valores dos deslocamentos de grandezas dependentes,
como é mencionado em Tinoco (2004, p. 6):
A relação de dependência ente grandezas variáveis deve
ser salientada sempre que possível. No entanto, é bom
lembrar que, numa relação funcional, uma das grandezas
(a função) é perfeita e univocamente determinada pela
variação
da
outra
(variável
independente).
Essa
característica da função deve surgir lentamente ao longo
do processo.
A generalização é o produto da atividade de identificação de
regularidades que estão presentes na evolução de fenômenos naturais, e a
sua constituição é obtida através da capacidade de abstração. Para a
utilização é necessário que haja a validação da lei para qualquer caso e não
para um caso em particular.
13
Para uma compreensão mais satisfatória do conceito de funções, assim
como de toda a Matemática, devem-se salientar as várias formas de
representação presentes no seu estudo, como salienta Campos (2000, p. 48):
A aprendizagem matemática está vinculada à utilização
de
sistemas
de
expressão
e
representação
que
extrapolam a língua natural e as imagens: são sistemas
diversos de escrita para números, notações simbólicas
para objetos, escritas algébrica e lógica que adquirem
status de línguas paralelas para exprimir as relações e
operações,
as
figuras
geométricas,
os
gráficos,
diagramas, esquemas e outros.
As representações podem ser: verbais, na formas escrita e oral; gráfica,
por gráficos e tabelas; e analítica, por expressões algébricas.
É fundamental, também a passagem de uma representação para outra,
favorecendo a generalização do conceito, isto é, do aspecto verbal para o
algébrico e para o gráfico e vice-versa, como afirma Duval apud Campos,
(2000, p. 50) que é:
na passagem de um registro de representação a um outro
que se pode observar a importância de uma forma de
representação. Esta passagem corresponde a operações
que
são
de
natureza
diferente
daquelas
de
um
tratamento. Entende-se por tratamento as operações que
transformam uma representação, permanecendo no
interior de um mesmo registro e chama-se conversão as
operações que transformam uma representação pela
mudança de registro.
Como pode também ser exemplificado por Tinoco (2004, p. 6), através
da seguinte modelo: ver figura 2 do anexo 6.
14
Então, seguindo o rumo do desenvolvimento cognitivo para se construir
o conceito de função, desde a sua origem, é necessário uma linha lógica de
raciocínio para evitar possíveis dificuldades posteriores.
E para organizar este estudo, utilizaremos as propostas de Bergeron e
Herscovics apud Tinoco, (2004, p. 7).
Em que a compreensão do conceito de funções segue os seguintes
níveis: “a compreensão intuitiva; a matematização inicial; a abstração; e a
formalização”. Ver figura 1 do anexo 6.
Uma atividade que representa a compreensão intuitiva é a análise não
quantitativa da correspondência entre duas grandezas, verificando o tipo de
relação que elas gozam.
Já se fizéssemos essa análise utilizando valores numéricos ou
representativos, estaríamos no nível de matematização inicial.
Esses dois primeiros níveis de compreensão são considerados mais
simples para a assimilação, os outros já requerem um pouco mais de atenção
e cuidado, pois é deixado de lado qualquer tipo de contexto que iniciou o
estudo de funções, prevalecendo à utilização de propriedades e operações
puramente matemáticas.
O uso da generalização está compreendido no nível de abstração, já o
uso da linguagem simbólica representa o da formalização.
Assim, o estudo de funções abrange bem mais que utilizar a sua
definição já elaborada, para depois trabalhar isoladamente as técnicas das
representações. Uma tarefa mais significativa para o seu aprendizado é
conseguida através de uma prática em que são propostas atividades que
possam habilitar o aluno a passar pelos níveis de compreensão já citados,
desenvolvendo as noções de variáveis, dependência, regularidade e
generalização para conseguir utilizar as representações pertinentes de uma
forma harmoniosa e integralizada ao processo de construção do conceito de
funções.
A importância do estudo de funções não se limita somente como
ferramenta estruturadora para outras áreas de conhecimento e nem como um
conceito introdutório de outros conceitos na matemática, devemos nos ater a
idéia de que a criação do tópico funções se originou da necessidade de um
instrumento que pudesse verificar através de previsões e repetições a
formulação das leis científicas. Como expõe Caraça (1958, p. 108):
A exigência de acordo com a realidade. Os homens
pedem a Ciência que lhes forneça um meio, não só de
15
conhecer, mas de prever fenômenos – quanto maior for a
possibilidade de previsão, maior será o domínio deles
sobre a Natureza; quem sabe prever sabe melhor
defender-se e, além disso, pode provocar a repetição,
para o seu uso, dos fenômenos naturais.
E inserido no meio científico, através de disciplinas como Matemática,
Física, Biologia e outras, o aluno passa a utilizar uma ferramenta importante
para o seu desenvolvimento não só no seu período escolar, mas também para
a sua evolução nas áreas profissional, social, cultural e política. Essa
ferramenta é a álgebra, que é bem usado no ensino de funções, como é
apontado no PCNEM (1999, p. 121):
O estudo das funções permite adquirir a linguagem
algébrica como a linguagem das ciências, necessária
para expressar a relação entre grandezas e modelar
situações-problema, construindo modelos descritivos de
fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da
própria matemática. Assim a ênfase do estudo de
diferentes funções deve estar no conceito de função e em
suas propriedades em relação às operações, na
interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas
funções.
A álgebra com isso passa a ter um papel importante e necessário para a
formação do aluno não só de Matemática, mas de outras áreas de ensino.
16
CAPÍTULO II
PROBLEMAS FREQUENTES NO PROCESSO DE
ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES
A formalização do conceito de funções que são apresentadas, tem se
mostrado como significativo problema para a compreensão do aluno, pois,
muitas vezes, aparece de forma isolada, sem mostrar o porquê de seu
surgimento e deixando de lado a sua importância para o processo de
desenvolvimento escolar e para formação de um cidadão participativo, como
observa Chaves e Carvalho (2004, p. 4):
Observa-se então que, o conceito de função de forma
pronta e acabada, como é tratado por muitos professores
de matemática, no Ensino Médio (EM), é fruto da
conjunção/união de fatores históricos e sociais que, na
forma de problemas, se propuseram ao homem, como
obstáculos necessários a serem vencidos.
Durante a fase inicial de compreensão intuitiva do conceito de funções,
destaca-se a importância em se representar a relação entre duas grandezas,
analiticamente, através de símbolos que devem ser bem compreendidos pelo
aluno, devendo-se evitar confusões do tipo, o que são incógnitas?O que são
variáveis?Qual a relação entre equações e funções? Desse modo, podemos
analisar claramente indícios que poderão facilitar o entendimento do conceito,
como aponta Sierpinska apud Tinoco, 2004, p. 4, “a falta de familiaridade com
a álgebra torna a compreensão de funções muito difícil, senão impossível”.
Ainda nessa fase, são colocados poucos exemplos de situaçõesproblema com diferentes representações, onde as noções de correspondência
e dependência entre grandezas devem ficar claras na concepção do aluno.
É justamente a partir dessa introdução que se formará uma base para a
próxima etapa do conhecimento de funções, como é exposto no PCNEM
(1999, p. 121):
Os problemas de aplicação não devem ser deixados para
o final desse estudo, mas devem ser motivo e contextos
para o aluno aprender funções. A riqueza de situações
envolvendo funções permite que o ensino se estruture
permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas
17
que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam para
descrever fenômenos de dependência entre grandezas.
Outra característica importante quando utilizamos as situaçõesproblema acima mencionadas, é a solução do problema de identificação das
grandezas dependente e independente, já que, em determinados contextos, a
dificuldade em se definir, quem é uma e quem é a outra, é freqüente.
Durante o período de familiarização das representações das funções, se
torna complicado o entendimento da passagem de uma forma para a outra, ou
seja, da verbal para analítica para a geométrica, e vice-versa, como ilustrado
na fig. 1.
De modo que atividades voltadas para o treinamento dessas transições
são imprescindíveis.
A utilização de uma representação gráfica para a identificação de
valores a serem previstos numa função, também aparece como uma
dificuldade a ser trabalhada, já que a interpretação de gráficos é uma das
noções intrínsecas do conceito de funções, e se dá longo de seu estudo, como
expressa Tinoco (2004, p. 11):
A familiarização do aluno com os diversos tipos de
gráficos pode se dar ao mesmo tempo que o aluno
adquire as noções de variável e dependência, básicas
para a construção do conceito de função. Essas noções
ficam cada vez mais claras ao passo que o aluno constrói
e interpreta gráficos.
Com relação às letras que aparecem nas expressões analíticas que
representam uma determinada função, vale ressaltar a confusão de idéias
apresentada pelo aluno, quando são propostas letras diferentes das usuais.
Freqüentemente, tanto em atividades em sala de aula, quanto em
conteúdos de algumas coleções de livros didáticos, são usadas “x” e “y”, para
variáveis independentes e dependentes, respectivamente. Daí a confusão.
18
CAPÍTULO III
CINEMÁTICA COMO CONTEXTO PARA O ESTUDO DE
FUNÇÕES
O processo de ensino-aprendizagem de matemática tem sido, por um
longo tempo, objeto de análises e pesquisas, tanto por profissionais de
educação, quanto para os pesquisadores e acadêmicos interessados no
desenvolvimento da Educação Matemática. E um tópico que está sendo bem
disseminado em pesquisas para a melhoria da educação em sala de aula é a
utilização de situações contextualizadas para a introdução de um determinado
conceito ou conteúdo a ser aprendido pelo aluno, como é exposto por Dante
(2000, p. 10):
Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada
significa aproveitar ao máximo as relações existentes
entre esses conteúdos e o contexto pessoal ou social do
aluno, de modo a dar significado ao que está sendo
aprendido, levando-se em conta que todo conhecimento
envolve uma relação ativa entre o sujeito e o objeto do
conhecimento. Assim, a contextualização ajuda a
desenvolver no aluno a capacidade de relacionar o
apreendido com o observado e a teoria com suas
conseqüências e aplicações práticas.
Essa concepção também é verificada como fase inicial para a
formalização para muitos conteúdos matemáticos como apontado num texto de
Ávila (1988, p. 21):
O ensino de Matemática – é bom insistir – deve ser feito,
sempre que possível, a partir de exemplos concretos e
interessantes, que permitam motivar os conceitos e
preparar o terreno para as definições formais, e isto deve
ocorrer de maneira gradual, pois o aprendizado não
acontece de uma só vez, mas por um processo de
continuado amadurecimento.
19
Deste modo, a compreensão de conteúdos é facilitada quando o aluno
passa a fazer relações entre os conteúdos a serem aprendidos com
determinados contextos onde estão intrínsecos vários elementos da linguagem
matemática, que é bem observado por Bicudo e Borba (2005, p. 222):
Em nossa visão, a compreensão de Matemática, por parte
dos alunos, envolve a idéia de que compreender é
essencialmente relacionar. Esta posição baseia-se na
observação de que a compreensão aumenta quando o
aluno é capaz de: relacionar uma determinada idéia
Matemática a um grande número ou a uma variedade de
contextos, relacionar um dado problema a um grande
número de idéias Matemáticas implícitas nele, construir
relações entre as várias idéias Matemáticas contidas num
problema.
E dentre os muitos contextos que podem ser relacionados com
conteúdos matemáticos, destacamos aqueles presentes em outras áreas de
estudo, que no caso desse trabalho, serão utilizados situações-problema,
como disparadores de ensino, inseridos nos conteúdos da Física. A
interdisciplinaridade é utilizada como um instrumento capaz de formar
conceitos e facilitar o entendimento de conteúdos de disciplinas que possam
ser integralizados durante um determinado estudo. E com relação à prática
interdisciplinar, Dante (2000, p. 11) afirma:
Neste caso, são identificados os conceitos e
procedimentos de cada disciplina que podem contribuir
nesta tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo
soluções e executando-a. Numa tarefa como essa, os
conceitos podem ser formalizados, sistematizados e
registrados no âmbito das disciplinas que contribuem para
o seu desenvolvimento, ou seja, a interdisciplinaridade
não pressupõe a diluição das disciplinas.
A resolução de situações-problema como estratégia de ensino tem se
constituído como um instrumento didático-pedagógico para tornar mais fácil a
compreensão dos conteúdos matemáticos, como está exposto no PCNEM
(1999, p. 111):
20
Aprender Matemática de uma forma contextualizada,
integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em
si o desenvolvimento de competências e habilidades que
são essencialmente formadoras, à medida que
instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno,
capacitando-o para compreender e interpretar situações,
para se apropriar de linguagens específicas, argumentar,
analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar
decisões, generalizar e para muitas outras ações
necessárias à sua formação.
A Física e a Matemática caminham juntas há bastante tempo. Foi com o
objetivo de compreensão, análise e explicações de regularidades presentes em
fenômenos físicos que se buscou na linguagem concisa da Matemática, uma
forma estruturante e organizada que pudesse construir o conhecimento
científico.
Kneller apud Campos,( 2000, p.14) comenta essa relação matemáticafísica:
O conhecimento científico consiste em conhecimento
empírico – dados, esquemas de classificação,
generalizações e leis descrevendo padrões entre coisas e
eventos – e conhecimento teórico dos mecanismos ou
causas que produzem esses padrões. Em suma, a
Ciência procura descrever as coisas e os eventos do
universo físico, classificando-os e expressando as suas
inter-relações em leis e generalizações; e procura explicar
essas leis unificando-as em teorias. (...) A Matemática é
usada pelos teóricos de três maneiras principais. Por
vezes, como Schroringer, o cientista cria um formalismo
matemático e depois interpreta-o. Mais frequentemente,
como Maxuell e Einstein, ele recorre à Matemática para
expressar mais precisamente um hipótese física. Em
ambos os casos entretanto, o cientista emprega a
Matemática para deduzir as conseqüências testáveis de
seus pressupostos (idem, op.cit., p. 153).
E é nesse contexto interdisciplinar entre os conteúdos de Física e
Matemática que, além de focarmos a construção do conceito de função,
veremos como se torna interessante e profundo a inter-relação produzida,
21
quando promovemos o estudo da Cinemática, de maneira integralizada, com
as propriedades e características da Função Afim.
A noção uniforme da relação entre as grandezas que constituem o
Movimento Retilíneo Uniforme servem de base para consolidar a
aprendizagem do conteúdo da função do 1° grau, motivando o aluno a
trabalhar de forma natural os conceitos dessas duas disciplinas.
A utilização das variáveis t e e, que simbolizam as grandezas tempo e
posição, respectivamente, amenizam a dificuldade em considerar apenas as
variáveis x e y como as únicas existentes no estudo de funções, além do que
colabora para uma melhor compreensão do significado da palavra variável.
Será possível fazer algumas considerações, através da compreensão
intuitiva da tendência do movimento uniforme, sobre o fato da curva que
representa a função afim ser uma reta, tornando essa abordagem mais
esclarecedora para o aluno.
E a partir disso será mostrada que a função linear, que é um tipo de
função afim, pode ser compreendida a partir de uma relação específica de
proporcionalidade, como comenta Sierpinska (1992 apud Tinoco, 2004, p. 45),
“historicamente, o conceito de função foi identificado com o de proporção”.
Através dos níveis de compreensão, já comentados anteriormente, será
possível compreender o estudo das grandezas que variam de forma linear,
associando a esse estudo, os conceitos do M.R.U./M.R.U.V. e a linguagem
matemática predominante no conteúdo de função Afim.
Assim, através de contextos da Cinemática, faremos da resolução de
problemas, a base para o processo de ensino-aprendizagem da Função Afim.
E assim, a presente proposta interdisciplinar, possibilita a utilização de
modelos matemáticos como forma de resolução de situações-problema
freqüentes na vida social do aluno, conforme afirma Pinheiro apud Campos,
(2000, p. 53):
Devemos proporcionar ao estudante oportunidades de
adquirir o domínio de modelos matemáticos de modo que
possa verificar que por meio deles, é possível resolver
problemas práticos e expressar regularidades e
transformações, mudanças e permanências entre
grandezas físicas.
Com isso, torna-se muito mais significativa a construção do saber
utilizando as ferramentas matemáticas, tanto do ponto de vista da situação a
22
que o aluno está acostumado a se deparar no dia-a-dia, quanto da
compreensão da linguagem matemática.
23
CAPÍTULO IV
SUGESTÕES PARA AVALIAÇÃO
Na maioria dos estabelecimentos de ensino, a avaliação é usada como
um instrumento que estimula práticas de memorização e repetição de
algoritmos e técnicas matemáticas, tornando menos significativo o
aprendizado. Assim como a educação visa o aprimoramento intelectual do
aluno, formando-o com um pensamento crítico a respeito das situações
impostas pela sociedade, a avaliação tem como objetivo o emprego de
processos que possam permitir a equipe pedagógica um conjunto de
elementos que permita a preservação desses ideais, sobre avaliação,
Vasconcelos, Scordamaglio e Cândido(2004, p. 18) comenta:
A escola tem assumido a responsabilidade de preparar
nossos jovens para o melhor desempenho em uma
sociedade contraditória e desigual, em que os pontos de
partida e de chegada nem sempre são os mesmos para
todos. Nos diversos momentos de avaliação, a escola
deve considerar esse fato e deve estar pronta para
percorrer um longo caminho.
Antes mesmo de dizer o tema da aula, será passada para a turma
(dividida em duplas) uma lista contendo atividades para que a mesma possa
resolvê-las. O conteúdo dessas atividades, citadas anteriormente, visa uma
avaliação diagnóstica dos conhecimentos matemáticos considerados básicos
para o estudo de Funções.
Com base na análise dessas fichas, o professor terá indícios que
possibilitem uma pré-avaliação coletiva sobre as possíveis dificuldades que a
turma terá com o conteúdo a ser dado, garantindo maior atenção àqueles
tópicos que tiveram os maiores índices de dificuldade.
A observação também constitui uma ferramenta poderosa para se
avaliar. Podem ser feitos alguns registros a respeito de observações feitas ao
longo da aula, sobre os assuntos que despertaram maior interesse e
motivação, e tentar refletir sobre os motivos que ocasionaram menor interesse
em determinados conteúdos.
Como a concepção desse trabalho se estrutura no processo de ensinoaprendizagem do conteúdo de Funções através de resolução de situaçõesproblema inserida no contexto da Cinemática, nada mais justo que propor uma
forma de avaliação em que é verificado o desempenho do aluno com relação
24
aos conteúdos propostos nessa concepção, como está exposto no PCNEM
(1999, p. 131):
Numa proposta que toma como perspectiva metodológica
a Resolução de Problemas, que articula as suas ações e
conteúdos em torno de temas estruturadores e prevê que
tão importantes quanto os conteúdos são as
competências que os alunos devem desenvolver, ganham
importância o cuidado com a obtenção de informações, a
avaliação em diferentes contextos, o registro e a análise
das informações obtidas.
A avaliação não serve apenas para diagnosticar o que foi compreendido
pelo aluno, serve também para professor se auto-avaliar, aperfeiçoando,
através de pesquisas, os procedimentos que colaborem para o processo de
ensino-aprendizagem.
Como proposta para uma avaliação dinâmica sem a preocupação de
classificar o conhecimento da turma, será distribuída, ao final da aula, uma
ficha contendo alguns tópicos a serem preenchidos, desenvolvendo nos alunos
o hábito de escrever, já que eles deverão criar um texto expressando sobre o
que foi entendido sobre a aula, devendo inclusive, realizar pesquisas em livros
didáticos. Essa proposta segue o molde do relatório-avaliação sugerido por
D’Ambrosio:
A avaliação serve para que o professor verifique o que de
sua mensagem foi passado, se seu objetivo de transmitir
idéias foi atingido – transmissão de idéias e não a
aceitação e a incorporação dessas idéias e muito menos
treinamento. (...) Isso pode ser visto por meio de um
relatório-avaliação da aula, entregue para o professor na
aula seguinte. Trata-se de um relatório escrito,
reconhecendo que o mundo moderno exige a escrita em
praticamente todas as ações.
Assim, o modelo da ficha deverá ter as seguintes etapas:
v Cabeçalho: para que ajude o professor a identificar os alunos a partir da
primeira aula, o mesmo vale para o aluno a respeito do nome do professor.
25
Colocando o título da aula, condiciona o aluno a criar sempre títulos para os
mais variados trabalhos escritos;
v Resumo da aula: no máximo uma lauda, cria no aluno a consciência de
sintetizar determinadas idéias;
v Bibliografia consultada: familiariza o aluno a consultar livros didáticos,
valorizando atividades de pesquisa, podendo inclusive utilizar a internet como
instrumento ;
v Comentário do aluno: espaço destinado a qualquer tipo de opinião do aluno
sobre a aula ou a atuação do professor. Poderão ser dadas sugestões para o
melhoramento da prática docente.
Essas fichas após serem entregues, deverão ser examinadas pelo
professor para uma possível reformulação da sua prática docente.
Essa proposta visa o aprimoramento do trabalho docente, considerando
a prática da avaliação como um processo de acompanhamento do que está
sendo construído e assimilado pelo aluno.
Deve ficar entendido que, a implementação dessa proposta, não exclui
as tradicionais “provas” do currículo. Porém devem-se considerar alguns
objetivos com a aplicação das provas:
v A compreensão dos conceitos matemáticos e físicos;
v A aplicação de procedimentos matemáticos;
v A capacidade de resolução de problemas;
v A comunicação dos alunos com relação ao conteúdo matemático;
v A criatividade e o raciocínio lógico utilizados pelo aluno na solução do
problema.
26
CONCLUSÃO
A construção do conceito de função não é uma tarefa simples, no que
diz respeito ao processo de ensino-aprendizagem do aluno do Ensino Médio,
pois envolve noções abstratas de outros conceitos matemáticos como
grandezas dependentes, variáveis, domínio, imagem e outros mais. A sua
importância não só dentro do contexto matemático como também para a
evolução de outras áreas da educação deve motivar os professores e
acadêmicos a criar/utilizar novas técnicas que favoreçam a participação ativa
do aluno.
Buscando um caminho diferente do que normalmente é visto com
relação a este conteúdo, onde é utilizado o conceito como introdução do
estudo, partimos da compreensão intuitiva para a formal (conceito). E nessa
linha de raciocínio, procuramos seguir uma seqüência natural da aquisição do
conhecimento, que busca na realidade informações que possam ser usadas
para modificar a própria realidade em seu benefício e de seu grupo. Onde a
realidade considerada neste trabalho está inserida no contexto da Cinemática,
o qual está diretamente relacionado ao cotidiano do aluno através de noções
intuitivas de velocidade, movimento, e outros mais.
E a partir dessa introdução intuitiva, onde o aluno poderá levantar as
suas opiniões a respeito do assunto, é que conseguiremos tornar a aula mais
cativante e interessante. E assim poderemos inserir a matematização inicial e a
abstração, dando então um significado mais formal ao saber a ser
compreendido.
Devemos ter o cuidado quando propormos um exercício de
contextualização em Matemática, visto que nem todos os conteúdos podem
ser tratados através de um objeto concreto.
Matemática e Física caminham juntas há muito tempo, a própria criação
de um instrumento matemático (função) com características que pudessem
coletar e analisar dados quantitativos entre grandezas que se relacionavam
com regularidade em um fenômeno natural é um exemplo dessa integração.
A partir da resolução de situações-problema do contexto da Física, são
verificadas as interações existentes entre os conteúdos do MRU e o de função
do 1° grau. Assim como, através de alguns dos conceitos e representações
desta função podemos analisar as propriedades físicas do MRUV.
Contudo para que haja a devida integração entre disciplinas, deve-se
haver na instituição escolar, um planejamento prévio onde serão discutidos
entre os professores destas disciplinas alguns pontos que possam enriquecer
ainda mais as atividades didáticas deste trabalho.
E práticas constantes de avaliação, como as citadas neste trabalho
ajudam o professor a verificar se o seu trabalho está a contento, e também
27
para conseguir a real evolução do processo de ensino-aprendizagem. Onde
podem ser utilizados vários meios que permitam a socialização e em
conseqüência uma boa formação para o aluno.
28
ANEXOS
Índice de anexos
Anexo 1 >> Situações-problema;
Anexo 2 >> Ficha de avaliação;
Anexo 3 >> Exercícios para Pré-avaliação;
Anexo 4 >> Gráficos;
Anexo 5 >> Conteúdo Proposto;
Anexo 6 >> Planejamento para o uso do Conteúdo Proposto.
29
ANEXO 1
SITUAÇÕES-PROBLEMA
1) Nas situações abaixo, há correspondência entre as grandezas. Identifique a
grandeza (variável) dependente e a grandeza (variável) independente:
a) O tempo que uma pessoa leva para correr 200 metros e a velocidade do
corredor
b) O peso de uma criança em relação a sua idade
c) O consumo energia elétrica e o total a pagar
2) Resolva os problemas e organize-os em tabelas:
a) Um carro leva três horas, para percorrer 150 km. Mantendo-se à mesma
velocidade, quanto levará para percorrer 350 km? E em 450 km?
b) Rodando à velocidade média de 80km/h, um carro faz um percurso em 3
horas. Se rodar a 60km/h, em quanto tempo fará o mesmo percurso?
3) O desenho ao lado é da pista do Autódromo de Interlagos, em São Paulo,
onde é disputado o Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1. São 72 voltas de
emoção, em que os pilotos percorrem 390 km num tempo máximo de 2 horas.
a) Se a corrida tiver duração
máxima, qual será a
velocidade média do
1° colocado?
b) Que distância o primeiro
colocado terá percorrido
depois de 30 minutos de
30
prova?
4) Expresse por uma lei de formação a função f: R → R que cada número real
x associa:
a) o seu dobro
mais 4
b) a sua metade
diminuída de 5
c) o seu dobro aumentado
d) a sua terça parte
5) Ache a velocidade média e a partir dela encontre a lei de formação:
31
6) Quais das tabelas abaixo determinam 4 pontos que estão alinhados? Tente
responder sem desenhar o gráfico. Em seguida confira através do gráfico.
32
a)
b)
c)
x
y
x
y
x
y
1
3
1
1
1
10
2
5
2
4
2
7
3
7
3
9
3
4
4
9
4
16
4
1
7) A posição de um ponto varia no tempo conforme a tabela.
s(m)
25
21
17
13
9
5
t(s)
0
1
2
3
4
5
A equação horária desse movimento é:
a) s = 4 – 25t
b) s = 25 + 4t
c) s = 25 – 4t
d) s = - 4 + 25t
e) s = - 25 – 4t
E quais são os valores correspondentes aos coeficientes angular e linear?
8) Alguns trens costumam viajar a velocidades
praticamente constantes. Se um trem viajar a
uma velocidade constante de 50km/h, como
podemos representar esse movimento através
do gráfico da velocidade em função
do tempo? E qual será a lei de formação
correspondente?
33
ANEXO 2
FICHA DE AVALIAÇÃO
FICHA DE AVALIAÇÃO
NOME DO ALUNO:
DISCIPLINA:
PROFESSOR:
TEMA DA AULA:
RESUMO DA AULA:
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
COMENTÁRIO DO ALUNO:
DATA:
34
ANEXO 3
EXERCÍCIOS PARA PRÉ-AVALIAÇÃO
1) Um carro faz 180 km com 15 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina
esse carro gastaria para percorrer 210km, em idênticas condições?
Resp.: 17,5 litros de gasolina
2) Com R$ 3,50 compro 7 pães. Quantos pães comprarei com 12,00?
Resp.: 24 pães
3) Observe a seguinte situação:
4) Responda as seguintes perguntas:
35
ANEXO 4
CONTEÚDO PROPOSTO
1 - Noções de Funções e a Cinemática
A principal característica, no estudo do tópico de Funções Matemáticas,
é a identificação de formas especiais de relações entre grandezas presentes
em várias situações ou fenômenos. Para essa aula serão utilizadas duas
grandezas em que uma delas varia em função da outra, ou seja, uma será
considerada grandeza independente e a outra como grandeza dependente.
Eis algumas relações de grandezas presentes no dia-a-dia (a meta fazer
com que o aluno compreenda e dê outros exemplos de relações):
•
O preço a pagar em função do número de pães comprados;
•
Nota da prova em relação em função ao número de questões acertadas;
•
Distância percorrida em função do consumo de combustível de um carro;
•
Posições de um móvel numa trajetória em movimento com velocidade
constante em função dos instantes de tempo, em um determinado referencial;
Utilizando este último exemplo como um objeto de análise, poderemos
nos familiarizar com algumas definições da Cinemática.
4h
3h
1h
km
0
2h
km
90
km
180
km
270
C1
A figura acima nos mostra o movimento de um carro saindo da cidade
C1 e passando pelas posições (placas) A e B, antes de chegar a seu destino
na cidade C2.
Um corpo que, dentro de um intervalo de tempo, modifica as sua
posições, em uma trajetória, em relação a um ponto de referência ou
referencial, encontra-se em movimento. Na fig.1 as placas representam as
36
posições em relação à placa 0km. Qual seria o deslocamento do carro entre
os pontos A e B? Considerando que deslocamento é a variação da posição
entre dois instantes, matematicamente pode ser representada pela diferença
ente a posição final e a posição inicial (s2 – s1).
Como o objetivo desse trabalho é a análise da variação de uma
grandeza em função da outra, podemos estudar o comportamento da
velocidade a partir da variação do intervalo de tempo. Da mesma forma que o
deslocamento, o intervalo pode ser conseguido através da diferença do
instante final e o instante inicial (t2 – t1).
No nosso exemplo acima conseguimos o deslocamento, que pode ser
simbolizado como ∆S, do carro referente aos pontos A ao B e depois o
relacionamos com o intervalo de tempo correspondente, também simbolizado
por ∆t.
∆s = sB – sA = 180 – 90 = 90 km
e
∆t = tB – tA = 3 – 2 = 1h
O carro se desloca 90 km do ponto A ao B, num intervalo de tempo de
1h.
A partir dessa relação poderemos verificar a criação de outra grandeza
de movimento chamada Velocidade Média, e que é conseguida através da
razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo correspondente.
Com isso podemos concluir que a velocidade média entre os pontos A e
B é:
substituindo
logo
Usando a fórmula acima, fica fácil achar as velocidades médias em
todos os percursos entre os pontos da fig. 1. Peça aos alunos que ache essas
velocidades médias, lembrando a eles sobre a importância das unidades das
grandezas.
37
1) Do ponto C1 ao A:
km/h
2) Do ponto C1 ao B:
3) Do ponto C1 ao C2 :
Para analisar melhor os dados da fig.1, podemos organizá-los em
tabelas e gráficos cartesianos.
Tabelas: são responsáveis pela coleta de dados.
2
Tempo (t)
1
Posição(s)
0 90
3
4
Intervalo(∆t)
180
270
Veloc.Média(vm)
90
90
90
Notem que para cada elemento de t existe um elemento correspondente
em s. Com isso podemos conceituar Funções Matemáticas, como uma
relação específica entre dois conjuntos, em que cada elemento do conjunto
das grandezas independentes (Domínio) se corresponde com apenas um
elemento do conjunto das grandezas dependentes (Imagem).
Observação: até agora só falamos de Velocidade Média num intervalo, porém
se quisermos verificar a velocidade em um determinado instante, estará sendo
usada à noção de Velocidade Instantânea. Seria a velocidade indicada no
velocímetro (instrumento que indica velocidades) do carro para cada instante
considerado. Não é nosso interesse nos aprofundarmos no cálculo da
Velocidade Instantânea nesse trabalho, deixando esse estudo para outra
oportunidade.
O gráfico cartesiano é outra forma para compreensão das Funções, e
são muito utilizados em várias situações ligadas ao cotidiano das pessoas.
Aparecem em vários meios de comunicação como jornais, revistas etc.
90
38
Usando-se a tabela do item anterior será construído o gráfico s em
função de t correspondente.
Através do gráfico acima, o movimento do carro é entendido da seguinte
forma: O carro passa no instante 1h pelo km0 (C1) da trajetória em direção a
C2, às 2h ele passa pelo ponto A(km90), às 3h pelo ponto B(km180) e às 4h
ele chega a C2(km270).
Agora faça o mesmo para as tabelas criadas até aqui.
2 – Função Afim e o M.R.U
A partir da tabela abaixo, observe como a variação das posições
acontece de uma maneira uniforme quando o movimento ocorre a uma
velocidade constante.
40
40
40
40
Posição(s)
0
40
80
120
160
Instante(t)
0
2
4
6
8
2
2
2
2
39
Como a variação na posição é proporcional a variação no tempo,
podemos criar uma forma geral (expressão algébrica) que relacione as duas
grandezas.
No instante de
2h,
a posição é de 40km
Logo
1h,
a posição é de 20km
em
Seguindo a seqüência:
No instante
4h
a posição é de 4 x 20 = 80km
No instante
6h
a posição é de 6 x 20 = 120km
No instante
8h
a posição é de 8 x 20 = 160 km
Então, no instante t h
a posição é de t x 20 = 20 x t km
Podemos dizer que a forma algébrica da função é:
Posição = 20 vezes o instante do móvel
s = 20 t
O que vai nos facilitar muito na construção do gráfico, pois com essa
expressão poderemos colocar quantos pontos quisermos, fazendo apenas as
devidas substituições nos valores de t.
t
v
0
20
1
40
2
60
3
80
4
100
5
120
6
140
40
7
160
8
180
Reparem que ao formarmos os pontos cartesianos e os unirmos, a
curva que se forma é uma reta que parte da origem. A esse tipo de função,
chamamos de Função Linear.
Notem ainda que :
Quando t cresce, s também cresce;
Quando t diminui. s também diminui.
Nesse caso, ela também recebe o nome de Função Linear Crescente.
Porém chamamos de Função Linear Decrescente quando:
t aumenta, s diminui;
t diminui, s aumenta.
Como é ilustrado no gráfico abaixo.
t = 0h
0km
Nesse caso a expressão algébrica é:
s = - 20t
1h
-20km
2h
-40km
3h
-60km
4h
-80km
41
Enunciando fisicamente o movimento do carro: o móvel está em sentido
contrário ao da trajetória, e sua posição vai diminuindo cada vez mais com o
passar do tempo.
Se os alunos tiverem dificuldade com relação ao fato da velocidade ser
constante, peça eles que calculem a velocidade média nos vários intervalos,
utilizando a equação da Velocidade Média
, dos gráficos desse
capítulo.
Exemplo: no primeiro gráfico, do instante 2h ao 4h, calcule a velocidade
média.
Na Cinemática, um movimento de um corpo numa trajetória reta que
possui a velocidade constante é chamado de Movimento Retilíneo Uniforme
(M.R.U.). E já que a velocidade não varia, podemos usar a equação da
velocidade média para conseguir outra equação muito útil nos cálculos da
física, chamada equação horária do M.R.U.
vm = v(já que ela é constante)
então
vm = ∆s/∆t ⇒
v=
∆s/∆t
∆s = v x ∆t
⇒
s – so = v (t – to)
O tempo inicial, em geral, é considerado igual a 0, ou seja ti= 0. Com
isso obtemos a posição inicial nesse instante (si = sO).
s –so = v(t – 0)
⇒
s –so = vt ⇒ s = so + vt
Analogamente, podemos verificar qual a sua relação com a expressão
matemática da função s = 20 t.
42
Substituindo os valores de so e v na equação horária s = so + vt temos:
s = 0 + 20t
s = 20t
⇒
Faça a mesma verificação para a função linear decrescente dada
anteriormente.
Utilizando a seguinte situação-problema, construa o gráfico e a partir
dele consiga a expressão algébrica.
Um ciclista faz um percurso em M.R.U. conforme os dados da tabela
abaixo, que fornece as posições em função do tempo:
5
20
35
50
65
0
1
2
3
4
s(km)
t(h)
43
44
Note que a variação entre as posições é de 15km, porém devemos
considerar a sua posição no instante t = 0 quando formos deduzir a expressão
algébrica.
A cada hora a posição varia em 15km, mas a posição no instante t = 0
é de 5km.
Então:
No instante de 1h a posição será de 15 + 5(so) = 20km
No instante de 2h a posição será de 15 x 2 + 5 = 35km
No instante de 3h a posição será de 15 x 3 + 5 = 50km
No instante de 4h a posição será de 15 x 4 + 5 = 65km
No instante de th a posição será de 15 x t + 5 = 15 x t + 5 km
Logo a expressão é:
s = 15t + 5
Fazendo uma comparação com a equação horária do M.R.U..
s = so + vt
e
ou
s = 15t + 5
s = 5 + 15t
Onde, algebricamente podemos dizer que a posição inicial (so) é 5km e a
velocidade(v) é 15km/h.
Para constatar esse fato fisicamente, a posição inicial é de fato 5km
como visto na tabela, e a velocidade pode ser conseguida usando qualquer
intervalo através da equação da velocidade:
Por exemplo, entre 1h e 3h: v=∆s/∆t
v = 15km/h
⇒
v=(50-20)/(3-1)
⇒
v=30/2
Note que a diferença deste gráfico com relação ao gráfico da função
linear é que ele não passa pela origem.
45
2
0
Chamamos esse tipo de função de Função Afim. A Função Linear é um
caso especial da função Afim que tem a sua representação gráfica como uma
reta passando pela origem.
E podemos dizer que a forma da expressão algébrica é y = ax + b , onde
a e b são constantes, valores que representam os coeficientes da função.
Graficamente, o coeficiente a, chamado de coeficiente angular, determina a
inclinação da reta em relação ao eixo x; já o coeficiente b, chamado de
coeficiente linear, é o valor de y no ponto que a reta corta o eixo y ( x = 0).
Repare que na expressão da função linear y = ax , a reta corta o eixo y
justamente na origem do gráfico, por isso o valor de b é igual a 0.
Com relação a noções de coeficientes angular e linear, podemos utilizar
gráficos de funções para compreender mais facilmente o comportamento da
Função Afim.
46
As duas funções possuem o mesmo coeficiente angular a = 2, portanto,
o gráfico da função afim y = ax + b é o gráfico da função linear y = ax,
deslocando b unidades. No exemplo, b = 3 (o gráfico deslocou-se 3 unidades
para cima).
Peça para os alunos fazerem alguns exercícios de fixação do anexo.
3- Raiz ou zero da Função Afim
Já falamos que ao interceptar o eixo y, o valor do coeficiente linear fica
evidenciado, agora queremos saber o valor de x quando a reta corta o eixo x (
y = 0). A esse valor de x, chamamos de zero ou raiz da função, e basta
substituir o valor y por zero para que a expressão y = ax + b se torne uma
equação do 1° grau do tipo 0 = ax + b, onde será achado o valor de x. Como
vemos nos exemplos abaixo:
a) Qual é a raiz da função f(x) = 5x – 35 ?
Para f(x) = 0, 0=5x-35 ⇒35=5x ⇒ 5x=35 ⇒ x= 35/5 ⇒ x=7
b) Qual é a raiz da função: f(x) = 3x + 9?
Para f(x) = 0, 0=3x+9 ⇒-9=3x ⇒ 3x=-9 ⇒ x= (-9)/3 ⇒ x=-3
Obs.: O termo representante da variável y também poderá ser
apresentado na forma f(x).
Em alguns deslocamentos do M.R.U., a raiz nem sempre vai representar
um valor fisicamente possível, como no exemplo abaixo:
0
47
Notem que a reta só deveria interceptar o eixo x, para valores negativos
de tempo, porém como vimos antes, na Física não são considerados valores
negativos para a grandeza tempo. Já em outros movimentos é fisicamente
possível. Os exemplos abaixo demosnstram esse fato. Considere os gráficos
abaixo com gráficos Posição x tempo.
4- Função Constante no M.R.U.
Já vimos que a forma y = ax + b representa a Função Afim. E que quando o
coeficiente linear b é igual a zero a função é chamada de Função Linear. O
que acontece se o coeficiente angular a for igual a zero? Através da tabela do
item 2 podemos fazer esta verificação.
Posição(s)
0
40
80
120
160
Instante(t)
0
2
4
6
8
Em seguida será construído o gráfico que representam as velocidades
em função do tempo. Primeiramente calculam-se as velocidades nos instantes
dados.
Desta vez vamos utilizar a equação horária:
s = s0 + vt
Em 2h: 40 = 0 + v2 ⇒ 2v = 40 ⇒ v = 40/2 ⇒ v = 20km/h
Em 4h: 80 = 0 + v4 ⇒ 4v = 80 ⇒ v = 80/4 ⇒
v = 20km/h
48
Em 6h: 120 = 0 + v6 ⇒ 6v = 120 ⇒ v = 120/6 ⇒ v = 20km/h
Em 8h: 160 = 0 + v8 ⇒ 8v = 160 ⇒ v = 160/8 ⇒ v=20km/h
Temos, portanto, a velocidade é constante para qualquer instante do
percurso. O gráfico será da seguinte forma:
t
v
0
20
2
20
4
20
6
20
8
20
E a sua expressão algébrica será: y = ax + b ⇒
Onde
y = 0x + b ⇒
y=b
b = 20 km/h
Faça uma comparação desse gráfico em relação aos anteriores e verá
que o coeficiente angular (que é a inclinação em relação ao eixo x) desse
gráfico tem o ângulo nulo, cuja inclinação também é nula, ou seja, ele é
paralelo ao eixo x.
Uma análise geométrica pode ser feita com relação ao gráfico v em
função de t. Se quisermos descobrir o deslocamento de móvel, podemos
utilizar a equação:
v=
∆s
∆t
⇒
∆s = v.∆t
49
Note que no gráfico, a área hachurada corresponde a área de um
retângulo e é conseguida através da fórmula A = B.h .
v
∆t
Então a área hachurada é:
A = B.h
⇒
ou
A = ∆t.v
A = v.∆t
Fazendo uma comparação das duas equações:
∆s = v.∆t
então
e
A = v.∆t
∆s = A
Podemos, então considerar, que num gráfico s x t, a área compreendida
entre a curva da função e o eixo t corresponde ao deslocamento do móvel
50
5 – Funções no Movimento Retilíneo Uniformemente Variado –
M.R.U.V.
t1
v1
t2
v2
área (A) = deslocamento(∆s)
Fig. 2
A figura acima nos mostra a seguinte situação:
Um carro em movimento cujo velocímetro indica 30 km/h, após 5 s ele
indica 60 km/h. Podemos dizer que a velocidade variou 30 km/h em 5 s.
Quando falamos em variação da velocidade num intervalo de tempo, estamos
introduzindo a noção da grandeza chamada Aceleração Média. E,
matematicamente, podemos representar a aceleração média através da
seguinte forma:
aceleração média= (variação da velocidade)/(intervalo de
tempo)
51
onde,
Nesta formula, v é a velocidade final e vo, é a velocidade inicial de um
determinado intervalo de tempo.
Se considerarmos a velocidade no instante t1 igual a 10 m/s, e no
instante t2 igual a 70 m/s. Qual a aceleração do carro se o intervalo entre t1 e
t2 é 12s?
Para se conseguir a
unidade representativa
da aceleração:
∆t = t2 – t1
⇒ ∆t = 12 s
am = 5 m/s
2
Além da aceleração média, existe também a aceleração instantânea,
que é a aceleração tomada num determinado instante de tempo. Nosso estudo
ficará restrito somente à aceleração média.
Repare que ao falarmos de aceleração média, estamos analisando a
relação entre duas grandezas, onde a velocidade varia em função do tempo
considerado nos vários instantes do carro da figura acima(t1,t2,...).
Suponhamos que as indicações do velocímetro desse carro a cada
segundo marque:
1ª indicação
60 km/h
2ª indicação
65 km/h
3ª indicação
80 km/h
4ª indicação
82 km/h
∆v = 5 km/h
∆v = 15 km/h
∆v = 2 km/h
Notamos que a variação da velocidade a cada segundo não é
constante.
52
Agora observamos as seguintes indicações do velocímetro do mesmo carro, a
cada segundo, analisadas em outro momento, em que :
1ª indicação
60 km/h
∆v = 5 km/h
2ª indicação
65 km/h
∆v = 5 km/h
3ª indicação
70 km/h
4ª indicação
80 km/h
∆v = 5 km/h
Nesse caso a variação da velocidade se mantém constante a cada
segundo, ou seja, a aceleração do movimento é constante.
O movimento retilíneo cuja aceleração é considerada constante é
chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.).
Para facilitar a compreensão dos tipos de Movimento Variado, vamos
considerar a velocidade com o valor positivo, ou seja, o sentido no qual o corpo
se movimenta é o de aumento das posições. Diante disso:
Se v1 < v 2 , ou seja, a velocidade ao longo do movimento é crescente, a
aceleração é positiva. O movimento é chamado Acelerado.
Se v1 > v2 , ou seja, a velocidade ao longo do movimento é decrescente,
a aceleração é negativa. O movimento é chamado Retardado. Como podemos
ver no exemplo abaixo.
Podemos fazer um estudo sob o ponto de vista matemático, usando as
representações das funções matemáticas.
•
Pelas tabelas: podemos, por exemplo, organizar em tabelas os valores da
aceleração em função do determinado instante
•
aceleração
média
a
a
a
tempo
t1
t2
t3
Pelo Gráfico cartesiano: já que a aceleração é constante para qualquer
instante considerado, o gráfico da aceleração em função do tempo é da
seguinte forma:
53
a
t1
t2
t3
Geometricamente, podemos analisar que a área entre a reta da função
e o eixo t é um retângulo cuja área corresponde a variação de velocidade ∆v,
pois:
a =
∆v
∆t
∆v = a.∆t
⇒
e
Aretângulo = ∆t.a = a.∆t
∆v = Aretângulo
•
Pela expressão algébrica: analisando o gráfico, podemos verificar que a
aceleração é constante, visto que para cada instante, a aceleração (a) terá o
mesmo valor (b), ou seja, a = b(constante).
•
Nessa situação, observamos que a velocidade varia uniformemente com o
tempo, a aceleração se mantém constante durante todo o movimento. Então
podemos considerar a aceleração instantânea tem o mesmo valor da
aceleração média.
a = am
54
t
v
0
v = v0
1
v = v0 + a.1
2
v = v0 +a.2
Exercício Resolvido: Um automóvel em M.R.U.V. tem a sua velocidade
inicial igual à vo, considerada no instante to = 0, com aceleração no valor de a.
Como se obtém a velocidade no instante t a partir dos valores dados?
a =
∆v
⇒
∆t
a
at = v − v 0
=
v − v0
, já consideramos o tempo inicial como
t
⇒
v = v 0 + at
Em
t = 0 , a velocidade é
v = v0 + a0
Em
t = 1 , a velocidade é
v = v 0 + a .1
Em
t = 2 , a velocidade é
v = v 0 + a .2
t0 = 0
55
vo+2a
v0 + a
v0
1
2
Se dermos valores concretos para v0 e a , poderemos facilmente
visualizar que a relação v em função de t do M.R.U.V. é um modelo de função
afim. Como exemplo, vamos usar v0 = 20km/h e a = 2
Para, t = 1, v = 2 + 2.1 ⇒ v = 2 + 2 ⇒ v = 4 km/h
Para, t = 2, v = 2 + 2.2 ⇒ v = 2 + 4 ⇒ v = 6 km/h
Para , t = 3, v = 2 + 2.3 ⇒ v = 2 + 6 ⇒ v=8 km/h
56
E fica evidenciada a forma y = ax + b da função afim pela expressão
algébrica v = 20 + 2 t .
Exercício proposto: Construa o gráfico de a em função de t, de um corpo
que se encontra em movimento uniforme com o valor aceleração igual a a = 0.
Que tipo de movimento é esse? Representa qual função?
Para todos os valores de t, a = 0, então:
Um movimento dito uniforme com aceleração nula é chamado M.U., e a
reta da função do gráfico a em função de t coincidirá com o eixo t. Porém esse
gráfico também pode representar o móvel em repouso.
57
ANEXO 5
PLANEJAMENTO PARA O USO DO CONTEÚDO
PROPOSTO
1 SUGESTÕES PARA A AULA
Antes de utilizar o conteúdo elaborado para a aula, deverá ser aplicada
a primeira etapa da avaliação, que consiste de uma ficha (ANEXO 3) contendo
alguns problemas envolvendo alguns assuntos considerados fundamentais
para o estudo de funções, como resolução de expressões algébricas, razões e
proporções, equações e interpretação de gráficos.
O conceito de função não deve ser passado previamente, deve-se optar
pela sua construção através de resolução de situações-problema do meio
social do aluno. Seguindo o conteúdo, serão exploradas as primeiras situações
com o objetivo de estabelecer relações entre grandezas, onde será verificada
como uma varia em função da outra, e assim poderá se criada a compreensão
de variáveis dependentes. O professor utilizará dos exemplos, podendo criar
outros (ou utilizar o anexo 1), e ao final solicitará mais exemplos aos alunos.
Com isso, estará sendo verificado o nível de compreensão intuitiva sobre
função.
A situação-problema seguinte (fig. 1) ilustra o movimento de um carro
que faz uma viagem da cidade C1 para a cidade C2, onde são registrados os
tempos de saída, de chegada, e também os tempos que ele passa pelas
placas A e B. Será dado início a integração entre os conteúdos de função e
cinemática, para a utilização dessa situação em matemática, deve-se
primeiramente passar alguns conceitos físicos como movimento, referencial,
posição e outros mais constantes no conteúdo que tornarão o estudo mais
compreensível. Para depois utilizar o nível de compreensão da matematização
inicial, usando a subtração (operação aritmética) para se conseguir as
variações de posição e instante (∆s/∆t). A partir dessas duas variações será
criada a idéia matemática de velocidade média, com isso poderá ser solicitado
aos alunos para que eles façam os cálculos das velocidades médias das
outras distâncias da fig. 1, assim é possibilitado o uso do nível de abstração.
A construção de gráficos será a próxima atividade, já que eles
expressam outra forma de representação de função. Pode ser feito uma
oportunidade de comentar a importância desta forma de representação dentro
do contexto social do aluno. Serão organizados os dados colhidos da tarefa
anterior em tabelas conforme o conteúdo dado, e será solicitado para que os
alunos façam o mesmo para os primeiros exemplos do conteúdo, quantificando
as grandezas.
58
Ex.:
01 pão custa R$ 0,35
N° pães
1
02 pães custam R$ 0,70
Custo
0,35 0,70
2
3
4
1,05 1,40
03 pães custam R$ 1,05
04 pães custam R$ 1,40
A partir dessa análise, é possível, junto aos alunos, ser construída uma
representação verbal da definição de função, dando o primeiro passo para a
introdução do nível de compreensão da formalização.
Pode ser comentada, de maneira breve, sobre a diferença entre as
definições físicas entre velocidade média e velocidade instantânea.
Dando seqüência ao tópico de representação gráfica, será mostrado
como pode ser representado à relação entre duas grandezas em um gráfico
cartesiano. Mostrando para o aluno como pode ser feita a interpretação,
através do gráfico, da situação-problema que originou esta representação
gráfica.
Entrando no capítulo Função Afim e M.R.U., será determinada, através
da abstração, a lei de formação que possa prever o comportamento entre
grandezas dependentes, mostrando como dessa expressão algébrica pode ser
construído o gráfico pertinente. E será verificada que a forma da curva que
representa a função é uma reta. Sendo então, mostrada a função linear e a
sua principal característica, ao mesmo tempo em que são reconhecidas,
quando uma função é crescente ou decrescente. Tendo a preocupação de
mostrar para os alunos a forma de se interpretar fisicamente o movimento
através da idéia de funções crescente e decrescente.
A noção do Movimento Retilíneo Uniforme já pode ser compreendida a
partir do cálculo da velocidade média dos dados da tabela, em que o seu valor
vai se manter constante para todos os intervalos de tempo. E com isso, poderá
ser conseguida, algebricamente, a equação horária do M.R.U. a partir da
equação da velocidade média. Comparando a expressão da função antes
achada com a equação horária, poderemos, facilmente, identificar a forma de
uma função linear.
Passe a próxima situação-problema para os alunos resolverem sozinhos
(podendo ser duplas). Dependendo do nível compreensão da turma, poderá
ser dadas mais atividades para que os alunos possam exercitar a idéia
proposta.
59
Nessa atividade será definida a forma de uma Função Afim, mostrando
para o aluno a diferença entre a função linear. E complementando a noção de
que a função linear particular de função do 1º grau, aliás, é do 1° grau devido o
expoente da variável independente ser de grau 1.
Agora será trabalhada a noção de função sob um ponto de vista
matemático mais formal, ou seja, será abordado um conteúdo envolvendo a
equação representativa da função (y = ax + b); os coeficientes angulares e
linear; a identificação da raiz ou zero da função. Mostrando a importância
desses tópicos para a construção do gráfico representativo. Convém dar
alguns exercícios de fixação.
Voltando a linguagem física, explique para os alunos o que representam
esses tópicos num movimento uniforme, deixando o fato do coeficiente angular
ser igual à zero para o final, já que é o tem a do próximo capítulo.
Será verificado que, como mencionado no parágrafo anterior, quando o
coeficiente angular for zero, a equação da função tomará a forma y = b, faça a
conexão com o estudo físico, construindo o gráfico da velocidade constante em
função do tempo.
Para terminar faça uma análise do gráfico que representa uma função
constante, utilizando outro contexto matemático (geometria) para se conseguir
uma forma alternativa de se conseguir o deslocamento de corpo em M.R.U.
No tópico 3.5, fala sobre o conteúdo de função do 1° grau sendo
utilizado de forma integrada ao do Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado (M.R.U.V.). Será desenvolvido o conceito de aceleração, uma
grandeza que surge da variação da velocidade em função do intervalo de
tempo. Será mostrado os gráficos pertinentes a esse movimento sendo
relevante a interpretação física de cada um.
60
ANEXO 6
GRÁFICOS
COMPREENSÃO
MATEMATIZAÇÃO
INTUITIVA
INICIAL
Utilização
do
Organização
conhecimento informal da
quantificação
vida.
primeiras
ABSTRAÇÃO
e
das
noções
intuitivas.
Pensamento
Ações espontâneas.
se
do
procedimento
conceito
é
com
o
procedimento que leva à
Uso da linguagem
simbólica
e
Descontextualização
uma
.
existência própria.
O
confundido
CARACTERÍSTICAS
conceito
destaca
alcança
com
base na percepção visual.
O
FORMALIZAÇÃO
Justificação
Generalização
própria
das operações.
Escrita de expressões
Notação:
lógica
sua construção.
Reconhecimento
dependência
de
Quantificação das leis.
(não
quantificada).
analíticas.
Reconhecimento
variáveis dependentes e
Distinção
independentes.
equações e funções.
Interpretação de gráficos
Construção
cartesianos.
interpretação
Estabelecimento de leis de
formação simples e visuais.
f:AB
de
entre
Y = f(x)
e
de
gráficos convencionais
Construção de gráficos
e não-convencionais.
cartesianos simples.
Caracterização
PARA FUNÇÕES
Reconhecimento
do
domínio(analisado
no
Domínio, imagem.
de
relações funcionais.
contexto).
Classificação.
Construção e interpretação
de tabelas e gráficos de
colunas e setor.
Operações com funções.
Figura 1
fonte: Tinoco 2004
61
VERBAL
ANALÍTICA
A
Figura 2
TIPOS DE
REPRESENTAÇÕES
DAS FUNÇÕES
GRÁFICA
Fonte: Tinoco 2004
62
BIBLIOGRAFIA
Paulo: ÁVILA, Geraldo. Funções e gráficos num problema de freagem.
Revista do Professor de Matemática - Sociedade Brasileira de Matemática,
São Paulo, n. 12, p. 18-23, 1° sem. 1988.
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho(Org.).
Educação Matemática: pesquisa em movimento. 2ª Ed. São Paulo: Cortez,
2005.
BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei n° 9394/96.
Brasília: MEC, 1999.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. Área
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 2000.
CABRAL, Fernando; LAGO, Alexandre. Física. v.1. São Paulo: Harbra, 2002.
CAMPOS, Celso Ribeiro. O ensino da Matemática e da Física numa
perspectiva integracionista. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: São Paulo, 2000.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:
Sá da Costa, 1958.
CHAVES, M. I. A.; CARVALHO, H. C. Formalização do conceito de funções
no Ensino Médio: uma seqüência de ensino-aprendizagem. VIII Encontro
Nacional de Educação Matemática. Recife, 2004.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. 8ª Ed.
São Paulo: Papirus, 2001.
63
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. V. 1. São Paulo:
Ed. Ática, 2000.
MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. v. 1. São Paulo:
Scipione, 2000.
TINOCO. Lucia A. A.(Coord.) Construindo o Conceito de Função. UFRJ –
Instituto de Matemática - Projeto Fundão. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2004.
TINOCO, L(coord.). Razões e Proporções. UFRJ – Instituto de Matemática Projeto Fundão – SPEC/PADCT/CAPES. Rio de Janeiro, 2006.
VASCONCELOS, M. J. C. de. SCORDAMAGLIO, M. J.; CÂNDIDO, S. L.
Matemática. São Brasil, 2000.
64
ÍNDICE
INTRODUÇÃO
8
CAPÍTULO I
Conceito de Função e sua importância
10
CAPÍTULO II
Problemas freqüentes no processo de
ensino-aprendizagem de Funções
16
CAPÍTULO III
Cinemática como contexto para o estudo
de Funções
23
CAPÍTULO IV
Sugestões para avaliação
CONCLUSÃO
26
ANEXOS
28
BIBLIOGRAFIA
62
ÍNDICE
64
65
FOLHA DE AVALIAÇÃO
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
CURSO: DOCÊNCIA DO ENSINO SUPERIOR
TEMA: UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR FUNÇÕES
DE
FORMA
INTERDISCIPLINAR
ATRAVÉS
DA
CINEMÁTICA
AUTOR: MARCELO DA SILVA FERRAREZ
ORIENTADOR: PROF. CARLOS ALBERTO CEREJA DE
BARROS
CONCEITO:
_____________________________
AVALIADOR: