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Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho"
Campus de Guaratinguetá - Faculdade de Engenharia
Departamento de Física e Química
CFQ-4018 – LABORATÓRIO DE ESTRUTURA DA MATÉRIA
Turma 411 – Licenciatura e Bacharelado em Física
“Determinação da Carga do Elétron:
Experimento de Millikan”
13/04/2009
I - OBJETIVOS
Determinação da carga do elétron utilizando do aparato da gota de óleo de
Millikan, i.e., “PASCO scientific Model AP-8210 - Millikan oil drop Apparatus”.
Medidas das velocidades de ascensão e queda de gotículas de óleo eletrizadas entre as
placas de um capacitor utilizando o referido aparato. Determinação do número de cargas
elementares em cada gotícula a partir das medidas dos tempos de ascensão e queda das
gotículas.
II - TEORIA
Em uma série de experimentos realizados entre 1911 e 1913 Robert A. Millikan
determinou a carga do elétron, utilizando o arranjo experimental esquematizado na figura
1 [2-4].
Figura 1- Diagrama esquemático do arranjo experimental utilizado por Robert A. Millikan para
determinar a carga do elétron a partir da análise do movimento de gotículas de óleo eletrizadas.
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
2
O aparato utilizado por Millikan era constituído por um vaso de latão projetado
para operar em qualquer pressão até o valor limite de 15 atmosferas. A foto do vaso de
latão se encontra apresentada na figura 2.
Figura 2- Foto do vaso de latão que constitui parte do arranjo experimental utilizado por
Robert A. Millikan para determinar a carga do elétron [3].
O vaso de latão, indicado pela letra D no esquema da figura 1 era imerso em um
reservatório contendo 40 litros de óleo o qual permitia um controle bastante preciso da
temperatura da atmosfera de gás no interior da qual as gotículas de óleo se deslocariam. O
banho térmico G permitia reduzir as flutuações à valores menores do que 0,02 0C durante
as medidas. A pressão no interior do vaso era monitorada através do manômetro m,
(esquematizado no lado esquerdo da figura 1), sendo a mesma mantida na pressão
atmosférica. O movimento das gotículas de óleo era observado na região entre as placas
de um capacitor, colocado no interior do vaso de latão. O capacitor era composto por duas
placas paralelas (indicadas na figura 1 pelas letras M e N), cilíndricas, de latão, separadas
por uma distância de cerca de 16 mm por discos de ebonite. A placa superior era provida
de um pequeno orifício central através do qual as gotículas de óleo eram aspergidas. As
gotículas de óleo eram iluminadas por um feixe de luz proveniente de uma descarga em
arco em uma lâmpada de carbono sendo o movimento das mesmas observado por meio de
um telescópio. O calor proveniente da radiação emitida pela descarga em arco, (radiação
infravermelho), era absorvido por uma cela cilíndrica de 80 cm de comprimento contendo
água (indicada pela letra w na figura 1) bem como por uma cela contendo cloreto de cobre
(indicada pela letra d na figura 1). O ar em torno das gotículas era ionizado, quando
necessário, por meio de um tubo de Röntgen cuja radiação X atravessava a janela g do
vaso de latão incidindo na região entre placas do capacitor [3]. O movimento de ascensão
e queda das gotículas na região entre placas do capacitor era monitorado utilizando-se um
telescópio provido de uma escala graduada o qual se encontrava acoplado a uma das
janelas do vaso de latão. O mesmo pode ser visto na foto da figura 2.
Consideremos agora a análise do movimento de uma gotícula de mass m
abandonada do repouso sob a ação da força de gravidade. Aplicando a segunda lei de
Newton ao movimento ao longo da vertical temos:
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
m
d2y
2
= −mg + b0
3
dy
dt
dt
Para a velocidade ao longo da vertical temos:
dV y b0
− Vy = −g
dt
m
m
Efetuando a substituição V y = V y' + g temos:
b0
dV y'
dt
Integrando a equação tempos:
V y' (t )
−
b0 '
Vy = 0
m
b
− 0t
'
= V y (0)e m .
Uma vez que V y (0) = 0 temos:
b

− t
m  e m 
V y (t ) = g 1 −

b0 
1 


Portanto a velocidade terminal de queda da gotícula em decorrência do atrito viscoso com
o ar é dada por:
m
V y (t >> 0) = g = V fq
b0
onde b0 é dado pela lei de Stockes, i.e., bo = 6πηa onde η é a viscosidade do ar e a raio
4
da gotícula. A massa da gotícula é dada por m = πρa 3 onde ρ é a densidade do óleo.
3
Desta feita medindo-se o valor da velocidade limite de queda, (velocidade final de
m
queda), i.e., V fq = V y (t >> 0) =
g pode-se determinar o raio da gota e
b0
consequentemente sua massa:
0
a=
9ηV fq
2 ρg
2 ηV fq 
m = 9π


ρ g 
3/ 2
Notemos que em nossa análise estamos desprezando o empuxo do ar uma vez que
a densidade do óleo utilizado no experimento é muito maior que a densidade do ar. No
caso de se levar em conta o empuxo devido ao deslocamento da massa de ar pela gotícula
devemos substituir ρ por (ρ-ρar ) nas equações acima.
Consideremos agora a análise do movimento de ascensão da gotícula carregada
r V
sob a ação do campo elétrico | E |=
onde V é a diferença de potencial aplicada entre as
d
placas do capacitor e d é a separação entre as mesmas.
Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento temos:
d2y
r
dy
=
−
+
|
|
−
mg
q
E
b
0
dt
dt 2
Reescrevendo em termos da velocidade temos:
m
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
4
q r b0
| E | − Vy
dt
m
m
r
q
m
Efetuando a substituição V y = V y' + | E | − g temos:
b0
b0
dV y
= −g +
dV y'
b0 '
Vy = 0
dt
m
Integrando a equação e considerando que a velocidade inicial da gotícula seja nula temos:
+
b

− t
r
q | E | − mg  e m 
V y (t ) =
1 −

b0
1




0
portanto para t >> 0 tem-se a velocidade limite de ascensão, (velocidade final de
ascensão):
r
q | E | − mg q(V / d ) − mg
V fa = V y (t >> 0) =
=
b0
b0
e portanto a carga da gotícula é dada por:
q=
d (mg + b0V fa )
V
Desta feita medindo-se a velocidade limite no movimento de ascensão pode-se
determinar o valor da carga elétrica da gotícula a partir do conhecimento da massa,
(obtida a partir das medidas da velocidade limite de queda da gotícula), bem como do
valor da diferença de potencial aplicada entre as placas e da distância entre as mesmas,
i.e.:
q=
9π 2η 3 / 2 d
1/ 2
[( ρ − ρ ar ) g ]
V
(V fq + V fa )V 1fq/ 2
Uma vez que as velocidades das gotículas de óleo utilizadas no experimento se
encontram na faixa de 0,01 cm/s a 0,001 cm/s a viscosidade do ar deve ser substituída por
um valor efetivo dado por:




1 

η ef = η

b 
 1 + pa 


onde b é uma constante [ b = 6,17 × 10 −4 (cmdeHg )cm ], p é a pressão atmosférica e a é o
raio da gotícula. Isto se deve ao fato de que gotículas com velocidades menores que 0,1
cm/s têm raios da ordem de 2 µm , valor este comparável ao livre caminho médio das
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
5
moléculas do ar. Nestas condições um dos pressupostos adotados na dedução da Lei de
Stockes deixa de ser válido, razão pela qual a correção acima mencionada deve ser
efetuada.
Desta feita, substituindo-se o valor de η por η ef na equação que fornece o valor
do raio da gotícula temos:



9ηV fq
1 


a=
b 
2( ρ − ρ ar ) g 
1+

pa 
Resolvendo a equação do segundo grau resultante para o raio da gotícula temos:
2
9ηV fq
 b 
b
 +
a = 
−
 2 p  2( ρ − ρ ar ) g 2 p
e portanto o valor da carga elétrica da gotícula é dado por:
q=
9π 2η 3 / 2 d

b 
[( ρ − ρ ar ) g ]1 / 2 1 +

 pa 
(V fq + V fa )V
3/ 2
V
1/ 2
fq
6πd
=
V
9η 3

b 
2 g ( ρ − ρ ar ) 1 +

 pa 
3
(V fq + V fa )V fq1 / 2
A densidade do óleo utilizado, i.e., (Squibb # 5597) é igual a 886 Kg/m3 a temperatura
ambiente.
III – PARTE PRÁTICA
Coloque o aparato de Millikan esquematizado na figura 3 e cuja foto se encontra
apresentada na figura 4 abaixo, sobre a plataforma de apoio do mesmo e execute o
seguinte procedimento.
• Ajuste os controles de nível dos pés do aparato de Millikan ou da plataforma de
apoio de tal forma que a gota fique centrada no indicador de nível fixo na
plataforma do aparato.
• Fixe os parafusos laterais da plataforma do aparato a fim de que a mesma fique
presa à plataforma de apoio.
• Ajuste a altura do aparato de maneira que o observador possa efetuar as medidas
das velocidades de ascensão e queda das gotículas estando de pé.
• Retire a tampa de acrílico da câmara que contém o capacitor de placas paralelas
(placas de latão) e remova a tampinha de plástico preto que protege o orifício de
entrada das gotículas existente na placa superior do capacitor.
• Remova o fio, utilizado para a focalização das gotículas na região central entre as
placas do capacitor, do receptáculo onde o mesmo se encontra e o insira no orifício
da placa superior do capacitor conforme o esquematizado na figura 5.
• Ajuste o anel de focalização das gotículas de forma a obter uma imagem bastante
nítida do fio.
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
6
• Ajuste o anel de focalização do reticulado a fim de obter uma imagem bastante
nítida das linhas horizontais e verticais que constituem o reticulado.
Figura 3 – Esquema do aparato experimental da PASCO, “A-8210 Millikan Oil Drop
Apparatus”.
Figura 4 – Foto do aparato experimental da PASCO, “A-8210 Millikan Oil Drop Apparatus”.
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
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Figura 5 – Esquema do processo de inserção do fio utilizado no processo de focalização do
aparato experimental da PASCO, “A-8210 Millikan Oil Drop Apparatus”.
• Ajuste a posição horizontal do filamento da lâmpada alógena. A lâmpada está
focalizada quando o lado direito do fio se apresenta mais brilhante que a parte
central do mesmo sendo o contraste bastante acentuado. O espalhamento da luz
focalizada sobre o fio aumenta a luminosidade dentro da câmara em pelo menos
uma ordem de grandeza. (i.e., o fio passa a brilhar intensamente como um
filamento incandescente).
• Mantenha a iluminação de fundo do reticulado o mais tênue possível. Nestas
condições a luz espalhada pelas gotículas será mais facilmente visualizada.
• Ajuste o parafuso de posicionamento vertical do filamento da lâmpada a fim de
obter uma imagem bastante brilhante do fio na região do reticulado.
• Conecte a fonte de tensão DC aos terminais da plataforma utilizando fios providos
de pinos bananas. Cheque a isolação dos mesmos.
• Coloque óleo no interior do aspersor e verifique se a ponta do mesmo se encontra
com o orifício posicionado ao longo da vertical (compreendendo um ângulo de
aproximadamente 900 com os dois caninhos que a sustentam).
• Posicione a haste de controle da fonte de ionização na posição intermediária, i.e.,
(spray droplet position), conforme o apresentado na figura 6. Nesta posição a
câmara é ventilada permitindo o ar escapar da mesma dando lugar às gotículas.
• Posicione a ponta do aspersor no orifício da placa de acrílico e olhando através do
telescópio efetue uma aspersão rápida do óleo. Em seguida borrife suavemente o
óleo a fim de forçar que o mesmo adentre a câmara de observação, i.e., região
entre as placas do capacitor.
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
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Figura 6 – Haste de controle do ionizador do PASCO Scientific Model “A-8210 Millikan Oil
Drop Apparatus”.
• Mantenha a chave de polarização das placas na posição placas aterradas (Plates
grounded).
• Ajuste a saída da fonte de tensão em 500 V.
• Conecte um ohmímetro utilizando dois fios com conectores bananas aos terminais
do termistor a fim de efetuar a medida de temperatura da câmara.
• Mova a haste de controle do ionizador para a posição OFF (fonte de Tório 232
blindada).
• Olhando através do telescópio selecione gotículas que caem com velocidades
pequenas, i.e., da ordem de 0,02 a 0,05 mm/s quando as placas do capacitor se
encontram aterradas (Plates Grounded). Verifique se as mesmas se deslocam para
cima quando a placa superior é polarizada positivamente. A distância entre as
linhas mais grossas do reticulado corresponde a 0,5 mm.
Obs: No caso de existirem muitas gotículas no campo de visão do telescópio as mesmas
podem ser eliminadas mantendo-se as placas do capacitor polarizadas por alguns
segundos.
• Quando uma gota de tamanho e carga razoável for selecionada, efetue um ajuste
fino do foco a fim de tornar a imagem da mesma mais nítida.
Obs: A gotícula encontrar-se-á melhor focalizada pelo telescópio quando a mesma
aparecer como um pontinho brilhante de luz.
• Efetue medidas das velocidades de queda e ascensão cerca de 10 a 20 vezes para
cada gotícula selecionada. As velocidades de queda e ascensão são determinadas
com maior precisão se as medidas forem efetuadas no intervalo de tempo
transcorrido entre a passagem das mesmas entre dois traços mais grossos do
reticulado. A distância entre dois traços grossos consecutivos é 0,5 mm.
• Utilizando o valor medido de temperatura (conversão efetuada utilizando a tabela
1 da próxima página) estime o valor da viscosidade do ar a partir do gráfico
apresentado na figura 7.
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
9
• Calcule a carga elétrica da gotícula escolhida.
Obs: Se a carga da gotícula for maior que 5 cargas do elétron, escolha gotículas que se
movam mais devagar. Caso a carga da gotícula seja muito pequena a mesma pode ser
aumentada utilizando o ionizador (fonte de Tório 232).
• Se a carga da gotícula escolhida for muito pequena ajuste a posição da haste do
ionizador em ON mantendo a mesma por cerca de cinco segundos.
• Efetue novamente as medidas das velocidades de queda e ascensão da gotícula.
• Repita o procedimento descrito anteriormente e selecione novas gotículas para as
medidas das velocidades de queda e ascensão.
• Após a medida mova a gotícula para próximo da placa superior. Abandone a
mesma em queda livre.
• Acione o ionizador e polarize a placa superior. Verifique se a velocidade de
ascensão se alterou em relação ao valor encontrado anteriormente. No caso
afirmativo repita as medidas das velocidades de ascensão e queda.
• Construa uma tabela contendo as velocidades de ascensão e queda das gotículas, o
valor do raio da gotícula e o valor da carga elétrica da mesma. Para o cálculo da
carga da gotícula considere que a densidade do óleo utilizado, i.e.; (Squibb # 5597
mineral oil), é igual a 886 kg/m3 a temperatura ambiente.
• Calcule a razão entre os valores das cargas elétricas das gotículas dividindo todos
os valores pelo menor valor encontrado.
• Construa um gráfico da carga elétrica em função de n i.e., ( Q × n ), onde n é o
valor do número inteiro mais próximo ao valor encontrado para a razão entre os
valores das cargas das diferentes gotículas.
Obs: Sempre que possível tente efetuar as medidas para diferentes valores de carga em
uma mesma gotícula utilizando o ionizador (fonte de Tório 232).
Tabela -1 Resistência do Termistor do Aparato de Millikan para diferentes valores da
temperatura no interior da câmara.
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
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Figura 7- Viscosidade do ar seco em função da temperatura.
IV – QUESTÕES E PROBLEMAS
1. Deduza as equações de movimento para os movimentos de ascensão e queda das
gotículas de óleo carregadas na região entre placas do capacitor. Expresse os valores
da carga e da massa das gotículas em termos dos parâmetros do óleo, do ar da
aceleração da gravidade bem como dos valores limites das velocidades de queda e
ascensão das gotículas de óleo.
2. Descreva quais foram as principais dificuldades encontradas na execução do
experimento de Millikan e quais os principais cuidados tomados a fim de minimizar
os erros percentuais na determinação do valor da carga elementar.
3. Quais foram as principais conclusões que podem ser externadas a partir realização do
presente experimento ?
Determinação da Carga do Elétron: Experimento de Millikan
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Referências:
1. “Instruction Manual and Experiment Guide for PASCO scientific Model AP-8210
Millikan oil drop Apparatus”. Disponível para download em www.pasco.com .
2. Robert A. Millikan; “On the Elementary Electrical Charge and the Avogadro
Constant”, Physical Review, Second Series, vol. II, n0 2, pp. 109-143, (1913).
3. Robert A. Millikan; “The Isolation of an Ion, A Precision Measurement of its Charge,
and the Correction of Stokes’s Law”, Physical Review, vol. XXXII, n0 4, pp. 349-397,
(1911).
4. Robert A. Millikan; “The Electron and the Light-Quant from the Experimental Point
of View”, Nobel Lecture, Maio, 1924. O referido texto pode ser encontrado em:
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1923/index.html .
5. Adrian C. Melissinos and Jim Napolitano; “Experiments in Modern Physics”, 2nd
edition, Academic Press, New York, USA, (2003).
6. Francisco Caruso e Vitor Oguri; “Física Moderna – Origens Clássicas e
Fundamentos Quânticos”, Elsevier – Editora Campus, Rio de Janeiro, Brasil, (2006).
Roteiro elaborado pelo professor Mauricio Antonio Algatti em 29/10/2007 e revisado pelo
mesmo em 25/05/2009.