Crescimento de gotículas
Condensação: Difusão de Vapor e
Condução de Calor
• Assumindo um estado estacionário uma
gotícula de raio r irá crescer a taxa dr/dt.
r
r+dr
O crescimento desta gotícula será a partir da
difusão do vapor d’água do ambiente.
• A seguir temos as seguintes definições
Tr = temperatura da gota
vr =densidade de vapor d’água na sfc da gota
T temperatura do ambiente
v densidade de vapor d’água do ambiente.
• Não existe interação entre as gotículas, ou
seja, elas estão isoladas.
Lei de Fick
• Para avaliar o fluxo de vapor d´água para a
gotícula temos que aplicar a lei de difusão de
vapor ou simplesmente a lei de Fick
d v
Fw  D
dr
D - coeficiente de difusão do vapor d’água no ar.
• O fluxo contínuo de vapor d´água sobre uma
gotícula de raio r proporcionará um aumento
de massa da gotícula.
• Dessa maneira temos que fluxo de massa ou
taxa de transporte de massa através da
superfície esférica:
Tw = Área x Fluxo
dm
Tw  4r Fw  cte  c* 
dt
2
• O Fluxo de massa através das bordas é constante e isotrópico a
qualquer distância R da gotícula.
R
r
r
d v
dm
2
Mas dr/dt,
 4r D
 c*
dr
não é constante. dt

r
dr
4D  d v  c *  2
r
 vr
r
c*
4D(  v   vr ) 
r
c*  4rD( v  vr )
dm
 4rD (  v   vr )
dt
(1)
• equação de crescimento por difusão de vapor
para uma gota isolada embebida em um
ambiente com vapor d’água.
• Cresce v  vr
• Evapora v  vr
Como Tr ≠ T
• Como existe variações na taxa de calor, a massa da
gotícula pode sofrer alterações também.
• Logo temos que a taxa de liberação de calor latente
para este processo de condensação é expresso como:
dm
dq  Lv
dt
(2)
• Assumindo que o calor é dissipado através da
condução de calor.
dT
dq  4R K
dR
2
K é a condutividade térmica
(3)
dT
dm
 4R K
 dQ  Lv
 c1 *
dR
dt
2
dT
c1*  4R K
dR
2
T

dR
Tr  4RKdT  c1 * r R 2
 1 1  c1*
4K (Tr  T )  c1*    
r
 r
Eq. de Condução de Calor
dm 4K (Tr  T )r

dt
Lv
(4)
• A partir das equações de Clausius Clapeyron,
Kohler, Difusão de vapor e Condução de calor
podemos resolver a equação de crescimento
(dr/dt)
Clausius Clapeyron
 Lv  1 1 
er (Tr )  esr  es (T ) exp   
 Rv  T Tr 
Kohler
er
a b
1  3
es
r r
er
S
esr
dr
r

dt F  F er
d
k
esr
Fd 
l RvT
Des
Lv  l
Fk 
2
KRvT
2
Fk = termo termodinâmico que está associado a condução de calor e
Fd = termo de difusão do vapor
er
S
esr
dr
r

dt F  F er
d
k
esr
A gotícula irá crescer quando o ambiente estiver super
saturado, ou seja, a condensação só ocorrerá quando :
er
S
esr
Se
dr
S 1
r

dt Fk  Fd
er
1
esr
Integrando a equação acima podemos avaliar
como uma gotícula de raio r0 irá crescer até um
raio r em um tempo t
r(t )
t
r0
0
 rdr  
S 1
dt
Fk  Fd
 S 1
r (t )  r0  2
 Fk  Fd
2
2

t

Logo a Equação de crescimento por
condensação pode ser descrita por uma
lei/curva parabólica
 S 1
r (t )  r0  2
 Fk  Fd
2

t

Raio (um) 1,00E-13 1,00E-12 1,00E-11
1
2,4
0,15
0,013
2
130
7
0,61
4
1000
320
62
10
2700
1800
870
20
8500
7400
5900
30
17500
16000
14500
50
44500
43500
41500
r0 = 0,75 microns
Mason, 1971
Tempo (segundos)
Massa nuclear (g)
16 min
33 min
10000
20000
50
Raio (um)
40
30
20
10
0
0
30000
40000
Tempo (segundos)
1,00E-13 g
1,00E-12 g
1,00E-11 g1
50000
2 horas
20
1 hora
18
16
Raio (um)
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2000
1,00E-13 g
4000
6000
Tempo (segundos)
1,00E-12 g
8000
1,00E-11 g1
10000
 S 1
r (t )  r0  2
 Fk  Fd
2

t

Se S > 1  Condensação
Se S < 1  Evaporação
Incluindo o Soluto
a b
( S  1)   3
dr
r
r
r

es
dt
Fd  Fk
esr
a b
Quando as gotas são pequenas (r < 10m )   3
r r
Para gotas maiores (S-1) é dominante.
• Agora podemos avaliar a Saturação quando uma
população de gotículas esta crescendo
dS
 PC
dt
onde P é a produção por levantamento e C a redução por
condensação. Abrindo os termos temos:
dS
dz
d
 Q1
 Q2
dt
dt
dt
1º termo é o aumento da saturação devido ao resfriamento
adiabático e o 2o termo é a diminuição da saturação devido à
condensação d’água.
 é o conteúdo de água líquida total.
a b
( S  1)   3
dr
r r
r

dt
Fk  Fd
• Utilizando a equação de crescimento da
gotícula que leva em conta o efeito da
saturação, curvatura e soluto e a equação da
variação da saturação, podemos avaliar a
evolução do espectro de gotículas a partir da
definição de uma distribuição de CCN e uma
velocidade vertical.
• Por exemplo, assumindo uma velocidade
vertical (u=dz/dt) de 15 cm/s e uma
concentração de CCN moderado na base da
nuvem, Mordy (1959) observou os seguintes
resultados, Figura 1.
S
Figura 1. Crescimento de gotículas de nuvens (curva contínua preta)
para diferentes massas e variação da super-saturação acima da base
da nuvem (Adaptado de Mordy, 1959) (linha tracejada em vermelho)
• Em outro exemplo, temos uma simulação com
2 velocidades verticais, 0,5 e 2 m/s. Sendo
que a população de CCN de cloreto de sódio é
representado pela equação abaixo:
3
CCN[cm ]  650S
0, 7
, onde S é a saturação.