Resolução das atividades complementares
Física
3
F7 — Estática dos sólidos
p. 62
1 (UFPE)
a) Duas partículas, de massas M1 5 M e M2 5 M/2, estão presas por uma haste de comprimento L 5 48 cm
e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema
em relação à posição da partícula de massa M1? 16 cm
b) Duas partículas, de massas M1 5 M e M2 5 M/2, estão presas por uma haste de comprimento L 5 12 cm
e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema
em relação ao ponto O? 0
Resolução:
a) Da definição do centro de massa, temos: x CM
b) Temos, da definição do centro de massa: x CM 5
( )
( )
L
M(
1 ( M ) ( 2L )
)
3
2
3 50
5
M
M1( )
2
M (0) 1 M L
m1x1 1 m2x 2
2
5
5
5 1 L 5 16 cm
m1 1 m2
M
3
M1
2
m1x1 1 m2x 2
m1 1 m2
2 (Unifor-CE) Uma tábua homogênea, de 1,00 m de
comprimento, tem 10 divisões de 10 cm, marcadas por 9 traços
numerados de 1 a 9. A tábua, de massa 1,0 kg, foi pendurada
por um fio ligado ao traço número 4, como está indicado no
esquema.
Para mantê-la na posição horizontal foi pendurado um massor
exatamente sobre o traço número 2. A massa desse massor é,
em kg, igual a:
a) 0,25
c) 0,50
b) 0,40
d) 0,60
Resolução:
Dados:
m1 5 1 kg (massa da tábua)
x1 5 50 cm (ponto G da tábua)
m2 5 ? (massa do massor)
x2 5 20 cm (abscissa em relação à origem)
e) 0,90
Da definição de centro de massa e sendo xG 5 40 cm (ponto de equilíbrio da tábua), temos:
m x 1 m 2x 2
xG 5 1 1
m1 1 m2
1 ? 50 1 m2 ? 20
40 5
1 1 m2
40 1 40 m2 5 50 1 20 m2
20 m2 5 10
m2 5 0,50 kg
p. 63
3 (UFSCar-SP) O joão-teimoso é um boneco que, deslocado de sua posição de equilíbrio, sempre volta
a ficar em pé. Suponha que uma criança segure um joão-teimoso na posição da figura e logo em seguida o
solte, sobre uma superfície horizontal.
Assinale a alternativa que melhor representa o esquema das forças que, com exceção das forças de atrito,
atuam sobre o joão-teimoso deitado, imediatamente após ser solto pela criança.
a)
c)
e)
b)
d)
Resolução:
No joão-teimoso agem a força peso, vertical para baixo, aplicada no centro de massa do boneco que
se localiza perto da base (em preto no desenho) e a força de reação normal do apoio, vertical para
cima, formando assim um binário (ou par ou conjugado), cuja única função é fazer o boneco girar
de volta para a posição de equilíbrio. No caso da figura o binário deve fazer o joão-teimoso girar em
sentido anti-horário, como o desenhado na alternativa e.
p. 67
4 Pesquise num manual do proprietário de um automóvel e verifique a presença da grandeza torque.
Até quando, onde e por que ela aparece. Compare com as anotações de seus colegas e discutam sobre esse
importante conceito.
Resposta pessoal.
5 (UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por uma estrada e são surpreendidos por um
furo num dos pneus.
O jovem, que pesa 75 kgf, pisa a extremidade de uma chave de roda, inclinada em relação à horizontal, como
mostra a figura 1, mas só consegue soltar o parafuso quando exerce sobre a chave uma força igual a seu
peso. A namorada do jovem, que pesa 51 kgf, encaixa a mesma chave, mas na horizontal, em outro parafuso,
e pisa a extremidade da chave, exercendo sobre ela uma força igual a seu peso, como mostra a figura 2.
75 kgf
30
cm
51 kgf
20 cm
30 cm
Supondo que este segundo parafuso esteja tão apertado quanto o primeiro, e levando em conta as distâncias
indicadas nas figuras, verifique se a moça consegue soltar esse segundo parafuso. Justifique sua resposta.
A moça também solta o parafuso, pois MFmulher , O  MFhomem , O.
Resolução:
Rapaz:
30
cm
F
0
20 cm
F 5 75 kgf e d 5 20 cm 5 0,2 m
MF, 0 5 Fd → MF, 0 5 75 ? 0,2 5 15 kgf ? m
MF, 0 5 15 kgf ? m
Moça:
0
30 cm
F�
F9 5 51 kgf e d 5 30 cm 5 0,3 m
MF9, 0 5 F9d → MF9, 0 5 51 ? 0,3 5 15,3 kg ? m
Logo, a moça também solta o parafuso, já que MF9, 0 . MF, 0.
p. 68
6 Calcule o momento de cada uma das forças indicadas na figura, em relação ao ponto O. (Dados: F1 5 20 N; F2 5 30 N; F3 5 40 N.) MF1, O   3,6 Nm; MF2, O  0; MF3, O  4 Nm
Resolução:
MoF1 5 2F1 ? dTOTAL 5 220 ? 0,18 → MoF1 5 23,6 Nm
→
MoF2 5 F2 ? 0 → MoF2 5 0 (pois a linha de ação de F2 passa pelo ponto O)
MoF3 5 1F3d 5 140 ? 0,10 → MoF3 5 14,0 Nm
7 (UFPI) A figura mostra a barra PQ submetida à ação de duas forças de igual módulo, ambas
perpendiculares a ela. MP, MR e MQ representam os módulos do momento de forças total medido em relação
aos pontos P, R e Q. Podemos afirmar corretamente que:
c) MR 5 MQ 5 MP e) MR  MQ  MP
a) MR 5 MQ  MP 5
M

M
d)
M
5
M

M
b) MR
P
Q
Q
P
R
Resolução:
→
P
d1
�F
d2
Q
R
→
F
d1 1 d2 5 d
MP 5 2Fd1 1 Fd 5 F (d 2 d1) 5 Fd2
MR 5 2F0 1 Fd2 5 Fd2
MQ 5 1Fd2 2 F0 5 Fd2
MR 5 MQ 5 MP
8 (Uni-Rio/Ence-RJ) A figura ao lado mostra uma placa retangular,
homogênea, presa na vertical por um eixo horizontal que passa pelo seu
centro de massa (ponto de encontro nas linhas tracejadas) e é perpendicular
à folha. Além do peso da placa e da força que o eixo exerce sobre ela, estão
indicadas as forças de módulos F1 5 20 N, F2 5 10 N e F3 5 30 N que são
aplicadas à placa nos pontos indicados.
Para que a placa não tenha rotação em torno do seu centro de massa, pensa-se em aplicar no vértice A uma força.
A alternativa que indica o módulo, a direção e o sentido da força,
respectivamente, satisfazendo esse intento, é:
a) 5,0 N; vertical e para cima.
b) 2,5 N; horizontal e para a direita.
c) 5,0 N; horizontal e para a esquerda.
d) 2,5 N; horizontal e para a esquerda.
e) 5,0 N; vertical e para baixo.
Resolução:
MOF1 5 220 ? 2 5 240 Nm
F
MOF2 5 0
F
CM
F
MOP 5 0
O
P
MOF 5 0
MOF3 5 130 ? 1,5 5 45 Nm
F
MOres 5 240 1 45 5 5 Nm
Para que a placa não tenha rotação em torno do centro de massa O, o momento de F4 deve ser:
MOF4 5 25 Nm.
→
1
→
2
→
3
→
F4 deve fazer a placa girar em torno de O no sentido horário (M , 0).
→
Assim, se F4 for horizontal, deve ter sentido para a esquerda e d 5 2,0 m.
→
Se F4 for vertical, deve ter sentido para cima e d9 5 1,5 m.
→
Se F4 for horizontal para a esquerda e M 5 Fd → 5 5 F4 ? 2 → F4 5 2,5 N.
→
Se F4 for vertical para cima e M 5 Fd9 → 5 5 F4 ? 1,5 → F4 5 10 N
3
Alternativa d.
9 Substitua o sistema de forças que agem sobre o poste mostrado na
figura por uma força resultante e um momento equivalentes em relação ao
ponto O. (Dados: F1 5 50 N; F2 5 30 N; F3 5 40 N; F4 5 90 N.)
FR 5 70 N horizontal para a esquerda e d  15,03 m
Resolução:
→
O módulo de FR é:FR 5 F1 1 F4 2 F2 2 F3
FR 5 140 2 70 5 70 N
→
A direção de FR é horizontal e o sentido é para
a esquerda.
FR
d
→
E
A distância d de FR ao ponto O é dada por:
MFR, O 5 MF1, O 1 MF2, O 1 MF3, O 1 MF4, O
FR ? E0 5 F1 ? A0 2 F2 ? B0 2 F3 ? C0 1 F4 ? D0
70d 5 50 ? 27 2 30 ? 20,2 2 40 ? 14,8 1 90 ? 10
70d 5 1 350 2 606 2 592 1 900
70d 5 1 052
d  15,03 m acima do ponto O.
10 Determine o módulo do momento dos binários das figuras.
→
F
72 Nm
a)
7,65 Nm
b)
→
F
(Dado: F 5 90 N.) Resolução:
a) M 5 Fd
M 5 90 ? 0,8
M 5 72 Nm
(Dados: F 5 15 N e cos 30° 5 0,85.)
b)
F
A
0,6
F
B
m
30°
d
cos 30° 5 d → 0,85 5 d
0,6
0,6
d 5 0,51 m
• Módulo: M 5 Fd → M 5 15 ? 0,51
M 5 7,65 Nm
11 (UERJ) Um menino, de massa 40,0 kg, está sobre uma tábua de 2,00 m de comprimento, a 0,500 m
do apoio A, conforme a figura abaixo:
A
B
Desprezando-se os pesos da tábua e da vara de pescar e considerando-se g  10,0 m/s2, as reações nos apoios
A e B valem em newtons, respectivamente,
a) 360 e 40,0
c) 200 e 200
e) 50,0 e 350
b) 300 e 100
d) 250 e 150
Resolução:
NA
A
NB
2m
0,5 m
B
P
Fres 5 0 → NA 1 NB 2 P 5 0 → NA 1 NB 5 P → NA 1 NB 5 40 ? 10 → NA 1 NB 5 400
A
Mres
5 0 → NA ? 0 2 P ? 0,5 1 NB ? 2 5 0 → 2400 ? 0,5 1 2NB 5 0 → 2NB 5 200 → NB 5 100 N
NA 1 100 5 400 → NA 5 400 2 100 → NA 5 300 N
p. 72
12 Observe o ginasta pendurado nas argolas.
Agora, responda:
a) Se ele se pendura de modo que seu peso seja igualmente dividido entre os
dois anéis, como as leituras das tensões nas duas cordas de sustentação se
comparam com o peso dele?
b) Suponha que ele se pendura de modo que um pouco mais que a metade de
seu peso é sustentado pelo anel da esquerda. Como a leitura da tensão na
corda de sustentação da direita se compara com o peso do ginasta?
Resolução:
a)A leitura em cada tensão seria a metade do peso do ginasta. A soma das duas leituras, então, se
igualaria ao peso dele.
b)Quando a maior parte do peso dele for sustentada pela argola esquerda, a leitura sobre a direita é
menor do que a metade do peso dele. Não importa como ele se pendure, a soma das leituras das
tensões se iguala ao seu peso. Por exemplo, se uma leitura marca dois terços do peso do ginasta, a
outra leitura marcará um terço do peso dele.
13 (Cesupa-PA) Considere o esforço de um atleta que se exercita erguendo seu
corpo repetidas vezes em uma barra, sem tocar os pés no chão, conforme indica
esquematicamente a figura. Nessas condições, analise as afirmativas a seguir.
I.Para se erguer a partir do repouso, a força que a pessoa deve exercer na barra deve
ser maior que seu peso.
II.Quanto mais cansado estiver o atleta, maior a força que deve fazer para erguer
seu corpo.
III.Se a força que a barra exerce sobre a pessoa atua na vertical, para que haja equilíbrio o centro da gravidade da pessoa deve estar na vertical que passa pela barra.
IV.O trabalho mecânico realizado pela força que a barra exerce sobre a pessoa é nulo.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e III
c) I e II
b) II e IV
d) III e IV
Resolução:
I.Correta. Para se erguer a partir do repouso, deve haver uma força resultante para cima, assim a
força que a pessoa exerce na barra é maior que o peso.
II.Errada. A força para erguer o corpo não depende do cansaço do atleta.
III.Correta. Se a vertical que passa pelo centro de gravidade da pessoa não for a mesma vertical
da força que a barra exerce sobre a pessoa, teremos duas forças verticais separadas por
uma distância diferente de zero, formando assim um binário que fará a pessoa girar, não se
caracterizando o equilíbrio.
IV.Errada. Se a pessoa se ergue, há um deslocamento, na direção da força, diferente de zero, fazendo
então o trabalho realizado por esta força ser não-nulo.
Alternativa a.
p. 73
14 (Unifor-CE) Com seis pedaços iguais de corda e três corpos de mesma massa e mesmo formato, um
estudante fez as montagens representadas abaixo.
Nos pedaços de corda, a intensidade da força de tração é:
a) a mesma nas montagens 2 e 3 e menor que na 1.
b) a mesma nas montagens 2 e 3 e maior que na 1.
c) a mesma nas montagens 1, 2 e 3.
d) maior na montagem 3 que na 2.
e) maior na montagem 2 que na 3.
Resolução:
→
60°
60°
T2 � sen 60° T2 � sen 60°→
→
T2
T2
→
T1
T1
60°
30°T
→
T3
3
� sen 30°
T3 � sen 30° 30°
→
30°
30°
T3 � cos 30°
T3
T3 � cos 30°
60°
T2 � cos 60°
T2 � cos 60°
→
P
→
P
→
P
T1TP50
2T 5 P
T1 5 P
2
Alternativa d.
T2 ? sen 60° 1 T2 ? sen 60°  P 5 0
3 5P
2
P 3
T2 5
3
2 ? T2 ?
T3 . T2 . T1
T3 ? sen 30° 1 T3 ? sen 30°  P 5 0
2T ? 1 5 P
2
T3 5 P
15 (Mack-SP) Utilizando-se de cordas ideais, dois garotos, exercendo forças de mesmo módulo, mantêm
em equilíbrio um bloco A, como mostra a figura. Se a força de tração em cada corda tem intensidade de
20 N, a massa do bloco suspenso é: (Adote: g 5 10 m/s2.)
a) 1,0 kg
b) 2,0 kg
c) 3,0 kg
d) 4,0 kg
e) 5,0 kg
Resolução:
Na figura, a tração em cada corda tem intensidade T 5 20 N, e o ângulo entre elas é 120°.
120°
T � 20 N
T � 20 N
120°
120°
P
T�
T�
P
Estando o corpo em equilíbrio, a resultante das forças no ponto P é nula.
T9 5 T 5 P 5 20 N
mg 5 20
m ? 10 5 20
m 5 2 kg
16 (UEL-PR) Um estudante resolve transportar, de um quarto
para outro, os seus livros de estudo. Ele os organiza em duas pilhas
de mesmo peso, amarrando-os da mesma maneira e com barbantes
�
do mesmo carretel. No entanto, ao final, ele percebe que uma das
�
amarrações está um pouco mais frouxa que a outra. Na figura a
seguir, representações das forças envolvidas nas duas amarrações são
mostradas. Assim que o estudante pega as pilhas, pela extremidade
superior da amarração, o barbante de uma das pilhas se rompe. Com
base no texto e nos conhecimentos de mecânica, é correto afirmar
que:
a) o barbante da amarração mais frouxa arrebentou.
b) em condições de equilíbrio, o aumento da componente vertical da tensão no barbante, com a diminuição
do ângulo , determina a ruptura na amarração mais frouxa.
c) em condições de equilíbrio, a dependência da tensão no barbante com o ângulo  determina a ruptura na
amarração mais rente.
d) em condições de equilíbrio, a dependência da tensão no barbante com o ângulo  determina a ruptura na
amarração mais frouxa.
e) o rompimento foi totalmente acidental.
Resolução:
T ? cos  1 T ? cos  5 Mg → 2T ? cos  5 Mg
Mg
T
T
T ? cos  5
2
T � cos �
T � cos �
�
�
Quanto maior o ângulo  (mais rente a amarração), menor é
cos .
T � sen �
T � sen �
Quanto menor cos , maior T para que o produto continue
Mg
sendo
.
2
Assim, o barbante que se rompe é o da amarração mais rente.
Mg
→
→
Alternativa c.
17 Um rolo de papel de peso 20 N está suspenso por um suporte e
permanece em repouso apoiado em uma parede vertical sem atrito. Sabendo
que o suporte tem peso desprezível, determine a intensidade da força de
tração no suporte e da força que a parede aplica no rolo de papel.
40 3
20 3
T5
N e N5
Resolução:
3
3
Representando as forças:
30°
Tx 5 T ? cos 60° 5 T
T
T
2
T
x
3T
Ty 5 T ? sen 60° 5
60°
2
A 60°
N
T
N
Como F 5 0:
P
Ty 5 P → 3 T 5 20 →
2
40 3
40
Τ5
5
N
3
3
N A 5 Tx → N A 5 T →
2
40 3
40 3
20 3
3
NA 5
5
5
N
2
6
3
N A  11,53 N
y
A
x
A
18 (UFPE) O corpo de massa M 5 6,85 kg está suspenso por uma corda
inextensível, ABC, que se apóia na barra inclinada BD. Calcule a força, em newtons,
que atua ao longo da barra BD.
137
F5
(
Resolução:
1 1 3)
T
45°
F
60°
B
F
F 5 0
T ? cos 45° 1 F ? cos 60° 5 P

T ? sen 45°  F ? sen 60° 5 0
P 5 Mg 5 6,85 ? 10 5 68,5 N
sen 45° 5 cos 45° 5
2 , sen 60° 5 3 e cos 60° 5 1
2
2
2

T

T




2 1 F 1 5 68,5
2
2
2 F 3 50
2
2
2 T 1 F 5 137
1
2T 1 3F 50
F 1 3 F 5 137
F (1 1 3 ) 5 137
137
F5
 50,1 N
(1 1 3 )
10
30°
p. 74
Em questões como a 19, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
19 (UFSC) O andaime suspenso (figura 1), conhecido como máquina pesada ou trec-trec, é indicado
para serviços de revestimento externo, colocação de pastilhas, mármores, cerâmicas e serviços de pedreiros.
Um dispositivo situado no andaime permite que o pedreiro controle o sistema de polias para se movimentar
verticalmente ao longo de um prédio. A figura 2 mostra um andaime homogêneo suspenso pelos cabos A,
B, C e D, que passam por polias situadas no topo do edifício e formam ângulos de 90° com o estrado do
andaime.
cabo D
cabo B
cabo C
cabo A
lado
esquerdo
lado
direito
T
S
figura 1
figura 2
estrado
→
→
Chama-se: o peso do andaime de PA , e o seu módulo de PA; o peso de um pedreiro que está no andaime de PP , →
→
→
→
e o seu módulo PP; as tensões exercidas pelos cabos A, B, C e D no andaime de TA , TB , TC e TD, e seus
módulos de TA, TB, TC e TD, respectivamente.
Considerando-se que o segmento de reta auxiliar ST passa pelo centro do estrado dividindo-o em duas
partes de comprimentos iguais e que o andaime não apresenta qualquer movimento de rotação, assinale a(s)
proposição(ões) correta(s).
(01)TA  TB  TC  TD 5 PA  PP, somente se o andaime estiver em repouso.
→
→
→
→
→
→
(02)TA 1 TB 1 TC 1 TD 5 (PA 1 PP) se o andaime estiver descendo e acelerando.
(04)TA  TB 5 TC  TD, se o pedreiro estiver sobre o segmento de reta ST do estrado do andaime, e o
andaime estiver em movimento uniforme na vertical.
(08)TC  TD  TA  TB, somente se o pedreiro estiver mais próximo da extremidade direita do estrado do
andaime, independentemente de o andaime estar em movimento na vertical.
(16)Se o pedreiro estiver mais próximo da extremidade esquerda do estrado do andaime, e o andaime estiver
em repouso, então TA  TB  TC  TD. 04  08  16  28
Resolução:
01.Falsa. A equação relaciona os módulos das forças na situação em que a resultante de forças é
nula. Podemos ter, nesse caso, estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme.
02.Falsa. A equação relaciona as forças para o estado de equilíbrio. O andaime estará em repouso ou
em movimento vertical uniforme ascendente ou descendente.
04.Correta. Em estado de equilíbrio e com o pedreiro no centro do andaime, as trações nos cabos
têm módulos iguais.
08.Correta.
16.Correta.
Corretas: 04 1 08 1 16 5 28
11
20 (Unicamp-SP) Quando um homem está deitado numa rede (de massa desprezível), as forças que esta
aplica na parede formam um ângulo de 30° com a horizontal, e a intensidade de cada uma é de 60 kgf (ver figura).
30°
30°
mg
a) Qual é o peso do homem? 60 kgf
b) O gancho da parede foi mal instalado e resiste apenas até 130 kgf. Quantas crianças de 30 kg a rede
suporta? (Suponha que o ângulo não mude.) no máximo 4 crianças
Resolução:
→
As paredes aplicam na rede forças de reação normal N. Como a rede está em repouso,
N 5 P 1 60 kgf. Isolando as forças atuantes na rede:
→
→
N
N
60°
30°
30°
60°
P
a) Rede em equilíbrio: F 5 0
N ? cos 60° 1 N ? cos 60° 2 P 5 0
2N ? cos 60° 2 P 5 0
1
2N 2  P 5 0
P 5 N 5 60 kgf
b) Na nova situação, N9 5 130 kgf. Logo, Pmáx 5 130 kgf. Cada criança pesa 30 kgf.
Pmáx
130
 5 30 →  5 30  4,3
Portanto, a rede suporta quatro crianças no máximo.
12
21 Determine a intensidade da força em cada cabo e a massa
do corpo M pendurado para manter o lustre de 2 kg na posição
indicada na figura. (Considere g 5 10 m/s2.)
T1 5 20 3 , T2 5 20, T3 5 20 e M 5 2 kg
A
D
60
Resolução:
Representando as forças:
B
30
30
E
C
30
T1
F
60°
B
30°
M
T2
T2
PL
T3
30°
30°
C
T3y
T2
T3
T2y
30°
PC
PL 5 mg → PL 5 2 ? 10 5 20 N
Decompondo as forças:
T1
T2x 5 T2 ? cos 30° 5
T2y
T2y 5 T2 ? sen 30° 5
T2
PL
T1x 5 T1 ? cos 60° 5
T1
2
3 T2
2
3 T1
T1y 5 T1 ? sen 60° 5
2
T
T2y 5 T2 ? sen 30° 5 2
2
Como F 5 0, temos:
T2x 5 T2 ? cos 30° 5
T2x 5 T1x →
3 T2
T
5 1
2
2
T1 5 3 T2
T1y 5 T2y 1 P →
3 T2
2
T2
2
3 T3
T3x 5 T3 ? cos 30° 5
2
T3
T3y 5 T3 ? sen 30° 5
2
Como F 5 0, temos:
3 T3
T2x 5 T3x → 3 T2 5
2
2
T2 5 T3 5 20 N
T
T
T3y 1 T2y 5 PM → 3 1 2 5 PM
2
2
10 1 10 5 PM
PM 5 20 N
T2x
30°
B
T3x
PM
T2y
60°
T1x
30°
T2x
T
3 T1
5 2 1 20
2
2
3 T1 5 T2 1 40
3 ? 3 T2 5 T2 1 40
T2 5 20 N
T1 5 20 3 N
13
22 (Fafi/BH-MG) Os blocos A e B da figura pesam, respectivamente,
980 N e 196 N. O sistema está em repouso. Afirma-se:
(Dados: cos 45° 5 0,707; sen 45° 5 0,707; µK 5 0,30.)
a) A força de atrito estático entre A e a superfície horizontal vale 196 N.
b) A reação normal do plano sobre A vale 196 N.
c) Há uma força de 294 N puxando o bloco A para a direita.
d) O bloco A não pode se mover, porque não há força puxando-o para a direita.
e) O bloco B não pode se mover, porque não há força puxando-o para baixo.
Resolução:
→
Fat
→
TA
A
FB 5 0 → TB 5 PB 5 196 N
T ? sen 45° 5 TB
FC 5 0 →  C
→ TA 5 TB 5 196 N
TC ? cos 45° 5 TA
N 5 PA 5 980 N
FA 5 0 →  A
Fat 5 TA 5 196 N
→
→
NA
TC
→
TA C
45°
→
TB
→
PA
→
TB
B
→
PB
23 (Fuvest-SP) Três cilindros iguais, A, B e C, cada um com massa M e raio R, são
mantidos empilhados, com seus eixos horizontais, por meio de muretas laterais verticais,
como mostra a figura. Desprezando qualquer efeito de atrito, determine, em função de M
e g, o módulo da força:
→
a) FAB que o cilindro A exerce sobre o cilindro B; FAB 5 Mg
A
B
C
→
b) FPB que o piso exerce sobre o cilindro B; FPB 5 1,9 Mg
→
c) FMC que a mureta exerce sobre o cilindro C. FMC 5 0,5 Mg
FCA � F
(1)
FBA � F
120°
30°
30°
Resolução:
A
30°
30°
30°
30°
Mg
30°
60°
FAB�F1
FMB�F3
FY
Mg
B
FMC�F3
C F
Y
Levando-se em conta o princípio da ação-reação e
a simetria da figura, podemos escrever:
→
→
→
→
(I) FAB 5 FBA 5 FAC 5 FCA 5 F1
(II) PB 5 PC 5 F2
(III) FMB 5 FMC 5 F3
FPC�F2
FX
60°
30°
FPB�F2
FX
FAC�F
Mg
a) A condição de equilíbrio de A permite a construção do triângulo 1. Aplicando-se o teorema dos
senos neste triângulo:
F1
Mg 3
Mg
Mg
5
→ F1 5
 FAB 5
sen 30°
sen 120°
3
3
A condição de equilíbrio da esfera B permite escrever:
F2 5 Mg 1 Fy → F2 5 Mg 1 F1 ? cos 30° (IV)
F3 5 Fx → F3 5 F2 ? cos 60° (V)
b) Da expressão (IV): F2 5 2 Mg → FPB 5 3 Mg
3
2
Mg 3
Mg 3
c) Da expressão (V): F3 5
? 1 → FMC 5
3
2
6
14
p. 80
24 Responda:
a) Você pode afirmar que nenhuma força atua sobre um corpo em repouso? Ou é mais correto dizer que
nenhuma força resultante atua nele? Justifique sua resposta.
b) Que condições deve satisfazer um corpo extenso para manter seu equilíbrio?
Resolução:
a) Quando um corpo encontra-se em repouso podemos afirmar que a resultante das forças sobre ele
é nula.
b) A soma das forças e dos momentos deve ser nula.
25 Você dispõe de: 1 ovo, 1 brinquedo do tipo joão-teimoso, um cilindro de madeira e uma esfera
também de madeira. Chamando-os de “corpos”, sua tarefa é a seguinte:
– crie, desenhe ou descreva situações usando esses objetos de modo que estejam em equilíbrio estável,
indiferente e instável.
Resposta pessoal.
26 (UFMG) Gabriel está na ponta de um trampolim, que está fixo em duas estacas – I e II –, como representado na figura.
→
→
Sejam FI e FII as forças que as estacas I e II fazem, respectivamente, no trampolim.
Com base nessas informações, é correto afirmar que
essas forças estão na direção vertical e:
→
→
a) têm sentido contrário, F I para cima e F II para baixo.
II
b) ambas têm sentido para baixo.
→
→
I
c) têm sentido contrário, F I para baixo e F II para cima.
d) ambas têm sentido para cima.
Resolução:
→
F II
→
FI
→
P
→
P faz a barra puxar a estaca I para cima, de modo que a estaca reage puxando o trampolim para baixo.
→
Para que a resultante das forças seja nula, FII deve estar para cima.
Alternativa c.
15
p. 81
27 (UFJF-MG) Quando uma pessoa machuca um dos lados do quadril e necessita utilizar uma bengala,
essa deve ser utilizada do lado oposto ao do lado machucado do quadril (figura abaixo). Suponha que a força
que o solo faz sobre a bengala seja igual a 1 do peso da pessoa e que a perna e a bengala estejam na vertical.
6
centro de
massa
x
y
Desprezando a massa da bengala e ignorando o fato de que o braço que segura a bengala tenha se movido (o
que modificaria a posição do centro da massa), calcule na situação de equilíbrio estático:
a) a força que o solo fará sobre a perna do lado do quadril machucado; Fsolo 5 5 P
6
b) a distância horizontal x que o pé da perna do lado do quadril machucado deve estar da posição horizontal
do centro da massa, se a bengala estiver a uma distância y igual a 50 cm da linha horizontal onde se
encontra o centro da massa do homem. 10 cm
Resolução:
Esquematizando a situação e marcando as forças atuantes:
→
→
Fsolo
F
O
x
→
y
P
a) Na situação de equilíbrio, podemos escrever:
f 5 0 → Fsolo 1 F 5 P → Fsolo 5 P 2 F
Mas F 5 1 P.
6
1
5
Fsolo 5 P  6 P → Fsolo 5 6 P
b) MO 5 0 → 2 Fsolox 1 Fy 5 0 →
5 Px 1 1 P ? 50 5 0
6
6
5x 5 50 → x 5 10 cm
16
28 Para impedir o livre trânsito numa garagem, foi instalada uma cancela constituída por um longo cano
que pode girar em torno do eixo O, como na figura.
Suponha os seguintes valores: a 5 1 m; massa da parte
a 5 2 kg; b 5 5 m; massa da parte b 5 10 kg; g 5 10 m/s2.
Para efeito de cálculo, os pesos de cada parte estão
aplicados nos pontos médios de a e de b. Suponha que o
lastro L tenha massa de 20 kg e se concentre no ponto
A. Despreze o atrito no eixo. O lastro, que é uma massa adicional, auxilia a pessoa que opera a cancela de
modo que, com um pequeno esforço, ela pode elevar ou baixar o dispositivo.
Calcule a força mínima necessária a ser aplicada à extremidade A para elevar a cancela. 40 N
Resolução:
Quando a cancela começa a se elevar, deixa de manter contato com o ponto B. Então, NB 5 0.
Isolando as forças:
NO
0,5 m 0,5 m
2,5 m
Pa 5 20 N

Pb 5 100 N
P 5 200 N
 L
2,5 m
O
PL
Pa
Pb
F
OM 5 0
MPL, O 1 MF, O 1 MPa, O 1 MNO, O 1 MPb, O 5 0
PL ? 1 1 F ? 1 1 Pa ? 0,5 1 0 2 Pb ? 2,5 5 0
200 ? 1 1 F ? 1 1 20 ? 0,5 1 0 2 100 ? 2,5 5 0
200 1 F 1 10 2 250 5 0
F 5 40 N
29 A roda da bicicleta mostrada na figura tem peso 30 N e
raio 25 cm e está encostada num degrau de altura 5 cm. Aplica-se
→
→
ao eixo da roda uma força horizontal F . Qual a intensidade de F a
partir da qual a roda sobe o degrau? F  22,5 N
→
F
Resolução:
Representando as forças sobre a roda:
5 cm
NA
F
O
R � 25 cm
y
P
20 cm
x
A
5 cm
y 5 R 2 5 → y 5 25 2 5 → y 5 20 cm 5 0,2 m
R2 5 x2 1 y2 → 252 5 x2 1 202
625 5 x2 1 400
x2 5 225
x 5 15 cm ou x 5 0,15 m
Na iminência de movimento da roda:
0
M A 5 0 → M N A, A 1 MP, A 1 MF, A 5 0
Px  Fy 5 0
30 ? 0,15  F ? 0,2 5 0
F 5 22,5 N
Logo, F . 22,5 N.
17
30 (Cefet-PR) Na figura ao lado, a haste AB, de peso desprezível, é articulada em A
e mantida em equilíbrio estático através do cabo BC de peso desprezível. Dos gráficos
que seguem, qual mostra corretamente a tração T no fio BC em função da distância x,
sabendo que o cursor D, de peso P, tem dimensões desprezíveis?
a)
c)
e)
b) x
d)
Resolução:
C
→
→
RA
T
�
A
B
→
P
Alternativa d.
MAres 5 0
RA ? 0 2 Px 1 T ? sen  ? AB 5 0
T ? AC ? AB 5 Px
CB
P ? CB
T5
? x → função do 1º. grau em x, portanto é uma reta crescente que AC ? AB
passa pelo ponto (0,0).
constante
31 Uma barra rígida e homogênea, com comprimento de 2,40 m e peso de 600 N, tem um extremo apoiado num piso horizontal com atrito desprezível e o
outro suspenso por um fio vertical, conforme mostra a figura. A tração máxima
que o fio pode suportar é 600 N. Um homem com peso de 800 N pode postar-se,
sem que o fio se rompa, até x metros do fio. Determine x. x  1,5 m
Resolução:
Isolando a barra e indicando as forças:
horizontal
T
1,2
1,2
m
x
PH
PB
N
A
m
�
a
b
c
vertical
a 5 1,2 ? cos 
b 5 (2,4 2 x) cos 
c 5 2,4 cos 
Como a barra está em equilíbrio,
→
→
→
 A M 5 0 → MPBA 1 MPHA 1 M TA 5 0
PBa  PHb 1 Tc 5 0
600 ? 1,2 cos   800 (2,4  x) cos  1 600 ? 2,4 cos  5 0
720  1 920 1 800x 1 1 440 5 0
x 5 1,5 m
18
p. 82
32 (UFPE) A figura mostra uma barra homogênea,
de comprimento L 5 1,0 m, presa ao teto nos pontos
A e B por molas ideais, iguais de constante elástica
k 5 1,0 × 102 N/m. A que distância do centro da barra,
em centímetros, deve ser pendurado um jarro de
massa m 5 2,0 kg, de modo que a barra permaneça na
horizontal? 25 cm
k1 = k2 = k
Resolução:
A soma dos momentos das forças em relação ao centro da barra deve ser nula.
mgx 1 k1e1 L 5 k 2e 2 L , em que e1 e e2 são as distensões das molas, tais que e2 2 e1 5 h.
2
2
2
1
10 ? 10 ? 1
x 5 khL 5
5 0,25 m 5 25 cm
2mg
(2 ? 2 ? 10)
Os móbiles são uma criação de Alexander Calder (1898-1976), considerado
um dos mais inovadores e originais artistas americanos do século XX. Com
seus móbiles e suas esculturas, Calder ousou atribuir movimento ao que
sempre fora estático e ajudou a redefinir determinados princípios básicos das
artes plásticas, a partir da associação entre movimento e equilíbrio.
Candido Portinari - Meninos com Carneiro. 1959
Alexander Calder - 125. 1961. Foto: Dmitri Kessel/Time Life Pictures/Getty Images
33 (PUC-SP) Equilíbrio: Ciência e arte
A noção de equilíbrio estático ou dinâmico adotada pela Física está presente em várias manifestações
artísticas. Nas figuras, podemos observar três exemplos.
A tela de Candido Portinari (1903-1962) retrata um pouco daquilo que
chamamos de mundo do artista. O universo de Portinari contém a gente e a
paisagem do Brasil. Sua pintura, de grande inspiração social, traz a felicidade
de crianças brincando, mostra trabalhadores e mulheres em sua miséria,
descritos sem aflição, transmitindo-nos a idéia de que a vida que deles exala
vale a pena ser vivida. O que existe é sempre a tensão, o portentoso equilíbrio
de tudo que pintou: o arco num mundo, a corda do arco em outro.
Meninos com Carneiro, 1959.
19
O menino do Grande Circo de Pequim, apoiando-se
apenas em um fino fio de metal, produz, com sua
capacidade de equilibrar-se, um momento mágico de
beleza de uma arte popular em todo o mundo.
Menino equilibrista do Circo de Pequim, 1997.
Responda:
a) Suponha que, na tela de Portinari, o menino no balanço esteja em equilíbrio e que a massa do conjunto
menino  balanço seja de 45 kg. Qual é a intensidade da força de tração em cada uma das cordas
que sustentam o balanço? Suponha que o menino esteja eqüidistante das cordas verticais que são
inextensíveis e possuem massa desprezível. Dê sua resposta em unidades do Sistema Internacional. 225 N
b) Na tela de Portinari, apesar de parecer, em alguns aspectos, desproporcional, a imagem do garoto em
equilíbrio apoiado em apenas uma das mãos retrata uma situação possível de ocorrer. Se considerarmos
a mão do garoto como ponto de apoio, qual a condição geométrica que o centro de gravidade do garoto e
sua mão devem satisfazer para que ocorra o equilíbrio? O centro de gravidade do garoto e seu ponto de
apoio (sua mão) devem estar na mesma vertical, ou seja, alinhados com a força peso.
c) Observando a foto do menino equilibrista, nota-se que o fio no qual ele está apoiado inclina-se sob a ação
do seu peso. Supondo que a corda, tanto à frente quanto às costas do menino, inclina-se 37° em relação à
horizontal, e que o fio seja inextensível e de massa desprezível, calcule a intensidade da força de tração no
fio. Considere a massa do garoto igual a 45 kg. Use sen 37°  0,6 e cos 37°  0,8. 375 N
d) Seu trabalho nesta questão será o de projetar adequadamente um móbile, segundo os princípios físicos
que regem o equilíbrio.
Móbile: escultura abstrata móvel, que consta de elementos individuais leves, suspensos
artisticamente no espaço por fios, de maneira equilibrada e harmoniosa.
Sólidos que deverão ser amarrados individualmente às extremidades das hastes.
1 sólido de massa 60 g
1 sólido de massa 15 g
1 sólido de massa 25 g
Fios ideais tanto quanto se necessite.
Para essa criação você dispõe dos seguintes elementos:
30 cm
1 haste de massa desprezível de 30 cm de comprimento que deve ser amarrada em um único fio que vai
ao teto e estar disposta horizontalmente.
20 cm
1 haste de massa desprezível de 20 cm de comprimento que deve estar disposta horizontalmente e
suspensa por um único fio amarrado a uma das extremidades da haste maior.
20
Na sua figura, deverão estar indicadas numericamente, em cada haste, as distâncias entre as extremidades e
o ponto de suspensão.
e) Uma prancha de madeira de massa desprezível e de 2 m de comprimento foi colocada sobre um cilindro
que pode rolar sobre o piso de modo que as distâncias entre as extremidades e o contato da prancha com
o cilindro possam variar. Sobre uma das extremidades da prancha foi fixado um corpo A de massa 4 kg.
A
Fixando-se um corpo B sobre a outra extremidade da prancha, será possível estabelecer equilíbrio de
modo que a prancha fique na horizontal. Para cada valor de massa do corpo B, o equilíbrio ocorrerá
apenas para uma determinada distância correspondente de B até o ponto de apoio da prancha no cilindro.
Dessa forma, é possível estabelecer uma função, relacionando a massa do corpo B à distância entre esse
corpo e o ponto de apoio da prancha no cilindro.
Sendo x a massa do corpo B (suposta não-nula) e y a distância de B ao ponto de apoio da prancha, com
a prancha na horizontal, determine a equação matemática da função y 5 f(x). Escreva o domínio e a
imagem dessa função.
Considere que o raio do cilindro é muito pequeno quando comparado ao comprimento da prancha e que
A e B são pontos materiais. Df  { x  IR | x  0} e Imf  { y  IR | 0  y  2}
Resolução:
a) No equilíbrio da balança, temos:
T
T
2T 5 P → 2T 5 Mg
2T 5 45 ? 10
T 5 225 N
P � Mg
b) O centro de gravidade do garoto e o ponto de apoio (mão do garoto) entre o garoto e o chão devem estar na mesma vertical, ou seja, alinhados na direção da força peso.
CG
→
P
c)
→
FN
T
Ty
Ty
37°
T
37°
Tx
TX
ponto de apoio
No equilíbrio, temos:
2Ty 5 P → 2 ? T ? sen 37º 5 P
2 ? T ? 0,6 5 450
T 5 375 N
P
d) Um caso possível é:
T1
a
a
30 � a
A
30 � a
A
Px
Py � Pz � T2
T2
b
X
20 � b
B
b
20 � b
60 g
Y
15 g
Z
25 g
21
Py
Pz
A soma dos momentos em relação ao ponto B é nula.
BM 5 0 → Pyb 5 Pz (20 2 b) → Mygb 5 Mzg (20 2 b)
15b 5 25 (20 2 b)
b 5 12,5 cm
A soma dos momentos em relação ao ponto A é nula.
AM 5 0 → Pxa 5 (Py 1 Pz) ? (30 2 a)
Mxga 5 (Myg 1 Mzg) ? (30 2 a)
60a 5 (15 1 25 ) ? (30 2 a)
a 5 12 cm
Daí, vem: a 5 12 cm, 30 2 a 5 18 cm, b 5 12,5 cm e 20 2 b 5 7,5 cm
y
2�y
e)
N
B
O
A
y
2�y
O
PB � 10x
PA � 40 N
O M 5 0 → PBy 5 PA(2 2 y) → 10xy 5 40(2 2 y)
8
8
y5
ou f(x) 5
x
1
4
x
1
4
Sendo x a massa do corpo B, em quilogramas, temos:
Df 5 {x  IR  x  0} e Imf 5 {y  IR  0  y  2}
p. 87
34 Pedro balança-se ano após ano em sua cadeirinha de pintor. Ele pesa 500 N e a corda, sem que ele saiba, tem um
ponto de ruptura de 300 N. Por que a corda não se rompe
quando ele é sustentado, como ilustrado no lado esquerdo da
figura ao lado? Um dia ele está pintando próximo a um mastro
de bandeira e resolve amarrar a extremidade livre da corda ao
mastro em vez de amarrá-la a sua cadeira, como ilustrado à
direita. Por que Pedro acaba tendo uma má idéia? Justifique.
Resolução:
Na primeira situação, o peso de Pedro (500 N) é dividido entre as duas trações, suportando 250 N
cada uma. Na segunda situação, todo o peso de Pedro é suportado somente por uma força de tração,
fazendo com que a corda se rompa.
35 Faça um esquema usando polias, de modo a ajudar Osmar Manjo a minimizar seu esforço.
Resposta pessoal.
22
36 (Unicamp-SP) O bíceps é um dos músculos envolvidos no processo de dobrar nossos braços.
Esse músculo funciona num sistema de alavanca, como é mostrado na figura a seguir. O simples ato de
equilibrarmos um objeto na palma da mão, estando o braço em posição vertical e o antebraço em posição
→
→
horizontal, é o resultado de um equilíbrio das seguintes forças: o peso P do objeto, a força F que o bíceps
→
exerce sobre um dos ossos do antebraço e a força C que o osso do braço exerce sobre o cotovelo. A distância
do cotovelo até a palma da mão é a 5 0,30 m, e a distância do cotovelo ao ponto em que o bíceps está ligado
a um dos ossos do antebraço é d 5 0,04 m. O objeto que a pessoa está segurando tem massa M 5 2,0 kg.
Despreze o peso do antebraço e da mão.
F1
18 cm
16 cm
F3
O
F2
4m
→
a) Determine a força F que o bíceps deve exercer no antebraço. 150 N
→
b) Determine a força C que o osso do braço exerce nos ossos do antebraço. 130 N
Resolução:
Considerando-se que a força de contato que o objeto aplica sobre a mão tem a mesma intensidade
que o peso do objeto:
P 5 mg 5 2 ? 10 5 20 N
1) O braço se encontra em equilíbrio de translação:
F 5 P 1 C → F 5 20 1 C (1)
2) O braço se encontra em equilíbrio de rotação; assim, a somatória dos momentos das forças em relação a qualquer ponto é nula.
a) Escolhendo-se o cotovelo como pólo:
Fd 2 Pa 5 0 → F ? 0,04 2 20 ? 0,3 5 0 → F 5 150 N
b) Voltando-se à equação (1):
150 5 20 1 C → C 5 130 N
23
37 (FEI-SP) Em um edifício em construção, um guindaste possui contrapeso de massa de 2 000 kg. O
esquema do guindaste está indicado abaixo. Aproximadamente, qual é a máxima carga que o guindaste pode
elevar?
a) 1 200,0 kg
c) 500,0 kg
e) 800,0 kg
b) 333,5 kg
d) 666,7 kg
carga
contrapeso
Resolução:
O guindaste pode elevar cargas que, no máximo, exerçam um momento, em relação ao ponto de
apoio (O), de mesmo módulo que o momento exercido, em relação a esse ponto, pelo contrapeso.
2m
6m
O
FCP
FC
FC
contrapeso
carga
PC
PCP
MFCP 5 MFC → FCP ? 2 5 FC ? 6 → PCP ? 2 5 PC ? 6 → 2 000g ? 2 5 mcg ? 6 → mc 5 666,7 kg
p. 88
38 O esquema representa uma balança romana. Com o prato vazio e o cursor em A, ela se equilibra na
horizontal. A massa do cursor é mc 5 100 g. Com massa adicional M no prato, a balança se equilibra com o
cursor levado a B. Calcule o valor da massa M da carga. 300 g
Resolução:
Com o prato vazio:
100 mm
50 mm
PC
Pprato
PC ? 50 5 Pprato ? 100 → 100g ? 50 5 mpg ? 100
mp 5 50g
Quando o prato recebe a massa M:
(Pp 1 PM) ? 100 5 PC ? 350 →
(mpg 1 Mg) ? 100 5 100g ? 350
(50 1 M) 5 350 → M 5 300 g
24
39 (UFU-MG) Para cortar um arame, uma pessoa
FP
2,0 cm
8,0 cm
FC
→
deve aplicar ao cabo de um alicate uma força Fc de 200 N,
conforme ilustra a figura. Determine:
→
a) a intensidade do torque de Fc em relação ao ponto O; 16 Nm
→
b) a intensidade da força Fp que corta o arame. 800 N
Resolução:
→
a) MFc, 0 5 Fcdc
FP
→
ponto O
FC
→
MFc, 0 5 200 ? 0,08 5 16 Nm
→
→
b)  M0 5 0 → Fpdp  Fcdc 5 0
dc 5 0,08 m
Fp ? 0,02  16 5 0
dp 5 0,02 m
Fp 5 16 5 800 N
0,02
40 (Fuvest-SP) Uma prancha rígida, de 8 m de comprimento, está apoiada no chão (em A) e em
um suporte P, como na figura. Uma pessoa, que pesa metade do peso da prancha, começa a caminhar
lentamente sobre ela, a partir de A. Pode-se afirmar que a prancha desencostará do chão (A), quando os pés
dessa pessoa estiverem à direita de P, e a uma distância desse ponto aproximadamente igual a:
a) 1,0 m
c) 2,0 m
e) 3,0 m
b) 1,5 m
d) 2,5 m
Resolução:
Quando a prancha desencostar do chão, pode-se representar a situação descrita de acordo com a
figura:
x
x
Ä
Ä
P
P
E o sistema de forças aplicadas na prancha é:
F1
F1
x
x
P
P
F2
F2
1m
1m
F3
F3
 F2 : intensidade do peso da prancha

em que 
F2
 F3 5 2 : intensidade da normal que a pessoa apliica na prancha
Como a soma dos momentos das forças aplicadas na prancha deve ser nula, tem-se em relação ao
ponto P:
F
F2 ? 1  2 x 5 0 → x 5 2 m
2
25
41 Determine o número de polias móveis que deve ter uma talha exponencial para sustentar um peso de
800 N aplicando uma força motriz de 25 N. 5 polias móveis
Resolução:
R 5 800 N
Fm 5 25 N
F 5 Rn → 25 5 800
→ 2n 5 800
n
25
2
2
n
2 5 32
2n 5 25
n 5 5 polias móveis
42 Uma barra de peso desprezível pode girar num plano vertical em torno do ponto O e é mantida em
equilíbrio por dois pesos, P1 e P2.
Sabendo que OB 5 1 OA e P1 5 42 N, calcule P2. 5,25 N
4
Resolução:
Isolando a barra:
2P1
O
B
A
P1
Se a barra está em equilíbrio:
→
→
OM 5 0 → M p1, O 1 M 2p2, O 5 0
P1 ? OB 1 2P2 ? OA 5 0
42 ? 1 ? OA 1 2P2 ? OA 5 0
4
10,5 1 2P2 5 0
P2 5 5,25 N
26
43 (FEI-SP) No porto de Santos existe um guindaste para carregar contêiner. Sabendo-se que o mesmo
possui um esquema de polias, como esquematizado abaixo, e que a máxima força que o motor faz no cabo
é de 450 kgf, determine o peso máximo que esse contêiner pode ter para que o guindaste possa levantá-lo.
(Obs.: desprezar o atrito.) 14 400 kgf
motor
contêiner
Resolução:
Como são 5 polias móveis:
F 5 Rn → 450 5 R5
2
2
450 5 R
32
R 5 14 400 kgf
27