Matemática Financeira Integral
Objetivos deste Estudo
Saber manipular as diversas fórmulas da MF;
Analisar Investimentos analisar e manipular fluxos de caixa;
Melhorar sua capacidade de planejar gastos para gerir melhor suas finanças;
Garantir seu futuro financeiro;
Aumentar a capacidade de poupar;
Garantir seu futuro financeiro.
Relação entre Matemática Financeira e Demais Disciplinas
A matemática é um todo, a Matemática Fiannceira estuda a evolução de fluxos de caixa
no tempo como forma de auxiliar na tomada de decisões;
A solução de problemas complexos envolve o conhecimento e disciplina.
Investimentos
O que é investir?
– É fazer o dinheiro crescer;
O que é poupar ?
– Abrir mão de usufruir no presente para poder usufruir melhor no futuro.
Poupar x Investir
Primeira batalha : poupar;
Segunda batalha : investir e fazer o dinheiro crescer;
Vencer a guerra: é usufruir do patrimônio acumulado.
Opções de Investimentos
Fundos de Investimentos e Renda Fixa
Ações
Imóveis
Negócio Próprio
Monitore seus gastos! Este deve ser um compromisso com você mesmo.
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Pag. 2
Matemática Financeira Integral
A função da Matemática Financeira
A matemática financeira tem por função estudar as várias formas de evolução do valor do
dinheiro no tempo. A partir dela podemos gerar análise e comparações que nos permitam
definir as melhores alternativas para a aplicação ou obtenção de recursos financeiros.
Vários termos são utilizados quando trabalhamos nesta área. Os principais deles são:
Capital: Capital ou principal é o valor monetário disponível em um momento.
Juros: É o preço do dinheiro. Ao se tomar uma certa quantia emprestada por um
determinado período de tempo, seria o valor do aluguel a ser pago por este empréstimo.
Taxa de juros: É o valor percentual que será aplicado sobre a quantia devida, para a
apuração dos juros.
Período: É o período de tempo da aplicação.
Montante: Montante ou capital final é a soma do principal com os juros resultantes da
operação.
Além destes cinco termos principais, ainda existe o regime de capitalização, que é
classificado em capitalização simples e capitalização composta.
Na capitalização simples somente o valor principal rende juros, ou seja, os juros são
calculados aplicando-se a taxa de juros sempre sobre o valor do capital inicial, ao longo de
todo o período. Em outras palavras, não é gerado juro sobre juro.
Na capitalização composta, os juros produzidos ao final de um período são integrados ao
cálculo do período seguinte, gerando assim juro sobre juro.
É importante frisar que a taxa de juros e o período devem estar na mesma unidade de
tempo. Se a taxa de juros for ao mês, por exemplo, o período deverá estar em meses.
Após esta breve introdução, para um detalhamento da matéria, veja também os demais
tópicos relacionados. Sugerimos que você comece pelo cálculo de juros simples, onde
definimos as variáveis envolvidas nos cálculos e depois parta para o cálculo de juros
compostos.
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Matemática Financeira Integral
CAP. 01. A CALCULADORA HP12C
A calculadora HP12C é uma calculadora financeira programável utilizada na execução de
cálculos financeiros envolvendo juros compostos, taxas de retorno, amortização. A HP12C
utiliza método RPN e introduziu o conceito de fluxo de caixa nas calculadoras, utilizando
sinais distintos para entrada e saída de recursos.
Foi lançada pela empresa de informática e tecnologia estadunidense Hewlett-Packard em 1981,
em substituição às calculadoras HP38E e 38C. Para oferecer uma alternativa com
menor custo, a empresa brasileira BrtC lançou a calculadora FC-12, o seu segundo
modelo de calculadora financeira e uma calculadora similar à HP12C Platinum
(incluindo as funções financeiras e o método RPN e algébrico).
Conquanto
rejeitado
em
primeira
apreciação
por
parte
da
maioria
dos
utilizadores, sob a alegação de ser "muito difícil, preferindo-se a convencional",
tudo não passa de apenas impressão primeira de quem não tem familiaridade
com a nova notação e, pois, com as suas vantagens. Quer na computação
automatizada, quer no cálculo manual assistido por instrumentos de cálculo, a
notação polonesa reversa (RPN) apresenta as seguintes vantagens:
1. Reduz o número de passos lógicos para se perfazerem operações binárias
e, posto que as demais operações são ou binárias puras compostas, ou
binárias compostas com unitárias ou apenas unitárias, o número total de
passos lógicos necessários a um determinado cômputo será sempre menor
que aquele que utiliza a sintaxe convencional (lógica algébrica direta);
2. Trabalha com pares ordenados a priori, somente definindo a lei de composição
binária aplicável após a eleição e a introdução do desejado par no cenário
de cálculo. Até o momento final, se poderá decidir pela troca ou pela
permanência da operação original.
3. Minimiza os erros de computação, automática ou manual assistida;
4. Maximiza a velocidade operacional na solução de problemas.
Tudo isso pode ser facilmente constatado na tabela a seguir, por meio de
contagem de números de passos lógicos operacionais para o modo RPN
comparado com o modo convencional.
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Matemática Financeira Integral
Notação Polonesa Inversa
RPN na
sigla
em inglês,,
de Reverse Polish Notation,,
também
conhecida
como notação pós-fixada, foi inventada pelo filósofo e cientista da computação
australiano Charles Hamblin em meados dos anos 1950,, para habilitar
armazenamento de memória de endereço zero. Ela deriva da notação polonesa,
polonesa
Ela deriva da notação polonesa,
polonesa introduzida em 1920 pelo matemático polonês
Jan em 1920 pelo matemático polonês Jan Łukasiewicz.
A notação RPN tem larga utilização no mundo científico pela fama de permitir
uma linha de raciocínio mais direta durante a formulação e por dispensar o uso
de parênteses mas mesmo assim manter a ordem de resolução.
ALGUNS EXEMPLOS DE OPERAÇÕES E NOTAÇÕES
NO
Operação
Notação convencional
Notação Polonesa
Notação Polonesa Inversa
a+b
+ab
ab+
(a+b)/c
/+abc
ab+c/
((a*b)-(c*d))/(e*f)
/-*ab*cd*ef
ab*cd*-ef*/
Cálculos básicos comuns
Diferentemente das calculadoras convencionais, que utilizam o método algébrico convencional,
convencional as HPs
financeiras, utilizam o método Notação Polonesa Inversa,
Inversa (RPN na sigla em inglês,, de Reverse Polish
Notation),
), que permite uma linha de raciocínio mais direta durante a formulação e melhor utilização da
memória.
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Matemática Financeira Integral
Por utilizar a notação RPN, a HP 12C exige um algoritmo (seqüência de passos) de cálculo diferenciado
para a sua utilização. Por exemplo, para que se possa somar dois valores é preciso realizar a seguinte
operação:
•
primeiro valor
•
Tecla [ENTER]
•
segundo valor
•
Tecla [+]
Cálculos financeiros básicos
Para a realização de cálculos financeiros básicos com a HP 12C (cálculos de juros simples ou compostos)
é preciso estar ciente das seguintes teclas:
n = Indica o prazo que deve ser considerado. Pode ser dado em dias, meses, trimestres, anos, desde
que de acordo com a taxa de juros.
I = Significa interest (juros, em inglês).Indica a taxa de juros usada no trabalho com o capital. Deve estar
de acordo com o indicador de tempo.
PV = Significa Present Value (valor presente, em inglês). É o capital inicial sobre o qual os juros, prazos e
amortizações serão aplicados.
FV = Significa Future Value (valor futuro, em inglês). É o montante final resultante da soma dos juros
acumulados com o Capital inicial, descontados os pagamentos, caso existam.
PMT = Significa Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês. É o valor de uma
parcela que pode ser adicionada ou subtraída do montante a cada período.
Para realizar cálculos nessa modalidade é necessário informar pelo menos 3 informações iniciais e
obteremos uma outra como resposta. É importante ter em mente que [PV] e [FV] terão sempre valores
com sinais opostos, pois se um representar uma saída de caixa, o outro será uma entrada de caixa. Caso
o cálculo exija que sejam inseridos [PV] e [FV] simultaneamente para a obtenção de [i], [n] ou [PMT], deve
ser pressionado [CHS] (chang signal) antes da inserção de um dos dois.
Exercícios:
1. Se tenho R$ 1.500,00 aplicado na poupança e for colocando R$ 100,00 todos os meses durante 10
anos (120 meses), quanto vou ter no final? (taxa anual nominal da poupança: 6% a.a., mas que é
capitalizada mensalmente. Assim, a taxa mensal é de 0,5% (a.m.), que capitalizada (composta) em 12
meses, resulta em 6,1678% a.a.. Deve-se digitar os valores e apertar os botões indicados:
1500 <CHS> <PV>
100 <CHS> <PMT>
0.5 < i >
120 <n>
<FV>
Resultado: R$ 19.117,03.
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Matemática Financeira Integral
2. Se nasci em 18 de maio de 1970, hoje completo quantos dias de existência? Deve-se digitar as datas
(com os pontos) e apertar os botões indicados:
<g> <D.MY>
18.051970 <Enter>
31.032009 <g> <∆DYS>
PROGRAMAÇÃO
A HP 12C é uma calculadora programável,e permite que se instalem programas para séries de cálculos
repetitivos,equações e outros aplicativos. No modo "RUN" serão introduzidas as variáveis seguidas da
instrução de execução "R/S".A mudança para o modo de programação se faz com o uso da função
"P/R",que será novamente pressionada após a introdução do programa desejado.A capacidade de
programação em número de linhas é diferente entre os modelos Gold , Platinum e Prestige,sendo de 99
para a primeira e 410 para as outras.Assim as linhas da Gold são designadas de 00 a 99 e nas outras de
000 a 410.Para programar usando a lógica RPN o usuário necessita conhecer apenas 9 funções
específicas para programação.(P/R,R/S,PSE,SST,BST,PRGM,GTO,x=0,x<>y).É principalmente em
programação que se destaca a vantagem do uso da lógica RPN sobre a algébrica, pela não utilização de
parênteses,colchetes e chaves e maximização do uso da pilha operacional onde os dados são espaçados
pela tecla "ENTER".
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Matemática Financeira Integral
O Mapa da MINA - principais TECLAS
Utilizando as principais teclas de funções financeiras da HP 12C:
n = parcelas
i = taxa de juros
PV = valor presente
FV = valor futuro
PMT = prestação
CHS = troca de sinal
CLX = limpa acumuladores
F CLX = inicializa acumuladores
F = troca a função
G = troca a modalidade de cálculo
[ BEG ] = Begin, inicio, antecipado
[ END ] = End, final, postecipado
n
i
F
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PV
G
PMT
FV
CHS BEG
END
CLX
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Cap. 03. JUROS SIMPLES
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JUROS SIMPLES - REVISÃO DE CONTEÚDO
FÓRMULAS:
Juros (J):
Valor Presente (PV):
Prazo (n):
Taxa de juros (i):
Valor Futuro ou Montante (FV):
Valor Presente (PV):
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Matemática Financeira Integral
Exercícios resolvidos de Juros Simples:
1. Determine o juro (J) obtido com um capital de R$ 1.250,23 (PV) durante 5 meses (n) com
a taxa de 5,5% (i) ao mês.
Dados:
J=?
PV = R$ 1.250,23
n = 5 meses ou 150 dias
i = 5,5% a.m.
1250,23 0,55 5
$ , 2. Qual foi o capital (PV) que gerou rendimentos de R$ 342,00 durante 11 meses, a uma
taxa de 2,5% a.m.?
Dados:
PV = ?
i = 2,5% a.m.11 meses
n = 11 meses
J = R$ 342,96
342,96
0,025 11
$ . %&, 342,96
0,0275
3. O cliente pagou a o banco a importância de R$ 2,14 (J) de juros por um dia de atraso (n)
sobre uma prestação de R$ 537,17 (PV). Qual foi a taxa mensal de juros (i) aplicada pelo
banco?
Dados:
J = R$ 2,14
n = 1 dia
PV = R$ 537,17
i=?
0,003984 100
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2,14
537,17 1
0,3984% )* +)
, ,-% )* .ê0
2,14
537,17
0,3984 30
Pag. 11
Matemática Financeira Integral
4. Durante quanto tempo (n) foi um capital de R$ 967,74 (PV) que gerou rendimentos de R$
226,45 (J) com uma taxa de 1,5% ao mês (i)?
Dados:
n=?
PV = R$ 967,74
i = 1,5% ao mês
J = R$ 226,45
226,45
967,74 0,015
-, 1 .2020 *3 15 .2020 2 18 +)0
226,45
14,52
A parte inteira do número 15,6 ou seja 15 representa os 15 meses. A parte decimal do número 15,6
ou seja 0,6 representa 18 dias. Neste caso para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte
5. Qual o valor do resgate (FV) de uma aplicação de R$ 84.975,59 (PV) aplicados em CDB
pós-fixado de 90 dias ou 3 meses (n), a uma taxa de 1,45% ao mês (i)?
Dados:
FV = ?
PV = R$ 84.975,59
i = 1,45% ao mês
n = 90 dias ou (3 meses)
4 1 4 84.975,59 1 0,0145 3
4 84.975,59 1 0,0435
4 $ . 1&%, 5
6. Determine o valor da aplicação (PV) cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 (FV)
por um período de 3 meses (n), sabendo-se que a taxa de aplicação foi de 1,77% ao mês (i).
Dados:
PV = ?
FV = R$ 84.248,00
i = 1,77% ao mês
n = 3 meses
4
1 Prof. Celente
84.248,00
1 0,0177 3
$ 5. 555, 55
84.248,00
1 0,0531
84.248,00
1,0531
Pag. 12
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Cap. 04. JUROS COMPOSTOS
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Pag. 13
Matemática Financeira Integral
JUROS COMPOSTOS - REVISÃO DE CONTEÚDO :
FÓRMULAS :
Valor Futuro ou Montante (FV):
Valor Presente (PV):
Prazo (n):
Taxa de juros (i):
Juros (J):
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67
867
67
ou
<<
;9 : . <= > ? 55
@
8
679
:
67
A
Pag. 14
Matemática Financeira Integral
Exercícios resolvidos de Juros Compostos:
1. Calcular o montante (FV) de um capital de R$ 5.000,00 (PV) aplicado à taxa de 4%
ao mês (i), durante 5 meses (n).
(FV=R$ 6.083,26) Ex:24
2. Calcular o valor futuro (FV) de uma aplicação de R$ 1.450.300,00 (PV) aplicado à taxa
de 15% ao ano (i), durante 3,5 anos (n).
(FV=R$ 2.366.370,56) Ex:26
3. No final de 2 anos (n), o sr. X deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 (FV)
referente ao valor de um empréstimo (PV) contratado na data de hoje, mais os juros
devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês (i). Pergunta-se qual o valor
emprestado (PV)?
(PV=R$ 780,24) Ex:27
4. Em que prazo (n) um empréstimo de R$ 24.278,43 (PV) pode ser liquidado em um
único pagamento de R$ 41.524,33 (FV) sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês (i)?
(n=18,156731 meses) Ex:27
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Pag. 15
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CAP. 05. DESCONTOS
Desconto é o abatimento feito no valor nominal de uma dívida.
Pode ser Simples (método linear) e Composto (método exponencial).
Prazo de
antecipação de
recursos
Vencimento
Valor Nominal
(-)
Antes do
vencimento
=
Desconto
Valor Líquido
DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO”
Não é muito praticado, é desfavorável aquele que possui os recursos financeiros e terá de
conceder um desconto em função de uma negociação.
Esta modalidade será sempre mais interessante para quem solicita o desconto, mas quem
determina a metodologia de cálculo da operação é quem tem a posse dos recursos
financeiros.
DRS = Desconto Racional Simples
VN = Valor Nominal (valor de face no dia do vencimento)
VL = Valor Líquido (valor recebido após a operação de desconto)
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
Fórmulas:
Desconto Racional Simples:
Valor Líquido :
Desconto Racional Simples:
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BCD 7 > 6
6 E F E
7
BDC E F E
7 F E F E
Pag. 16
Matemática Financeira Integral
Exercício :
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento,
à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?
Dados:
VN = R$ 25.000,00
nd = 2,meses
id = 2.5%
DRS = ?
Solução algébrica:
GH I F + F +
1 + F +
J 25.000 > 1.190,48
Solução HP-12C :
25000
[enter]
0,025
[x]
1
[enter]
0,025
[enter]
2
[x]
2
[x]
2
[÷]
GH 25.000 F 0,025 F 2
1 0,025 F 2
GH GH $ . ,5, 1.250
1,05
J $ %. 5,, -% R$ 1.190,48 [chs]
R$ 25.000,00 [+]
R$ 23.809,52
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Pag. 17
Matemática Financeira Integral
DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL “POR FORA”
Desconto Bancário Simples (DBS) é o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor
nominal de um determinado compromisso antes do seu vencimento.
Esta modalidade é muito usada nas operações comerciais e principalmente nas operações
bancárias por ser mais interessante (rentável) do que o DSR (Desconto Racional Simples).
DBS = Desconto Bancário Simples
VN = Valor Nominal (valor de face no dia do vencimento)
VL = Valor Líquido (valor recebido após a operação de desconto)
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
Fórmulas:
Desconto Bancário Simples:
Valor Líquido :
BKD 7 F E F E
6 7 > BKD
Exercício:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento,
à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?
Dados:
VN = R$ 25.000,00
nd = 2 meses
id = 2.5%
DBS = ?
VL= ?
Solução algébrica:
GLH 25.000 F 0,025 F 2
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BKD 7 F E F E
GLH $ . %-5, 55
J 25.000 > 1.250
J $ %. &-5, 55 Pag. 18
Matemática Financeira Integral
Solução HP-12C :
25000
[ enter ]
0,025
[x]
2
[x]
R$ 1.250,00 [ chs ]
R$ 25.000,00 [ + ]
R$ 23.750,00
Exercício :
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título
de despesas administrativas e que o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) é de
0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma
outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês. Qual a melhor
opção?
Dados:
VN = R$ 25.000,00
nd = 2 meses
id = 2.5%
iadm = 1%
iiof = 0,00412% ao dia
i = 2,8% a.m.
VL = ?
DBS = ? (Desconto Bancário Simples)
Diof = ? (Despesas com IOF)
Dadm = ? (Despesas Administrativas)
Base de Cálculo do IOF = VN – DBS – Dadm
Base de Cálculo do IOF = 25.000 – 1.250 – 250 = R$ 23.500,00
Solução algébrica:
VL = VN – DBS – Diof – Dadm
a) DBS = 25.000 x 0,25 x 2 =
R$
1.250,00
b) Dadm = 25.000 x 0,01 =
R$
250,00
c) Diof = 23.750,00 x 0,000041 x 60 = R$
57,81
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Pag. 19
Matemática Financeira Integral
VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 57,81 = R$ 23.442,19 Se considerarmos que PV seja R$ 23.442,19 e FV = 25.000,00 então teremos que a taxa
desta operação será:
25.000 > 23.442,19
25.000 2
1.557,51
50.000
, %% ). .. Obs. A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso será a melhor
opção.
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
O Desconto Racional Composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o
montante (M) ou valor futuro (VF) ou valor nominal.
Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor
Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (VF) igual a VN quando aplicado por (N) períodos
a uma taxa de desconto composto (id) por período.
DRC = Desconto Racional Composto
VN = Valor Nominal (valor de face no dia do vencimento)
VL = Valor Líquido (valor recebido após a operação de desconto)
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
Fórmulas:
Desconto Racional Composto:
Valor Líquido:
BCM 7 > 6
6 7
EE
Exercício:
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00
considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, descontado 3 meses antes do
seu vencimento.
Dados:
VN = R$ 5.000,00
nd = 3 meses
id = 3.5%
DRC = ?
VL= ?
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Pag. 20
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica:
J I
1 +NO
GQ I > J
J 5.000
1 0,035P
J 5.000
1,10872
GQ 5.000 > 4.509,71
J $ . -5,, &
GQ $ ,5, %, Solução HP-12C :
[F]
[REG]
5000
[ FV ]
3,5
[i]
3
[n]
[ PV ]
- R$ 4.509,71
5000
[+]
R$ 490,29
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Pag. 21
Matemática Financeira Integral
DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (COMPOSTO)
Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor
Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (VF) igual a VN quando aplicado por (n) períodos
a uma taxa de composta de desconto exponencial (id) por período.
A partir do valor nominal, podemos determinar o valor líquido, com base no conceito do
cálculo por fora. Vejamos a aplicação desta metodologia de cálculo:
DBC = Desconto Bancário Composto
VN = Valor Nominal (valor de face no dia do vencimento)
VL = Valor Líquido (valor recebido após a operação de desconto)
id = Taxa de Desconto
nd = Prazo de Desconto
Fórmulas:
Desconto Bancário Composto:
Valor Líquido:
BKM 7 > 6
6 7
> EE
Exercício:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 com 60 dias para o seu vencimento,é descontada a
uma taxa de em um 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto.
Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.
Dados:
VN = R$ 25.000,00
nd = 60 dias (2 meses)
id = 2.5%
VL = ?
DBC = ?
Solução algébrica:
J I
1 > +NO
GLQ I > J
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J 25.000
1 > 0,025R
J 25.000 F 0,950625
J $ %. &1-, 1
GLQ 25.000 > 23.765,63 $ . %, Pag. 22
Matemática Financeira Integral
Solução HP-12C :
25000
[ enter ]
1
[ enter ]
0,025
[-]
2
R$ 23.765,63
[ chs ]
25000,00
[ S ]
[x]
[+]
R$ 1.234,38
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Pag. 23
Matemática Financeira Integral
COMPARAÇÃO DOS SISTEMAS DE DESCONTO
Vamos admitir que um valor nominal (VN) de R$ 25.000,00 com uma taxa de desconto (id)
de 2,5%, foi descontado 2 meses antes do seu vencimento. Determinaremos, para efeito de
comparação o valor líquido por todos os sistemas estudados.
Assim temos
VN = R$ 25.000,00
id = 2,5% ao mês
nd = 2 meses
Sistema de Desconto
Desconto Racional Simples (DRS)
Bancário Simples (DBS)
Desconto Racional Simples (DRS)
Desconto Bancário Composto (DBC)
Valor do Desconto
R$ 1.190,48
R$ 1.250,00
R$ 1.204,64
R$ 1.234,98
Valor Líquido
R$ 23.809,52
R$ 23.750,00
R$ 23.795,36
R$ 23.765,63
Desconto
Analisando a tabela acima, é possível perceber que, para quem vai liberar os recursos
financeiros, a ,melhor opção será aplicar a metodologia do Desconto Bancário Simples
(DBS). Porém, se você fosse receber a liberação de recursos financeiros, através de uma
operação de desconto, a melhor opção seria aplicar a metodologia de cálculo do Desconto
Racional Simples (DRS).
5.6 RELAÇÃO DA TAXA COM O DESCONTO E O VALOR LÍQUIDO
Vamos admitir uma duplicata de R$ 100,00 que pode ser descontada por vários períodos
(nd), a uma taxa de desconto (id) de 5% ao mês, pelo método do Desconto Bancário
Simples (DBS). Vejamos então, quanto será a taxa real desta operação calculada pelos
regimes de juros simples e composto.
TRS = Taxa Real Simples
Desconto = Desconto (DBS)
VL = Valor Liquido
QQ = Quanto eu Quero (o prazo da taxa a ser calculada, mensal=30)
QT = Quanto eu Tenho (o prazo da operação que foi informado)
Fórmulas:
Taxa Real Simples:
TH UV
WXYZ[N\[
]^ F
_`
__
a b F 100
Para verificarmos a Taxa Real pelo regime de juros compostos, devemos aplicar a seguinte
fórmula:
Taxa Real Composta:
Prof. Celente
TQ ;91 __
: ._` > 1 ? F 100
]cd[e ^íghiO[
WXYZ[N\[
Pag. 24
Matemática Financeira Integral
Exercício 46:
Calcular a taxa real para uma duplicata de R$ 100,00 descontada 2 meses antes do seu
vencimento com taxa de desconto de 5% ao mês, pelo método do Desconto Bancário
Simples (DBS).
VN = R$ 100,00
nd = 2 meses
id = 5% ao mês
TRS = ?
Solução algébrica:
GLH 100 F 0,05 F 2 C$ 5, 55
J 100 > 10 $ ,5, 55
TH jk
<- Enter
90
<- Enter
60
100
<- Enter
60
90 F
30
l m F 100
TH -, -1% )* .ê0
Solução HP-12C :
10
10
30
÷
×
÷
×
5,56% ao mês
Exercício 47:
Calcular a taxa real composta para uma duplicata de R$ 100,00 descontada 2 meses antes
do seu vencimento, com taxa de desconto de 5% ao mês, pelo método do Desconto
Bancário Simples (DBS).
VN = R$ 100,00
nd = 2 meses
id = 5% ao mês
TRC = ?
Prof. Celente
Pag. 25
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica:
GLH 100 F 0,05 F 2 C$ 5, 55
J 100 > 10 $ ,5, 55
TQ ;n1 10 Pp
o .qp > 1 ? F 100
90
TQ r 1 0,111111 .
p,s
> 1t 100
TH -, % )* .ê0
Solução HP-12C :
10
1
1
<- Enter
+
-
30
100
90
<- Enter
÷
60
÷
S
×
5,41% ao mês
Prof. Celente
Pag. 26
Matemática Financeira Integral
CAP. 06. SÉRIE DE PAGAMENTOS
São operações envolvendo pagamentos ou recebimentos periódicos
Classificação das Séries de Pagamentos:
a) Quanto ao tempo:
Temporária: número limitado de pagamentos.
Infinita: número infinito de pagamentos.
b) Quanto à periodicidade|:
Periódicas: pagamentos em intervalo de tempo iguais
Não periódicas: pagamentos em intervalos de tempo variáveis
c) Quanto ao valor dos pagamentos:
Fixos ou uniformes: todos os pagamentos são iguais
Variáveis: quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento:
Imediata: primeiro pagamento no primeiro período da série.
Diferida: primeiro pagamento em períodos subseqüentes
e) Quanto ao momento do pagamento:
Antecipadas: primeiro pagamento no momento zero da série.
Postecipadas: pagamentos no final dos períodos.
Séries Uniformes de Pagamentos
Série: numero de eventos ocorrendo em sucessão.
Uniforme: que tem a mesma forma ou muito semelhante
Pagamento: cumprimento efetivo da obrigação exigível.
Séries Uniformes de Pagamentos Postecipados
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento um (1), sem entrada.
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação PMT sigla em
inglês para “Payment”.
Prof. Celente
Pag. 27
Matemática Financeira Integral
Dada a Prestação (PMT), achar o Valor Presente (PV)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor das prestações (PMT) de uma série
uniforme de pagamento postecipado, será possível calcular o valor presente (PV) através
das fórmulas:
w 1
y
N > 1
w
uT 1 N F y
w
y
v
x
Exercício 48:
w
1 > 1 8N
uT w
w
v
y
y
y
x
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de
R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo 3,5 %
a.m. a taxa de juros negociada na operação.
Dados:
n = 6 meses
i = 3,5% ao mês
PMT = R$ 1.500,00
PV = ?
Solução algébrica 1:
w 1
y
N > 1
w
uT 1 N F y
w
y
v
x
w 1
y
0,035q > 1
w
1.500 1 0,035q F 0,035y
w
y
v
x
w 1,035q
y
> 1
w
1.500 1,035q F 0,035y
w
y
v
x
Prof. Celente
Pag. 28
Matemática Financeira Integral
w
y
1,229255 > 1
w
1.500 1,229255 F 0,035y
w
y
v
x
w
0,229255
1.500 w 0,043024
w
v
y
y
y
x
1.500 F 5,328553
C$ &. ,,%, Solução algébrica 2:
w
1 > 1 8N
w
uT
w
v
y
y
y
x
w
10 > 1 0,0358q
w
1.500
0,035
w
v
w
1 > 0,813501
1.500 w
0,035
w
v
w
0,186799
1.500 w 0,035
w
v
y
y
y
x
y
y
y
x
y
y
y
x
1.500 F 5,328553
C$ &. ,,%, Prof. Celente
Pag. 29
Matemática Financeira Integral
Solução 1 HP-12C :
CLX
1,500
<= Enter
1,035
<= Enter
S
6
1
-
1,035
<= Enter
/
S
6
0,035
×
÷
×
R$ 7.992,83
Solução 2 HP-12C :
CLX
f
1,500
CHS
6
n
3,5
i
PMT
PV
R$ 7.992,83
Dado o Valor Presente (PV), achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série uniforme
de pagamento postecipado, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através das
fórmulas:
w 1
y
N F w
uT 1 N > 1y
w
y
v
x
uT Prof. Celente
F 1 > 1 8N
Pag. 30
Matemática Financeira Integral
Exercício 49:
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o
comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais sem entrada,
considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?
Dados:
PV = R$ 500,00
n = 5 meses
i = 5% ao mês
PMT = ?
Solução algébrica 1:
w 1
y
N F uT w 1 N > 1y
w
y
v
x
w 1,05s
y
F 0,05
w
y
uT s
w 1,05 > 1 y
v
x
w
y
1,276282 F 0,05
w
y
500
w 1,276282 > 1 y
v
x
w
0,063814
500 w 0,276282
w
v
y
y
y
x
500 F 0,230975
C$ -, ,
Prof. Celente
Pag. 31
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica 2:
uT F 1 > 1 8N
uT 25
1 > 0,783526
uT 500 F 0,05
1 > 1 0,058s
uT 25
0,216474
z= C$ -, ,
Solução HP-12C :
f
CLX
500
CHS
5
i
5
n
PV
PMT
R$ 115,49
Dado o Valor Futuro (FV), achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor futuro (FV) de uma série uniforme de
pagamento postecipado, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através das
fórmulas:
w
y
w
uT 4 1 N > 1y
w
y
v
x
uT Prof. Celente
4 F 1 N > 1
Pag. 32
Matemática Financeira Integral
Exercício 50:
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês,
durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00 pelo regime de juros compostos.
Dados:
FV = R$ 5.000,00
n = 7 meses
i = 4% ao mês
PMT = ?
Solução algébrica 1:
w
y
uT 4 w 1 N > 1y
w
y
v
x
w
y
0,04
w
uT 5.000 1 0,04{ > 1y
w
y
v
x
w
y
0,04
w
uT 5.000 1,315932 > 1y
w
y
v
x
w
y
0,04
500 w0,315932y
w
y
v
x
500 F 0,126610
C$ 1, 5-
Prof. Celente
Pag. 33
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica 2:
uT uT 4 F 1 N > 1
5.000 F 0,04
1 0,04{ > 1
uT uT 200
1,04{ > 1
200
1,315932 > 1
uT 200
0,315932
z= C$ 1, 5Solução HP-12C :
CLX
f
5.000
CHS
4
i
7
n
FV
PMT
R$ 633,05
Dado o Valor Presente (PV), calcular o prazo (n)
Sendo informados uma taxa (i), um o valor presente (PV) e um pagamento ou prestação
(PMT) em uma série uniforme de pagamento postecipado, será possível calcular o número
de pagamentos ou prazo (n), através das fórmulas:
wVJI 91 > 9 : F :ay
uT
w
y
>w
y
JI 1 w
y
v
x
Prof. Celente
Pag. 34
Matemática Financeira Integral
Exercício 51:
Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Uma outra alternativa seria financiar
este produto à taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que
o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste
financiamento.
Dados:
PV = R$ 1.750,00
i = 3% ao mês
PMT = R$ 175,81
n=?
Solução algébrica 1:
wVJI 91 > 9 : F :ay
uT
w
y
>w
y
JI 1 w
y
v
x
wVJI 91 > 9 1.750 : 0,03:ay
175,81
w
y
>w
y
JI 1 0,03
w
y
v
x
>U
|JI
1 > 9,953928 F 0,03}
b
JI 1,03
>U
|JI
1 > 0,298618}
b
JI 1,03
|JI
0,701382}
>U
b
JI 1,03
>;
>0,354702
?
0,29559
>
>12
%
Prof. Celente
Pag. 35
Matemática Financeira Integral
Solução HP-12C :
CLX
f
1.750
CHS
3
i
175,81
CHS
PV
PMT
n
12 meses
Dado o Valor Futuro (FV), calcular o prazo (n)
Sendo informados uma taxa (i), um o valor futuro (FV) e um pagamento ou prestação (PMT)
em uma série uniforme de pagamento postecipado, será possível calcular o número de
pagamentos ou prazo (n), através das fórmulas:
Exercício 52:
4 F ~JI V9 uT : 1a
JI 1 Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após
determinado tempo observou que o saldo da conta era R$ 30.032,62. Considerando uma
taxa média de poupança de 0,8% ao mês, determine a quantidade de depósitos efetuados
por este poupador.
Dados:
FV = R$ 30.032,62
i = 0,8% ao mês
PMT = R$ 150,00
n=?
Prof. Celente
Pag. 36
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica 1:
~JI V9
~JI V9
4 F : 1a
uT
JI 1 30.032,62 F 0,008
: 1a
150,00
JI 1 0,008
~JI V9
240,26
: 1a
150,00
JI 1,008
JI 1,1601740 1
JI 1,008
JI 2,601740
JI 1,008
0,956180
0,007968
%5
Solução1 HP-12C :
CLX
f
30.032,62
FV
150,00
PMT
8
i
n
120 meses
Prof. Celente
Pag. 37
Matemática Financeira Integral
Cálculo da Taxa (i)
O cálculo da taxa de juros em uma série uniforme de pagamento postecipada ou antecipada
não poderá ser encontrado através de uma fórmula resolutiva básica, isto é utilizando-se
uma solução pelo método algébrico. Pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica
Excel não teremos maiores problemas.
Para acharmos a taxa estimada (ie) poderemos utilizar a seguintes fórmulas:
a) Calculando a taxa estimada:
2 b) Calculando a taxa estimada:
uT
Exercício 53:
uT
>
uT F R
1 N > 1
1 N F Um automóvel é comercializado por R$ 17.800,00 à vista; sabendo-se que pode ser
financiado em 36 parcelas mensais de R$ 1.075,73; determinar a taxa de juros.
Dados:
FV = R$ 17.800,00
PMT = R$ 1.075,73
n = 36 meses
i=?
Solução algébrica: a) achando a taxa estimada (ie):
2 2 uT
>
uT F R
1.075,73
17.800,00
>
1.075,73 F 36R
17.800,00
2 0,60434 >
17.800,00
1.394.146,08
2 0,60434 – 0,012768 0,0476667 ou ƒ„ , &&% …† ‡êˆ
Pelo processo de tentativa e erro, deve-se encontrar uma taxa estimada que faça p fator de
valor atual do 2º membro seja igual ao fator do 1º. Membro.
Prof. Celente
Pag. 38
Matemática Financeira Integral
Solução1 HP-12C :
f
CLX
17.800
CHS
1.075,73
PMT
36
n
pV
i
5% ao mês
Dada a Prestação (PMT) achar o Valor Futuro (VF)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) de
uma série uniforme de pagamento postecipado, será possível calcular o valor futuro (FV),
através das fórmulas:
Exercício 54:
w
y
uT 1 N > 1
y
4 w
w
y
v
x
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de
poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o
valor acumulado após este período ?
Dados:
PMT = R$ 100,00
FV = R$ 5.000,00
n = 30 anos ou 360 meses
i = 0,8% ao mês
FV = ?
Prof. Celente
Pag. 39
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica 1:
w
y
uT 1 N > 1
w
y
4 w
y
v
x
w
y
100 1 0,008Pqp > 1
w
y
4 0,008
w
y
v
x
w
y
100 1,008Pqp > 1
y
4 w
0,008
w
y
v
x
w
y
100 17,611306 > 1
w
y
4 0,008
w
y
v
x
w
100 16,611306
4 w
0,008
w
v
4 C$ %5&. 1, %
y
y
y
x
Solução1 HP-12C :
[ CLX ]
f
100
CHS
0,8
i
360
n
PMT
FV
R$ 207.641,32
Prof. Celente
Pag. 40
Matemática Financeira Integral
Séries Uniformes de Pagamentos Antecipadas
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na fata focal 0 (zero). Este tipo de sistema
de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n).
Dada a Prestação (PMT), achar o Valor Presente (PV)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor das prestações (PMT) de uma série
uniforme de pagamento antecipada, será possível calcular o valor presente (PV) através das
fórmulas:
w
1 > 1 8N
w
uT
w
v
y
y 1 y
x
w 1
y
N > 1
uT w 1 N8‰ F y
w
y
v
x
w
1 > 1 8
N8‰
w
uT
w
v
y
y
y
x
Exercício 55:
Uma mercadoria é comercializada em 4 pagamentos iguais de R$ 185,00; sabendo-se que a
taxa de financiamento é de 5% ao mês, e que um dos pagamentos foi considerado como
entrada, determine o preço à vista desta mercadoria.
Dados:
n = 4 meses
i = 5% ao mês
PMT = R$ 185,00
PV = ?
Prof. Celente
Pag. 41
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica 1:
w
1 > 1 0,058Š
uT w
0,05
w
v
w
1 > 1,058Š
uT w
0,05
w
v
y
y 1 0,05
y
x
y
y 1,05
y
x
w
y
1 > 0,0822702
w
y 1,05
uT
0,05
w
y
v
x
w
0,177298
uT w
0,05
w
v
y
y 1,05
y
x
185 F 3,545951 F 1,05
C$ 1, 5
Prof. Celente
Pag. 42
Matemática Financeira Integral
Nota sobre as Funções [BEG] e [END] na HP-12C
Para efetuarmos os cálculos na calculadora HP-12C de uma série uniforme de pagamento
antecipada, será necessário introduzir no visor da calculadora a função “BEGIN”, que é facilmente
obtida através as sequencia de teclas “G” [BEG], ou seja “BEGIN” = pagamento no início do período.
Porém, havendo a necessidade da realização de cálculos de uma série uniforme de pagamento
postecipada, basta para tanto pressionar a sequencia de teclas “g” [END].
Solução HP-12C :
f
[ CLX ]
g
[ BEG ]
185
CHS
5
i
4
n
PMT
FV
R$ 688,80
Prof. Celente
Pag. 43
Matemática Financeira Integral
Dado Valor Presente (PV), calcular a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série uniforme
de pagamento antecipada, será possível calcular o valor da valor das prestações (PMT),
através das fórmulas:
w
y
F w
uT 1 > 1 8N F 1 y
w
y
v
x
w 1
N8‰ F uT w 1
N > 1
w
v
Exercício 56:
y
y
y
x
Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos
iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é 1,99% ao mês, calcule o valor da
prestação mensal deste financiamento.
Dados:
PV = R$ 17.800,00
n = 36 meses
i = 1,99% ao mês
PMT = ?
Solução algébrica 1:
w
y
F uT w 1 > 1 8N F 1 y
w
y
v
x
w
y
17.800 F 0,0199
w
uT 1 > 1 0,01998Pq F 1 0,0199y
w
y
v
x
w
y
354,22
uT w 1 > 1,01998Pq F 1,0199y
w
y
v
x
Prof. Celente
Pag. 44
Matemática Financeira Integral
w
y
354,22
uT w 0,508044 F 1,0199y
w
y
v
x
uT 354,22
0,518154
z= C$ 1, 1%
Solução HP-12C :
f
[ CLX ]
g
[ BEG ]
17.800
PV
1,99
i
36
n
PMT
R$ 683,62
Dado Valor Presente (PV), calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa (i), a prestaçõe (PMT) e o valor presente (PV), de uma série
uniforme de pagamento antecipada, será possível calcular o prazo (n), através da seguinte
fórmula:
>
F VJI n1 > n
o oa
uT F 1 JI 1 Exercício 58:
Um produto custa à vista r$ 1.500,00 e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de
R$ 170,72 devendo a primeira ser paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros
contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento ?
Dados:
PV = R$ 1.500,00 #
i = 3% ao mês
PMT = R$ 170,72
#
n=?
Prof. Celente
Pag. 45
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica 1:
>
>
VJI n1 > n
VJI n1 > n
>
JI 1 1.500 F 0,03
o oa
170,72 F 1 0,03
JI 1 0,03
VJI n1 > n
>
F o oa
uT F 1 45
o oa
170,72 F 1,03
JI 1,03
45
VJI 91 > 9175,84: :a
>
JI 1,03
JI 1 > 0,255972
JI 1,03
>
JI 0,744028
JI 1,03
>
>0,295596
0,029559
>
>10,000275
5 ‹ŒŒ
Solução1 HP-12C :
f
[ CLX ]
g
[ BEG ]
1.500
PV
3
i
170,72
CHS
PMT
n
10 meses
Prof. Celente
Pag. 46
Matemática Financeira Integral
Dada a Prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), a prestações (PMT) e o prazo (n), de uma série uniforme de
pagamento antecipada, será possível calcular o Valor Futuro (FV), através da seguinte fórmula:
1 N > 1
4 uT j
m F 1 Exercício 59:
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00 e acredita
que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Tio Patinhas S/A, com depósitos
mensais de R$ 500,00 ele terá o valor queprecisa. Considerando que a poupança paga em média,
uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o amigo poupador vai conseguir acumular o valor de que
precisa?
Dados:
PMT= R$ 500,00
i = 1,99% ao mês
#
#
Solução algébrica 1:
n = 5 anos (60 meses)
FV = ?
1 N > 1
4 uT j
m F 1 1 0,0008qp > 1
4 500 j
0,008
m F 1 0,008
1,0008qp > 1
4 500 j
0,008
m F 1,008
1,612991 > 1
4 500 j
0,008
m F 1,008
4 500 76,623867 F 1,008
4 38.311,93 F 1,008
C$ . 1, Parabéns ao nosso amigo poupador, pois não só irá acumular os seus R$ 37.500,00 como ainda
sobrará o valor de R$ 1.118,43.
Prof. Celente
Pag. 47
Matemática Financeira Integral
Solução HP-12C :
f
[ CLX ]
g
[ BEG ]
500
CHS
8
i
60
n
PMT
FV
R$ 38.618,43
Dado o Valor Futuro (FV), calcular a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), o Valor Futuro (FV) e o prazo (n), de uma série uniforme de
pagamento antecipada, será possível calcular o valor da prestação, através das seguintes
fórmulas:
1
N
uT 4 j 1 > 1 m F j
1 m
uT Exercício 60:
4 F 1 > 1 F 1 Considere o nosso poupador do exercício 59, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje,
para resgatar ao final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00 deverá resgatar um pouco
mais. Considerando a mesma taxa ou seja 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de
cada depósito para que o nosso poupador consiga acumular exatamente o valor de R$
37.500,00 ?
Dados:
VF= R$ 37.500,00 #
i = 0,8% ao mês #
Prof. Celente
n = 5 anos (60 meses)
PMT = ?
Pag. 48
Matemática Financeira Integral
Solução algébrica:
uT uT 4 F 1 > 1 F 1 37.500 F 0,008
1 0,00860 > 1 F 1 0,008
uT uT 300
1,00860 > 1 F 1,008
300
1,612991 > 1 F 1,008
uT 300
0,617895
z= C$ -, -%
Solução HP-12C :
f
[ CLX ]
g
[ BEG ]
37.500
CHS
0,8
i
60
n
FV
PMT
R$ 485,52
Cálculo da Taxa (i)
Para cálculo da taxa (i) em uma série uniforme de pagamento antecipada, devemos proceder
da mesma forma que demonstramos para o cálculo da série postecipada, ou seja, devemos
partir para tentativa e erro, até que a taxa seja efetivamente encontrada. Porém,
apresentaremos uma fórmula inicial para o cálculo da taxa:
Prof. Celente
Pag. 49
Matemática Financeira Integral
4
j
uT
1 N > 1
m F 1 Exercício 61:
Uma pessoa deposita mensalmente em conta de poupança a importância de R$ 250,00 após 5
meses verificou-se que o saldo da conta de poupança era de R$ 1.288,00. Qual a taxa média desta
caderneta de poupança?
Dados:
FV= R$ 1,288,00
#
n = 5 meses
PMT = R$ 250,00
#
i=?
Solução algébrica:
4
j
uT
1.288
j
250
1 N > 1
m F 1 1 s > 1
m F 1 1 s > 1
5,152 j
m F 1 Vamos iniciar o processo de tentativa e erro, partindo de 0,5% ao mês:
Solução algébrica:,
1 0,005s > 1
5,152 j
m F 1 0,005
0,005
1,005s > 1
5,152 j
m F 1,005
0,005
1,025251 > 1
5,152 j
m F 1,005
0,005
0,25251
5,152 j 0,005 m F 1,005
5,152 5,050251 F 1,005
5,152 Ž 5,075502
Prof. Celente
Pag. 50
Matemática Financeira Integral
Ou seja, a taxa de 0,5% ao mês não satisfaz a igualdade.
Vamos continuar o processo de tentativa e erro, partindo agora de 1,0% ao mês:
Solução algébrica:,
1 0,01s > 1
5,152 j
m F 1 0,001
0,01
1,001s > 1
5,152 j
m F 1,001
0,001
1,051010 > 1
5,152 j
m F 1,001
0,001
0,510101
5,152 j 0,001 m F 1,001
5,152 5,101005 F 1,001
5,152 5,1520152
Até Que enfim achamos a taxa correta: 1% ao mês satisfaz a igualdade.
Solução HP-12C :
f
[ CLX ]
g
[ BEG ]
1.288
FV
250
CHS
5
n
PMT
i
1% ao mês
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Pag. 51
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Exercícios sobre Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas e Antecipadas
1. Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de
5% ao mês (série postecipada).
Dados: PMT = R$ 1.000,00 #
n = 5 meses
i = 5% ao mês
#
VF = ?
HP-12C f [REG] 1.000 [PMT] 5 [n] 5 [i] VF
Resposta: R$ 5.525,63
2. Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$
10.000,00 no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é
remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Dados: PMT = R$ 10.000,00 # n = 8 anos # i = 10% ao ano # PV = ?
HP-12C f [ REG ] 10.000 [ CHS ] [ PMT ] 8 [ n ] 10 [ i ] [ PV ]
Resposta: R$ 53.349.26
3. Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de
2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é R$ 1.000,00 e que o prazo é de 4 meses.
Dados: PV = R$ 1.000,00 # n = 4 meses # i = 2,5% ao mês # PMT = ?
HP-12C f [REG] 1.000 [PV] 4 [n] 4,5 [i] [PMT]
Resposta: R$ 265,82
4. Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00 e pode ser financiado em 48 parcelas
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.
Dados: PV = R$ 14.480,00 # n = 48 meses # i = 1,8% ao mês # PMT = ?
HP-12C f [REG] 14.480,00 [PV] 48 [n] 1,8 [i] [PMT]
Resposta: R$ 453,07
5. Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa aproximadamente R$
13.000,00, desde que Marcos consiga aprovação no vestibular. Sabemos que a idade de Marcos
hoje é de 12 anos e se tudo correr bem, com 18 anos ele estará ingressando na faculdade. Quanto
Paulo deverá economizar por mês, considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano?
Dados: PV = R$ 13.000,00 # n = 6 anos ou 72 meses
i = 7% ao ano ou 0,583333% ao mês #
PMT = ?
HP-12C f [REG] g [BEG] 13.000,00 [PV] 72 [n] 0,583333 [i] [PMT]
Resposta: R$ 220,30
6. No exercício 4, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor
da prestação.
Dados: PV = R$ 14.480,00 # n = 48 meses # i = 1,8% ao mês # PMT = ?
Entrada 20% = 14.480,00 x 0,20 = 2.896,00
PV = 14.480,00 – 2.896,00 = 11.584,00
HP-12C f [REG] 11.584,00 [PV] 48 [n] 1,5 [i] [PMT]
Prof. Celente
Pag. 52
Matemática Financeira Integral
Resposta: 340,28
7. Uma Loja “A” oferece uma televisão por R$ 630,00 em 3 vezes iguais (1+2) ou com 5% de
desconto para pagamento à vista. Na Loja “B”, considerando o mesmo preço à vista, a mesma
televisão é comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47,69, sem entrada. Determine os juros
praticados nas loja “A” e “B”.
Dados:
Loja A: PV = R$ 630,00 # n = 3 (1+2) # desconto = 630,00 x 0,05 = 31,50 = 598,50
PMT = 630,00 / 3 = 210,00
# i=?
HP-12C f [ REG ] g [ BEG ] 598,50 [ CHS ] [ PV ] 3 [ n ]
210,00 [ PMT ] [ i ]
Loja B: PV = R$ 630,00 # n = 24
# PMT = 47,69 # i = ?
HP-12C f [ REG ] 598,50 [ CHS ] [ PV ] 24 [ n ] 47,69 [ PMT ] [ i ]
Resposta: Loja “A” = 5,36% ao mês e Loja” B” = 6% ao mês
8. Marcelo paga uma prestação de R$ 375,25 mensais por conta do financiamento de seu
apartamento. Sabendo-se que a taxa do financiamento é de 6,1678% ao ano e que o valor do imóvel
foi estimado pelo Agente Financeiro em R$ 50.000,00 pergunta-se: em quantos meses foi financiado
o apartamento de Marcelo?
HP-12C f [ REG ] g [ BEG ] 50.000 [ PV ] 0,5139833 [ i ]
375,25 [ CHS ] [ PMT ] [n ]
Resposta: 226 meses
9. Um indivíduo deseja obter R$ 100.000,00 para comprar um apartamento ao fim de um ano e para
isso faz um contrato com um banco em que se compromete a depositar mensalmente, durante um
ano, a quantia de R$ 3.523,10 com rendimento acertado de 3% ao mês, iniciando o primeiro depósito
ao fim do primeiro mês. Transcorrido um ano, o banco se compromete a financiar o saldo restante
dos R$ 100.000,00 à taxa de 4% ao mês, em 12 parcelas mensais iguais, vencendo a primeira ao fim
de 30 dias. Calcular a prestação mensal deste financiamento.
Resposta: R$ 5.327,61
10. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo
devedor financiado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um
mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma
anuidade ou rendas certas, que o valor da anuidade corresponde ao saldo devedor, e que os termos
da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal.
Resposta: 852,42
11. Uma pessoa depositou mensalmente a quantia de R$ 100,00 numa caderneta de poupança, à
taxa de 3% ao mês. Os depósitos foram feitos no último dia útil de cada mês e o juro foi pago no
primeiro dia útil de cada mês, incidindo sobre o montante do início do mês anterior. O primeiro
depósito foi feito em 31 de janeiro e não foram feitas retiradas de capital. Qual deve ser o montante
em 01 de outubro?
Resposta: R$ 1.015,91
Prof. Celente
Pag. 53
Matemática Financeira Integral
12. Calcular o preço à vista de uma mercadoria que é vendida a prazo em 10 prestações mensais,
pagáveis nos das primeiro de cada mês, de R$ 100,00 cada uma, considerando juros compostos
capitalizados mensalmente à taxa de 9% ao mês e sabendo que a primeira prestação será paga 3
meses após a compra. Desprezar os centavos na resposta.
Resposta: R$ 54.016
13. Uma dívida, no valor de R$ 9.159,40 vai ser paga em 5 prestações mensais iguais e
consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 3 meses da data do contrato. Os juros são
compostos, à taxa de 3% ao mês. Qual o valor de cada uma das prestações?
Resposta: R$ 9.159,40
14. Uma pessoa para uma entrada no valor de R$ 23,60 na compra de um equipamento e paga mais
4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 14,64 cada uma. A instituição financiadora
cobra uma taxa de juros de 120% ao ano, capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base
nestas informações, podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do
equipamento adquirido é:
Resposta: R$ 70,00
15. Um empréstimo de R$ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano,
capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações
trimestrais, iguais e consecutivas (primeira com vabcimento ao final do primeiro trimestre, e segundo
vencimento ao final dl segundo trimestre). Qual o valor de cada prestação?
Resposta: R$ 11.881,00
16. Uma máquina tem o preço de R$ 2.000.000,00 podendo ser financiada com 10% de entrada e o
restante em prestações trimestrais, iguais e sucessivas. Sabendo-se a1
Que a financiadora cobra juros compostos de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente, e que o
comprador está pagando R$ 205.821,00 por trimestre, a última prestação vencerá em:
Resposta: 3 anos e 6 meses
17. Uma cliente tinha uma dívida no cartão de crédito das lojas C&A Modas que venceu em
26/4/2001 no valor de R$ 278,20. Em 9/9/2001, verificou-se que a dívida já estava acumulada em R$
346,91; nesta mesma data esta cliente resolveu financiar sua dívida e a proposta da loja foi a
seguinte: uma entrada de R$ 120,00 e 2 pagamentos iguais de R$ 122,11. Pergunta-se: qual a taxa
de juros aplicada pela loja na atualização e no financiamento da dívida?
Resposta: 4,99% ao mês, a taxa de atualização é 5,04% ao mês, a taxa de financiamento.
18. Um automóvel foi financiado em 36 parcelas iguais de R$ 537,14 através do Banco da Praça S/A,
devendo a primeira prestação ser paga 30 dias após a data de contratação do financiamento;
considerando uma taxa de 2% ao mês, calcular o valor do financiamento.
Prof. Celente
Pag. 54
Matemática Financeira Integral
Resposta: R$ 13.691,08
RESUMO DAS FÓRMULAS
JUROS SIMPLES
Juros (J):
Valor Presente (PV):
Prazo (n):
Taxa de juros (i):
Valor Futuro ou Montante (FV):
Valor Presente (PV):
F F iFN

] F

i
] F N

4 1 F ‰ i F N
‘]
JUROS COMPOSTOS
Valor Futuro ou Montante (FV):
Valor Presente (PV):
Prazo (n):
Taxa de juros (i):
Prof. Celente
4 1 N
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ou
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> 1 ? F 100
Pag. 55
Matemática Financeira Integral
@
1 Juros (J):
N
8‰
A
Fontes de Consulta e Bibliografia:
Matemática Financeira Aplicada, Autor: Anísio Costa Castelo Branco
Editora: Thomson – 2ª. Edição
Matemática Financeira Com Utilização da HP-12C, Armando José Tosi
Editora: Atlas
SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros Mestres da Filosofia e da Ciência
Grega. 2ª Ed., Porto Alegre: Edipucrs, 2003
Gow, Mary. Archimedes: Mathematical Genius of the Ancient World. [S.l.]: Enslow
editoras, Inc, 2005. ISBN 0-7660-2502-0
Hasan, Heather. Archimedes: The Father of Mathematics. [S.l.]: Rosen Central,
2005. ISBN 978-1-4042-0774-5
Kirk, G.S., Raven, J.S. [1977], «Chapter IX», The Presocratic Philosophers, p. 286,
Cambridge: Cambridge University Press
Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century
Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-46500910-7, p. 20.
Informações e contato:
Prof. Antonio Cesar Celente
E-mail: [email protected]
Site: (http://www.professorcelente.com.br)
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Pag. 56