Raciocínio Lógico-Matemático
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9. RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
9.1 - NÚMEROS RACIONAIS E REAIS
A) NÚMEROS NATURAIS
N = { 0, 1, 2, 3, ..., }
B) NÚMEROS INTEIROS
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., }
C) NÚMEROS RACIONAIS
Q= { a/b | a∈
∈Z e b∈
∈Z* }
∗∗ De acordo com a definição dada acima, um número racional é um número inteiro ou
um número fracionário.
D) NÚMEROS IRRACIONAIS
I = { x | x∈
∈R e x∉
∉Q } = R – Q
E) NÚMEROS REAIS
R = { x
x∈
∈Q ou x ∈I } = Q ∪ I
N
Z
Q
R
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EXERCÍCIOS
►PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS RACIONAIS E REAIS
“Dica” para os testes : 01 e 02
Algoritmo de Euclides
Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e b, tem-se sempre
0 ≤ r < b.
01) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem apenas um algarismo,
os divisores possíveis são
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) 4, 5, 6
c) 7
d) 7, 8, 9
e) 8, 9
Resp.: e
02) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é
igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é?
Resp.: 10
03) (FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois
caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do
guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná
ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná,
esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das
duas filas era:
a) 24
b) 26
c) 30
d) 32
e) 36
Resp.: e
04)(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por
a) 1,25
b) 12,5
c) 1/80
d) 80
e) 125/100
Resp.: d
A2 − B 3
, para A=2 e B=-1, é um número compreendido
05) (FCC) O valor da expressão B
A + BA
entre
a) -2 e 1
b) 1 e 4
c) 4 e 7
d) 7 e 9
e) 9 e 10
Resp.: b
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06) (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos gastaram: um, 54
minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as velocidades médias desses
veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era
a) 11,475
b) 39,25
c) 40,5
d) 42,375
e) 45,5
Resp.: c
07) Há 19 anos, uma pessoa tinha 1/4 da idade que terá daqui a 14 anos. A idade da pessoa, em
anos está hoje entre
a) 22 e 26
b) 27 e 31
c) 32 e 36
d) 37 e 41
e) 42 e 46
Resp.: b
08) (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas
de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, adotando o seguinte procedimento:
- nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página;
- nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página;
Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página.
Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número
compreendido entre
a) 5 e 8
b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20
Resp.: a
09) (ESAF) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20
anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual é a idade atual de Carlos?
Resp.: 14 anos
10) (ESAF) Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido?
Resp.: 6h24min
11) (FCC) Num mesmo instante, dois automóveis começam a rodar em uma estrada, um em
direção ao outro, quando a distância entre eles é de 480 km. Se a velocidade de um deles é de
105 km/h e a do outro é de 95 km/h, após quanto tempo da partida eles se cruzarão nessa
estrada?
a) 1 hora e 40 minutos
b) 1 hora e 55 minutos
c) 2 horas
d) 2 horas e 20 minutos
e) 2 horas e 24 minutos
Solução:
d1= distância percorrida pelo 1º automóvel até o ponto de encontro;
d2= distância percorrida pelo 2º automóvel até o ponto de encontro.
Supondo que o tempo para se cruzarem seja t horas, teremos:
d1= 105t e d2= 95t.
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12
Como d1 + d2 = 480, vem que 105t + 95t = 480 e daí t=
h ou 2h24min.
5
Resp.: e
12) (ESAF) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma altura são acesas
simultaneamente. Suponha que:
- as chamas das duas velas ficam acesas, até que seja consumidas totalmente;
- ambas as velas queimam em velocidades constantes;
- uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto a outra o é em 4 horas.
Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de uma vela
será o dobro da altura da outra?
a) 2 horas e minutos
b) 2 horas e 30 minutos
c) 3 horas e 10 minutos
d) 3 horas e 20 minutos
e) 3 horas e 30 minutos
Solução: Seja t o tempo pedido (em horas) e H a altura inicial das velas. Para simplificar,
tomemos H= 1 (uma unidade qualquer de comprimento). Então:
1) Após 1 h:
1ª vela: queimou 1/5 de H= 1/5 e sua altura será 4/5;
2ª vela: queimou 1/4 de H= 1/4 e sua altura será 3/4.
2) Após t horas:
5−t
;
5
4−t
2ª vela queimou t/4 de h = t/4 e sua altura será 1 – t/4 =
.
4
5−t
10
4−t
Fazendo-se
h, ou seja, t = 3h20min.
= 2
 obteremos t =
5
3
 4 
1ª vela queimou t/5 de H= t/5 e sua altura será 1 – t/5 =
13) (ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x
quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a
uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas,
que o avião YPS , após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas
b) x / (y-x) horas
c) 1 / 2x horas
d) 1 / 2y horas
e) x / 2(y-x) horas
Solução: Os dois aviões percorrerão a mesma distância até se encontrarem. O avião YPS
levará t horas e o avião XIS levará t+1/2 horas até o encontro (pois XIS decolou meia hora
antes de YPS).
Como a distância percorrida por YPS em t horas é igual à distância percorrida por XIS em
t+1/2 horas, teremos:
y t = x (t +
1
x
)⇒ yt=xt+ ⇒
2
2
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⇒ (y-x)t =
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x
x
⇒ t=
horas.
2
2( y − x )
Resp. : e
►RAZÕES E PROPORÇÕES
01) Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e Paulo, em 30
arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de pontos por arremessos?
Resp.: André
02) Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que
fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto?
Resp.: 1/5 e 1/6
03) Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. Adicionando-se 11
unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão original é
a) 54/57
b) 30/33
c) 33/36
d) 42/45
e) 18/21
Resp.: d
04) (FCC) As cidades R e S são ligadas por uma rodovia. Num mesmo instante partem dois
veículos dessas cidades, um de R para S e outro de S para R. Sem paradas, eles mantêm
velocidades constantes e cruzam-se em um ponto localizado a 3/7 do percurso de R para S. Se a
velocidade do que saiu de R era de 60 km/h, a velocidade do outro era de
a) 85 km/h
b) 80 km/h
c) 75 km/h
d) 70 km/h
e) 65 km/h
Resp.: b
05) (FCC) Álvaro e José são seguranças de uma empresa e recebem a mesma quantia por horaextra de trabalho. Certo dia, em que Álvaro cumpriu 2 horas-extras e José cumpriu 1 hora e 20
minutos, Álvaro recebeu R$ 11,40 a mais do que José. Logo, as quantias que os dois receberam,
pelas horas-extras cumpridas nesse dia, totalizavam
a) R$ 60,00
b) R$ 57,00
c) R$ 55,00
d) R$ 54,50
e) R$ 53,80
Resp.: b
06) (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está
para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00,
qual é a diferença positiva entre os salários dos dois?
99
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a)
b)
c)
d)
e)
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R$ 200,00
R$ 250,00
R$ 300,00
R$ 350,00
R$ 400,00
Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo
A 3
 =
B 4
3 A + 2 B = 6800
obteremos A= 1200, B=1600 e daí 1600-1200= 400.
Resp.: e
07) (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, respectivamente.
Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa mistura?
a) 135 000
b) 32 400
c) 1 350
d) 324
e)135
Solução: Supondo-se uma mistura com 6 litros(1 l de álcool + 5 l de gasolina, a razão entre
1
5
e a razão entre a gasolina e o total da mistura é
. Assim, podemos
5
6
5
x
escrever a proporção:
=
, donde tiramos x = 135 l = 135 dm3 = 135.000 cm3.
6 162
álcool e gasolina é
Obs.: Essa questão também pode ser resolvida pelo método mostrado na questão 19.
08) (FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta
mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de
madeira foram usados na confecção desse peso de papel ?
a) 494,18
b) 476,16
c) 458,18
d) 49,418
e) 47,616
Solução:
1) O volume do cubo com aresta = 0,8 dm = 8 cm é V = 83 = 512 cm3 ;
2)
0,93
x
⇒ x = 476,16 g.
=
1
512
Resp.: b
09) (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do
TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão:
h
= 3−
m
1
3−
, em que h=nº de homens e m=nº de mulheres. Sabendo que o total de
1
3−
1
3
participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto afirmar que :
a) h+m=158
Resp.: b
b) h-m=68
c) 70<h<100
d) 50<m<70
e) m.h<4000
100
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►DIVISÃO PROPORCIONAL
01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são sucessões de
números
a) diretamente proporcionais;
b) inversamente proporcionais.
Solução:
a) Os números serão diretamente proporcionais se
2 a 6 c 10
= = = =
= k ( no caso, k=2).
1 2 b 4 d
A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5.
b) Os números serão inversamente proporcionais se
2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2).
A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5.
02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6.
Solução:
1) x = 9k, y = 8k, z = 6k.
2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e
Resp.: 36, 32 e 24.
z=6.4=24.
03) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.
Solução:
1) x =
k
k
k
, y= , z= ;
2
3
4
2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39.
Resp.: 78, 52 e 39
04) (ESAF) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles, sabendo
a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60.
que
Solução: substituíndo
 x = 3k

 y = 4k
 z = 6k

em 3x – y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = 72.
Resp.: 72
05) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Calcule
esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360°.
Resp.: 48°, 72°, 96° e 144°.
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06) (FCC) Três técnicos judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340
processos e, para executar essa tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente
proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que:
-Alberico tem 36 anos;
-Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem em 12 anos;
-caberá a Corifeu arquivar 90 processos.
Nessas condições, é correto afirmar que
a) as idades dos três somam 105 anos.
b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos.
c) Corifeu tem 28 anos.
d) Alberico deverá arquivar 120 processos.
e) Benivaldo tem 35 anos.
Resp.: d
07) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z. Sabe-se que o maior
é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são,
nesta ordem, diretamente proporcionais a
a) 1, 3 e 6.
b) 1, 4 e 6.
c) 1, 5 e 6.
d) 1, 6 e 7.
e) 1, 7 e 8.
Resp.: c
08) (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina e Jasmin foram incubidos de digitar 150 páginas
de um texto. Para executar essa tarefa, o total de páginas foi dividido entre eles, de acordo com
o seguinte critério:
- Amaro e Jasmin dividiram 3/5 do total de páginas entre si, na razão direta de suas respectivas
idades: 36 e 24 anos;
- Belisário e Celina dividiram entre si as páginas restantes, na razão inversa de suas respectivas
idades: 28 e 32 anos.
Nessas condições, aquele que digitaram a maior e a menor quantidade de páginas foram,
respectivamente,
a) Amaro e Celina
b) Belisário e Celina
c) Amaro e Belisário
d) Celina e Jasmin
e) Jasmin e Belisário
Resp.: a
“Dica” : Se x é um número
1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ;
2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x =
k
;
ab
3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo tempo, escrevemos
x=
ak
.
b
09) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas participado com R$
11.000,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3
dias por semana. Após algum tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas
proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma.
Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior capital é
102
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a) R$ 2.200,00
b) R$ 4.400,00
c) R$ 5.400,00
d) R$ 6.600,00
e) R$ 7.400,00
Solução:
 x = 11000.2.k = 22 000 k

 y = 9000.3 .k = 27 000 k
Substituíndo em x + y = 9 800 obteremos k =
1
1
e daí, x = 22 000. = 4.400,00.
5
5
10) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 5, 8 e 10 e
inversamente proporcionais a 6,3 e 4.
Solução: x =
5k
8k
10k 5k
, y=
, z=
=
. Substituindo em x + y + z = 360, obtemos k = 60.
6
3
4
2
A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150.
Resp.: 50,160 e 150.
11) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor
da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um
segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um
segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é
a) 4 meses
b) 4 meses e meio
c) 5 meses
d) 5 meses e meio
e) 6 meses
Resp.: a
12) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos
judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.
João
Maria
Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos)
36
8
30
12
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de
laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no tribunal. Se
João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
Resp.: c
13) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164
processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus
respectivos tempos de serviço público.
Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no
serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou
é
a) 48
b) 50
c) 52
d) 54
e) 56
Resp.: c
103
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►REGRAS DE TRÊS
São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais.
Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP) quando os valores
numéricos assumidos por elas são, respectivamente, números direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplos:
1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y:
A
B
20
4
30
6
40
x
A
B
10
2,5
8
x
14
y
Resp.: x = 8
Resp.: x=2, y=3,5
2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais.
Determine x:
A
B
6
24
12
x
Resp.:x=12
A
B
8
10
x
16
Resp.: x=5
REGRA DE TRÊS
Simples
Direta: envolve duas GDP
Inversa: envolve duas GIP
Composta: envolve mais de duas grandezas
Exemplos
1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?
5m  600
8m 
x
Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:
5 600
8.600
=
⇒x=
= 960
8
x
5
Resp.: $ 960
2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse
mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h?
80km/h  4h
64km/h  x
Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:
104
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80 x
80.4
= ⇒x=
=5
64 4
64
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Resp.: 5 horas
3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Em quantos dias
duas máquinas produziriam 900 peças?
GIP
GDP
4 máquinas

8 dias

600 peças
2 máquinas

x dias

900 peças
Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada uma das outras.
Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” são GDP. Assim, temos:
8 2 600
= ⋅
⇒ x = 24
x 4 900
Resp.: 24 dias
4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas
levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos 3/4 da
primeira?
10d

8h

1000 m
 dif. 4
xd

6h

2000 m
 dif. 3
10 6 1000 4
= ⋅
⋅ ⇒ x = 20
x 8 2000 3
Resp.: 20 dias
EXERCÍCIOS
01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de farinha que se
obtém com 480 kg de trigo?
Resp.: 408 kg
02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no mesmo instante, é 0,9
m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara tem 2 m de comprimento.
Resp.: 10m
105
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03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas para avançar 77
mm?
Resp.: 14
04. Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são escoados em 8
minutos?
Resp.: 160
05.(FDRH) Em cada 3m2 de uma fazenda são plantadas 15 sementes. O número de hectares
necessários para se plantar 200 mil sementes é...
Resp.: 4
06. (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo
serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se
que o serviço seja feito?
a)2h7min
b)2h5min
c)1h57min
d)1h43min
e)1h36min
Solução:
1) Em 1h, A e B limpam juntos:
2)
1 1 7
+ =
do salão.
4 3 12
7

1h..........
12

 x............1
Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x =
1.1 12
= h, ou seja,
7 / 12 7
x= 1h43min aproximadamente.
Resp.: d
07. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8
horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se
trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em,
aproximadamente,
a) 1 hora e 40 minutos
b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos
c) 2 horas e 20 minutos
d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos
e) 2 horas e 54 minutos
Resp.: b
08. (ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira
for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta,
ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo,
ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
106
Raciocínio Lógico-Matemático
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Resp.: e
09. (FCC) Pretendendo fazer uma viagem à Europa, Mazza foi certo dia a uma agência do
Banco do Brasil comprar euros e dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6 132,00 para comprar € 2
800,00 e que, com R$ 4 200,00 comprou
US$ 2 500, 00. Com base nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do
euro em relação ao dólar, era de 1 para
a) 1,3036
b) 1,3606
c) 1,3844
d) 1,4028
e) 1,4204
Resp.: a
10. (FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O número de horas
correspondente a esse tempo é
a) 0,25.10-3
b) 2,5.10-3
c) 25.10-3
d) 2,5.10-1
e) 0,25.10
Resp.: b
11 .(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato
retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria
para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os
cortes devem ter o mesmo comprimento?
a) 36
b) 35,5
c) 34
d) 33,3
e) 32
Resp.: a
12. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de voltas da primeira,
quando a segunda dá 600 voltas por minuto?
Solução:
40dentes.........600v / min

50dentes..........x
Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos
40
x
=
e daí
50 600
obtemos x = 480 v/min.
Resp.: 480
13. (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa y,
é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize
essa tarefa é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
107
Raciocínio Lógico-Matemático
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Resp.: e
14. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina(água
e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a 3%(sal) é
a) 90g
b) 94g
c) 97g
d) 98g
e) 100g
Resp.: e
15. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo, empregando os
mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias?
Resp.: 250
16. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram
necessários 20
caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos
caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
Resp.: 16
17.(ESAF) Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia,
cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que :
-
os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos;
-
ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos
37
do dia e trabalharam juntos
96
ininterruptamente até concluí-la;
Floriano gastou 1hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote;
Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60% da
de Floriano.
Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às
-
a)
b)
c)
d)
e)
11 horas e 15 minutos.
11 horas e 20 minutos.
11 horas e 50 minutos.
12 horas e 10 minutos.
12 horas e 25 minutos.
Solução:
1º) Início das tarefas:
37
37
× 24 =
h = 9h15min ( ou 555 min );
96
4
2º) Tempo gasto por Peixoto para realizar sua tarefa:
Cap.Operacional 100 (Floriano).........105 min
Cap.Operacional 60 (Peixoto)............x min
Como as grandezas são inversamente proporcionais ( GIP), escrevemos
100
x
=
⇒ x = 175 min ( ou 2h 55min );
60 105
3º) 9h 15min + 2h 55min = 12h 10 min (ou 555min + 175 min= 730 min= 12h10min).
Resp.: d
108
Raciocínio Lógico-Matemático
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
18. Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Quanto tempo
levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia?
Resp.: 18 dias
19. (CESGRANRIO) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas
embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras,
funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108.000 bombons?
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e)5
Resp.: c
20. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia,
uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com
uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
Resp.: c
21. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dia faria
uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia?
Resp.: 4
22. Se
2
de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, o
3
restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia em...
Resp.: 2 dias
23. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras. Utilizando-se os
mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas ele terá com 45 linhas por página e
50 letras por linha?
Resp.: 288
24. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura,
100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e meio. Aumentando de 400 o
número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, em quanto tempo os operários
construiriam um outro canal com o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura
dupla do primeiro?
Resp.: 42 dias
25. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de comprimento,
trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte operários, com capacidade 4,
trabalhando 12 horas por dia, num terreno de dificuldade 2, abririam uma vala de quantos
metros de comprimento?
Resp.: 576m
26. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em 200 dias e 8 horas
de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empre gando 45 homens. Em quantos dias de
trabalho concluirá a preparação de outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10
máquinas e 48 homens em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é
4
da do trecho concluído?
5
Resp.: 144 dias
109
Raciocínio Lógico-Matemático
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28. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos
comerão uma dúzia e meia de sardinhas?
Solução:
1,5 gatos...........1,5 sardinhas.........1,5 min
9 gatos..............18 sardinhas.......... x min
1,5 9 1,5
=
.
e daí, obtemos x = 3.
x 1,5 18
Resp.: 3 minutos
29. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come uma galinha em
quantos minutos?
a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
e) 100
Resp.: e
►PORCENTAGEM
Uma porcentagem é uma razão na qual o consequente é 100.
Simbologia: %
Exemplos:
5

1) 5% = 100 = 0,05

27

= 0,27
2) 27% =
100

147

3)147% = 100 = 1,47

a) Aumento (acréscimo)
Vo = valor inicial

Vf = valor final
i =taxa de aumento

⇒
Vf = Vo (1 + i) , onde 1 + i = fator de aumento.
Exemplo:
Vo = $ 50
i = 35% (aumento)
Vf = ?
⇒
Vf = 50 x 1,35 = 67,50
b) Diminuição (desconto)
Vo = valor inicial

Vf = valor final
i =taxa de desconto

⇒
Vf= Vo (1 - i) , onde 1 - i = fator de desconto.
110
Raciocínio Lógico-Matemático
Exemplo:
Vo = $ 120
i = 10% (desconto)
Vf= ?
⇒
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Vf = 120 x 0,90 = 108
c) Aumentos sucessivos
Vf = Vo (1 + i1) (1 + i2)... (1 + in)
Exemplo:
Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual o valor final da
mercadoria?
Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121
d) Descontos sucessivos
Vf = Vo (1 - i1) (1 - i2)... (1 - in)
Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos sucessivos de 30% e
5%. Qual o valor líquido da fatura?
Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $ 133
EXERCICIOS
01) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um
curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui também duas
filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos
empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos
empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de
Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros
que não optaram pelo curso é igual a ?
Resp.: 60 %
02) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a
a) 2
b) 5
c) 20
d) 40
e) 80
Resp.: c
03) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De quantos por
cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por igual?
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
Resp. : e
04) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote. Se 35% do
número restante corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no lote era
a) 110
b) 120
c) 140
d) 150
e) 180
Resp.: d
05) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o
preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda
é
a) 1/5
b) 2/5
c) 2/3
d) 3/4
e) 5/6
111
Raciocínio Lógico-Matemático
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120. Daí:
C 100 5
=
=
V 120 6
Resp.: e
06) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que apresentam, entre si, a
razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de y nessa mistura é
a) 43,75% b) 47,55% c) 56,25% d) 65,25%
e) 87,53%
Resp.: c
07) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do
total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o
número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é
a) 42
b) 43
c) 45
d) 48
e) 49
Resp.: b
08) (ESAF) Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos
funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total do total dos
funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da
porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
Resp.: e
09) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a
razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários
dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem
de funcionários concursados do sexo
a) feminino é maior que 42%.
b) masculino está compreendida entra 45% e 52%.
c) feminino é menor que 35%.
d) masculino é maior que 50%.
e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%.
Resp.: b
10) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou 1/4 do número de
páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é
a) 20%
b) 25%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
Resp.: e
112
Raciocínio Lógico-Matemático
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11) (ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências
humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem
matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos
alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que
estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%
b) 21,67%
c) 25,00%
d) 11,00%
e) 33,33%
Resp.: c
12) (ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados
em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são
graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos
participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras
graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é
o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 57%
d) 50%
e) 25%
Resp.: c
13) A produção de trigo num dado ano foi de 80 t e no ano seguinte aumentou 5%. A nova
produção de trigo foi de?
Solução: Vf = Vo(1+i) ⇒ Vf = 80(1,05) =84 t
14) Numa competição,um nadador cujo tempo era de 50s, diminui em 10% o seu tempo. O seu
novo tempo é de?
Solução: Vf = Vo(1-i)⇒ Vf = 50 (0,9) = 45 s
15) Ao pagar a conta de um restaurante, paguei $ 165,00 já incluindo 10% de gorjeta para o
garçom. O valor da conta, sem a gorjeta, foi de?
Solução:
Vf=Vo(1+i)⇒ 165 = Vo(1,1) ⇒ Vo =
165
= 150
1,1
Resp.: $ 150,00
16) (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta
25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o
de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto
a) baixará de 2%.
b) aumentará de 3,2%.
c) baixará de 1,8%.
d) aumentará de 1,2%.
e) permanecerá inalterado.
Resp.: a
113
Raciocínio Lógico-Matemático
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17) (FAURGS) João vendeu dois terrenos por $ 12.000,00 cada um. Um deles deu 20% de lucro
em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de ambos, João
a) ganhou $1.000,00
b) perdeu $ 1.000,00
c) não perdeu nem ganhou
d) perdeu $ 400,00
e) ganhou $ 400,00
Resp.: b
18) No 1º dia de um certo mês ,uma ação estava cotada a $20,00. Do dia 1º até o dia 15 do
mesmo mês, ela sofreu um aumento de 15%. Do dia 15 até o dia 25, sofreu uma queda de 7%.
Qual a cotação da ação no dia 25 ?
Solução: Vf = 20 x 1,15 x 0,93 = $21,39.
19) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve
reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no
mesmo patamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20 % deveria, ainda, sofrer
um reajuste de
a) 10%
b) 12%
c) 16%
d) 20%
e) 32%
Solução:
(1,20)(1+i) = 1,32 ⇒ 1+i =
1,32
= 1,1 ⇒ i = 0,1 ou 10%.
1,20
20) (FCC) Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas oferecem
dois descontos sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na
escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de
a) 34%
b) 36%
c) 37%
d) 39%
e) 40%
Resp.: c
21) (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua
loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende
voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na
liquidação devem, ser aumentados em
a) 18,5%
b) 20%
c) 22,5%
d) 25%
e) 27,5%
Resp.: d
22) (FAURGS) Certa empresa projeta um aumento anual de 50% em sua produção. Se, em
determinado ano, ela produz 1.000 unidades de determinado produto, então, 3 anos após, o
número de unidades desse produto produzido pela empresa é estimado em
a) 50%(1000)3
b) 3(0,5)1000
c) 1,5(1000.3)
d) 1000(1,5)3
e) 1000(0,50)3
Solução: Vf = 1000(1,5)(1,5)(1,5) = 1000(1,5)3
Resp.: d
114
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23) (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por
R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%;
em 2009, sofreram uma desvalorização de 20% em relação ao seu valor no ano anterior; em
2010, se valorizaram em 20% em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:
a) 20%
b) 18,4%
c) 18%
d) 15,2%
e) 15%
Resp.: d
24) (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados,
90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90%
agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais
hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães.
Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados
nessa estranha clínica é
a) 10
b) 20
c) 40
d) 50
e) 70
c = nº de cães

Solução:  g = n º de gatos = 10
total de animais = c + 10

1º) 90% de c =
9
1
c agem como cães e 10% de c = c agem como gatos
10
10
2º) 90% de g = 9 agem como gatos e 10% de g = 1 age como cão;
3º) Como 20% de todos os animais da clínica agem como gatos, temos:
20
1
(c + 10) = c + 9 e a partir daí, obtemos c = 70.
100
10
Resp.: e
115
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10. RACIOCÍNIO SEQUENCIAL
01. Determine os valores de x e y nas seqüências a seguir:
a) 3, 6, 10, 15, 21, 28, x
b) 0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, x
c) 1, 8, 27, 64, x, y
Resp.: a)36
b)196
c)125 e 216
02. Determine o valor de x nas seqüências a seguir:
a) 16, 15, 13, 12, 10, 9, x,...
b) 3, 8, 5, 10, 7, x,...
c) 10, 8, 16, 13, 39, 35, x,...
d) 30, 15, 45, 15, 60, x,...
e) 4, 7, 9, 11, 14, 15, 19, x,...
f ) 0, 3, 8, 15, x,...
Resp.: a)7
b)12 c)140
d)15 e)19
f)24
03. Determine o 7o termo de cada uma das sequências abaixo :
a)1/2, 3/4, 1, 5/4, 3/2, 7/4,...
b)7/8, 1/2, 1, 5/8, 9/8, 3/4,..
Resp.: a)2
b)5/4
04.Determine o próximo termo da seqüência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)
Resp.: 34
05.(FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13,...) obedecem a uma lei de
formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número
compreendido entre
a) 70 e 90
b) 90 e 110
c) 110 e 130
d) 130 e 150
e) 150 e 170
Solução:
A lei de formação da sequência é composta por duas leis aplicadas alternadamente, que
são “mais um” e “vezes três”. De fato, observe:
1º termo: 0
2º termo: 0+1=1
3º termo: 1 × 3=3
4º termo: 3+1=4
5º termo: 4 × 3=12, e assim por diante.
Escrevendo os dez primeiros termos da sequência, teremos:
0, 1, 3, 4, 12, 13, 39, 40, 120, 121,... e a soma do oitavo com o décimo termos é
40 + 121 = 161.
Resp.: e
06.(FCC) Considere que os termos da seqüência seguinte foram sucessivamente obtidos
segundo determinado padrão:
(3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...)
O décimo termo dessa sequência é
a) 1537
b) 1929
c) 1945
d) 2047
e) 2319
116
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Resp.: d
07) (FCC) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado
critério:
1 5 3 15 13 65 63
, , ,
,
,
,
, ... )
1 4 3 12 11 44 43
x
Se
é o nono termo dessa sequência, obtido de acordo com essa critério, então a soma x +
y
(
y é um número
a) maior que 500
b) menor que 400
c) múltiplo de 7
d) ímpar
e) quadrado perfeito
Resp.: e
08. (CESGRANRIO)
a1 = 2

a 2 = 3
a = a − a
n −1
n−2
 n
Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima?
a) 2
b) 1
c) -1
d) -2
e) -3
Resp.: d
09.(BACEN)
a)
82
90
1 16 25 64 ...
, ,
,
,
4 9 36 49 ...
b)
81
100
c)
100
72
d)
99
72
e)
100
81
Resp. : b
10. Determine o próximo termo da sequência C3, 6G, M10, ...
Resp.: 15S
11. (FUNRIO) O N-ésimo termo da sucessão (1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ...) é representado por
AN, sendo N um número inteiro maior do que zero. O valor de (A50 - A48) é:
a) 4804
b) 5101
c) 5000
d) 4901
e) 5225
Resp.: d
12. O próximo termo da seqüência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é
a) 20
b) 24
c) 32
d) 120
e) 200
Solução: todos os números da seqüência dada começam com a letra “D”. O próximo
número seria “Duzentos”.
Resp.: e
117
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11. MATEMÁTICA FINANCEIRA
{
1. JUROS SIMPLES
Simbologia:
C = capital inicial (principal);
i =taxa unitária de juros;
n = nº de períodos (prazo);
J = total de juros em n períodos;
M = montante no final de n períodos = C + J
No regime de Juros Simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial C, originando um juro
igual a Ci, em todos os períodos. Assim, o total de juros no final de n períodos é:
}
J = Ci + Ci +... +Ci = Cin
n parcelas
Logo,
J = Cin
e
M=C+J
ou
M = C(1 + in)
Observação: Nas fórmulas acima, a taxa (i) e o prazo (n) devem usar a mesma
unidade de tempo.
Exemplos:
1) Calcule os juros simples obtidos nos seguintes casos:
Capital
a) $ 2.000
b) $15.000
c) $18.000
Taxa
1% a.m.
18% a.a.
0,2% a.d.
Prazo
5 meses
8 meses
3 meses e 10 dias
a) J = 2.000 × 0,01 × 5 = $ 100
b) J = 15.000 u.m. × 0,18 × 8/12 = $ 1.800
c) J = 18.000 × 0,002 × 100 = $ 3.600 .
{
2) Qual o capital que produz o montante de $ 17.500, em um ano e meio, à taxa de 50% a.s.?
C=?
M = $17.500,00
n = 1 ano e meio = 3 semestres
i = 0,50 a.s.
M = C(1 + in) ⇒ C =
M
=
1 + in
17.500= 7.000. Logo, C= $7.000,00.
1+0,50×3
118
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TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
De um modo geral, dizemos que duas taxas de juros (simples ou compostos) são
Equivalentes, quando, aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros
iguais.
Seja i = taxa de juros simples no período inteiro, k = nº de períodos nos quais
subdividiu-se o período inteiro e ik = taxa em cada um dos k subperíodos.
Tomemos um capital C qualquer e o prazo n = 1. Para que i e ik sejam taxas
equivalentes, devemos ter
C · i · 1 = C · ik · k ⇒
i = k · ik
ou
ik =
i
k
.
que é a fórmula das taxas equivalentes em Juros Simples.
Nota: Quando i é a taxa anual (i = ia), os valores mais usuais de k são:
k=2
⇒
taxa semestral = is
k=3
⇒
taxa quadrimestral = iq
k=4
⇒
taxa trimestral = it
k=6
⇒
taxa bimestral = ib
k = 12
⇒
taxa mensal = im
k = 360 ⇒
taxa diária = id
Para estes valores de k, a fórmula acima desdobra-se em:
ia = 2is = 3iq = 4it = 6ib = 12im = 360id
Vemos que no Juros Simples, as Taxas Equivalentes são Taxas Proporcionais.
CAPITAIS EQUIVALENTES (CONCEITO GERAL)
O conceito geral de capitais equivalentes, aplicável tanto ao regime de juros simples quanto ao
regime de juros compostos é o seguinte:
“Dois capitais são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando os seus
valores atuais (ou futuros), calculados numa mesma data (data focal), à mesma taxa de
juros, são iguais”.
Exemplo:
O capital de $ 980,00 daqui a 4 meses equivale ao capital de $ 700,00 hoje(data zero),
considerada a taxa de juros simples de 10% a.m.
De fato, na data focal 0, o capital de $ 980,00 valerá
980
= $ 700,00.
1 + 0,10.4
Obs.: trabalharemos detalhadamente o conceito de equivalência de capitais nos
exercícios.
119
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EXERCÍCIOS
A taxa efetiva de juros numa operação financeira qualquer, é a taxa que efetivamente é paga
(ou recebida) na operação e, é obtida considerando-se o valor líquido recebido (ou pago) .
01. Um banco cobra a taxa (nominal) de 10% a.m. nas suas operações de empréstimo pessoal
para pagamento em 30 dias, mas cobra os juros antecipadamente, na data da assinatura do
contrato. Qual a taxa efetiva cobrada na operação?
02.(CESGRANRIO)- Uma pessoa pretende fazer um empréstimo a juros simples de 3% a.m.
No final de 4 meses, ela poderá pagar, no máximo, $1.400,00. Nessas condições, essa pessoa
poderá tomar emprestado, por 4 meses, o valor máximo de
a) $1.200,00
d) $1.250,00
b) $1.225,00
e) $1.274,00
c) $1.232.00
03.(CESGRANRIO)- A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um capital para que, ao
final de 20 meses, o seu valor seja triplicado?
a) 10%
b) 60%
c) 100%
d) 120%
e) 150%
04.(CESGRANRIO)- Um capital de $15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de
3%. Para que seja obtido um montante de $19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de
a) 1 ano e 10 meses
b) 1 ano e 9 meses
c) 1 ano e 8 meses
d) 1 ano e 6 meses
e) 1 ano e 4 meses
05. (FCC) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível
resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período
mínimo de :
a) 7anos, 6 meses e 8 dias
b) 8 anos e 4 meses
c) 8 anos, 10 meses e 3 dias
d) 11 anos e 8 meses
e) 11 anos, 1 mês e 10 dias
Resp.: b
06. (CESGRANRIO)- Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas,
sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$
880,00.
Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?
a) 6%
b) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 2%
07. (FCC) Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de
pagamento:
- à vista, por R$ 225,00;
- R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra.
120
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Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada
nesse financiamento é de
a) 30%
b) 27%
c) 25%
d) 20%
e) 10%
Resp.: c
08.(ESAF) Indique nas opções abaixo, qual a taxa anual unitária equivalente à taxa de juros
simples de 5% ao mês.
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5, 0
09.(CESGRANRIO)- Qual o tempo necessário para que o montante produzido pela aplicação de
R$ 1.050,00, à taxa de juros simples de 8% a.m., se iguale ao montante produzido pela
aplicação de R$ 1.470,00 à taxa de juros simples de 5% a.m., considerando que ambos os
capitais foram aplicados na mesma data?
a) 40 meses
b) 36 meses
c) 28 meses
d) 44 meses
e) 41 meses
10.(FDRH) Um indivíduo aplica 3/5 de seu capital à taxa de juros simples de 24% ao ano, e o
restante a juros simples de 12% ao trimestre. Decorridos 10 meses, da aplicação, ele ganha R$
5.600,00 de juros.
Qual o valor do seu capital inicial?
a) R$ 10.752,00
b) R$ 15.680,66
c) R$ 18.000,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 23.333,33
11.(FDRH) Um investidor aplicou, a juros simples, um certo capital. Após 8 meses de
aplicação, ele faz uma consulta a seu saldo e verifica que já existe o montante de R$ 7.500,00.
Finda a aplicação, quatro meses após essa consulta, ele encontra um saldo de R$ 8.200,00. Qual
foi o valor da taxa de juros utilizada, sabendo que a mesma ficou inalterada ao longo de todo o
período de aplicação?
a) 3,28%
b) 2,86%
c) 2,34%
d) 2,08%
e) 1,82%
12. (CESGRANRIO)- Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1
ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa
aplicação foi de
a) 2%
b) 2,2%
c) 2,5%
d) 2,6%
e) 2,8%
13. Uma pessoa possui um financiamento a taxa de juros simples de 10% a.m.. O valor total dos
pagamentos a serem efetuados é de $1.400,00. As condições contratuais prevêem que o
pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de
setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda
parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo
primeiro mês. 0 valor que mais se aproxima do valor financiado é:
121
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a) $ 816,55
b) $ 900,00
c) $ 945,00
d) $ 970,00
e) $ 985,00
14. (ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira,
dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da
conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada
como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do
mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.
a) R$ 2.080,00
b) R$ 2.084,00
c) R$ 2.088,00
d) R$ 2.096,00
e) R$ 2.100,00
15. (FCC) Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juros simples, produzindo, ao fim de um
trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de juro dessa aplicação foi
a) 48%
b) 50%
c) 54%
d) 56%
e) 63%
16. (FCC) Uma pessoa tem R$ 2 000,00 para investir. Se aplicar
3
dessa quantia a juro simples,
4
à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de R$ 90,00, deverá investir o
restante à taxa mensal de
a) 1%
b) 2%
c) 3%
d) 4%
e) 5%
17. (FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao
mês por um bimestre,
1
à taxa de 2% ao mês por um trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês
5
durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era
a) R$ 5 800,00
b) R$ 8 300,00
c) R$ 10 000,00
d) R$ 10 200,00
e) R$ 10 800,00
GABARITO - JUROS SIMPLES
01. 11,11%
02. d
03. d
04. d
05. b
06. b
07. c
08. d
09. a
10. d
11. b
12. c
13. b
14. a
15. c
16. c
17. c
122
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2. JUROS COMPOSTOS
No regime de Juros Compostos os juros de cada período são calculados da seguinte
maneira:
J1 = Ci
J2 = (C + J1)i = M1 · i
J3 = (C + J1 + J2)i = M2 · i
etc.
Jn = (C + J1 + J2 + + Jn-1)i = Mn-1 · i
Ou seja: no fim de cada período, o juro é somado ao capital que o produziu
(capitalização dos juros), sendo esse montante parcial, o capital inicial para o período seguinte.
Sendo J = J1 + J2 + ... + Jn (total dos juros) e M = Montante no fim de n períodos, temos:
M = C( 1 + i )n
{
e
J=M-C
(1 + i)n é o fator de capitalização
1
(1 + i)
n
= (1 + i )-n é o fator de descapitalização (ou de desconto).
Exemplo:
Coloquei $ 2.000,00 em um banco, a juros compostos de 6% a.a., capitalizados
anualmente. Quanto receberei no fim de 8 anos?
M = C(1 + i)n
M = 2.000 (1 + 0,06)8
M = 2.000 × 1,593849 = 3.187,69
Resp.: $ 3.187,69
123
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TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS
Seja
{
i = taxa de juros compostos no período inteiro
k = nº de capitalizações no período inteiro
ik = taxa de juros compostos em cada um dos k subperíodos
i e ik serão taxas equivalentes se e somente se tivermos
C(1 +i)1 = C(1 + ik)k
⇒
1 + i = (1 + i)k
Exemplos:
a) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?
{
1 + 0,06 = (1 + is)2
k=2
i = ia = 0,06 a.a.
(1 + is)2 = 1,06 ⇒ 1 + is =
is = ?
is =
– 1 = 0,0295 a.s.
Resp.: 0,0295 a.s. (ou 2,95% a.s.)
b) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?
{
k = 12
1 + ia = (1+ 0,04)12
ia = ?
ia = (1,04)12 - 1 = 0,60103 a.a.
im = 0,04 a. m.
Logo, ia = 60,103% a.a.
TAXAS EFETIVA E NOMINAL
Taxa Efetiva: quando o período de capitalização é o mesmo ao qual se refere a taxa.
Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período ao qual se
refere a taxa.
Exemplos:
80% a.a. capitalizados trimestralmente;
135% a.a. capitalizados mensalmente;
10% a.m. capitalizados diariamente
124
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CÁLCULO DA TAXA EFETIVA
Sendo
{
i = Taxa Efetiva no período inteiro;
iN = Taxa Nominal correspondente a i;
k = nº de capitalizações no período inteiro,
proceder assim:
1º) Calcular a taxa efetiva por período: ik = iN / k (Taxa Proporcional)
2º) Usar a fórmula 1 + i = (1 + ik)k para obter i = (1 + ik)k – 1 que é a taxa efetiva
correspondente a iN.
Exemplo:
Qual a taxa anual efetiva correspondente à taxa nominal de 8% a.a., capitalizados
trimestralmente?
{
0,08
= 0,02 a.t.
4
iN = 0,08 a.a., k = 4
1º) it =
ia = ?
2º) 1 + ia = (1 + it)4 ⇒ ia = (1 + it)4 - 1 =
= (1 + 0,02)4–1= 0,08243 a.a. ou 8,243% a.a.
TABELAS
A tabela dada a seguir tem por objetivo mostrar o tipo de tabela financeira que geralmente é
dado em provas. Ela poderá ser útil em algumas questões de juros compostos propostas adiante.
Para valores que não constem na tabela, sugerimos que o estudante utilize uma calculadora
científica (ou financeira).
Tabela do fator de capitalização para pagamento único
(1 + i )n
Taxas de juros
Prazos
0,5%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
1,0050
1,0100
1,0200
1,0300
1,0400
1,0500
1
1,0100
1,0201
1,0404
1,0609
1,0816
1,1025
2
1,0151
1,0303
1,0612
1,0927
1,1249
1,1576
3
1,0202
1,0406
1,0824
1,1255
1,1699
1.2155
4
1,0253
1,0510
1,1041
1,1593
1,2167
1,2763
5
1,0304
1,0615
1,1262
1,1941
1,2653
1,3401
6
1,0355
1,0721
1,1487
1,2299
1,3159
1,4071
7
1,0407
1,0829
1,1717
1,2668
1,3686
1,4775
8
1,0459
1,0937
1,1951
1,3048
1,4233
1,5513
9
1,0511
1,1046
1,2190
1,3439
1,4802
1,6289
10
1,0564
1,1157
1,2434
1,3842
1,5395
1,7103
11
1,0617
1,1268
1,2682
1,4258
1,6010
1,7959
12
(*) Resultados do cálculo do coeficiente arredondados para uma precisão de quatro casas
decimais.
125
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EXERCÍCIOS
01.(FAURGS) O valor dos juros que será obtido na aplicação de um capital de R$ 15.000,00 no
período de 9 (nove) meses, à taxa de juros composta de 4% a.m., desprezando os centavos na
identificação da resposta, equivale a
a) R$ 6.349.
(Dado: (1,04)9= 1,4233 )
b) R$ 5.400.
c) R$ 6.320.
d) R$ 5.796.
e) R$ 16.850.
02.(CESPE) Um cliente tomou R$ 20.000,00 emprestados de um banco que pratica juros
compostos mensais, e, após 12 meses, pagou R$ 27.220,00.
1
Nesse caso, considerando 1,026 como valor aproximado para 1,361 12 , é correto afirmar que a
taxa de juros nominal anual, praticada pelo banco foi igual a
a) 30,2%
b) 31,2%
c) 32,2%
d) 33,3%
e) 34,2%
Resp.: b
03. (ESAF) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de
10% ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo
capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it % ao trimestre resultará no mesmo valor
final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a
a) 26,25%
b) 40%
c) 13,12%
d) 10,25%
e) 20%
04. (FCC) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano,
apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital
tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o
montante no final deste prazo seria igual a
a) R$ 17.853,75
b) R$ 17.192,50
c) R$ 16.531,25
d) R$ 15.870,00
e) R$ 15.606,00
05. Qual a taxa de juros efetiva anual que equivale à taxa de juros composta de 4% a.m., se o
resultado, em termos percentuais, for dado com duas casas decimais? (Dado: (1,04)12 = 1,6010 )
a) 60,10%
b) 48,00%
c) 51,80%
d) 59,60%
e) 53,00%
126
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06.(FDRH) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano
com capitalização semestral (Dado: (1,04)2 = 1,0816 ).
a) 8, 20 %
b) 8,16%
c) 8,10%
d) 8,05%
e) 8,00%
07.(CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a
uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?
a) 75,0%
b) 72,8%
c) 67,5%
d) 64,4%
e) 60,0%
08.(FAURGS) Uma instituição financeira paga juros compostos de 18% ao ano, capitalizados
quadrimestralmente. Qual a taxa efetiva dos juros pagos pela referida financeira?
a) 18,00%
b) 18,60%
c) 19,10%
d) 19,60%
e) 19,80%
09. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje à taxa de juros compostos de 36% ao ano com
capitalização mensal para obter o montante de R$ 2.500,00 após 10 meses?
a) R$ 1.573,00 (Dado: (1;03)10 = 1.3439)
b) R$ 1.630,12
c) R$ 1.750,00
d) R$ 1.860,26
e) R$ 1.923,08
10. (FUNDATEC) A taxa de juros compostos sobre o crédito do cheque especial de um banco é
de 30% ao mês com capitalização diária. Um cliente que utilizar um crédito de R$ 120,00
pagará de juros após10 dias, o total de
a) R$ 2,55
(Dado: (1,01)10 = 1,1046)
b) R$ 12,55
c) R$ 52,55
d) R$ 92,55
e) R$ 132,55
11. (FAURGS) Um empresário contraiu um empréstimo de R$ 50.000,00, por 6 anos, com juros
compostos de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passados 4 anos ele decide resgatar a
dívida, e o desconto concedido é de 24% ao ano, capitalizados semestralmente. Qual o valor do
resgate?
a) R$ 128.659,04
(Dados: (1,06)24= 4,0489 e (1,12)4= 1,5735 ).
b) R$ 129.341,82
c) R$ 129.930,28
d) R$ 130.720,25
e) R$ 131.001,10
12. (CESGRANRIO) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30
dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% a.m.. Considerando o Imposto de Renda de 20% no
resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva
da aplicação são, respectivamente:
a) 10.200,00 e 2,35%
b) 10.240,00 e 2,35%
c) 10.240,00 e 2,40%
d) 10.240,00 e 2,45%
e) 10.300,00 e 2,40%
127
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13. Os fluxos de caixa abaixo são equivalentes a taxa de juros compostos de 5% ao período.
O valor de x é, aproximadamente, de
a) $ 60,00
b) $ 72,00
c) $ 77,18
d) $ 84,18
e) $ 144,00
14. (CESPE) Carlos deve a uma instituição financeira um título com valor de resgate de R$
6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de resgate de R$ 8.000,00, para
vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação, se a instituição financeira emprestou as quantias
a Carlos à taxa de juros compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos
no dia de hoje, então ele terá que pagar um valor que, em reais, pode ser expresso por
8.000 ×1.02 5 + 6.000
.
1,0210
15. (FDRH) Uma loja oferece duas opções na compra de um produto:
• à vista com 10% de desconto;
• dois pagamentos mensais iguais, sem desconto, o 1º no ato da compra. Calcular a taxa de juros
compostos cobrada na compra a prazo.
16. (FDRH)- A loja infor-key oferece duas opções para a compra de um computador: à vista,
com desconto, ou a prazo, sem desconto, em dois pagamentos mensais e iguais, vencendo o
primeiro um mês após a data da compra. Sendo de 6% ao mês a taxa de juros compostos
cobrada na venda a prazo, o valor do desconto na compra à vista será, aproximadamente, de
a) 9,22%
b) 8,92%
c) 8,33%
d) 8,00%
e) 7,98%
17. Para uma taxa de 5% a.m., juros compostos, qual a melhor opção na compra de um
computador:
a) à vista, com 20% de desconto;
b) dois pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º um mês após a compra;
c) três pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º no ato da compra.
18. (FDRH) Um eletrodoméstico custa R$ 1.000,00 para pagamento a vista em uma loja de
varejo. Como não possuía essa quantia, um comprador decidiu parcelar o valor do produto, nas
seguintes condições: 40% de entrada mais uma parcela única para 60 dias, com capitalização
mensal. Sabendo-se que essa parcela foi de R$ 864,00 qual é a taxa de juros compostos mensal
do parcelamento?
128
Raciocínio Lógico-Matemático
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a) 4% a.m.
b) 14% a.m.
c) 20% a.m.
d) 22% a.m.
e) 25% a.m.
19. (CESGRANRIO) Um trator pode ser comprado à vista por um preço v, ou pago em 3
parcelas anuais de $ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros
compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições, o preço v é ?
a) R$ 75.000,00
b) R$ 88.000,00
c) R$ 91.000,00
d) R$ 95.000,00
e) R$ 97.000,00
20. (CESPE) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6%
ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do
terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de
1,063, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ 11.000,00.
21. (CESPE) O capital de R$ 20.000,00 pode ser aplicado à taxa de 72% por um período de 3
anos ou à taxa de juros compostos de 20% ao ano, também por 3 anos. Nesse caso, para o
investidor, a primeira forma de aplicação é financeiramente mais vantajosa que a segunda.
22. (CESPE) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros
compostos de 3% ao mês.
I. Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro feito no dia
1º/3/2009.
II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro feito no dia
1º/3/2009.
Considerando que M1 e M2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data
do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta.
a) M2-M1= R$ 90,90
b) M2-M1= R$ 45,45
c) M2=M1
d) M1-M2= R$ 45,45
e) M1-M2= R$ 90,90
Gabarito – Juros Compostos
01. a
02. b
03. d
04. d
05. a
06. b
07. b
08. c
09. d
10. b
11. a
12. c
13. c
14. Errado
15. 25%
16. c
17. a
18. c
19. c
20. Certo
21. Errado
22. a
129
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3. DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
Desconto é o abatimento que é dado quando uma dívida é paga antes do
vencimento.
Simbologia:
N = valor nominal (valor de face) do título
A = valor atual (valor descontado) do título
n = número de períodos antes do vencimento do título
d = taxa de desconto
D = desconto (total) em n períodos
Em qualquer desconto, temos, por definição:
D=N-A
ou
A=N-D
N
A
0
n
Períodos
DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES ( Desconto Comercial ou “por fora” )
O Desconto Bancário Simples (D) é igual ao juro simples calculado sobre o
valor nominal do título, ou seja:
D = Ndn
O valor atual do título será, neste caso, A = N-D= N-Ndn, ou seja,
A = N( 1-dn)
TAXA EFETIVA DE JUROS NO DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
É a taxa de juros simples ou composto (i), que aplicada sobre o valor
descontado, gera um montante igual ao valor nominal do título, no período considerado.
130
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Para obter i, conhecendo-se a taxa de desconto bancário d, proceder da seguinte
maneira:
1º) Calcular AC: AC = N (1 - dn)
2º) Obter i a partir de N = AC(1 + in) ( ou J=Cin) se for juro simples e a partir de
N = AC (1 + i)n se for juro composto.
Exemplo:
Um título sofreu um desconto bancário simples à taxa de 6% a.a. faltando 90
dias para o seu vencimento. Calcular a taxa efetiva de juros simples obtida pelo
banqueiro na operação.
1º) Supondo N = $ 100,00, teremos:
A = N (1 - dn) = 100 (1 - 0,06 ×
90
) = 98,5
360
2º) N = A (1 + in) ⇒ 100 = 98,5 (1 + 0,25i) ⇒ i = 0,0609 a.a. ou 6,09% a.a.
EQUIVALÊNCIA DE TÍTULOS NO DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
Dois títulos sujeitos ao desconto bancário simples são Equivalentes se os
atuais na seus valores DATA ZERO (Data Focal ou Data de Referência) são
iguais.
Para que um título único, de valor atual A (na data zero) seja equivalente a um
conjunto de títulos de valores atuais A1, A2, ..., Am (na data zero), devemos ter
A = A1 + A2 + ... + Am
Exemplo:
Calcular o valor de uma letra única com vencimento para 40 dias, que deverá substituir três
outras: de $ 8.000, para 30 dias; $ 6.000, para 40 dias; e $ 4.000 para 60 dias. Considere o
desconto bancário simples e a taxa de 9% a.a.
São dados, d = 0,09/360 a.d. e AC = N (1 - dn)
Como A = A1 + A2 + A3, teremos:
N 1 −

0,09
 0,09

 0,09

 0,09


× 40  = 8.000 1 −
× 30  + 6.000 1 −
× 40  + 4.000 1 −
× 60 
360
360
360
360







N(0,99) = 7.940 + 5.940 + 3.940 ⇒ 0,99 N = 17.820 ⇒ N = 17.820 / 0,99 =
$18.000,00.
131
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EXERCÍCIOS
01. Um título de valor nominal igual a $9.000,00 sofre um desconto bancário simples à taxa de
5% a.m., 60 dias antes de seu vencimento. Calcule o valor atual.
02. A taxa mensal de juros simples equivalente à taxa de desconto comercial simples de 20%
a.m. para um título negociado um mês antes do vencimento é?
03. Refaça o exercício anterior, admitindo que seja cobrada uma taxa de serviço de 2% sobre o
valor nominal do título.
04.(FDRH)- Um banco cobra, nas suas operações de desconto de títulos, a taxa de desconto
comercial simples de 24% ao ano mais uma taxa de serviço de 1% sobre o valor nominal do
título. Para uma duplicata descontada 3 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal efetiva de
juros simples, cobrada na operação, é igual a
a) 2,91 %
d) 2,35 %
b) 2,51 %
e) 2,13%
c) 2,47%
05.(CESPE) Se uma nota promissória com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2
anos, é descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto
bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo
cliente é
a) 20%
b) 24%
c) 25%
d) 28%
e) 30%
06. No desconto comercial simples de um título, 90 dias antes de seu vencimento, a taxa efetiva
de juros compostos foi de 7,1% a.m..Qual foi a taxa de desconto correspondente?
07. (ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$
370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal
do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês
08.(CESPE) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor
receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal
de desconto simples por fora será igual a
a) 5%
b) 6%
c) 7%
d) 8%
e) 9%
GABARITO-DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
01.
05
$ 8.100
C
02
06
25%
6,2%
03
07
28,20%
b
04
08
b
d
132
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4. RENDAS UNIFORMES(SÉRIES UNIFORMES, ANUIDADES)
CONCEITOS BÁSICOS
Uma renda uniforme é uma série de dois ou mais pagamentos iguais feitos em intervalos de
tempo iguais.
Quanto ao vencimento dos termos, uma renda uniforme pode ser classificada em imediata ou
diferida (ou com carência).
Imediata: quando o 1º pagamento é feito já no 1º período. Se os pagamentos são feitos no final
de cada período, a renda é dita postecipada. Se são feitos no início de cada período, a renda é dita
antecipada.
Diferida (ou com carência): quando durante m períodos não é feito pagamento algum e o 1º
pagamento ocorre no período m+1 (no início ou no final). Nesse caso, dizemos que há um diferimento
ou uma carência de m períodos.
Exemplos:
1) Renda Postecipada:
2) Renda Antecipada:
3) Renda Diferida (com carência):
(carência = 2 meses)
Simbologia
Adotaremos nas rendas uniformes a seguinte notação:
R = valor de cada pagamento (prestação, parcela ou termo);
n = número de pagamentos (número de prestações, parcelas ou termos);
i = taxa de juros compostos;
C = valor atual (valor presente) da renda na data zero;
M = montante (valor futuro) da renda na data n.
133
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FÓRMULAS
Nas fórmulas dadas a seguir, M é o montante acumulado pela renda uniforme no final de n períodos e
C é o valor atual da renda uniforme na data zero.
A) RENDAS UNIFORMES POSTECIPADAS
1)
M = RxFAC(i,n)
, onde
FAC(i,n) =
(1 + i ) n − 1
i
é o FATOR DE
ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ( relativo a n pagamentos à taxa de juros compostos i), que nas provas
é geralmente dado em tabelas financeiras.
2)
C = RxFVA(i,n)
, onde
FVA(i,n) =
FAC (i, n) (1 + i ) n − 1
=
(1 + i ) n
i (1 + i ) n
é o FATOR DE
VALOR ATUAL ( relativo a n pagamentos à taxa de juros compostos i), que nas provas é dado
geralmente em tabelas financeiras.
Observação
Outra fórmula utilizada para o FVA(i,n) é
FVA(i,n) =
1 − (1 + i ) − n
i
(Deduzida a partir da fórmula do FVA(i,n) dada anteriormente).
B) RENDAS UNIFORMES ANTECIPADAS
1)
2)
M = R x FAC(i,n) x (1+i)
C = R x FVA(i,n) x (1+i)
Exemplos
1) Uma renda uniforme e postecipada é formada por 4 parcelas mensais de $50,00 cada uma, sendo de
10% a.m. a taxa de juros compostos. Dados: FAC(10%,4) = 4,6410 e FVA(10%,4) = 3,1699, calcule:
A) O montante acumulado pela renda após o pagamento da última parcela;
B) O valor atual da renda.
Solução:
A) M = 50xFAC(10%,4)= 50x4,6410 = $ 232,05
B) C = 50xFVA(10%,4)= 50x3,1699 = $ 158,49 .
2) Um empréstimo no valor de $ 1.400,00 é pago em 12 prestações mensais e iguais. Sendo de 3% a.m.
a taxa de juros compostos cobrada e FVA(3%,12) = 9,954, determine o valor das prestações.
Solução: a partir de C = RxFVA(i,n), obtemos R = $ 140,65.
134
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3) Calcule o valor atual de uma renda antecipada com 25 termos, no valor de $ 4.000,00 cada,
sendo de 5% a taxa de juros (Dado: FVA(5%,25)=14,0939).
Solução: Utilizando a fórmula C = R × FVA(i,n) × (1+i) teremos:
C = 4 000 × FVA(5%,25) × 1,05= 4 000 × 14,0939 × 1,05 = $ 59 194,00.
EXERCÍCIOS
01. Aplicou-se $ 2.000 no final de cada mês em um fundo de investimentos que remunera à taxa
de juros compostos de 1,1% a.m. Qual o montante após a sétima aplicação mensal?
(Dado FAC(1,1%,7) = 7,235282).
02. Um investidor aplica $1.000 no final de cada ano, em um fundo de investimento que paga
6% a.a., durante 20 anos. Qual o montante 10 anos após o último depósito?
(Dado FAC(6%,20)= 36,7850 ; 1,0610 =1,790848).
03. (CESGRANRIO) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$
100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será
resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de
2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será
a) 1200,00
b) 1224,00
c) 1241,21
d) 1368,03
e) 2128,81
(Dado (FAC(2%,12) = 13,4121)
04.(FDRH)- Para amortizar um empréstimo no valor de $ 2.100,00, contratado à taxa de juros
compostos de 9% ao mês, João paga uma entrada, mais 17 prestações mensais e postecipadas
iguais a $ 200,00, cada uma. O valor da entrada é, aproximadamente, de
a) $ 111,76
d) $ 391,28
b) $ 123,52
e) $ 397,96
c) $211,11
(Dado: FVA(9%,17) = 8,5436).
05. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com 20% de entrada e o saldo devedor
financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um
mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a
uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e
que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando
os centavos.
a) R$ 900,00
d) R$ 852,00
b) R$ 986,00
e) R$ 1.065,00
c) R$ 923,00
(Dado: FVA(4%,12) = 9,3851).
06. Quanto uma pessoa deve aplicar no final de cada mês, à taxa de juros compostos de 36% ao
ano com capitalização mensal, para obter o montante de R$ 21.322,72 após 10 meses?
135
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a) R$ 1.573,00
b) R$ 1.630,12
c) R$ 1.750,00
d) R$ 1.860,25
e) R$ 1.923,08
(Dado FAC(3%,10)=11,4639).
07. (FDRH) A loja Infor-Kamus vende um computador cujo preço à vista é de $ 2.000,00 de
acordo com o seguinte plano a prazo: uma entrada mais 4 prestações mensais e postecipadas de
$ 200,00 cada uma. Sendo de 120% a.a. capitalizados mensalmente a taxa de juros compostos
cobrada pela loja, o valor da entrada é
a) $ 3.170,00
d) $ 634,00
b) $ 1.366,00
e) $ 600,00
c) $ 1.200,00
(Dado: FVA(10%,4) = 3,1700).
08. (FUNDATEC) Uma empresa deseja financiar um equipamento pagando uma entrada de
50% e o restante em 10 prestações mensais de R$ 200,00, vencendo a primeira 30 dias após a
compra. Se for utilizada a taxa de juros compostos de 5% ao mês, qual deve ser o valor da
entrada?
a) R$ 1.544,34
b) R$ 1.904,80
c) R$ 2.000,00
d) R$ 2.100,00
e) R$ 2.515,58
(Dado FVA(5%,10)=7,7217)
09.(FAURGS)- Um automóvel é vendido a prazo, através de oito prestações mensais de R$
5.000,00, sendo que o primeiro pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Qual é o
preço à vista do automóvel se a taxa fixada em juros compostos é de 5% ao mês?
a) R$ 28.514,34
d) R$ 31.330,86
b) R$ 29.311,56
e) R$ 31.940,72
c) R$ 30.991,84
(Dados: FVA(5%,8)= 6,4632; 1,052 = 1,1025 )
10.(CESGRANRIO)- Carlos comprou um computador a prazo, em cinco parcelas iguais e
sucessivas, cada uma delas de valor X, a serem pagas de 30 em 30 dias, vencendo a primeira 30
dias após a compra. No dia subseqüente ao fechamento do negócio, Carlos decidiu negociar a
dívida, propondo saldá-la com um único pagamento (Y) no dia do vencimento da terceira
parcela do plano original.
Se a taxa de juros envolvida nessa negociação for de 8% para cada período de 30 dias, para que
as duas propostas de pagamento do computador sejam equivalentes, o quociente Y/X deverá ser
igual a
(1,08 )5 − 1
[(1,08 )5 − 1]0,08
d)
a)
0,08(1,08)2
(1,08 )2
b)
8(1,08 )2
(1,08 )5 − 1
c)
1 − (1,08 )−5
0,08(1,09)2
e)
(0,08 )3 [1 − (1,08 )−2 ]
1,08
136
Raciocínio Lógico-Matemático
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11. Um financiamento deve ser pago em 60 parcelas mensais e postecipadas de $ 150,00 cada
uma, à taxa de juros compostos de 1% ao mês. Qual será o saldo devedor imediatamente após o
pagamento da 52ª prestação, desprezando os centavos na resposta? (Dado FVA(1%,8)=7,6517)
12. Deposita-se anualmente, no início de cada ano, o valor de $ 100 , à taxa de 5% a.a., durante
10 anos. Qual o valor do fundo formado?
(Dado: FAC(5%,10)=12,577893)
13. Calcule o valor atual de uma renda antecipada com 25 termos, no valor de $ 4.000 , cada,
sendo de 5% a taxa de juros (Dado: FVA(5%,25)=14,093945).
14. Uma dívida é paga em seis prestações mensais antecipadas de $ 100 com juros de 1,5% a.m.
Qual o valor financiado?
(Dado: FVA(1,5%,6)=5,697187).
15. Um financiamento de $10.000 é amortizado em 12 prestações trimestrais antecipadas, com
juros de 5% a.t. Qual o valor da prestação trimestral?
(Dado: FVA(5%,12)=8,863252).
01.
02.
03.
04.
$ 14.470,56
$ 65.877,39
d
d
GABARITO- RENDAS UNIFORMES
05. d
09. b
13.
06. d
10. a
14.
07. b
11. $ 1.147
15.
08. a
12. $ 1.320,68
$ 59.194
$ 578,26
$ 1.074,53
5. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
(SEM CORREÇÃO MONETÁRIA)
Veremos a seguir, os principais sistemas utilizados em amortizações de empréstimos e
financiamentos.
A) PAGAMENTO ÚNICO
Neste sistema, o empréstimo é amortizado por um único pagamento feito no final do prazo,
sendo este pagamento de valor igual ao montante acumulado pelo capital emprestado,
considerada uma taxa i de juros compostos.
B) PAGAMENTO PERIÓDICO DOS JUROS (SISTEMA AMERICANO =SA )
Neste sistema, os juros são pagos periodicamente e o principal é pago numa única parcela
no final do prazo contratado.
Nota: O devedor pode constituir (ou não) um fundo de amortização do empréstimo (
sinking fund ), no qual ele depositaria periodicamente as quotas de amortização. A taxa de juros
para os depósitos deve ser tal que, no final do prazo, os depósitos acumulem um montante igual
ao valor a ser pago no financiamento.
Exemplo: um empréstimo no valor de $ 200.000,00 deve ser amortizado em 3 anos, taxa
de juros = 10% a.a., pelo Sistema Americano ( SA ), sem abertura de um fundo de amortização
do empréstimo. Faça a planilha de amortização.
137
Raciocínio Lógico-Matemático
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t Juros(Jt ) Amortização(At) Prestação(Rt) Saldo devedor(Ct)
0
-
-
-
$200.000
1 $20.000
-
20.000
$200.000
2 $20.000
-
20.000
$200.000
3 $20.000
$200.000
$220.000
-
C) SISTEMA FRANCÊS ( SF, SPC OU SISTEMA PRICE )
Neste sistema, o empréstimo é amortizado por uma renda uniforme e postecipada, com n
termos. Cada termo (R) da renda contém duas parcelas:
a) Juros : calculados sempre sobre o saldo devedor no início do período;
a) Amortização : parcela da prestação que efetivamente amortiza a dívida, ou seja, valor da
prestação menos os juros.
No que segue, adotaremos a seguinte simbologia:
R = valor da prestação (ou pagamento ou parcela) constante;
Jt = valor da parcela de juros contida na prestação de ordem t; (t =1, 2, 3, ... ,n)
At = valor da parcela de amortização contida na prestação de ordem t;
C0 = C = valor financiado;
Ct = saldo devedor após o pagamento da prestação de ordem t;
i = taxa de juros compostos.
Usando a notação acima, podemos escrever: R = Jt + At , para t = 1,2,3,...,n.
Ou seja; R = J1 + A1 = J2 + A2 = ... = Jn + An .
Exemplos:
1) Um empréstimo de $ 200.000,00 é amortizado em 4 prestações mensais, à taxa de 10%
a.m. pelo Sistema Francês. Faça a planilha do financiamento ( Dado FVA(10%,4)=
3,169865 ).
t
0
1
2
3
4
Jt
20.000,00
15.690,58
10.950,00
5.735,83
R
63.094,16
63.094,16
63.094,16
63.094,16
At
43.094,16
47.403,58
52.143,93
57.358,33
Ct
200.000,00
156.905,84
109.502,26
57.358,33
-
IMPORTANTE: observe na tabela acima que as parcelas de amortização crescem em
progressão geométrica de razão igual a 1 + i = 1,1.
138
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2) Com os mesmos dados do exemplo anterior, considere agora uma carência de 2 meses e os
juros pagos na carência.
t
0
1
2
3
4
5
6
Jt
20.000,00
20.000,00
20.000,00
15.690,58
R
20.000,00
20.000,00
63.094,16
63.094,16
63.094,16
63.094,16
At
43.094,16
47.403,58
Ct
200.000,00
200.000,00
200.000,00
156.905,84
109.502,26
3)Ainda com os mesmos dados do exemplo 2, considere agora que, no período de carência, os
juros são capitalizados e incorporados ao principal.
t
0
1
2
3
4
5
6
Jt
20.000,00
22.000,00
24.200,00
18.985,61
R
76.343,95
76.343,95
76.343,95
76.343,95
At
52.143,95
57.358,34
Ct
200.000,00
220.000,00
242.000,00
189.856,05
132.497,71
4)Calcule o valor da prestação mensal para amortizar um empréstimo de $ 100.000,00 em 2
anos, com juros de 12% a.a. pela Tabela Price.
(Dado: FVA (1%, 24) = 21,243387)
Resp.: $ 4.707,35
FÓRMULAS
As fórmulas dadas a seguir, permitem o cálculo de qualquer elemento da planilha do
financiamento, sem termos que desenvolver a planilha.
1. Valor da prestação constante
R=
C
FVA(i, n)
2. Parcela de juros
Jt = i x Ct-1 , onde t =1,2,3,...n.
Ou seja: J1 = ixC0, J2 = ixC1, J3 = ixC2, ....
139
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3. Parcela de amortização
At = A1 (1+i)t-1 , onde t = 2,3,4,…n.
Por exemplo: A2 = A1(1+i)1, A3 = A1(1+i)2,...., A9 = A1(1+i)8 , ..., etc.
Obs.: Para obter A1 , usar a definição
A1 = R - J1
4. Saldo devedor
Ct = R x FVA( i, n-t ) , onde t =1,2,3,..., n e n-t indica o número de prestações
que ainda não foram pagas.
Obs.: veja que essa fórmula, nada mais é que o cálculo do valor atual de uma renda
postecipada, com n-t prestações.
Exemplo:
Um financiamento de $ 85.300,00 foi amortizada em 10 prestações mensais, à taxa de
120% a.a. pela TABELA PRICE. Considerando FVA(10%,10)= 6,144567, FVA(10%,4)=
3,169865, (1,1)3=1,331 e (1,1)4=1,4641 (dados de tabela), determine:
a)
o valor da prestação constante;
b) a 1ª parcela de juros;
c)
a 1ª parcela de amortização;
d) o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação;
e)
a parcela de juros na 4ª prestação;
f)
a 5ª quota de amortização;
Solução:
a) R = 85.300 / FVA(10%, 10) = 85.300 / 6,144567 = $ 13.882,18
b) J1 = 0,10 x 85.300 = $ 8.530,00
c)
A1 = R - J1 = $ 5.352,18
d) C6 = 13.882,18 x FVA (10%, 4) = 13.882 x 3,169865 = $ 44.004,64
e)
J4 = R – A4 = 13.882,18 – 5.352,18(1,1)3 = $ 6.759,43
f) A5 = A1(1 + i)4 = 5.352,18(1,1)4 = $ 7.836,12
Obs.: é mais fácil fazer a planilha até t = 6 .
140
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EXERCÍCIOS
01. Um empréstimo de $ 240 foi contraído à taxa de 10% a.a., capitalizados semestralmente,
para ser amortizado em 10 anos, com prestações semestrais iguais a $19,26 , Sistema
Francês. Qual o valor da 1ª quota de amortização? Resp.: $ 7,26
02. Na amortização de um empréstimo pela tabela Price, à taxa de 5% a.m., o valor da
prestação mensal é de $ 16,048 e a 1ª quota de amortização é $ 6,048. Calcule o valor das
parcelas de juros e amortização na 10ª prestação.
(Dado: (1,05)9 = 1,551328)
Resp.: A10= $9,3824 e J10 = $6,6656
03. Considerando um financiamento contraído através do Sistema Price, com prazo de resgate
de 60 meses, à taxa de juros capitalizados mensalmente de 1% e com valor da parcela
igual a R$ 150,00, qual o valor do saldo devedor do respectivo financiamento no momento
imediatamente após o pagamento da 52ª prestação mensal, desconsiderando os centavos na
identificação da resposta?
(Dado FVA(1%,8) = 7,651678)
a)R$ 1.100 b) R$ 1.237
c) R$ 1.563
d) R$ 1.147 e) R$ 1.200
Resp.: d
04. (CESGRANRIO) Na tabela a seguir, que apresenta algumas células sem valores
numéricos, os dados referem-se a um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, entregues no
ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento em 6 meses
pela tabela Price. Com relação a essa situação, julgue os itens abaixo.
I - O valor da quinta prestação será superior a R$ 1.700,00.
II - Imediatamente após ser paga a segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$
7.000,00.
III - O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a R$ 20,00.
Assinale a opção correta:
a) Apenas o item I está certo.
b) Apenas o item II está certo.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
Resp.: e
5
Meses
6
0
1
2
3
4
Saldo devedor
0
Amortização
Juros
Prestações
10.000,00
8.374,52
0
0
0
5.074,64
3.399,91
1.658,15
1.674,73
83,75
67,33
50,75
141
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05. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago em 3 prestações mensais iguais a R$ 73.443,00
cada uma pela Tabela Price. Se a taxa de juros nominal for de 60% ao ano, com capitalização
mensal, a parcela correspondente aos juros na última prestação terá, em reais, um valor:
a) inferior a 3.500,00
b) entre 3.500,00 e 3.600,00
c) entre 3.600,00 e 3.700,00
d) entre 3.700,00 e 3.800,00
e) superior a 3.800,00
Resp.: a
06. Um financiamento de R$ 10.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês (ou Price) em 12
prestações mensais de R$ 1.004,62 cada uma, vencendo a primeira 30 dias após a assinatura do
contrato.Se a taxa efetiva utilizada é de 3% ao mês, então o valor da cota de amortização da
primeira prestação será de
a) R$ 171, 67
b) R$ 300,00
c) R$ 502,50
d) R$ 705,00
e) R$ 833,33
Resp.: d
D) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Neste sistema, a quota da amortização é mantida constante em todas as prestações. Como
conseqüência, as prestações são decrescentes, já que a parcela de juros decresce em função do
saldo devedor. Ou seja,
A1 = A2 = A3 = ... = An = A, donde se conclui que C0 = nA e
A=
C0
n
Exemplo:
Um empréstimo de $ 200.000,00 é amortizado em 4 prestações mensais pelo SAC, à taxa de
10% a.m. Fazer a planilha do financiamento.
t
0
1
2
3
4
Jt
20.000
15.000
10.000
5.000
A
50.000
50.000
50.000
50.000
Rt
70.000
65.000
60.000
55.000
Ct
200.000
150.000
100.000
50.000
-
Observe que as prestações (Rt) e os juros (Jt) são progressões aritméticas (P.A.) decrescentes de
razão igual a – Ai = – 50.000 x 0,10 = – 5.000
142
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Observação:
Comparando o total de juros pagos no sistema SAC com o total de juros pagos no sistema
PRICE , para os mesmos dados, concluímos que J(PRICE) > J(SAC) (confira).
FÓRMULAS
1) Amortização
2) Juros
C0
n
A=
Jt = i x Ct-1
3) Saldo Devedor
Ct = (n- t) . A
, onde n-t é o número de prestações ainda não pagas.
Exemplo:
Um financiamento de $ 100.000 é amortizado pelo sistema SAC em 10 prestações mensais,
à taxa de 10% a.m.. Calcule:
a) a quota constante de amortização;
b) a 1ª parcela de juros;
c) a 1ª prestação;
d) o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação;
e) a 7ª prestação;
f)
a 5ª parcela de juros;
Solução:
a) A = 100.000/10 = $ 10.000,00
b) J1 = 0,10 x 100.000 = $ 10.000,00
c) R1 = A + J1 = $ 20.000,00
d) C8 = 2 x 10.000 = $ 20.000,00
e) R7 = A + J7 = ?
J7 = i x C6 = i x 4A = 0,1 x 4 x 10.000= 4.000,00.
Logo, R7 = 10.000 + 4.000 = $ 14.000,00.
f) J5 = i x C4 = 0,10 x 6 x 10.000 = $ 6.000,00
Obs.: é mais fácil fazer a planilha .
143
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EXERCÍCIOS
A questão de número 01 deve ser respondida com base nos gráficos apresentados a seguir:
GRÁFICO I
R$
R$
P
GRÁFICO II
Juros
A
0
n
0
GRÁFICO III
R$
R$
n
GRÁFICO IV
Juros
S
P
A
0
n
R$
0
n
GRÁFICO V
S
P
0
n
LEGENDA:
P = Principal
S = Montante
A = Amortização
01. Qual dos gráficos representados acima corresponde ao sistema SAC (Sistema de
Amortizações Constantes)?
a) Gráfico I
b) Gráfico II
c) Gráfico III
d) Gráfico IV
e) Gráfico V
Resp.: c
144
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02. Ana financiou $ 5.000,00 para serem pagos em 10 prestações mensais, à taxa de 5% a.m.,
sistema SAC. Calcule:
a) a parcela de amortização (constante);
b) a parcela de juros paga na 7ª prestação.
Resp.: a) $ 500,00
b) $ 100,00.
03. Uma sociedade de crédito imobiliário concede um empréstimo de 2.700 UPC, cobrando a
taxa de 1% a.m. Sendo de 42 UPC o valor da 1ª prestação e o sistema de amortização o “SAC”,
determine o número de prestações mensais. Resp.: 180
04.(FDRH) Um financiamento de R$ 200 000,00 junto a um banco de Desenvolvimento foi
realizado pelo Sistema de Amortizações Constantes – SAC, em 10 prestações mensais, a
primeira vencendo no final do primeiro mês, à taxa de juros de 1% ao mês.
O valor da prestação a ser paga no final do terceiro mês é
a) R$ 20 000,00
b) R$ 21 120,00
c) R$ 21 600,00
d) R$ 22 000,00
e) R$ 22 092,00
Resp.: C
Instruções: Para responder às questões de números 05 e 06 considere o enunciado abaixo.
Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200.000,00
emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros são pagos
anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo
Sistema de Amortização Constante (SAC).
05. (CESGRANRIO) O valor da terceira prestação deverá ser:
a) R$ 60 000,00
b) R$ 65 000,00
c) R$ 68 000,00
d) R$ 70 000,00
e) R$ 75 000,00
Resp.: a
06. (CESGRANRIO) Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de:
a) R$ 40.000,00
b) R$ 45.000,00
c) R$ 50.000,00
d) R$ 55.000,00
e) R$ 60.000,00
Resp.: c
07. (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200.000,00, contratado a juros efetivos de 10% ao
mês, será pago em 3 prestações mensais com carência de 3 meses. Considerando que o credor
deseja que o valor das 3 amortizações do principal seja constante, o valor da amortização será
145
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a) 80.666,67
b) 82.622,44
c) 84.333,67
d) 86.066,67
e) 88.733,33
Resp.: e
08. Calcule o valor da última prestação no exercício anterior.
Resp.: $ 97.606,67
09. (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo
a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de
Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será
a) 50,00
b) 55,00
c) 60,00
d) 65,00
e) 70,00
Resp.; c
10. (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais,
sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo,com juros de 4% ao mês sobre o saldo
devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta
prestação será
a) 58,00
b) 56,00
c) 54,00
d) 52,00
e) 50,00
Resp.: b
11. (CESPE) Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema
de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos
juros pagos na 5ª prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta.
a) O valor dos juros pagos na 3ª prestação foi de R$ 200,00.
b) A soma das 3ª e 6ª prestações foi igual a R$ 4.000,00.
c) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês.
d) Todas as prestações foram de mesmo valor.
e) Após a 5ª amortização, o valor da dívida era de R$ 4.000,00.
Resp.: c
146