Física . Módulo 8 . Volume 2
FÍSICA MODERNA
PARTE II
Ana Paula Andrade
Ilhéus . 2013
Universidade Estadual de
Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena Freire
Pró-reitor de Graduação
Prof. Elias Lins Guimarães
Diretor do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Prof. Roberto Carlos Felício
Ministério da
Educação
Física | Módulo 8 | Volume 2 - Física Moderna
1ª edição | Novembro de 2013 | 225 exemplares
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João Luiz Cardeal Craveiro
Capa
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Impressão e acabamento
JM Gráfica e Editora
Ficha Catalográfica
EAD . UAB|UESC
Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles
Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EAD)
Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna
Elaboração de Conteúdo
Prof . Dra. Ana Paula Andra
a
Instrucional Design
Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira
Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes
Revisão
Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho
Coordenação Fluxo Editorial
Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
DISCIPLINA
FÍSICA MODERNA
Prof. Dra. Ana Paula Andrade
EMENTA
Introdução à relatividade especial, primórdios da teoria
quântica, modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as
séries espectroscópicas, bases da mecânica quântica, equação
de Schrödinger e aplicações elementares.
Carga horária: 90 horas
OS AUTORES
Ana Paula Andrade
Bacharel em Física pela UFMG – 1995
Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pela UFMG - 1998
Doutora em Astrofísica pelo INPE – 2003
Professora Adjunta da UESC desde 2007
EMAIL: [email protected]
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
O termo física moderna refere-se ao conjunto de teorias
desenvolvidas no século XX, tendo por base a teoria da relatividade
e a teoria quântica. Aterminologia “moderna” foi introduzida como
forma de distinguir as novas teorias das teorias antecessoras,
referenciadas pelo termo física clássica. Pode-se dizer que esta
distinção é bastante oportuna, uma vez que os conceitos da física
moderna trouxeram novas concepções a respeito da natureza, da
descrição da matéria e dos fenômenos observados, desafiando
o método determinístico da física clássica. Como veremos neste
Módulo, a partir das propostas apresentadas no início do século
XX, alterações profundas foramintroduzidas no entendimento de
conceitos como: espaço, tempo, posição, trajetória, simultaneidade,
medida e causalidade. Ao contrário do que se acreditava até
então, tempo não é uma grandeza absoluta, matéria não tem
comportamento único e imutável, enquanto a dinâmica de uma
partícula subatômica é regida pelas leis da probabilidade! Estas
são apenas algumas das novas concepções introduzidas pela física
moderna e que fizeram emergir um novo cenário científico no campo
da física.
Apesar das concepções e interpretações inovadoras,
ambas as teorias, da relatividade e quântica, representam uma
generalização da física clássica, sendo esta tratada como casos
especiais, não invalidando, de forma alguma, os conceitos já
estudados. Enquanto a teoria da relatividade estende o campo de
investigação da física clássica para a região de altas velocidades
e altas energias, a física quântica estende o campo de investigação
para regiões de pequenas dimensões. Inicialmente, pode-se pensar
que os fenômenos relativísticos ou quânticos sejam estranhos ou mesmo
bizarros, uma vez que estão muito além da realidade detectada por
nossos sentidos. De fato, nossa percepção da natureza é bastante
limitada, mas, ainda assim, não devemos nos furtar a discutir teorias
Elementos de Matemática Avançada
e conceitos revelados por meio das evidências experimentais. Este
foi o maior desafio vivido pelos físicos do século XX, grandes nomes
como Albert Einstein, Max Planck e Erwin Schrödinger, dentre outros
que iremos discutir nas próximas Unidades. Esperamos que você,
estudante, possa abrir a sua mente aos novos conceitos que serão
apresentados e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de
conhecimento aberta pela física moderna.
Neste módulo, iremos apresentar e discutir as importantes
descobertas dos séculos XIX e XX, bem como as bases da física
moderna sob a ótica da relatividade restrita, a quantização de
energia e os postulados da mecânica quântica, enfatizando conceitos
e aplicações. Esperamos assim que, ao final deste módulo, você possa
compreender os argumentos que embasam a física moderna, que,
apesar de imperceptíveis, permeiam a nossa vida cotidiana.
12
Física
EAD
SUMÁRIO
UNIDADE 3 - FÍSICA MODERNA - A FÍSICA DOS ÁTOMOS
1 Introdução................................................................................... 19
2 Dalton e o átomo ......................................................................... 20
3 O modelo de Thomson................................................................... 22
4 A descoberta de Rutherford ........................................................... 27
5 Rutherford e o núcleo atômico........................................................ 29
6 Os espéctros atômicos .................................................................. 37
7 As ideias de Bohr.......................................................................... 39
8 O modelo de Bohr......................................................................... 43
9 AS séries espectroscópicas ............................................................ 54
10 Regras de quantização ................................................................ 58
11 O modelo de Sommerfeld............................................................. 63
RESUMINDO.................................................................................... 69
REFERÊNCIAS.................................................................................. 73
UNIDADE 4 - A MECÂNICA QUÂNTICA
1 Introdução . ................................................................................. 75
2 A interpretação de Schroedinger, Born e Heisenberg.......................... 78
3 A equação de Schroedinger ........................................................... 83
4 As funções de onda....................................................................... 93
5 Os valores esperados da mecânica quântica.................................... 102
7 Soluções da equação de Schroedinger............................................ 122
RESUMINDO.................................................................................. 130
REFERÊNCIAS................................................................................ 132
6 As autofunções........................................................................... 115
UNIDADE 2 - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA
UNIDADE 5 - APLICAÇÕES DA MECÂNICA QUÂNTICA
1 Introdução................................................................................. 137
2 Potencial nulo e a partícula livre ................................................... 137
3 Potencial degrau e as possibilidades quânticas................................ 143
4 Energia menor do que a altura do degrau ...................................... 145
5 Energia maior do que a altura do degrau ....................................... 154
6 Barreira de potencial e o efeito túnel . ........................................... 161
7 Poço de potencial quadrado.......................................................... 167
8 Poço de potencial quadrado infinito................................................ 172
9 O potencial do oscilador harmônico simples.................................... 178
10 Considerações finais.................................................................. 181
RESUMINDO.................................................................................. 182
REFERÊNCIAS................................................................................ 184
3ª
unidade
A FÍSICA DOS ÁTOMOS
Prof. Dra. Ana Paula Andrade
Nesta unidade serão discutidos a evolução dos modelos atômicos e
os princípios que regem a estrutura dos átomos. Serão apresentados:
• as considerações de Dalton;
• os modelos de: Thomson, Rutherford, Bohr e Sommerfeld;
• os diagramas de níveis de energia;
• as propriedades dos espectros atômicos;
Ao final desta etapa, o aluno será capaz de:
• compreender a estrutura atômica;
• conhecer os níveis de energia;
• identificar os tipos de espetros atômicos.
• compreender as bases da teoria quântica.
Álgebra Linear
Unidade
1
1 INTRODUÇÃO
Desde os tempos da Grécia antiga que os intelectuais da época,
filósofos e pensadores, se questionavam a respeito da substância básica
por detrás das transformações ocorridas na natureza. A corrente dos
atomistas, a exemplo de Demócrito e Leucipo (cerca de 400.a.c),
acreditava que a essência da natureza fosse material e imutável. Assim,
a matéria seria constituída por uma infinidade de pequenas unidades
indivisíveis, eternas e imutáveis, que denominaram átomos (palavra
que em grego significa ‘indivisível’). Já Aristóteles acreditava que toda
a matéria do universo seria composta por quatro substâncias básicas:
terra, ar, fogo e água, sendo todas elas matéria contínua, ou seja, seria
possível dividi-las infinitamente em porções menores, sem nunca
chegar a uma unidade limite. Esta dúvida pairou sobre os cientistas
durante muitos séculos, até que, em 1808, o químico e físico inglês,
John Dalton, sugeriu que a maioria das observações químicas feitas
no século XVIII poderia ser explicada simplesmente admitindo-se
que a matéria fosse constituída de átomos! No entanto, uma das mais
importantes evidências físicas desta ideia foi dada apenas em 1905, por
Albert Einstein, ao mostrar que o chamado movimento browniano
(movimento aleatório e irregular das partículas de poeira suspensas
em líquido) poderia ser explicado como efeito dos átomos do líquido,
colidindo com as partículas de poeira. Apesar desta constatação,
pairavam ainda muitas dúvidas sobre a indivisibilidade dos átomos.
A noção de que os átomos pudessem ter uma estrutura interna
e que pudessem ser compostos de partículas menores só foi percebida
ao longo do século XX. No intuito de elucidar a estrutura do átomo e
identificar as verdadeiras partículas elementares, novos e importantes
experimentos se seguiram no campo da física atômica, consolidando
gradualmente os modelos de estrutura atômica. Embora Demócrito
e Leucipo tenham suposto corretamente a existência de átomos, a
estrutura do átomo revelou-se muito mais sutil e intrigante. É sabido
que os átomos não são apenas pequenas esferas homogêneas sem
estrutura; mas, sim, constituídos de partículas menores, mais leves e
mais fundamentais. Assim, o estudo da estrutura da matéria nos leva a
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
19
Elementos de Matemática Avançada
considerar a maneira pela qual estas partículas estão reunidas formando
os chamados átomos e as propriedades oriundas desta organização.
Nesta Unidade, iremos discutir a evolução dos modelos atômicos e os
experimentos que embasaram suas concepções, bem como os princípios
básicos que regem a estrutura dos átomos.
2 DALTON E O ÁTOMO
No início do século XIX, muito se sabia a respeito das
reações químicas e de suas leis básicas, como a lei de conservação das
massas e as leis das proporções definidas. Era sabido que as reações
químicas ocorriam e que as mesmas podiam ser descritas como
resultado do intercâmbio entre partículas em colisões, resultando em
novos compostos, com propriedades bem distintas. Baseado nestas
observações, em 1808, John Dalton, seguindo a tendência atomista de
muitos cientistas da antiguidade e também da idade média, propôs:
1. Toda matéria é composta de partículas fundamentais, que
podemos chamar de átomos.
2. Átomos são permanentes e indivisíveis e não podem ser
criados nem destruídos espontaneamente.
3. Todos os átomos de certo elemento são idênticos em
todas as suas propriedades e os átomos de elementos diferentes têm
propriedades diferentes.
4. Uma alteração química consiste em uma combinação,
separação ou rearranjo de átomos.
5. Os compostos são constituídos de átomos de elementos
diferentes em proporções fixas.
Concebendo estas ideias simples, Dalton conseguiu fazer com
que as observações químicas da época parecessem razoáveis, explicando
porque a massa é conservada durante uma reação química e a lei da
composição definida. Dalton salientou que esta lei é naturalmente
verdade se cada composto é caracterizado por proporções fixas entre
20
Física
EAD
Unidade
os números de átomos dos seus elementos componentes
diferentes. Assim, um composto de dióxido de carbono
seria constituído de átomos de carbono e oxigênio na
proporção de 1:2, respectivamente, e, como as massas
dos átomos de carbono e oxigênio são fixas, segue-se que
a composição do dióxido de carbono em massa também
deve ser fixa, conforme observado.
Por certo que a aceitação destas ideias não
se deu sem a oposição de muitos físicos e químicos
resistentes, no entanto contou com defesa incansável
de outros, como Ludwig Boltzmann, o mesmo cujos
trabalhos contribuíram significativamente para a tória
cinética dos gases e a mecânica estatística. Três anos
mais tarde, o químico italiano Amedeo Avogrado,
usando a mesma terminologia de Dalton, propôs: as
partículas fundamentais de gases elementares não são
necessariamente átomos, mas podem ser grupos de átomos
reunidos para formar moléculas. E ainda formulou o que
ficou conhecido como Lei de Avogrado: sob as mesmas
condições de temperatura e pressão, volumes iguais do
mesmo gás contêm número igual de moléculas.
Apesar
do
apelo
empírico
das
considerações de Dalton, duas questões importantes
permaneciam sem resposta: como e do que são
constituídos os átomos. Apenas no final do século XIX
foram realizadas importantes descobertas científicas
que abriram novo caminho para a física atômica: as leis
do eletromagnetismo de Maxwell, a identificação das
diferentes frequências do espectro eletromagnético, a
descoberta dos raios catódicos e do efeito fotoelétrico,
seguidos pela descoberta dos raios X e, finalmente, a
descoberta dos elétrons, em 1897, por J.J. Thomson.
1
Álgebra Linear
Imagem 3.1: John Dalton
Fonte: http://www.biography.
com/people/john-dalton9265201?page=1
Thomson, pesquisador neozelandês do famoso
Laboratório Cavendish, em Cambridge, estava tentando
provar que os raios catódicos (descargas elétricas que
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
21
Elementos de Matemática Avançada
você sabia?
Quando
Thomson
desco-
briu as tais “partículas negativas”, em 1897, a unidade de carga fundamental, o
elétron, já era conhecida.
Esta foi sugerida pelo físico
e químico inglês, Michael
Faraday, em 1833, quando
este conduzia seus estudos sobre a eletrólise. Em
1874, o físico irlandês, George Stoney, estimou pela
primeira vez o valor de sua
carga, cerca de 20 vezes
menor do que o valor aceito atualmente. Cinco anos
mais tarde, 1879, o inglês
William Crookes, ao realizar suas experiências com
raios catódicos, descobriu
que estes raios eram constituídos de partículas indivisíveis. O grande feito de
J.J.Thomson
foi
mostrar
que essas partículas eram
carregadas negativamente
e cuja carga era a unidade fundamental, o elétron!
passam por um gás rarefeito dentro de uma ampola de
vidro) eram eletricamente carregados e supôs: como as
cargas elétricas são afetadas por campos elétricos, os raios
catódicos também deveriam ser, caso fossem constituídos
de partículas eletricamente carregadas. Assim,
combinando as deflexões causadas por campos elétricos
e magnéticos, Thomson conseguiu mostrar que os raios
catódicos eram constituídos por partículas elétricas de
carga negativa. E mais, Thomson conseguiu mostrar que
vários materiais diferentes exibiam esta mesma capacidade
de emissão, ou seja, essas partículas deveriam fazer parte
da matéria! Como se não bastasse, Thomson também
mostrou que essas partículas eram pelo menos mil vezes
mais leves que o átomo de hidrogênio. No dia 29 de abril
de 1897, Thomson anunciou suas descobertas, um marco
para a investigação dos constituintes fundamentais da
matéria. Por esta descoberta, Thomson recebeu o prêmio
Nobel em 1906 e foi batizado de “o pai do elétron”.
Em 1937, seu filho, G.P.
Thomson, ganhou o prêmio
Nobel de Física por mostrar
que os elétrons também se
3 O MODELO DE THOMSON
comportam como ondas.
Imagem 3.2: J.J.Thomson
Fonte: http://www.britannica.com/
EBchecked/media/151581/Sir-JJThomson-1910
22
Após os trabalhos de Thomson, acumularamse inúmeras evidências experimentais da existência dos
elétrons e da sua participação na estrutura atômica.
Assim, não havia mais dúvida, os elétrons deveriam ser
constituintes básicos dos átomos. Mas, se os elétrons
faziam parte dos átomos e estes são eletricamente
neutros, então deveria haver também uma componente
de carga positiva em número suficiente para neutralizar
a matéria. E, ainda, o fato de que a massa do elétron é
muito pequena se comparada com a de qualquer átomo,
mesmo com a do mais leve, implica que a maior parte da
massa do átomo deve estar associada à componente de
carga positiva. Essas considerações levaram naturalmente
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
ao problema de como seria a distribuição de cargas positivas e negativas
dentro do átomo.
Em 1904, o japonês Hantaro Nagaoka propôs um modelo
de átomo segundo o planeta “Saturno”, no qual os elétrons com
carga negativa estariam orbitando em torno de uma grande esfera de
carga positiva, similar aos anéis do planeta Saturno. Entretanto, de
acordo com a teoria eletromagnética, os elétrons girando em círculos
estariam constantemente acelerados em seu movimento e deveriam
emitir continuamente energia. A energia emitida à custa da energia
mecânica dos elétrons faria com que estes se movessem em espiral,
terminando por cair no núcleo atômico. E, assim, ter-se-ia um átomo
que rapidamente sofreria um colapso para dimensões nucleares. E mais,
durante o seu movimento espiralado, a velocidade angular do elétron
cresceria continuamente e, com ela, cresceria também a frequência da
radiação emitida, o que, certamente, não era observado. Além disso, o
espectro contínuo da radiação que seria emitida durante o processo de
colapso não era compatível com os espectros discretos observados pela
emissão dos átomos.
Também em 1904, J.J. Thomson propôs um modelo para
descrição do átomo. Segundo Thomson, o átomo seria considerando
como uma espécie de fluido com uma distribuição esférica contínua
de carga positiva, onde estariam incrustados os elétrons com carga
negativa. Devido à repulsão mútua, os elétrons estariam uniformemente
distribuídos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida
de um átomo, cerca de 10−10 m. Este modelo, conhecido como “pudim
de passas” é ilustrado na Imagem 3.1 Nesta configuração, os elétrons,
tais quais pequenas passas decorando um pudim, seriam atraídos ao
centro da distribuição de cargas positivas e repelidos entre si pela lei
de Coulomb. O estado estável do átomo seria atingido quando as duas
forças, de atração e repulsão, se equilibrassem.
UESC
Módulo 4 I
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Elementos de Matemática Avançada
Imagem 3.1: Modelo atômico de Thomson – uma esfera de carga positiva entremeada com elétrons.
Fonte:http://rabfis15.uco.es/Modelos%20at%C3%B3micos%20.NET/modelos/ModThomson.aspx
Entretanto o modelo de Thomson tinha como hipótese inicial
a estabilidade da configuração dos elétrons, sendo que estes poderiam
oscilar, mas sempre em torno de suas posições de equilíbrio, em caso de
excitação do átomo (por exemplo, em virtude de altas temperaturas no
material). No entanto a teoria clássica do eletromagnetismo não permite
a existência de uma configuração estável num sistema de partículas
carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético.
Mas, então, como justificar a estabilidade do átomo no modelo de
Thomson?
Outro problema apontado para este modelo é que a teoria
eletromagnética prevê que uma partícula com carga elétrica em
movimento acelerado, como um elétron vibrando, deve emitir radiação
eletromagnética, e, segundo a teoria, os modos normais de vibração
das oscilações dos elétrons deveriam ter as mesmas frequências que os
espectros atômicos observados. No entanto faltava uma concordância
quantitativa no modelo de Thomson, ou seja, os espectros de emissão
observados não concordavam com a previsão teórica para o modelo.
Deste modo, o modelo de Thomson era capaz de permitir a emissão
da radiação, mas a frequência da radiação emitida não concordava com
os espectros observados, mostrando-se ineficaz na explicação das
propriedades atômicas.
E assim, como no mundo da física, somente as verificações
24
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
experimentais podem comprovar se um modelo está de acordo com as
leis da natureza ou não, era imprescindível comparar a previsão teórica
com as observações. A inadequação conclusiva do modelo de Thomson
foi obtida sete anos mais tarde, em 1911, com a experiência de um de
seus ex-alunos, o também neozelandês, Ernest Rutherford.
Exercício Resolvido: Suponha a existência de um elétron
de carga –e dentro de uma região esférica com densidade de carga
positiva uniforme ρ , tal qual o modelo do átomo de Thomson.
a ) Mostre que seu movimento, se ele tem uma energia
cinética, pode ser de oscilações harmônicas simples em torno do
centro da esfera.
Solução: Vamos considerar um elétron a uma distância a do
centro de uma esfera, sendo a menor que o raio da esfera. Da lei
de Gauss, sabemos que podemos calcular a força que atua sobre o
elétron, usando a lei de Coulomb:
F =−
( )
1 4 3  e
ρ ea
 πa ρ  2 = −
4π 0  3
30
a
onde 4 3 π a ρ corresponde à carga positiva contida na
esfera de raio a . Da lei de Gauss, sabemos que é esta a distribuição
de carga responsável pela força elétrica no interior da esfera de raio
a.
Podemos expressar a relação acima da forma: F = −ka,
onde k é uma constante que vale: k = ρ e
, tal qual uma força
3ε 0
elástica! Portanto se o elétron, inicialmente em repouso em a, é
deixado livre, sem velocidade inicial, essa força irá produzir um
movimento harmônico simples ao longo do diâmetro da esfera, visto
que a força está sempre direcionada para o centro e tem módulo
proporcional a distância ao centro.
UESC
3
Módulo 4 I
Volume 5
25
Elementos de Matemática Avançada
lembrete
O parâmetro
ρ
b) Suponha que a carga positiva total tenha
é co-
mumente utilizado para
representar a densidade
de carga, ou seja, a razão
carga/volume. Já a lei de
Gauss é uma das equações de Maxwell e relaciona o fluxo elétrico através
de uma superfície fechada com a carga elétrica
um valor igual em módulo à carga de um elétron,
de forma que a carga total do átomo seja zero, e,
suponhamos que esteja distribuída sobre uma esfera
'
−10
de raio r = 1, − x10 m. Ache a constante da força k
e a frequência do movimento do elétron.
contida no interior dessa
superfície. Sua formulação é::
Solução: uma vez que a densidade de carga é
uniforme, podemos considerar:
ρ=
e
4
π r '3
3
Substituindo na expressão de k , tem-se:
k=
ρe
e
e
e2
=
=
30 4 π r '3 30 4π 0 r '3
3
1
4π 0
k=
Substituindo os valores, lembrando que:
= 9, 0 x109 Nm 2 / C , tem-se:
(
9, 0 x109 Nm 2 / C. 1, 6 x10−19 C
(1, 0 x10
−10
m)
3
)
2
= 2,3 x102 N / m
A frequência do movimento harmônico simples é então:
ν=
26
1
2π
k
1
=
m 2π
Física
2,3 x102 N / m
= 2,3 x1015 s −1
−31
9,11x10 kg
EAD
Álgebra Linear
λ=
c
ν
=
Unidade
1
Assim, a radiação emitida por este elétron do átomo de
Thomson terá esta frequência, analogamente à radiação emitida
por elétrons oscilando em uma antena. O comprimento de onda
correspondente será:
3, 0 x108 m / s
= 1, 2 x10−7 m = 1200 侌
2,5 x1015 s
correspondente à região do ultravioleta do espectro eletromagnético.
Portanto esta é a radiação emitida por um átomo segundo o modelo
de Thomson. Por certo que o comprimento de onda da radiação
pode ser ajustado às observações, variando-se o raio de posição do
elétron. Entretanto, segundo este modelo, somente uma frequência
de radiação seria emitida, o que já se sabia, desde o final do século
XIX, não é compatível com as linhas espectrais observadas.
4 A DESCOBERTA DE RUTHERFORD
Rutherford foi um cientista fortemente ligado aos estudos
relativos ao decaimento dos elementos químicos e às substâncias
radioativas. Foi o responsável pela descoberta dos raios α e β em 1899,
tendo recebido o prêmio Nobel em 1908. Trabalhando em Cambridge,
conheceu o físico alemão, Hans Geiger, o qual estava realizando
um experimento com o bombardeio de um feixe bem colimado de
partículas α em finas folhas de ouro e alumínio. Os resultados obtidos
por Geiger e interpretados por Rutherford culminaram em uma das
mais importantes descobertas da física atômica. Vejamos em detalhes a
experiência realizada.
UESC
Módulo 4 I
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27
Elementos de Matemática Avançada
você sabia?
Decaimentos
radioativos
são aqueles processos nos
quais há um rearranjo da
configuração
dos
núcle-
os atômicos, podendo ser
espontâneos
ou
induzi-
dos. Ocorrem quando um
núcleo
radioativo
emite
uma partícula, se trans-
Figura 3.2 – Arranjo de uma experiência de espalhamento de partículas
α.
formado em um nuclídeo
diferente.
O
decaimento
mais simples corresponde
à emissão de raios gama
(fóton de alta energia), e
representa uma transição
nuclear de um estado excitado para um estado de
mais baixa energia. Analogamente à transição dos
elétrons entre os diferentes níveis orbitais. Outros
tipos de decaimento nuclear possíveis são aqueles em que há emissão de
uma partícula alfa (núcleos de hélio, ou seja, dois
prótons e dois nêutrons),
ou
β
uma
partícula
beta,
(estas podem ser um
elétron ou um pósitron).
Três grandes pesquisadores que se dedicaram ao
estudo e identificação dos
decaimentos
radioativos
foram
Curie,
Marie
seu
marido Pierre Curie e Henri Becquerel. Os três dividiram o Prêmio Nobel de
Física no ano de 1903. Em
1911, Marie Curie recebeu
o segundo Prêmio Nobel
de sua carreira, desta vez
o de química!
Imagem 3.3: Marie Curie
Fonte: http://www.nobelprize.
org/nobel_prizes/chemistry/
laureates/1911/index.html
28
A Figura 3.2 ilustra um arranjo típico da experiência com partículas α realizado pelos cientistas: Geiger,
Marsden e Rutherford. Partículas α são emitidas em alta
velocidade por um processo de decaimento espontâneo
em vários materiais radioativos. Uma vez colimadas por
um par de diafragmas, as partículas α formam um feixe
paralelo estreito e, por sua dimensão, ideal para investigar
a estrutura atômica dos materiais. O feixe incide sobre
uma folha de uma substância, normalmente um metal,
suficientemente fina de modo que as partículas possam
atravessá-la completamente com apenas uma pequena
diminuição no módulo da velocidade. Entretanto, ao
atravessar a folha, as partículas deveriam encontram os
átomos, com cargas positivas e negativas, e, consequentemente, sofrer o processo de deflexão em virtude da força
coulombiana. Como a deflexão da partícula ao atravessar um único átomo depende da sua trajetória através do
átomo, a deflexão total do feixe ao atravessar toda a folha deve ser distinta para diferentes partículas do feixe.
Consequentemente, o feixe emerge da folha não como
um feixe paralelo, mas como um feixe divergente. Uma
análise quantitativa desta divergência pode ser feita ao se
medir o número de partículas espalhadas em cada direção
angular. As partículas espalhadas eram então detectadas
por um microscópio com uma tela de Sulfeto de Zinco
(ZnS). Esta tela tem a capacidade de cintilar no local em
que incide uma partícula α , permitindo ao microscópio
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
Devido ao fato de os elétrons terem uma massa
muito pequena quando comparada com a massa da
partícula α , eles podem em qualquer caso produzir
apenas pequenas deflexões nas partículas α . No entanto,
para o caso específico do modelo de Thomson, devido
ao fato da carga positiva estar distribuída sobre todo o
−10
volume do átomo de raio r ≅ 10 m, ela não pode causar
uma repulsão coulombiana intensa o suficiente para
produzir grande deflexão na partícula α . Rutherford e
seus parceiros Geiger e Marsden testaram estas previsões.
Os resultados experimentais mostraram que o
número de partículas α desviadas com ângulos de 90°
ou mais era muito maior do que o esperado pelo modelo
de Thomson. A existência de uma probabilidade pequena,
porém não nula, para o espalhamento em grandes ângulos,
não poderia absolutamente ser explicada em termos do
espelhamento atômico segundo o modelo. Um número
significativo de partículas foi espalhado em ângulos da
ordem de 180°. Segundo palavras do próprio Rutherford:
“foi praticamente o acontecimento mais inacreditável
que aconteceu em minha vida”. Esse resultado fez com
que Rutherford propusesse, em 1911, um novo modelo
para a estrutura atômica.
1
identificar individualmente a cintilação de cada partícula
α.
Imagem 3.4: Ernest Rutherford
Fonte: http://www.nobelprize.
org/nobel_prizes/chemistry/
laureates/1908/rutherford-bio.html
5 RUTHERFORD E O NÚCLEO ATÔMICO
Rutherford mostrou, em 1911, que os dados do
experimento com partículas α , realizado em colaboração
com Geiger e Marsden, eram consistentes com um modelo
atômico, no qual a carga positiva estaria concentrada em
uma pequena região central, chamada núcleo. Essa região
continha, além da carga positiva, praticamente toda a
massa do átomo. Os elétrons, segundo este modelo,
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
29
Elementos de Matemática Avançada
giravam ao redor do núcleo, da mesma forma que os planetas giram em
torno do Sol, só que, neste caso, governados pela interação elestrostática
e não gravitacional! Assim, tomando um referencial fixo no núcleo
(com carga Ze ), para um elétron (carga e ) em órbita circular estável
(raio R ), a força centrípeta deve ser igual à força eletrostática, ou seja:
mv 2
1 e( Ze)
,
=
R
4πε 0 R 2
(3.1)
e assim:
v2 =
Ze 2
4πε 0 mR
(3.2)
Qualquer órbita para a qual esta equação fosse satisfeita seria
uma órbita estável para o elétron. Contudo este modelo encontrava
um sério obstáculo para ser aceito, o mesmo encontrado pelo modelo
do japonês Nagaoka. Elétrons girando em círculos, constantemente
acelerados, deveriam emitir energia continuamente, terminando por
cair no núcleo atômico. Mas, então, qual foi a grande contribuição do
trabalho de Rutherford? Foi justamente a constatação da existência de
um minúsculo núcleo atômico!
Rutherford considerou a hipótese da existência de um núcleo
atômico, cujas dimensões fossem suficientemente pequenas, de modo
que uma partícula α que passasse bem perto deste núcleo pudesse
ser espalhada, devido à repulsão coulombiana, em um grande ângulo
ao atravessar um único átomo. Rutherford fez os cálculos detalhados
para a distribuição angular que era observada e chegou à dimensão do
núcleo atômico. Se, ao invés de considerar um raio da ordem de 10−10 m
para a distribuição das cargas positivas, fosse considerado um raio da
−14
ordem de 10 m, o ângulo de espalhamento das partículas α seria
compatível com o ângulo observado no experimento, cerca de 1 rad .
Portanto, segundo o modelo de Rutherford, o espalhamento observado
não era devido aos “elétrons atômicos”, mas, sim, devido à repulsão
coulombiana que agia entre as partículas α , carregadas positivamente, e
o núcleo, também, positivo. Os cálculos consideraram também apenas
30
Física
EAD
Unidade
o espalhamento por átomos pesados, para que pudesse
ser utilizada a hipótese de que a massa do núcleo é muito
grande quando comparada à massa da partícula α , de
modo que o núcleo não recuasse apreciavelmente durante
o processo de espalhamento.
Vejamos a análise realizada por Rutherford para
justificar seu modelo e a existência do núcleo atômico.
A Figura 3.3 ilustra o espalhamento de uma partícula α ,
de carga + ze e massa M , ao passar perto de um núcleo
de carga + Ze, enquanto este está fixo na origem do
sistema de coordenadas. Estando a partícula α muito
afastada do núcleo, a força coulombiana que atua sobre
ela é praticamente desprezível e, assim, a partícula se
aproxima do núcleo seguindo uma trajetória em linha
reta e com velocidade constante que chamaremos
de v’. A posição da partícula em relação ao núcleo é
especificada pela coordenada radial r e o ângulo polar
ϕ , sendo este medido a partir de um eixo paralelo à linha
da trajetória inicial. A distância perpendicular desse eixo
à linha do movimento inicial é denominada parâmetro de
impacto b. O ângulo de espalhamento θ é o ângulo entre
o eixo e uma linha que passa pela origem do sistema e
paralela à linha do movimento final, sendo b’ a distância
perpendicular entre essas duas linhas (vide Figura 3.2).
1
Álgebra Linear
Imagem 3.5: Modelo do átomo
de Rutherford - os elétrons, que
possuem carga negativa, orbitam
em torno de um grande núcleo
carregado positivamente.
Fonte: http://joaonunocfq.blogspot.
com.br/2010/12/modelos-atomicos.
html
você sabia?
Se inflássemos um núcleo
atômico até que ele atingisse o tamanho de uma
bola de tênis, os elétrons
seriam encontrados a cerca de 200m de distância!
Em suma, o modelo de
Rutherford prevê o movimento dos elétrons orbitando o núcleo a grandes
distâncias, fazendo com
que o átomo seja basicamente um espaço vazio!
r,
Figura 3.3 – Trajetória hiperbólica estimada por Rutherford nas coordenadas polares
ϕ e os parâmetros b e D. Sendo θ o ângulo de espalhamento e R a distância de maior
aproximação. A carga pontual Ze está localizada sobre um foco da hipérbole.
A trajetória percorrida pela partícula α pode
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
31
Elementos de Matemática Avançada
obtida diretamente a partir dos cálculos, segundo a mecânica clássica,
para a força de repulsão coulombiana, sendo:
zZe 2
=M
4π 0 r 2
 d 2r
 2
 dt
2
 dϕ  
−
 
 dt  
(3.3)
O termo à esquerda na expressão acima corresponde à aplicação
da força de Coulomb entre a partícula α e o núcleo, enquanto o termo
à direita corresponde à aceleração radial devida à variação no módulo

de r , e o termo da derivada em ϕ corresponde à aceleração centrípeta

devida à variação na direção de r , estando também apontada na direção
radial. Para obter a trajetória da partícula, é necessário resolver a
equação acima, encontrando r em função de ϕ . Perfazendo este cálculo
e aplicando as condições iniciais: ϕ → 0, quando r → ∞ e dr → −v,
dt
quando r → ∞, encontra-se a solução final:
1 1
D
= senϕ + 2 ( cosϕ − 1) ,
r b
2b
(3.4)
Sendo D uma constante definida por:
D≡
zZe 2
4π 0 Mv 2
2
1
(3.5)
A constante D é equivalente à distância de maior aproximação
ao núcleo em uma colisão frontal (equivalente a b = 0 ). Neste ponto, a
partícula pararia e inverteria a direção de seu movimento. A constante
D é facilmente obtida quando igualamos a energia potencial à energia
cinética da partícula, ou seja:
zZe 2 Mv 2
=
4π 0 D
2
1
(3.6)
32
Física
EAD
Álgebra Linear
cotg
θ
2
=
Unidade
1
Repare que a solução obtida em (3.4) corresponde à equação de
uma hipérbole em coordenadas polares, ou seja, a trajetória da partícula
α é hiperbólica. O ângulo de espalhamento θ é obtido a partir de (3.4),
achando o valor de ϕ para r → ∞, quando θ = π − ϕ . Desta forma,
obtém-se:
2b
D
(3.7)
Da expressão acima, vemos que, no caso do espalhamento de
uma partícula α por um único núcleo, se o parâmetro de impacto
estiver entre b e b + db, então o ângulo de espalhamento estará entre
θ e θ + dθ , sendo a relação entre b e θ dada por (3.7). Esta situação
é ilustrada na Figura 3.4. Para encontrar o número de partículas α ,
N (È ) dÈ , espalhadas entre È e È + dÈ ao atravessar toda a folha é
necessário calcular o número das que incidem sobre o núcleo na folha,
como parâmetro de impacto entre b e b + db. O resultado deste cálculo
é dado por:
2
2
 È
1 È  zZe 2  I ρ t 2π sen d
N ( È ) dÈ = 
 
2 
sen 4 È
 4π 0   2 Mv 
2
( )
(3.8)
Figura 3.4 – A relação entre o parâmetro de impacto b e o ângulo de espalhamento θ . À medida que b cresce
(maior afastamento do núcleo), o ângulo de espalhamento decresce.
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
33
Elementos de Matemática Avançada
A expressão acima (3.8) é denominada fórmula de espalhamento
de Rutherford, onde I é o número de partículas α incidentes sobre a
folha de espessura t cm, contendo ρ núcleos por centímetro cúbico.
Perfazendo esta mesma análise para o modelo de Thomson
obtém-se uma expressão da forma:
2 I −È
È
N ( È ) dÈ = 2 e
È
2
È2
dÈ
(3.9)
Imagem 3.6: Experiência de Rutherford – vista esquemática dos átomos que constituem a folha de ouro que
funciona como uma rede de difração.
Fonte: http://estruturadoatomolic2013iqunesp.blogspot.com.br/p/home.html
Por meio de uma simples comparação entre as expressões (3.8)
e (3.9) nota-se que a previsão para o modelo de Rutherford apresenta
uma dependência bem mais complexa que o modelo de Thomson,
haja vista que na expressão (3.8) aparecem fatores como a densidade e
espessura da placa, número atômico e a energia cinética das partículas
α . Nota-se ainda que o espalhamento em ângulos grandes é muito mais
34
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
provável em um único espalhamento por um núcleo atômico do que em
um espalhamento múltiplo em pequenos ângulos em um átomo do tipo
pudim de passas.
Após análise apresentada por Rutherford, Geiger e Marsden
fizeram exaustivos testes experimentais a respeito do ângulo de
espalhamento das partículas e terminaram por concluir que a teoria do
núcleo atômico e o modelo de Rutherford eram compatíveis com os
resultados encontrados. No entanto, apesar do sucesso alcançado pelo
modelo de Rutherford ao explicar o experimento com as partículas α
, este novo modelo deixou espaço para outro questionamento: como
explicar a estabilidade nuclear? Se no centro do átomo há um núcleo
cuja massa é aproximadamente a massa do átomo, e cuja carga é igual
ao número atômico do elemento multiplicado por e; e em torno de
núcleo existem Z elétrons, de modo a neutralizar o átomo, como
justificar a estabilidade deste sistema? Na tentativa de responder esta
questão, o físico dinamarquês, Niels Bohr, propôs em 1913 uma nova
formulação para o modelo atômico, esta nova foi baseada na experiência
de Rutherford e na interpretação dos espectros atômicos.
Exercício resolvido:
1. Mostre que, para a experiência com as partículas α descrita
na Figura 3.3, v’ = v e b’ = b.
Solução: a força que atua sobre a partícula é do tipo
coulombiana e está sempre dirigida radialmente. Assim, o momento
angular da partícula em torno da origem tem um valor constante,
L. Ou seja, o momento angular inicial é igual ao momento angular
final, de modo que:
Mvb = Mv 'b ' = L
Assim,
vb = v ' b '
E ainda, é certo que a energia cinética da partícula não
permanece constante durante o espalhamento, mas a energia cinética
inicial deve
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
35
Elementos de Matemática Avançada
ser igual à energia cinética final, uma vez que o núcleo permanece
estacionário. Portanto:
1
1
Mv 2 = Mv '2
2
2
Então, v = v’ e, da equação anterior, b = b’, como se
queria demonstrar.
2. Calcule R, a distância de maior aproximação da partícula
ao centro do núcleo, ou se, a origem do sistema ilustrado na Figura
3.3.
Solução: a coordenada radial r será igual a R quando o ângulo polar for ϕ = (π − θ ) / 2. Substituindo este ângulo na expressão
(3.4), obtém-se:
1 1
 π −θ  D
= sen 
+ 2
R b
 2  2b
b=
  π −θ  
cos  2  − 1
 
 
θ D  π −θ 
D
cotg = tg 

2
2 2  2 
Substituindo a expressão para o parâmetro b na primeira
expressão e perfazendo as devidas manipulações algébricas, tem-se:
36

D
1
R = 1 +
2
 π −θ
cos 

 2
Física






EAD
1
Álgebra Linear
R=

D
1
1+

2
sen θ
2

( )
Unidade
Por fim:




Note que, quando θ → π , o que corresponde a b = 0, isso é,
colisão frontal, R → D, a distância de maior aproximação. Também
quando θ → 0, o que corresponde a não haver nenhuma deflexão,
tanto b quanto R tendem a infinito, como seria esperado. Estas
previsões são confirmadas experimentalmente.
6 OS ESPECTROS ATÔMICOS
No auge das investigações a respeito da estrutura atômica,
a capacidade de emissão térmica dos materiais já era bem conhecida.
Ao contrário de um espectro contínuo de radiação eletromagnética
emitida, por exemplo, pela superfície de sólidos a altas temperaturas, a
radiação emitida por átomos livres está concentrada em um conjunto de
comprimentos de onda discretos, denominadas linhas.
Ainda no início do século XIX, Joseph Fraunhoffer havia
descoberto que o espectro de emissão solar exibia uma série de linhas
escuras superpostas às cores do arco-íris. Anos mais tarde, por volta
de 1853, as linhas espectrais do hidrogênio foram identificadas pela
primeira vez pelo físico sueco Anders Angstrom. No entanto, Angstrom
não conseguiu identificar as frequências da radiação detectada. A
identificação das quatro linhas brilhantes na região visível foi possível
apenas em 1860, por meio da técnica de espectroscopia analítica,
proposta pelos alemães Gustav Kirchhoff e Robert Bunsen. Estes
desenvolveram uma metodologia simples e eficaz para análise espectral:
fazer a luz emitida por um elemento químico aquecido passar por um
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
37
Elementos de Matemática Avançada
prisma, onde a luz é decomposta e posteriormente impressa em uma
chapa fotográfica, resultando no registro das linhas espectrais em foto.
Por meio desta técnica, os parceiros alemães conseguiram identificar as
linhas espectrais de diversos elementos químicos e foram os primeiros
a apontar a relação unívoca entre os elementos e seus respectivos
espectros. Cada tipo de átomo tem seu espectro característico próprio,
isto é, um conjunto de comprimentos de onda nos quais as linhas
do espectro são encontradas. Na prática, a técnica de espectroscopia
analítica veio se juntar à técnica de análise química, reunindo esforços
para identificação dos diferentes elementos químicos e a obtenção de
medidas precisas de suas respectivas linhas espectrais.
Os trabalhos de Kirchhoff e Bunsen revelaram ainda a capacidade
dos materiais em emitir e absorver luz em específicos comprimentos de
onda, definindo um padrão próprio de radiação, sendo este denominado
o “seu espectro”, um traço característico do elemento, como se fosse
sua própria impressão digital. Em 1861, após uma análise detalhada do
espectro solar, Kirchhoff identificou linhas características do espectro
de absorção de vários elementos químicos como: sódio, cálcio, magnésio
e ferro. É sabido que todos estes elementos encontram-se nas camadas
mais externas (e mais frias) do Sol, e são os responsáveis pela absorção
da luz do espectro contínuo, resultando nas linhas escuras observadas
originalmente por Fraunhoffer.
Assim, é seguro afirmar que cada tipo de átomo tem o seu
espectro que lhe é característico e para cada átomo específico é possível
identificar os espectros de emissão e de absorção, sendo:
O conjunto de raias ou o conjunto das radiações
eletromagnéticas monocromáticas emitidas e suas correspondentes
intensidades definem o espectro de emissão do tipo de átomo.
O conjunto discreto de raias escuras ou o conjunto das
radiações monocromáticas que estão faltando de um espectro
contínuo, justamente porque foram absorvidas pelo material,
definem o espectro de absorção do átomo.
38
Física
EAD
Unidade
Na segunda metade do século XIX, diversos
trabalhos foram realizados na investigação dos espectros
estelares, revelando uma relação direta entre a química
terrestre e estelar. De fato, estrelas são formadas pelos
mesmos elementos químicos que encontramos na
Terra. Mas tão instigante quanto esta descoberta era o
entendimento do processo de emissão espectral. Por
que objetos aquecidos emitem luz? Por que elementos
químicos diferentes produzem espectros diferentes?
Qual seria a relação entre o calor e a luz emitida?
Por certo que os espectros atômicos deveriam
ser explicados por qualquer modelo que se propusesse a
explicar a estrutura atômica. Mas esta não era a realidade
da época e estas questões intrigaram toda a comunidade
científica durante décadas, até que, em 1911, surgiu no
cenário científico mais um físico contestador do mundo
clássico, seu nome: Niels Bohr.
1
Álgebra Linear
Imagem 3.7: Niels Bohr
Fonte: http://www.nobelprize.
org/nobel_prizes/physics/
laureates/1922/bohr-bio.html
7 AS IDÉIAS DE BOHR
O físico dinamarquês Niels Bohr chegou a
Manchester em 1911, aos 26 anos, para trabalhar
com Ernest Rutherford. Bohr estava convencido da
existência do núcleo atômico, acreditava que o modelo
de Rutherfor estivesse no caminho certo, mas também
sentia que mudanças drásticas eram necessárias à física
clássica para explicar a estabilidade atômica. Enquanto
Rutherford tentava encontrar uma explicação para a
estabilidade do átomo e Thomson tentava, sem sucesso,
ajustar os espectros atômicos observados ao seu modelo,
Bohr tentava encontrar uma nova física. A aplicação
de conceitos da mecânica newtoniana, empregada por
Rutherford, para descrever as órbitas eletrônicas o
incomodavam profundamente, bem como a hipótese
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
39
Elementos de Matemática Avançada
de emissão de radiação prevista pelo eletromagnetismo clássico. Bohr
questionava o tratamento clássico aplicado aos elétrons. Para ele, o
eletromagnetismo clássico condenava o átomo à instabilidade! Por
outro lado, o jovem Bohr argumentava que, de acordo com os trabalhos
de Planck e Einstein, os processos que envolviam absorção e emissão de
energia não podiam mais ser tratados como processos contínuos, mas
sim discretizados em pacotes de energia. Então, Bohr tentou aplicar o
conceito de quantização de energia ao modelo de Rutherford por meio
da definição de uma série de órbitas possíveis para o elétron e acabou
por desenvolver um modelo que apresentava concordância quantitativa
precisa com alguns dos dados espectroscópicos.
O modelo do átomo de Bohr foi apresentado na forma de quatro
postulados, vejamos.
Primeiro Postulado:
Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular
em torno do núcleo, sob influência da atração coulombiana; entre o
elétron e o núcleo, obedecendo às leis da mecânica clássica.
Segundo Postulado:
Em vez da infinidade de órbitas que seriam possíveis segundo
a mecânica clássica, um elétron só pode mover-se em uma órbita na
qual seu momento angular orbital L é um múltiplo inteiro de  (a
constante de Planck dividida por 2 π ).
Terceiro Postulado:
Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron
que se move em uma dessas órbitas possíveis não emite radiação
eletromagnética. Portanto sua energia total E permanece constante.
40
Física
EAD
1
Álgebra Linear
Unidade
Quarto Postulado:
É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se
move inicialmente sobre uma órbita de energia total Ei , muda
seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma
órbita de energia E f . A frequência da radiação emitida ν é igual à
quantidade ( Ei − E f ) dividida pela constante de Planck h.
As ideias de Bohr misturam conceitos clássicos e não clássicos.
No primeiro postulado, Bohr considera a existência do núcleo atômico,
tal qual indicação do experimento de Rutherford e assegura a validade
da mecânica clássica. Já o segundo postulado introduz o conceito não
clássico de quantização, mas, desta vez, a quantização é para o momento
angular orbital de um elétron se movendo sob influência de uma força
coulombiana, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado da
distância, o que implica em:
n = 1, 2, 3…
L = n
(3.10)
Note que o critério de quantização sugerido por Bohr para o
momento angular do elétron é diferente da quantização de Planck
para a energia de uma partícula, E = nhν . O terceiro postulado resolve
o problema de emissão de radiação eletromagnética para um elétron
que se move em uma órbita circular, uma previsão da teoria clássica
do eletromagnetismo. Para Bohr, as órbitas permitidas eram “órbitas
estacionárias”, uma condição especial para um elétron ligado. Nestas
órbitas, os elétrons simplesmente violam a lei clássica e não perdem
energia, assegurando, assim, a estabilidade do átomo. Por certo que há
uma violação da lei clássica, mas que assegura a estabilidade observada
experimentalmente para os átomos. O quarto postulado é similar ao
postulado de Einstein, o qual atesta que a frequência de um fóton
emitido é igual à energia do mesmo, dividida pela constante h. Bohr
apenas atribui à energia do fóton à diferença de energia entre as órbitas,
sendo:
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
41
Elementos de Matemática Avançada
ν=
Ei − E f
h
(3.11)
No caso de um elétron receber uma dosagem extra de energia,
tal qual uma descarga elétrica, ou ainda que o átomo receba energia
em decorrência de uma colisão, o elétron poderá sofrer uma transição
eletrônica para um estado de maior energia, ou estado excitado, no qual,
necessariamente, n > 1. Obedecendo à tendência natural de todos os
sistemas físicos, o elétron tenderá a voltar para o estado fundamental
de energia e deverá, para tanto, emitir o excesso de energia entre os
níveis na forma de um fóton. Assim, Bohr esclareceu o mistério do
o espectro atômico: as linhas espectrais são discretas, apresentandose em frequências específicas para cada átomo, simplesmente porque
correspondem aos fótons emitidos durante as transições dos elétrons
entre as órbitas permitidas. Na órbita mais próxima do núcleo, n = 1,
o elétron estaria no “estado fundamental” do átomo. As órbitas mais
externas seriam aquelas dos “estados excitados” dos átomos.
Por certo que as ideias de Bohr eram extremamente audaciosas
e muito fortes, mas a justificativa para os seus postulados, como em
todo e qualquer postulado, prima pela adequação do modelo aos resultados experimentais. E neste contexto, as previsões de Bohr eram
extremamente eficientes. Para o espectro do hidrogênio, por exemplo,
o modelo consegue prever as frequências das linhas de emissão em perfeita concordância com o espectro observado. O sucesso alcançado pelo modelo de Bohr teve impacto bastante positivo entre a comunidade
científica. Após a publicação de todo o trabalho em novembro de 1913,
Albert Einstein se declarou um dos maiores entusiastas do modelo, tendo escrito: “Esta é uma conquista enorme”.
42
Física
EAD
Álgebra Linear
1
você sabia?
Bohr foi um dos maio-
Vamos agora às considerações físicas por trás
do modelo de Bohr. Considere um átomo constituído
por um núcleo de carga + Ze e massa M , e um único
elétron de carga –e e massa m. Este poderia ser o caso
de um átomo de hidrogênio neutro, Z = 1, ou um átomo
de Hélio ionizado, Z = 2; ou mesmo um átomo de
lítio duplamente ionizado, Z = 3. Supondo uma órbita
circular para o elétron e, lembrando que m é desprezível
comparada a M e que o núcleo permanece fixo no espaço,
a condição de estabilidade mecânica nos leva a estabelecer
que:
res cientistas de todos
os tempos! Querido não
apenas por sua habilidade racional, mas também
por sua postura enquanto
cidadão do mundo e pessoa dotada de profundo
senso de justiça. Simpático e humilde, Bohr era
admirado
por
colegas,
alunos e amigos. Foi bastante atuante na propagação de ideais pacifistas,
durante e após a segunda
guerra, e engajado a disseminar sua preocupação
com o futuro do mundo.
Defensor do uso pacífico
da energia nuclear, liderou projetos voltados às
Ze 2
v2
m
,
=
4π 0 r 2
r
1
aplicações industriais da
energia atômica e recebeu em 1957 o prêmio
(3.12)
Ou seja, a força coulombiana que atua sobre o
elétron é a responsável pela aceleração centrípeta que
mantém o elétron em órbita, sendo v a velocidade do
elétron e r o raio da órbita. Uma vez que a força atuante
sobre o elétron é uma força central, então o momento
angular orbital também deve ser uma constante, L = mvr.
Assim, a condição de quantização do momento angular,
segundo Bohr, implica em:
Átomos para a Paz, oferecido pelo governo dos
Estados Unidos. Por seus
trabalhos no estudo da
estrutura atômica, Bohr é
considerado um dos principais arquitetos do átomo e da física quântica!
L = mvr = n,
n = 1, 2,3…
(3.13)
Portanto:
v=
n
mr
(3.14)
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
43
Unidade
8 O MODELO DE BOHR
Elementos de Matemática Avançada
Substituindo a expressão de v em (), tem-se:
2
2
Ze 2 m  n 
n2 2
2
2 m  n 
=
=>
=
=
4
4
Ze
r
π

π

0
0




4π 0 r 2
r  mr 
r  mr 
mr
1
Ou seja:
r = 4π 0
n22
,
mZe 2
n = 1, 2,3…
(3.15)
e:
v=
n
1 Ze 2
,
=
mr 4π 0 n
n = 1, 2,3…
(3.16)
Em suma, a quantização do momento angular corresponde a uma
restrição das órbitas circulares permitidas, ou seja, aquelas cujos raios
são dados por (3.15). Note que os raios permitidos são proporcionais ao
quadrado do número quântico n , enquanto a velocidade é inversamente
proporcional a n. Esta é uma das razões para a quantização de Bohr
(assim como a de Planck!) começar em n = 1 e não em n = 0, caso
contrário, teríamos r → 0 e v → ∞.
Para o átomo de hidrogênio, por exemplo, a primeira órbita seria:
r = 5,3 x10−11 m ≅ 0,5侌
．. Esta estimativa pode ser interpretada como uma
medida do raio do átomo de hidrogênio em seu estado fundamental.
De acordo com (3.16), a velocidade do elétron na órbita mais interna é
v ≅ 2, 2 x106 m / s. Note que este valor é bem abaixo da velocidade da luz
(3 x108 m / s ) e, por esta razão, a mecânica newtoniana é suficiente para
descrever a dinâmica do modelo de Bohr, uma vez que esta é a maior
velocidade permitida para o elétron ligado. Entretanto, para grandes
valores de Z , a velocidade do elétron ligado se torna comparável à
velocidade da luz e o modelo clássico não mais é valido.
E qual é a energia de um elétron ligado, segundo o modelo de
44
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
Bohr? Vejamos: a energia potencial V , a qualquer distância finita r ,
pode ser estimada integrando o trabalho que seria realizado pela força
coulombiana que atua de r a ∞. Assim, podemos expressar:
∞
Ze 2
Ze 2
V = −∫
dr = −
4π 0 r 2
4π 0 r
r
(3.17)
Neste caso, a energia potencial é negativa devido ao fato da força
coulombiana ser atrativa, ou seja, é necessário realizar trabalho sobre
o sistema para mover um elétron do raio r ao infinito, em oposição à
força coulombiana.
Para o cálculo da energia cinética do elétron, podemos usar
aplicar equação de velocidade (), diretamente à fórmula clássica:
K=
1 2
Ze 2
mv =
2
4π 0 2r
(3.18)
Assim, a energia total do elétron pode ser estimada como a soma
das energias, cinética e potencial:
E = K +V =
E=−
Ze 2
Ze 2
−
4π 0 2r 4π 0 r
Ze 2
= −K
4π 0 2r
(3.19)
Substituindo o valor de r , tem-se:
E=−
mZ 2 e 4
( 4π 0 )
2
1
2
2 n
2
(3.20)
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Módulo 4 I
Volume 5
45
Elementos de Matemática Avançada
Imagem 3.8: Modelo de Bohr – órbitas circulas, estabilidade eletrônica e emissão de radiação somente nas
transições entre estados estacionários.
Fonte:http://www.fisica-interessante.com/aula-historia-e-epistemologia-da-ciencia-11-crise-da-fisica-3.html
Assim, nota-se que a quantização do momento angular também
se reflete na quantização de sua energia total, visto que esta, por sua vez,
é dependente do raio orbital. Um elétron em estado fundamental, isto é,
se movendo na órbita mais interna do átomo, n = 1, consequentemente,
tem a menor energia possível, visto que a energia estimada para cada
orbital é negativa.
As informações contidas em (3.20) também podem ser
representadas na forma de um diagrama de níveis de energia, tal qual
ilustrado na Figura 3.5. Neste tipo de diagrama, são representados os
números quânticos, seus respectivos níveis de energia, e, por meio da
escala de construção, a distância entre cada nível de energia em relação
ao primeiro nível é proporcional à diferença de energia entre eles.
Observe que o menor (mais negativo) nível de energia ocorre para o
número quântico n = 1. À medida que n cresce, a energia total do estado
quântico se torna menos negativa, com E se aproximando de zero,
quando n tende a infinito. Como em todo sistema físico, o estado de
menor energia total é o estado mais estável, vemos que o estado normal
46
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
para o elétron no átomo de um elétron é, naturalmente, o estado no
qual n = 1.
Figura 3.5 – Diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio
Resta agora estimar a frequência da radiação emitida quando um
elétron ligado sofre uma entre um estado quântico ni para um estado
quântico n f . Em outras palavras, um elétron que se movia em uma órbita
caracterizada por um número quântico i, muda descontinuamente
seu movimento, passando a se mover segundo uma órbita de número
quântico f , De acordo com o quarto postulado de Bohr, e a expressão:
ν=
Ei − E f
h
2
 1  mZ 2 e 4  1 
= +

3 
2 
 2

 4π 0  4π   n f − ni 
Expressando em termos do número de onda  =
(3.21)
1
λ
=
ν
c
, tem-se:
2
 1  me 4 2  1 
Z  2
κ =

3
2 


 4π 0  4π  c  n f − ni 
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Módulo 4 I
Volume 5
47
Elementos de Matemática Avançada
Ou seja:
 1 
,
 n 2f − ni2 


κ = R∞ Z 2 
(3.22)
Sendo R∞ uma constante cujo valor é:
2
 1  me 4
R∞ ≡ 

3
 4π 0  4π  c
(3.23)
Note que a equação (3.22) estabelece o número de onda do fóton
emitido no processo de transição, no entanto não oferece nenhuma
restrição para as transições entre os estados permitidos. Em suma, um
átomo pode absorver energia e passar para um estado excitado, orbital
n = 7, por exemplo, e posteriormente decair até o nível fundamental,
por meio de uma série de transições, nas quais o elétron cai de um
estado para outro de energia mais baixa, sucessivamente, até chegar ao
nível fundamental. Por exemplo, um elétron pode cair do nível n = 7
para o nível n = 4, depois para n = 2 e finalmente para n = 1. Em cada
transição é emitido um fóton com comprimento de onda que depende
da diferença de energia perdida pelo elétron naquela transição, ou seja,
a diferença de energia entre os níveis orbitais em questão. Nesse caso,
seriam emitidos três fótons, correspondendo a três linhas de emissão
do espectro atômico, com número de onda dados por:
- linha 1: transição entre ni = 7 para n f = 4;
- linha 2: transição entre ni = 4 para n f = 2;
- linha 3: transição entre ni = 2 para n f = 1.
Na maior parte dos processos de excitação e desexcitação,
todas as possíveis transições ocorrem e, assim, é constituído o espectro
atômico detectado durante um processo de medida. Os números de
onda, ou comprimentos de onda, do conjunto de linhas que constituem
o espectro são dados pela expressão (%%) (ver com a autora),
48
Física
EAD
Álgebra Linear
µ=
Unidade
1
simplesmente tomando os valores de ni e n f , restritos apenas à condição
ni > n f para linhas de emissão e ni < n f para linhas de absorção.
Com o aprimoramento dos dados espectroscópicos, Bohr se
deu conta de que a aproximação realizada em seus cálculos para a massa
nuclear infinita estava em desacordo com as medidas experimentais. A
fim de corrigir suas previsões teóricas, Bohr resolveu tratar a dinâmica
do sistema elétron-núcleo em função do seu centro de massa. Neste
contexto, o sistema pode ser tratado como se o núcleo de massa M
estivesse fixo e a massa m do elétron fosse ligeiramente reduzida a
certo valor µ , denominada massa reduzida do elétron:
mM
m+M
(3.24)
Note que o valor de µ é sempre menor que m.
Para introduzir este novo conceito e corrigir as previsões
teóricas, Bohr foi forçado a modificar o seu segundo postulado, desta
vez, impondo que a quantização do momento angular total, L, fosse
um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2π , ou seja, .
Assim, a igualdade expressa foi generalizada para:
µ vr = n
n = 1, 2, 3…
(3.25)
Ao considerar o parâmetro µ , é levado em conta tanto o momento angular do elétron quanto do núcleo. Para as demais previsões
do modelo de Bohr, as equações descritas nesta seção serão todas idênticas, com exceção da troca da massa do eletro, m, pela massa reduzida,
µ . Em especial, a expressão para os comprimentos de onda das linhas
espectrais, equação (), se reduz a:
 1
1 
,
−
 n 2f ni2 


κ = RM Z 2 
UESC
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Volume 5
49
Elementos de Matemática Avançada
onde:
RM ≡
M
µ
R∞ ≡ R∞
m+M
m
(3.26)
A constante RM é denominada constante de Rydberg para
um núcleo de massa M. Note que, quando M → ∞, RM → R∞ , a
m
constante de Rydberg para um núcleo extremamente pesado. Para o
caso do hidrogênio, M ≅ 1836, RM é menor que R∞ por uma parte em
m
2000.
Com estas correções, as previsões do modelo de Bohr pareciam
se encaixar como uma luva ao espectro atômico do hidrogênio, além
de fornecer explicações plausíveis às inquietações científicas a respeito
do papel dos elétrons dentro da estrutura atômica. Assim, o modelo
de Bohr agradava por sua boa concordância, tanto quantitativa quanto
qualitativa, entre teoria e observações. No entanto, apesar do sucesso
inicial alcançado, o modelo de Bohr também tinha suas limitações. O
tratamento clássico dado aos elétrons apresentava falhas até mesmo para
explicar o comportamento de átomos leves como o Hélio, com seus
dois elétrons. Mas, ainda assim, as ideias introduzidas por Bohr para a
quantização das órbitas eletrônicas e sua ênfase em números atômicos
davam fortes indícios do caminho a ser seguido no entendimento do
mundo atômico.
Exercício Resolvido: Calcule a energia de ligação do átomo
de hidrogênio, isto é, a energia que liga o elétron ao núcleo, a partir
da expressão (3.20).
Solução: A energia de ligação é numericamente igual à energia do menor estado possível, n = 1. Como para o átomo de hidrogênio, Z = 1, tem-se:
E=−
50
Física
1
( 4π 0 )
2
me 4
2 2
EAD
1
Álgebra Linear
( 9, 0 x10 Mm
E=−
9
2
)
2. (1, 05 x10
(
2
/ C .9,11x10−31 kg. 1, 60 x10−19 C
−34
J .s
)
)
Unidade
Substituindo os valores:
4
2
E = −2,17 x10−18 J = −13, 6eV
Exercício Resolvido: Imagine um “átomo de positrônio”, ou
seja, constituído por um elétron e um pósitron, ao invés do próton.
Neste caso, teríamos o elétron girando em torno centro de massa
comum, o qual está na metade da distância entre os dois.
a ) Se tal sistema fosse um átomo normal, como seu espectro
de emissão seria comparável ao do átomo de hidrogênio?
Solução: Neste caso, a massa “nuclear” é a do pósitron, que
por sua vez, é igual à massa do elétron, m. Portanto a massa reduzida
será:
µ=
mM
m2 m
=
=
m + M 2m 2
A constante de Rydberg correspondente é:
RM =
R
m
R∞ = ∞
m+m
2
Os estados de energia do átomo de positrônio seriam dados
então por:
UESC
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51
Elementos de Matemática Avançada
E positrônio = −
RM hcZ 2
R∞ hcZ 2
=
−
n2
2n 2
e os comprimentos de onda recíprocos das linhas espectrais
seriam dados por:
κ=
1
λ
=
ν
c
=
R∞ 2  1
1 
Z  2 − 2
 n f ni 
2


As frequências das linhas emitidas seriam então a
metade, e os comprimentos de onda o dobro das de um átomo de
hidrogênio (com núcleo infinitamente pesado), sendo Z igual a 1
para o positrônio e para o hidrogênio.
b) Qual seria o raio da órbita no estado fundamental do
positrônio?
Solução: Podemos usar a mesma expressão para o raio de
hidrogênio, apenas substituindo m por µ , que, de acordo com o
m
item anterior, vale: µ = .
2
Assim:
rpositrônio =
4π 0 n 2 h 2
4π 0 n 2 h 2
=
= 2rhidrogênio
2
µ Ze 2
mZe 2
Portanto para qualquer estado quântico n o raio do elétron
relativamente ao “núcleo de positrônio” é duas vezes maior do que
no átomo de hidrogênio.
52
Física
EAD
1
Álgebra Linear
Unidade
Exercício Resolvido: Um átomo muônico contém um núcleo
de carga Ze e um muon negativo, µ − , se movendo em torno dele.
−
O µ é uma partícula elementar de carga –e e massa 207 vezes
maior do que a massa do elétron. Este átomo é formado quando um
−
próton, ou outro núcleo, captura um µ .
a ) Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo
muônico com Z = 1 .
Solução: A massa reduzida do sistema, com mµ − = 207 me e
M = 1836me é de:
µ=
207 me .1836me
= 186me
207 me + 1836me
Então, o raio da órbita com n=1 e µ = 186me será:
r1 =
4π 0 
1
.5,3 x10−11 m = 2,8 x10−13 m = 2,8 x10−13 侌
=
2
186me e
186
−
Portanto o µ está muito mais próximo da superfície nuclear
(do próton) do que o elétron em um átomo de hidrogênio!
b) Calcule a energia de ligação de um átomo muônico com
Z = 1.
De acordo com a equação (), para n = 1 , z = 1 e µ = 186me ,
tem-se:
me e 4
= −186 .13, 6eV = −2530 eV
E = −186
2
( 4π 0 ) 22
Esta é a energia do estado fundamental, 186 vezes a energia
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Volume 5
53
Elementos de Matemática Avançada
do átomo de hidrogênio. Também equivalente à energia de ligação
do átomo muônico.
Exercício Resolvido: O hidrogênio comum contém cerca de
uma parte em 6000 de deutério, o hidrogênio pesado. Este átomo
corresponde a um núcleo contendo um próton e um nêutron. Estime como a massa nuclear afeta o espectro atômico.
Solução: O espectro seria idêntico ao espectro normal do
átomo de hidrogênio se não fosse a correção para a massa nuclear
finita. Para um átomo de hidrogênio normal, tem-se:
RH = R∞
µ
m
=
R∞
109737cm −1
=
= 109678cm −1
1
m

 

1 +  1 +

 M   1836 
Para um átomo de Deutério, o cálculo seria:
RD = R∞
µ
m
=
R∞
109737cm −1
=
= 109707cm −1
m

 
1 
1 +  1 +

 M   2(1836) 
Portanto RD é um pouco maior do que RH , de modo que a
linhas espectrais do deutério são deslocadas para comprimentos de
onda ligeiramente menores comparados ao hidrogênio. De fato, o
deutério foi descoberto em 1932, após a observação dessas linhas
espectrais deslocadas.
9 AS SÉRIES ESPECTROSCÓPICAS
Por sua configuração minimalista, o espectro do átomo de
hidrogênio é relativamente simples, e, por esta razão, bastante útil para o
estudo da estrutura atômica. A Figura 3.6 representa a parte do espectro
do hidrogênio que se encontra na região de comprimentos de onda da
luz visível. Repare que o espaçamento, em comprimentos de onda,
54
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
entre linhas adjacentes do espectro diminui continuamente, à medida
que o comprimento de onda das linhas diminui (consequentemente o
nível de energia aumenta). Neste contexto, diz-se que a série de linhas
apresentadas converge para o chamado limite da série, no caso do
hidrogênio, 3.645, 6 侌
． Note que as linhas com menores comprimentos
de onda, incluindo o limite da série, são difíceis de serem observadas
experimentalmente devido ao pequeno espaçamento entre elas e,
também, por já estarem na região do ultravioleta. Repare que algumas
linhas aparecem marcadas como Hα , H β , etc. Veremos a seguir a
justificativa desta identificação.
Figura 3.6 – Esquema das linhas espectrais do átomo de hidrogênio na parte visível do espectro.
Desde o final do século XIX, ainda muito antes das especulações
do modelo de Bohr, que a regularidade das linhas espectrais do átomo
de hidrogênio despertava a curiosidade dos cientistas da época, no
intuito de encontrar um padrão, ou uma fórmula empírica, que pudesse
descrever as linhas observadas. Em 1885 (ano em que nascia Niels Bohr),
um professor suíço de nome Johann Balmer publicou em seu trabalho
a descoberta de uma fórmula capaz representar os comprimentos de
onda observados para o átomo de hidrogênio. No entanto, como as
teorias da época não eram capazes de explicar as linhas espectrais nem,
tão pouco, justificar a sequência observada, esta constatação ficou
esquecida no tempo, por cerca de 30 anos, tendo sido reavivada por
ocasião dos trabalhos de Bohr. Balmer encontrou uma série muito
simples da forma:
λ = 3646
n2
,
n2 − 4
(3.27)
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Volume 5
55
Elementos de Matemática Avançada
onde: n = 3 para a linha identificada como Hα , n = 4 para a
linha H β e n = 5 para H γ etc. Àquela altura, Balmer sequer tentou
associar um conceito físico ao parâmetro n , mas o êxito alcançado em
representar as linhas conhecidas na época, estimulou muitos outros
cientistas a buscar fórmulas empíricas similares que se aplicariam a
séries de linhas encontradas em outros elementos. Muitos trabalhos
se sucederam, dentre eles o trabalho de Rydberg, por volta de 1890, e
atualmente sabemos da existência de pelo menos cinco séries de linhas
no espectro do hidrogênio, conforme descrito na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – As séries do Hidrogênio
Fonte: Eisberg & Resnick, 1979
Para o gás hidrogênio, em geral, apenas as linhas da série Lyman
aparecem no espectro de absorção, mas quando o gás é aquecido a
elevadas temperaturas, condição que ocorre nas superfícies estelares,
usualmente são encontradas as linhas correspondentes à série de Balmer.
Assim como acontece com o hidrogênio, os demais elementos
químicos também têm suas sequências de séries. Para os átomos
alcalinos, como Li, Na, K etc, a fórmula das séries tem a mesma estrutura
geral, sendo:
56
Física
EAD
1
Álgebra Linear
1
 1
1 
= RM 
−
,
2
2
λ
 ( m − a ) ( n − b) 
Unidade
κ=
(3.28)
onde RM é a constante de Rydberg para o elemento em questão,
a e b são constantes para a série considerada, m é um inteiro que é
fixo para a série considerada, e n é um inteiro variável. A constante de
Rydberg apresenta uma pequena variação entre os elementos, da ordem
de 0,05%, mas apresenta um ligeiro crescimento à medida que o número
atômico (e, consequentemente, a massa do núcleo) cresce.
Exercício Resolvido:
a) Qual é o comprimento de onda do fóton menos energético na série de Balmer?
Solução: Da relação E = hν , o fóton menos energético tem
a menor frequência e, portanto, o maior comprimento de onda.
Analisando a série de Balmer (Tabela 3.1), significa que devemos
fazer n = 3 (menor valor possível), visto que qualquer valor mais
alto corresponderia a um comprimento de onda menor. Assim, temse:
κ=
1
1 
 1
= RH  2 − 2 
λ
2 n 
Substituindo os valores:
1
 1 1
= 0, 01097 nm −1  2 − 2
λ
2 3

−3
−1
 = 1,524 x10 nm

Assim:
λ=
UESC
1
= 656,3 nm
1,524 x10−3 nm −1
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57
Elementos de Matemática Avançada
Exercício Resolvido: Para o átomo muônico considerado no exercício
da seção anterior, estime o comprimento de onda da primeira linha
da série de Lyman.
De acordo com a Tabela 3.1, a série de Lyman para um
átomo de massa M e Z = 1 corresponde a:
 1
1 
− 2
2
 n f ni 


κ = RM 
Para a primeira linha de Lyman, ni = 2 e n f = 1.
conforme calculado anteriormente, para o átomo muônico:
RM = ( µ / me ) R∞ = 186 R∞ . Portanto:
κ=
1
 1
= 186 R∞ 1 −  = 139,5 R∞
λ
 4
Como R∞ = 109737cm −1 obtém-se:
λ ≈ 6,5侌
De modo que as linhas de Lyman estão na parte raio X
do espectro eletromagnético.
10 REGRAS DE QUANTIZAÇÃO
O conceito de quantização introduzido por Bohr para justificar
a estrutura atômica, assim como a quantização de energia de Planck,
despertaram o interesse dos pesquisadores da época, no sentido
compreender este conceito tão fascinante. Neste contexto, em 1916,
58
Física
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
W. Wilson e Arnold Sommerfeld enunciaram um conjunto de regras no
intuito de generalizar o conceito de quantização para qualquer sistema
físico, no qual as coordenadas fossem funções periódicas no tempo. O
enunciado apresentado para as regras de quantização nos diz que:
Para qualquer sistema físico no qual as coordenadas são funções periódicas do tempo, existe uma condição quântica para cada
coordenada. Estas condições são estimadas como:
嚀p dq = n h,
q
q
(3.29)
onde q é uma das coordenadas, pq é o momento associado
a essa coordenada, nq é um número quântico correspondente, que
toma valores inteiros, e 嚀 significa que a integração é tomada sobre
um período da coordenada q.
Vamos agora, partindo do enunciado acima, chegar às regras
de quantização de Planck e Bohr. Começaremos pela quantização de
Planck.
Considere um oscilador harmônico simples a uma dimensão (tal
qual o tratamento das ondas estacionárias na cavidade de um corpo negro). Podemos descrever sua energia total em termos da posição e momento:
p 2 kx 2
E = K +V = x +
2m 2
E, analogamente:
px2
x2
+
=1
2mE 2 E / k
(3.30)
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59
Elementos de Matemática Avançada
você sabia?
Você se lembra da
equação de uma elipse?
Então, vamos recordar:
Uma elipse corresponde ao conjunto de pontos do plano, cuja soma
das distâncias a dois
pontos fixos (denominados focos da elipse)
é constante e maior do
que a distância entre
eles. Para uma elipse
com centro na origem e
focos contidos no eixo
x , a relação matemática que representa estes pontos é expressa
como:
x2 y 2
+
=1
a 2 b2
Sendo a o semieixo
maior e b o semi-eixo
menor da elipse. Vide
Figura a seguir:
O motivo da representação acima, equação (3.30),
é que esta descreve a equação de uma elipse, ou seja, a
relação entre as grandezas x e px pode ser descrita por
meio da representação gráfica de uma elipse. Cada estado
instantâneo do movimento do oscilador é representado
por um ponto no gráfico dessa equação elíptica em um
espaço bidimensional das coordenadas px e x.
Esta representação no espaço p − x é
denominada espaço de fase e o gráfico correspondente
é um diagrama de fase. Conceitos extremamente úteis
na Física Quântica.
A Figura 3.7 ilustra um diagrama de fase
representativo para um oscilador harmônico simples
linear, tal qual estamos considerando. Repare que os semieixos a e b da elipse, de acordo com a nossa equação
(3.30) são: a = 2 E / k
e b = 2mE
Imagem: representação de
uma elipse
Figura 3.7 – No alto: um diagrama de fase representativo para um oscilador harmônico simples
linear. Embaixo: os estados de energia possíveis do oscilador são representados por elipses
Deste modo, a região entre as elipses
cujas áreas no espaço de fase são dadas por
adjacentes tem área
h.
60
Física
nh.
EAD
Álgebra Linear
Unidade
1
Assim, a integral fechada de (3.30) corresponde exatamente à
área total da elipse, sendo esta dada por: π ab. Deste modo:
2π E
k/m
嚀p dx = π ab =
x
(3.31)
Lembrando que:
k / m = 2πν
sendo ν a frequência de oscilação. Substituindo em (3.31), temse:
E
嚀p dx = ν
x
Esta integral é denominada integral de fase. E, de acordo com a
regra de quantização de Wilson e Sommerfeld:
E
嚀p dx = ν
x
= nx h ≡ nh
Finalmente, chegamos à quantização de Planck:
E = nhν
Repare no canto inferior da Figura 3.7 que os estados possíveis
da oscilação, dados pelos valores permitidos de n, são representados
por uma série de elipses no espaço de fase. Cada valor de n corresponde
uma área diferente, sendo que a área submetida entre duas elipses sucessivas será sempre h. A título de comparação, quando h → 0, todos
os valores de E seriam permitidos, e recairíamos novamente no caso
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61
Elementos de Matemática Avançada
saiba mais
A função dente-de-serra
é uma função periódica do
tipo não-senoidal, que consiste simplesmente de uma
rampa
então
ascendente,
salta
que
abruptamen-
te para o ponto inicial, na
passagem para o próximo
ciclo.
clássico. Mas por certo que, no mundo quântico, h tem
um valor finito!
Vamos agora chegar à quantização de Bohr para o
momento angular, partindo da regra geral de quantização.
Para um elétron ligado que se move em órbita circular, a
coordenada angular θ representa uma função periódica
no tempo, cujo comportamento, em relação a t , é uma
função do tipo dente de serra, oscilando linearmente no
intervalo de 0 a 2π rad . Aplicando a regra de quantização
ao momento angular do elétron, tem-se:
Imagem 3.10: Função dente
de serra
嚀p dq =嚀Ldθ = nh
q
(3.32)
Reescrevendo a expressão acima:
2π
嚀Ldθ = L嚀dθ = 2π L = nh
0
Assim,
2π L = nh
Chega-se à quantização de Bohr:
L = nh
2π
= n
Uma interpretação alternativa para a quantização
de Bohr foi apresentada em 1924, por De Broglie (o mesmo das ondas de partículas!), a partir da interpretação da
regra geral de quantização. De Broglie argumentou que
as órbitas possíveis para o elétron são aquelas nas quais
a circunferência da órbita pode conter exatamente um
número inteiro de comprimentos de onda de de Broglie.
62
Física
EAD
mvr = pr =
nh
2π
Unidade
Isso porque, segundo Bohr:
1
Álgebra Linear
Mas, segundo de Broglie, p = h / λ , e, portanto:
hr
λ
=
nh
2π
Equivalentemente:
2π r = nλ
n = 1, 2,3…
(3.33)
Nesta abordagem, ao elétron que se move com velocidade constante em uma órbita circular é associada uma onda, de comprimento
de onda λ , envolvendo a órbita circular. Neste cenário, o modelo ondulatório não considera um movimento progressivo do elétron, mas,
sim, considera a existência de ondas estacionárias, onde apenas certos
comprimentos de onda são possíveis para aquela órbita. No entanto,
para obter as ondas estacionárias, é necessário que haja ondas de igual
amplitude e se propaguem em sentidos opostos. Assim, é permitido ao
elétron percorrer a órbita em qualquer sentido, desde que seja mantida
a regra de quantização do momento angular. Neste caso, o padrão resultante será o de uma onda estacionária com comprimento de onda dado
de De Broglie. Esta nova interpretação para a regra de quantização do
momento angular em função da existência de ondas estacionárias de De
Broglie é também embasada pela regra de quantização de Wilson-Sommerfeld, consolidando, assim, o modelo de Bohr com uma justificativa
mais consistente para a dinâmica do elétron.
11 O MODELO DE SOMMERFELD
Outra aplicação importante das regras gerais de quantização
consiste na análise das órbitas elípticas para o átomo de hidrogênio.
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
63
Elementos de Matemática Avançada
Imagem 3.9: Arnold Sommerfeld
Fonte: http://www-groups.dcs.
st-and.ac.uk/history/PictDisplay/
Sommerfeld.html
Esta análise foi realizada por Sommerfeld na tentativa
de explicar um importante efeito observado no espectro
atômico do hidrogênio, a estrutura fina espectral. Este
efeito consiste na separação de uma linha espectral em
várias componentes distintas, fenômeno observado em
praticamente todos os espectros atômicos. No entanto,
a observação deste efeito requer o uso de equipamentos
óticos com alta resolução angular, de modo a conseguir
decompor as componentes de uma única linha, cuja separação é muito pequena, cerca 10−4 vezes a separação entre as próprias linhas! Seguindo o raciocínio do átomo de
Bohr, esta estrutura fina espectral significa que um único
estado de energia considerado pode ser constituído de
vários outros estados com energias muito próximas.
No ímpeto de explicar o fenômeno da estrutura
fina para o átomo de hidrogênio, Sommerfeld considerou
a possibilidade de existirem órbitas elípticas para o
elétron, nas quais o próton, representando o núcleo,
estaria em um dos focos da elipse. Usando inicialmente
os argumentos da mecânica clássica e as regras gerais de
quantização, Sommerfeld terminou por formular um
novo modelo para o átomo. Desta vez, subdividido em
vários níveis eletrônicos.
De acordo com as regras de quantização descritas
na seção anterior para o caso de órbitas circulares, é possível chegar à relação
嚀Ldθ = nθ h => L = nθ 
No entanto, para uma órbita elíptica, com razão
entre os eixos, a / b, o cálculo acima, quando realizado
em termos das coordenas polares, resulta em uma relação
distinta, do tipo:
64
Física
EAD
1
Álgebra Linear
Unidade
a 
L  − 1 = nr 
b 
(3.34)
Combinando com a condição de equilíbrio dinâmico, é possível
encontrar os semieixos permitidos e a energia total, E , de um elétron
nessas órbitas elípticas, a saber:
a=
4π 0 n 2  2
µ Ze 2
(3.35)
b=a
nθ
n
(3.36)
2
 1  µ Z 2e4
E = −

2 2
 4π 0  2n 
(3.37)
Sendo µ a massa reduzida do elétron e n o número quântico definido como:
n ≡ nr + nθ
Como:
nθ = 1, 2,3… e
nr = 0,1, 2,3…
Então:
n = 1, 2, 3, 4 …
Para certo valor de n, nθ pode assumir os valores:
nθ = 1, 2,3…, n
O número quântico n é chamado de número quântico principal,
nθ , o número quântico azimutal, enquanto nr é o número quântico
orbital.
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
65
Elementos de Matemática Avançada
Note que a equação () estabelece a razão entre os semieixos
maior e menor da elipse, indicando a forma da órbita. Para o caso de
nθ = n, as órbitas são meramente círculos de raio a. Repare ainda que,
conforme a relação (), o raio das órbitas circulares de Sommerfeld é
idêntico ao raio dos orbitais puramente esféricas do modelo de Bohr. A
relação entre as escalas das órbitas possíveis aos três primeiros valores
de número quântico principal é ilustrada na Figura 3.8. Para cada valor
do número quântico principal, n, há n diferentes órbitas possíveis, sendo uma delas esférica e as demais elípticas. No entanto, como a energia
total do elétron só depende de n, existem várias órbitas caracterizadas
por um mesmo valor n. Estas órbitas são chamadas órbitas degeneradas. Assim, as energias de diferentes elétrons, em diferentes órbitas, ou
estados quânticos, se degeneram em um mesmo valor.
Figura 3.8: Modelo de Sommerfeld – órbitas elípticas com núcleo localizado no foco comum das elipses, indicado
pelo ponto.
Para anular a degenerescência do átomo de hidrogênio e “separar” os diferentes níveis, Sommerfeld resolveu introduzir nos seus
cálculos correções relativísticas para a dinâmica dos elétrons. Embora a
ração v / c seja muito pequena, aproximadamente 10−2 , este valor é jus-
66
Física
EAD
Álgebra Linear
µ Z 2e4
E=−
(4π 0 ) 2 2n 2  2
Unidade
1
tamente a ordem de grandeza da separação entre os estados de energia
do átomo de hidrogênio. Assim, para explicar a estrutura fina do espectro de hidrogênio, Sommerfeld, considerando as devidas correções relativísticas para a massa do elétron em função de sua velocidade média,
chegou a um resultado surpreendente: a precessão da órbita do elétron.
Neste caso, o eixo maior da elipse gira no plano da trajetória em torno
do núcleo. O resultado final dos cálculos levou a uma nova fórmula do
espectro do átomo de hidrogênio em função dos números quânticos:
 α 2Z 2  1
3 
1 +
 −

n  nθ 4n  

(3.38)
O parâmetro que aparece na equação acima é denominado constante de estrutura fina e é estimado em:
α≡
e2
1
= 7, 297 x10−3 ≅
4π 0 c
137
1
(3.39)
O diagrama dos níveis de energia para o átomo de hidrogênio,
estimado de acordo com o cálculo de Sommerfeld para a energia dos
elétrons, é ilustrado na Figura 3.9. A título de ilustração, a separação
entre as linhas relativas aos níveis energia para um mesmo valor de n
foi exageradamente separada para melhor compreensão do conceito de
estrutura fina. As setas em traço contínuo representam as linhas encontradas nos espectros experimentais, em ótima concordância com
as previsões teóricas. No entanto as linhas pontilhadas, apesar de não
haver nenhuma restrição teórica, nunca foram observadas. Este fato sugere que haja uma restrição natural entre as transições que realmente
ocorrem nos átomos. Nota-se que são observadas diretamente apenas
as transições que respeitam a regra:
nθ i − nθ f = ±1
(3.40)
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
67
Esta relação é conhecida na física quântica como regra de seleção.
Figura 3.9 – Separação da estrutura fina de alguns níveis de energia do átomo de hidrogênio. A separação foi
bastante exagerada para que esta representação fosse possível. As transições que produzem as linhas observadas
são indicadas por setas sólidas. As linhas correspondentes às setas tracejadas não são encontradas nos espectros.
Apesar do progresso alcançado na explicação da estrutura fina
do espectro de hidrogênio, a teoria de Sommerfeld também não obteve
sucesso com átomos mais complexos. E, mais uma vez, os cientistas do
século XX tiveram que reconhecer que faltava um embasamento mais
profundo nas teorias apresentadas. Um fator fortemente questionável
aos modelos atômicos da época era que, embora as previsões teóricas
estivessem se ajustando às medidas experimentais, as justificativas
impostas na forma de postulados e regras restritivas não conseguiam
fornecer elementos suficientes para construir uma teoria concisa.
Um dos grandes nomes a questionar o caminho no qual a descrição
do mundo quântico estava seguindo foi o próprio Bohr. No início da
década de vinte, Bohr começou a realizar uma análise mais crítica de sua
teoria, no intuito de chamar a atenção da comunidade científica de que
faltava encontrar os princípios elementares que permitissem interpretar
e descrever os fenômenos quânticos, de maneira geral e mais lógica,
de modo que os conceitos emergissem naturalmente da teoria. E esta
descoberta não tardou a chegar. Como veremos no próximo Capítulo,
graças a outros grandes nomes, como Schroedinger, Heisemberg e Dirac,
uma nova Teoria Quântica, muito mais moderna e concisa, nasceu e se
formalizou, desvendando a natureza do mundo microscópico.
RESUMINDO
Dalton: toda matéria é composta de partículas fundamentais,
permanentes e indivisíveis, denominadas átomos. Estes não
podem ser criados nem destruídos espontaneamente. Todos os
átomos de certo elemento são idênticos em todas as suas propriedades.
Thomson: o átomo é considerado como uma espécie de fluido
com uma distribuição esférica contínua de carga positiva, onde
estariam incrustados os elétrons com carga negativa. Devido à
repulsão mútua, os elétrons estariam uniformemente distribuídos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida
de um átomo, cerca de 10−10 m.
Rutherford: mostrou que os dados do experimento com partículas á , eram consistentes com um modelo atômico, no qual a
carga positiva estaria concentrada em uma pequena região central, chamada núcleo.
Uma partícula á que passe bem perto do núcleo pode ser espalhada, devido à repulsão coulombiana. Fórmula de espalhamento de Rutherford:
2
2
2
 ñt2ð
 zZedÈ
 I
1  senÈ
( È ) dÈ = 
 
2 
ð 0  2Mv  sen 4 È
4
2
( )
Espectros atômicos: a absorção e emissão de radiação eletromagnética em comprimentos de onda bem específicos, características de átomos, moléculas e núcleos. O conjunto de raias
emitidas compõe o espectro de emissão, enquanto o conjunto
discreto de raias escuras define o espectro de absorção do átomo.
Bohr: elétrons se movem órbitas circulares em torno do núcleo,
sendo o momento angular orbital L um múltiplo inteiro de .
Emissão de radiação é permitida somente nas transições entre
estados estacionários, sendo a frequência do fóton emitido:
E − Ef
í = i
h
Uma vez imposta a quantização do momento angular, as ener2 4
1
gias dos estados permitidos são: E = − mZ 2e
2
2
( 4ð
0 )2  n
Séries espectroscópicas, como as de Lyman e Balmer: fórmulas
capazes de representar os comprimentos de onda observados
para o átomo de hidrogênio.
Espaço de fase: denominação dada à representação no espaço
p − x, sendo o gráfico correspondente denominado diagrama de
fase.
Sommerfeld: órbitas elípticas para o átomo, a constante de estrutura fina, á, e o conceito de degenerescência. Novo espectro
do átomo de hidrogênio em termos do número quântico azimutal e número quântico orbital:
 á 2 Z2  1
ì Z2 e 4
3
E=−
1+
 −
2
2 2 
(4
ð )0è 2n   n
n 4n


 
Regra de seleção: definem as transições permitidas: n èi − n è f = ±1
Álgebra Linear - Espaços Vetoriais de Dimensão Finita
Atividade: Exercícios para Fixação
2
1. Faça uma lista das objeções ao modelo atômico de Thomson.
Unidade
2. Qual é a distância de maior aproximação de uma partícula α
com 5, 30MeV a um núcleo de cobre em uma colisão frontal?
3. Uma partícula α de 5.30 MeV é espalhada por um ângulo de
60º ao passar por uma na folha metálica de ouro. Calcule: a) a
distância de máxima aproximação, D , para uma colisão fronta;
l e b) o parâmetro de impacto, b , correspondente ao ângulo de
espalhamento de 60º .
4. Explique porque o modelo de Rutherford é considerado instável.
5. Usando o modelo de Bohr, calcule a energia necessária para remover um elétron de um átomo de hélio ionizado.
6. Compare a atração gravitacional entre um elétron e um próton
no estado fundamental de um átomo de hidrogênio com a atração coulombiana entre eles. Temos razão para ignorar a força
gravitacional?
7. Usando o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio em seu
estado fundamental (n = 1), calcule: a ) o raio da órbita, b) o
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
71
Elementos de Matemática Avançada
momento linear do elétron, o momento angular do elétron, a
energia cinética, a energia potencial, a energia total.
8. Um átomo de hidrogênio inicialmente no nível fundamental absorve um fóton que o excita até o nível n = 4. Determine o comprimento de onda e a frequência do fóton absorvido.
9. Mostre que a frequência de rotação de um elétron em um átomo
no modelo de hidrogênio de Bohr é dada por: ν = 2 E / nh, onde
E é a energia total do elétron.
10. O que difere a série de Balmer das demais séries espectroscópicas?
11. Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer.
12. Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman e o
da série de Pashen para o hidrogênio. Em qual região do espectro
eletromagnético está cada um?
13. Mostre que a constante de Planck tem dimensões de momento
angular.
14. O que é degenerescência? Explique.
15. Explique a relação conhecida como regras de seleção.
72
Física
EAD
Álgebra Linear - Espaços Vetoriais de Dimensão Finita
Bibliografia Consultada
Unidade
2
ABDALLA, Maria Cristina. Bohr, o Arquiteto do Átomo. 2.
ed. São Paulo: Odysseus Editora Ltda., 2006.
EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio de
Janeiro: Editora Campus, 1988.
GLEISER, Marcelo. A dança do Universo, dos Mitos de Criação ao Big-Bang. São Paulo: Editora Companhia de Bolso, 1997.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; MERRILL, John.
Fundamentos de Física. vol. 4. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos Editora, 1991.
LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do átomo pré-socrático às partículas elementares. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2005.
RUSSEL, John B. Química Geral. São Paulo: McGraw-Hill do
Brasil, 1981.
UESC
Módulo 4 I
Volume 5
73
Suas anotações
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4ª
unidade
A MECÂNICA QUÂNTICA
Nesta unidade, serão apresentadas as bases da mecânica
quântica por meio das discussões sobre:
• a função de onda e a equação de Schroedinger;
• a interpretação de Born para o comportamento da função de
onda;
• os valores esperados da mecânica quântica;
• a equação independente do tempo e as soluções quantizadas;
os conceitos de: operadores, autofunção e autovalores da mecânica
quântica.
Ao final desta etapa, o aluno será capaz de:
• conhecer o formalismo e se familiarizar com as ferramentas da
teoria quântica;
• compreender o processo de extração de informações segundo
a mecânica quântica;
• entender os conceitos de operadores, autofunções e autovalores,
e como estes se aplicam à descrição do mundo quântico.
A mecânica
Álgebra Linear
quântica
1 INTRODUÇÃO
Unidade
4
Nas unidades anteriores, discutimos os principais argumentos
e desenvolvimentos que levaram à formulação da física quântica. O
fenômeno da quantização de energia, a dualidade onda-partícula, o
princípio da incerteza, os espectros atômicos e os modelos propostos
foram, sem sombra de dúvida, motivo de inspiração para o surgimento
de uma nova mentalidade científica. Apesar da natureza bizarra de alguns
fenômenos, o progresso alcançado na explicação do mundo quântico
observado indicava o caminho de uma nova teoria quântica. Muito
esforço foi realizado pelos cientistas da época na tentativa de consolidar
uma teoria quântica profunda, eficaz na explicação dos fenômenos e livre
de objeções, uma teoria na qual os conceitos emergissem naturalmente e
pudessem ser interpretados de maneira global e intuitiva. Este esforço foi
recompensado em 1925, quando o físico austríaco Erwin Schroedinger
apresentou um método completamente diferente para descrever de
maneira geral o comportamento dos fenômenos, a chamada mecânica
ondulatória, base para todo o desenvolvimento da Mecânica Quântica.
Seguido pela interpretação de Born e Heisenberg, a Física Quântica
finalmente alcançou uma descrição coerente do comportamento da
natureza em pequena escala.
Como veremos nesta Unidade, a partir de uma generalização
do postulado de De Broglie, a nova teoria quântica apresentada por
Schroedinger descreve uma mecânica ondulatória capaz de explicar as
ondas de matéria e as órbitas discretas dos elétrons atômicos, alcançando
êxito até mesmo na explicação de átomos complexos, e, para completar,
compatível com o princípio da incerteza. No entanto, como você,
estudante, já deve estar imaginando, tudo isso à custa de uma brilhante
e inovadora interpretação do mundo microscópico. Mais um exemplo
na história da ciência de que a criatividade, quando aliada ao formalismo
científico, pode revolucionar o mundo das ideias. Portanto abra a sua
mente!
Nesta Unidade, vamos inicialmente estudar a equação desenvolvida
por Schroedinger para a mecânica quântica, a qual descreve o
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
77
Física Moderna
comportamento de qualquer função de onda associada a
uma partícula. Vamos estudar a relação desenvolvida por
Max Born que relaciona o comportamento da função
de onda ao comportamento da partícula associada. As
soluções específicas para a equação de Schroedinger
serão abordadas na unidade seguinte; mas, ainda nesta
Unidade, veremos como as soluções de uma forma geral
levam, de forma natural, à quantização de energia e a
outros importantes fenômenos de natureza quântica.
2 A INTERPRETAÇÃO DE SCHROEDINGER,
BORN E HEISENBERG
Imagem 4.1: Erwin Schrodinger
Fonte: http://deskarati.
com/2012/03/18/erwin-schrodinger/
78
Na unidade 2, vimos que o postulado de De Broglie
diz que o movimento de uma partícula microscópica
é governado pela propagação de uma onda associada.
Apesar de não dizer como a onda se propaga, o postulado
é eficaz na estimativa do comprimento de onda
calculado a partir das medidas de difração observada
no movimento da partícula. No entanto o postulado se
refere apenas aos casos nos quais o comprimento de onda
é constante. Se o momento da partícula não é constante,
isto é, se a partícula está sob a ação de uma força, então o
comprimento de onda da partícula deve mudar, todavia
o comprimento de onda de De Broglie não é sequer bem
definido para o caso de mudanças rápidas no momento
da partícula. Como definir o comprimento de onda
variável, se a separação entre máximos adjacentes é
diferente da separação entre mínimos adjacentes? Além
do mais, para sabermos exatamente como a onda governa
a partícula, faz-se necessário ter uma relação quantitativa
entre as propriedades da partícula e as propriedades da
função que descreve a onda. Esta relação é obtida por
meio da chamada equação de Schroedinger.
Física
EAD
A mecânica quântica
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
lembrete
Uma
derivada
parcial
é
uma derivada de uma função
várias
variáveis
independentes,
de
calculada
fazendo-se com que uma
delas varie, enquanto as
demais são mantidas fixas.
Isto é indicado usando-se
um símbolo como
∂Ø / ∂x
em vez do símbolo para a
derivada comum,
dØ / dx.
Já uma equação diferencial é aquela na qual a função incógnita aparece sob
Havendo uma só variável
independente as derivadas
são ordinárias e a equação
é denominada equação diferencial ordinária. Havendo duas ou mais variáveis
independentes, as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. A
ordem de uma equação
diferencial é a ordem da
mais
alta
derivada
que
nela aparece. A solução de
uma
equação
diferencial
é sempre uma função das
variáveis independentes.
79
4
a forma da sua derivada.
Unidade
A equação de Schroedinger fornece a forma da
função de onda Ø( x, t ) caso saibamos qual é a força que
atua sobre a partícula associada, especificando a energia
potencial correspondente. Assim sendo, a função de onda
é uma solução da equação de Schroedinger para certa
energia potencial. Mas você deve estar se perguntando,
que tipo de equação tem como solução uma função? O
tipo mais comum é uma equação diferencial e, de fato,
a equação de Schroedinger é uma equação diferencial.
Isto é, a equação é uma relação entre sua solução Ø( x, t )
e suas derivadas em relação às variáveis independentes
para posição e tempo. Como há mais de uma variável
independente, a equação de Schroedinger é uma equação
diferencial parcial.
Mas, por que uma função de onda? Para fazer a
ligação entre partículas e ondas, é necessário que haja
uma interpretação da dualidade onda-partícula. Einstein,
ao estudar o efeito fotoelétrico, unificou inicialmente
as teorias: ondulatória e corpuscular para a radiação.
Já o físico alemão, naturalizado britânico, Max Born,
aplicando um argumento semelhante, unificou as mesmas
teorias para a matéria, vejamos como:
No modelo ondulatório, segundo a teoria
eletromagnética de Maxwell, a intensidade da radiação,
I , é proporcional a E 2 , onde E 2 é o valor médio, sobre
um período, do quadrado do campo elétrico da onda.
Este é o chamado vetor de Poynting da radiação. Para o
modelo do fóton, interpretação corpuscular da radiação,
de acordo com a sugestão de Einstein, a intensidade da
radiação, I , é descrita em função do número médio de
fótons por unidade de tempo que cruzam uma unidade
média de área perpendicular à direção de propagação
dos mesmos, sendo: I = Nhν . Assim sendo, de modo a
unificar as teorias, estas duas estimativas precisam ser
proporcionais, de modo que as ondas, cuja intensidade
Física Moderna
pode ser medida por E 2 , podem ser vistas como ondas
condutoras de fótons. Deste modo, as ondas medem
o número médio de fótons por unidade de volume.
Portanto, de acordo com a interpretação de Einstein, E 2
representa uma medida da probabilidade da intensidade
de fótons, ou seja:
lembrete
Não confunda Born com Bohr! O
arquiteto do átomo, aquele responsável pelo “modelo atômico
de Bohr” foi Niels Bohr, físico dinamarquês, nascido em Copenhague, no dia 7 de outubro de 1885
e falecido em 18 de novembro de
1962. Niels Bohr recebeu o prêmio
Nobel de Física em 1922. Já Max
Born foi um físico alemão, naturalizado britânico, nascido em 11
de dezembro de 1882, na cidade
de Göttingen, e falecido em 5 de
janeiro de 1970. Max Born foi um
importante estudioso, grande intérprete e defensor da mecânica
quântica, tendo sido laureado com
o Nobel de Física de 1954.
 1  2
I =
 E = Nhν
c
µ
 0 
A palavra média é regularmente empregada, uma vez
que os processos de emissão são de natureza estatística.
Assim, não é especificado exatamente o número de
fótons, mas apenas o número médio deles, o número
exato pode flutuar no tempo e no espaço.
Para associar uma função que represente a onda de
De Broglie, pode-se considerar uma partícula que se
move na direção x descrita como uma função senoidal
simples de amplitude A, tal como:
x

Ø ( x, t ) = Asen 2π  −ν t 
λ

Imagem 4.2: Max Born, o
intérprete da mecânica quântica
Fonte: http://es.wikipedia.org/
wiki/Max_Born
(4.1)
(4.2)
Sendo esta uma onda senoidal de frequência ν e
comprimento de onda λ , que tem amplitude constante
igual a A, e que se move com velocidade uniforme no
sentido positivo do eixo x. Analogamente, ao campo
elétrico de uma onda eletromagnética senoidal de
comprimento de onda λ e frequência ν , se movendo no
sentido positivo do eixo x :
x

−ν t 
λ

ε ( x, t ) = Asen 2π 
Imagem 4.3: Niels Bohr, o
arquiteto do átomo.
Fonte: http://www.nobelprize.
org/nobel_prizes/physics/
laureates/1922/bohr-bio.html
80
Física
(4.3)
EAD
A mecânica quântica
Assim, a grandeza ε representa uma onda de radiação associada
a um fóton, enquanto a grandeza Ø representa uma onda de matéria
associada a uma partícula material. A grandeza Ø 2 vai, para as ondas
de matéria, desempenhar um papel análogo ao desempenhado por
ε 2 para a radiação, uma medida da probabilidade de encontrar uma
partícula em uma unidade de volume em um dado ponto e instante de
tempo.
Portanto, segundo a interpretação de Born: toda a evolução de eventos é determinada
pelas leis da probabilidade. A um estado no espaço corresponde uma probabilidade
definida, que é dada pela onda de De Broglie associada ao estado. Um processo
4
mecânico é, portanto, acompanhado por um processo ondulatório, sendo esta a
Unidade
“onda condutora”, descrita pela equação de Schroedinger, cujo significado é o de
dar a probabilidade de um curso definido do processo mecânico. Se, por exemplo, a
amplitude da onda condutora for zero num certo ponto do espaço, isto significa que
a probabilidade de encontrarmos a partícula nesse ponto é praticamente nula. Assim
como na interpretação de Einstein para a radiação, não é especificada a localização
exata de um fóton num dado instante; mas, em vez disso, especifica-se por meio
de
ε 2 a probabilidade de encontrar o fóton numa certa região, num dado instante.
Também na interpretação de Born não é especificada a localização exata de uma
2
partícula, mas sim a probabilidade Ψ de encontrar uma partícula em um dado ponto,
em um dado instante.
Do mesmo modo que procedemos em relação às ondas
eletromagnéticas, é possível somar funções de onda (Ø 1 +Ø 2 =Ø)
para duas ondas superpostas, cuja intensidade resultante é dada por
Ψ 2 . Este é o chamado princípio da superposição, aplicável tanto
à matéria quanto à radiação. Este princípio assegura às ondas de
matéria a propriedade de interferência e difração, tal qual acontece
com as ondas eletromagnéticas, sejam elas interferência construtiva
(superposição em fase) ou destrutiva (fora de fase). Assim, na física
quântica, é assegurado que duas ondas de matéria possam se combinar
para dar uma onda resultante de grande intensidade ou se anular por
completo, contrariamente a toda e qualquer previsão da física clássica.
Como veremos, a equação de onda da mecânica quântica tem muitas
propriedades em comum com a equação de onda clássica, mas também
muitas diferenças importantes.
A interpretação probabilística da mecânica quântica, apresentada
inicialmente por Born e Heisenberg em 1927, possibilitou o elo para
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
81
Física Moderna
ligação entre as descrições ondulatória e corpuscular
da matéria e radiação, refutando definitivamente o
determinismo da física clássica. Se antes era suficiente
conhecer a posição e o momento preciso de uma partícula
para a descrição do movimento futuro da mesma, agora,
de acordo com a mecânica quântica, é bastante prever
apenas a probabilidade de que a partícula seja encontrada
em uma dada posição em um dado instante.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Imagem 4.4: Werner Heisenberg
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/
Princ%C3%ADpio_da_incerteza_de_
Heisenberg
Calcule as derivadas parciais de primeira e
segunda ordem da função senoidal expressa em (4.2)
para todas as variáveis independentes.
Solução:
Vamos inicialmente reescrever a função em
termos das grandezas k = 2π / λ e ω = 2πν . Assim:
x

Ø ( x, t ) = Asen 2π  −ν t  = Asen(kx − ωt )
λ

As variáveis independentes são x e t. Inicialmente,
vamos tratar t como constante e derivar a função em
relação a x. Assim, a derivada primeira será:
82
∂Ø( x, t ) ∂Asen(kx − ωt )
=
= Akcos ( kx − ωt )
∂x
∂x
E a derivada segunda:
Física
EAD
A mecânica quântica
∂ 2 Ø( x, t )
∂cos (kx − ωt )
= Ak
= − Ak 2 sen ( kx − ωt )
2
∂x
∂x
Agora, x será mantido constante e vamos derivar
em relação a t :
∂Ø( x, t ) ∂Asen(kx − ωt )
=
= − Aω cos ( kx − ωt )
∂t
∂t
4
A derivada segunda:
Unidade
∂ 2 Ø( x, t )
∂cos (kx − ωt )
= − Aω
= Aω 2 sen ( kx − ωt )
2
∂t
∂t
Assim, observa-se que o efeito de tomar a segunda
derivada espacial temporal é apenas o de introduzir
um fator −k 2 , e o efeito de tomar a primeira derivada
temporal é introduzir um fator –ω.
3 A EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER
Antes de discutirmos a função de onda, precisamos
encontrar a equação de onda, aquela equação diferencial
cuja solução é a função de onda. Mas, que equação estamos
procurando? Provavelmente, esta é a mesma pergunta
que Newton e Maxwell se fizeram ao iniciar os seus
trabalhos. Mas, no caso específico da mecânica quântica,
temos algumas indicações. Estamos procurando por uma
equação que satisfaça as seguintes condições:
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
83
Física Moderna
1. Deve ser consistente com os postulados de De Broglie e
Einstein, de modo que: λ = h / p e ν = E / h.
2. Dever ser consistente com a equação clássica, que relaciona a
energia total E de uma partícula de massa m com sua energia
cinética p 2 / 2m e sua energia potencial V : E = p 2 / 2m +V .
3. Deve ser linear em Ø( x, t ), de modo que, se Ø1 (x, t) e
Ø 2 (x, t) são duas soluções diferentes da equação para uma
dada energia potencial V , então qualquer combinação linear
arbitrária dessas soluções, também será solução, de modo
que: Ø ( x, t ) = c1Ø1 ( x, t ) + c2 Ø 2 ( x, t ) . Esta condição assegura a
linearidade da função de onda e garante que poderemos somar
funções de onda para produzir as interferências construtivas e
destrutivas, observadas no movimento ondulatório.

4. Deve ser tal que: se V ( x, t ) = V0 , então: F = −∂V ( x, t ) / dx = 0.
Esta condição especial estabelece que, de acordo com a física
clássica, se a energia potencial é constante, a força atuante na
partícula será nula, exatamente como acontece no caso de uma
partícula livre. Neste caso, a energia E e o momento p da
partícula deverão ser constantes, o que implica em comprimentos
de onda (λ = h / p ) e frequência (ν = E / h) constantes. Neste
caso, supõe-se que a equação almejada admite solução do tipo
senoidal com as características discutidas na seção anterior,
equação (4.2).
Partindo da equação de energia (item 2) e aplicando os postulados
de De Broglie e Einstein (item 1), tem-se:
h2
+V ( x, t ) = hν
2mλ 2
(4.4)
84
Física
EAD
A mecânica quântica
Por conveniência, vamos substituir na equação anterior as
grandezas:
=
h
2π
,k=
2π
λ
e
ω = 2πν
(4.5)
A grandeza k é denominada número de onda angular, enquanto
a grandeza ϖ é denominada frequência angular. Deste modo, a
equação (4.4) resulta em:
4
2k 2
+ V ( x , t ) = ω
2m
Unidade
(4.6)
Para satisfazer a condição do item 3, ou seja, para que a equação
acima seja linear em Ø ( x, t ) , é necessário que cada termo na equação
diferencial seja proporcional à primeira potência de Ø( x, t ).
Outra questão importante é a forma da solução para a partícula
livre, constante no item 4. Para aplicá-la, devemos primeiro tentar
escrever uma equação contendo a função de onda senoidal. Conforme
observamos no exercício resolvido da seção anterior, o efeito de
tomar a segunda derivada espacial temporal é apenas o de introduzir
um fator −k 2 , e o efeito de tomar a primeira derivada temporal é
introduzir um fator –ω. Como a equação que procuramos deve
conter um fator em k 2 e outro em
ω , para satisfazer a condição 2,
∂ 2 Ø ∂Ø
equação (4.6), essas derivadas, 2 e
, devem estar presentes na
∂x
∂t
equação. Lembrando ainda que, de modo a assegurar a linearidade,
todos os termos devem conter um fator de Ø ( x, t ) . Juntando todas
essas condições, chega-se a uma equação diferencial da forma:
∂ 2 Ø( x, t )
∂Ø( x, t )
+ V ( x,Øt ) ,( x t ) = β
α
2
∂x
∂t
(4.7)
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
85
Física Moderna
Onda α e β são constates, cujos valores ainda precisam ser
determinados.
Para verificar se a equação anterior é condizente com a condição 3,
caso de um potencial constante, V ( x, t ) = V0 , basta substituir a função
senoidal e suas derivadas (calculadas no exercício da seção anterior) na
expressão anterior. Neste caso, obtém-se:
−α Asen ( kx − ωt ) k 2 + Asen ( kx − ωt )V0 = − Aβ cos(kx − ωt )ω
Uma vez que a constante A aparece em todos os termos, podemos
eliminá-la da expressão, para simplificar os cálculos. Assim:
−α sen ( kx − ωt ) k 2 + sen ( kx − ωt )V0 = − β cos(kx − ωt )ω
(4.8)
Não podemos esquecer que a equação (4.8) precisa ser equivalente
à equação (4.6). No entanto, o fato de a derivação implicar na troca entre
os termos seno e cosseno, gera uma dificuldade a mais. A princípio,
poderíamos pensar no caso especial em que: sen ( kx − ωt ) = cos(kx − ωt ).
No entanto, esta condição seria muito limitante aos problemas físicos.
Uma solução não muito diferente, e bastante interessante, seria
considerar para a função de onda da partícula livre, não apenas uma
única função senoidal, mas sim uma combinação do tipo:
Ø ( x, t ) = cos ( kx − ωt ) + γ sen(kx − ωt )
(4.9)
onde γ é mais uma constante a ser determinada. Vamos então
recomeçar os cálculos. Primeiro as derivadas:
86
Física
EAD
A mecânica quântica
∂Ø( x, t )
= − ksen ( kx − ωt ) + kγ cos(kx − ωt )
∂x
∂ 2 Ø( x, t )
= −k 2 cos ( kx − ωt ) − k 2γ sen (kx − ωt )
2
∂x
∂Ø( x, t )
= ω sen ( kx − ωt ) − ωγ cos(kx − ωt )
∂t
(4.10)
Unidade
4
Agora, substituindo a função Ø( x, t ), equação (4.9) e suas derivadas,
equações (4.10), na expressão (4.7), temos:
−α k 2 cos ( kx − ωt ) − α k 2γ sen ( kx − ωt ) + V0 cos ( kx − ωt ) + V0γ sen ( kx − ωt ) =
= βω sen ( kx − ωt ) − βωγ cos(kx − ωt )
Agrupando os termos de seno e cosseno:
 −α k 2 + V0 + βωγ  cos ( kx − ωt ) +  −α k 2γ + V0γ − βω  sen ( kx − ωt ) = 0
Para que a igualdade acima seja verdadeira, é necessário que todos
os termos que multiplicam os fatores em seno e cosseno sejam nulos.
Desta forma, as condições necessárias são:
−α k 2 + V0 + βωγ = 0
(4.11)
e:
−α k 2γ + V0γ − βω = 0
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
87
Física Moderna
que, por sua vez, é equivalente a:
−α k 2 + V0 =
βω
γ
(4.12)
Agora, são três equações algébricas que precisamos satisfazer: as
duas equações acima (4.11 e 4.12), além da equação (4.6), aquela que
consideramos lá no início.
Combinando 4.12 de 4.11, tem-se:
βω
+ βωγ = 0
γ
Ou seja:
γ=
−1
γ
De modo que:
γ 2 = −1
Cuja solução é:
γ = ± −1 ≡ ±i
(4.13)
Portanto a única solução possível para γ é um valor complexo, o
número imaginário, i. Substituindo (4.13) em (4.11), temos:
88
Física
EAD
A mecânica quântica
−α k 2 + V0 = ±i βω
Comparando diretamente com a equação (4.6):
2k 2
+ V0 = ω
2m
Tem-se:
α =−
2
2m
e
Unidade
4
β = ±i 
Note que a escolha do sinal em β é irrelevante para a equação final
tipo 4.7 e, assim, convencionou-se a escolha do sinal positivo.
Portanto a expressão final da equação diferencial que satisfaz todas as hipóte-
ses relativas à equação de onda da mecânica quântica é:
−
 ∂ 2 Ψ ( x, t )
∂Ψ ( x, t )
+ V ( x, t ) Ψ ( x, t ) = i 
2
2m ∂x
∂t
(4.14)
A equação acima foi obtida pela primeira vez em 1926 por Erwin Schroedinger
e é, portanto, chamada de equação de Schroedinger. As soluções para
Ψ ( x, t ).
Nos
dão as funções de onda que devem ser associadas ao movimento de uma partícula
de massa
V ( x, t ).
m
sob influência de forças que são descritas pela função energia potencial
Por certo que o caminho percorrido por Schroedinger para chegar
à equação (4.14) foi diferente da argumentação apresentada acima, mas,
de fato, o ponto de partida do seu trabalho foi mesmo o postulado de
De Broglie. Importante notar que a equação de Schroedinger expressa
conforme a equação (4.14) não é válida para partículas relativísticas.
Lembre-se que partimos da formulação clássica de energia para
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
89
Física Moderna
chegar até a equação apresentada. A formulação adequada para casos
de partículas com velocidades comparáveis a da luz seria do tipo:
2
E = c 2 p 2 + ( m0 c 2 ) + V , conforme discutimos na Unidade 1. A
formulação relativística para a equação de onda da mecânica quântica
foi obtida em 1928, pelo físico inglês Paul Dirac, usando basicamente os
mesmo argumentos apresentados nesta seção. Como você já deve estar
imaginando, no limite de baixas velocidades, a equação de Dirac se reduz
à equação de Schroedinger. Por suas contribuições no desenvolvimento
da mecânica quântica, Erwin Schroedinger e Paul Dirac receberam o
prêmio Nobel de física no ano de 1933.
você sabia?
Erwin Schrödinger nasceu em
1887, na cidade de Viena, na
Áustria, e, em 1926, publicou
os artigos que lhe dariam o
título de fundador da mecânica
quântica.
Outro
importante
cientista a contribuir para a
consolidação desta nova teoria
foi Paul Dirac. Este nasceu em
1902, na cidade de Bristol, na
Inglaterra, e publicou em 1928
importantes trabalhos sobre a
teoria
quântica
relativística
do elétron e a previsão de
existência das antipartículas.
Em 1933, Schrodinger e Dirac
Imagem 4.5: Erwin Schrodinger (esquerda) e Paul Dirac (direita)
Fonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/
laureates/1933/
dividiram o cobiçado prêmio Nobel de Física e são reconhecidos como dois dos maiores
cientistas da física moderna.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Verifique a linearidade da equação de Schroedinger em
relação à função de onda ψ(x,t).
Solução:
Precisamos confirmar que, se ψ1(x,t) e ψ2(x,t) são duas
soluções independentes para (4.14), para um dado V ( x, t ), então:
ψ(x,t)=c1ψ1(x,t)+c2ψ2(x,t)
90
Física
EAD
A mecânica quântica
também é solução, onde c1 e c2 são constantes de valores arbitrários.
Para tanto, vamos checar a validade da combinação linear acima,
substituindo-a na equação de Schroedinger. Assim, tem-se:
∂ 2 Ψ 2 ( x, t ) 
∂Ψ 2 
 2  ∂ 2 Ψ1 ( x, t )
 ∂Ψ1
c
c
+
+ c2
=0
 1
 + V (c1Ψ1 + c2 Ψ 2) − i  c1
2
2
2
2m 
δ t 
∂x
∂x
 δt

Que pode ser reescrita da seguinte forma:
4
−
Unidade
  2 ∂ 2 Ψ1 ( x , t )
  2 ∂ 2 Ψ 2 ( x, t )
∂Ψ 
∂Ψ 2 
c1  −
+ V Ψ1 − i 1  + c2  −
+ V Ψ 2 − i
=0
2
2
δt 
δ t 
∂x
∂x
 2m
 2m
Note que cada termo dentro dos colchetes corresponde a uma
equação particular de Schroedinger e, portanto, se cada uma das
funções é solução da equação, a combinação linear também o será,
mantendo a igualdade nula. E assim o será para qualquer valor de c1
e c2 .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
A função de onda Ψ ( x, t ) para o estado de menor energia de um
oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa
m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é C ,
pode ser expressa como:
Ψ ( x, t ) = Ae
−
(
)
Cm /2  2 x 2 − i /2 C / mt
( )
e
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor.
Verifique que essa expressão é uma solução da equação de
Schroedinger com potencial apropriado.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
91
Física Moderna
Solução:
Vamos considerar que o ponto no qual a partícula está em
repouso está localizado na origem do eixo x, ou seja, x = 0. Neste
caso, a energia potencial é:
V(x,t)=V(x)=Cx2 / 2
Portanto a equação de Schroedinger para esse potencial é:
−
 2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) C 2
∂Ψ
+ x Ψ = i
2
2m ∂x
2
δt
Para verificar a validade da solução apresentada no enunciado,
precisamos calcular as derivadas correspondentes:
∂Ψ
i C
=−
Ψ
∂t
2 m
e
δΨ
Cm
Cm
=−
xΨ
2 xΨ = −
δx
2


δ 2Ψ
Cm
Cm 
Cm
x  −
xΨ 
=−
Ψ−
2
δx





Rearranjando os termos:
δ 2Ψ
Cm
Cm
=−
Ψ + 2 x2Ψ
2
δx


92
Física
EAD
A mecânica quântica
Substituindo na equação de Schroedinger, tem-se:
 2 Cm
 2Cm 2
C
 i C
Ψ−
Ψ
x Ψ + x 2 Ψ = i  − 
2
2m
2m
2
 2 m
ou:
4
 C
C
C
 C
Ψ − x2Ψ + x2Ψ =
Ψ
2 m
2
2
2 m
Unidade
Portanto, como a igualdade acima é verdadeira, conclui-se que
a solução apresentada no enunciado é valida.
4 AS FUNÇÕES DE ONDA
Na seção anterior, por meio de uma argumentação lógica, chegamos
até a equação de Schroedinger, aquela cuja solução nos remete à função
de onda de uma partícula sob ação de uma força em um dado potencial.
Para finalizar o processo, tudo o que temos a fazer é resolver a equação
diferencial de Schroedinger para obter informações sobre o movimento
da partícula. Na Unidade seguinte, nos dedicaremos a encontrar, passo
a passo, soluções apropriadas para uma série de sistemas quânticos
importantes, mas por enquanto vamos nos concentrar na interpretação
da função de onda.
Na seção anterior, consideramos que a função de onda de uma
partícula livre como sendo uma combinação linear de senos e cossenos,
equação 4.9, e calculamos a constante de proporcionalidade, β ,
chegando à expressão:
Ψ ( x, t ) = cos ( kx − ωt ) + i sen(kx − ωt )
(4.15)
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
93
Física Moderna
Esta é, portanto, a forma da função de onda para uma partícula livre.
Mas, o que exatamente esta função quer dizer?
Note que a função de onda obtida é do tipo imaginária, ou seja,
é uma função complexa e, por mais estranho que este resultado possa
parecer, está absolutamente correto! Soluções reais não se adéquam às
considerações da mecânica quântica, visto que a equação de movimento
relaciona a segunda derivada espacial com a primeira derivada temporal
da função. E mais, de acordo com a equação de Schroedinger, que
também apresenta um fator imaginário, as funções de onda que serão
solução da equação serão sempre complexas.
A esta altura, você, estudante, deve estar se perguntando: mas este
resultado é aceito fisicamente? Como medir na prática uma grandeza
complexa? Na física clássica, onde reina o determinismo mecanicista,
as equações de Newton fornecem diretamente valores precisos sobre as
propriedades da partícula, como, por exemplo, a posição e a velocidade.
No entanto, o mesmo não acontece na mecânica quântica, território
onde as respostas estão subentendidas em meio a uma função complexa.
Mas, então, que resposta a função de onda é capaz de nos oferecer? Ou
ainda, como extrair de uma grandeza complexa, uma informação do
mundo físico real?
Na verdade, as funções de onda são apenas instrumentos de cálculo.
Elas têm significado apenas no contexto da teoria de Schroedinger, da
qual elas são parte fundamental. Como veremos, uma função de onda
contém toda informação permitida pelo princípio da incerteza para a
partícula associada. Você precisa apenas aprender a interpretar o seu
significado. Lembre-se da recomendação inicial: abra a sua mente!
A ligação entre as propriedades da função de onda Ψ ( x, t ) e o
comportamento da partícula associada é expressa em termos da densidade
de probabilidade P( x, t ). Esta grandeza especifica a probabilidade, por
unidade de comprimento do eixo x , de encontrar a partícula próxima
da coordenada x em um instante t. Esta interpretação para a função de
onda partiu de um postulado, enunciado por Max Born em 1926:
94
Física
EAD
A mecânica quântica
Se, no instante t, for feita uma medida da localização da partícula associada
à função de onda
Ψ ( x, t ) ,
então a probabilidade
econtrada em uma coordenada entre
x e
x + dx
P ( x, t )dx
é igual a
de que a partícula seja
Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx.
Assim, é definida a função densidade de probabilidade,
P( x, t ),
como sendo:
P ( x, t ) = Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t )
onde o símbolo
Ψ * ( x, t )
representa o conjugado complexo de
Ψ ( x, t ).
(4.16)
Unidade
4
A justificativa de Born para essa associação entre a função de onda
e o movimento da partícula é baseada no postulado de De Broglie. Se o
movimento de uma partícula está associado à propagação de uma função
de onda, é necessário que haja uma associação espacial entre estes dois
entes. Isto é, a partícula terá maior probabilidade de estar em algum
ponto onde a amplitude das ondas tenha um valor apreciável. Desta
forma, Born associou à função de onda uma informação probabilística
para a partícula. Se, na mecânica clássica, as previsões nos remetem
a valores específicos, na mecânica quântica, as previsões são apenas
estatísticas. Não é mais possível afirmar que uma partícula em um dado
estado de energia será encontrada em uma posição precisa em um dado
instante, mas apenas apresentar as probabilidades relativas de que a
partícula seja encontrada. Por certo que a interpretação probabilística
da mecânica quântica também se valeu das considerações do princípio
da incerteza. Uma vez que a linguagem probabilística se sobrepõe às
previsões certeiras, é naturalmente impossível prever a posição exata de
uma partícula.
Curioso notar que há uma forte semelhança conceitual entre a
densidade de fótons em um campo de radiação eletromagnética com
o quadrado do vetor de campo elétrico, e a densidade de probabilidade
com a função de onda multiplicada pelo seu conjugado complexo. As
duas grandezas especificam as amplitudes das ondas, embora o vetor
campo elétrico seja real e a função de onda seja complexa. Em ambos
os casos, o quadrado da amplitude das ondas está relacionado com
sua intensidade. No caso eletromagnético, a intensidade das ondas é
proporcional à sua densidade de energia e, por sua vez, proporcional à
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
95
Física Moderna
densidade de fótons. No caso da mecânica quântica, a intensidade das
ondas fornece a densidade de probabilidade de encontrar a partícula.
Para calcular a probabilidade total de encontrar uma partícula
em algum ponto do eixo x, é necessário integrar a densidade
de probabilidade em todos os valores de x. Por certo que esta
probabilidade deve ser igual a um para que a partícula exista. Assim
sendo, é válida a condição:
∞
∞
−∞
−∞
*
∫ P ( x, t ) dx = ∫ Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx = 1
(4.17)
Para tanto, é necessário realizar o processo conhecido como
normalização da função de onda. Este processo consiste em ajustar a
amplitude da função de onda, por meio da inserção de uma constante
multiplicativa, a fim de assegurar o valor unitário da integral acima.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Prove que Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) é necessariamente uma função
real, positivo ou nulo.
Solução:
Qualquer função complexa, como por exemplo Ψ ( x, t ) ,
sempre pode ser escrita como:
Ψ ( x, t ) ≡ R ( x, t ) + iI ( x, t )
Onde R( x, t ) e I ( x, t ) são funções reais, chamadas,
respectivamente, de partes real e imaginária. Da mesma forma, o
complexo conjugado de Ψ ( x, t ) será:
Ψ * ( x, t ) ≡ R ( x, t ) − iI ( x, t )
Multiplicando as duas funções, tem-se:
96
Física
EAD
A mecânica quântica
Ψ *Ψ = ( R − iI )( R + iI )
Assim, lembrando que i 2 = −1:
Ψ *Ψ = R 2 − i 2 I 2 = R 2 + I 2
Portanto:
2
Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) =  R ( x, t )  + [ I ( x, t ) ]
4
2
Unidade
Uma vez que o produto leva à soma de dois quadrados de
funções reais, logo deve ser um valor real, positiva ou nula.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples
citado no exercício resolvido da seção anterior, determinando o
valor da constante arbitrária A.
Solução:
A probabilidade total de encontrar a partícula em algum
ponto de todo o eixo x é necessariamente igual a um, se a partícula
existe. Essa probabilidade total pode ser obtida matematicamente
integrando-se a função densidade de probabilidade P sobre todos
os x. Portanto:
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
*
2
∫ Pdx = ∫ Ψ Ψdx = A ∫ e
−
(
)
Cm /  x 2
dx = 1
−( Cm /  ) x 2
Como o integrando e
depende de x 2 , ele é uma
função par de x, isto é, seu valor para certo x é igual a ser valor
para – x. Portanto a contribuição para o valor total da integral
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
97
Física Moderna
obtida na região de - ∞ a 0 é igual à contribuição obtida na região
de 0 a +∞, e, assim:
∞
A2 ∫ e
−
(
∞
)
Cm /  x 2
dx = 2 A2 ∫e
−
(
)
Cm /  x 2
dx
0
−∞
O resultado da integral acima pode obtido via consulta a uma
tabela de integrais, sendo:
∞
∫e
−
(
)
Cm /  x 2
0
dx =
(π  )
1
2(Cm)
2
1
4
Assim:
(Cm)
A=
(π  )
1
8
1
4
Portanto este é o valor de A que assegura a normalização da
função de onda.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Ainda considerando o oscilador harmônico
anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.
Solução:
A função de onda para o oscilador em questão é:
Ψ ( x, t ) = Ae
(
)
Cm /2  2 x 2 − i /2 C / mt
( )
e
A densidade de probabilidade é, portanto:
P = Ψ *Ψ ( x, t ) = Ae
98
−
citado
−
(
)
Cm / 2  2 x 2 + i / 2 C / mt
( )
e
Física
Ae
−
(
)
Cm / 2  2 x 2 − i / 2 C / mt
( )
e
EAD
A mecânica quântica
Ψ Ψ ( x, t ) = A e
*
2
 Cm
Cm
− x 2 
+
2
2 2
 2
Ψ Ψ ( x, t ) = A e
*
2
2
P=A e



e
C  i i
+ − 
mt  2 2 
 1 2 Cm 
− x 2 

2  0

e
1

− x 2  Cm 


Unidade
4
Note que a densidade de probabilidade é independente do
tempo, apesar de a função de onda depender do tempo. A densidade
de probabilidade está ilustrada na Figura 4A. A probabilidade de
que uma medida da posição oscilando seja encontrada em um
elemento do eixo x entre x e x + dx é igual a Pdx.
Figura 4A – A densidade de probabilidade da mecânica quântica para uma partícula no estado de
menor energia de um oscilador harmônico simples. Note que esta densidade de probabilidade tem
um pico nas proximidades do ponto de equilíbrio e se estende além dos limites definidos para o
movimento clássico.
Como P tem um máximo em x = 0, o ponto de equilíbrio do
oscilador, a mecânica quântica prevê que a partícula tem maior
probabilidade de ser encontrada em um elemento dx, localizado
no ponto de equilíbrio. Afastando-se deste ponto em qualquer
sentido, as chances de encontrá-la diminui bastante, mas não
existem limites bem definidos além dos quais a probabilidade de
encontrar a partícula em um elemento de eixo x seja exatamente
zero. No exercício seguinte, vamos analisar a previsão da mecânica
clássica e comparar a previsão quântica.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
99
Física Moderna
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Obtenha as previsões da mecânica clássica para a densidade
de probabilidade do oscilador harmônico simples do exercício
anterior e compare com as previsões clássicas e quânticas.
Solução:
Na mecânica clássica, a partícula oscilando tem um momento
definido p e, portanto, tem uma velocidade definida v para
cada valor do seu deslocamento x da posição de equilíbrio. A
probabilidade de encontrar a partícula em um elemento do eixo x
de comprimento fixo é proporcional à quantidade de tempo que
ela permanece no elemento, e isto é inversamente proporcional à
sua velocidade ao passar por ele. Isto é:
B2
P=
v
Onde B é uma constante genérica. A expressão para v pode
ser obtida em termos de x, considerando a equação de energia:
E = K +V =
mv 2 Cx 2
+
2
2
Onde E , K e V são as energias total, cinética e potencial,
respectivamente. A equação acima foi calculada em termos de
x e da constante de força, C , do oscilador (reveja o exercício
resolvido da seção anterior). Reescrevendo a equação anterior:
mv 2
Cx 2
=E−
2
2
100
Física
EAD
A mecânica quântica
Ou:
v=
2
Cx 2
E−
m
2
Portanto:
P=
B2
2
Cx 2
E−
2
m
E=
Unidade
4
A expressão acima para a densidade de probabilidade clássica
está ilustrada na Figura 4B. Note que ela tem um valor mínimo no
ponto de equilíbrio x = 0, e cresce rapidamente perto dos limites
da oscilação. Os limites ocorrem para os valores de x, nos quais
a partícula não tem energia cinética, de modo que sua energia
potencial se iguala à sua energia total. Assim:
Cx 2
2
Ou:
x=±
2E
C
Figura 4B – A densidade de probabilidade da mecânica clássica para uma partícula no estado de
menor energia de um oscilador harmônico simples. Por ser inversamente proporcional à velocidade, a
densidade de probabilidade é maior nos pontos extremos do movimento, onde a velocidade se anula.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
101
Física Moderna
Por certo que a densidade de probabilidade clássica cai
abruptamente para zero, fora desses limites, como é indicado na
figura. A probabilidade de encontrar a partícula clássica em um
elemento do eixo x é mínima próxima ao ponto de equilíbrio,
onde ela passa o mínimo de tempo, e cresce rapidamente perto
dos limites do movimento, onde ela se demora mais.
Comparando as duas previsões: clássica e quântica, vemos
o quão diferente elas são. Segundo a mecânica clássica, medidas
de posição da partícula no oscilador harmônico simples sempre
se encontrarão entre dois limites bem definidos, e geralmente
perto de um ou de outro extremo. Segundo a mecânica quântica,
quando o oscilador está em seu estado de menor energia, as
medidas geralmente encontrarão a partícula próxima ao ponto
de equilíbrio, mas não há limites bem definidos além dos quais a
partícula nunca será encontrada.
A discrepância entre as duas previsões se deve, sobretudo, ao
fato de que a física clássica desconsidera o princípio da incerteza
e associa um valor específico para a velocidade e momento, em
função da posição.
5 OS VALORES ESPERADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
De acordo com a interpretação de Born, a função de
onda contém informações completas a respeito do movimento
da partícula associada, uma vez que ela especifica a densidade de
probabilidade para essa partícula. Assim sendo, é possível obter,
por meio da função de onda, uma vasta gama de informações
relativas à partícula, como: posição, momento, energia, dentre
outras grandezas que caracterizam o seu movimento. Vejamos
como.
A probabilidade de encontrá-la entre x e x + dx é, conforme o
postulado de Born:
102
Física
EAD
A mecânica quântica
P ( x, t ) dx = Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx
Imagine que estejamos observando a partícula e realizando uma série
de medidas, sempre para o mesmo valor de t , e que registramos todos
os valores observados de x nos quais encontramos a partícula. Para esta
série de medidas, podemos estimar a média dos valores observados para
caracterizar a posição da partícula. Esta estimativa é denominada valor
médio do valor esperado da coordenada x, cujo valor, de acordo com a
mecânica quântica, é:
∞
∫ xP ( x, t ) dx
4
x=
−∞
Unidade
(4.18)
O cálculo anterior corresponde exatamente ao valor da coordenada
x ponderada pela probabilidade de observar este valor. Aplicando o
postulado de Born:
∞
x = ∫ Ψ * ( x , t ) x Ψ ( x , t ) dx
−∞
(4.19)
A formulação mais apropriada para a expressão anterior é do tipo:
∞
∫
x=
∫
−∞
∞
xP ( x, t ) dx
−∞
P ( x, t ) dx
∞
∫
=
∫
Ψ * ( x, t ) xΨ ( x, t )dx
−∞
∞
Ψ * ( x , t ) Ψ ( x , t ) dx
−∞
(4.20)
No entanto, sabemos, pela condição de normalização, que os
denominadores na expressão acima são ambos unitários, de modo que
as expressões (4.19) e (4.20) são equivalentes.
Da mesma forma que na expressão (4.19), a densidade de
probabilidade pode ser usada para o cálculo do valor esperado de
qualquer função de x, como, por exemplo, o valor quadrático de x 2 :
∞
x 2 = ∫ Ψ * ( x, t ) x 2 Ψ ( x, t )dx
−∞
(4.20)
Sendo, portanto, x 2 o valor quadrático médio de x.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
103
Física Moderna
De maneira geral, podemos aplicar esta estimativa a qualquer função
de x, do tipo f ( x) :
∞
f ( x) = ∫ Ψ * ( x, t ) f ( x)Ψ ( x, t )dx
−∞
(4.21)
Ou ainda uma função do tempo, tal como a energia potencial
V ( x, t ) :
∞
V ( x , t ) = ∫ Ψ * ( x , t ) V ( x , t ) Ψ ( x , t ) dx
−∞
(4.22)
Assim como a coordenada x e o potencial V ( x, t ), outras grandezas
dinâmicas da partícula, tal o momento p e a energia total E , podem ser
estimadas como:
∞
p = ∫ Ψ * ( x , t ) p Ψ ( x , t ) dx
−∞
(4.23)
e
∞
E = ∫ Ψ * ( x , t ) E Ψ ( x , t ) dx
−∞
(4.24)
Entretanto, para calcular as integrais (4.23) e (4.24), surge uma
dificuldade: na mecânica clássica, o momento p de uma partícula, assim
como sua energia, pode ser expresso como uma função de x, e/ou, de
t , não há restrições. No entanto, na mecânica quântica, de acordo com
o princípio da incerteza, sabemos que não é possível escrever p como
função de x, pois ambos não podem ser conhecidos simultaneamente
com total precisão. O mesmo vale para a energia E e o tempo t. Portanto
esta dificuldade precisa ser contornada de alguma outra maneira.
104
Física
EAD
A mecânica quântica
Vamos analisar um caso simples, uma função de onda de uma
partícula livre, expressão (4.15):
Ψ ( x, t ) = cos ( kx − ωt ) + i sen(kx − ωt )
Derivando em relação a x, temos:
Unidade
4
∂Ψ ( x, t )
= − ksen ( kx − ωt ) + i cos(kx − ωt )
∂x
Que pode ser reescrita como:
∂Ψ ( x, t )
= ik cos ( kx − ωt ) + isen(kx − ωt ) 
∂x
Mas sabemos que k = p /  e note que o termo entre os colchetes
na expressão acima é equivalente à própria função de onda, Ψ ( x, t ).
Assim:
∂Ψ ( x, t )
p
= i Ψ ( x, t )
∂x

Para inverter a expressão acima, multiplicamos ambos os lados
por – i :
−i
∂Ψ ( x, t )
= −i 2 pΨ ( x, t )
∂x
Chegamos a:
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
105
Física Moderna
pΨ ( x, t ) = −i
∂Ψ ( x, t )
∂x
Note que a expressão acima indica que há uma associação entre a
∂
grandeza dinâmica p e o operador diferencial −i , ou seja, o efeito
∂x
de multiplicar a função p por Ψ ( x, t ) é o mesmo que aplicar o chamado
operador momento, descrito como p, sendo este definido como:
p = −i ∂
∂x
(4.25)
No presente caso, analisamos a função de onda de uma partícula
livre, mas esta relação é verdadeira para qualquer função de onda
Ψ ( x, t ). Portanto podemos reescrever a expressão (4.23), simplesmente
∂
substituindo p pelo operador diferencial −i , no integrando da
∂x
expressão:
∞
p = −i ∫ Ψ * ( x, t )
−∞
∂Ψ ( x, t )
dx
∂x
(4.26)
Analogamente, podemos estimar o valor quadrático médio de p :
∞
p = ∫ Ψ * ( x, t )( −i )
2
−∞
2
∂ 2 Ψ ( x, t )
dx
∂x 2
(4.27)
Agora, procedendo de maneira análoga, vamos tentar encontrar
uma expressão para a energia E na integral de (4.24). No entanto,
agora vamos derivar a função de onda da partícula livre em função de t :
Ψ ( x, t ) = cos ( kx − ωt ) + i sen(kx − ωt )
106
Física
EAD
A mecânica quântica
∂Ψ ( x, t )
= ω sen ( kx − ωt ) − iω cos(kx − ωt )
∂t
∂Ψ ( x, t )
= −iω cos ( kx − ωt ) + isen(kx − ωt ) 
∂t
4
Sabemos que ω = E / , e substituindo o termo entre os colchetes
por Ψ ( x, t ) :
Unidade
∂Ψ ( x, t )
E
= −i Ψ ( x, t )
∂t

Multiplicando ambos os lados por i e invertendo a equação:
i
∂Ψ ( x, t )
= −i 2 E Ψ ( x, t )
∂t
E Ψ ( x, t ) = i 
∂Ψ ( x, t )
∂t
De modo análogo, encontramos um operador diferencial para a
energia, sendo este conhecido como operador energia, definido como:
 = i ∂
E
∂t
(4.28)
Aplicando o operador no integrando da expressão (4.24):
∞
E = i  ∫ Ψ * ( x, t )
−∞
∂Ψ ( x, t )
dx
∂t
(4.29)
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
107
Física Moderna
Vamos agora testar se os operadores diferenciais são
consistentes com a relação clássica de energia:
p2
+ V ( x, t ) = E
2m
Vamos então aplicar os operadores (4.25) e (4.29):
2
1 
∂ 
∂
 −i  + V ( x, t ) = i
2m 
∂x 
∂t
Ou:
−
2 ∂ 2
∂
+ V ( x, t ) = i 
2
∂t
2m ∂x
(4.30)
Esta é, portanto, denominada equação de operadores
quânticos. Quando aplicada a uma função de onda:
−
 2 ∂ 2 Ψ ( x, t )
∂
+ V ( x, t ) Ψ ( x, t ) = i  Ψ ( x, t )
2
∂t
2m ∂x
Reconhece a equação acima? Identifica alguma
familiaridade? Pois esta é justamente a equação de
Schroedinger! Portanto a equação de Schroedinger da
mecânica quântica equivale a postular as associações entre
momento e energia, com seus respectivos operadores
diferenciais. Este foi o caminho seguido originalmente por
Erwin Schroedinger para chegar à sua equação, válida para
toda e qualquer função de onda.
108
Física
EAD
A mecânica quântica
para recordar
Vamos recordar um pouco de estatística. O valor médio de uma
grandeza é representado por um único valor, o qual pode ser estimado
a partir da média aritmética da grandeza, ou seja, dividindo a soma de
todos os valores medidos pelo número de medidas que deu origem à
soma. Deste modo:
∑x
x=
n
1 i
n
Sendo
xi
o valor de cada uma das medidas feitas e
n
o número total
de medidas. Da mesma forma, é possível definir um valor quadrático
médio para uma grandeza, sendo este:
∑x
=
4
n 2
1 i
n
Unidade
x
2
Já o desvio padrão das medidas realizadas, ou seja, o valor
representativo das flutuações que, em geral, ocorrem nas medidas, é
definido como:
∑ ( x − x)
n
σ=
i
2
i
n
Para o caso de uma distribuição central de medidas, ou seja, um
( x = 0) tem-se que o radical da
2
expressão acima se reduz à raiz do valor quadrático médio: σ = x .
conjunto de medidas com
média nula
De acordo com a mecânica quântica, a função de onda representa
uma ferramenta descritiva aplicável a todas as grandezas definidas
acima. Assim sendo, é possível realizar experimentalmente uma série
de medidas, definindo um conjunto de valores
xi ,
estimar a partir
deste conjunto o valor médio da grandeza, o valor quadrático médio
e as flutuações das medidas, e compará-los com as previsões teóricas
realizadas a partir da função de onda. É deste modo que são validadas as
considerações teóricas da mecânica quântica.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Considere uma partícula de massa m que pode
se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos
x = −a / 2 e x = + a / 2, mas que está estritamente proibida
de ser encontrada fora dessa região. A partícula oscila
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
109
Física Moderna
entre as paredes em x = ± a / 2 de uma caixa unidimensional.
Supõe-se que as paredes sejam completamente impenetráveis,
não importando quanta energia a partícula tenha. Por certo
que essa hipótese é uma idealização, mas ela é muito útil para
o nosso estudo. A função de onda para o estado de menor
energia da partícula é:
Ψ ( x, t ) =
A cos
πx
a
e
−
iEt

0
a
a
para − < x <+
2
2
a
a
para x  − ou x  +
2
2
Para esta partícula, calcule os valores esperados de x,
2
p, x e p .
2
Solução:
Para calcularmos x, devemos calcular:
∞
x = ∫ Ψ * xΨdx
−∞
Usando a função de onda, isto dá:
x=
+ a /2
∫ A cos
πx
a
− a /2
x = A2
+ a /2
∫ x cos
2
πx
a
− a /2
e
+
iEt

xA cos
πx
a
e
−
iEt

dx
dx
No caso, a integração é restrita ao intervalo entre
−a / 2 e + a / 2, uma vez que o valor de Ψ ( x, t ) é nulo fora deste
intervalo. Observe, porém, que o integrando é um produto de
cos 2 (π x / a ), uma função par de x. No entanto, o próprio x
torna o integrando uma função ímpar. Neste caso, quando o
integrando é uma função ímpar, a integração em torno de uma
região central na origem é nula:
x = A2
+ a /2
∫ x cos
− a /2
110
Física
2
πx
a
dx = 0
EAD
A mecânica quântica
Este resultado já era esperado, visto que o valor
esperado de uma média de medidas da posição da partícula que
se move livremente entre −a / 2 e + a / 2 deve mesmo ser nulo.
Lembre-se que estamos estimando a média das medidas!
Para calcular p, usamos:
∞
p = −i ∫ Ψ * ( x, t )
−∞
∂Ψ ( x, t )
dx
∂x
p = −i
+ a /2
∫
A cos
− a /2
πx
a
e
+
iEt

Unidade
4
Aplicando à função Ψ ( x, t ) no intervalo definido para
a função, temos:
iEt
πx − 
 π
e dx
 −  Asen
a
 a
ou:
p = −i
π
a
A
2
+ a /2
∫
cos
− a /2
πx
a
sen
πx
a
dx
Novamente, o integrando é uma função ímpar (produto
de sen e cos ) da variável de integração. Neste caso, não
precisamos nem resolver a integral para saber que o resultado
é nulo. Portanto:
p=0
Fisicamente, o valor esperado pode ser explicado em
função do movimento da partícula em torno da origem. Neste
caso, há uma oscilação entre os limites da região, fazendo com
que o sinal (isto é, o sentido) do seu momento
também oscile.
p2
O módulo do momento deve ser tal que
= E , mas como é
2m
igualmente provável que seu sinal seja positivo ou negativo, a
média das medidas também dessa grandeza deve ser nula.
Agora vamos ao calculo de x 2 :
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
111
Física Moderna
∞
+ a /2
−∞
− a /2
x 2 = ∫ Ψ * ( x, t ) x 2 Ψ ( x, t )dx = −
x 2 = A2
∫
+ a /2
∫x
2
πx
A cos
cos 2
e
a
πx
− a /2
a
+
iEt

x 2 A cos
πx
a
e
−
iEt

dx
dx
Repare que a integral acima não deve ser nula, visto que
o integrando é uma função par de x. Neste caso, podemos
simplificar ainda mais o cálculo:
2
x = 2A
2
+ a /2
∫x
2
cos 2
0
πx
a
dx
Se multiplicarmos ambos os lados por ( a / π ) , essa
expressão pode ser escrita como:
3
a
x = 2A  
π 
2
2
3 + π /2
∫
0
2
πx 
πx 
2 πx
d

 cos

a  a 
 a 
Repare que o limite de integração também foi alterado,
visto que, quando x = a / 2 a nova variável de integração será
π / 2. Perfazendo esta mudança, a integral acima pode ser
encontrada em tabelas apropriadas. O resultado final é:
x 2 = A2
a3  π 2 
− 1

4π 2  6

Para determinarmos x 2 exatamente, devemos saber também
o valor da constante A que determina a amplitude da função
de onda. Como no exercício anterior, podemos encontrar este
valor normalizando a função de onda. Isto é, podemos ajustar
o valor de A de modo que a probabilidade total de encontrar a
partícula em algum lugar seja unitária. Esta condição nos leva
ao cálculo:
112
Física
EAD
A mecânica quântica
∞
∞
∫ Ψ Ψdx = A ∫ cos
*
2
−∞
2
πx
a
−∞
dx = 2 A
2
a
π
π /2
∫ cos
2
πx πx 
0
a
d
1
 a 
Cujo resultado é:
2 A2
Assim:
A=
2
a
4
aπ
=1
π 4
Unidade
Portanto:
x 2 = A2
a3  π 2  2 a3  π 2  a 2  π 2 
− 1 =
− 1 = 2 
− 1 = 0, 033a 2

2 
π
π
4π 2  6
a
4
6
2
6





Note que a grandeza x 2 não é zero, embora o x o seja,
porque qualquer medida de x 2 deve ser necessariamente um
valor positivo. A raiz quadrada desta grandeza, x 2 , pode
ser considerada como uma média das flutuações em torno da
média, x = 0, cujo valor é:
x 2 = 0,18a
Por fim, vamos calcular p 2 :
∞
p = ∫ Ψ ( x, t )( −i )
2
*
−∞
Calculando
2
∞
2
∂ 2 Ψ ( x, t )
2
* ∂ Ψ ( x, t )
dx
=
−
Ψ
dx

∫
∂x 2
∂x 2
−∞
∂ 2 Ψ ( x, t )
:
∂x 2
Ψ ( x, t ) = A cos
UESC
πx
a
Módulo 8 I
e − iEt / 
Volume 2
113
Física Moderna
Então:
∂Ψ
π x − iEt / 
π 
= −   Asen
e
∂x
a
a
∂ 2 Ψ ( x, t )
∂x 2
2
iEt
πx − 
π 
= −   A cos
e
a
a
Note que:
∂ 2 Ψ ( x, t )
∂x 2
2
π 
= −   Ψ ( x, t )
a
Substituindo no cálculo de p 2 , temos:
∞
∂ 2 Ψ ( x, t )
π 
p = − ∫ Ψ
dx =  2  
2
∂x
a
−∞
2
2
*
2 ∞
∫ Ψ Ψ ( x, t )
*
−∞
Mas, uma vez que a função de onda é normalizada, a
integral na expressão acima vale um, e corresponde justamente
à probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar no
intervalo entre −∞ e +∞. Portanto:
 π 
p =

 a 
2
2
E o momento quadrático médio:
p2 =
114
Física
π
a
EAD
A mecânica quântica
Esta é a média das flutuações em torno da média p = 0,
que seriam observadas nas medidas do momento da partícula.
Note que as grandezas: x 2 e p 2 correspondem às
incertezas nas medidas na posição e no momento da partícula,
portanto ∆x e ∆p, respectivamente. Podemos ainda verificar
que estas medidas estão de acordo com o princípio da incerteza:
p 2 = 0,18a
π
a
= 0,57  >

2
4
∆x∆p = x 2
Unidade
Concluímos, portanto, que os valores esperados,
calculados a partir das funções de onda, possibilitam estimar
quantitativamente as incertezas das medidas.
6 AS AUTOFUNÇÕES
Conforme apresentado na seção anterior, a função
de onda é uma ferramenta bastante poderosa para a
mecânica quântica. Afinal, é através dela que estimamos os
parâmetros dinâmicos dos sistemas no mundo quântico.
E, para encontrar a função de onda, temos que resolver a equação
de Schroedinger:
−
2
∂Ψ ( x, t )
 ∂ Ψ ( x, t )
+ V ( x, t ) Ψ ( x, t ) = i 
2
2m
∂x
∂t
No entanto, na maioria das vezes, resolver a equação de Schroedinger
não é uma tarefa muito fácil, visto que se trata de uma equação
diferencial parcial envolvendo duas variáveis independentes, x e t ,
uma derivada de primeira ordem em t e uma derivada de segunda
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
115
Física Moderna
ordem em x. Mas não se assuste, há recursos para tudo, ou quase
tudo! Nesta seção, vamos discutir uma alternativa bastante útil para
resolver a equação de Schroedinger.
Uma das técnicas mais usuais para resolução de equações
diferenciais parciais, como a equação de Schroedinger, consiste na
busca por soluções na forma de um produto de funções, cada uma
dela contendo apenas uma das variáveis independentes, do tipo:
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) ϕ ( t )
(4.31)
Onde o primeiro termo da direita é uma função apenas de x,
ψ ( x ) , e o segundo termo é uma função apenas de t , ϕ ( t ) . Esta
técnica é dita técnica de separação de variáveis. Esta é uma técnica
bastante utilizada porque permite reduzir uma equação diferencial
parcial em um conjunto de equações diferenciais ordinárias, o que
simplifica bastante o problema. Como veremos, esta técnica é muito
útil e eficaz nos casos em que a energia potencial não depende
explicitamente da variável temporal, t , de forma que possa ser escrita
simplesmente como V ( x). Na verdade, esta não é uma restrição
muito forte, visto que a maioria dos sistemas físicos tem energias
potenciais desta forma.
Vamos então substituir a função de onda procurada, do tipo
(4.31), na equação de Schroedinger, lembrando que o potencial
considerado é do tipo V ( x) :
∂ψ ( x ) ϕ ( t )
 ∂ ψ ( x )ϕ (t )
−
+ V ( x )ψ ( x ) ϕ ( t ) = i
2
∂x
∂t
2m
2
Mas lembre-se que:
∂ 2ψ ( x ) ϕ ( t )
∂x 2
116
= ϕ (t )
Física
∂ 2ψ ( x )
∂x 2
= ϕ (t )
d 2ψ ( x )
dx 2
EAD
A mecânica quântica
Repare que a notação de derivada parcial em x foi substituída por
uma derivada total em isso porque a função ψ x depende apenas
x,
( )
de x e, portanto, não faz sentido continuar com a notação antiga. De
modo análogo, a derivada em t também pode ser considerada como:
∂ψ ( x ) ϕ ( t )
∂t
∂ϕ ( t )
∂t
=ψ ( x)
dϕ ( t )
dt
Portanto a equação de Schroedinger fica assim:
Unidade
4
=ψ ( x)
d 2ψ ( x )
dϕ ( t )

ϕ (t )
ψ
ϕ
ψ
+
=

V
x
x
t
i
x
(
)
(
)
(
)
(
)
2m
dx 2
dt
Dividindo os dois lados dessa equação por ψ ( x ) ϕ ( t ) , tem-se:
2
1 dϕ ( t )
 1 d ψ ( x)
+ V ( x ) = i
2
2m ψ ( x ) dx
ϕ ( t ) dt
Ou ainda:
2

1   d ψ ( x)
1 dϕ ( t )
+ V ( x )ψ ( x )  = i

2
ψ ( x )  2m dx
ϕ ( t ) dt

(4.32)
Note que agora o lado direito da equação acima só depende da
variável t , enquanto o lado esquerdo só depende da variável x. Então
temos dois termos com variáveis distintas, consequentemente, seu
valor comum não pode depender de nenhuma das variáveis envolvidas,
nem x e nem t. Ou seja, o valor comum a estes dois termos deve ser
uma constante que, por ora, chamaremos de G. Portanto:
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
117
Física Moderna
2

1   d ψ ( x)
1 dϕ ( t )
−
+ V ( x )ψ ( x )  = G = i

2
ψ ( x )  2m dx
ϕ ( t ) dt

Deste modo, podemos separar a equação acima em duas, de modo
que:
2

1   d ψ ( x)
V
x
x
ψ
+
=G
(
)
(
)


ψ ( x )  2m dx 2

(4.33)
i
1 dϕ ( t )
=G
ϕ ( t ) dt
(4.34)
Conseguimos, portanto, separar a nossa equação diferencial
parcial em duas equações diferenciais ordinárias, uma envolvendo
somente a variável x e a outra envolvendo somente a variável t , tendo
em comum apenas a constante G. Esta constante é dita constante de
separação. O passo seguinte será resolver as duas equações e encontrar
as duas soluções independentes: ψ ( x ) e ϕ ( t ) . Para finalizar, tudo que
temos que fazer é multiplicar a solução ψ ( x ) pela outra solução, ϕ ( t ) .
O resultado da multiplicação será a solução completa da equação de
Schroedinger, Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) ϕ ( t ) . Esta solução, apesar de simples,
é perfeitamente legítima e muito útil para a solução de uma extensa
classe de equações diferenciais.
Vamos primeiro resolver a equação em t , (4.34). Inicialmente,
vamos reescrevê-la como:
dϕ ( t )
dt
=−
iG
ϕ (t )

(4.35)
118
Física
EAD
A mecânica quântica
Esta equação nos diz que a derivada primeira da função é proporcional
à própria função. Algum palpite? Aposta certa, uma função do tipo
exponencial! Portanto vamos supor uma solução do tipo:
ϕ ( t ) = eα t
Onde α é uma constante a ser determinada. Derivando a
equação acima em relação a t , tem-se:
4
dϕ ( t )
dt
Comparando com (4.35), nota-se que:
αϕ ( t ) = −
iG
ϕ (t )

Portanto:
α =−
Unidade
= α eα t = αϕ ( t )
iG

Assim, a solução da equação (4.35) é:
ϕ (t ) = e
−
iG
t

(4.36)
Esta solução também pode ser expressa em termos das funções
seno e cosseno, de modo que:
ϕ (t ) = e
UESC
−
iG
t

= cos
G
G
t − isen t


Módulo 8 I
Volume 2
119
Física Moderna
Ou:
ϕ ( t ) = cos 2π
G
G
t − isen 2π t


(4.37)
Portanto a solução ϕ ( t ) é uma função oscilatória do tempo, de
frequência ν = G / h, Mas, segundo os postulados de De Broglie e
Einstein, a frequência também deve ser dada por ν = E / h, onde E é
a energia total da partícula associada à função de onda correspondente
a ϕ ( t ) . Deste modo, uma comparação direta nos leva à condição:
G=E
Assim sendo, tem-se:
ϕ (t ) = e
−
iE
t

Esta é a dependência temporal de Ψ ( x, t ) , ou seja:
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
−
iE
t

(4.38)
A solução ψ ( x ) é tal que satisfaz a equação (4.33) corrigida para
o valor de G :
−
2
 d ψ ( x)
+ V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx 2
(4.39)
A equação acima (4.39) é denominada equação de Schroedinger
independente do tempo, visto que ela não depende da variável temporal,
t. Já as soluções ψ ( x ) são denominadas autofunções, enquanto Ψ ( x, t )
continua sendo a solução completa da equação de Schroedinger. Fique
atento aos nomes e aos símbolos, você ainda vai vê-los bastante!
120
Física
EAD
A mecânica quântica
A expressão (4.39) é usualmente descrita em função de um
 , sendo este definido
operador denominado operador Hamiltoniano, H
como:
2
 = −  d +V ( x)
H
2m dx 2
Assim, a equação de Schroedinger independente do tempo se
torna:
4
ψ ( x, t ) = Eψ ( x, t )
H
Unidade
Para fechar de vez o problema, resta apenas descrever a
forma da energia potencial e resolver a equação de Schroedinger
independente do tempo para encontrar a dependência espacial da
função de onda. Curioso notar que, na equação (4.39), não aparece
o número imaginário i e, portanto, soluções reais são possíveis para
essa equação. No entanto, funções complexas ainda podem e são
frequentemente obtidas, carecendo de uma análise detalhada quanto a
sua aceitabilidade.
Os requisitos necessários para uma solução aceitável da
dψ ( x)
autofunção ψ ( x ) e sua derivada
são: ser finitas, unívocas e
dx
contínuas. Estas condições asseguram o “bom comportamento” da
função de onda Ψ ( x, t ) e sua derivada ∂Ψ ( x, t ) / ∂x, e resultam do fato
de que a função de onda representa uma amplitude de probabilidade.
Caso essas condições fossem violadas, valores indefinidos poderiam
ser encontrados quando calculássemos grandezas mensuráveis, o
que não pode ser aceito fisicamente. A análise dessas condições é
extremamente importante para a mecânica quântica, visto que as
equações diferenciais permitem uma diversidade enorme de soluções
matemáticas, mas nem todas têm significado físico. De qualquer
maneira, a técnica de separação de variáveis já simplificou bastante o
problema. Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem,
mas com apenas uma variável independente.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
121
Física Moderna
7 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER E A
QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA
Na próxima unidade, nos dedicaremos ao processo de resolução
da equação de Schroedinger independente do tempo para uma série de
potenciais e sistemas distintos. Mas, por ora, vamos analisar as soluções
aceitáveis para a equação independente do tempo, mas apenas em
termos qualitativos, isto é, apenas analisando graficamente as curvaturas
e inclinações das possíveis soluções. Você vai ver que é possível extrair
ainda muita informação a respeito da equação de Schroedinger, antes
mesmo de entrar no rigor dos cálculos. No entanto você já pode
começar a exercitar suas habilidades matemáticas!
Para começar nossa análise, vamos reescrever a equação de
Schroedinger independente do tempo na seguinte forma:
d 2ψ 2m
V ( x ) − E ψ
=
dx 2
 
(4.40)
Desta forma, fica mais fácil ver que as propriedades dessa equação
dependem, dentre outros fatores, da forma da função energia potencial
V ( x) . Este fato já era de se esperar, visto que V ( x) determina a força que
atua sobre a partícula, cujo comportamento é descrito pelas soluções
da equação diferencial. Deste modo, para conhecer as propriedades da
equação diferencial, primeiro é preciso conhecer o comportamento de
V ( x), portanto, vamos a ele!
Nosso argumento vai considerar a equação diferencial em (4.40),
a qual determina o valor da segunda derivada da solução d 2ψ / dx 2 em
termos dos valores de 2m /  2 V ( x ) − E  . Vamos nos concentrar no
sinal de d 2ψ / dx 2 , o qual determina se a concavidade da curva definida
pela função de onda ψ ( x) é para cima (côncava, com sinal positivo) ou
para baixo (convexa, com sinal negativo); e também no comportamento
de V ( x) em relação a E.
122
Física
EAD
A mecânica quântica
para recordar
Lembre-se que a derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea
da função e, portanto, é possível estabelecer graficamente uma correlação direta
entre o sinal das derivadas primeira e segunda com o comportamento da função.
Vejamos. Repare, na Figura a seguir, que uma curva com concavidade para cima,
à medida que
x
cresce, apresenta valores crescentes da derivada primeira da
função (tangente à curva), de modo que a derivada segunda é sempre positiva.
Já a uma curva com concavidade para baixo, apresenta valores decrescentes para
a derivada primeira, de modo que a derivada segunda da função será sempre
Unidade
4
negativa.
Imagem 4.6: Relação entre a concavidade e as derivadas da função. Curva com concavidade para cima,
a derivada primeira é crescente de modo que a derivada segunda é positiva. Curva com concavidade para
baixo, a derivada primeira é decrescente de modo que a derivada segunda é negativa.
Para nossa análise, vamos escolher V ( x) como se fosse o
potencial para um átomo que pode estar ligado a outro átomo
semelhante, formando uma molécula diatômica, descrita em
função da separação entre os centros dos dois átomos. Neste caso,
a energia total E deve estar associada à distância de separação entre
os átomos e, assim sendo, vamos limitá-la entre os valores x’ e
x’’, conforme ilustrado na Figura 4.1. Note que a reta energia da
energia E intercepta a curva da energia potencial V ( x) em dois
pontos, justamente, x = x’ e x = x’’, dividindo o eixo x em três
regiões distintas: 1) x < x’; 2) x’ < x < x’’ e 3) x > x’’.
Figura 4.1 – Energia potencial V ( x) usada como argumento qualitativo para
discussão das soluções da equação de Schroedinger independente do tempo.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
123
Física Moderna
Na primeira e terceira regiões, o valor de V ( x ) − E  é
sempre positivo, pois o valor de V ( x) é maior que o valor de
E . No entanto, na segunda região V ( x ) − E  , é negativo,
visto que E é maior que V ( x). Lembre-se que a constante
multiplicativa deste termo, 2m /  2 , é sempre positiva, portanto
o sinal de d 2ψ / dx 2 é o mesmo que o sinal de ψ na primeira
e terceira regiões, no entanto, verifica-se o oposto do sinal de
ψ na segunda região. Isto significa que, na primeira e terceira
regiões, a curva de ψ ( x) versus x terá concavidade para cima
se o valor de ψ for positivo e terá concavidade para baixo se ψ
for negativa. Na segunda região, a curva terá concavidade para
baixo, se ψ for positiva, e para cima, se ψ for negativa. Estas
possibilidades estão ilustradas na Figura 4.2.
Figura 4.2 – Ilustração das relações entre o sinal de
nas regiões definidas pelo sinal de [V ( x) − E ] .
ψ
e o sinal de
d 2ψ / dx 2
Portanto podemos afirmar que, para uma dada forma da energia potencial
V ( x) , a equação diferencial impõe uma relação entre
determina o comportamento geral de
da derivada primeira,
dependente
ψ
dψ / dx,
ψ
d 2ψ / dx 2
e
ψ
que
. Se especificarmos também o valor
então o comportamento particular da variável
é determinado, para todos os valores de
x.
Podemos, assim,
utilizar a equação de Schroedinger independente do tempo, com os valores
de V ( x ) e E escolhidos, para determinar o comportamento de
os
x
em termos dos valores supostos de ψ e
particular de
124
x.
Física
dψ / dx
ψ
para todos
para algum valor
EAD
A mecânica quântica
As considerações acima são asseguradas em função das
dψ ( x)
condições impostas a ψ ( x ) e sua derivada
: finitas, unívocas
dx
e contínuas.
Vamos agora procurar este resultado qualitativo a partir de
argumentos baseados nas características da equação diferencial
(4.40):
d 2ψ 2m
V ( x ) − E ψ
=
dx 2
 
Unidade
4
Inicialmente, vamos tomar o valor de ψ positivo na região
x’ < x < x’’, ou seja, uma curva que descreve ψ com concavidade
para baixo, como na Imagem 4.6. Neste caso, estamos supondo
que a derivada primeira é decrescente de forma que a segunda
derivada é negativa. No entanto, ao atingir a região x > x’’, o valor
V ( x ) − E  muda de sinal, ficando positivo, o que implica que,
embora a inclinação da curva fosse negativa em x = x’’, ela se torna
rapidamente zero neste ponto e, a partir daí, será positiva. Então, ψ
começa a crescer em valor. No entanto, a equação diferencial mostra
que a taxa de variação da inclinação, isto é, d 2ψ / dx 2 , é proporcional
a ψ . Assim, ψ cresce, e cresce rapidamente, tendendo ao infinito
para grandes valores de x. Mas esta solução não é aceitável, visto
que toda autofunção deve ser finita!
Mas vamos tentar novamente, agora mudando o valor
dψ ( x)
inicialmente suposto para
, a derivada primeira. Agora, a
dx
derivada primeira será crescente, ou seja, estamos considerando
uma função ψ com concavidade para cima no intervalo x’ < x < x’’,
e derivada segunda positiva. Ao atingir o ponto x = x’’, a derivada
segunda se anula e a partir daí, passa a ser negativa, indicando que
a função ψ decresce, e decresce rapidamente, tendendo a menos
infinito. O que também não é aceitável, mais uma tentativa falha!
A chave do problema consiste no comportamento da derivada
segunda e a função ψ , visto que estas são diretamente proporcionais,
ou seja, para valores crescentes de x, se ψ cresce, cresce
rapidamente indo ao infinito; se ψ decresce, decresce rapidamente,
tendendo a menos infinito. E ambas as soluções são inaceitáveis. Ao
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
125
Física Moderna
consideramos valores decrescentes de x, a dificuldade persiste, pois
não há como ajustar a descontinuidade que ocorre para valores de
x = x ', também entrando na condição E < V ( x).
Mas então, será que não há soluções possíveis para a equação
de Schroedinger independente do tempo? Qual a origem dessa
dificuldade que estamos encontrando?
Repetindo-se as escolhas para diferentes valores de E é possível
encontrar soluções aceitáveis para a equação de Schroedinger,
independente do tempo. Na verdade, é possível encontrar
soluções aceitáveis para uma série de valores, E1 , E2 , E3 , E4 ,...,
correspondendo às autofunções: ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , ψ 4 ,... Ou seja, é
possível encontrar um conjunto de soluções, mas apenas para valores
discretos de energia! Esta afirmação te lembra alguma coisa? Não
acha que seria uma forma de quantização de energia? Exatamente!
Portanto, para uma partícula se movendo sob influência de um potencial independente do
tempo V(x), existem soluções aceitáveis para a equação de Schroedinger independente do
tempo somente se a energia das partículas for quantizadas, isto é, restrita a um conjunto
discreto de energias
E1 , E2 , E3 , E4 ,... En . Estes valores de energia são denominados
V ( x) . Deste modo, um potencial particular tem um conjunto
autovalores do potencial
particular de autovalores. Já as soluções encontradas para a equação de Schroedinger
independente do tempo, ψ
1
,ψ 2 ,ψ 3 ,ψ 4 ,...ψ n ,
são denominadas autofunções. Assim, para
cada autovalor há também uma função de onda correspondente:
ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,ψ 4 ,...ψ n .
O índice n, utilizado para designar um autovalor particular e suas correspondentes:
autofunção e função de onda, é chamado de número quântico e sempre toma valores
inteiros sucessivos. Se o sistema quântico é descrito pela função de onda
que ele está no estado quântico
n.
Ψ n ( x, t ),
dizemos
A Figura 4.4 ilustra os valores de energia para os quais a equação
de Schroedinger independente do tempo apresenta soluções
aceitáveis. Note que,
para uma energia potencial V ( x) do tipo ilustrado na Figura 4.1, é
possível definir um valor limite Vl quando a distância x se torna
muito grande. Para estes valores de x, as soluções aceitáveis
para a equação de Schroedinger correspondem aos valores de
energia indicados pela região sombreada da figura, ou seja, uma
distribuição contínua de valores possíveis de energia. No entanto,
esta condição (grandes x ) corresponde ao caso de uma partícula
não ligada (classicamente, a distância de separação entre os átomos
126
Física
EAD
A mecânica quântica
Unidade
4
pode assumir qualquer valor maior do que x’). Para
valores
intermediários de x. aqueles cujo potencial é inferior ao limiar
Vl , correspondem ao caso de uma partícula confinada e os valores
permitidos de energia para resolver a equação de Schroedinger são
valores discretos! Neste caso, a função de onda correspondente ao
tipo de função oscilatória e não há problemas de dispersão. É sempre
possível fazer com que ψ ( x) se aproxime gradualmente do eixo
para altos valores de x. Novamente, para valores muito pequenos
de x, as soluções permitidas correspondem a valores contínuos de
energias, mas sempre superiores a Vl . Figura 4.4 – Ilustração das energias permitidas para certo potencial V ( x ). Note que
abaixo do valor limite Vl as energias permitidas são discretas, enquanto acima do
limiar Vl há um contínuo de energias permitidas.
Os argumentos apresentados acima podem ser resumidos
como:
Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial
é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do
espaço, pois senão a energia potencial excederia a energia total fora da região,
então a teoria de Schroedinger prevê que a energia total é quantizada. Quando
esta relação é tal que a partícula não estaria confinada em uma região limitada,
então a teoria prevê que a energia total pode ter qualquer valor.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
127
Portanto, de acordo com a teoria de Schroedinger, o confinamento
de uma partícula leva à quantização, ou seja, à existência de estados
discretos, com energias discretas. Deste modo, a teoria prevê a
quantização de energia, sem a imposição de ‘múltiplos h’, conforme
os postulados anteriores à mecânica quântica. Assim, Schroedinger
conseguiu finalmente alcançar o tão desejado embasamento teórico
ao mostrar que a quantização de energia resulta simplesmente do fato
de que uma função espacial (autofunção) precisa ser unívoca e finita.
Os trabalhos que se seguiram, complementaram as publicações de
Schroedinger, dando à mecânica quântica um formalismo rigoroso e
satisfatório, de modo a substanciar essa bizarra, mas eficiente, teoria
probabilística!
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Quando uma partícula está em um estado tal que uma
medida de sua energia total pode dar apenas um único resultado,
o autovalor E, ela é descrita pela autofunção:
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
−
iE
t

Um exemplo seria um elétron no estado fundamental
do átomo de hidrogênio. Nesse caso, a função densidade de
probabilidade não depende do tempo:
Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) = ψ * ( x ) e
+
iE
t

ψ ( x) e
−
iE
t

= ψ * ( x )ψ ( x )
Agora, considere uma partícula em um estado tal que
uma medida de sua energia total pode dar qualquer um entre
dois resultados, o autovalor E1 e outro autovalor E2 . Então, a
função de onda que descreve a partícula é:
Ψ ( x, t ) = c1ψ 1 ( x ) e
−
iE1
t

+ c2ψ 2 ( x ) e
−
iE2
t

Um exemplo típico seria o de um elétron que estivesse
no processo de transição de um estado excitado o estado
A mecânica quântica
fundamental do átomo. Mostre que, nesse caso, a função
densidade de probabilidade é uma função oscilatória do tempo
e calcule a frequência de sua oscilação.
Solução:
Para a densidade de probabilidade em questão, tem-se:
4
iE
iE
iE
iE
*
+ 1t
+ 2t  
− 1t
− 2t 

Ψ Ψ = c1*ψ 1* ( x ) e  + c2*ψ 2* ( x ) e   c1ψ 1 ( x ) e  + c2ψ 2 ( x ) e  



Unidade
Multiplicando os termos entre colchetes, obtemos quatros
novos termos:
Ψ *Ψ = c1*c1ψ 1* ( x )ψ 1 ( x ) + c2*c2ψ 2* ( x )ψ 2 ( x ) +
c2*c1ψ 2* ( x )ψ 1 ( x ) e
+
i ( E2 − E1 )
t

+ c1*c2ψ 1* ( x )ψ 2 ( x ) e
+
− i ( E2 − E1 )
t

Assim, a dependência temporal se cancela nos dois
primeiros termos, mas não nos dois últimos. Estes dois termos
contêm exponenciais complexas que oscilam no tempo com
frequência ν . Essas exponenciais podem ser expressas como
funções tipo seno e cosseno, com frequência:
ν=
E2 − E1 E2 − E1
=
2π 
h
Portanto a função densidade de probabilidade é uma função
oscilatória do tempo, sendo o valor da frequência de oscilação
dado pela expressão acima.
Note que esta é exatamente a frequência da radiação emitida
durante a transição de um elétron do estado excitado, E2 , para
o estado fundamental, E1. Assim, a teoria de Schroedinger
prevê corretamente a frequência da radiação emitida durante as
transições eletrônicas dos átomos. No caso de um elétron no
estado fundamental, vimos que a densidade de probabilidade
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
129
Física Moderna
é independente do tempo e, por isso, os elétrons não emitem
energia.
Mais uma vez, é notório o fato de que a teoria de Schroedinger
fornece um modelo físico do processo de emissão da radiação
por átomos excitados muito mais atraente do que o dado pela
teoria de Bohr. O próprio Schroedinger reconheceu ser muito
mais gratificante conceber uma transição quântica como uma
troca de energia de um modo de vibração para outro, do que
encará-la como um salto de elétrons!
RESUMINDO
• Na mecânica quântica, toda evolução de eventos é determinada
pelas leis da probabilidade. Um processo mecânico é, portanto,
acompanhado por um processo ondulatório, sendo esta a
“onda condutora”, descrita pela equação de Schroedinger, cujo
significado é o de dar a probabilidade de um curso definido do
processo mecânico.
• Função de onda: Ψ ( x, t ) corresponde a uma solução da equação
de Schroedinger para certa energia potencial V(x, t).
• A equação de Schrodinger: equação diferencial que satisfaz
todas as hipóteses relativas à equação de onda da mecânica
quântica:
−
 ∂ 2 Ψ ( x, t )
∂Ψ ( x, t )
+ V ( x, t ) Ψ ( x, t ) = i 
2
∂t
2m ∂x
• A ligação entre as propriedades da função de onda Ψ ( x, t ) e o
comportamento da partícula associada é expressa em termos
da densidade de probabilidade: P ( x, t ) = Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t )
130
Física
EAD
A mecânica quântica
• Valores esperados da mecânica quântica:
∞
f ( x, t ) = ∫ Ψ * ( x, t ) f ( x, t )Ψ ( x, t )dx
−∞
• Operador momento: p = −i ∂
∂x
 = i ∂
• Operador energia: E
∂t
• A Equação de operadores quânticos: −
2 ∂ 2
∂
+ V ( x, t ) = i 
2
∂t
2m ∂x
Unidade
4
• Por meio da técnica de separação de variáveis, chegase à Equação de Schroedinger, independente do tempo:
2
 d ψ ( x)
−
+ V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x ) . As soluções, ψ ( x ) , são
2m dx 2
denominadas autofunções.
2
 = −  d +V ( x)
• Operador Hamiltoniano: H
2m dx 2
• Para uma partícula movendo-se sob influência de um potencial
independente do tempo V(x) existem soluções aceitáveis para
a equação de Schroedinger independente do tempo somente
se a energia das partículas for quantizadas, isto é, restrita a um
conjunto discreto de energias E1 , E 2 , E 3 , E 4 ,... E n . Estes
valores de energia são denominados autovalores do potencial
V(x).
ATIVIDADES
1. Explique como o postulado de De Broglie entra na teoria de
Schroedinger.
2. Por que a equação de Schroedinger não é válida para partículas
relativísticas?
3. Qual é a relação básica entre as propriedades de uma função de
onda e o comportamento da partícula associada a ela?
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
131
Física Moderna
4. Explique com suas palavras o que é normalizar uma função.
5. O que quer dizer equação de Schroedinger independente do
tempo?
6. Qual é a diferença entre uma função de onda e uma autofunção?
7. O que são autovalores?
8. Por que uma autofunção deve ser bem comportada para ser
aceitável na teoria de Schroedinger?
9. Explique o significado do valor esperado de x.
10.Se as funções Ψ1 ( x, t ), Ψ 2 ( x, t ) e Ψ 3 ( x, t ) são três soluções da equação
de Schroedinger para um potencial V ( x, t ) , mostre que a combinação
linear arbitrária Ψ ( x, t ) = c1Ψ1 ( x, t ) + c2 Ψ 2 ( x, t ) + c3Ψ 3 ( x, t ) também é
solução desta equação.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica,
Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio
de Janeiro: Editora Campus, 1988.
FEYNMAN Richard. Física em Seis Lições. Rio de Janeiro:
Editora Ediouro, 1999.
GLEISER, Marcelo. A dança do Universo, dos Mitos de
Criação ao Big-Bang. São Paulo: Editora Companhia de Bolso,
1997.
LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do
átomo pré-socrático às partículas elementares. 3. ed. Rio de
Janeiro: Editora UFRJ, 2005.
132
Física
EAD
A mecânica quântica
Suas anotações
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4
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Unidade
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........................................................................................................................
.........................................................................................................................
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
133
5ª
unidade
APLICAÇÕES DA
MECÂNICA QUÂNTICA
Conteúdo
Nesta unidade serão apresentadas as soluções da equação de
Schroedinger independente do tempo para diferentes formas da
energia potencial. Veremos as soluções para:
- potencial nulo;
- potencial degrau;
- barreira de potencial;
- poço de potencial;
- osciladores harmônicos simples.
Objetivo
Ao final desta etapa, o aluno será capaz de conhecer as previsões
da mecânica quântica e familiarizar-se com as ferramentas matemáticas que descrevem o mundo quântico.
Aplicações da mecânica quântica
1 INTRODUÇÃO
5
Na unidade anterior, discutimos em linhas gerais as propriedades
da equação de Schroedinger e de suas possíveis soluções. A esta altura,
você já sabe como interpretar uma função de onda e como obter os
valores esperados para as grandezas dinâmicas segundo a mecânica
quântica. Agora, para concluir o nosso estudo, vamos obter as soluções
específicas da equação de Schroedinger independente do tempo para
diferentes formas da energia potencial V ( x). Portanto vamos obter e
discutir as propriedades físicas das autofunções, dos autovalores e das
funções de onda correspondentes.
Nossa abordagem será progressiva, isto é, começaremos com as
formas mais simples para o potencial V ( x) e, gradualmente, chegaremos
às formas mais complexas, mas sempre potenciais independentes do
tempo. De modo a simplificar os cálculos e a interpretação física, nos
limitaremos a uma única dimensão espacial. Trataremos das partículas
ligadas e não ligadas e, sempre que possível, discutiremos as aplicações
mais interessantes para os modelos atômicos e moleculares. Você irá se
surpreender com as possibilidades do mundo quântico!
Unidade
2 POTENCIAL NULO E A PARTÍCULA LIVRE
Certamente, a forma mais simples para a equação de Schroedinger
independente do tempo é aquela na qual V ( x) é uma constante arbitrária.
Neste caso, como F = − dV ( x) / dx = 0, estamos falando de uma
partícula livre, ou seja, nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que
a partícula pode estar em repouso ou em movimento uniforme, sempre
com momento constante e energia constante. Podemos simplificar
ainda mais e considerar diretamente o caso de um potencial nulo, tal
que:
V ( x) = 0
(5.1)
UESC
Módulo 8
4 I
Volume 2
5
137
Física Moderna
Neste contexto, a equação de Schroedinger independente do tempo
se reduz a:
−
2
 d ψ ( x)
= Eψ ( x )
2m dx 2
(5.2)
Sabemos que as soluções esperadas para a função de onda são do
tipo:
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
−
iE
t

(5.3)
Onde os autovalores E correspondem à energia total da partícula.
No entanto, estamos tratando de uma partícula livre, cuja forma da
função de onda nós já conhecemos da unidade anterior, está lembrado?
Pois, então:
Ψ ( x, t ) = cos ( kx − ωt ) + isen(kx − ωt )
(5.4)
A qual pode ser reescrita na forma exponencial, do tipo:
Ψ ( x, t ) = ei ( kx −ωt )
(5.5)
Note que esta função representa uma onda que se propaga com
propriedades:
k=
p
=
h
e:
ω=
2mE

(5.6)
E
h
(5.7)
Os nós da função de onda estão localizados nas posições
1
( kx − ωt ) =  n +  π , com n = 0, ±1, ±2, … ou seja, a parte real da função de
2

onda tem valor igual a zero sempre que ( kx − ωt ) =  n + 12  π . Deste modo, os
nós ocorrem sempre nas posições: x =  n + 1  π k + ωt e, como estes valores
2

de x aumentam à medida que t aumenta, os nós se movem no sentido
de x crescente. Esta conclusão está ilustrada na parte superior da
Figura 5.1
138
Física
EAD
Unidade
5
Aplicações da mecânica quântica
Figura 5.1 – Na Figura, a parte real de uma função de onda exponencial complexa para uma
partícula livre. Embaixo: a densidade de probabilidade para esta função de onda. Note que
esta não transmite qualquer idéia de movimento.
A exponencial em (5.5) pode ainda ser desmembrada em dois
fatores:
Ψ ( x, t ) = eikx e −ωt = eikx e
−
iE
t

(5.8)
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
139
Física Moderna
Comparando com a forma da equação (5.3), nota-se que:
ψ ( x ) = eikx
(5.9)
Ou seja, a exponencial complexa descrita acima corresponde à forma
procurada da autofunção de uma partícula livre, com autovalor E .
Para a função de onda descrita em (5.8), a densidade de probabilidade
*
Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) corresponde a:
Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) = e − i ( kx −ωt ) ei ( kx −ωt ) = 1
Portanto a densidade de probabilidade é uma constante unitária,
definindo, assim, uma onda estacionária. Como pode ser observado na
parte inferior da Figura 5.1, esta probabilidade não transmite nenhuma
ideia de movimento!
E será que a solução expressa em (5.8) para a equação de
Schroedinger está completa? Será que não existe outra solução para
(5.2)? A experiência com equações diferenciais nos diz que, para o
mesmo valor de E , se trocarmos o sinal do termo em kx , obteríamos
também uma solução aceitável. Esta agora correspondente a uma onda
que se propaga no sentido decrescente de x , sendo:
Ψ ( x, t ) = ei ( − kx −ωt )
(5.10)
Portanto obtemos uma nova autofunção, sendo esta:
ψ ( x ) = e − ikx
(5.11)
Então, como fica a solução? Algum palpite? Ora, sabemos que
a equação de Schroedinger independente do tempo, assim como a
equação completa, é linear, ou seja, uma combinação linear de soluções
possíveis também é solução, de modo que:
140
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
ψ ( x ) = Aeikx + Be − ikx
(5.12)
onde A e B são constantes arbitrárias e seus respectivos valores
podem ser obtidos pelo processo de normalização da função de onda.
A solução completa da equação de Schroedinger é:
Ψ ( x, t ) = Aei ( kx −ωt ) + Bei ( − kx −ωt )
(5.13)
∞
p = −i ∫ Ψ * ( x, t )
−∞
∂Ψ ( x, t )
dx
∂x
Unidade
5
Você pode, como exercício, conferir se a expressão acima é mesmo
uma solução da equação de Schroedinger para um potencial nulo, basta
perfazer os cálculos das derivadas e substituir na expressão (4.14) da
unidade anterior para conferir a validade da solução.
Vamos agora à interpretação física das autofunções e funções de
onda da partícula livre. Inicialmente vamos analisar apenas a solução
relativa a uma onda que se propaga no sentido crescente de x . Será que
uma partícula, cujo movimento é descrito por esta função de onda,
também está se movendo no sentido de x crescente? Para verificar este
fato, vamos calcular o valor esperado do momento, p, da partícula,
sendo este:
(5.14)
Calculando primeiro a derivada no integrando acima:
∂Ψ ( x, t ) ∂
=
Aei ( kx −ωt ) = ikAei ( kx −ωt ) = ik Ψ ( x, t )
∂x
∂x
Agora substituindo em 5.14:
∞
∞
−∞
−∞
p = −i ( ik ) ∫ Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx = −i 2 k ∫ Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
141
Física Moderna
Substituindo o valor de k =
∞
p
=
h
2mE
, tem-se:

∞
p = k ∫ Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx = 2mE ∫ Ψ *Ψdx
*
−∞
−∞
(5.15)
Como a função de onda deve ser normalizada, tem-se:
p = 2mE
Analogamente, podemos encontrar o valor do momento
esperado para a função de onda decrescente em x, cujo resultado
é:
p = − 2mE
Portanto as autofunções e funções de onda que obtivemos
em (5.12) e (5.13), respectivamente, representam situações
idealizadas de uma partícula se movendo, em um sentido ou em
outro, em uma região de extensão infinita. Sua coordenada x é
completamente desconhecida, porque as amplitudes das ondas
são as mesmas em todas as regiões do eixo x, ou seja:
∞
∫ Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx = A A
*
*
−∞
(5.16)
Neste caso, a incerteza associada a uma medida de x , seria
da ordem de ∆x = ∞ e, assim, de acordo com o princípio da
incerteza, é possível saber o momento p da partícula com total
precisão. Como também dispomos de tempo ilimitado para medir
a energia da partícula, ou seja, ∆t = ∞, então sua energia E pode
ser conhecida com total precisão. Um exemplo físico próximo
a esta situação que estamos considerando seria um próton se
movendo em um feixe altamente monoenergético emergindo de
um acelerador cíclotron.
142
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
você sabia?
De acordo com a análise apresentada acima, a função de onda da partícula associada
descreve a probabilidade da partícula estar se movendo na direção de x crescente ou
decrescente. Imagine agora que esta função represente um ser vivo, por exemplo,
um gato! Imagine então
um experimento do tipo:
um gato preso em uma
caixa hermética contendo
um recipiente fechado e,
dentro deste, uma substância que libera um veneno mortal cujo acionamento é feito via decaimento
radioativo. Mas o processo
de decaimento radioativo
é um evento probabilístico, pode acontecer dentro
Imagem 5.1: Ilustração do experimento conhecido como o gato de
Schroedinger.
Fonte: http://web.ccead.puc-rio.br/condigital/mvsl/linha%20tempo/
Schrodinger/gato.html
de um intervalo de tempo
ou não. Há uma chance de
50% para o isótopo decair e
mais 50% de chance de não
haver decaimento. Então, como representar este sistema? O que iremos encontrar
ao abrir a caixa? Segundo Erwin Schroedinger, este é um sistema quântico e deve
ser tratado como tal! Portanto o gato estaria 50% vivo e 50% morto! Simples assim,
vivo e morto simultaneamente, apenas em função do decaimento ou não do isótopo.
Correto? Absurdo? Mas se os átomos podem existir em dois estados quânticos ao
mesmo tempo, as considerações sobre os estados do gato estão corretas, certo? Este
foi um dos famosos experimentos imaginados por Schroedinger para descrever os
fenômenos quânticos. Por certo, apenas um exercício imaginário!
5
3 POTENCIAL DEGRAU E AS POSSIBILIDADES
Unidade
QUÂNTICAS
Vamos agora estudar as soluções da equação de Schroedinger
para uma partícula cuja energia potencial possa ser representada por
uma função V ( x) que tenha um valor constante, mas diferente em
duas regiões adjacentes de x. Ou seja, o potencial muda de valor
abruptamente ao ir de uma região para outra, por meio de uma
descontinuidade em x. Um exemplo simples de potencial deste tipo é
o chamado potencial degrau, ou degrau de potencial, cuja formulação
pode ser definida como:
V0 se x > 0
V ( x) =
0
se x < 0
(5.17)
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
143
Física Moderna
Sendo V0 uma constante. Neste caso específico, a origem do eixo
x no sistema de coordenadas foi escolhida como estando sobre o
degrau, conforme ilustrado na Figura 5.2.
Figura 5.2 – O potencial degrau
A rigor, estes potenciais não existem na natureza, mas sua análise é
bastante útil e serve de aproximação para determinados sistemas físicos.
Por exemplo, a energia potencial de um elétron se movendo próximo à
superfície de um metal é muito parecida com um degrau de potencial,
pois ela cresce rapidamente na superfície, a partir de um valor essencialmente constante no interior, até um valor constante, mas muito maior, na
parte exterior.
Para analisar este contexto, suponha que uma partícula de massa m
e energia total E esteja na região x < 0, e que esteja se dirigindo para o
ponto x = 0, no qual o potencial V ( x) muda abruptamente seu valor. De
acordo com a mecânica clássica, a partícula vai se mover livremente nessa
região até atingir x = 0. A partir deste ponto, ela estará sujeita à ação de
uma força impulsiva F = − dV ( x) / dx atuando, portanto, no sentido de
x decrescente.
Segundo a mecânica clássica, o movimento da partícula após sofrer
a ação da força em x = 0 depende da relação entre E e V0 . Para o caso
de E <V0 , a mecânica clássica proíbe a partícula de passar para a região
x > 0, visto que:
E=
144
p2
+ V ( x ) < V ( x)
2m
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
O que implicaria em:
p2
<0
2m
Assim, a energia cinética da partícula deveria assumir valores negativos,
o que não faz sentido fisicamente. Portanto, segundo a mecânica clássica,
a força impulsiva deveria mudar o momento da partícula, de tal modo
que seu movimento ficaria exatamente invertido, ou seja, a partícula se
moveria no sentido decrescente de x com momento no sentido
oposto
p2
ao momento inicial, de modo a manter a energia E =
constante.
2m
Assim, a partícula seria refletida pelo potencial degrau.
Mas e na mecânica quântica, será que esta previsão se confirma?
Arrisca algum palpite?
Na seção 5.3.1 trataremos apenas deste caso específico em que:
E <V0 , ou seja, a energia da partícula é inferior à altura do degrau de
potencial. O caso oposto, E <V0 , será analisado apenas na seção 5.3.2.
Vejamos as previsões da mecânica quântica.
4 ENERGIA MENOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU
Unidade
5
Para descrever o movimento da partícula segundo a mecânica quântica, devemos primeiro encontrar a função de onda correspondente ao
potencial degrau, para a energia E , lembrando sempre que E <V0 . Por se
tratar de um potencial independente do tempo, podemos simplesmente
resolver a equação de Schroedinger independente do tempo, visto que
a dependência temporal já é nossa velha conhecida (lembre-se da seção
4.6)! De antemão, podemos esperar que exista uma solução aceitável para
qualquer valor de energia para E > 0, já que o potencial não é capaz de
confinar a partícula em nenhuma região do eixo x.
Como temos duas regiões espaciais distintas, vamos considerá-las separadamente. Assim que, na região x < 0, temos, V ( x) = 0, de modo que
a equação de Schroedinger independente do tempo se reduz a:
UESC
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Volume 2
145
Física Moderna
2
 d ψ ( x)
−
= Eψ ( x )
2m dx 2
x<0
(5.18)
Note que esta equação é exatamente a equação (5.2), aquela que
resolvemos na seção anterior para o caso de uma partícula livre.
Já na região x > 0, temos a clássica expressão:
−
2
 d ψ ( x)
+ V0ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx 2
x>0
(5.19)
Vamos então resolver as duas equações acima e igualar os resultados no ponto x = 0. Esperamos, assim, obter uma solução única para
o problema. Lembrando sempre de verificar os requisitos: unicidade e
continuidade das autofunções e suas derivadas.
Da seção anterior sabemos que o resultado da equação (5.18) para,
x < 0, é:
ψ ( x ) = Aeik x + Be − ik x
1
1
x<0
(5.20)
Onde:
k1 =
2mE

Para a equação (5.19) não devemos esperar uma função oscilatória,
visto que E <V0 (lembre-se da análise qualitativa que fizemos para as
autofunções na seção 4.7). O resultado desejado seria uma função com
comportamento assintótico em x, ou seja, uma função que se aproxima
gradualmente do eixo x, tipo uma função exponencial real decrescente,
como:
146
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
ψ ( x ) = e− k x
x>0
2
(5.21)
Você, estudante, pode verificar (a título de exercício!) que esta é realmente
uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo, se:
k2 =
2m(V0 − E )

(5.22)
Da mesma forma que a autofunção:
ψ ( x ) = e+ k x
x>0
2
Combinando as duas soluções:
ψ ( x ) = Ce + k x + De − k x
2
x>0
2
(
D e − k2 x
)
x =0
( )
= A eik1x
x =0
(
+ B e − ik1x
)
Unidade
5
(5.23)
onde C e D também são constantes arbitrárias, cujos valores devem ser
determinados de modo a assegurar que a autofunção total e sua derivada
satisfaça as condições de limitação, unicidade e continuidade.
Pela condição de limitação, note que: quando x → ∞, a autofunção
em (5.23) irá divergir, ou seja, ψ ( x ) → +∞, a menos que a constante C
seja nula. Portanto com essa análise simples, já conhecemos o valor de uma
das constantes, C = 0.
Já a condição de continuidade nos diz que em x = 0, as autofunções
(5.23) e (5.20) devem ser iguais, ou seja:
x =0
Esta condição nos leva à relação:
D = A+ B
(5.24)
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
147
Física Moderna
A mesma condição de continuidade deve ser aplicada às
respectivas derivadas das autofunções, de modo que:
(
− k 2 D e − k2 x
)
x =0
( )
= ik1 A eik1x
x =0
(
− ik1 B e − ik1x
)
x =0
O que resulta em:
ik2
D = A− B
k1
(5.25)
Combinando (5.25) e (5.24), tem-se:
A=
D  ik2 
1 +

2
k1 
(5.26)
e
B=
D  ik2 
1 −

2
k1 
(5.27)
Assim, podemos remontar a autofunção para o potencial degrau
com E < V0 :
ψ ( x) =
D  ik2  ik1x D  ik2  − ik1x
1 +
 e + 1 −
e
k1 
k1 
2
2
x≤0
De − k2 x
x≥0
(5.28)
A função de onda correspondente é:
ψ ( x) =
D  ik2  ik1x − iEt D  ik2  − ik1x − iEt
e e
 e e + 1 −
1 +
k1 
k1 
2
2
De − k2 x e
−
iEt

x≤0
x≥0
(5.29)
148
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
A constante D pode ser determinada pela condição de normalização
da função de onda. Note que tanto a autofunção quanto a função
de onda são funções complexas. Entretanto é possível expressar a
função de onda em termos das funções senos e cossenos, de modo
que:
Dcosk1 x − D
ψ ( x) =
k2
senk1 x
k1
De − k2 x
x≤0
x≥0
(5.30)
O comportamento de ψ ( x ) e Ψ Ψ (lembre-se que esta é
sempre uma função real) estão ilustrado na Figura 5.3.
Unidade
5
*
Figura 5.3 – No alto: autofunção ψ ( x) para uma partícula incidente sobre o degrau de
potencial em x=0, com energia total menor que a altura do degrau. Note a penetração
da autofunção na região classicamente proibida, x>0. Embaixo: a densidade de
*
probabilidade ψ ψ correspondente a esta autofunção.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
149
Física Moderna
Ao analisar a função de onda na representação em termos de
senos e cossenos, é fácil perceber que ela representa uma onda
estacionária, ou seja, as localizações dos nós não mudam com o
tempo. Como as intensidades das ondas são idênticas, podemos
interpretar esta solução como a superposição da onda incidente e
refletida para x < 0 . A Figura 5.4 ilustra esta combinação de ondas
de forma esquemática.
Figura 5.4 – Combinação de uma onda incidente, movendo-se para a direita (quadro superior),
e uma onda refletida, movimento para esquerda (quando do meio) de mesma intensidade. O
resultado desta combinação é uma onda do tipo estacionária (quadro inferior). Note que os
nós da onda resultante são estacionários.
Vamos agora analisar a autofunção (5.29), inicialmente,
considerando a região x < 0 . O primeiro termo de (5.29) representa
uma onda se propagando no sentido de x crescente e descreve uma
partícula se movendo neste mesmo sentido. Já o segundo termo,
uma onda se propagando no sentido de x decrescente e descreve
uma partícula se movendo neste mesmo sentido. Assim, podemos
associar o primeiro termo à partícula incidente no potencial
degrau e o segundo termo à partícula refletida pelo degrau. Mais
ainda, podemos estimar um coeficiente de reflexão R, segundo a
probabilidade que a partícula incidente seja refletida. Como na
mecânica quântica, as probabilidades dependem das intensidades
B* B e A* A . Deste modo, R pode ser estimado como:
150
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
R=
B* B
A* A
(5.31)
Perfazendo o cálculo acima, chegamos ao valor de R :
R=
(1 + ik2 / k1 )(1 − ik2 / k1 ) = 1
(1 − ik2 / k1 )(1 + ik2 / k1 )
(5.32)
O resultado obtido acima, R = 1 , significa que a partícula
incidente sobre o degrau de potencial com energia inferior ao degrau
tem probabilidade um de ser refletida, ou seja, a partícula será sempre
refletida, exatamente como prevê a mecânica clássica.
Apesar do coeficiente de reflexão unitário, uma previsão da
mecânica quântica chama a nossa atenção. É o resultado do cálculo
da densidade de probabilidade para a função de onda (5.29), na região
x > 0 . Vejamos:
iEt
Ψ *Ψ = D*e − k2 x e  De − k2 x e
−
iEt

= D* De −2 k2 x
∆x =
Unidade
5
(5.33)
Este resultado está ilustrado na parte inferior da Figura 5.3. Note
que, na região positiva de x, a função decresce rapidamente à medida
que x cresce, no entanto, apesar de pequena, há uma probabilidade
finita de encontrar a partícula na região x > 0. Segundo a física
clássica, seria impossível encontrar a partícula nessa região; mas na,
física quântica, este resultado é perfeitamente válido! Este fenômeno,
conhecido como penetração na região classicamente proibida é uma
das mais notáveis previsões da mecânica quântica.
Repare na Figura 5.3 que a região de penetração não é muito
extensa. É possível estimar por meio do número d onda a distância de
penetração da partícula, como: ∆x = 1 / k2 . Deste modo:

2m(V0 − E )
(5.34)
Sendo a distância de penetração diretamente proporcional a h,
você pode imaginar o quão pequena é a penetração, por certo, muitas
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
151
Física Moderna
ordens de grandeza inferior aos valores mensuráveis classicamente.
Apesar de estranho, os valores estimados para a penetração das
partículas estão perfeitamente de acordo com as experiências!
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Faça uma estimativa da distância de penetração ∆x para
uma partícula de poeira muito pequena, de raio r = 10−6 kg / m3
e densidade ρ = 104 kg / m3 , se movendo com a velocidade muito
baixa v = 10−2 m / s, se a partícula atinge um degrau de potencial
de altura igual a duas vezes sua energia cinética, vinda da região
à esquerda do degrau.
Solução:
Vamos primeiro calcular a massa da partícula:
4
4 3
−18 3 10 kg
m = π r ρ ≅ 4 x10 m .
= 4 x10−14 kg
3
3
m
Sua energia cinética antes de atingir o degrau é:
1 2 1
10−4 m 2
−14
mv ≅ x10 kg .
= 2 x10−18 J
2
2
2
s
e este também é o valor de (V0 − E ) . A distância de penetração é:
∆x =

≅
2m(V0 − E )
10−34 J .s
2 x 4 x10−14 kg x 2 x10−18 J
∆x = 2 x10−19 m
Por certo, este valor é muitas ordens de grandeza menor
do que o valor que poderia ser detectado em qualquer medida
possível. Para partículas com massas maiores e energias mais
altas, consideradas tipicamente na mecânica clássica, ∆x é ainda
menor!
152
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Unidade
5
Um elétron de condução se move através de um bloco de
Cu com energia total E , sob influência de um potencial que, em
uma boa aproximação, tem um valor constante zero no interior
do bloco e subitamente cresce até o valor constante V0 > E
fora do bloco. O valor do potencial no interior é basicamente
constante, e pode ser considerado nulo, pois um elétron de
condução dentro do metal praticamente não sofre influência
da força coulombiana total exercida pela distribuição de cargas
aproximadamente uniforme que o cerca. O potencial cresce
muito rapidamente na superfície do metal até o valor exterior
V0 , porque o elétron sofre uma forte atração exercida pela
distribuição de cargas não uniforme presente nesta região. Esta
força tende a atraí-lo de volta ao metal e é, evidentemente, o
que faz com que o elétron de condução fique ligado ao metal.
Devido ao fato do elétron estar ligado, V0 deve ser muito maior
do que a sua energia total E. O valor no exterior do potencial é
constante, se o metal não tiver carga total, pois fora do metal o
elétron não sofreria ação de nenhuma força. Medidas da energia
necessária para removê-lo permanentemente do bloco, ou seja,
medidas de sua função trabalho, mostram que V0 − E = 4eV ,
sendo a massa do elétron m = 9 x10−31 kg . Destes fatos, faça uma
estimativa da distância ∆x que o elétron pode penetrar na região
classicamente proibida fora do bloco.
Solução:
Inicialmente, vamos trabalhar com o sistema mks , de modo
que:
V0 − E = 4eVx
1, 6 x10−19 J
= 6 x10−19 J
1eV
Assim:
∆x =
UESC

2m(V0 − E )
Módulo 8 I
Volume 2
153
Física Moderna
∆x =
10−34 J .s
2 x 9 x10
−31
kg x 6 x10
−19
J
= 10−10 m
Portanto a distância de penetração é da ordem de dimensões
atômicas. Deste modo, o efeito pode ter consequências
importantes para sistemas atômicos!
5 ENERGIA MAIOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU
Vamos agora analisar o caso de uma partícula que incide no
degrau de potencial com energia total maior que a altura do degrau,
isto é, E > V0 , conforme ilustrado na Figura 5.5.
Figura 5.5 – Energia potencial e total para uma partícula incidente sobre um
potencial degrau com energia maior do que a altura do degrau
De acordo com a mecânica clássica, uma partícula se
movendo na região x < 0, no sentido crescente de x , sofrerá uma
fora retardadora F = − dV ( x) / dx no ponto x = 0. No entanto, o
efeito da força aplicada será o de retardar o movimento da partícula,
ou seja, fazer com que a partícula fique mais lenta ao entrar na região
x > 0. Mas, de acordo com a física clássica, a partícula deverá entrar
na região positiva. A energia total da partícula deve permanecer
154
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
constante em todo o processo, no entanto, o momento da partícula
deverá ser alterado em função da força sofrida. Assim, na região
x < 0, o momento da partícula será p1 , onde p1 / 2m = E , e na região
x > 0, o momento será p2 , onde p2 / 2m = E − V0 .
Será que as previsões quânticas são similares às previsões da
mecânica clássica? Será que a partícula conseguirá vencer o potencial
degrau e penetrar na região positiva? Como veremos, a probabilidade
maior é que a partícula realmente penetre na região positiva, mas,
devido às propriedades ondulatórias da partícula, há também uma
probabilidade apreciável dela ser refletida pelo degrau, apesar de
possuir energia suficiente para superá-lo! Este mundo quântico é
mesmo surpreendente, não acha?
Para encontrar a previsão quântica, podemos tratar este
problema exatamente da mesma forma que resolvemos o problema
da seção anterior, ou seja, seguindo os mesmos passos. Portanto
teremos duas equações de Schroedinger independente do tempo:
2
 d ψ ( x)
−
= Eψ ( x )
2m dx 2
x<0
(5.35)
2
 d ψ ( x)
+ V0ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx 2
5
x>0
Unidade
−
(5.36)
Como as equações são idênticas, os resultados também serão
do mesmo tipo, a saber:
ψ ( x ) = Aeik x + Be − ik x
1
x<0
1
(5.37)
onde:
k1 =
UESC
2mE p1
=


Módulo 8 I
Volume 2
155
Física Moderna
E:
ψ ( x ) = Ce + ik x + De − ik x
2
x>0
2
(5.38)
onde:
k2 =
2m(V0 − E )

=
p2

(5.39)
Note que a inversão de sinal no radical de k2 entre (5.39) e a
solução anterior (5.22). A solução obtida agora para a região positiva
de x também é uma solução do tipo oscilatória, ao contrário da
solução exponencial obtida anteriormente (5.23). Assim, podemos
esperar condições diferentes na determinação das constantes C e D.
Você, estudante, poderá conferir a validades destas novas soluções
perfazendo as integrais e substituindo na equação de Schroedinger
independente do tempo.
As autofunções (5.37) e (5.38) já satisfazem as condições de
limitação e unicidade, mas ainda temos que assegurar a continuidade
das soluções, especialmente, no ponto x = 0. Vamos inicialmente
analisar a solução (5.38). Esta solução descreve a propagação de duas
ondas oscilantes na região x > 0, uma se propagando no sentido
positivo e outra no sentido negativo de x. Mas não há nenhuma
razão para termos uma onda se propagando no sentido negativo de
x na região x > 0. Caso a partícula incidente passe para esta região,
ela deverá continuar se propagando no sentido crescente de x, afinal,
não há nada que cause a reflexão da partícula após vencer o degrau de
potencial. Assim, podemos esperar que:
D=0
(5.40)
Já as constantes A, B e C devem ser escolhidas de modo a
assegurar a continuidade da solução e suas derivadas. Deste modo,
temos:
156
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
( )
A eik1x
x =0
(
+ B e − ik1x
)
x =0
(
= C eik2 x
)
x =0
Esta condição nos leva à relação:
A+ B = C
A segunda exigência, desta vez para as derivadas, implica em:
( )
ik1 A eik1x
x =0
(
− ik1 B e − ik1x
)
x =0
(
= ik2C eik2 x
)
x =0
Ou:
k1 ( A − B ) = k2C
O resultado final:
 k −k 
B = A 1 2 
 k1 + k2 
e
 2k1 
C = A

 k1 + k2 
(5.41)
Portanto a autofunção encontrada é:
5
ψ ( x) =
A
2k1 ik2 x
e
k1 + k2
x≤0
Unidade
 k −k 
Aeik1x + A  1 2  e − ik1x
 k1 + k2 
x≥0
(5.42)
Assim como no caso anterior, não precisaremos calcular a
constante A.
Analogamente ao caso anterior, o primeiro termo da equação
5.42, válido para x ≤ 0, corresponde à onda incidente, enquanto o
segundo termo a onda refletida. O termo válido para x ≥ 0 representa
a onda transmitida.
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
157
Física Moderna
A
Figura
5.6
ilustra
o
comportamento
de
*
Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) = ψ ( x, t )ψ ( x, t ) para a função de onda
correspondente à expressão (5.42), especificamente para o caso em
que k1 = 2k2 . No que, para a região x > 0 a função de onda é uma onda
plana, ou seja, amplitude constante se propagando no sentido de x
crescente, o que resulta numa densidade de probabilidade também
constante, vide Figura 5.6. Na região x < 0, a função de onda é
uma combinação de onda incidente se propagando para a direita (x
crescente) e uma onda refletida se propagando para a esquerda ( x
decrescente). No entanto, a amplitude da onda refletida é menor
que a amplitude da onda incidente (repare na expressão 5.42), de
modo que ambas não podem se combinar para formar uma onda
estacionária. Ao invés disso, o resultado é uma onda oscilante, tendo
valores mínimos maiores que zero.
*
Figura 5.6 – A densidade de probabilidade ψ ψ para a autofunção do tipo
(5.42) quando k1 = 2k2 .
*
Da mesma forma que procedemos na seção anterior, podemos
estimar um coeficiente de reflexão R para a partícula e também um
coeficiente de transmissão T, ou seja, a probabilidade da partícula
ser transmitida através do degrau e passar para a região x > 0.
No entanto, os cálculos agora são mais complicados visto que a
velocidade da partícula é diferente em cada região. Deste modo, o
fluxo de probabilidade não é proporcional apenas à amplitude, mas
também à velocidade da partícula em cada região, de modo que:
158
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
*
v1 B* B B* B  k1 − k2   k1 − k2   k1 − k2 
R=
=
=
 
=

v1 A* A A* A  k1 + k2   k1 + k2   k1 + k2 
2
(5.43)
Sendo v1 a velocidade da partícula na região x < 0. Da expressão
(5.43), nota-se que R < 1, mas será sempre R > 0. Deste modo,
conclui-se que a partícula pode sim ser refletida pelo degrau
potencial. Classicamente, uma partícula com energia suficiente para
vencer o degrau nunca seria refletida! Mas no mundo quântico, esta
possibilidade definitivamente existe!
Já o coeficiente de transmissão pode ser estimado em função de
R, sendo:
R = T =1
(5.44)
Substituindo k1 e k2 , obtém-se a expressão final para R e T :
 1 − 1 − V0 / E
R = 1− T = 

 1 + 1 − V0 / E
2
E > V0
(5.45)
Lembrando que o resultado da seção anterior corresponde a:
R = 1− T = 1
E < V0
5




Unidade
(5.46)
Observe que a expressão final de R e T não depende dos parâmetros
k1 nem k2 , ou seja, independe da direção da onda incidente. Se a
partícula incidisse sobre o potencial degrau vindo da região x > 0,
o coeficiente de transmissão seria o mesmo. A única dependência é
mesmo a razão entre a energia total E e a altura do degrau V0 .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Quando um elétron entra em um núcleo, fica sob a influência
de um potencial que cai na superfície nuclear muito rapidamente
de um valor externo constante V = 0 a um valor interno constante
de cerca de V = 50 MeV . A queda no potencial é o que faz com
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
159
Física Moderna
que um nêutron possa estar ligado em um núcleo. Considere um
nêutron incidindo sobre um núcleo com uma energia externa
K = 5MeV , que é típica de um nêutron logo que ele é emitido a
partir de uma fissão nuclear. Faça uma estimativa da probabilidade
de que o nêutron seja refletido na superfície nuclear, ou seja, dele
não conseguir entrar e induzir outra fissão nuclear.
Solução:
Para esta estimativa, podemos supor o potencial nêutronnúcleo como sendo um potencial degrau unidimensional, tal qual
ilustrado na Figura 5A.
Figura 5A – Um nêutron com energia cinética K incide sobre um potencial degrau
decrescente de profundidade V , sendo E a energia total, medida a partir do fundo do
0
potencial.
Devido à propriedade de reciprocidade do coeficiente de
reflexão, podemos calculá-lo a partir da expressão (5.45), usando
V0 = 50 MeV e E = 55MeV , por motivos que podem ser vistos a
partir de uma observação da figura. Assim sendo, temos:
2
 1 − 1 − 50 / 55 
R = 
 = 0, 29
 1 + 1 − 50 / 55 
Esta estimativa dá uma ideia correta da grande importância do
fenômeno da reflexão quando nêutrons de baixa energia colidem
com núcleos. Mas o valor numérico obtido para o coeficiente de
reflexão não é muito preciso, já que o potencial nêutron-núcleo
real não cai tão abruptamente na superfície nuclear quanto um
potencial degrau comparado ao comprimento de onda de De
Broglie.
160
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
6 BARREIRA DE POTENCIAL E O EFEITO TÚNEL
Vamos agora estudar as soluções da equação de Schroedinger
independente do tempo para uma partícula incidindo sobre uma
barreira de potencial, conforme ilustrado na Figura 5.7, cuja
formulação é do tipo:
0< x<a
V0
V ( x) =
0
x < 0 ou x > a
(5.47)
Sendo V0 uma constante.
5
Figura 5.7 – Uma barreira de potencial
Unidade
Segundo a mecânica clássica, uma partícula com energia total E
na região x < 0, que incide cobre a barreira se movendo no sentido
de x crescente, tem probabilidade um de ser refletida, se E < V0 e
probabilidade um de ser transmitida se E > V0 . Como você já deve
estar imaginando, essas previsões não são as mesmas da mecânica
quântica! Vejamos.
As autofunções deste problema já são nossas conhecidas: nas
regiões à direita e à esquerda da barreira. Trata-se de uma partícula
livre, enquanto a região no interior da barreira corresponde às
soluções discutidas na seção anterior, tanto para E < V0 e E > V0 , são
elas:
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
161
Física Moderna
ψ ( x ) = Aeik x + Be − ik x
x<0
ψ ( x ) = Ceik x + De − ik x
x>a
1
1
1
1
ψ ( x ) = Fe − k x + Ge k x
0<x < a
E > V0
ψ ( x ) = Feik x + Ge − ik x
0< x<a
E < V0
2
2
3
3
(5.48)
sendo:
k1 =
2mE
,

k2 =
2m(V0 − E )

,
k3 =
2m( E − V0 )

(5.49)
Assim como na seção anterior, se estamos considerando uma
partícula vinda da esquerda, podemos considerar D = 0. No entanto,
no interior da barreira, é possível que haja uma onda refletida e, assim,
não podemos anular a constante G.
Vamos considerar inicialmente o caso E < V0 . Igualando as
soluções e suas derivadas nos pontos em x = 0 e x = a, é possível
obter o valor de quatro constantes: B, C , F e G em função de A
(exatamente como fizemos nas seções anteriores) e obter a densidade
de probabilidade para a partícula. Esta está ilustrada na Figura 5.8.
Note que, na região x < 0, a função de onda é basicamente uma onda
estacionária, mas também tem uma componente refletida que se
propaga. Assim, nesta região, a densidade de probabilidade oscila, mas
tem valores mínimos diferentes de zero. Na região x > a, a função de
onda é uma onda plana (densidade de probabilidade constante). Na
região interna à barreira 0 < x < a, a função de onda tem componente
dos dois tipos, mas é basicamente uma onda estacionária de amplitude
decrescente exponencialmente.
162
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
Figura 5.8 – Função densidade de probabilidade para um caso de penetração de barreira
Para este exemplo, é possível estimar a razão T entre o fluxo de
probabilidade transmitido através da barreira para a região x > a e o
fluxo de probabilidade incidente sobre a barreira, sendo esta:




v1C *C 
senh 2 k2 a 
= 1+
T=
v1 A* A 
E
E 
 4 1 −  
V0  V0  

−1
E < V0
(5.50)
Em boa aproximação:
T ≅ 16
E
E  −2 k2 a
1 −  e
V0  V0 
5
(5.51)
Unidade
Válido para k2 a  1.
LEMBRETE
A função senh que aparece na expressão (5.51) refere-se à função seno
hiperbólico, uma função que, assim como o cosseno hiperbólico, é definida a
partir de funções exponenciais, sendo:
senh ( x ) =
UESC
e x − e− x
2
e
cosh ( x ) =
Módulo 8 I
e x + e− x
2
Volume 2
163
Física Moderna
São assim chamadas visto que a parametrização de curvas em cosh e
senh originam hipérboles, ao contrário das funções trigonométricas que dão
origem a circunferências.
Imagem 5.2: Funções seno e cosseno hiperbólico.
Apesar de pequeno, T > 0 e, portanto, uma partícula de massa
m e energia total E , incidente sobre uma barreira de potencial de
altura V0 > E e largura a, tem na realidade certa probabilidade T
de penetrar na barreira e aparecer do outro lado! Este fenômeno é
conhecido como penetração de barreira, ou efeito túnel. O processo
de transmissão da partícula é usualmente chamado de tunelamento
quântico!
Vejamos agora o caso E > V0 . Neste caso, a função de onda é
oscilatória nas três regiões, mas com comprimento de onda maior
na região da barreira. De modo análogo, podemos estimar os
coeficientes de transmissão e reflexão da partícula que, neste caso,
164
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
será:




2
*
senh k3 a 
vC C
T = 1 * = 1 +
v1 A A 

EE
 4  − 1 
V0  V0  

−1
E > V0
(5.52)
sendo:
você sabia?

2mV0 a  E
 − 1
2

 V0

Há vários exemplos inte-
(5.53)
ressantes sobre penetração
de barreiras por partículas
microscópicas. Um deles,
muito
Como R = 1 − T , nota-se que há uma probabilidade
não nula da partícula ser refletida, mesmo tendo energia
suficiente para vencer a barreira de potencial.
Nota-se ainda que, em altas energias E >> V0 , o
coeficiente de reflexão (e, consequentemente o de
transmissão) da barreira de potencial oscila, devido às
possíveis interferências entre as reflexões em suas duas
extremidades.
Comparando os resultados, temos que: R → 1,
quando E / V0 → 0 e R → 0, quando E / V0 → ∞. Valores
esperados para o limite de validade da mecânica clássica.
comum
em
nosso
dia a dia, apesar de não
ser reconhecido como tal,
ocorre nas ligações elétricas com fios de alumínio. A
forma usual como que um
eletricista junta dois fios é
torcendo-os em conjunto.
No entanto, há uma camada de óxido de alumínio
entre os dois fios, sendo
este um ótimo material isolante. Mas como a camada
é extremamente fina, os
elétrons se movem através
do fio são capazes de ultrapassar a camada por penetração de barreira.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um elétron incide sobre uma barreira retangular
de altura V0 = 10eV e largura a = 1,8 x10−10 m. Esta
barreira retangular é uma idealização da barreira
encontrada por um elétron espalhado por um átomo
de um gás negativamente ionizado no “plasma” de
um tubo de descarga gasoso. A barreira real não é,
evidentemente, retangular, mas tem aproximadamente
a altura e largura citadas. Calcule o coeficiente de
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
5
k3 a =
2
Unidade
165
Física Moderna
transmissão T e o coeficiente de reflexão R, em função da energia
total do elétron.
Solução:
De acordo com o exercício resolvido na seção anterior, podemos
ver que se E é uma fração apreciável de V0 , a distância de penetração
∆x será comparável à largura da barreira, a. Podemos, portanto,
esperar uma transmissão apreciável através da barreira. Para
determinar quanto vale exatamente esta transmissão, podemos
usar os dados numéricos do problema para estimar, inicialmente, o
fator constante que aparece no radical da expressão (5.53):
−31
−19
−20
2
2mV0 a 2 2 x 9 x10 kg x10eV x1, 6 x10 J / eV x (1,8 ) x10 m
≅
≅9
2
10−68 J 2 .s 2
2
A partir deste cálculo, podemos traçar um gráfico de T , e
também de R = 1 − T , em função de E / V0 . A Figura 5B ilustra
exatamente as curvas obtidas.
Figura 5B – Coeficientes de reflexão R e de transmissão T estimados para uma partícula
2
incidindo sobre uma barreira de potencial de altura V0 e largura a, tal que: 2mV0 a = 9.
2
166
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
Note que T é muito pequeno quando E / V0  1, mas para
E / V0 próximo de um, T não é absolutamente desprezível.
Quando E vale a metade de V0 , de modo que E / V0 ~ 0,5, o
coeficiente de transmissão tem um valor apreciável, T ~ 0, 05,
ou seja, os elétrons podem penetrar na barreira sem muita
dificuldade.
Para a região na qual E / V0 > 1, o coeficiente de transmissão
T é em geral um pouco menor que a unidade, devido às reflexões
nas descontinuidades do potencial.
7 POÇO DE POTENCIAL QUADRADO
V0
V ( x) =
0
UESC
Unidade
5
Os problemas considerados nas seções anteriores tratavam
sempre de potenciais que não são capazes de aprisionar as partículas,
isto é, limitá-las a determinada região do espaço e, por esta razão,
nenhum efeito de quantização de energia foi observado. Lembre-se
da nossa análise no final da Unidade anterior, quando vimos que a
quantização de energia aparece apenas nos caos de potenciais capazes
de aprisionar as partículas. Vejamos agora, de maneira quantitativa,
as previsões para um poço de potencial quadrado, do tipo ilustrado na
Figura 5.9, o qual pode ser descrito como:
a
a
se x < − ou x >
2
2
e−
a
a
<x<
2
2
Módulo 8 I
Volume 2
(5.54)
167
Física Moderna
Figura 5.9 – Poço de potencial quadrado infinito
Vamos considerar o caso em que E < V0 . De acordo com a
física clássica, a partícula neste caso poderia estar somente na região
– a / 2 < x < a / 2, oscilando entre os extremos da região, com módulo
do momento constante e qualquer valor permitido para a energia total
desde que: E ≥ 0.
A análise do poço de potencial é bastante usual na mecânica
quântica, quando se deseja representar uma situação na qual uma
partícula se move em uma região limitada do espaço sob a influência
de forças que a mantém nesta região. Um bom exemplo de aplicação
deste caso seria a representação do potencial que atua sobre um elétron
de condução em um bloco de metal por meio de um poço quadrado.
Neste caso, a profundidade do poço seria de 10eV e sua largura seria
igual à largura do bloco.
A solução geral para a autofunção no caso do poço quadrado é:
ψ ( x ) = Aeik x + Be − ik x
1
1
−
a
a
<x <
2
2
(5.55)
168
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
sendo:
k1 =
2mE

Portanto a autofunção nesta região corresponde a uma mistura
de ondas se propagando nos dois sentidos, cuja combinação resulta
em uma onda estacionária. Neste caso, tem-se que as amplitudes
devem ser iguais: A = B. No entanto, fazendo A = − B também é
possível obter uma onda estacionária. Combinando as duas condições
e expressando a solução (5.55) em termos de senos e cossenos, temse:
ψ ( x, t ) = A' senk1 x + B 'cosk1 x
−
a
a
<x <
2
2
(5.56)
2
x<−
2
a
2
(5.57)
Unidade
ψ ( x ) = Ce k x + De − k x
5
A título de exercício, é deixado para você, estudante, a missão de
conferir a validade da expressão (5.56) enquanto solução da equação
de Schroedinger independente do tempo.
Fora do poço de potencial, a solução é do tipo:
e
ψ ( x ) = Fe k x + Ge − k x
2
x>
2
a
2
(5.58)
sendo:
k2 =
2m(V0 − E )

,
(5.59)
As duas formas em (5.57) e (5.58) descrevem ondas estacionárias na
região fora do poço.
Para que a condição de limitação das autofunções seja assegurada,
podemos de imediato anular as constantes: D = F = 0. Caso contrário as
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
169
Física Moderna
soluções seriam divergentes em x = ±∞. As demais constantes, B’, C , G, e também os valores permitidos para a energia E , podem ser
obtidos por meio das considerações de continuidade das autofunções e
suas derivadas. Perfazendo esta análise, obtém-se a solução final para a
autofunção ψ ( x ) :
a

 k1a  k2 2  k2 x
Asen
e
−

e


 2 


ψ ( x ) = Asenk1 x
x<−
−
a

 k1a  k2 2  − k2 x
Asen
e

e


 2 


a
2
a
a
<x<
2
2
x>
a
2
(5.60)
Desde que a igualdade abaixo seja satisfeita:
mEa 2  mEa 2 
tg 
 = m (V0 − E ) a 2 / 2 2
 2 2 
2 2


(5.61)
Para uma dada partícula de massa m e um dado poço de potencial com
profundidade V0 e largura a, a equação acima contém uma única incógnita:
E. Os valores de E que satisfazem a equação acima são os autovalores
permitidos. Para encontrar os valores de E que satisfazem a equação (5.61),
apenas usando métodos numéricos ou gráficos. Soluções analíticas para os
autovalores En são obtidos apenas para poços com paredes infinitas, que
analisaremos na próxima seção.
As Figuras 5.10 e 5.11 ilustram, respectivamente, os autovalores e as
autofunções correspondentes para os três estados ligados de uma partícula
em um poço de potencial quadrado particular. Qualquer valor da energia
total E maior do que a altura das paredes do poço é permitida. O poço de
potencial quadrado desenhado na Figura não tem um quarto estado ligado,
visto que o próximo valor da energia, E4 , seria muito grande para satisfazer
a condição de ligação E < V0 .
170
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
Unidade
5
Figura 5.10 – Um poço de potencial quadrado e sues três
autovalores dos estados ligados
Figura 5.11 – As três autofunções do poço de potencial
quadrado da Figura 5.10
Note, na Figura 5.11, que uma pequena parte das autofunções ilustradas
se estende às regiões fora do poço, sendo estas regiões classicamente proibidas,
visto que E < V0 . No entanto, observe que, quanto maior é a energia da
partícula em relação ao potencial V0 , menor é a extensão da função nas
regiões classicamente proibidas. Como seria de se esperar!
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
171
Física Moderna
8 POÇO DE POTENCIAL QUADRADO INFINITO
Outro caso interessante de aplicação da mecânica quântica
consiste na análise de um poço de potencial quadrado infinito, ou seja,
um poço de potencial quadrado com paredes infinitamente altas. Este
teria a capacidade de ligar uma partícula para qualquer valor de energia
total finita E ≥ 0. Na mecânica clássica, qualquer valor de energia
seria possível; mas, na mecânica quântica, apenas valores discretos En
são permitidos. Uma partícula que se move sob a influência de um
poço de potencial quadrado infinito PE frequentemente chamada de
partícula numa caixa.
Na região central do poço, a solução geral da equação de
Schroedinger independente do tempo é do tipo:
ψ ( x, t ) = Asenkx + Bcoskx
a
a
<x <
2
2
(5.62)
Sendo:
k=
−
2mE

(5.63)
E, para as demais regiões:
ψ ( x) = 0
x≤−
a
e
2
x≥
a
2
(5.64)
Note que a expressão (5.62) define soluções do tipo onda
estacionária que, combinada com a expressão (5.64), implica que a
onda deverá ter nós nas paredes da caixa. Deste modo:
 ka 
 ka 
Asen   + Bcos   = 0
 2 
 2 
(5.65)
E, analogamente:
 −ka 
 −ka 
Asen 
 + Bcos 
=0
 2 
 2 
172
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
A expressão acima pode também ser expressa como:
 ka 
 ka 
− Asen   + Bcos   = 0
 2 
 2 
Somando (5.65) e (5.66), tem-se:
 ka 
2 Bcos   = 0
 2 
(5.66)
(5.67)
Agora, subtraindo (5.65) e (5.66), tem-se:
 ka 
2 Bsen   = 0
 2 
(5.68)
No entanto, não há nenhum valor de k capaz de fazer sen  ka 
 2 
e cos  ka  simultaneamente nulos! Uma alternativa viável para
 2 
resolvermos o problema seria considerar A = 0 e cos  ka  = 0, ou
 2 
ka
mesmo: B = 0 e sen   = 0. Portanto podemos considerar dois tipos
 2 
de solução, sendo elas:
Primeiro tipo:
onde : cos
ψ ( x ) = Acos kx
onde : sen
ka
=0
2
(5.69)
5
ψ ( x ) = Bcos kx
Unidade
Segundo tipo:
ka
=0
2
(5.70)
Para satisfazer à condição cos( ka / 2) = 0 , o número de onda
angular k deve satisfazer a condição:
ka π 3π 4π
,
,…
= ,
2
2 2 2
E para satisfazer a condição cos( ka / 2) = 0 :
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
173
Física Moderna
ka
= π , 2π ,3π , …
2
Deste modo, as autofunções possíveis são:
ψ n ( x ) = Bn cos kn x
e
onde : kn =
ψ n ( x ) = Ansenkn x
onde : kn =
nπ
a
nπ
a
para : n = 1,3,5, …
para : n = 2, 4, 6, …
(5.71)
Onde o número quântico n foi utilizado para indexar as diferentes
soluções e as autofunções correspondentes. Também utiliza-se o
número quântico n para indexar os autovalores correspondentes, de
modo que, combinando o resultado acima com a expressões (5.63)
para o valor de k :
2mE
k=

De modo que:
 2 kn 2 n 2  2π 2
En =
=
2m
2ma 2
n = 1, 2,3, 4,5, …
(5.72)
Conclui-e, portanto que apenas certos valores de energia são
permitidos, ou seja, a energia total da partícula confinada em uma
caixa é quantizada! A Figura 5.12 ilustra as três primeiras autofunções
de um poço de potencial quadrado infinito. Note que, agora, não é
possível nenhuma penetração da partícula fora dos limites do poço.
Outra característica notável é que a densidade de probabilidade
quântica oscila mais e mais quando n cresce!
Figura 5.12 – As primeiras
autofunções de um poço de
potencial quadrado infinito.
174
Física
EAD
Aplicações da mecânica quântica
A energia do primeiro autovalor para o poço quadrado infinito é
de:
 2π 2
En =
2ma 2
(5.73)
Esta é a chamada energia de ponto zero, sendo esta a menor energia
possível para a partícula. Não é permitido valor nulo para a energia.
Donde, conclui-se que: deve haver uma energia de ponto zero, devido
à existência de um estado mínimo de movimento para a partícula.
Resultado este contrastante com a física clássica, a qual determina que
todo o movimento cessa quando um sistema tem sua energia mínima!
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Obtenha a lei de quantização da energia para o poço de
potencial quadrado infinito, diretamente a partir da relação de
De Broglie p = / hλ , ajustando um número inteiro de meios
comprimentos de onda de De Broglie, à largura a do poço.
Solução:
λ
2
Unidade
n
5
Analisando a Figura 5.12, nota-se que as autofunções do
poço quadrado infinito satisfazem à seguinte relação entre os
comprimentos de onda de De Broglie e a largura do poço:
=a
Isto é, dentro do poço cabe exatamente um número inteiro
de meios comprimentos de onda. Isto significa que:
λ=
2a
n
Assim, segundo De Broglie, os valores correspondentes
do momento da partícula são:
p=
UESC
h
λ
=
hn
2a
Módulo 8 I
Volume 2
175
Física Moderna
Como a energia potencial da partícula é zero dentro do
poço, sua energia total é igual à energia cinética. Assim:
E=
π 22n2
p2
h2n2
=
=
2m 2m 4a 2
2ma 2
n = 1, 2,3, …
Portanto chegamos à relação (5.72). No entanto, este
cálculo trivial só pode ser empregado no caso mais simples de
uma partícula ligada, o caso de um poço de potencial quadrado
infinito. Ele não pode ser aplicado para obter os autovalores ou
autofunções de um potencial mais complicado, como um poço
quadrado finito.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Exercício Resolvido: Antes da descoberta do nêutron,
pensava-se que um núcleo, de número atômico Z e peso atômico
A, fosse composto por Z prótons e ( A − Z ) elétrons, mas havia
sérios problemas relacionados ao valor da energia de ponto zero
para uma partícula tão leve quanto um elétron confinado e uma
região tão pequena quanto um núcleo. Faça uma estimativa da
energia do estado fundamental E.
Solução:
−19
Considerando a massa do elétron m igual a 10 kg e a largura do poço igual a 10−14 m (uma dimensão nuclear típica). Assim, de acordo com (5.72), tem-se:
E1 =
E1 ≅
176
10 x10−68 J 2 s 2
10−9 J
 2π 2
≅
≅
2ma 2 2 x10−30 kg x10−28 m 2
2
10−9 J
1eV
x
~ 109 eV = 103 MeV
−19
2
1, 6 x10 J
Física
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Aplicações da mecânica quântica
Para estimar a energia do estado fundamental, temos
certamente razão em considerar o elétron como se ele estivesse
confinado a um poço quadrado infinito. Também temos razão ao
ignorar o caráter tridimensional do sistema real. Mas o valor de
E obtido acima não pode ser aceito como correto, porque ele é
extremamente grande comparado à energia de repouso do elétron
m0 c 2 = 0,5 MeV . Neste caso particular, é necessário utilizar uma
expressão relativística.
Ambas as equações, λ = 2a / n e p = h / λ , se conservam
válidas no caso relativístico extremo. Assim, se substituirmos
E = p 2 / 2m por E = cp (caso extremo da relação E 2 = c 2 p 2 + m02 c 4 ),
para E  m0 c 2 , tem-se:
E = cp =
ch
λ
=
chn π c
=
≅
2a
a
3x
3 x108 m
x10−34 J .s
1eV
s
≅ 108 eV
x
−14
−19
10 m
1, 6 x10 J
E = 102 MeV
(
)
Unidade
5
Portanto um elétron poderia estar confinado no interior
de um núcleo com este valor para a energia de ponto zero, se o
valor da profundidade do potencial fosse maior do que este valor
da energia de ponto zero. No entanto, há um potencial atuando
sobre o elétron, devido à atração coulombiana da carga positiva
do núcleo, mas o valor do potencial não é suficientemente grande.
É possível estimar este valor fazendo r = 10−14 m, e considerando
Q1 = Ae e Q2 = −e, sendo estas os valores da carga do elétron e do
núcleo. Para um valor típico de A = 100, tem-se:
2
102 x 1, 6 x10−19 C
Q1Q2
Ae 2
1eV
=−
≅ − −10 2
x
~ −107 eV
−19
10
C
4π 0 r
1, 6 x10 J
4π 0 r
.m 2 x10−14 m
N
Q1Q2
= −10 MeV
4π 0 r
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Módulo 8 I
Volume 2
177
Física Moderna
Note que este valor é dez vezes menor do que a energia de
ligação exigida. Assim, um elétron não poderia estar confinado no
interior de um núcleo, devido ao valor da energia de ponto zero
exigido pelo princípio da incerteza.
Em 1932, Chadwick descobriu os nêutrons dando, assim,
o primeiro passo para a descoberta de importantes propriedades
do núcleo atômico.
9 O POTENCIAL DO OSCILADOR HARMÔNICO
SIMPLES
Vamos agora abordar um caso mais realístico de potencial, daquele
definido por funções contínuas, ao invés das funções descontínuas que
consideramos anteriormente. Por sua versatilidade, vamos considerar
um oscilador harmônico simples, V ( x ) ∝ r −2 , o tipo mais comum de
potencial, utilizado para descrever quase todos os sistemas físicos
nos quais um ente esteja executando pequenas vibrações em torno
de um ponto de equilíbrio estável. Este ponto de equilíbrio consiste,
portanto, naquele ponto onde a função potencial V ( x) tem seu valor
mínimo. Por certo, para pequenas vibrações, o mais interessante é
mesmo analisar o comportamento nas proximidades de seu mínimo.
Se escolhermos a origem do sistema de coordenadas do eixo x e
do eixo da energia como estando sobre o mínimo, podemos escrever
a equação do potencial em termos de uma função parabólica tal como:
V ( x) =
C 2
x
2
(5.74)
Onde é uma constante arbitrária. Um potencial deste tipo está
ilustrado na Figura 5.13.
178
Física
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Aplicações da mecânica quântica
Figura 5.13 – Potencial de um oscilador harmônico simples
1
2π
C
m
Unidade
ν=
5
A mecânica clássica prevê para o caso de uma partícula se
movendo sob a ação de uma força restauradora linear, do tipo:
F = − dV ( x) / dx = −Cx, exercida pelo potencial, quando deslocada
de uma distância x0 da sua posição de equilíbrio, deverá oscilar em
movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio,
com a frequência:
(5.75)
Sendo m a massa d partícula. E, ainda segundo a mecânica clássica,
a energia total da partícula é proporcional a x02 e pode ter qualquer
valor.
Já as previsões da mecânica quântica, são bem distintas! Como
você pode imaginar, já que a partícula está limitada a uma extensão
finita, os autovalores obtidos para a equação de Schroedinger
independente do tempo são discretos!
Para simplificação do texto, não discutiremos os detalhes da
solução obtida, apenas a formulação geral das autofunções, sendo
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
179
Física Moderna
estas do tipo:
ψ n ( x ) = An e
−
u2
2
H n (u )
(5.76)
Onde H n são os chamados polinômios de Hermite, e a variável u se
correlaciona com a variável x por meio da relação:
1
( Cm ) 4
u=

1
2
x
Os autovalores permitidos para o potencial do oscilador harmônico
simples, expresso em termos de sua frequência de oscilação clássica ν ,
são:
1

En =  n +  hν
2

n = 0,1, 2,3, ….
(5.77)
Portanto de acordo com a expressão acima, a energia de ponto
zero do oscilador é E0 = hν / 2. A Figura 5.14 apresenta os primeiros
autovalores do potencial do oscilador harmônico simples.
Figura 5.14 – Os primeiros autovalores do potencial do
oscilador harmônico simples
Repare que há uma discrepância entre o resultado expresso
em (5.77) e o postulado de Planck, já notou? O fator: +1 / 2. Isto
quer dizer que a quantização da energia, postulada por Planck, para
o oscilador harmônico simples, na verdade continha um erro! A
diferença é exatamente a constante aditiva hν / 2. No entanto, esta
180
Física
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Aplicações da mecânica quântica
constante se cancela na maior parte dos problemas, de modo que as
diferenças envolvidas são anuladas e não há nenhum efeito sobre as
frequências dos fótons!
10 CONSIDERAÇÕES FINAIS
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
Unidade
5
Nesta Unidade, nós estudamos as principais previsões da
mecânica quântica para um sistema unidimensional. Vimos como as
previsões quânticas podem diferir das previsões clássicas, revelando
possibilidades a princípio inimagináveis. Apesar dos muitos
questionamentos e oposição, a mecânica quântica é hoje uma das
mais importantes e bem sucedidas teorias científicas. Como prova
desta afirmação, está o fato de que a maior parte dos laureados com o
prêmio Nobel de Física no século XX corresponde a trabalhos teóricos
e experimentais na área de física quântica. Por certo que o avanço
científico alcançado nesta área possibilitou o desenvolvimento de
muitos dispositivos eletrônicos que operam na escala dos fenômenos
quânticos, a exemplo das ferramentas de nanotecnologia. Aplicações
de conceitos quânticos se estendem desde a medicina à informática.
Lasers, semicondutores, equipamentos de ressonância magnética
e microscópio eletrônico são apenas algumas, dentre muitas outras
aplicações. Atualmente, muito esforço vem sendo realizado na
investigação das manipulações quânticas, a fim de desenvolver um
sistema de criptografia quântica, conceito por trás do funcionamento
de computadores quânticos. Assim, por meio da mecânica quântica,
o mundo do microcosmo se revela, a cada dia, mais e mais instigante
e convidativo.
Não obstante ao sucesso alcançado pela física quântica, a teoria
da relatividade também se consagrou no século XX como a principal
ferramenta descritiva do macrocosmo. Os resultados obtidos nas
últimas décadas abriram novas perspectivas de investigação nas áreas de
cosmologia e astrofísica, lançando um olhar profundo sobre a evolução
e dinâmica do Universo em que vivemos, bem como a compreensão
181
Física Moderna
dos processos da natureza. Deste modo, apoiado pelas concepções da
física moderna e o desafio de desvendar todo o Universo, o século XX
marcou a história da ciência como o início de uma nova era, a era da
ciência moderna!
RESUMINDO
• Estudamos as propriedades de alguns sistemas quânticos,
por meio da solução da equação de Schroedinger para
diferentes condições de energia.
• Obtivemos as funções densidade de probabilidade
correspondentes e analisamos as características básicas de
cada sistema.
• Analisamos a maioria das previsões importantes da mecânica
quântica que envolve uma partícula se movendo em um
potencial unidimensional e vimos como estas previsões
podem diferir das previsões clássicas.
A seguir, o resumo dos sistemas estudados e suas
características:
182
Física
EAD
Unidade
5
Aplicações da mecânica quântica
UESC
Módulo 8 I
Volume 2
183
Física Moderna
ATIVIDADES
1- O que é efeito túnel? Explique
2- Explique o efeito de penetração na região proibida para um
potencial degrau.
3-
Descreva a previsão quântica para um poço de potencial
quadrado finito.
4- Qual é a diferença entre as previsões clássica e quântica para o
potencial de um oscilador harmônico simples?
5- Revise todos os exercícios resolvidos nesta unidade.
REFERÊNCIAS
EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica, Átomos,
Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio de Janeiro:
Editora Campus, 1988.
LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do átomo
pré-socrático às partículas elementares. 3. ed. Rio de Janeiro:
Editora UFRJ, 2005.
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Aplicações da mecânica quântica
Suas anotações
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Unidade
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