VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
GEOMETRIA PLANA (1a parte)
Obs.: Dois segmentos de medidas iguais são
chamados de congruentes.
1.0 INTRODUÇÃO
Na geometria, os conceitos de ponto, reta e
plano são denominados de primitivos e por isso
são aceitos sem definição.
O ponto é representado por uma letra maiúscula
do nosso alfabeto enquanto a reta por uma letra
minúscula. Já o plano é denotado por uma letra
grega minúscula.
Ponto
A
B
 Coplanares: são aqueles contidos no
mesmo plano.
 Colineares: são aqueles contidos na
mesma reta.
C
 Consecutivos: São aqueles
possuem extremidade em comum.
r
Reta
2.3 Tipos de segmentos
que
s
 Adjacentes: São dois segmentos
colineares e consecutivos com um único
ponto em comum.
Plano
2.0 RETA
Teste de sala
Levando-se em consideração o axioma: “Por
dois pontos distintos (não-coincidentes) A e
B, passa uma única reta” podemos
representar essa reta pelo símbolo AB .
A
B
01. Sejam os segmentos AD, AC e BD indicados
na figura, cujas medidas são AD = 20, AC =
12 e BD = 10.
Qual a medida de BC?
A
B
C
D
2.1 Semirreta
Qualquer ponto pertencente a uma reta
determina sobre a mesma duas semirretas.
A
A
que AB = 8 E BC = 12.
Determine MC , sendo M um ponto situado
A
B
02. Os pontos A, B e C são colineares. Sabe-se
entre B e C tal que AM
B’
AB ; lê-se “semirreta AB”
A
B
BM
2MC .
C
2.2 Segmento de reta
Dados dois pontos distintos A e B de uma reta,
chama-se de segmento de reta AB, e denota-se
por AB , a união dos pontos A e B com todos os
pontos da reta que estão entre A e B.
A
03. Três pontos distintos de uma reta quantos
segmentos distintos podemos formar?
B
1
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
Obtuso: 90º
180º
3.0 ÂNGULOS
3.1 Definição
É qualquer uma das duas reuniões do plano
limitadas por duas semirretas de mesma
Raso ou meia-volta
= 180º
origem. AÔB = .
A
Quanto à soma:
O
Complementares: quando a soma dos dois é
igual a 90º.
B
3.2 Unidade de medidas
Suplementares: quando a soma dos dois é
igual a 180º.
a) Grau:
Replementares: quando a soma dos dois é
igual a 360º.
b) Radiano
Anotações:
Obs.: Existe também o grado que consiste em
dividir a circunferência em 400 partes, porém
não é importante para o nosso trabalho.
Existe uma proporção para a transformação de
grau para radianos:
Um ângulo –
O dobro de um ângulo –
O triplo de um ângulo –
A metade de um ângulo –
A terça parte de um ângulo
180º
A soma de dois ângulos –
X
daí, X =
O oposto de um ângulo –
O inverso de um ângulo –
180º
A soma dos inversos de dois ângulos –
O inverso da soma de dois ângulos –
3.3 Tipos de Ângulos
O complemento de um ângulo –
Quanto à abertura:
O suplemento de um ângulo –
O replemento de um ângulo –
Agudo: 0º
90º
O complemento do dobro de um ângulo –
O dobro do complemento de um ângulo –
O triplo do complemento do dobro de um ângulo –
O complemento do suplemento de um ângulo –
Reta:
= 90º
2
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
Teste de sala
3.4 Bissetriz
01. Dois ângulos são complementares tais que
o triplo de um deles é igual ao dobro do
outro. Calcule o suplemento do menor:
É a semirreta que divide um ângulo em duas
partes congruentes entre si.
A
O
B
Teste de sala
02. O dobro do complemento de um ângulo é
igual à terça parte do suplemento do
mesmo. Calcule a medida desse ângulo.

01. Considere os ângulos adjacentes AOB e

BOC . Se o segundo é o dobro do primeiro
e o ângulo formado pelas bissetrizes dos
ângulos dados mede 45º, calcule a medida


de AOB e BOC .
03. Dois ângulos são suplementares e a razão
entre o complemento de um e o suplemento
do outro, nessa ordem é
1
. Determine
8
3.5 Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)
esses ângulos.
São ângulos que tem como lados retas
concorrentes.
=
04. O suplemento do complemento de um ângulo
é igual ao quíntuplo desse ângulo. Qual a
medida desse ângulo?
3.6 Ângulos de duas retas paralelas
cortadas por uma transversal
b
c
f
g
a
d
e
h
3
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
internos
02. Determine a medida de x de acordo com a
figura a seguir.
Ângulos alternos
r//s
externos
r
30º
100º
x
20º
internos
s
Ângulos colaterais
externos
Correspondentes
Conclusão:
03. Calcule x na figura:
Teste de sala
= 110º
01. Calcule o valor de x de acordo com a figura
a seguir.
x
r
r//s
A
3x - 28
B
2x + 17
C
s
40º
4
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
4.0 TRIÂNGULOS
4.4 Classificação dos triângulos
4.1 Definição
Quanto aos lados:
A reunião de três pontos A, B, C não colineares
é chamada de triângulo.
A
B
Triângulo escaleno é aquele que não possui
dois lados congruentes.
C
4.2 Elementos
Obs:
A
Triângulo isósceles é aquele que possui dois
lados congruentes.
C
B
Vértices: A, B e C
Lados : AB, AC e BC
Ângulos internos: a, b, e c
Ângulos externos: , e
Atenção:
Soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre 180º
a + b + c = 180º
Obs:
Em todo triângulo, a medida de um
ângulo externo é igual à soma das
medidas dos dois ângulos internos
não adjacentes a ele.
Triângulo equilátero é aquele que possui três
lados congruentes.
4.3 Segmentos notáveis
r
A
Obs:
B
x
x
H
M
C
AH altura relativa ao lado BC
AM mediana relativa ao lado BC

r bissetriz do ângulo ABC
5
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
Quanto aos ângulos:
b) 5, 6 e 6
Triângulo acutângulo é aquele que possui três
ângulos internos agudos.
c) 3, 5 e 6
Triângulo retângulo é aquele que possui um
ângulo interno reto.
Triângulo obtusângulo é aquele que possui
um ângulo interno obtuso.
03. Analise as alternativas e classifique em
verdade ou falso:
( ) Existe triângulo retângulo isósceles.
( ) Existe triângulo obtusângulo equilátero.
( ) Todo triângulo equilátero é acutângulo.
( ) Não existe triângulo acutângulo escaleno.
( ) 3, 7, 9, são medidas dos lados de um
triângulo.
( ) 3, 7, 12, são medidas de triângulo
escaleno.
( ) Se 8 e 10 são medidas de dois lados de
um triângulo, então a medida do
terceiro x lado é, tal que 2 x 18.
Obs.:
Teste de sala
01. Na figura seguinte, sabe-se que AB = AC =
CD e AD = BD.
Determine
A
B
4.5 Semelhança de triângulo

Teorema de tales: Se um feixe de
retas paralelas é cortado por
transversais, então os segmentos
encontrados são proporcionais.
C
A’
A
D
B’
B
02. Classifique, se possível, quanto aos lados e
quanto aos ângulos.
a) 3, 4 e 5
r
s
C’ t
C
r//s//t
AB
A' B'
BC
B' C '
AC
A' C '
6
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
Teste de sala
02. A área do retângulo DEFB é:
01. Calcule x na figura, sabendo r//s//t.
r
x+6
x
s
3
4
t
a) 120
b) 24 c) 20 d) 160 e) 180
4.6 Relações métricas no
triangulo retângulo
02. Calcule 3x – 2y, sendo r//s//t.
r
x
24
2
s
3
18
y
t
 Dois triângulos são semelhantes
se possuem ângulos congruentes.
Vale lembrar que se dois ângulos
forem congruentes, o 3o também
será.
Demonstração em sala:
Teste de sala
01. Na figura abaixo, AC = 5, BC = 6 e DE = 3.
A área do triângulo ADE é:
a)
15
8
b)
15
4
c)
15
2
d) 10
e) 15
7
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
4.7 Aplicações do teorema de Pitágoras
Teste de sala
01. Calcule a altura de um triângulo equilátero
de lado igual a 10cm.
Diagonal do quadrado
Seja ABCD um quadrado de lado L.
D
L
A
02. Determine o perímetro de um quadrado cuja
diagonal mede 12cm.
B
L
d
L
C
L
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, obtém-se:
L2 + L2 = d2
daí:
d=L
Altura de triângulo equilátero
Seja ABC um triângulo equilátero de lado L.
A
h
03. Determine o valor de x no trapézio abaixo:
C
x
H
B
x
8
32
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABH, obtém-se:
L2 +(L/2)2 = h2
daí:
h=L
8
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
Teste de casa
01. Na figura, BM é bissetriz de B̂ . O valor do
ângulo y é
a)
b)
c)
d)
114º.
32º.
66º.
124º.
04. Na figura, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A
medida em graus, do ângulo 3 é:
a)
b)
c)
d)
e)
90º
45º
55º
110º
100º
05. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
02. O relógio ao lado está marcando 2h30min.
Passadas duas horas e quinze minutos, a
medida do menor ângulo formado pelos
ponteiros do relógio será:
A medida do ângulo y, em graus é
a)
b)
c)
d)
127,5º
105º
112,5º
120º
03. Na ilustração a seguir, ABCD é um
quadrado, M e N são os pontos médios e
respectivos dos lados AB e CD, e G e H
pertencem à circunferência com centro em
M e raio MN.
a)
b)
c)
d)
e)
06. Duas retas cortadas por uma transversal,
formam ângulos alternos externos expressos
em graus pelas equações 3x 18 e 5x 10 . O
valor de x de modo que estas retas sejam
paralelas é:
a)
b)
c)
d)
e)
Qual a medida do ângulo GMN?
a)
b)
c)
d)
e)
33º
32º
31º
30º
29º
90°.
60°.
100°.
70°.
80°.
4
5
8
10
12
07. Na figura abaixo o ângulo x, em graus, pertence
ao intervalo
9
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
a)
b)
c)
d)
(0º, 15º)
(15º, 20º)
(20º, 25º)
(25º, 30º)
08. Na figura abaixo têm-se as retas r e s,
paralelas entre si, e os ângulos assinalados,
em graus.
r
30°
70°
Nessas condições,
a)
b)
c)
d)
e)
+
12. Dois navios partiram ao mesmo tempo de
um mesmo porto, seguindo em direções
perpendiculares; um deles navegando à
velocidade constante de 24 km h e o outro à
velocidade constante de 32 km h . Após 45
minutos, a distância entre esses dois navios,
em quilômetros, era aproximadamente igual
a:
a)
b)
c)
d)
25
30
40
45
s
é igual a
50°
70°
100°
110°
130°
13. Na figura abaixo, ABD e BCD são triângulos
retângulos isósceles. Se AD = 4, qual é o
comprimento de DC?
09. O dobro da medida do complemento de um
ângulo aumentado de 40o é igual à medida
do seu complemento. Qual a medida do
ângulo?
10. Um triângulo retângulo tem área 6cm2 e
perímetro 12cm. Quanto mede a hipotenusa?
11. Um antigo problema chinês:
No alto de um bambu vertical está presa
uma corda. A parte da corda em contato
com o solo mede 3 chih (uma antiga
unidade de medida usada na China).
Quando a corda é esticada, sua
extremidade toca o solo a uma distância de
8 chih do pé do bambu.
a) 4
b) 6
c) 7
d) 8
e)
2
8 2
14. Uma criança brinca em um balanço feito
com uma corda de 2 metros de
comprimento. Por razões de segurança, sua
mãe a proibiu de balançar atingindo uma
altura superior a 2 metros do solo. O ângulo
máximo que ela pode atingir é de
O comprimento do bambu é, aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
8,6 chih.
9,2 chih.
9,8 chih.
10,5 chih.
11,3 chih.
a)
b)
c)
d)
e)
= 60º
= 30º
= 45º
= 15º
= 90º
10
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
15. Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo
em B. O cosseno do ângulo BÂC é:
18. O teorema de Pitágoras é um dos mais
importantes de toda a Geometria. O seu
conhecimento é a chave da resolução desta
questão.
Seja ABCDE um polígono de 5 lados, como
mostra a figura baixo:
D
C
a)
b)
c)
d)
e)
12
13
11
13
10
13
6
13
1
13
B
A
16. Na figura abaixo tem-se um trapézio, com as
medidas dos lados dadas em centímetros.
10
13
15
24
a) Determine o comprimento das diagonais
BE e CE.
b) Qual o perímetro do polígono ABCDE?
19. A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma pessoa para ir do ponto X ao
ponto Y, caminhando em um terreno plano e
sem obstáculos. Se ela tivesse usado o
caminho mais curto para ir de X a Y, teria
percorrido
A altura desse trapézio, em centímetros, é
igual a
a)
b)
c)
d)
e)
.
5m
.Y
6m
.
12
11
10
9
8
.
9m
X
17. Considere a figura, formada por dois
triângulos retângulos justapostos. O valor
de y é:
.
9
12
x
.
y
17
a)
b)
c)
d)
e)
E
a)
b)
c)
d)
e)
.
.
20 m
15 m
16 m
17 m
18 m
19 m
20. A geometria métrica, através de suas relações,
proporciona que possamos descobrir medidas
desconhecidas.
Usando as relações convenientes, é correto
afirmar que o perímetro do triângulo ABC,
abaixo, equivale a
8
12
13
15
18
11
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
23. O valor de x, na figura abaixo, é
a)
b)
c)
d)
e)
24 cm.
34 cm.
35 cm.
48 cm.
45 cm.
21. Sob duas ruas paralelas de uma cidade
serão construídos, a partir das estações A e
B, passando pelas estações C e D, dois
túneis retilíneos, que se encontrarão na
estação X, conforme ilustra a figura abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
24.
13.
5.
8.
10.
24. Sejam ABC e FGH dois triângulos semelhantes de tal modo que suas bases AB e
FG medem, respectivamente, 1cm e 3cm.
Se a área do menor é igual a 8 cm2,
podemos afirmar que a área do maior é:
a) 24 cm2
b)
8 2
cm
3
c) 9 cm2
d) 72 cm2
e)
1
cm 2
9
25. Calcule a distância entre os pontos A e E da
figura abaixo, onde BD 10 cm , AB 2 cm e
A distância entre as estações A e C é de 1
km e entre as estações B e D, de 1,5 km.
Em cada um dos túneis são perfurados 12 m
por dia. Sabendo que o túnel 1 demandará
250 dias para ser construído e que os túneis
deverão se encontrar em X, no mesmo dia,
é CORRETO afirmar que o número de dias
que a construção do túnel 2 deverá
anteceder à do túnel 1 é:
a)
b)
c)
d)
e)
135
145
125
105
115
22. A medida da altura de um triângulo
eqüilátero cujo lado mede 2 3 cm é igual a:
a)
3
cm
2
b) 1cm
c) 2cm
d) 3cm
e) 3 cm
DE 8 cm .
26. Em um triângulo, dois lados medem, respectivamente, 5 e 8. O menor valor inteiro
possível para a medida do terceiro lado é:
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
5
12
n.d.a
27. Se dois lados de um triângulo medem,
respectivamente, 3 dm e 4 dm, podemos
afirmar que a medida do terceiro lado é:
a) igual a 5 dm
b) igual a 1 dm
12
VESTIBULAR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Módulo II
VILAS
c) igual a 7 dm
d) menor que 7 dm
e) maior que 7 dm
28. Determine um ângulo sabendo que o seu
suplemento excede o próprio ângulo em 70º.
a)
b)
c)
d)
e)
cairá na caçapa A.
cairá na caçapa B.
cairá na caçapa C.
cairá na caçapa D.
não cairá em nenhuma caçapa.
29. O suplemento do triplo do complemento da
metade de um ângulo é igual ao triplo do
complemento desse ângulo. Determine o
ângulo.
30. O suplemento do complemento de um
ângulo excede a
terça
parte do
complemento do dobro desse ângulo em
85º. Determine o ângulo.
Na figura, as retas r e s são paralelas.
Com base nessa informação, pode-se
concluir que o ângulo
mede, em graus,
01) 80
02) 90
03) 100
04) 110
05) 130
32. Para alcançar, durante a construção, o 1o
andar de um edifício foi colocada uma
rampa de 6 m de comprimento. Qual era a
altura do piso do 1o andar se o ângulo
formado entre a rampa e o solo era 30º?
33. A figura abaixo mostra a trajetória de uma
bola de bilhar. Sabe-se que, quando ela
bate na lateral da mesa (retangular), forma
um ângulo de chegada que sempre é igual
ao ângulo de saída. A bola foi lançada da
caçapa A, formando um ângulo de 45º com
o lado AD.
Sabendo-se que o lado AB mede 2 unidades
e BC mede 3 unidades, a bola
13