Resolução de atividades Capítulo 5
Módulo 1: Triângulos
Página
132
Atividades para classe
2 Classifique os triângulos abaixo quanto à medida
dos lados.
a)
1 Classifique os triângulos abaixo quanto à medida
dos ângulos internos.
a)
Isósceles: tem dois lados congruentes.
b)
70°
60°
50°
Acutângulo: tem os três ângulos agudos
(50° , 60° , 70° , 90°).
b)
Escaleno: não tem lados congruentes.
c)
40°
20°
120°
Obtusângulo: tem um ângulo obtuso (120° . 90°)
e dois ângulos agudos (20° , 40° , 90°).
c)
Retângulo: tem um ângulo reto e dois agudos.
d)
Equilátero: tem os três lados congruentes.
d)
Isósceles: tem dois lados congruentes.
3 Verifique se é possível existirem triângulos com as
seguintes medidas de lado.
Para que um triângulo exista é necessário que o maior
lado não exceda a soma dos outros dois lados.
a) 17 cm, 12 cm e 8 cm
Retângulo: tem um ângulo reto e dois agudos.
e)
17 , 12 1 8 V 17 , 20 V O triângulo existe.
b) 5 cm, 1 cm e 3 cm
5 . 1 1 3 V 5 . 4 V O triângulo não existe.
c) 8 cm, 3 cm e 5 cm
70°
8 5 3 1 5 V 8 5 8 V O triângulo não existe.
d)1,8 m, 1,65 m e 2,03 m
65°
45°
Acutângulo: tem os três ângulos agudos
(45° , 65° , 70° , 90°).
2,03 , 1,65 1 1,8 V 2,03 , 2,45 V
V O triângulo existe.
4 Identifique a reta ou segmento destacado em cada
triângulo a seguir.
a)
c)
f)
30°
125°
25°
Obtusângulo: tem um ângulo obtuso (125° . 90°)
e dois ângulos agudos (25° , 30° , 90°).
mediatriz
bissetriz
107
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Resolução de atividades Capítulo 5
b) 8 Determine em seu caderno o valor de x indicado
nos triângulos.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo
é 180°, tem-se:
a)
d)
4x
altura
mediana
x
5 O perímetro de um triângulo isósceles é igual a
72 cm e cada um dos lados congruentes excede
a base em 3 cm. Determine as medidas dos lados
desse triângulo.
Seja x a base do triângulo. Então cada um dos outros lados mede x 1 3. Se o perímetro é 72 cm, temse x 1 (x 1 3) 1 (x 1 3) 5 72 V 3x 1 6 5 72 V
V 3x 5 72 2 6 V 3x 5 66 V
66
V x 5 ​ ___ ​ V x 5 22. Logo, a base mede 22 cm e cada
3
um dos lados mede 25 cm.
6 Qual é o maior número inteiro que pode representar, em centímetros, a medida de um lado de um
triângulo, sabendo que os outros dois lados têm
comprimento 3 cm e 9 cm?
Como a medida do maior lado de um triângulo não
pode exceder a soma das medidas dos outros dois,
tem-se a seguinte condição: x , 3 1 9 V x , 12.
Logo o maior número inteiro que pode representar
a medida do lado desse triângulo é 11.
20°
b)
88°
x
___
    é a mediatriz relativa ao
7 No triângulo
abaixo, ​AB​
____
.
lado ​MN​ 
A
20° 1 4x 1 x 5 180° V 20° 1 5x 5 180° V
160o
V 5x 5 180° 2 20° V 5x 5 160° V x 5 ​ ____
 
 
 ​ V
5
V x 5 32°
x
88° 1 x 1 x 5 180° V 2x 1 88° 5 180° V
92o
 ​ V
V 2x 5 180° 2 88° V 2x 5 92° V x 5 ​ ____
  
2
V x 5 46°
9 Determine as medidas dos ângulos x, y e z indicadas
___
no
___triângulo abaixo, sabendo que as semirretas ​​AP​  e ​​
CK​  são bissetrizes.
A
12
12
x
K
O
M
6
B
20°
N
a) Qual é o segmento
____ que corresponde à altura relativa ao lado ​MN​ do triângulo AMN?
y
z
110°
C
P
B
___
Segmento AB​
​ ,  pois ele é o segmento que une o
lado perpendicularmente ao vértice oposto, A.

b) Qual é a medida do ângulo A​B​
   N?
___
90°, pois o segmento
​  representa a altura reAB​
___
ferente ao lado ​MN​
 
, de modo que esse segmento
___
é perpendicular a MN​
​  
.
c) Qual é o perímetro do triângulo AMN?
___
___
Se ___
o segmento AB​
​  é a mediatriz de ​MN​ 
, ele divide MN​
​  à metade, de forma que BN 5 6. Portanto
o triângulo AMN é equilátero, e seu perímetro é
p 5 12 1 12 1 12 5 36.
___
P
Se ​​AP​  é bissetriz, C​ A​
  5 x. Da mesma forma, se
___
C​
   P 5 20°.
​CK​  é bissetriz, K​
Então, no triângulo APC tem-se
20° 1 20° 1 110° 1 x 5 180° V
V x 5 180° 2 150° V x 5 30°.
No triângulo COP & 20° 1 110° 1 y 5 180° V
V y 5 180° 2 130° V y 5 50°.
No triângulo ABC & 20° 1 20° 1 30° 1 30° 1 z 5
5 180° V z 5 180° 2 100° V z 5 80°.
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Resolução de atividades Capítulo 5
Página
133
Atividades para casa
b)
14 cm
10 cm
10 Classifique os triângulos abaixo quanto à medida
dos ângulos internos e dos lados.
a)
x
130°
Se o perímetro é 36 cm, então
10 1 14 1 x 5 36 V 24 1 x 5 36 V
Obtusângulo isósceles, pois possui um ângulo obtuso e dois lados congruentes.
V x 5 36 2 24 V x 5 12 cm.
c)
b)
x
Retângulo isósceles, pois possui um ângulo reto e
dois lados congruentes.
10 cm
c)
O triângulo é isósceles, então o outro lado também mede x. Se o perímetro é 36 cm, então
x 1 x 1 10 5 36 V 2x 5 36 2 10 V 2x 5 26 V
26
V x 5 ​ ___ ​ V x 5 13 cm.
2
d)
x 1 5 cm
Acutângulo isósceles, pois possui um ângulo agudo e dois lados congruentes.
d)
3x 1 4 cm
123°
Obtusângulo escaleno, pois possui um ângulo obtuso e os três lados de medidas diferentes.
2x 1 3 cm
Se o perímetro é 36 cm, então
x 1 5 1 2x 1 3 1 3x 1 4 5 36 V
V 6x 1 12 5 36 V 6x 5 36 2 12 V
24
V 6x 5 24 V x 5 ​ ___ ​ V x 5 4 cm.
6
12 Determine em seu caderno os valores de x e de y
nos triângulos equiláteros.
Sabendo que os três lados têm medidas iguais,
tem-se
a)
11 Nos itens abaixo, o perímetro de cada triângulo
é igual a 36 cm. Determine o valor de x em cada
caso.
2y 1 1
a)
55 2 2x
x1y
x
O triângulo é equilátero, logo todos os lados medem
x. Se o perímetro é 36 cm, então x 1 x 1 x 5 36 V
36
V 3x 5 36 V x 5 ​ ___ ​ V x 5 12 cm.
3
x 1 y 5 2y 1 1 V x 5 2y 1 1 2 y V x 5 y 1 1 (I)
55 2 2x 5 2y 1 1 (II)
Substituindo (I) em (II) tem-se 55 2 2 · (y 1 1) 5
5 2y 1 1 V 55 2 2y 2 2 5 2y 1 1 V
52
V 53 2 1 5 4y V 4y 5 52 V y 5 ​ ___ ​ V y 5 13.
4
Voltando em (I) & x 5 y 1 1 5 13 1 1 V x 5 14.
Portanto, x 5 14 e y 5 13.
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Resolução de atividades Capítulo 5
28
29 2 2x 5 2x 1 1 V 4x 5 28 V x 5 ___
​   ​ V x 5 7
4
p 5 15 1 15 1 9 5 39
b)
3x 1 14
c)
2y 2 x
B
2x 2 6
x12
y 1 10
2y 2 x 5 y 1 10 V 2y 2 y 2 10 5 x V
V y 2 10 5 x (I)
A
Substituindo (I) tem-se 3x 1 14 5 y 1 10 V
V 3 · (y 2 10) 1 14 5 y 1 10 V
V 3y 2 30 1 14 5 y 1 10 V 3y 2 16 5 y 1 10 V
V 3y 2 y 5 16 1 10 V 2y 5 26 V
26
V y 5 ​ ___ ​ V y 5 13.
3
Voltando em (I) & x 5 y 2 10 5 13 2 10 5 3. Portanto, x 5 3 e y 5 13.
A​ de
 
13 As semirreta representadas dividem o ângulo ​ 
cada triângulo em partes iguais. Identifique qual
semirreta é a bissetriz do ângulo ​ 
A​ em
 
cada caso.
Verifica-se por simetria qual semirreta divide o ângulo ao meio.
___
a)​AC​ 
A
___
c)​AN​ 
B
C
D
A
M
___
b)​AD​ 
N
O
___
B
C
D
E
F
F GH I J K L M N O PQ R S T
___
14 Os triângulos abaixo são isósceles de base ​BC​ . Cal­
cule o perímetro de cada triângulo.
___
___
Se os triângulos são isósceles, AB​
​  5 AC​
​  .
A
a)
x 1 10
B
3x 2 10
14
C
x 1 10 5 3x 2 10 V 3x 2 x 5 20 V 2x 5 20 V
20
V x 5 ___
​   ​ V x 5 10
2
Logo um lado mede x 1 10 5 20, e o outro também, visto que o triângulo é isósceles.
Calculando o perímetro, p 5 20 1 20 1 14 5 54.
b)
C
29 2 2x
A
9
2x 1 1
B
C
x 1 2 5 38 2 x V x 1 x 5 38 2 2 V 2x 5 36 V
36
V x 5 ​ ___ ​ V x 5 18
2
Logo um lado mede x 1 2 5 20, outro mede
38 2 x 5 20, e o terceiro mede 2x 2 6 5 30.
Calculando o perímetro, p 5 20 1 20 1 30 5 70.
15 Qual o valor de x indicado na figura?
2x 2 1
6x 2 80
x15
O ângulo interno que está faltando no triângulo é o
suplementar do externo, ou seja, o ângulo interno
vale 180 2 (6x 2 80). Então
2x 2 1 1 x 1 5 1 180 2 (6x 2 80) 5 180° V
V 2x 2 1 1 x 1 5 1 180 2 6x 1 80 5 180° V
84
V 23x 5 284 V x 5 ​ ___ ​ V x 5 28.
3
16 Responda às questões em seu caderno.
a)Se o perímetro de um triângulo equilátero é
108 cm, qual a medida de cada lado?
Se o triângulo é equilátero cada lado vale um terço do perímetro, ou seja, 108 ; 3 5 36 cm.
d)​AM​  A
A
38 2 x
b) Se o lado de um triângulo equilátero é 16 cm, qual é
o seu perímetro?
O perímetro é 3 ? 16 5 48 cm.
c) O perímetro de um triângulo isósceles é igual
a 67 cm e a medida de cada um dos lados con­
gruentes excede a da base em 8 cm. Qual a me­
dida de cada lado?
Seja x a medida da base, de modo que a medida de cada um dos outros lados é x 1 8. Então
(x 1 8) 1 (x 1 8) 1 x 5 67 V 3x 1 16 5 67 V
V 3x 5 67 2 16 V 3x 5 51 V
51
V x 5 ​ ___ ​ V x 5 17.
3
As medidas dos lados são: 17 cm, 25 cm (17 1 8)
e 25 cm (17 1 8).
d)A base de um triângulo isósceles excede cada
um dos lados congruentes em 11 cm. Sabendo que
seu perímetro vale 74 cm, quais são as medidas
dos lados desse triângulo?
Seja x a medida de cada um dos lados congruentes, de modo que a medida da base é x 1 11.
Então (x 1 11) 1 x 1 x 5 74 V 3x 5 74 2 11 V
63
V 3x 5 63 V x 5 ​ ___ ​ V x 5 21.
3
A base mede 21 1 11 5 32 cm e cada um dos outros lados mede 21 cm.
110
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Resolução de atividades Capítulo 5
17 Encontre a medida dos ângulos x e y___
do triân­gulo
___

equilátero abaixo, sabendo que ​​BN​  e ​​CM​  são bisse­
f)
B​ e 
C​
​   , respectivamente.
trizes dos ângulos ​ 
LLAo
A
g)
N
M
O
não-congruentes
y
x
h)
B
C
Se o triângulo ABC é equilátero,
___ ___ seus ângulos internos valem 60°. Como ​​BN​  e ​​CM​  são bissetrizes, os
ângulos N​
 C
B​
  e M​
C​
   B valem 30°. Então, para o triângulo BOC tem-se
x 1 30° 1 30° 5 180° V x 5 180° 2 60° V
V x 5 120°.
Como x e y são suplementares, tem-se: x 1 y 5
5 180° V 120° 1 y 5 180° V
V y 5 180° 2 120° V y 5 60°.
Módulo 2: Congruência de triângulos e propriedades
Página
138
Atividades para classe
1 Verifique se os pares de triângulos são congruen­
tes e especifique qual é o caso de congruência.
a)
LLL
b)
LAL
LLL ou ALA ou LAL ou LLAo
2 Resolva os problemas em seu caderno.
a) Qual é a medida do lado de um triângulo equilá­
tero de perímetro 102 cm?
Seja x a medida do lado do triângulo &
102
 ​ V
  
& x 1 x 1 x 5 102 V 3x 5 102 V x 5 ​ ____
3
V x 5 34 cm. A medida do lado é 34 cm.
b)Um triângulo isósceles tem um lado de me­
dida igual a 12 cm e perímetro 44 cm. Qual a
medida dos outros lados desse triângulo?
Há duas possibilidades.
Se 12 não é a medida dos lados congruentes do
triângulo isósceles, tem-se 12 1 x 1 x 5 44 V
32
V 2x 5 44 2 12 V 2x 5 32 V x 5 ​ ___ ​ V x 5 16.
 
2
Então os outros lados medem 16 cm e 16 cm.
Se 12 é a medida dos lados congruentes tem-se
12 1 12 1 x 5 44 V x 5 44 2 24 V x 5 20.
Logo um dos outros lados mede 20 cm e o outro
12 cm, pois é congruente ao primeiro.
c) Um triângulo isósceles tem perímetro igual a
47 cm e a medida da base excede a de cada um
dos lados congruentes em 2 cm. Calcule a me­
dida dos lados desse triângulo.
c)
ALA ou LAL ou LAA0
Seja x a medida dos lados congruentes do triângulo, e x 1 2 a medida da base. Como o perímetro é 47 cm, tem-se x 1 2 1 x 1 x 5 47 V
45
V 3x 5 47 2 2 V 3x 5 45 V x 5 ​ ___ ​ V x 5 15.
 
3
Logo os lados medem 15 cm, 15 cm e
15 1 2 5 17 cm.
d)
LAL
e)
cateto2hipotenusa ou LLL
d)Um triângulo isósceles tem perímetro igual a
107 cm e a medida de cada um dos lados con­
gruentes é 8 cm menor que a base. Calcule a
medida dos lados desse triângulo.
Seja x a medida da base e x 2 8 a medida dos
outros lados. Como o perímetro é 107 cm, tem-se
(x 2 8) 1 (x 2 8) 1 x 5 107 V 3x 2 16 5 107 V
123
V 3x 5 107 1 16 V 3x 5 123 V x 5 ​ ____ ​ V
  
3
V x 5 41 V (x 2 8) 5 33.
Portanto os lados medem 33 cm, 33 cm e 41 cm.
111
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Resolução de atividades Capítulo 5
3 Determine o perímetro do
___triângulo ABC, em cen­
tímetros,
___ sabendo que ​AM​ é mediana relativa ao
lado
​BC​ .
___
___
Se ​AM​ é mediana do lado BC​
​  , então BM 5 MC.
a)
A
Como o triângulo é isósceles, o outro ângulo também é igual a 65°.
65° 1 65° 1 x 5 180° V
V x 5 180° 2 130° V
V x 5 50°
d)
74 2 2x
6x 1 2
12x
3x
B
4x 2 1
M
C
2x 1 15
4x 2 1 5 2x 1 15 V 4x 2 2x 5 15 1 1 V 2x 5 16 V
16
V x 5 ___
​   ​ V x 5 8
2
Substituindo o valor de x tem-se
p 5 (6 ? 8 1 2) 1 (74 2 2 ? 8) 1 (4 ? 8 2 1) 1
1 (2 ? 8 1 15) V p 5 170 cm.
b)
Como o triângulo é isósceles, o outro ângulo também é igual a 3x.
3x 1 12x 1 3x 5 180° V 18x 5 180° V
180°
 
 
V x 5 _____
​   ​ V x 5 10°
18
e)
A
5x 1 10
6x
B
3x 1 4
M
14 2 2x
4x 1 24°
C
3x 1 4 5 14 2 2x V 3x 1 2x 5 14 2 4 V 5x 5 10 V
10
 
V x 5 ​ ___ ​ V x 5 2
5
Substituindo o valor de x tem-se
p 5 (6 ? 2) 1 (5 ? 2 1 10) 1 (3 ? 2 1 4) 1
1 (14 2 2 ? 2) V p 5 52 cm.
Como o triângulo é equilátero, todos os ângulos
são congruentes e iguais a 4x 1 24°.
3 ? (4x 1 24°) 5 180° V 12x 1 72° 5 180° V
V 12x 5 180° 2 72° V 12x 5 108 V
108°
 ​ V x 5 9°
 
 
V x 5 ​ _____
12
f)
80°
4 Determine o valor de x.
a)
3x 1 10°
x
50°
70°
x 1 50° 1 70° 5 180° V x 5 180° 2 120° V
V x 5 60°
b)
40°
x
Como o triângulo é isósceles, o outro ângulo também é igual a x.
40° 1 x 1 x 5 180° V 2x 5 180° 2 40° V
140°
 ​ V x 5 70°
 
 
V 2x 5 140° V x 5 ​ _____
2
c)
x
65°
Como o triângulo é isósceles, os dois ângulos da
base são congruentes. Cada um deles é suplementar ao ângulo externo, e valem
180° 2 (3x 1 10°) 5 180° 2 3x 2 10° 5
5 170° 2 3x. Então, tem-se 2 ? (170° 2 3x) 1
1 80° 5 180° V 340° 2 6x 1 80° 5 180° V 240°
V 6x 5 420° 2 180° V 6x 5 240° V x 5 ​ _____
 ​ V
 
 
6
V x 5 40°
5 Considere dois triângulos: A e B. Analise as afirma­
ções e determine se os triângulos são congruen­
tes. Justifique a resposta.
a)O triângulo A é equilátero e o triângulo B é
isósceles.
b)A base do triângulo A é congruente à base do
triângulo B.
c)Um dos ângulos do triâgulo B mede 60°.
Como o triângulo B é isósceles e um de seus ângulos mede 60°, todos os seus ângulos medem 60°,
de forma que ele também é equilátero.
Como a base do triângulo A é congruente à de B,
então todos os lados de A são congruentes aos
de B. Portanto, os dois triângulos são congruentes
pelo caso LLL.
112
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Resolução de atividades Capítulo 5
6 Determine o perímetro, em centímetros, do triângulo ABC nos seguintes casos.
a)
B
6 cm
M
36° 1 36° 1 y 5 180°
36° 1 36° 1 y 5 180°
y 5 180° 2 72°
y 5 108°
Então as medidas dos ângulos são: 36°, 36° e 108°.
C
4x 1 2
6 cm
C
A
44 2 2x
Os triângulos ABM e ACM são congruentes pelo
caso LAL, de forma que 4x 1 2 5 44 2 2x V
42
 
V 4x 1 2x 5 44 2 2 V 6x 5 42 V x 5 ​ ___ ​ V
6
V x 5 7. Substituindo o valor de x: p 5 6 1 6 1 (4x 1 2) 1
1 (44 2 2x) V P 5 6 1 6 1
1 (4 ? 7 1 2) 1
1 (44 2 2 ? 7) V
V p 5 72 cm
A
b)
x 13
B
x 1 1 M 19 2 x
C
Os triângulos ABM e ACM são congruentes
pelo caso ALA, de forma que AB 5 x 1 3. Além
disso, tem-se: x 1 1 5 19 2 x V x 1 x 5 19 2 1 V
18
V 2x 5 18 V x 5 ___
​   ​ V x 5 9
2
Substituindo o valor de x &
& p 5 (x 1 3) 1 (x 1 3) 1 (x 1 1) 1 (19 2 x) V
V p 5 (9 1 3) 1 (9 1 3) 1 (9 1 1) 1 (19 2 9) V
V p 5 44 cm
7 Calcule a medida do ângulo obtuso formado pelas alturas relativas aos lados congruentes de um
triângulo isósceles, sabendo que o ângulo do vértice mede 34°.
34º
x
A soma dos ângulos internos do quadrilátero formado é 360°. Então, tem-se 90° 1 90° 1 x 1 34° 5 360° V
V x 1 214° 5 360° V x 5 360° 2 214° V x 5 146°
8 Calcule a medida dos ângulos internos de um
triângulo isósceles, sabendo que a altura relativa à base e a bissetriz de um ângulo interno
formam um ângulo de 72°.
No triângulo i tem-se 72° 1 90° 1 x 5 180° V
V x 5 180°
___ 2 72° 2 90° V x 5 18°
Como ​​AP​  é bissetriz, ​ 
A​ mede
 
2 ? 18° 5 36°.
Uma vez que o triângulo é isósceles, ​ 
B​ 
também mede 36°. Seja y o ângulo do
vértice do triângulo ABC. Então, para este triângulo,
tem-se
72º i
x
B
A
9 O triângulo ao lado é retângulo em A, e AB 5 AE 5 AD.
Determine a medida do ângulo assinalado com x.
A
B
B̂
B̂
D̂
D̂
D
x
E
C
Como AB 5 AE 5 AD, os triângulos ABE e ADE são
isósceles, de forma que os ângulos da base são
iguais. Com relação aos ângulos internos do quadrilátero ABDE tem-se

​   1 ​ 
B​
B​ 1 ​ 
D​ 1 ​ 
D​ 1 90° 5 360° V
V 2 ? (​ 
B​ 1 ​ 
D​ ) 5 360° 2 90° 5 270° V (​ 
B​ 1 ​ 
D​ ) 5 135°
Como ​ 
B​ 1 ​ 
D​  1 x 5 180°, x 5 180° 2 (​ 
B​ 1 ​ 
D​ ) 5
5 180° 2 135° V x 5 45°.
139
Página Atividades para casa
10 Encontre a medida dos ângulos internos de cada
triângulo.
a) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é
igual a 104°.
Seja x a medida de cada ângulo da base do triângulo. Então, 2x 1 104 5 180° V
76°
  
V 2x 5 180° 2 104° V 2x 5 76° V x 5 ​ ____ ​ V
12
V x 5 38°
Os ângulos internos desconhecidos são 38° e 38°.
b) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é
igual à metade do ângulo da base.
Seja x a medida de cada ângulo da base do triânx
gulo, de modo que o ângulo do vértice é igual a ​ __  ​.
2
x
x
Então, ​ __  ​ 1 x 1 x 5 180° V ​ __  ​ 1 2x 5 180° V
2
2
x 1 4x
 ​ 5
V ​ _______
 
  180° V
2
360o
V 5x 5 180° ? 2 5 360° V x 5 ​ _____
 ​ V x 5 72°
 
 
5
Então o ângulo do vértice é igual a 72° ; 2 5 36°.
Os ângulos internos desconhecidos são 36°, 72° e
72°.
c) O ângulo da base de um triângulo isósceles é o
quádruplo do ângulo do vértice.
Seja x o ângulo do vértice. Então os ângulos da
base são iguais a 4x. Assim, tem-se 180°
 ​ V
4x 1 4x 1 x 5 180° V 9x 5 180° V x 5 ​ _____
 
 
9
V x 5 20° V 4x 5 80°.
Os ângulos internos são: 80°, 80° e 20°.
113
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29.10.08 16:07:10
Resolução de atividades Capítulo 5
d)O ângulo do vértice de um triângulo isósceles
excede a soma dos ângulos da base em 20°.
Seja x cada um dos ângulos da base. Então o ângulo do vértice é (x 1 x 1 20°) 5 (2x 1 20°), de
forma que se tem: (2x 1 20°) 1 x 1 x 5 180° V
160°
V 4x 5 180° 2 20° V 4x 5 160° V x 5 ​ _____
 
 
 ​ V
4
V x 5 40°
Os ângulos internos são: 100°, 40° e 40°.
11 Determine em cada caso a medida do ângulo assi­
nalado com x.
No triângulo isósceles tem-se
​ 
A​ 1 ​ 
  
B​ 1 
B​
​   5 180° V 50° 1 2​ 
B​  5 180° V
130°
2​ 
B​  5 180° 2 50° V 2​ 
B​  5 130° V ​ 
B​  5 ​ _____
 
 
 ​ V
2
B​  5 65°. Esse é o mesmo ângulo 
B​
​   do triânV ​ 
gulo retângulo da direita (ângulos opostos pelo
vértice).
No triângulo retângulo da direita tem-se
65° 1 90° 1 x 5 180° V x 5 180° 2 155° V
V x 5 25°
d)
a)
40º
Â
Â
Â
B̂
40º
x
x

O ângulo A​
​   , que é ângulo interno de um triângulo equilátero, vale 60°, e é o mesmo ângulo 
​   do
A​
triângulo retângulo (ângulos opostos pelo vértice).
Então, no triângulo retângulo tem-se
​ 
A​  1 90° 1 x 5 180° V 60° 1 90° 1 x 5 180° V
V x 5 180° 2 150° V x 5 30°
No triângulo isósceles superior tem-se
40° 1 40° 1 ​ 
A​   5 180° V ​ 
A​   5 180° 2 80° V

V A​
​   5 100°
No triângulo isósceles inferior, o ângulo 
​   é
B​
suplementar a 
​  ,  de modo que 
A​
B​
​   5 180° 2 
A​
​    5
5 180° 2 100° 5 80°.
Logo, 
​   1 
B​
B​
​   1 x 5 180° V 80° 1 80° 1 x 5 180° V
V x 5 180° 2 160° V x 5 20°
e)
b)
º
Â
Â
20
x
30º
Â
B̂
x
x

No triângulo isósceles tem-se
A​
​    1 
A​
​    1

1 30° 5 180° V 2 A​
​    1 30° 5 180° V 2 
A​
​   5
150°
​   5 75°
A​
​   ​ V  
  
A​
5 180° 2 30° V 
​   5 _____
2

Esse é o mesmo ângulo A​
​   do triângulo retângulo
(ângulos opostos pelo vértice). Então no triângulo retângulo tem-se 
​   1 90° 1 x 5 180° V
A​
V 75° 1 90° 1 x 5 180° V x 5 180° 2 165° V
V x 5 15°
20º
No triângulo isósceles da direita,


​   1 20° 1 20° 5 180° V A​
A​
​   5 180° 2 40° V
V
​    5 140°
A​

No triângulo isósceles da esquerda, o ângulo B​
​   é
o suplementar de 
​   , logo
A​
​ 
B​ 5 180° 2 
A​
​    V ​ 
B​ 5 180° 2 140° 5 40°. Então,
tem-se x 1 x 1 40° 5 180° V
V 2x 5 180° 2 40° V 2x 5 140° V
140°
 ​ V x 5 70°
 
 
V x 5 ​ _____
2
A
f)
c)
40º
x
P
B̂
Â
Â
B̂
B̂
B
No triângulo retângulo da esquerda tem-se
A​
40° 1 90° 1 
​   5 180° V
A​
A​
​    5 50°
V 
​    5 180° 2 130° V 

A​
​   do
triângulo isósceles central
Esse é o mesmo
(ângulos opostos pelo vértice).
x
18º
Ĉ
C
No triângulo BPC tem-se 
C​
​   1 18° 1 90° 5 180° V
V ​ 
C​  5 180° 2 108° V ​ 
C​  5 72°
Como AB 5 AC, segue que 
​   5 
B​
C​
​   , ou seja,

x 1 18° 5 C​
​    V x 1 18° 5 72° V
V x 5 72° 2 18° V x 5 54°
114
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20.10.08 13:03:27
Resolução de atividades Capítulo 5
__
__
12 O triângulo ABC é escaleno, ​​BI​  e ​​CI​  são bissetrizes
dos ângulo internos de vértices B e C, respectivamente. Calcule a medida de B ​I​  C.
A
Como AS​
​​   é bissetriz, tem-se que x 1 y 5 3x V
V y 5 2x
Como o triângulo ACS é isósceles, A​
 S
C​
  5 x 1 y.
Assim, a soma dos ângulos internos do triângulo
ABC é (x 1 y) 1 (x 1 y 1 3x) 1 90° 5 180°
Substituindo o valor de y 5 2x &
& (x 1 2x) 1 (x 1 2x 1 3x) 1 90° 5 180° V
90°
V 9x 1 90° 5 180 V 9x 5 90° V ​ ____
 5 10° V
 ​ 
9
V y 5 2x 5 20°
Portanto, x 5 10° e y 5 20°.
118°
I
B̂
Ĉ
B
C
No triângulo ABC tem-se 118° 1 ​ 
B​ 1 
C​
​   5 180° V


V (​ B​ 1 C​
​   )5 180°
2 118° 5 62°
__ __

Pelo fato de ​​BI​  e ​​CI​  serem bissetrizes, os ângulos da

C​
​   
B​
​    
​    ​. Assim, para esse
base do triângulo BIC são ​ __  ​ e __
2 2

B​ 1 
C​
​   )
(​ 
C​
​   
B​
​    
triângulo, tem-se ​ I​ 1 ​ __  ​ 1 ​ __  ​ 5 180°V I​​   1 ​  ______
 5
 ​ 
2
2
2
o
62
5 180° V ​ I​  1 ​ ____
 ​  5 180° V ​ I​  1 31° 5 180° V ​ I​  5
2
5 180° 2 31° 5 149°
13 Na figura, AB 5 AC e AD 5 DB 5 BC. Calcule a
medida do ângulo B ​
   C.
A​
C
D
x
A
B
A​
B​
   D,
O ângulo x é igual ao ângulo
pois o triângulo ABD é isósceles. Como o ângulo C​
   B é ânguD​
lo externo ao triângulo ABD, ele vale x 1 x 5 2x.
B​
   D também vale 2x, pois o triângulo BCD também
C​
é isósceles.
Além disso, uma vez que AB 5 AC, o triângulo ABC
também é isósceles, de modo que A​
 C
B​
  5 B​
C​
 A
  5 2x.
Então para o triângulo ABC tem-se
B​
 C
A​
  1 A​
B​
 C
  1 B​ 
C​A
  5 180° V x 1 2x 1 2x 5 180° V
180°
 
 
V 5x 5 180° V x 5 ​ _____
 ​ V x 5 36°
5
___

   C. Determine o
14 A semirreta ​​AS​  é bissetriz de B ​A​
valor de x e de y em cada item.
A
a)
4x 2 8°
5x
__
15 __
Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, ​BI​ e​
CI​  estão contidos nas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C, AB 5 17 cm e AC 5 28 cm.
Calcule em seu caderno o perímetro do triângulo
ADE.
A
D
r
E
I
s
B
C
__
__
Visto que ​​BI​   e ​​CI​   são bissetrizes, o ângulo I​
B​
 C
  é
congruente a D​
  I . O ângulo B​ I​D
B​
  é alterno a I​
B​
 C
  e

portanto congruente a D​B​
  I . Logo o triângulo DBI é
isósceles, sendo que DI 5 DB. Da mesma forma, o
triângulo IEC é isósceles, sendo
que ​EI5 ​EC​.
___
Com relação ao segmento AB​
​  , tem-se que
AB 5 AD 1 DB 5 AD 1 DI 5 17 cm
Da mesma forma com relação ao segmento
AC # AC 5 AE 1 EC 5 AE 1 EI 5 28 cm
Então o perímetro do triângulo ADE é
p 5 AD 1 AI 1 AE 1 EI 5 17 1 28 5 45 cm
16 Na
___ figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles
___de base ​
BC​ , e o triângulo ADE é isósceles de base ​DE​ . Sendo
B ​
   E 5 46°, determine a medida do ângulo D ​
A​
E​
   C.
A
46°
B
y
C
S
___
Como AS​
​​   é bissetriz, tem-se que
4x 2 8° 5 2x 1 16° V 4x 2 2x 5 16° 1 8° V
V 2x 5 24° V x 5 12°. Então, a soma dos ângulos internos do triângulo ABC é
(4 ? 12° 2 8°) 1 (2 ? 12° 1 16°) 1 (5 ? 12°) 1 y 5
5 180° V 40° 1 40° 1 60° 1 y 5 180° V V y 5 180° 2 140° V y 5 40° V Portanto,
x 5 12°; y 5 40°
A
b)
x1y
C
2x 1 16°
B
___
S
3x
B
y
z
E
y
D
xz
C
Como AB 5 AC, segue que os ângulos 
B​
​   e 
C​
​   são congruentes. Seja z a medida desses ângulos.
E​
D​
​   
De maneira similar, como AE 5 AD, os ângulos 
​   e 
são congruentes. Seja y a medida desses ângulos.
D​
Uma vez que 
​    é ângulo externo do triângulo ECD,
segue que y 5 x 1 z V z 5 y 2 x
E​ B 5 180° 2 (x 1 y), a soma dos ânNotando que A​
gulos internos do triângulo ABE é
46° 1 z 1 [180° 2 (x 1 y)] 5 180°
Substituindo o valor de z 5 y 2 x &
& 46° 1 (y 2 x) 1 [180° 2 (x 1 y)] 5 180° V
V 46° 1 y 2 x 1 180° 2 x 2 y 5 180° V
V 22x 5 180° 2 180° 2 46° V 2x 5 46° V x 5 23°
115
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31.10.08 15:45:01
Resolução de atividades Capítulo 5
17 Em seu caderno, faça o que
se pede.
___
a) Desenhe um segmento ​AB​ de 4 ___
cm.
b) Determine M, o ponto médio de ​AB​ 
.
c) Com a ponta-seca do compasso em M e abertu­
ra MA, trace uma circunferência.
d)Marque um ponto C qualquer sobre a circunfe­
rência.
e) Trace as mediatrizes do triângulo ABC.
a)
100°
112°
x
70°
112° 1 100° 1 70° 1 x 5 360° V
V x 5 360° 2 282° V x 5 78°
b)
m2
98°
y
C
m3
120°
m1
60°
98° 1 120° 1 60° 1 y 5 360° V
V y 5 360° 2 278° V y 5 82°
c)
x
A
B
M
150°
109°
46°
150° 1 46° 1 109° 1 x 5 360° V
V x 5 360° 2 305° V x 5 55°
d)
3x 1 8°
O que você observou?
O ponto de intersecção das mediatrizes m1, m2 e m3
é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, ou seja, o ponto M que havia sido determinado inicialmente.
Módulo 3: Quadriláteros
Página
142
1 Observe o quadrilátero a seguir e identifique em
seu caderno o que se pede.
a) Os ângulos internos.
​ 
A​ , 
B​
​   , 
C​
​   , 
D​
​   
c) Os vértices.
A, B, C, D
d)Os
lados.
___ ___ ___ ___
​  , CD​
​  e DA​
​  
AC​
​  , BC​
107° 2 x
Atividades para classe
b) Os ângulos externos.
e1, e2, e3, e4
4x 1 18°
x 1 10°
(3x 1 8°) 1 (4x 1 18°) 1 (107° 2 x) 1 (x 1 10°) 5
5 360° V 7x 1 143° 5 360° V
V 7x 5 360° 2 143° V 7x 5 217° V x 5 31°
Então os ângulos são
• 3 ? 31° 1 8° 5 101° • 4 ? 31° 1 18° 5 142°
• 107 2 31° 5 76°
• 31° 1 10° 5 41°
3 Determine em cada item a medida do ângulo assi­
nalado com uma variável.
a)
76°
D
102°
e4
e3
x
A
80°
e2
B
C
e1
e) ___
As diagonais.
___
​  
​AC​ , BD​
f) Os
lados opostos.
___ ___
___
___
​  é oposto a ​CD​ .
​AD​ é oposto a ​BC​ ; AB​
b)
g)Os vértices opostos.
A é oposto a C; B é oposto a D.
2 Calcule a medida dos ângulos internos desconheci­
dos nos quadriláteros abaixo.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo é 360°, tem-se
Sabendo que a soma dos ângulos externos de
qualquer polígono é 360°, tem-se
76° 1 102° 1 80° 1 x 5 360° V
V x 5 360° 2 258° V x 5 102°
84°
70°
126°
y
84° 1 70° 1 126° 1 y 5 360° V
V y 5 360° 2 280° V y 5 80°
116
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20.10.08 13:03:28
Resolução de atividades Capítulo 5
c)
88°
97°
7 Encontre o valor de x em cada item.
a)
x
79°
30°
40°
y
Dois dos ângulos internos do quadrilátero são
obtidos calculando os suplementares dos ângulos externos: 180° 2 88° 5 92° e 180° 2 79° 5 101°.
Os outros dois são obtidos observando os ângulos opostos pelo vértice, um deles vale y e o outro, 97°. Então a soma dos ângulos internos do
quadrilátero vale
92° 1 101° 1 97° 1 y 5 360° V
V y 5 360° 2 290° V y 5 70°
O outro ângulo interno do triângulo vale 180° 2 30° 2 40° 5 110°.
Este ângulo é oposto pelo vértice ao ângulo interno do quadrilátero, que portanto tem o mesmo
valor, 110°.
Então a soma dos ângulos internos do quadrilátero é x 1 110° 1 90° 1 90° 5 360°
Logo x 5 360° 2 110° 2 90° 2 90° 5 70°
b)
45°
d)
x
140°
56°
Considerando y o ângulo interno suplementar
de x, e notando que o ângulo interno oposto a y
vale 180° 2 140° 5 40°, tem-se y 1 40° 1 150° 1 56° 5 360° V
V y 5 360° 2 246° V y 5 114°
Então, calcula-se o ângulo x, que é suplementar
de y & x 5 180° 2 114° V x 5 66°
60°
50°
150°
x
140°
O outro ângulo interno do quadrilátero vale 360° 2 140° 2 60° 2 50° 5 110°.
Este ângulo é oposto pelo vértice ao ângulo interno do triângulo, que portanto tem o mesmo
valor, 110°.
Então a soma dos ângulos internos do triângulo é
x 1 110° 1 45° 5 180°
Logo x 5 180° 2 110° 2 45° V x 5 25°
c)
x
4 Sabendo que um quadrilátero possui ângulos internos 66°, 132° e 70°, encontre a medida do quarto
ângulo desse polígono.
66° 1 132° 1 70° 1 x 5 360° V
V x 5 360° 2 268° V x 5 92°
5 Sabendo que um quadrilátero possui ângulos internos de medidas iguais a x, x 1 32°, x 2 14° e 3x,
calcule o valor de x.
x 1 (x 1 32°) 1 (x 2 14°) 1 3x 5 360° V
V 6x 1 18° 5 360° V 6x 5 360° 2 18° V
V 6x 5 342° V x 5 57°
6 Em cada item são dados três ângulos internos de um
quadrilátero. Determine a medida do quarto ângulo.
a) 100°, 110°, 120°
360° 2 100° 2 110° 2 120° 5 30°
b) 80°, 130°, 90°
360° 2 80° 2 130° 2 90° 5 60°
c) 48°, 92°, 86°
360° 2 48° 2 92° 2 86° 5 134°
d)66°, 106°, 86°
360° 2 66° 2 106° 2 86° 5 102°
e) 120°, 80°, 60°
360° 2 120° 2 80° 2 60° 5 100°
f) 123°, 124°, 56°
360° 2 123° 2 124° 2 56° 5 57°
g)80°, 90°, 100°
360° 2 80° 2 90° 2 100° 5 90°
h)65°, 75°, 120°
360° 2 65° 2 75° 2 120° 5 100°
140°
80°
O outro ângulo interno do quadrilátero vale 360° 2 90° 2 140° 2 80° 5 50°
Este ângulo é oposto pelo vértice ao ângulo interno do triângulo, que portanto tem o mesmo
valor, 50°. Como o triângulo é isósceles, o outro
ângulo interno do triângulo também vale 50°.
Então a soma dos ângulos internos do triângulo é
x 1 50° 1 50° 5 180°
Logo x 5 180° 2 50° 2 50° V x 5 80°
d)
50°
120°
x
75°
117
4P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 117
29.10.08 16:07:52
Resolução de atividades Capítulo 5
Como o triângulo é isósceles, os outros dois ângulos internos são congruentes. Seja y a medida
de cada um desses ângulos. Então a soma dos
ângulos internos desse triângulo é
50° 1 2y 5 180° V 2y 5 130° V y 5 65°.
O outro ângulo interno do quadrilátero também
vale 65° (opostos pelo vértice). Então a soma dos
ângulos internos desse quadrilátero é
x 1 65° 1 75° 1 120° 5 360°.
Logo x 5 360° 2 65° 2 75° 2 120° V x 5 100°.
___
8 No quadrilátero seguinte, ​​BK​  é bissetriz do ângu­
lo com vértice B. Sabendo também que o ângulo

B​
​    5 90° e que ABK é isósceles, determine o
valor de x.
O outro ângulo do quadrilátero é
360° 2 126° 2 90° 2 90° 5 54°.
Logo x é o suplementar desse ângulo:
x 5 180° 2 54° V x 5 126°
b)
134°
x
x 5 360° 2 90° 2 90° 2 134° 5 46°
c)
50°
120°
D
4x 2 12° x
140°
K
113° 2 x
C
B
___

Se BK​
​​   é bissetriz do ângulo reto B​
​   , os dois ân-
gulos da base do triângulo isósceles ABK valem
90° ; 2 5 45°. Dessa forma, a soma dos ângulos
internos do quadrilátero ABCD é
(113° 2 x) 1 (4x 2 12°) 1 (x 1 45°) 1 90° 5 360° V
V 4x 1 236° 5 360° V 4x 5 124° V
V x 5 124° ; 4 V x 5 31°
9 Dois ângulos de um quadrilátero são retos e a dife­
rença entre a medida do ângulo obtuso e a medida
do ângulo agudo é 30°. Determine as medidas dos
ângulos desse quadrilátero.
Seja x o ângulo agudo do quadrilátero. Então a
medida do ângulo obtuso é x 1 30°. A soma dos
ângulos internos desse quadrilátero é
90° 1 90° 1 (x 1 30°) 1 x 5 360° V
V 2x 5 360° 2 210° V 2x 5 150° V
V x 5 75° V x 1 30° 5 105°
Portanto, os ângulos são 90°, 90°, 105° e 75°.
10 Em um quadrilátero as medidas de dois ângulos con­
A​ 5 35° e ​ 
B​ 5 75°. Calcule a medida
secutivos são ​ 
do ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos.
As bissetrizes juntamente com um lado do quadrilátero formam um triângulo, cujos ângulos da base
valem a metade dos ângulos 35° e 75°. A soma dos
ângulos internos desse triângulo é
35°
75° ____
 ​ 
 1 ​   ​ 
 1 x 5 180°, onde x é o ângulo formado
​ ____
2
2
pelas bissetrizes.
110°
____
​   ​ 
 1 x 5 180° V x 5 180° 2 55° V x 5 125°
2
Outro ângulo formado pelas bissetrizes é o suplementar do ângulo acima, 55°.
Página
143
Atividades para casa
x
A
x 5 360° 2 50° 2 120° 2 140° 5 50°
d)
x
130°
80°
40°
x 5 360° 2 130° 2 40° 2 80° 5 110°
e)
70°
80°
x
140°
x 5 360° 2 70° 2 80° 2 140° 5 70°
f)
55°
145°
100°
x
x 5 360° 2 145° 2 100° 2 55° 5 60°
12 Determine em seu caderno o valor de cada incógni­
ta nos itens abaixo.
a)
110°
70°
120°
x
x 5 360° 2 110° 2 120° 2 70° 5 60°
b)
80°
120°
11 Calcule x nos casos abaixo.
a)
y
126°
100°
x
Usando o fato de a soma dos ângulos externos de
um polígono ser igual a 360°,
y 5 360° 2 80° 2 120° 2 100° 5 60°.
118
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20.10.08 13:03:29
Resolução de atividades Capítulo 5
c)
b)
2x 2 12°
z
36°
2x 1 14°
2x 1 10°
z 5 360° 2 90° 2 90° 2 36° 5 144°
d)
x
90° 1 (2x 2 12°) 1 (2x 1 14°) 1 (2x 1 10°) 5 360° V
V 6x 1 102° 5 360° V 6x 5 360° 2 102° V
V 6x 5 258° V x 5 258° ; 6 V x 5 43°
c)
126° 2 x
2x 1 10°
126°
3x 2 30°
142°
O ângulo interno do quadrilátero suplementar a
142° é 180° 2 142° 5 38°.
Então o outro ângulo interno é
360° 2 38° 2 90° 2 90° 5 142°.
Logo o ângulo x é o suplementar de 142° &
& x 5 180° 2 142° 5 38°.
Calculando o ângulo externo relativo ao ângulo
interno 126° & 180° 2 126° 5 54°
Então a soma dos ângulos externos desse quadrilátero é
54° 1 (126° 2 x) 1 (3x 2 30°) 1 (2x 1 10°) 5 360° V
V 4x 1 160° 5 360° V 4x 5 200° V
V x 5 200° ; 4 V x 5 50°
d)
e)
2x
50°
x
4x 1 10°
2x 1 30°
160°
Os dois outros ângulos internos do quadrilátero
são calculados a partir dos ângulos externos &
180° 2 50° 5 130° e 180° 2 160° 5 20°.
Então x vale 360° 2 130° 2 20° 2 90° 5 120°.
f)
2x 1 24°
2x 2 22° 3x 2 34°
(2x 1 24°) 1 (3x 2 34°) 1 (2x 2 22°) 1 (3x 1 32°) 5
360°
 ​ 
 V V x 5 36°
5 360° V 10x 5 360° V x 5 ​ _____
10
14 Três ângulos de um quadrilátero medem 63°, 112°
e 98°. Calcule a medida do quarto ângulo desse
polígono.
360° 2 63° 2 112° 2 98° 5 87°
a)
D
150°
30° I
120° 2 x
62°
(5x 2 10°) 1 (120° 2 x) 1 (2x 2 4°) 1 62° 5 360° V
V 6x 1 168° 5 360° V 6x 5 360° 2 168° V
V 6x 5 192° V x 5 192° ; 6 V x 5 32°
C
a)
5x 2 10°
__
15 Nas figuras abaixo, ​AI​ e ​BI​ estão contidos nas bis­
setrizes dos ângulos internos de vértices A e B.
Calcule x em cada item.
13 Determine em seu caderno o valor de x nos casos
abaixo.
2x 2 4°
(4x 1 10°) 1 2x 1 (2x 1 20°) 1 (2x 1 30°) 5
5 360° V 10x 1 60° 5 360° V
V 10x 5 360° 2 60° V 10x 5 300° V x 5 30°
___
3x 1 32°
2x 1 20°
x
50°
A
B
__
 B mede 30°. O
Como AI​
​​   é bissetriz, o ângulo I​ A​
ângulo A​ I​ B mede 180° 2 50° 5 130°.
Então no triângulo AIB tem-se
B​
30° 1 130° 1 A​
   I 5180° V
V A​
   I 5 180° 2 160° 5 20°.
B​
__
B​
 C
  também mede
Como ​​BI​  é bissetriz, o ângulo I​
20°.
Então para o quadrilátero ABCD tem-se
30° 1 30° 1 150° 1 x 1 20° 1 20° 5 360° V
V x 1 250° 5 360° V x 5 360° 2 250° 5 110°
119
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20.10.08 13:03:30
Resolução de atividades Capítulo 5
B
b)
30°
A
x
I
70°
C
D
__ __
Como AI​
​​   e ​​BI​  são bissetrizes, segue que I​
B​
 C
  5 30°
A​ B 5 x. Então para o quadrilátero ABCD teme I​ 
-se 70° 1 30° 1 30° 1 x 1 x 1 90° 5 360° V
V 2x 5 360° 2 220° V 2x 5 140° V x 5 70°
Este ângulo y é oposto pelo vértice ao ângulo
interno do triângulo retângulo, que, portanto,
também mede y. Como o triângulo é isósceles, na
verdade os dois ângulos adjacentes à hipotenusa
medem y. Então para este triângulo tem-se
y 1 y 1 90° 5 180° V 2y 5 180° 2 90° V
V 2y 5 90° V y 5 45°
Substituindo o valor de y 5 95° 2 x tem-se
95° 2 x 5 45° V 95° 2 45° 5 x V x 5 50°
b)
x
A
c)
D
C
150°
I
3y 1 8°
4y 1 18°
110°
x
No triângulo AIB, seja x a medida do ângulo IÂB

  . Então nesse triângulo teme y a medida de I​B​
 A
-se x 1 y 1 110° 5 180° V x 1 y 5 180° 2 110° V
V x 1 y 5 70° V y 5 70°
2 x.
__ __
​​   são bissetrizes, segue que DÂI tam Como AI​
​​   e BI​
bém mede x, e C​
   I também mede y. Então para o
B​
quadrilátero ABCD tem-se
(x 1 x) 1 (y 1 y) 1 x 1 150° 5 360° V
V 3x 1 2y 5 360° 2 150° 5 210°
Substituindo o valor de y 5 70° 2 x tem-se
3x 1 2 · (70° 2 x) 5 210° V
V 3x 1 140° 2 2x 5 210° V
V x 5 210° 2 140° V x 5 70°
A
d)
D
104°
B
y 1 17°
B
I
107° 2 y
x
Com relação aos ângulos internos do quadrilátero tem-se
(3y 1 8) 1 (4y 1 18°) 1 (y 1 17°) 1 (107° 2 y) 5
5 360° V 7y 1 150° 5 360° V
V 7y 5 360° 2 150° V 7y 5 210° V y 5 30°
Então o ângulo (3y 1 8) vale 3 ? 30° 1 8° 5 98°,
e o ângulo (4y 1 18°) vale 4 ? 30° 1 18° 5 138°.
Os ângulos internos do triângulo menor podem
ser obtidos calculando o suplementar desses ângulos & 180° 2 98° 5 82° V 180° 2 138° 5 42°
Então para esse triângulo menor tem-se
x 1 82° 1 42° 5 180° V x 1 124° 5 180° V
V x 5 180° 2 124° V x 5 56°. Logo y 5 30°
e x 5 56°.
c)
86°
C
No triângulo AIB seja x a medida do ângulo I ​ 
A​ B e
B​
  . Então nesse triângulo tem-se
y a medida de I​
 A
x 1 y 1 104° 5 180° V x 1 y 5 180° 2 104° V
V x 1 y 5 76° V y 5 76°
2 x.
__ __
​​   são bissetrizes, segue que D​ 
A​ I tam Como ​​AI​  e BI​
B​ I também mede y.
bém mede x, e C​ 
Então para o quadrilátero ABCD tem-se
x 1 x 1 y 1 y 1 x 1 86° 5 360° V
V 3x 1 2y 5 360° 2 86° 5 274°
Substituindo o valor de y 5 76° 2 x tem-se
3x 1 2 ? (76° 2 x) 5 274° V
3x 1 152° 2 2x 5 274° V
V x 5 274° 2 152° V x 5 122°
20°
x
O outro ângulo interno do triângulo menor mede
20° (opostos pelo vértice), de modo que para
esse triângulo tem-se x 1 90° 1 20° 5 180° V
V x 5 180° 2 110° V x 5 70°.
d)
3x 1 12°
5x 2 10°
120°
16 Calcule o valor da incógnita em cada caso.
37°
y
140°
125°
x
a) Seja y o outro ângulo do quadrilátero. Então
para este quadrilátero tem-se
140° 1 125° 1 x 1 y 5 360° V
V x 1 y 5 360° 2 140° 2 125° V x 1 y 5 95° V
V y 5 95° 2 x.
O ângulo y é o suplementar de 37°, então
y 5 180° 2 37° V y 5 143°.
O outro ângulo interno do quadrilátero é o suplementar de 120° & 180° 2 120° 5 60°.
Então para esse quadrilátero tem-se
(3x 1 12°) 1 (5x 2 10°) 1 90° 1 60° 5 360° V
V 8x 1 152° 5 360° V 8x 5 208° V
V x 5 208° ; 8 V x 5 26°.
Logo x 5 26° e y 5 143°.
120
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20.10.08 13:03:30
Resolução de atividades Capítulo 5
17 Os ângulos internos de um quadrilátero são indi­
cados por ​ 
A​ , ​ 
B​ , ​ 
C​ e ​ 
D​ . Sabendo que ​ 
B​ 5 ​ 
C​ 5 3 ​ 
A​ e






D​
​   5 2 ​ A​ , determine as medidas ​ A​ , ​ B​ , ​ C​ e ​ D​ .
2 
​
A​ 1 
B​
​  1 
C​
​  1 
D​
​  5 360°
​
   
   ​ ​​V
​ 
​A​ 1 3​A​ 1 3​
A​ 1 2​
A​ 5 360°
V 9​ 
A​ 5 360° V 
A​
​   5 360° ; 9 V 
A​
​   5 40°

B​
C​
​   5 3​ 
A​ 5 120o; 
D​
​   5 2​ 
A​ 5 80o. Logo 
A​
​   5 40°,
​   5 

​    5 120°, 
B​
C​
​    5 120° e 
D​
​    5 80°.
18 As medidas dos ângulos internos de um quadrilá­
tero são dadas a seguir.
3x 2 24°
x 1 6°
x 1 12°
Módulo 4: Trápezios e paralelogramos
146
1 Observe os quadriláteros na malha quadriculada e
responda em seu caderno.
G
E
C
B
trapézio isósceles
d)
quadrado
3 Verifique se as afirmações são verdadeiras e corri­
ja as falsas em seu caderno.
a) Todo quadrilátero é trapézio.
F 2 Todo trapézio é quadrilátero.
b) Todo retângulo é quadrado.
F 2 Todo quadrado é retângulo.
d)Todo losango é paralelogramo.
V
e) Todo retângulo é paralelogramo.
V
F
f) Todo quadrado é retângulo.
V
D
g)Todo paralelogramo é trapézio.
V
a) Quais deles são quadrados?
São quadrados os quadriláteros G e E, pois são
paralelogramos que possuem os 4 lados de mesmo tamanho.
b) Quais deles são trapézios?
Todos, pois todos têm pelo menos um par de lados paralelos.
c) Quais deles são paralelogramos?
São paralelogramos os quadriláteros B, C, D, E e
G, pois possuem dois pares de lados paralelos.
d)Quais deles são retângulos?
São retângulos os quadriláteros B, C, G e E, pois são
paralelogramos cujos lados formam ângulos retos.
e) Quais deles são losangos?
São losangos os quadriláteros E e G, pois são paralelogramos que possuem os 4 lados de mesmo
tamanho.
2 Classifique em seu caderno os quadriláteros a
seguir.
a)
quadrado
c)
c) Todo quadrado é losango.
V
Atividades para classe
A
losango
x 2 12°
Qual é o valor numérico da medida do maior ângu­
lo desse quadrilátero?
(3x 2 24°) 1 (x 1 6°) 1 (x 1 12°) 1 (x 2 12°) 5 360° V
V 6x 2 18° 5 360° V 6x 5 378° V
V x 5 378° ; 6 V x 5 63°
Os ângulos do quadrilátero são
• 3 ? 63° 2 24° 5 165°
• 63° 1 6° 5 69°
• 63° 1 12° 5 75°
• 63° 2 12° 5 51°
Logo o maior deles é 165°.
Página
b)
4 Adolfo construiu, com um fio de arame, um triân-
gulo equilátero e um quadrado de perímetros
iguais. Se o perímetro do triângulo é igual a 48 m,
calcule em seu caderno a área do quadrado.
Como o perímetro do quadrado é igual ao do triângulo, tem-se que 48 ; 4 5 12 m, logo 12 m é o
lado do quadrado. Portanto, a área do quadrado é
12 m ? 12 m 5 144 m2.
5 Num trapézio retângulo um dos ângulos internos tem
medida igual ao triplo da medida do outro ângulo.
Calcule em seu caderno a medida desses ângulos.
Como o trapézio é retângulo, dois de seus ângulos
são retos (90°). Sejam x e 3x as medidas dos outros ângulos. Então 3x 1 x 1 90° 1 90° 5 360° V
V 4x 5 360° 2 180° V 4x 5 180° V
V x 5 45°; 3x 5 135°.
Logo os ângulos são 45° e 135°.
6 Um quadrilátero tem dois lados opostos congruentes
e apenas um par de lados paralelos. Classifique esse
quadrilátero em seu caderno.
Se o quadrilátero tem apenas um par de lados paralelos, é um trapézio. Se os dois lados opostos são
congruentes, é um trapézio isósceles.
121
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Resolução de atividades Capítulo 5
7 Um paralelogramo tem os quatro ângulos con­
gruentes, e a medida da altura é igual à medida da
base. Que quadrilátero é esse?
Se os quatro ângulos são congruentes, cada um deles vale 360° ; 4 5 90°. Se a altura e a base têm
medidas iguais, o quadrilátero é um quadrado.
9 Na figura abaixo, os triângulos PAB e QBC são
equiláteros e o quadrilátero ABCD é um quadrado.
Determine em seu caderno o valor de x.
D
A
8 Calcule em seu caderno o perímetro dos losangos
abaixo.
Os lados de um losango são congruentes.
a)
b)
B
x
P
2x 1 8
88 2 3x
C
Como os lados são congruentes, tem-se
2x 1 8 5 88 2 3x V 2x 1 3x 5 88 2 8 V
V 5x 5 80 V x 5 16 cm.
Substituindo o valor de x & 2 ? 16 1 8 5 40 cm.
Multiplicando pela quantidade de lados "
" 4 ? 40 5 160 cm.
55 2 2y
Q
Como os triângulos PAB e QBC são equiláteros, todos os seus ângulos internos têm uma abertura de
60°. Os ângulos do quadrado são todos retos, então
tem-se
B​
  5 360° 2 90° 2 60° 2 60° 5 150°
P​
 Q
E o triângulo PBQ é isósceles, logo B​
   Q 5 P​
P​
Q​
   B;
então, tem-se 150° 1 2x 5 180° V
V 2x 5 180° 2 150° V 2x 5 30° V x 5 15°
10 Nos trapézios a seguir, a base menor é congruente
ao lado oblíquo às bases. Calcule em seu caderno a
medida x de cada ângulo.
a)
x
3y 1 10
120º
x
x
Como os lados são congruentes, tem-se
3y 1 10 5 55 2 2y V 3y 1 2y 5 55 2 10 V
V 5y 5 45 V y 5 9.
Substituindo o valor de y &
& 3 ? 9 1 10 5 27 1 10 5 37.
Multiplicando pela quantidade de lados &
& 4 ? 37 5 148 cm.
c)
O ângulo adjacente ao ângulo de 120° também
é igual a x (ângulos alternos internos). Logo o
outro ângulo da base do triângulo isósceles também vale x.
Somando-se os ângulos opostos de um trapézio
tem-se 180°, então
x 1 x 1 120° 1 x 5 180° V 3x 5 180° 2 120° V
V 3x 5 60° V x 5 20°.
b)
x
2x 1 y
108º
Â
68 2 y
x 1 2y 1 6
Como os lados são congruentes, tem-se
x 1 2y 1 6 5 2x 1 y V 2y 2 y 5 2x 2 x 2 6 V
V y 5 x 2 6.
Substituindo o valor de y e igualando à medida do
outro lado, encontra-se o valor de x.
2x 1 y 5 68 2 y V 2x 1 (x 2 6) 5 68 2 (x 2 6) V
V 3x 2 6 5 68 2 x 1 6 V
V 4x 5 68 1 12 5 80 V x 5 20
Substituindo o valor de x em y & y 5 x 2 6 5
5 20 2 6 V y 5 14.
Substituindo o valor de x e de y em um dos lados,
tem-se 2x 1 y 5 2 ? 20 1 14 5 54.
Multiplicando pela quantidade de lados &
& 4 ? 54 5 216 cm.
x
O ângulo 
A​
​   também vale x (alternos internos).
O outro ângulo da base do triângulo isósceles
também vale x. Assim, x 1 108° 1 x 1 x 5 180° V
V 3x 5 180° 2 108° V 3x 5 72° V x 5 24°.
c)
27º
27º
x
27º
O ângulo adjacente ao ângulo de 27° também
vale 27° (alternos internos).
O outro ângulo da base do triângulo isósceles
também é igual a 27°.
x 1 27° 1 27° 1 27° 5 180° V
V x 5 180° 2 81° V x 5 99°
122
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Resolução de atividades Capítulo 5
11 Determine em seu caderno o perímetro dos tra­
pézios dos itens abaixo, sabendo que ângulos com
marcas iguais são congruentes.
a)
4 cm
b) Um retângulo e um quadrilátero cujos vértices
são os pontos médios dos lados desse retângu­
lo. Que quadrilátero você obteve?
Um losango.
12 cm
Â
10 cm
O ângulo 
A​
​    também é congruente aos ângulos
assinalados (alternos internos), de modo que a
diagonal divide o trapézio em um triângulo retângulo e um triângulo isósceles. Assim a medida do
lado desconhecido é 10 cm, logo,
p 5 4 1 12 1 10 1 10 5 36 cm.
b)
14 Calcule em seu caderno o valor de x nos trapézios
a seguir.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero
qualquer é 360°.
a)
13 cm
110°
130°
Â
12 cm
70°
18 cm
O ângulo 
A​
​    também é congruente aos ângulos
assinalados (alternos internos), de modo que a
diagonal divide o trapézio em um triângulo retângulo e um triângulo isósceles. Assim a medida do
lado desconhecido é 13 cm, logo,
p 5 13 1 13 1 18 1 12 5 56 cm.
c)
20 cm
x
x 5 360° 2 110° 2 130° 2 70° 5 50°
b)
x
x
120°
120°
2x 5 360° 2 120° 2 120° V 2x 5 120° V x 5 60°
c)
Â
128°
x
95°
85°
50 cm
Página
O ângulo 
A​
​    também é congruente aos ângulos
assinalados (alternos internos), de modo que o
triângulo superior esquerdo é isósceles. Dessa forma, os outros lados do trapézio também medem
20 cm. Assim, p 5 20 1 50 1 20 1 20 5 110 cm.
147
d)
x
48°
Atividades para casa
12 Desenhe em seu caderno um quadrilátero com qua­
tro lados congruentes e dois ângulos obtusos. Que
figura você obteve?
Um losango.
13 Desenhe em seu caderno o que se pede em cada
um dos itens e responda.
a) Um losango e um quadrilátero cujos vértices
são os pontos médios dos lados desse losango.
Que quadrilátero foi obtido?
Um retângulo.
x 5 360° 2 128° 2 95° 2 85° 5 52°
x 5 360° 2 90° 2 48° 2 90° 5 132°
15 Um paralelogramo tem os quatro ângulos con­
gruentes e a medida da base é igual ao dobro da
medida da altura.
a) Que nome recebe esse paralelogramo?
Se os quatro ângulos são congruentes, cada um
deles vale 360° ; 4 5 90°. Se a medida da base
é diferente da medida da altura, o quadrilátero é
um retângulo.
b) Calcule em seu caderno a área dessa figura, sa­
bendo que o perímetro é igual a 36 cm.
Sendo x a medida da altura do retângulo, a medida da base será 2x. Então o perímetro é
2x 1 x 1 2x 1 x 5 36 V 6x 5 36 V x 5 6 cm.
Portanto, a altura mede 6 cm, de modo que a medida da base é 2 ? 6 5 12 cm.
Logo a área é 12 ? 6 5 72 cm2.
123
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Resolução de atividades Capítulo 5
16 Um retângulo tem perímetro igual a 40 cm e a me­
dida da base excede a medida da altura em 6 cm.
Calcule em seu caderno a área desse retângulo.
Seja x a medida da altura do retângulo, então a base
é x 1 6. Então, tem-se
x 1 6 1 x 1 x 1 6 1 x 5 40 V 4x 5 40 2 12 V
V 4x 5 28 V x 5 7.
Logo a altura mede 7 cm. Substituindo o valor de x
na medida da base & 7 1 6 5 13.
Logo, tem-se a área & 13 ? 7 5 91 cm2.
17 Um quadrado, um retângulo e um triângulo equilá­
tero têm perímetros iguais. A medida da base do
retângulo excede em 1 m a me­dida do lado do qua­
drado, e a medida do lado do triângulo excede em
2 m a medida da altura do retângulo. Calcule em
seu caderno a área do quadrado.
Seja x a medida do lado do quadrado, de modo que
a base do retângulo é x 1 1.
Seja L a medida da altura do retângulo. Igualando o perímetro do quadrado ao perímetro do
retângulo tem-se 4x 5 x 1 1 1 x 1 1 1 L 1 L V
V 4x 5 2x 1 2 1 2L V 2x 5 2 1 2L V
V 2L 5 2x 2 2 V L 5 x 2 1. O lado do triângulo
mede L 1 2.
6x
V x 1 x 1 ___
​   ​ 5 40 V x 1 x 1 3x 5 40 V 2
V 5x 5 40 V x 5 40 ; 5 5 8 V
3x 3 ? 8 ___
24
 5 ​   ​ 5 12. Logo um dos lados do
​   ​ 
V ​ ___ ​ 5 _____
2
2
2
retângulo mede 8 cm e o outro mede 12 cm. Assim,
a área é A 5 12 ? 8 5 96 cm2.
b) A área de um retângulo com perímetro igual a
42 cm, cujas medidas dos lados são proporcionais
a 2 e 5.
Seja 2x a medida de um dos lados, e 5x a medida do outro. Então o perímetro é 2x 1 2x 1 5x 1 42
1 5x 5 42 V 14x 5 42 V x 5 ​ ___ ​ 5 3. Logo um
14
dos lados mede 2x 5 2 ? 3 5 6 cm, e o outro,
5x 5 5 ? 3 5 15 cm. Assim, a área é A 5 6 ? 15 5
5 90 cm2.
20 Determine as medidas dos ângulos de um quadrilá­
tero convexo ABCD sabendo que essas medidas são
dadas, em graus, pelas expressões 2x 1 40, 6x, 4x 1 20, 8x.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, tem-se
(2x 1 40) 1 6x 1 (4x 1 20) 1 8x 5 360° V
V 20x 5 360° 2 60° V 20x 5 300 V x 5 15.
Igualando a medida do perímetro do triângulo à
medida do perímetro do retângulo tem-se
(L 1 2) 1 (L 1 2) 1 (L 1 2) 5
5 L 1 L 1 (x 1 1) 1 (x 1 1) V
V 3L 1 6 5 2L 1 2x 1 2 V L 5 2x 2 4
Substituindo o valor de x, encontram-se os valores
dos ângulos.
Substituindo L 5 x 2 1 & x 2 1 5 2x 2 4 V x 5 3
• 6 ? 15° 5 90°
Assim, o lado do quadrado mede 3 m. Logo, a área
do quadrado é A 5 32 5 9 m2.
• 8 ? 15° 5 120°
18 Determine os valores de x e de y no paralelogramo
da figura.
x � 15
y�7
4y � 20
• 2 ? 15° 1 40° 5 70
• 4 ? 15° 1 20° 5 80°
70°, 90°, 80° e 120°
21 Nas figuras a seguir, PAB é triângulo equilátero e
ABCD é quadrado. Determine em seu caderno o va­
lor de x em cada caso.
a)
C
B
2x � 10
x
Igualando as medidas dos lados paralelos e congruentes, encontra-se o valor de x.
x 1 15 5 2x 2 10 V 2x 2 x 5 10 1 15 V x 5 25
Igualando as medidas dos outros lados paralelos e
congruentes, encontra-se o valor de y.
D
y 1 7 5 4y 2 20 V 3y 5 27 V y 5 9
19 Determine em seu caderno o que se pede em cada
item.
a) A área de um retângulo com perímetro igual a
40 cm, cuja razão entre as medidas dos lados é
3
igual a ​ __  ​.
2
Seja x a medida de um dos lados do retângulo,
3x
de modo que o outro lado mede ___
​   ​ . Então o
2
3x
3x ___
___
perímetro é x 1 x 1 ​   ​ 1 ​   ​ 5 40 V
2
2
124
3P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 124
P
A
Como PAB é um triângulo equilátero, seus ângulos internos medem 60°. Então a abertura
do ângulo C​
   P é___
B​
90° 1 60° 5 150°. Além disso, como o lado ​AB​ é comum ao quadrado e ao
triângulo equilátero PAB, a medida do lado do
quadrado é igual à medida do lado do triângulo.
Isso significa que o triângulo CPB é isósceles, de
forma que os ângulos C​
   B e B​
P​
C​
   P são congruentes.
Assim, a soma dos ângulos internos do triângulo
CPB é C​
   B 1 C​
P​
P​
   B 1 150° 5 180° V 2 ∙ C​
P​
 B
  5
5 180° 2 150° 5 30° V C​
   B 5 15°
P​
P​
Como A​
   B mede 60° (ângulo interno do triângulo equilátero), segue que
P​
  2 C​
P​
 B
  V x 5 60° 2 15° V x 5 45°
x 5 A​
 B
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Resolução de atividades Capítulo 5
b)
C
B
x
P
D
__ __ ___
A
A
___
Como o lado ​AB​ é comum ao quadrado e ao triângulo equilátero PAB, a medida do lado do quadrado é igual à medida do lado do triângulo. Isso significa que o triângulo CPB é isósceles, de modo
que os ângulos P​
   B e C​
C​
P​
   B são congruentes.

O ângulo P​B​
 A
  mede 60° (ângulo interno de triângulo equilátero), logo o ângulo P​
 C
B​
  mede
90° 2 60° 5 30°. Então a soma dos ângulos internos do triângulo PBC é
P​
   B 1 P​
C​
C​
   B 1 30o 5 180o V

V 2 ? P​C​
   B 5 180o 2 30o 5 150o V
150o
C​
 
  75o.
V P​
   B 5 ​ ____
 ​ 5
2
Logo x 5 90° 2 P​
   B V x 5 90° 2 75° V
C​
V x 5 15°.
22 Determine em seu caderno as medidas dos ângulos x e y indicados na figura.
20°
___
24 AI
​​  ​,  BI
​​  ​,  CE
​​  ​ e DE
​​  ​ são bissetrizes dos ângulos internos de um quadrilátero convexo. Calcule em seu
caderno A​I​ B
  1 C ​
E​
   D.
Seja um quadrilátero convexo qualquer.
x
D
B
a
a
�
y
E
x
O
�
�
P
�
b
y
b
I
C
Pelo triângulo ABI & AÎB 5 180° 2 (x 1 a)
(I)
E​ D 5180° 2 (y 1 b)
(II)
Pelo triângulo CED & C​ 
Pelo triângulo AOD & a 5 180° 2 (x 1 y)
(III)
Pelo triângulo BPC: b 5 180° 2 (a 1 b)
(IV)
Somando (I) e (II) &
E​ D 5 180° 2 (x 1 a) 1 180° 2 (y 1 b) V
AÎB 1 C​ 
V AÎB 1 C​
   D5 180° 2 (x 1 y) 1 180° 2 (a 1 b) V
E​
E​ D 5 a 1 b
V AÎB 1 C​ 
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, para o quadrilátero EOIP tem-se
E​ D 1 a 1 b 5 360°
AÎB 1 C ​ 
E​ D 5 a 1 b, logo 2 · (AIB 1 C​ 
E​D
  ) 5
Mas AÎB 1 C​ 
5 360° V AÎB 1 C​ 
E​ D 5 180°
Módulo 5: Propriedade dos quadriláteros notáveis
y
x
Página
Como a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180°, tem-se, para o triângulo,
x 1 20° 1 90° 5 180° V
V x 5 180° 2 20° 2 90° V x 5 70°
E como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer é 360° tem-se, para o quadrilátero,
y 5 360° 2 90° 2 90° 2 70° V y 5 110°
23 A sequência de figuras a seguir mostra como desenhar um quadrilátero que não seja nenhum dos
notáveis (trapézio, paralelogramo, retângulo, losango, quadrado).
152
1 Determine os ângulos desconhecidos dos seguintes trapézios.
a)
x
corte não-paralelo à base
quadrilátero
qualquer
a) Utilizando a mesma ideia, desenhe em seu caderno um quadrilátero qualquer.
Resposta possível.
y
64°
triângulo
qualquer
Atividades para classe
b)
37°
Tem-se que x é o ângulo suplementar ao ângulo
de 64°, então x 1 64° 5 180° V
V x 5 180° 2 64° V x 5 116°.
E y é o ângulo suplementar ao ângulo de 37°,
então y 1 37° 5 180° V
V y 5 180° 2 37° V
V y 5 143°. Logo, x 5 116°; y 5 143°.
56° y
x
42°
Tem-se que x é o ângulo suplementar ao ângulo
de 56°, então x 5 180° 2 56° V x 5 124°. E y é o ângulo suplementar ao ângulo de 42°, então y 5 180° 2 42° V y 5 138° V
V x 5 124°; y 5 138°.
c)
b) Desenhe um quadrilátero cujos vértices sejam
os pontos médios dos lados do quadrilátero obtido no item anterior. Que quadrilátero é esse?
Paralelogramo.
x
y
50°
125
4P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 125
29.10.08 16:09:00
Resolução de atividades Capítulo 5
d)
Tem-se que x é o ângulo suplementar ao ângulo
de 50°, então x 5 180° 2 50° V x 5 130°
Tem-se que y é o ângulo suplementar ao ângulo
de 90°, então y 5 180° 2 90° V
V y 5 90° V x 5 130°; y 5 90°.
122° 132°
x
com abertura de 130°, tem-se
180° 2 130° 5 50°. Então os outros dois ângulos,
congruentes, são 25° e 25°.
Esse triângulo é congruente ao triângulo que tem
o ângulo x desconhecido, logo x 5 25°;
z é congruente a y; então, tem-se 2z 1 50° 5 180°
(pois 50° é suplementar de 130°) V
V 2z 5 130° V z 5 y 5 65°.
c)
y
Tem-se que x é o ângulo suplementar ao ângulo
de 122°, então x 5 180° 2 122° V x 5 58°.
Tem-se que y é o ângulo suplementar ao ângulo
de 132°, então y 5 180° 2 132° V
V y 5 48° V x 5 58°; y 5 48°.
e)
92°
y
x
24°
Tem-se que y é o ângulo suplementar ao ângulo
de 24°, então y 5 180° 2 24° V y 5 156°.
Tem-se que x é o ângulo suplementar ao ângulo
de 92°, então x 5 180° 2 92° V
V x 5 88° V x 5 88°; y 5 156°.
f)
x
48°
106°
y
36°
x
y
z
Como o triângulo que tem o ângulo de 36° é
isósceles, tem-se 180° 2 36° 2 36° 5 108° (que
é o ângulo obtuso desse triângulo). Como x é o
ângulo suplementar a esse ângulo, tem-se
x 5 180° 2 108° V x 5 72°.
No triângulo isósceles com o ângulo y, o outro
ângulo mede 72°, pois é oposto pelo vértice a x.
Então, tem-se 2y 1 72° 5 180° V
V 2y 5 180° 2 72° V 2y 5 108° V y 5 54° e
z 536° (alternos internos).
3 Calcule a medida de x, y, z e w, indicados em cada
losango.
a)
x
z
°
Tem-se que x é o ângulo suplementar ao ângulo
de 106°, então x 5 180° 2 106° V x 5 74°.
Tem-se que y é o ângulo suplementar ao ângulo
de 48°, então y 5 180° 2 48° V
V y 5 132° V x 5 74°; y 5 132°.
2 Determine a medida dos ângulos x, y e z dos retân­
gulos seguintes.
a)
26
y
x
z
Como as diagonais do losango são perpendiculares entre si, então z 5 90°.
O ângulo x é congruente ao ângulo de 26°, pois o
triângulo é isósceles, então x 5 26°.
Sabendo que as diagonais de um losango coincidem com as bissetrizes, tem-se, para o triângulo
de baixo, y 5 180° 2 26° 2 90° V y 5 64°.
b)
y
z
30°
O retângulo foi dividido em 4 triângulos (2 a 2
congruentes). Em um dos triângulos há um ângulo conhecido de 30°. Como as diagonais de um
paralelogramo são congruentes e se interceptam
nos respectivos pontos médios, o outro ângulo
também terá abertura de 30°. Então, o ângulo
obtuso desse triângulo é
180° 2 30° 2 30° 5 120° (pois é um triângulo
isósceles). Logo x 5 180° 2 120° V x 5 60°;
z 5 90° 2 30° (ângulos alternos internos) V
V z 5 60°.
E y 5 30°, pois y é um ângulo congruente ao ângulo com abertura de 30°.
c)
Como w é formado pelas duas diagonais do losango, então w 5 90°. y é congruente ao ângulo
de 50°, pois ambos são ângulos da base de um
triângulo isósceles. Então y 5 50°.
E x é congruente a z, pois ambos são também ângulos da base de um triângulo isósceles. Então
x 5 z 5 180° 2 90° 2 50° 5 40°.
y
x
38°
y
x
x
z
b)
130°
w
50°
z
y
Para calcular os outros dois ângulos do triângulo
y é congruente ao ângulo de 38°, então y 5 38°.
z é formado pelas diagonais do losango, então
z 5 90°. Pela soma dos ângulos internos de um
triângulo tem-se x 5 180° 2 90° 2 38° 5 52°.
126
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20.10.08 13:03:33
Resolução de atividades Capítulo 5
5 Verifique quais afirmações são verdadeiras e cor­
rija as falsas em seu caderno.
d)
x
3x 1 20°
z
116° 2 x
Como os ângulos opostos de um losango são
congruentes, tem-se 3x 1 20° 5 116° 2 x V
V 4x 5 116° 2 20° V 4x 5 96° V x 5 24°. E
como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer é 360°, e x é congruente a z, temse 2z 5 360° 2 (3 ? 24° 1 20°) 2 (116° 2 24°) V
V 2z 5 176° V z 5 88°.
e)
y
68° 2 2x
z
2x
Igualando a soma dos ângulos internos de dois
triângulos formados nesse losango, tem-se
2x 1 y 1 90° 5 (68° 2 2x) 1 90° 1 y (onde
foram usados o ângulo alterno interno a y
e as propriedades das diagonais dos losangos) V 4x 5 68° V x 5 17°.
Substituindo o valor de x &
& z 5 2x 5 2 ? 17° 5 34°
Substituindo o valor de z &
& y 5 180° 2 90° 2 z 5 180° 2 90° 2 34° 5 56°
f)
3x 2 8°
2y 2 8°
z
12
a) Se um trapézio é isósceles, então os ângulos de
uma mesma base são congruentes.
V
b) As diagonais de um retângulo formam quatro ân­
gulos congruentes.
F – As diagonais de um retângulo não formam
quatro ângulos congruentes.
c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes
dos ângulos internos.
F – As diagonais de um retângulo não são bissetrizes dos ângulos internos.
6 Determine mentalmente a medida de x nos tra­
pézios seguintes.
Sabendo que a base média de um trapézio tem medida igual à média aritmética das medidas dessas
bases, tem-se
a) 12
x
20
x
15
31
30
x
x
18
30 1 12
 ​ 5 21
x 5 ​ ________
 
 
2
b) x
20
15
31
x1y
30
Igualando os ângulos congruentes, tem-se
2y 2 8° 5 x 1 y (alternos internos) V
V y 5 x 1 8°. Sabendo que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é 180°, tem-se
(3x 2 8°) 1 90° 1 (2y 2 8°) 5 180°. Substituindo y 5 x 1 8° & (3x 2 8°) 1 90° 1 (2x 1 8°) 5
12 5x 5 90° V
x
5 180° V 5x 5 180° 2 90° V
V x 5 18°. Substituindo o valor
de
x 5 18°
&
x
15
& y 5 x 1 8° 5 18° 1 8° 5 26°; e z 5 3x 2 8°
(alternos internos) V z 5 3 ? 18° 2 8° 5 46°.
4 Em
30
18
cada item a seguir são dadas as medidas de
dois ângulos internos de um trapézio. Determine
em seu caderno as medidas dos outros dois ângu­
los internos.
Sabendo que a soma dos ângulos consecutivos formados pelas bases de um trapézio é 180°, tem-se
a) 60° e 45°
180° 2 60° 5 120°; 180° 2 45° 5 135°
x 1 18
 ​ 5 15 V x 1 18 5 30 V
​ ______
 
 
2
V x 5 30 2 18 V x 5 12
c)
180° 2 72° 5 108°; 180° 2 115° 5 65°
c) 130° e 126°
180° 2 130° 5 50°; 180° 2 126° 5 54°
x
x 1 20
 ​ 5 31 V x 1 20 5 62 V
​ _______
 
 
2
V x 5 62 2 20 V x 5 42
7 Determine x, y e z nos paralelogramos abaixo.
Sabendo que a soma dos ângulos consecutivos formados pelas bases de um paralelogramo é 180°, e
que os ângulos opostos são congruentes, tem-se
a)
180° 2 107° 5 73°; 180° 2 61° 5 119°
z
122°
y
x
y 5 122°; x 5 z 5 180° 2 122° 5 58°
b)
31°
y
d)107° e 61°
20
31
b) 72° e 115°
x
18
x
z
x 5 31°; y 5 z 5 180° 2 31° 5 149°
127
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Resolução de atividades Capítulo 5
c)
z
y
x
23°
z 5 23°; x 5 y 5 180° 2 23° 5 157°
d)
  180° 2 134° 5 46°.

D​ 5
​    180° 2 148° 5 32°; ​ A​ 5
Então os ângulos da base do triângulo medem a
metade destes, ou seja, 16° e 23°. Logo x 5 180° 2 16° 2 23° 5 141°.
d)
3y 2 11°
2x 2 12°
x
130°

180o
A​
B​ 
​   1 ​ 
 
  180o V x 1 ​ _____
 
  180o V
V x 1 ​ ______
 ​ 5
 ​ 5
2
2
V x 1 90° 5 180o V x 5 90o.
77°
5x 2 7°
153
Página 5x 2 7° 5 180° 2 77° 5 103° V
V 5x 5 103° 1 7° V 5x 5 110° V x 5 22°
2x 1 y 5 77° & Substituindo x 5 22° &
& 2 ? 22° 1 y 5 77° V y 5 77° 2 44° V y 5 33°
f)
2x 1 y
2y 2 1°
D
Como ​ 
A​ 1 ​ 
  
B​ 5
  180°, tem-se, para o triângulo, 

A​
​    __
​ B​ 
__
  ​   ​ 1
​   ​ 1
  x 5 180° V 2
2
e)
ABCD é trapézio
I
A
3y 2 11° 5 130° V 3y 5 130° 1 11° V
V 3y 5 141° V y 5 47°
2x 2 12° 5 180° 2 130° 5 50° V
V 2x 5 50° 1 12° V 2x 5 62° V x 5 31°
2x 1 y
C
B
Atividades para casa
9 Determine as medidas dos ângulos assinalados
nos trapézios abaixo.
Sabendo que os ângulos das bases de um trapézio
isósceles são congruentes, tem-se:
a)
x
10y 1 1°
(2y 2 1°) 1 (10y 1 1°) 5 180° V
V 12y 5 180° V y 5 15°
2x 1 y 5 2y 2 1° & Substituindo y 5 15° &
& 2x 1 15° 5 30° 2 1° V 2x 5 14° V x 5 7°
D
a)
C
b)
z 5 43°; x 5 y 5 180° 2 43° 5 137°
x
y
A soma dos ângulos consecutivos de um paralelogramo é 180°, portanto ​ 
A​ 1 ​ 
  
B​ 5
  180°. Como



A​
A​
B​ 
​    ​ B​ 
​   1 ​ 
 ​ 5
x 1 ​ __ ​  1 __
​   ​  5 180o, tem-se que x 1 ​ ______
 
  180° V
2
2 2
180°
_____
V x 1 ​   ​  
 5 180° V x 1 90 5 180°. Logo
2
x 5 90°.
z 5 114°; x 5 y 5 180° 2 114° 5 66°
c)
x
I
ABCD é trapézio
D
A
Como ​
A​ 1 ​
  
B​ 5
 


A​
​    __
​ B​ 
__
180°, tem-se, para o triângulo, 
A​
B​ 
​   1 ​ 
  ​   ​ 1
 ​ 5
​   ​ 1
  x 5 180° V x 1 ​ ______
 
  180o V 2
2
2
o
180
 ​ 5
V x 1 ​ _____
 
  180o V x 1 90 5 180o. 2
Logo x 5 90°.
c)
148°
C
B
x
D
z
y 5 134°; x 5 z 5 180° 2 134° 5 46°
Sabendo que um trapézio retângulo tem dois ângulos retos, e que a soma dos dois outros ângulos é
180°, tem-se:
d)
y
x
e)
28°
x 5 90°; y 5 180° 2 28° 5 152°
y
x
111°
x 5 90°; y 5 180° 2 111° 5 69°
f)
134°
ABCD é trapézio
A
134°
x
B
C
114°
y
B
b)
ABCD é paralelogramo
A
z
I
x
z
43°
___
__
seguintes, ​AI​ e ​BI​ estão
contidos nas
8 Nas figuras
bissetrizes dos ângulos internos dos polígonos
ilustrados. Calcule a medida do ângulo assinalado
com x.
y
51°
y
x
y 5 90°; x 5 180° 2 51° 5 129°
128
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29.10.08 16:09:29
Resolução de atividades Capítulo 5
10 Calcule em seu caderno os ângulos internos de um
paralelogramo, sabendo que o ângulo obtuso é o
quádruplo do agudo.
4x
x
Como os ângulos opostos são congruentes, tem-se
x 1 4x 1 x 1 4x 5 360° V
V 10x 5 360° V x 5 36° V 4 ? 36° 5 144°. Logo os
ângulos são 144°; 144°; 36°; 36°.
11 Determine os valores das incógnitas nos trapézios
abaixo.
Sabendo que a base média de um trapézio é igual à
média aritmética das medidas das bases, tem-se
14 Num trapézio isósceles a medida de um ângulo interno excede a de outro em 20°. Calcule os ângulos desse trapézio.
Em um trapézio isósceles, os ângulos são congruentes dois a dois; então seja x a medida de um desses
ângulos e x 1 20° a medida do outro.
Como a soma desses ângulos é 180°, tem-se
x 1 20° 1 x 5 180° V 2x 5 180° 2 20° V
V 2x 5 160° V x 5 80°;
x 1 20° 5 80° 1 20° 5 100°
Logo os ângulos são 100°; 100°; 80°; 80°.
15 Pedro confeccionou uma toalha retangular para a
mesa de sua sala.
x11
a)
x17
26
26 1 (x 1 1)
 ​ V 2x 1 14 5 27 1 x V
x 1 7 5 ​  __________
 
 
2
V x 5 27 2 14 5 13
b)
y
x
15
19
x 1 19
 ​ 5 15 V x 5 30
2 19 5 11
• ​ ______
 
 
2
15 1 y
 ​ 5 x 5 11
V y 5 22 2 15 5 7
• ​ ______
 
 
2
c)
y
2x
32 2 x
3x 1 1
(3x 1 1) 1 2x
 ​  
5 32 2 x V 5x 1 1 5 64 2 2x V
• ____________
​ 
 
 
2
V 7x 5 63 V x 5 9
y 1 32 2 9
y 1 (32 2 x)
 ​
5 2x V ​ ___________
 ​ 
5 2 ? 9 V
    
 
• ____________
​ 
2
2
V y 5 36 2 32 1 9 5 13
12 Calcule a área de um triângulo que tem base média
de 19 cm e altura 8 cm.
B?h
, onde B representa a base
A área do triângulo é _____
​   ​ 
2
e h a altura.
A 5 19 ? 8 5 152 cm2
Logo, a altura é 152 cm2.
13 Calcule a área de um trapézio que tem base média
de 13 cm e altura 6 cm.
Como no exercício anterior & A 5 13 ? 6 5 78 cm2
Para cobrir a diagonal que vai da flor azul à flor
amarela, ele utilizou 2 metros de fita vermelha.
Pedro precisa de quantos metros de fita para cobrir a outra diagonal? Justifique com base nas
propriedades do retângulo.
Precisa de 2 m, pois as diagonais do retângulo são
congruentes.
16 Uma diagonal de um losango forma um ângulo de
31° com um lado. Determine o ângulo obtuso desse
losango.
Como as diagonais de um losango coincidem com
as bissetrizes, o ângulo agudo do losango mede
2 ? 31° 5 62°. O ângulo oposto a esse também mede
62°, de forma que, chamando de x a medida do ângulo obtuso, tem-se 62° 1 x 1 62° 1 x 5 360° V
V 2x 5 360° 2 124° 5 236° V
V x 5 236° ; 2 5 118°.
17 Num trapézio retângulo, o lado oblíquo me­de 9 cm,
a altura mede 8 cm e a medida da base média é
igual a 6 cm. Calcule o perímetro desse trapézio.
Para obter a soma da base maior com a base menor basta multiplicar a medida da base média por 2.
Além disso, a medida da altura representa também
a medida de um dos lados do trapézio. Então o perímetro é P 5 8 1 9 1 2 ? 6 5 29 cm.
18 Um triângulo ABC tem 68 cm de perímetro. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC.
Os pontos médios dos lados do triângulo formam
outro triângulo, menor. Cada lado desse triângulo é
uma base média relativa a um dos lados do triângulo
maior, e sua medida é metade da medida desse lado.
Assim, o perímetro do triângulo menor é metade do
68
perímetro do maior. p 5 ​ ___ ​ 5 34
cm
 
2
19 Um
trapézio isósceles tem um ângulo de 120°, e
as bissetrizes dos ângulos internos da ba­se menor
se cruzam em um ponto da base maior. Calcule o
perímetro desse trapézio, sabendo que a medida
da base menor é igual a 15 cm.
129
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29.10.08 16:09:46
Resolução de atividades Capítulo 5
60º
60º
60º
60º
60º
60º
Os ângulos obtusos do trapézio medem 120°, logo
os agudos medem 180° 2 120° 5 60°. Note que as
bissetrizes dos ângulos obtusos, ao se encontrarem
na base maior, dividem o trapézio em três triângulos
cujos ângulos internos medem 60°, de forma que
são equiláteros. Então, como a medida da base menor é igual a 15 cm, tem-se
P 5 15 cm 1 15 cm 1 15 cm 1 30 cm 5 75 cm.
23 Num trapézio isósceles, a medida de um ângulo
interno é o dobro da do outro. Calcule os ângulos
desse trapézio.
Sabendo que um trapézio isósceles tem ângulos
congruentes dois a dois, tem-se 2x 1 x 1 2x 1 x 5
5 360° V 6x 5 360° V 2x 5 120° V x 5 60°.
Logo os ângulos são 120°; 120°; 60°; 60°.
24 Nos itens abaixo, os pontos sobre os lados do triân­
gulo são pontos médios dos lados. Determine, em
centímetros, o valor de cada incógnita.
a)
20 Calcule x nos trapézios seguintes.
13 cm
x15
a)
21
x
2x 1 7
(x 1 5) 1 (2x 1 7)
 ​
5 21 V 3x 1 12 5 42 V
​ _________________
    
2
V 3x 5 42 2 12 V 3x 5 30 V x 5 10
Como 13 cm é a base média do triângulo, temx
-se __
​    ​ 5 13 cm V x 5 26 cm.
2
b)
16 cm
x
2x 2 6
b)
2x
3x 2 3
(3x 2 3) 1 (2x 2 6)
 ​ 5 2xV 5x 2 9 5 4x V
​ __________________
    
2
V 5x 2 4x 5 9 V x 5 9
c)
Como x é a base média do triângulo, tem-se
16
cm.
 
x 5 ​ ___ ​ 5 8
2
c)
x12
22 2 x
2x 1 2
3x 2 9
2x 1 10
(2x 1 10) 1 2x 1 2)
 ​
5 3x 2 9 V
​ __________________
    
2
V 4x 1 12 5 6x 2 18 V 2x 5 30 V x 5 15
Como (22 2 x) é a base média do triângulo,
x 1 2
 ​ 5 22
2 x V x 1 2 5 44 2 2x V
 
 
tem-se ​ ______
2
V 3x 5 42 V x 5 14 cm.
d)
18
Página
154
Atividades para casa
21 As diagonais de um retângulo ABCD formam um
ângulo de 132° e se interceptam em P. Determine
a medida de P​
   B.
A​
Sabendo que as diagonais dividem o retângulo em
quatro triângulos isósceles e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, tem-se
A​ B 5 48 ; 2 5 24°
180° 2 132° 5 48° V P​ 
A​ B
Dependendo da nomenclatura dos vértices, P​ 
pode ser o complementar do ângulo acima V 66°.
Assim, P​ 
A​ B 5 24° ou 66°.
22 Num trapézio retângulo um dos ângulos internos é
o triplo do outro. Calcule esses ângulos.
Sabendo que um trapézio retângulo tem dois ângulos retos e a soma dos dois outros ângulos é 180°,
tem-se 3x 1 x 5 180° V 4x 5 180° V x 5 45° V
V 3x 5 135°
10
x
y
e)
18
cm e 10 e x são bases médias, logo x 5 ​ ___ ​ 5 9
 
2
y
__
​    ​5 10 V y 5 20 cm.
2
24 � 2y
x�7
y
x
x
• x 2 7 5 ​ __  ​ V 2x 2 14 5 x V x 5 14 cm.
2
24 2 2y
 ​ V 2y 1 2y 5 24 V
 
 
• y 5 ​ ________
2
V 4y 5 24 V y 5 6 cm.
130
3P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 130
20.10.08 13:03:35
Resolução de atividades Capítulo 5
29 Calcule os ângulos internos de um trapézio isósceles, sabendo que o ângulo entre uma altura e a
bissetriz de um dos ângulos da base maior é igual
a 70°.
f)
3y 1 4
2y
5x
B
A
5x 1 3
5x 1 3
2y 5 ​ _______
 
 
 ​ V 4y 5 5x 1 3 V 5x 5 4y
23
2
Como 5x é a medida da outra base média, tem-se
3y 1 4
 ​ 
. 
5x 5 ​ ______
2
Substituindo o valor de 5x 5 4y 2 3 & 4y 2 3 5
3y 1 4
 
 
 ​ V 8y
2 6 5 3y 1 4 V
5 ​ _______
2
V 8y 2 3y 5 4 1 6 V
V 5y 5 10 V y 5 2 cm.
4y 2 3
 
 
 ​ 5
Logo x 5 ​ _______
5
4
?
2
2
3
 
  1 cm.
5 ​ _________
 ​ 5
5
25 Calcule os ângulos internos de um trapézio retân-
gulo, sabendo que a diferença entre as medidas do
obtuso e do agudo é igual a 80°.
A soma dos ângulos internos desse trapézio é (x 1 80°) 1 x 1 90° 1 90° 5 360° V 2x 5 100° V
V x 5 50°; x 1 80° 5 50° 1 80° 5 130°.
Os ângulos são 50° e 130°.
26 Determine a medida dos ângulos internos de um
trapézio isósceles, sabendo que a diferença entre
as medidas de dois deles é igual a 62°.
A soma dos ângulos internos desse trapézio isósceles é (x 1 62°) 1 (x 1 62°) 1 x 1 x 5 360° V
V 4x 5 360° 2 124° V 4x 5 236° V x 5 59°;
x 1 62° 5 59° 1 62° 5 121°.
Os ângulos são 121°; 121°; 59°; 59°.
27 Determine o ângulo agudo de um trapézio retân-
gulo, sabendo que as bissetrizes dos ângulos da
base maior formam um ângulo de 105°.
O ponto de encontro das bissetrizes e os vértices
da base maior formam um triângulo. Dois dos ângulos internos desse triângulo são 105° (formado pelo
encontro das bissetrizes) e 45° (metade do ângulo
reto), de modo que o outro é
180° 2 105° 2 45° 5 30°.
28 Calcule a medida do ângulo obtuso de um tra­pézio
retângulo, sabendo que as bissetrizes dos ângulos
internos da base menor formam um ângulo de 80°.
B
C
80°
A
C
x
70º
D
O ângulo x assinalado na figura mede
180° 2 70° 2 90° 5 20°.
Logo o ângulo A​
   D mede 2 ? 20° 5 40°, e o ânguC​
lo C​
   B é congruente a A​
D​
C​
   D, de modo que também
mede 40°. Assim, os ângulos C​ 
A​ B e A​
B​
   D medem
180° 2 40° 5 140°.
Portanto, os ângulos são 40°, 40°, 140° e 140°.
30 Calcule o ângulo agudo de um trapézio isósceles,
sabendo que a bissetriz do ângulo obtuso e uma
altura do trapézio formam um ângulo de 27°.
De maneira similar ao exercício anterior, a altura
forma um ângulo reto com a base, e a bissetriz com
essa altura forma um triângulo retângulo. Então,
para conhecer o outro ângulo do triângulo formado,
tem-se 180° 2 27° 2 90° 5 63°. Logo o ângulo obtuso é o dobro desse ângulo & 2 ? 63° 5 126°. Calculando o ângulo agudo & 180° 2 126° 5 54°.
Portanto, os ângulos são 126°, 126°, 54° e 54°.
31 As medidas de dois ângulos consecutivos de um
trapézio têm soma 180° e diferença 80°. Em seu
caderno, calcule os ângulos e faça um esboço desse trapézio.
Considerando x a medida de um ângulo desse trapézio e y a medida de outro ângulo, monta-se o sistema abaixo.
x 1 y 5 180°
​
   ​ ​​ 1
​ 130º
130º
x 2 y 5 80°
2x 5 260° V x 5 130°
2 
50º
50º
Substituindo o valor de x
na primeira equação &
& x 1 y 5 180° V 130° 1 y 5 180° V
V y 5 180° 2 130° V y 5 50°. Portanto, os ângulos
são 130°; 130°; 50°; 50°.
32 Uma diagonal de um paralelogramo forma 26° com
um lado e 42° com outro. Calcule as medidas dos
ângulos desse paralelogramo.
A soma dos ângulos formados pelas diagonais resulta na medida do ângulo agudo desse paralelogramo
& 26° 1 42° 5 68°. O ângulo obtuso do paralelogramo é 180° 2 68° 5 112°.
Portanto, os ângulos são 112°; 112°; 68°; 68°.
33 Em cada item é dada a medida de um ângulo inD
O triângulo demarcado na figura tem ângulos de
80° (dado) e 45° (metade do ângulo reto), de modo
que o outro mede 180° 2 45° 2 80° 5 55°.
Logo o ângulo obtuso do trapézio é o dobro desse
ângulo & 2 ? 55° 5 110°.
terno de um trapézio isósceles. Determine em seu
caderno as medidas dos outros ângulos internos.
O cálculo é feito sabendo que um trapézio isósceles
tem lados congruentes dois a dois, e que a soma dos
ângulos não-congruentes é 180°.
a) 120°
180° 2 120° 5 60°. Então os outros ângulos são
120°; 60°; 60°.
131
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29.10.08 16:10:03
Resolução de atividades Capítulo 5
b) 48°
180° 2 48° 5 132°. Então os outros ângulos são
48°; 132°; 132°.
c) 92°
180° 2 92° 5 88°. Então os outros ângulos são
92°; 88°; 88°.
d)51°
180° 2 51° 5 129°. Então os outros ângulos são
51°; 129°; 129°.
34 Determine x e y nos trapézios abaixo.
O cálculo destes itens é feito considerando que a
soma dos ângulos consecutivos (que não pertençam
à mesma base) é 180°, e que a soma dos ângulos
internos de um quadrilátero qualquer é 360°.
5y 1 10°
a)
80° 1 (12y 2 20°) 5 180° V 12y 5 180° 2 60° V
V 12y 5 120° V y 5 10°
148° 1 (x 1 20°) 5 180° V x 5 180° 2 168° V
V x 5 12°
e)
115°
5x 2 40°
x1y
x 2 8°
(5x 2 40°) 1 (x 2 8°) 5 180° V 6x 5 180° 1 48° V
V 6x 5 228° V x 5 38°
115° 1 (x 1 y) 5 180°
Substituindo o valor de x 5 38° &
& 115° 1 38° 1 y 5 180° V y 5 180° 2 153° V
V y 5 27°
f)
4x 1 46°
5x 2 10°
3y 1 18°
x1y
(3y 1 18°) 1 (x 1 y) 5 180° V
V x 5 180° 2 18° 2 4y V x 5 162° 2 4y
A soma dos ângulos internos do trapézio é
(3y 1 18°) 1 (5y 1 10°) 1 (x 2 22°) 1 (x 1 y) 5
5 360°. Substituindo x 5 162° 2 4y &
& 3y 1 18° 1 5y 1 10° 1 162° 2 4y 2 22° 1
1 162° 2 4y 1 y 5 360° V
V y 5 360° 2 330° 5 30°.
x 5 162° 2 4y. Substituindo o valor de y 5 30° &
& x 5 162° 2 4 ? 30° V x 5 42°.
(4x 1 46°) 1 (x 1 4°) 5 180° V
V 5x 5 180° 2 50° V 5x 5 130° V x 5 26°
(5x 2 10°) 1 (x 1 y) 5 180°. Substituindo o
valor de x 5 26° &
& 5 ? 26° 2 10° 1 26° 1 y 5 180° V
V y 5 180° 2 146° V y 5 34°.
35 Um losango tem um ângulo interno de 120° e sua
diagonal menor mede 8 cm. Determine o períme­
tro desse losango.
60°
b)
60°
5y 1 39°
3x 1 y
c)
4x 2 18°
2x 1 y 1 90° 5 180° V y 5 90° 2 2x
(4x 2 18°) 1 3y 5 180°. Substituindo o valor de
y 5 90° 2 2x & 4x 2 18° 1 3 ? (90 2 2x) 5
5 180° V 4x 2 18° 1 270° 2 6x 5 180° V
V 2x 5 72° V x 5 36°
Substituindo esse valor em y 5 90° 2 2x &
& y 5 90° 2 2 ? 36° V y 5 18°
d)
12y 2 20°
80°
Se o ângulo obtuso mede 120°, o ângulo agudo
mede 180° 2 120° 5 60°. Como as diagonais do losango coincidem com as bissetrizes, elas dividem os
ângulos de 120° à metade. Com isso forma-se um
triângulo equilátero, e como a base mede 8 cm, os
outros lados também têm essa medida. Assim o lado
do losango mede 8 cm, de forma que seu perímetro
é p 5 4 ? 8 5 32 cm.
Página
3y
148°
x 1 20°
8 cm
120°
4y 1 6°
(5y 1 39°) 1 (4y 1 6°) 5 180° V
V 9y 1 45° 5 180° V 9y 5 180° 2 45° V
V 9y 5 135° V y 5 15°
Como o trapézio é isósceles, tem-se 3x 1 y 5
5 4y 1 6°. Substituindo o valor de y 5 15° &
& 3x 1 15° 5 4 ? 15° 1 6° V 3x 5 66° 2 15° V
V 3x 5 51° V x 5 17°
2x 1 y
x1y
x 1 4°
x 2 22°
155
Atividades para casa
___
A​
   D, 36 Nos itens a seguir, ​​AP​  é bissetriz de B​
AB 5 10 cm e PC 5 4 cm. Determine o perímetro
do paralelogramo ABCD.
a)
C
D
P
B
A
___
Como ​​AP​  é bissetriz, segue que P​ 
A​B
  5 D​ 
A​ P. O
ângulo A​
 B
P​
  também é congruente a D​ 
A​P
  (alternos internos). Portanto, o triângulo APB é
isósceles, sendo que PB 5 AB 5 10 cm. Então
AD 5 BC 5 10 1 4 5 14 cm, e o perímetro do paralelogramo ABCD é 14 1 10 1 14 1 10 5 48 cm.
132
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Resolução de atividades Capítulo 5
b)
A
6
6
4
D
um triângulo isósceles, B​ 
C​ D também mede x. Então
os três ângulos internos do triângulo BCD são congruentes, de forma que o triângulo é equilátero e
x 5 60°.
Portanto, o ângulo agudo do trapézio mede x 5 60°,
e o obtuso mede 2x 5 120°.
B
10
10 � 4 H
C
4
P
___
___
Seja H o ponto de encontro dos segmentos AP​
​  e​
DC​ . Como AP é bissetriz, segue que P​ 
A​B
  5 D​ 
A​ P.
A​ 
H​ D é congruente a P​ 
A​B
  (alternos internos),___
de
modo que o triângulo ADH é isósceles de base AH​
​  .
P​ 
H​ C é congruente a A​ 
H​ D (opostos pelo vértice),
e H​ 
P​ C é congruente a D​ 
A​ P (alternos internos),___
de
modo que o triângulo PHC é isósceles de base PH​
​  .
Portanto,
___ o triângulo ABP também é isósceles, de
base ​AP​. 
Dessa forma, PB 5 10 cm; BC 5 6 cm; AD 5 6 cm;
DC 5 AB 5 10 cm.
Então o perímetro do paralelogramo ABCD é
10 1 6 1 10 1 6 5 32 cm.
37 Determine os ângulos de um trapézio isósceles
ABCD, sabendo
que___a base maior é congruente à
___

diagonal ​AC​,  e que ​​AC​ é
   bissetriz do ângulo agudo.
D
C
2x
A
x
x
2x
B
Como a diagonal é bissetriz do ângulo agudo, ela o
divide em dois ângulos congruentes de medida x.
Uma vez que o trapézio é isósceles, os ângulos da
base são iguais e medem 2x.
Como a base maior é congruente à diagonal, elas são
lados de um triângulo isósceles; sendo assim, o outro
ângulo interno desse triângulo também mede 2x.
Para esse triângulo tem-se então x 1 2x 1 2x 5
5 180° V 5x 5 180° V x 5 36° V 2x 5 72°.
Calculando o ângulo obtuso do trapézio, que é suplementar ao agudo, & 180° 2 72° 5 108°.
Logo, os ângulos são 72° e 108°.
38 Uma
diagonal de um trapézio retângulo é bis­
setriz do ângulo obtuso e é congruente ao lado
oblíquo. Determine os ângulos agudo e obtuso
desse trapézio.
B
xx
A
x
D
C
A diagonal coincide com a bissetriz, de modo que
A​ 
B​ D 5 C​ 
B​ D 5 x.
D​C
  também vale x, pois é alterno interO ângulo B​ 
no a A​ 
B​ D. Como a diagonal e a base maior formam
39 Determine o perímetro do quadrilátero cujos vértices
são os pontos médios dos lados de ABCD, sabendo
que as diagonais de ABCD medem 15 cm e 32 cm.
C
D
A
15 cm
32 cm
B
Os lados do quadrilátero assim formado são bases
médias de triângulos cujas bases são as diagonais
de ABCD, e portanto medem a metade do comprimento dessas diagonais.
32
Assim, os lados do quadrilátero formado medem ​ ___ ​ ,
2
15
32 15 ___
​   ​ e ​   ​ . Logo, o perímetro é
​ ___ ​ , ___
2 2
2
32 32 ___
15 15 _________________
32 1 32 1 15 1 15
p 5 ___
​   ​ 1 ___
​   ​ 1 ​   ​ 1 ___
​   ​ 5 ​ 
 ​
5
    
2
2
2
2
2
94
5 ___
​   ​ 5 47 cm
2
40 Giovana recebeu como herança um terreno em
forma de trapézio. Ela resolveu dividir esse terre­
no e doar uma parte a seu irmão Claudiomar. Para
essa divisão, ela optou por seccionar o terreno
em uma linha paralela às bases e que intercepta
a linha da altura no ponto médio desta. Sabendo
que a figura abaixo representa o terreno em escala
1 ; 1 000, copie-a em seu caderno, trace o limite
entre os dois terrenos e calcule o perímetro de
cada um em metros.
5 cm
3 cm
altura
3 cm
7 cm
715
 ​ 5 6.
Calculando a base média, tem-se m 5 ​ _____
 
 
2
Calculando os perímetros da figura, tem-se
Tmenor 5 6 1 3 1 3 1 5 5 17 cm;
Tmaior 5 7 1 3 1 3 1 6 5 19 cm.
Como a escala é 1 ; 1 000, cada centímetro na figura
vale 1 000 cm 5 10 m do terreno real.
Então o perímetro do terreno maior é 190 m e o do
menor, 170 m.
41 Determine a medida do lado de um losango sa­
bendo que a diagonal menor mede 6 cm e que a
medida do ângulo obtuso é o dobro da medida do
ângulo agudo.
Sendo x o ângulo agudo desse triângulo, tem-se
x 1 x 1 2x 1 2x 5 360° V 6x 5 360° V
V x 5 60°. Sendo assim, o losango é formado pela
junção de dois triângulos equiláteros, logo a medida
do lado desse losango é a mesma da diagonal, 6 cm.
133
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Resolução de atividades Capítulo 5
y18
B
A
y11
15 2 3z
x16
C
2z
14 2 x
Os lados do triângulo ABC são bases médias do triângulo maior. Assim,
• 2z 5 15 2 3z V 2z 1 3z 5 15 V 5z 5 15 V z 5 3
y18
 
 
• y 1 1 5 ​ _____
 ​ V 2y 1 2 5 y 1 8 V y 5 6
2
Logo AC 5 y 1 1 5 6 1 1 5 7; BC5 2z 5 2 ? 3 5 6
(x 1 6) 1 (14 2 x) ___
20
    
AB 5 _________________
​ 
 ​
5 ​   ​ 5 10
2
2
Então o perímetro do triângulo ABC é 10 1 7 1 6 5
5 23 cm.
43 Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras e corrija as falsas em seu caderno.
a) As diagonais de um quadrado são perpendiculares.
V
b) As diagonais de um paralelogramo são congruentes.
F 2 As diagonais de um paralelogramo não são
congruentes.
c) As diagonais de um losango são perpendiculares.
V
d)Se um quadrilátero tem diagonais perpendiculares, então ele é losango.
F 2 O fato de um quadrilátero ter diagonais perpendiculares não garante que ele seja um losango.
e) As extremidades de dois segmentos congruentes determinam um paralelogramo.
F 2 As extremidades de dois segmentos congruentes não determinam necessariamente um
paralelogramo.
f) As extremidades de dois segmentos congruentes, contidos em retas paralelas, determinam
um paralelogramo.
V
g)Se um quadrilátero tem dois ângulos retos, então ele é um retângulo.
F 2 Ele pode ser um trapézio retângulo.
44 Determine a medida do ângulo x no retângulo.
x
20°
Pelo fato de as diagonais de um retângulo serem
congruentes, os quatro triângulos formados são
isósceles. Assim, no triângulo que tem o ângulo x
assinalado, os outros dois ângulos medem 70° (pois
são congruentes e complementares ao ângulo de
20°). Logo,
x 1 70° 1 70° 5 180° V x 5 180° 2 140° 5 40°.
a) ___
O que se pode afirmar sobre MN?
​MN​ é base média de ABC, portanto tem medida
igual à metade de BC.
___
b) Determine o ponto D, médio de ​BG​ . Determine o
ponto
de CG. O que se pode afirmar so___E, médio
___
bre ​DE​ ?​DE​ é base média de BCG, portanto tem
medida igual à metade de BC.
c) O que se pode afirmar sobre o quadrilátero NMED?
___
___
Por ter dois lados paralelos e congruentes, (​MN​ e​
DE​ ), o quadrilátero NMED é um paralelogramo.
Os itens abaixo devem ser resolvidos medindo os
segmentos com uma régua.
GM
GM
1
? ​ ____ ​ 5 __
d)Qual o valor da razão ​ ____ ​ 
​    ​ 
2
GB
GB
GN
e) Qual o valor da razão ​ ___  ​ ?
GC
GN
1
​ ___  ​ 5 __
​    ​.  Isso significa que o baricentro divide as
GC
2
medianas na proporção 2 : 1.
Tratamento da informação
Ler e interpretar gráfico de linhas ou de segmentos
Página
156
Coleta de informação
Desde que Luciana começou a trabalhar, em 1995,
ela sempre recebeu, mensalmente, o valor de um
salário mínimo.
Luciana resolveu verificar se o poder de compra
de alimentos de seu salário estava aumentando
ou diminuindo, desde que começou a trabalhar.
Para isso, ela pesquisou os valores do salário mínimo e os valores da cesta básica, ambos referentes ao mês de maio, em todos os anos do período
de 1995 a 2007.
A cesta básica é formada por 13 produtos alimentícios básicos, como carne e leite, em quantidade
suficiente para o sustento de uma pessoa adulta
por um mês.
Com os valores coletados, Luciana montou o gráfico abaixo. Analisando-o, será possível obter as
informações que ela procura.
Valor (em RS)
400
350
300
250
200
150
120 130
100 112
100
103
50 85 88 88
350
380
300
240
180
136
151
97
103 123
260
200
117
161
161
180 165 168
0
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
20
06
20
07
15 2 3z
45 Em seu caderno, desenhe um ___
triângulo
___ escalee ​CN​ 
, com M
no ABC. Construa
___ as medianas ​BM​ ___
pertencente a ​AC​ e N pertencente a ​AB​ 
. Nomeie o
ponto de encontro das medianas de G (baricentro).
Ano
19
42 Determine, em centímetros, o perímetro do triângulo ABC.
Salário mínimo
Cesta básica*
Fontes: Ministério do Trabalho e Emprego. Disponível em: <http://
www.mte.gov.br>. Acesso em: 30 nov. 2007.
DIEESE – Departamento Intersindical de Estatística e Estudos
Socioeconômicos.
(*) Valores aproximados
134
4P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 134
29.10.08 16:10:33
Resolução de atividades Capítulo 5
120
88
1998
130
103
1999
136
97
2000
151
103
2001
180
123
2002
200
117
2003
240
161
2004
260
161
2005
300
180
2006
350
165
2007
380
168
157
Leitura de dados
Observando o gráfico e a tabela feita no caderno,
res­ponda às questões propostas.
a) De quantos reais foi o aumento do salário mí­
nimo e da cesta básica no período de 1995 a
2005? Dê a porcentagem correspondente a
esses aumentos.
O salário mínimo teve um aumento de RS
|| 200,00.
A porcentagem correspondente ao aumento
RS
|| 200
é _______
​ 
 ​ 
? 100 5 200%.
RS
|| 100
A cesta básica teve um aumento de RS
|| 95,00.
A porcentagem correspondente ao aumento
RS
|| 95
 
é ______
​ 
 ​? 100 r 111,7%.
RS
|| 85
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Salário (RS||)
Página
157
Cesta básica (RS||)
Faça você
1 O gráfico de linhas mostra a evolução do uso da
internet no Brasil e na Espanha.
No de pessoas conectadas
24 000 000
22 000 000
20 000 000
18 000 000
16 000 000
14 000 000
12 000 000
10 000 000
8 000 000
6 000 000
4 000 000
2 000 000
0
1992
b) Qual é o significado dos resultados que você ob­
2007
1997
2006
88
2005
112
2003
1996
Elabore um gráfico de colunas de dupla entrada
com os valores da tabela que você fez no cader­
no. A partir da interpretação das informações e da
elaboração desse gráfico, faça um texto curto, com
cerca de cinco ou seis linhas, comentando a situa­
ção econômica das pessoas que recebem um salá­
rio mínimo por mês e apresente-o à sua turma.
2004
85
Comunicação de resultados
2002
100
157
2001
1995
Página
2000
Cesta básica (RS
||)
d)Calcule que porcentagens do salário seriam
gastas para a aquisição da cesta básica nos dois
anos encontrados no item anterior.
RS
|| 85
Em 1995 & ​ _______ 
 ​ 
? 100 5 85%;
RS
|| 100
RS
|| 168
 
 ​ 
? 100 > 44,2%.
Em 2007 & _______
​ 
RS
|| 380
1999
Salário (RS
||)
c) No período considerado, quando ocorreram a
maior e a menor diferença entre os valores do
salário mínimo e da cesta básica, em reais?
A menor diferença ocorreu em 1995 & RS
|| 15,00.
A maior diferença ocorreu em 2007 & RS
|| 212,00.
1997
Ano
1998
Sempre que se quer estudar uma série histórica
de dados numéricos, como a evolução de salários,
aluguéis, preços e outros, o gráfico de linha ou de
segmento é bastante utilizado, pois possibilita ob­
servar facilmente se há aumento ou diminuição de
valores.
Esse gráfico também facilita a comparação entre o
comportamento de duas séries de dados em certo
período, principalmente a comparação de dados
socioeconômicos, como é o caso do gráfico acima.
a) Agora, volte ao gráfico e responda em seu ca­
derno: observando somente a posição das linhas
coloridas, sem preocupar-se com os números, é
possível concluir se o salário mínimo e a cesta
básica subiram ou diminuíram no período 1995
a 2007? Justifique sua resposta.
Subiram, pois as duas linhas são ascendentes.
b) Em seu caderno, faça uma tabela semelhante à
apresentada abaixo, anotando o valor do salário e
da cesta básica para cada ano.
Página
teve no item anterior para a situação econômi­
ca de Luciana?
Significa que o poder de compra de Luciana aumentou em relação à alimentação (pois teve um
maior aumento percentual), o que possibilita
comprar mais alimentos que o habitual ou direcionar mais dinheiro para outros gastos.
Organização da informação
1996
156
1995
Página
1994
Brasil
1996
1998
2000
2002
2004
2006
Espanha
135
3P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 135
20.10.08 13:03:37
Resolução de atividades Capítulo 5
Analise os dados do gráfico e construa, em seu
caderno, a tabela correspondente a esses dados.
Depois, responda às questões.
e)
Utilização da internet
1994
Espanha
Brasil
0
0
600 000
1996 600 000
1998 2 300 000 1 700 000
Triângulo retângulo isósceles (um ângulo reto e
dois lados com medidas iguais).
f)
2000 5 300 000 5 000 000
2002 8 000 000 14 000 000
2004 14 000 000 22 000 000
a) No ano 2000, em qual dos países havia mais
pessoas conectadas à internet?
Espanha.
b) Quantas pessoas na Espanha estavam conectadas em 1998, aproximadamente?
2 300 000.
c) E em 2004, aproximadamente quantas pessoas conectadas o Brasil tinha a mais que a
Espanha?
Oito milhões.
d)A tendência das linhas permite alguma previsão?
Sim, os números no Brasil continuarão aumentando com velocidade maior que na Espanha.
Observação: Alguns valores da tabela foram estimados de acordo com a apresentação do gráfico.
160
Página Triângulo obtusângulo escaleno (um ângulo obtuso e três lados com medidas diferentes).
2 Verifique se os pares de triângulos são congruentes e
especifique em seu caderno o caso de congruência.
a)
d)
b) LAL
Não são congruentes.
e)
Questões globais
1 Classifique em seu caderno os triângulos a seguir
quanto à congruência dos ângulos e à congruência
dos lados.
LLL
LAA0
c) a)
f)
Triângulo retângulo escaleno (três lados com medidas diferentes e um ângulo reto).
b)
Triângulo acutângulo isósceles (três ângulos agudos e dois lados com medidas iguais).
c)
ALA
cateto-hipotenusa
3 Nas figuras a seguir, os triângulos PAB e QBC são
equiláteros e ABCD são quadrados. Determine em
seu caderno o valor de x.
D
C
P
a)
x
Triângulo acutângulo escaleno (três ângulos agudos e três lados com medidas diferentes).
d)
A
B
Triângulo obtusângulo isósceles (um ângulo obtuso e dois lados com medidas iguais).
No triângulo que possui
___ o ângulo x, os outros ângulos são 45° (pois ​DB​  divide o ângulo reto ao
meio) e 30° (que é o complementar do ângulo interno de 60° do triângulo equilátero PAB). Assim,
a soma dos ângulos internos desse triângulo é
x 1 45° 1 30° 5 180° V x 5 180° 2 75° V
V x 5 105°
136
5P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 136
31.10.08 15:46:52
Resolução de atividades Capítulo 5
b)
B
C
5 Verifique se as afirmações a seguir são verdadei­
ras e justifique as falsas em seu caderno.
x
P
D
A

O ângulo
 C
  mede 60° 1 90° 5 150°. Como
___ P​B​
o lado ​AB​ é comum ao quadrado e ao triângulo equilátero, segue que os lados do quadrado e
do triângulo são congruentes. Assim, o triângulo PBC é isósceles. Seja a o valor de cada um de
seus ângulos agudos. Então
2a 5 180° 2 150° V 2a 5 30° V a 5 15°.
C​
Portanto, D​
   P 5 90o 2 15° 5 75°, de forma que
no triângulo que contém x tem-se
x 1 45° 1 75° 5 180° V x 5 180° 2 120° 5 60°.
c)
D
x
C
Q
P
Os lados do quadrado e do triângulo equilátero
são congruentes, de forma que os triângulos ADP
e CDQ são isósceles. Tomando o triângulo ADP, o
ângulo obtuso é 90° 1 60° 5 150°, então, chamando de a o ângulo agudo, tem-se
2a 5 180° 2 150° V a 5 15°. Da mesma forma,
o ângulo agudo do triângulo CDQ também mede
15°. Assim, x 5 90° 2 15° 2 15° V x 5 60°.
4
b) As alturas relativas aos lados congruentes de
um triângulo isósceles são congruentes.
V
c) As alturas de um triângulo equilátero são con­
gruentes.
V
d)A altura relativa a um lado de um triân­gulo isós­
celes também é mediana.
F — Apenas a altura relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana.
e) A altura relativa à base de um triângulo isósce­
les também é mediana.
V
A
B
a) As alturas de um triângulo isósceles são con­
gruentes.
F — Somente as alturas dos triângulos equiláteros
são congruentes.
___
Nos triângulos abaixo, ​AH​ é altura e AS é bissetriz.
f) As medianas relativas aos lados congruentes de
um triângulo isósceles também são congruentes.
V
6 Verifique se é possível construir um triângulo cujos
lados apresentem as medidas a seguir.
Para que um triângulo exista é necessário que a
medida do maior lado seja menor que a soma dos
outros dois lados.
a) 5 cm; 12 cm; 13 cm
5 cm 1 12 cm . 13 cm. O triângulo existe.
Determine em seu caderno as medidas dos ângu­
los assinalados.
b) 20 cm; 21 cm; 22 cm
20 cm 1 21 cm . 22 cm. O triângulo existe.
a)
c) 3 cm; 3 cm; 7 cm
3 cm 1 3 cm , 7 cm. O triângulo não existe.
A
y 32°
B
H
x
d)12 cm; 8 cm; 12 cm
12 cm 1 8 cm . 12 cm. O triângulo existe.
C
S
No triângulo BAH tem-se que (45° 2 32°) é a medida do ângulo B​ 
A​ H. Então,
y 1 (45° 2 32°) 1 90° 5 180° V
V y 5 180° 2 13° 2 90° V y 5 77°.
No triângulo ABC tem-se
x 5 180° 2 90° 2 77° V x 5 13°.
b)
A
B
y
S
7 Em cada item são apresentadas as medidas de
dois lados de um triângulo isósceles. Determine a
medida do terceiro lado.
Para que um triângulo exista é necessário que a
medida do maior lado seja menor que a soma dos
outros dois lados.
a) 8 cm e 6 cm
8 cm ou 6 cm
x
28°
e) 1 cm; 2 cm; 3 cm
1 cm 1 2 cm 5 3 cm. O triângulo não existe.
H
No triângulo ABC tem-se
y 5 180° 2 28° 2 90° V y 5 62°.
No triângulo ASC tem-se
A​
 C
S​
  5 180° 2 62° 2 45° 5 73°.
Logo, considerando o triângulo ASH,
tem-se x 5 180° 2 73° 2 90° V
V x 5 17°.
C
b) 20 cm e 9 cm
20 cm. Se o outro lado medir 9 cm, a condição de
existência do triângulo será violada.
c) 16 cm e 32 cm
32 cm. Se o outro lado medir 16 cm, a condição de
existência do triângulo será violada.
d)15 cm e 15 cm
Se x é medida do terceiro lado, então 0 , x , 30.
137
3P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 137
20.10.08 13:03:38
Resolução de atividades Capítulo 5
8 Em um triângulo, as medidas dos lados são todas
equivalentes a números inteiros. Se as medidas de
dois deles são 7 e 4, determine quais os possíveis
valores da medida do terceiro lado.
O terceiro lado pode ser 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10, pois,
para não violar a condição de existência do triângulo, ele deve ser menor que 11 e maior que 3.
Página
161
Questões globais
b)
9 Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 10 cm.
Determine as possíveis medidas do terceiro lado,
sabendo que o número que representa essa medida, em centímetros, é primo.
10 cm 1 6 cm 5 16 cm, e 10 cm 2 6 cm 5 4 cm
Logo o terceiro lado pode medir no máximo 15 cm
e no mínimo 5 cm. Como a medida do lado deve ser
um número primo, os valores possíveis são 5 cm, 7 cm, 11 cm ou 13 cm.
10 Determine em seu caderno a medida dos ângulos
dos quadriláteros a seguir.
Sabe-se que a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero qualquer é 360°.
a)
x 1 50°
x 1 60°
(x 1 60°) 1 (x 1 30°) 1 (x 1 50°) 1 (x 1 40°) 5
5 360° V 4x 5 360° 2 180° V 4x 5 180° V V x 5 45°
Substituindo o valor de x:
• 45° 1 60° 5 105°
• 45° 1 50° 5 95°
• 45° 1 40° 5 85°
• 45° 1 30° 5 75°
3x 2 12°
4x 2 4°
86° 2 x 2x 1 2°
28°
(4x 2 4°) 1 (3x 2 12°) 1 (2x 1 2°) 1 (86° 2 x) 5
5 360° V 8x 1 72 5 360° V
V 8x 5 360° 2 72° V 8x 5 288° V x 5 36°
Substituindo o valor de x:
• 3 ? 36° 2 12° 5 96°
• 86° 2 36° 5 50°
• 4 ? 36° 2 4° 5 140°
• 2 ? 36° 1 2 5 74°
11 Determine o valor de x, y e z nos ângulos dos paralelogramos a seguir.
a)
z
x
127°
y
y
Como os ângulos opostos de um paralelogramo
são congruentes, tem-se, usando o triângulo que
contém o ângulo de 28°,
x 5 180° 2 90° 2 28° V x 5 62°.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, tem-se
4y 1 2x 5 360° V 4y 5 360° 2 2 ? 62° V
V 4y 5 236° V y 5 59°. Então, para o
triângulo que contém o ângulo z, tem-se
y 1 z 1 90° 5 180° V
V z 5 180° 2 59° 2 90° V z 5 31°.
___
12 O triângulo ABC é retângulo em A, ​AH​ é altura, ​​AS​  
é bissetriz, e H e S são pontos sobre a hipotenusa.
Calcule a medida do ângulo H​ 
A​ S, sabendo que a
medida de A​ 
B​ C é igual a 70°.
A
X
70°
B
b)
x
z
___
x 1 30° x 1 40°
Obtêm-se os ângulos demarcados como congruentes na figura através do triângulo menor &
& 180° 2 (180° 2 127°) 2 90° 5 37°.
Então, no triângulo logo acima,
x 5 180° 2 37° 2 127° V x 5 16°.
z é formado pelo dobro dos ângulos congruentes
& z 5 2 ? 37° V z 5 74°.
y é suplementar a z, logo y 5 180° 2 74° 5 106°.
H
C
S
Primeiro calcula-se a abertura do ângulo B​ 
C​A
  &
A
  5 180° 2 90° 2 70° 5 20°.
& B​ C​
___


C
Por AS​
​​   ser a bissetriz do ângulo A​
​  ,  S​ A​
  5 45°, e

A​ H​ C5 90°, portanto, para o triângulo AHC tem-se
x 1 45° 1 90° 1 20° 5 180° V
V x 5 90° 2 45° 2 20° V x 5 25°.
13 Calcule em seu caderno o perímetro do triângulo
abaixo, em centímetros.
146 2 2x
x14
4x 1 8
Os dois triângulos são congruentes pelo critério
ALA. Igualando a medida dos lados congruentes,
tem-se 4x 1 8 5 146 2 2x V 6x 5 138 V x 5 23.
Substituindo o valor de x para se obter o perímetro,
tem-se
p 5 (146 2 2 ? 23) 1 (23 1 4) 1 (23 1 4) 1
1 (4 ? 23 1 8) V p 5 254 cm.
138
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29.10.08 16:11:17
Resolução de atividades Capítulo 5
____
___
14 No triângulo a seguir, ​AM​ e ​BN​ são medianas. De­
termine o valor de x e y, sabendo que BM 5 2x,
MC 5 3x 2 4, NC 5 2​ 
y​ 2 1
 
e NA 5 y 1 7.
A
N
G
B
C
M
Igualando as medidas congruentes BM e MC &
& 3x 2 4 5 2x V 3x 2 2x 5 4 V x 5 4.
Igualando as outras medidas congruentes, AN e NC,
tem-se
2y 2 1 5 y 1 7 V 2y 2 y 5 7 1 1 V y 5 8.
15 Em um trapézio ABCD isósceles, AB é igual a 42 cm,
e CD é igual a 20 cm. ___
Determine
o perímetro desse

trapézio, sabendo que ​​CA​  é bissetriz de D​
A​
   B.
20 cm
D
A
C
B
42 cm
___
AC​
​  divide
C
O segmento
D​ A​
  em dois ângulos iguais.

Seja x a medida de um desses ângulos. Como A​C​
   D é
alterno interno a B​ 
A​C
  , ele também ___
mede x. Assim, o
triângulo ACD é isósceles de base AC​
​  , de modo que
AD 5 CD 5 20 cm. Sendo o trapézio isósceles, CB
também mede 20 cm. Então o perímetro do trapézio
é p 5 20 1 42 1 20 1 20 V P 5 102 cm.
Para obter a medida da base do triângulo faz-se
94 2 26 2 26 5 42 & Base 5 42 cm.
Logo a medida da base média é 42 ; 2 5 21 cm.
18 Um triângulo isósceles tem base média com medi­
da igual a 38 cm e perímetro igual a 172 cm. Deter­
mine as medidas dos lados desse triângulo.
Tem-se p 5 172 cm. A medida do lado paralelo à base
média é o dobro da medida desta & 38 ? 2 5 76 cm.
Considerando que este lado é a base do triângulo
isósceles, a medida de um dos lados congruentes é
172 2 176
 
 
L5 _________
​ 
 ​ 5 48
cm. Logo os lados medem 76 cm,
2
48 cm e 48 cm. Mas se 76 cm for a medida de um
dos lados congruentes, tem-se que a base mede
172 2 76 2 76 5 20 cm, e os lados então medem
76 cm, 76 cm e 20 cm.
19 Um trapézio isósceles tem 124 cm de perímetro, e
a base média mede 25 cm. Calcule as medidas dos
lados oblíquos desse trapézio.
P 5 124. A medida do lado paralelo à base média é
o dobro da medida desta & 2 · 25 cm 5 50 cm. Este
lado pode ser um dos lados congruentes, ou a base
do triângulo.
Considerando que 50 cm seja a medida da base do
triângulo isósceles, a medida de um dos lados con124 2 50 ___
74
 ​ 
5 ​   ​ 5 37 cm. Então os la 
gruentes é L5 ​ _________
2
2
dos congruentes podem medir 37 cm ou 50 cm.
20 Determine em seu caderno a área do triân­gulo a
seguir.
C
D
Como se tem a medida da base média, que é a medida da base dividida por dois, basta multiplicá-la pela
altura & A 5 9 ? 12 5 108 cm2.
x 1 30°
2x 2 20°
M
110°
A
h 5 12 cm
9 cm
16 Determine
em
seu caderno o valor de x, sabendo
___ ___

que​ ​​AM​  e ​​BM​  são bissetrizes.
B
A soma dos ângulos internos de um triângulo é
180°, então a soma dos dois ângulos desconhecidos
do triângulo AMB é 180° 2 110° 5 70°.
Como os segmentos que formam os lados oblíquos
do triângulo são bissetrizes dos respectivos ângulos, a soma dos dois ângulos inferiores do quadrilátero é 2 ? 70° 5 140°.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, tem-se
(2x 2 20°) 1 (x 1 30°) 1 140° 5 360° V 3x 5
5 360° 2 150° V 3x 5 210° V x 5 70°.
17 Um triângulo isósceles tem perímetro igual a
94 cm, e o lado que não é base mede 26 cm. Calcu­
le a medida da base média desse triângulo.
21 Na figura a seguir, o triângulo ABC tem perímetro
igual a 36 cm. O triângulo PQR tem os vértices nos
pontos médios do triângulo ABC, e o triângulo XYZ
tem os vértices nos pontos médios do triângulo
PQR. Calcule o perímetro do triângulo XYZ.
A
X
P
Q
Z
B
Y
R
C
O triângulo PQR é formado por bases médias relativas ao triângulo ABC, de forma que cada lado de
PQR mede a metade de um lado de ABC. Assim, o
36
cm. O triân 
perímetro do triângulo PQR 5 ​ ___ ​ 5 18
2
gulo XYZ é formado por bases médias relativas ao
triângulo PQR, de modo que o perímetro do triângu18
cm.
 
lo XYZ é ​ ___ ​ 5 9
2
139
3P_YY_M8_RA_C05_107a143.indd 139
20.10.08 13:03:39
Resolução de atividades Capítulo 5
3
22 Em um triângulo isósceles, a medida do lado é ​ __  ​ 4
da medida da base. Determine o perímetro desse
triângulo sabendo que a medida da base média é
igual a 8 cm.
Para obter a medida da base faz-se b 5 8 ? 2 5 16 cm.
3
Agora, calcula-se o lado & L 5 ​ __  ​? 16 5 12 cm. Logo,
4
p 5 16 1 12 1 12 5 40 cm.
Página
162
Questões globais
23 Desenhe em seu caderno um triângulo escaleno ABC
e marque os pontos médios dos lados desse triângu___
,
lo, determinando M como o ponto
___ médio do lado ​AB​ 
N como ponto
médio
do
lado ​
AC​
 
e
P
como
ponto
mé___
dio do lado ​BC​ . Se a área do triân­gulo ABC é igual a
60 cm2, qual é a área do triângulo MNP? Justifique.
Como o ângulo A​
C​
 D
  mede 180° 2 a, tem-se que
(2) b 1 42° 1 (180° 2 a) 5 180°
a 5 42° 1 b
Unindo as sentenças (1) e (2), tem-se
2b 1 x 5 2 ∙ (42° 1 b)
2b 1 x 5 84° 1 2b
x 5 84º
26 Calcule o valor de x e y indicados nos triân­gulos a
seguir.
a)
C
A
34º
D
x
x
34º
A
M
B
N
B

Como ABC é um triângulo isósceles, o ângulo C​B​
 A
 
A​
  (34º). Já o ângulo A​
C​
   B
corresponde ao ângulo C​
 B
corresponde a x, pois o triângulo BCD é isósceles.
Pela soma dos ângulos internos de ABC, descobre-se que
34º 1 34° 1 x 5 180°
x 5 180° 2 68°
x 5 112º
P
C
Cada lado do triângulo formado no interior do triângulo ABC tem medida igual à metade de um lado de
ABC. Assim, os quatro triângulos formados no interior
do triângulo maior são congruentes pelo caso LLL.
Dessa forma, a área do triângulo ABC foi dividida em
4 partes iguais, de modo que a área do triângulo MNP
é um quarto da área de ABC &
60
& A 5 ___
​   ​ 5 15cm2.
4
b) Dado: AB 5 AC
B
___
24 O triângulo ABC abaixo é isósceles e ​BC​ é a base.
Determine o valor de x.
70º
B
x
3x x
x
2x
x
A
4x 4x
2x
C
Pelas propriedades dos ângulos internos e externos de um triângulo, pode-se demarcar os ângulos mostrados na figura, e dela conclui-se que
9x 5 180° V x 5 20°.
25 Determine em seu caderno o valor de x.
D
B
42º
x
b
b
A
180º � a
a a
C
40º
y
3x
A
70º
E

O ângulo B​C​
 E
  , que vale a 1 a, é externo ao triângulo ABC; logo, corresponde à soma dos ângulos
A​
  e A​
B​
 C
  . Assim
internos B​
 C
(1) 2a 5 2b 1 x
A soma dos ângulos internos do triângulo ACD é 180º.
40º
75º
30º
C
Como o primeiro triângulo da direita é isósceles,
tem-se dois ângulos iguais, e para obter o desconhecido faz-se
180° 2 70° 2 70° 5 40°
Agora se obtém o ângulo adjacente a esse ângulo
de 40° sabendo que a soma de ambos deve ser 70°,
que é o valor do outro ângulo da base do triângulo
isósceles maior:
70° 2 40° 5 30°
Então, como o triângulo central também é isósceles,
tem-se
180° 2 30° 5 150°
150
____
 5 75°
​   ​ 
2
Logo,
y 5 180° 2 75°
y 5 105°
x 5 180° 2 105° 2 40°
x 5 35°
140
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Resolução de atividades Capítulo 5
27 Na figura abaixo, D
B​
​   E ; E​
B​
   A ; A
B​
​   C e 


D​C​
   E ; EC​
​   A ; AC​
​   B. Determine em seu caderno a
medida de B
​   C e B
A​
E​
​   C.
D
102°
E
A
B
C
Faz-se:
B​
  1 D​
C​ B 5 180° 2 102° 5 78°
D​
 C
Dividindo esse valor por 3:
B​
 
C​
78°
D​
 C
D​
   B
​ ____
 5 26° 5 ____
 1 ​ ____
 
 ​ 
​   ​ 
 ​ 
3
3
3
Logo:
A​ C 5 180° 2 26° 5 154°
B​ 
E​ C 5 180° 2 26° 2 26° 5 128°
B​ 
A
B
y
14 2 x
D
Igualando as medidas congruentes:
x 1 4 5 14 2 x
2x 5 10
x55
Obtém-se então a medida da diagonal menor:
d 5 (5 1 4) ∙ 2 5 18
A
2y 1 8
B
x 1 2y
4x 1 8
D
Substituindo o valor de x em (2):
4 1 2y 5 24 2 4
2y 5 16
y58
Substituindo os valores encontrados, tem-se
D 5 (2 ∙ 8 1 8) ∙ 2 5 48
d 5 2 ∙ (24 2 4) 5 40
29 As diagonais de um retângulo formam um ângulo de
130° entre si. Calcule a medida dos ângulos que as
diagonais desse retângulo formam com os lados.
24 2 x
As diagonais do retângulo formam 4 triângulos isósceles. Considerando o triângulo superior, o ângulo
da base é o ângulo procurado, e é calculado abaixo.
180° 2 130° 5 50°
50o
 ​ 
 5 25o V é o valor do ângulo da base, que é um dos
​ ____
2
ângulos que as diagonais do retângulo formam com os
lados. O outro ângulo é o complementar desse:
90° 2 25° 5 65º
___
C
Igualando as medidas congruentes, tem-se
y 5 24 2 y
2y 5 24
y 5 12
Obtém-se então a medida da diagonal maior:
D 5 2 ∙ 12 5 24
b)
6x 5 24
x54
130º
28 Nas figuras abaixo, ABCD é um losango. Calcule as
medidas das diagonais.
a)
x14
24 2 y
C
C
4x 2 9°
M
D
Substituindo o valor de y em (1):
4x 1 8 5 24 2 2x 1 8
B
3x 2 8°
113° 2 x
A
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero qualquer é 360° e a de um triângulo é
180°, faz-se
(4x 2 9°) 1 (113° 2 x) 1 2 ∙ (180° 2 3x 1 8°) 5 360°
4x 1 104° 2 x 1 360° 2 6x 1 16° 5 360°
23x 1 480° 5 360°
3x 5 480° 2 360°
3x 5 120°
x 5 40º
31 Calcule a soma das medidas dos ângulos indicados
na figura a seguir.
Igualando as medidas congruentes, tem-se
4x 1 8 5 2y 1 8 (1)
x 1 2y 5 24 2 x (2)
y 5 12 2 x
___
30 No quadrilátero abaixo, ​​AM​  e ​​BM​  são bissetrizes
dos ângulos com vértices A e B, respectivamente.
Determine em seu caderno o valor de x.
a
e
b c
d
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Resolução de atividades Capítulo 5
A soma dos ângulos indicados corresponde à soma
dos ângulos externos do pentágono, e portanto
vale 360°.
32 Sabendo que os hexágonos a seguir são regulares,
descubra o valor de x e y.
60º
60º
60º
60º
y
60º
35 Considere um triângulo ABC isósceles, cuja base
é o lado BC, e um triângulo
BCD equilátero. Sendo
___
B​
A​
   C 5 75°, e o lado ​BC​ o lado comum aos triângulos, calcule em seu caderno as medidas dos ângulos D ​
C​
   A e B​
A​
   C.
60º
x
60º
y
60º
x
60º
60º
60º
60º
Nomeando os ângulos como mostrado acima, tem-se
2a 5 a 1 c 1 c
a 5 2c
5c 5 180° V c 5 180° : 5 5 36°
x 5 a 1 c (pois x é ângulo externo do triângulo da esquerda)
x 5 2 ∙ 36° 1 36°
x 5 72° 1 36° 5 108º
A
A
30º
30º
D
x 5 180° 2 60° 2 60° 5 60°
y 5 360° 2 60° 2 60° 2 60° 2 60° 5 120°
33 Ezequiel dividiu um terreno em forma de trapézio, de modo que o muro que o divide tem medida igual à média aritmética dos lados paralelos
do terreno.
14 m
8m
8m
B
B 75º 75º C
60º
15º
60º
75º
C
figura I
figura II
Como o triângulo ABC é isósceles de base BC,
tem-se
A​ C 5 180° 2 75° 2 75° 5 30°
B​ 
C​
  , se a construção for a da fiQuanto ao ângulo D​
 A
gura I, tem-se:
C​
  5 75° 2 60° 5 15°
D​
 A
Se a construção for a da figura II, tem-se:
C​
  5 75° 1 60° 5 135°
D​
 A
A​C
  5 30° e D​
C​
 A
  5 135° ou 15°
Então B​ 
36 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e o triângulo PAB é equilátero. Determine em seu caderno o
que se pede.
A
Qual é a diferença entre as áreas dos terrenos
obtidos?
O muro é a base média do trapézio, e sua medida é:
14 1 8
 ​ 
 5 11 m
M 5 ​ ______
2
Como o muro é base média, a altura de cada um dos
trapézios menores é metade da altura do trapézio
maior, ou seja, 4 m.
Calculando as áreas dos terrenos:
4
A1 5 (8 1 11) ∙ __
​   ​  5 38 m2
2
4
A2 5 (11 1 14) ∙ __
​   ​  5 50 m2
2
Então a diferença é A2 2 A1 5 50 2 38 5 12 m2.
Página
163
Questões globais
34 Determine em seu caderno a medida do ângulo x.
a
c
x
c
B
8 cm
D
P
C
a) O perímetro do triângulo PAB.
p 5 3 ∙ 8 5 24 cm
b) O perímetro do quadrado ABCD.
p 5 4 ∙ 8 5 32 cm
A​
c) A medida de P​
   B.
PÂB 5 60º (pois é um triângulo equilátero)
A​
d)A medida de P​
   D.
PÂD 5 90° 2 30° 5 30º
P​
e) A medida de A​
   D.
___
Como o triângulo ADP é isósceles de base ​DP​ , tem-se que
a
D
180° 2 30°
 ​ 
5 75°.
A​
   D 5 ___________
P​
​ 
 
2

f) A medida de C​P​
   D.
___
O triângulo CPD é isósceles de base ​DC​ , sendo
que os ângulos da base medem 90° 2 75° 5 15°.
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Resolução de atividades Capítulo 5
Assim:
C​ 
P​ D 5 180° 2 15° 2 15° 5 150º
___
37 Determine a me­dida do lado ​AD​  do trapézio
ABCD ao lado, sabendo que o ângulo interno do
vértice A tem o dobro da medida do ângulo interno do vértice C.
A 4 cm B
D
19 cm
C
Subtrai-se o ângulo de 50° do ângulo reto 
A​
​   :
90° 2 50° 5 40°
Logo, somando os ângulos internos dos dois triângulos, tem-se
x 1 y 1 90° 1 90° 1 40° 5 360°
x 1 y 5 360° 2 220° 5 140°
40 Desenhe em seu caderno um ___
losango ABCD onde
A​ D 5 60°. Trace___
a diagonal ​BD​ . Seja F um ponto
B​ 
qualquer___do lado ​BC​ . Trace por F a perpendicular
ao lado ​
. Essa perpendicular intercepta a diago___ BC​ 
nal ​BD​ num ponto E. Determine a medida do ângulo D ​ 
E​ F.
D
Dica: Copie a figura e trace a bissetriz do ângu D.
lo B​A​
A​ D mede o dobro de B​ 
C​D
  . Portanto traçando a
B​ 
bissetriz do ângulo B​ 
A​ D e chamando de E o ponto
onde ela intercepta o lado DC, tem-se que B​ 
A​E
  é
congruente a B​ 
C​ D. Além disso, A​ 
E​ D é congruente a
B​ 
A​ E (alternos internos), de forma que A​ 
E​ D é também
congruente
a B​ 
C​ D. Isso significa que os segmentos​
___
___
AE​ e BC​
​  são paralelos, de forma que EC 5 4 cm.
Como o triângulo AED é isósceles de base AE, tem-se que AD 5 DE 5 DC 2 EC 5 19 2 4 5 15 cm.
38 Na figura a seguir, os quadriláteros são quadrados
e o triângulo cor-de-rosa é equilátero. Calcule as
medidas dos ângulos assinalados.
60° E
A
60°
C
F
B
 D 5 B​ A​
D
B​ C​
  5 60°
Como o losango tem os lados congruentes DC 5 CB,
D​ C e D​ 
B​C
  são congruende forma que os ângulos B​ 
tes. Logo 2 ∙ B​ 
D​ C 1 60° 5 180° V B​ 
D​ C 5 60o.
E​ F 5 360° 2 90° 2 60° 2 60° 5 150º.
Então D​ 
41 Na figura a __
seguir,
AB 5 6 cm,
__ AC 5 9 cm e


  é bissetriz
  é bissetriz de ​ 
C​ ,
BC 5___
12 cm, ​​
___ ___ de ​ B​ , ​​CI​
___
__ BI​
___
​DE​ // ​BC​ , ​PI​ // ​AB​ e ​QI​ // ​AC​.  Determine em seu caderno a razão entre o perímetro do triângulo
ADE e o perímetro do triângulo PIQ.
A
x
y
x 5 360° 2 60° 2 90° 2 90° 5 120º
Como o triângulo amarelo é isósceles, tem-se
180° 2 120°
 ​
5 30º
    
y 5 ___________
​ 
2
39 Determine em seu caderno o valor de x 1 y, sabendo que ABCD é um retângulo.
D
A
y
50°
x
C
B
I
D
B
P
E
Q
C
Os quadriláteros BDIP e IECQ possuem lados paralelos dois a dois e uma diagonal que coincide com a
bissetriz. Portanto esses quadriláteros são losangos
e seus lados são congruentes. Assim,
IE 5 IQ 5 QC 5 EC e
DI 5 IP 5 BP 5 BD.
A razão procurada é:
(9 2 EC) 1 (DI 1 IE) 1 (6 2 BD)
AE 1 DE 1 AD _____________________________
______________
  
   ​5 ​ 
   
   
 ​ 5
​ 
IP 1 PQ 1 IQ
BD 1 (12 2 BP 2 QC) 1 EC
(9 2 EC) 1 (BD 1 EC) 1 (6 2 BD) ___
15 5
​    ​
   
   
 ​ 5 ​   ​ 5 __
5 ​ _______________________________
12 4
BD 1 (12 2 BD 2 EC) 1 EC
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