RECUPERAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA – PROFESSOR GILMAR BORNATTO
1. (Unesp) Seja A = [a‹Œ] a matriz 2 x 2 real definida por a‹ Œ = 1 se i ´ j e a‹Œ = -1 se i > j. Calcule A£.
2. (Unesp) Seja A=[a‹Œ] a matriz real 2 x 2 definida por a‹Œ=1 se i´j e a‹Œ=-1 se i>j. Calcule A-¢.
3. (Unesp) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2×2:
4. (G1) Um papagaio ou pipa, é preso a um fio esticado que forma um ângulo de 45° com o solo. O comprimento do fio é de
100m. Determine a altura do papagaio em relação ao solo.
5. (Ufpe) A rampa de acesso à garagem de um edifício sobre um terreno plano tem forma retangular e determina um ângulo de
60° com o solo. Sabendo-se que ao meio-dia a sombra da rampa tem área igual a 36m£, calcule a área da rampa.
6. (G1) A razão entre as medidas dois lados de um paralelogramo é 2/3. Se o perímetro desse paralelogramo é 150m,
determine a medida dos lados.
7. (G1) Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de x.
8. (Unicamp) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB=2cm, BC=3cm e CD=5cm. O segmento
AD' mede 13cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
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9. (Fuvest) Na figura a seguir, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a
razão DE/BC.
10. (Fuvest) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir
uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?
11. (Ufpe) Qual o número inteiro mais próximo do comprimento do segmento AB indicado na figura a seguir?
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12. (Unesp) A área do quadrado ABCD da figura adiante é 1. Nos lados æè e îè tomam-se, respectivamente, os pontos M e
N de modo que MN seja paralelo à diagonal îæ.
Se as áreas do triângulo CMN, do trapézio MNDB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma progressão aritmética,
calcule a medida do MC.
13. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de
altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a
1,5 metros de altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
14. (Unesp) Corta-se um pedaço de arame de 12dm em duas partes e constrói-se, com cada uma delas, um quadrado. Se a
soma das áreas é 5dm£, determine a que distância de uma das extremidades do arame foi feito o corte.
15. (G1) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1440°. Determine a medida do ângulo central.
16. (G1) O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 8Ë2 cm. Determine o apótema do quadrado
inscrito na mesma circunferência.
17. (G1) O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do triângulo.
18. (Unesp) Se m é raiz do polinômio real p(x)=x§-(m+1)x¦+32, determine o resto da divisão de p(x) por x-1.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa.
19. Considerando-se a função polinomial p :IRëIR definida por p(x) = x¤ + x +21 podemos afirmar que:
( ) A equação p(x)=0 não tem solução inteira.
( ) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox em um ponto de abcissa inteira.
( ) A equação p(x) =0 possui uma solução real.
( ) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox num ponto de abcissa negativa.
( ) A equação p(x) -21 =0 possui exatamente três soluções reais.
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20. (Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua soma é igual a
a) - 3
b) - 2
c) - 1
d) 2
e) 3
21. Considere a matriz A = [a‹Œ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir.
a ij 
1, se i  j
0, se i  j
É correto afirmar que:
01) Na matriz A, o elemento a‚ƒ é igual ao elemento aƒ‚.
02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
04) O determinante da matriz A é igual a - 4.
08) Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a matriz -B.
16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1.
22. (Cesgranrio) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com
a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
a) 0,5 m
b) 1 m
c) 1,5 m
d) 1,7 m
e) 2 m
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23. (G1) O cosseno do ângulo x, assinalado na figura a seguir, é:
a) 1/2
b) 2/Ë3
c) Ë3/2
d) Ë3/3
e) Ë2/3
24. (Unesp) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma
altura. Se åæ = 2m e BðA mede 30°, então a medida da extensão de cada degrau é:
a) (2Ë3)/3 m
b) (Ë2)/3 m
c) (Ë3)/6 m
d) (Ë3)/2 m
e) (Ë3)/3 m
25. O seno de um arco de medida 2340° é igual a
a) -1
b) - 1/2
c) 0
d) (Ë3)/2
e) 1/2
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26. (Ufrs) Considere as afirmativas abaixo.
I. tan 92° = - tan 88°
II. tan 178° = tan 88°
III. tan 268° = tan 88°
IV. tan 272° = - tan 88°
Quais estão corretas?
a) Apenas I e III.
b) Apenas III e IV.
c) Apenas I, II e IV.
d) Apenas I, III e IV.
e) Apenas II, III e IV.
27. (Fuvest) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do
ângulo 3 é:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 80
e) 100
28. (Uel) A medida ‘ de um ângulo é igual ao triplo da medida do seu suplemento. Nestas condições, tg ‘ é igual a
a) 1
b) Ë2/2
c) 0
d) - Ë2/2
e) - 1
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29. (Fuvest) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de ‘ + ’ é
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220
30. (Ufpe) Na figura a seguir, os retângulos ABCD e A'B'C'D' têm o mesmo centro e lados iguais a 5cm e 9cm.
Qual o diâmetro da maior circunferência contida na região hachurada?
a) 4 cm
b) 5 cm
c) 5Ë2 cm
d) 9 cm
e) 9Ë2 cm
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31. (Faap) Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a horizontal quando encostada ao edifício de
um dos lados da rua, e ângulo de 45° se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada no mesmo ponto do chão. A largura da
rua (em metros) é:
a) 10Ë2
b) 10 + 3Ë2
c) (10Ë5) - 5
d) 5 + 5Ë2
e) 5 + 10Ë2
32. (Fuvest) No triangulo ABC, AB = 20cm, BC= 5cm e o ângulo AïC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área
8cm£. A medida, em graus do ângulo BNP é:
a) 15
b) 30
c) 45
d) 60
e) 75
33. (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 8,0 cm
b) 7,2 cm
c) 6,0 cm
d) 5,6 cm
e) 4,3 cm
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34. (G1) Calcule a soma dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e cos x = 3/5
a) 6
b) 8
c) 14
d) 2
e) 16
35. (G1) Para o triângulo retângulo BAC, a relação correta é:
a) sen ï = b/a
b) cos ï = b/a
c) tg ï = c/b
d) tg ð = b/c
e) sen ð = b/a
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36. (G1) O valor de a no triângulo ABC é:
a) 32
b) 36
c) 30
d) 33
e) 34
37. (G1) Sabendo que tg 30° = Ë3/3, determine a medida do segmento åæ na figura a seguir:
a) 173 m
b) 174 m
c) 100 m
d) 346 m
e) 200 m
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38. (Ufes) Na figura a seguir está representada uma circunferência com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de
comprimento.
A medida do segmento de reta åæ nesta unidade de comprimento é igual a
a) 1/2
b) Ë(3)/2
c) 3/2
d) 1+Ë(3)/2
e) Ë3
39. (Unaerp) Um triângulo, inscrito num semicírculo de raio igual a 5cm, possui um dos lados que mede 10cm. A soma dos
quadrados dos outros dois lados é:
a) 50 cm£
b) 75 cm£
c) 100 cm£
d) 125 cm£
e) 150 cm£
40. (Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro
do triângulo AOC mede, em cm:
a) 36
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
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41. (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 cm. AD é altura do
triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é:
a) 2Ë3
b) 2Ë5
c) 3
d) 5
e) Ë26
42. (Fuvest) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada
representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total
do terreno?
a) 30 %.
b) 36 %.
c) 40 %.
d) 45 %.
e) 50 %.
43. (Fuvest) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um
diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em cm£, vale:
a) 24
b) 12
c) 5Ë3 /2
d) 6Ë2
e) 2Ë3
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44. (Unesp) Considere o triângulo retângulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio retângulo EFCD cujos ângulos internos
retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe-se que a medida do segmento BF é igual a 8cm, do segmento
DC é 4cm e que a área do trapézio EFCD é 30cm£.
A medida de åæ é:
a) 12 cm
b) 14 cm
c) 16 cm
d) 18 cm
e) 20 cm
45. (Unesp) O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km£. Se o território do Vaticano
tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre:
a) 200 m e 201 m.
b) 220 m e 221 m.
c) 401 m e 402 m.
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
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46. (Unesp) A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas paredes contíguas
quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB=2,5m, BC=1,2m, EF=4,0m, FG=0,8m, HG=3,5m e AH=6,0m.
Qual a área dessa sala em metros quadrados?
a) 37,2.
b) 38,2.
c) 40,2.
d) 41,2.
e) 42,2.
47. (Ita) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta
paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será:
a) (Ë3 - Ë2)R/2
b) (Ë2 + 1)R/2
c) (Ë3 + 1)R/2
d) (Ë2 - 1)R/2
e) (Ë3 - 1)R/2
48. (Fuvest) Seja p(x) = x¥+ bx¤+ cx£+ dx + e um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de p(x) são
inteiras e que três delas são pares e uma é impar. Quantos coeficientes pares têm o polinômio p(x)?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
49. (Ita) A divisão de um polinômio P(x) por x£-x resulta no quociente 6x£+5x+3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por
2x+1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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50. (Fgv) Sobre as raízes da equação 2x¤ - x£ - 2x + 1 = 0, é verdade que
a) nenhuma delas é real.
b) exatamente duas delas são negativas.
c) somente uma delas é irracional.
d) as três são números inteiros.
e) pertencem ao intervalo [-1, 1].
51. (Fuvest) As três raízes de 9x¤-31x-10=0 são p, q e 2. O valor de p£+q£ é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9
52. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x¤-x£+kx+4=0 é igual a 1.
Então o valor de k é:
a) - 8.
b) - 4.
c) 0.
d) 4.
e) 8.
53. (Pucsp) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f=x¤+x£-2x-2.
As demais raízes desse polinômio são números.
a) irracionais.
b) não reais.
c) racionais não inteiros.
d) inteiros positivos.
e) inteiros e opostos entre si.
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54. (Unesp) O gráfico da figura adiante representa o polinômio real f(x)=-2x¤+ax£+bx+c. Se o produto das raízes de f(x) = 0 é
igual a soma dessas raízes, então a+b+c é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 3
e) 9/2
55. (Fei) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:
podemos afirmar que x/y vale:
a) -12
b) 12
c) 36
d) -36
e) -1/6
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56. (Fei) Para que o determinante da matriz
seja nulo, o valor de a deve ser:
a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4
57. (Pucmg) O termo geral da matriz M‚Ö ‚ é a‹Œ = 3i - 2j. O valor do determinante de M é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
58. (Uel) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b
b) se e somente se a = b
c) se e somente se a = - b
d) se e somente se a = 0
e) se e somente se a = b = 1
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59. (Unitau) O valor do determinante
como produto de 3 fatores é:
a) abc.
b) a (b+c) c.
c) a (a-b) (b-c).
d) (a+c) (a-b) c.
e) (a+b) (b+c) (a+c).
60. (Unitau) Sendo B = (b‹Œ)‚Ö‚, onde,
1 se i  j
b ij 
2ij se i  j
3j se i  j
Calcule o det B :
a) 13.
b) - 25.
c) 25.
d) 20.
e) - 10.
GABARITO
1. A£ é a matriz a seguir:
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2. A-¢ é a matriz a seguir:
3. x = 2, y = 2 e z = 4
4. 50Ë2 m
5. 72
6. 30 m e 45 m
7. x = 9
8. AB' = 2,6 cm ; B'C' = 3,9 cm ; C'D' = 6,5 cm.
9. 2/3
10. a) y = 2/3(30-x)
b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.
11. 24
12. MC = Ë3/3
13. Observe a figura a seguir:
b) 20,5 m
14. 4 dm de distância de uma das extremidades e 8dm da outra.
15. 36°
16. a = 4Ë6
17. 6Ë3
18. 30
19. V F V V F
20. [E]
21. 01 + 02 + 08 + 16 = 27
22. [B]
23. [C]
24. [E]
25. [C]
26. [D]
27. [E]
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28. [E]
29. [D]
30. [C]
31. [D]
32. [B]
33. [B]
34. [C]
35. [A]
36. [B]
37. [A]
38. [D]
39. [C]
40. [E]
41. [A]
42. [B]
43. [A]
44. [B]
45. [D]
46. [E]
47. [A]
48. [D]
49. [E]
50. [E]
51. [D]
52. [A]
53. [A]
54. [A]
55. [E]
56. [A]
57. [E]
58. [A]
59. [C]
60. [A]
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